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Funzioni di piu variabli: dominio, limiti,continuita
Riccarda Rossi
Universita di Brescia
Analisi Matematica B
Domini
1. Funzioni (scalari) di due variabiliConsideriamo le seguenti funzioni di due variabili:
f1(x , y) = 3x2 + 2xy + 5
f2(x , y) =√
4− x2 − y2
f3(x , y) = log(y − x2)
Vogliamo determinare il dominio di queste funzioni, cioe il piugrande insieme ⊂ R2 in cui le variabili x , y possono variare inmodo tale che le espressioni analitiche per le funzioni f1, f2 e f3siano ben definite.
Quando considereremo le funzioni di due variabili, scriveremo,con un lieve abuso della notazione, (x , y) invece di (x1, x2).
La funzione f1(x , y) = 3x2 + 2xy + 5 e ben definita per tutti(x , y) ∈ R2, per cui
dom(f1) = R2.
La radice quadrata nella definizione della funzione
f2(x , y) =√
4− x2 − y2
puo essere calcolata solo quando 4− x2 − y2 ≥ 0, per cui si ha
dom(f2) = (x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4.
Quindi dom(f2) e un insieme chiuso.
Per quanto riguarda la funzione f3(x , y) = log(y − x2), notiamoche il logaritmo puo essere calcolato solo se y − x2 > 0. Quindi
dom(f3) = (x , y) ∈ R2 : y > x2,
ed e un insieme aperto
Se la funzione f e data nella forma della somma f = g + h,allora vale
dom(f ) = dom(g) ∩ dom(h)
Esempio
Consideriamo la funzione f (x , y) = g(x , y) + h(x , y), dove
g(x , y) =√x2 + y2 − 1, h(x , y) = log(x2 − y2).
2. Domini di funzioni (scalari) di tre variabili
Esempio
f (x , y , z) = sin(x − y2) + arctan
(z
y
)
Grafici
Grafici
Sia f : dom(f )→ R, dom(f ) ⊂ R2 . Il grafico di f
Graf(f ) := (x , y , z) ∈ R3 : z = f (x , y), (x , y) ∈ dom(f )
e una superficie in R3.
Per funzioni di tre variabili, il grafico e un sottoinsieme di R4.....
Campi scalari e campi vettoriali
Noi ci occuperemo di funzioni di tipo f : dom(f )→ Rm condom(f ) ⊂ Rn che spesso denoteremo con Ω.
Nel caso m = 1, in cui f : dom(f )→ R, diciamo che f e uncampo scalare
Nel caso m > 1 chiamiamo f campo vettoriale. Esempi......
Definizione (Insiemi di livello)
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω→ Rm una funzione. Sia c ∈ Rm.Chiamiamo l’insieme di livello della funzione f l’insieme
Ωc = x ∈ Ω : f (x) = c.
Interpretazione geometrica delle curve di livelloSia f : Ω→ R , Ω ⊂ R2 e quindi f = f (x , y). Sia c ∈ R Quindi
Ωc = (x , y) ∈ Ω : f (x , y) = c.
Consideriamo l’insieme
Ωc × c = (x , y , c) ∈ R3 : f (x , y) = c.
L’unione degli insiemi Ωc × c al variare di c ∈ R descriveGraf(f ).
Esempio
Sia f (x , y) = x2 − y . Allora dom(f ) = R2 e gli insiemi di livellosono le parabole date dall’equazione
y = x2 − c , al variare di c ∈ R.
Esempio
Sia f (x , y) = xy . Allora dom(f ) = R2 e gli insiemi di livello sonole iperboli date dall’equazione
y =c
x
per c 6= 0, e dall’equazione
xy = 0, cioe x = 0 o y = 0
per c = 0.
Funzioni continue
DefinizioneSiano Ω ⊆ Rn, x ∈ Ω e sia f : Ω→ Rm una funzione. Diciamo chef e continua in x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che
∀y ∈ Bδ(x) ∩ Ω : ‖f (y)− f (x)‖ < ε.
Diciamo che f e continua su Ω se f e continua in ogni x ∈ Ω.
Proprieta delle funzioni continue
Teorema (Teorema di Weierstrass)
Sia Ω ⊆ Rn un insieme chiuso e limitato e sia f : Ω→ R. Se f econtinua in Ω, allora assume massimo e minimo in Ω.
In particolare, ogni funzione continua su un insieme chiuso elimitato e limitata.
Proprieta delle funzioni continue
Teorema (Continuita di somme e prodotti)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano f , g : Ω→ Rm. Se le funzioni f e gsono continue in Ω, allora vi sono continue anche la funzionesomma
f + g : Ω→ Rm, x 7→ f (x) + g(x)
e la funzione prodotto scalare
f · g : Ω→ R, x 7→ f (x) · g(x).
Dimostrazione
Teorema (Continuita della composizione)
Siano Ω ⊆ Rn,E ⊆ Rm e siano f : Ω→ Rm e g : E → Rk duefunzioni tali che f (Ω) ⊆ E . Sia inoltre x ∈ Ω tale che f e continuain x e g e continua in f (x). Allora la funzione composta
g f : Ω→ Rk , x 7→ g(f (x))
e continua in x .
