SILVIO CINQUINI

FUNZIONI QUASI-PERIODICHE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

(Conferenza tenuta il 29 febbraio 1952)

§ 1. L E FUNZIONI QUASI-PERIODICHE SECONDO BOHR.

1. PRELIMINARI.

Le funzioni quasi-periodiche, la cui teoria ha cominciato a svilupparsi poco più di 25 anni fa, sono molto diffuse, ma poco conosciute.

Nessun volume della letteratura matematica italiana è dedi­cato a questo argomento (*•), e al tempo stesso ben pochi sono stati fino a oggi gli autori italiani che hanno compiuto ricerche in tale campo (2).

(') Esiste soltanto la brevissima litografia: S. CINQUINI. Funzioni quasi-periodiche. [Quaderni matematici della Scuola normale superiore di Pisa, n. 4]. Lit. Tacchi, Pisa (1950), pp. 132.

Tra le opere straniere segnaliamo : A. S. BESICOVITCH, Almost periodic functions. Cambridge Univ. press, 1932,

pp. XIV-180. H. BOHR, Fastperiodische Funktionen. Berlin, Springer, 1932, pp. 96. J. FAVARD, Legons sur les fonctions presque-périodiques. Gauthier-Villars, Paris,

1933, pp. VIII-183. W. MAAK, Fastperiodische Funktionen. Springer, Berlin, 1950, pp. VIII-240. (2) Facendo presente, fin d'ora, che la presente esposizione è rivolta alle funzioni di

variabile reale, citiamo: G. RICCI, Determinazione del massimo limite e del minimo limite della somma di

funzioni periodiche continue per la variabile indefinitamente crescente. « Boll. Unione matematica italiana », A.IX (1930), pp. 212-217.

DO

L. AMERIO, Sulla convergenza in media delle serie 2 a„ e l "nX« Annali R. Scuola nor-n=0

male superiore di Pisa», voi. X (1941), pp. 191-198. Di una proprietà delle funzioni quasi-periodiche ha fatto uso, nella dimostrazione

di un teorema di stabilità, S. FAEDO. Vedi : Sulla stabilità delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari. Nota IV « Rend. Accademia nazionale dei Lincei», voi. Il i (1947), pp. 192-198.

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D'altra parte non è raro il caso che si considerino, senza sa­perlo, funzioni quasi-periodiche: esse si presentano anche nella matematica elementare.

Per esempio, date le due funzioni

cos x, cos )'2 x,

entrambe periodiche e aventi i rispettivi periodi 2 n, | 2 TI, con­sideriamo la somma

cos x + cos j/2 x = f(x) .

È, evidentemente, / (0) = 2, ma non esiste alcun altro valore ( ^ 0 ) , per cui sia / (x) = 2: dunque la funzione / (x) non è pe­riodica. Però essa, in intervalli di ampiezza sufficientemente grande, assume valori prossimi, quanto si vuole, al valore 2.

2. DEFINIZIONE.

L'esempio indicato al n. 1 porta spontaneamente alla seguente definizione di H. BOHR (3).

Sia I (x) una funzione (reale o complessa) della variabile reale x, definita e continua per ogni valore reale di x. Essa si chiama quasi-per iodica (secondo BOHR) se, preso ad arbitrio un numero e > 0, è possibile determinare un altro numero l > 0 in modo che, in ogni intervallo dell'asse x avente ampiezza l, è contenuto almeno un valore r tale che, per qualunque x reale, sia soddisfatta la di­suguaglianza.

[1] \f(x + T)-f(x)\<e. •

Il numero T si chiama quasi-periodo relativo a e, e l si chiama intervallo di quasi-periodicità.

È evidente che ogni funzione periodica soddisfa alla defini­zione ora indicata nel senso che, preso comunque e (anche = 0), la [1] è verificata in modo indipendente da e, quando l è uguale al periodo e r è un qualunque multiplo del periodo.

(3) H. BOHR, Zur Theorie der fastperiodische Funktionen I. « Acta Mathematica», Bel. 45 (192 5), pp. 29-127.

Facciamo presente che, nel seguito, parlando di funzione quasi periodica (senza alcuna aggiunta) intenderemo sempre nel senso di BOHR.