La condizione che entrambe le funzioni f e g siano continue esufficiente ma NON necessaria. Infatti, la composizione g f puoessere continua anche se una delle funzioni f , g non lo e :consideriamo le funzioni f , g : R→ R definite da
g(y) = y2, f (x) =
x + 1 x ≤ 0
x − 1 x > 0
In questo caso la funzione composta g f : R→ R data da
(g f )(x) = g(f (x)) =
(x + 1)2 x ≤ 0
(x − 1)2 x > 0
e continua su tutto R nonostante la funzione f abbia unadiscontinuita di tipo salto nel punto x = 0.
Limiti
DefinizioneSia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω→ Rm una funzione. Sia in oltre x0 ∈ Rn
un punto di accumulazione per Ω. Diciamo che L ∈ Rm e illimite di f per x tendente a x0 e scriviamo
limx→x0
f (x) = L,
se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che
∀ x ∈ Bδ(x0) ∩ (Ω \ x0) : ‖f (x)− L‖ < ε.
A differenza della continuita, il limite puo essere definito anchenei punti in cui la funzione non e definita, ad esempio:
limx→0
sin x
x= 1.
Teorema (Unicita del limite)
Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto diaccumulazione per Ω. Se esistono L1, L2 ∈ Rm tali che
limx→x0
f (x) = L1 e limx→x0
f (x) = L2,
allora L1 = L2.
Dimostrazione
Direttamente dalla definizione della continuita e del limite discendeil seguente teorema:
Teorema (Limiti e continuita)
Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Ω. Se x0 e unpunto di accumulazione per Ω, allora f e continua in x0 se e solo se
limx→x0
f (x) = f (x0).
Teorema (Teorema della limitatezza locale)
Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto diaccumulazione per Ω. Se
limx→x0
f (x) = L ∈ Rm
allora esiste un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta a U ∩ Ω elimitata.
Dimostrazione:
Algebra dei limiti
Teorema (Limiti di somme e prodotti)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω→ Rm due funzioni. Sia inoltrex0 ∈ Rn un punto di accumulazione per Ω. Se f e g ammettonolimite finito in x0, allora anche le funzioni somma f + g e lafunzione prodotto scalare f · g ammettono limite in x0 e vale
limx→x0
(f (x) + g(x)) = limx→x0
f (x) + limx→x0
g(x) (1)
limx→x0
f (x) · g(x) = limx→x0
f (x) · limx→x0
g(x) (2)
Nella definizione di limite viene chiesto che la distanza tra f (x) eL tenda a 0 quando x tende a x0 indipendentemente da come xsi avvicina a x0. Questo rende il calcolo dei limiti di funzioni di piuvariabili in generale piu complicato rispetto al caso n = m = 1.
D’altra parte, per dimostrare che una funzione non ammette limitein un punto assegnato, basta trovare due curve lungo le quali lafunzione f tende a due valori diversi:
Esempio
Consideriamo la funzione
f (x , y) =x2
x2 + y2, dom(f ) = R2 \ (0, 0).
Vediamo che f NON AMMETTE limite per (x , y)→ (0, 0).
Teorema (Teorema della permanenza del segno)
Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ R un campo scalare e sia x0 ∈ Rn un puntodi accumulazione per Ω. Se esiste limx→x0 f (x) = L ∈ R, L 6= 0,allora esiste un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta aU ∩ (Ω \ x0) ha lo stesso segno di L.
Teorema (Confronto dei limiti)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω→ R due campi scalari. Sia inoltrex0 ∈ Rn un punto di accumulazione per Ω. Se f , g ammettonolimite per x → x0 e se f (x) ≤ g(x) vale per ogni x ∈ Ω, allora si ha
limx→x0
f (x) ≤ limx→x0
g(x).
Teorema (Teorema dei due carabinieri)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g , h : Ω→ R tre campi scalari. Sia x0 ∈ Rn
un punto di accumulazione per Ω. Supponiamo che per ogni x ∈ Ω
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x). (3)
Selimx→x0
h(x) = limx→x0
g(x) = L
allora f ammette limite per x → x0 e vale
limx→x0
f (x) = L.
Esempio
Consideriamo la funzione
f (x , y) =|x y |√x2 + y2
dom(f ) = R2 \ (0, 0).
Dimostriamo chelim
(x ,y)→(0,0)f (x , y) = 0 (4)
Campi scalari in R2: coordinate polariQualunque punto (x , y) ∈ R2 puo essere rappresentato nel modoseguente:
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ,
dove ρ ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π). I numeri (ρ, θ) si dicono coordinatepolari del punto (x , y). Geometricamente ρ rappresenta la distanzatra (x , y) e l’origine:
ρ =√
x2 + y2,
e θ e l’angolo fra i vettori (1, 0) e (x , y).
Esempio
Calcoliamo il limite
lim(x ,y)→(0,0)
f (x , y), f (x , y) =x2 y
x2 + y2
Esempio
Consideriamo il limite
lim(x ,y)→(0,0)
f (x , y), f (x , y) =x y
x2 + y2