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OSSERVAZIONE. - Soggiungiamo, senza entrare in argomento, che la definizione di BOHR può essere estesa anche a funzioni di variabile complessa.

3. PRIME PROPRIETÀ'.

a) Ogni funzione quasi-periodica gode delle due seguenti proprietà, che si stabiliscono in modo rapidissimo, ma che è bene mettere in evidenza: essa è limitata e uniformemente continua in ( - co , + 0 0 ) .

b) Se / (x) è quasi-periodica anche ogni funzione / (x + a), ove a è una qualunque costante, è pure quasi-periodica. Inoltre, preso e > 0 ad arbitrio, sia l'intervallo di quasi-periodicità l, sia i quasi-periodi r relativi a / (a?), godouo della stessa proprietà per ogni funzione / (oc -f- a).

4. OPERAZIONI ELEMENTARI.

a) Se f (x), g (x) sono due funzioni quasi-pe?'iodiche, anche la loro somma è una funzione qiiasi-periodica.

La dimostrazione di questo teorema si basa essenzialmente sul fatto che, preso comunque e > 0 ad arbitrio, si può determi­nare un l > 0 il quale sia intervallo di quasi-periodicità per cia­scuna delle funzioni / (x), g (x), nel senso che, in ogni intervallo dell'asse x di ampiezza l, sia contenuto almeno un quasi-periodo r comune a entrambe le funzioni. L'effettiva realizzazione di tale procedimento, sulla quale non ci soffermiamo, ci dà occasione di citare i legami che intercédono tra la teoria dei numeri e quella delle funzioni quasi-periodiche (4).

b) Dal teorema enunciato in a) segue immediatamente che se fj (a?), (j = 1, 2, ..., m) sono m funzioni quasi-periodiche e C),

m (j = 1, 2, ..., m) sono m costanti, la somma E 0?. fj (x) è pure

una funzione quasi-periodica.

e) Anche il prodotto di due funzioni quasi-periodiche è quasi-periodico.

(4) Nemmeno parliamo delle funzioni quasi-periodiche in relazione alla teoria dei gruppi. Vedi W. MAAK. opera eh. in (').

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d) Infine, se esiste un numero h> 0 tale che, in tutto (— a>, + 00), sia | g (oc) | >.h> 0, e 56 entrambe le funzioni f{x), g (x) sono quasi-periodiche, anche il loro quoziente gode di tale proprietà.

e) Se y = f (x) è una funzione quasi-periodica, e se 0 (u) è una funzione: 1°) definita nelVinsieme E dei valori assunti da f (oc) al variare di x in (—°o, 4- co); 2° uniformemente continua in JEJ\ allora la funzione di funzione 0 (f (x)) risulta quasi-periodica.

f) ESEMPI. 1°) In base al capoverso a) è evidente che la

funzione cos x + cos ]/2 x, considerata al n. 1, è quasi-periodica.

2°) Se Xj, (j = 1, 2, ..., m) sono m numeri reali e se a^ (j— 1, 2, ..., m) sono m costanti (reali o complesse), il polinomio esponenziale

E a-je 7 = 1

è (capoverso b)) una funzione quasi-periodica (o periodica).

3°) Si consideri un'equazione differenziale ordinaria lineare di ordine n, omogenea e a coefficienti costanti, la cui corrispon­dente equazione caratteristica abbia tut te le radici semplici e irnaginarie. È evidente che l'integrale generale è una funzione quasi-periodica (o periodica).

Questa affermazione che non richiede dimostrazione è caso particolare di un notissimo teorema di BOHR e JTEUGEBAUER, il quale afferma che, se si ha un'equazione differenziale lineare completa

[2] a0yW + a ^ - D + ... + any = 0(x) ,

ove a0, ax, ..., an sono costanti e fi (x) è una funzione quasi-pe­riodica, allora ogni integrale della [2] che sia limitato è quasi-periodico.

5. L'OPERAZIONE DI PASSAGGIO AL LIMITE.

a) Se si ha una successione di funzioni quasi-periodiche, la quale sia uniformemente convergente in (—00, + 0 0 ) , anche la fun­zione limite è quasi-periodica.

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b) Da questa proposizione segue immediatamente il teorema di BOCHNER, il quale afferma che se una funzione quasi-periodica ha la derivata del primo ordine uniformemente continua in ( — °°, + °°)? allora anche tale derivata è quasi-periodica.

e) Infine condizione necessaria e sufficiente, affinchè una pri­mitiva di una funzione quasi-periodica sia quasi-periodica, è che tale primitiva sia limitata in (—°°, + 0 0 ) .

6. IL CONCETTO DI VALOR MEDIO.

Per giungere ai due più notevoli risultati della teoria delle funzioni quasi-periodiche (i quali formano oggetto dei nn. 8 e 9) è fondamentale il concetto di valor medio.

Se / (x) è una funzione quasi-periodica, si chiama valor medio di / {%) e si indica con M \j(x)\ il

lim — f{x)dx ;

o

e si dimostra che tale limite esiste ed è finito, cioè a dire per ogni funzione quasi-periodica esiste finito il valor medio.

Inoltre è da far presente che, qualunque sia il numero reale a, per T-^4-00 l'espressione

7£ j f(x)dx a

tende uniformemente al proprio limite. Pertanto, in particolare, il valor medio si può anche definire nel seguente modo

T

M\f(x)\ = lim / f{x)dx . T-++aoJ

-T

7. SERIE DI FOURIER (GENERALIZZATA).

a) ì) ben noto che, ogni funzione (p (x) (continua, o, soltanto, integrabile secondo LEBESGUE) e periodica di periodo co è svilup-

— 52 —

pabile in serie di FOURIER

y (oc)CSD— a0+ E [an cos — nx + bn s e n — nx] , 2 n = i\ w co /

ove, quando sia fissato il periodo w, la successione di funzioni

i %n ^71 ì i i o \ * • J - - J i. • • cos — nx, sen — no? , (n = 1, 2, ...) e individuata « a priori »,

( c o co ) mentre i coefficienti dipendono, attraverso alle formule

(0

2 r . % 2 ^

co o

/ 9>(a?) cos — a?cfa?, fw, = 0, 1 , 2 , . . . )

2 f 2TZ bn = — W(J) s e n — # < & » , ( w = 1, 2, . . . ) ,

co J co 0

dalla funzione cp (x). Invece per ogni singola funzione quasi-periodica occorre, in­

nanzi tut to, individuare una successione di funzioni, la quale consenta di ottenere un'opportuna estensione dello sviluppo in serie di FOURIER.

b) Sia / (x) una funzione quasi-periodica e sia X un numero reale qualunque. La funzione / (x) e ~llx è (n. 4) quasi-periodica e in virtù del n. 6 esiste finito il suo valor medio

[3] M\f{x)e~Ux\.

Si dimostra che, al variare del numero reale A, il valor medio [3] è diverso da zero al più per un'infinità numerabile di valori di A; indicata con

[4] A19 / i 2 , ... , An, ...

tale successione, i numeri [4] si chiamano esponenti di FOURIER

della funzione quasi-periodica / (x), mentre, posto per brevità

[5] A(An) = M\f(x)e~iA»x\,

i valori

[6] A(A,), A(A2), ..., A(An), ...

— 53 —

si chiamano coefficienti d/i FOURIER della funzione quasi-periodica f(x).

La serie

E A{An)c%AnX

n = l

(i cui coefficienti sono dati dalle [5]) si chiama la serie dì FOURIER

(generalizzata) della funzione / (x) e secondo la solita notazione di HURWITZ si scrive

oo

[7] f(x)<» E A(An)e^x. n— 1

Questa denominazione è pienamente giustificata dal fatto che, se / (so) è una funzione periodica, la [7] diviene un'ordinaria serie di FOURIER (posta sotto forma esponenziale) e le [5] si riducono alle note formule di EULERO-FOURIER.

e) Non ci occupiamo di criteri di convergenza per le serie di FOURIER (generalizzate) relative a funzioni quasi-periodiche.

8. TEOREMA DI UNICITÀ'.

a) In base a quanto abbiamo visto al n. 7, b) a ogni fun­zione quasi-periodica corrisponde un'unica serie di FOURIER (ge­neralizzata). Viceversa, si presenta la domanda se due distinte funzioni quasi-periodiche possono avere la stessa serie di FOURIER

(generalizzata). A ciò risponde il teorema di unicità, il quale afferma che se

i coefficienti di FOURIER di una funzione quasi-periodica f(cc) sono tutti nulli, la funzione f (oo) è identicamente nulla. in tutto (—°°, -foo). In altre parole, se due funzioni quasi-periodiche hanno la stessa serie di FOURIER (generalizzata), esse coincidono in tutto l'intervallo ( - oo, +oo).

b) Dal teorema di unicità, cioè dal fatto che una funzione quasi-periodica è individuata dalla successione dei propri coeffi­cienti di FOURIER, si deduce, in virtù del n. 6, che una funzione quasi-periodica è completamente determinata dai valori che as­sume o sull'intervallo (a, +°o) , o sull'intervallo (— co? b), a e b essendo due qualsiasi numeri reali.

4

— 54 - -

c) Soggiungiamo che il teorema di unicità è equivalente alla seguente formula che estende alle funzioni quasi-periodiche la ben nota formula di PARSEVAL per le funzioni periodiche e che si suole indicare con la stessa denominazione

E \A(An)\* = M\\j(x)\*\. n = l

9. I L PROBLEMA DELL'APPROSSIMAZIONE.

a) In perfetta analogia a quanto è noto dalla teoria delle funzioni periodiche, quando si ha la serie di FOURIER (genera­lizzata) [7] di una funzione quasi-periodica f{x), non è detto né che questa serie sia convergente né che, quando essa sia convergente, la sua somma sia la funzione j{x). Hanno quindi la massima importanza quei procedimenti che permettono di calcolare in tut to (—°°,-f 0 0) , con l'approssimazione che si de­sidera, la funzione f(x) quando sia nota la sua serie di FOURIER

(generalizzata). Tra i diversi procedimenti approssimativi (H. WEYL, H. BOHR

ecc.) accenniamo a quello dovuto a S. BOCHNER, il quale è ba­sato sui ben noti polinomi trigonometrici di FÈJER e trova quindi la sua remota origine in quel metodo delle medie aritmetiche che risale a E. CESÀRO.

b) Dato un insieme di numeri reali

[8] yly y2, ... , yv, ... ,

si chiama base di tale insieme una successione di numeri (reali)

la quale sia linearmente indipendente (tale cioè che, qualunque sia l'intero positivo n, non esistano mai n numeri razionali non tu t t i nulli s1,s2,...,sn per i quali sia s1 a t + s2a2-}- ,..-\-snan

= 0), e goda della proprietà che ogni elemento yu di [8] si possa rappresentare sotto la forma

yu = r1al+ r2a, + ... + rkak ,

ove T11r2,...1rk sono numero razionali.

— 55 —

c) Ciò premesso sia a1? a2, ..., av, ... una base dell'insieme ^ n ^2? •••> ^ « J ••• degli esponenti di FOURIER della funzione quasi-periodica /(a?), e si consideri l'espressione

<*„(*) = 2/ ... X 1 - - ^ J ... l - ^ - ' W }> ^ i.l< ) ^ i . . . * ^ i l . ' " I "

ove pi nXì..., w„; JV1?..., JV, sono numeri interi positivi e si intende che sia

^ ( , , , ^ + ... + , , ^ ) = 0 ,

CL Ci

quando i^—L-f. ... + vv —£_ non è un'esponente di FOURIER di /(a?). ^ j ! ^ a i -

li 'espressione oBj)(x) si chiama polinomio di BOCHNER-FÈJER

<fó ordine p relativo alla funzione quasi-periodica f(x). Tenendo presente che, in virtù della [5] e della definizione di

valor medio (n. 6), è T / a , a

.4 „ ^ + ... + „, ^ , ) = ̂ ta ^ / / «) e v - * ,

e indicando con ]JV (z) il ben noto nucleo di FÈJER

//,.(*)= s 11 _ ili) ,-«• _ i [ ! ! ^ _ 2 , ,

si perviene all'espressione definitiva del polinomio di BOCHNER-

FÈJER di ordine p T

[9] aB(x) = Jim^ kj, fn«>+ ')tf*(j^j ') - n ; ( ¾ ' I dt

-T

Soggiungiamo che negli studi relativi ai polinomi di BOCHNER-

— 56 —

FÈJER presenta notevole interesse l'uguaglianza

T

-T

che si deduce dalla [9] per / (x) = 1 e che è estensione di una nota uguaglianza relativa al nucleo di FÈJER.

d) Ogni successione di polinomi di BOCHNER-FÈJER oBp(x), (p— 1,2,...) tale che, per p ^ + ° ° , sia anche

N1 -• + oo , N2 -*• + co , ... ,

n-, n9

si chiama successione di BOCHNER (5). e) TEOREMA DI BOCHNER. Ogni successione di Bochner % (a;),

(p = 1,2, ...), relativa alla funzione quasi-periodica f (#), per p-++ °o converge uniformemente in tutto ( — co, + °°) verso la funzione f (x),

f) Il teorema di BOCHNER riportato in e) risolve in modo definitivo il problema dell'approssimazione di ogni funzione f(x) quasi-periodica.

Nel caso in cui f(%) abbia derivata finita per quasi tut t i i valori reali di x, si potrebbe considerare il problema di appros­simare, contemporaneamente, sia la funzione / (x) sia la sua deri­vata del primo ordine, ma non ci occupiamo di tale questione (6).

§ 2. ESTENSIONI DEL CONCETTO DI FUNZIONE QUASI-PERIODICA.

10. L E FUNZIONI QUASI-PERIODICHE IN RELAZIONE ALL'INTEGRALE

DI LEBESGUE: DEFINIZIONI.

a) Diverse estensioni del concetto di funzione quasi-perio­dica, relative a classi di funzioni che non sono continue, sono dovute a parecchi autori (7).

(5) In particolare si può prendere Ni=N2.... = NP = p; n\=nn = ... = nP —(p\)~. (6) In una nostra recente Memoria abbiamo avuto occasione di accennare a tale que­

stione. Vedi S. CINQUINI. Sopra il problema dell'approssimazione delle funzioni quasi-periodiche. «Annali Scuola normale superiore di Pisa», voi. V (1951), pp. 245-267, §11.

(7) Non ci occupiamo dell'estensione del concetto di funzione quasi-periodica a fun­zioni di più variabili.

— 57 —

b) Particolare interesse presentano le funzioni introdotte da W. STEPANOFF mediante la seguente definizione (8), e alle quali è dedicata la parte prevalente del presente § 2.

Una funzione (reale o complessa) f(x), (—co <x < + &>), ia

quale sia quasi continua (secondo TONELLI) e integrabile (secondo LEBESGUE) SU ogni intervallo finito insieme con \f(x)\f% ove ju è un numero reale >_1, si chiama quasi-periodica — 8ft se, in corri­spondenza a ogni numero e> 0, si può determinare un numero l>0 (chiamato intervallo di quasi-periodicità — $/6) tale che, in ogni in­tervallo dell'asse x avente ampiezza l, sia contenuto almeno un nu­mero r (chiamato quasi-periodo — #•"), per il quale risulta

[10] / | f(x + T) — f(x) |" dx<_ e ,

qualunque sia il numero reale a. Per fx = l si suole scrivere 8 in luogo di S1.

e) La definizione data in b) si può presentare sotto una forma apparentemente diversa, sostituendo alla disuguaglianza [10] la seguente

a+d

- I | f(x + T) — j(x) j ' " dx _< e ,

ove d è un qualsiasi numero positivo prefissato ad arbitrio. d) D'altra parte, se nella definizione data in b) sostituiamo

alla [10] la disuguaglianza

a + d

lini ^ I | f(x -1-T) —j(x) [n dx <. e , d ->- + oo <* ,/

(8) W. STEPANOFF, Ùber einige V'erallgemeinerungerì der fastperiodìschen Funktionen « Math. Annalen », Bel. 95 (1926), pp. 473-498. In questa Memoria la definizione riportata nel testo è data per n = l e per \i = 2.

Le funzioni di STEPANOFF, per |LI = 2, sono state considerate anche da N. WIENER, On the representation oj functions by trigonometrical integrals « Math. Zeitschrift » Bd.24 (1926), pp. 576-616).

Infine, per \x ( > 1) qualunque, vedi A. S. BESICOVITCH - H. BOHR, Almost periodi-city and general trigonometrical series. « Acta Mathematica», Bd. 57 (1931), pp. 203-292, cap. IH, p. 226.

— 58 —

otteniamo la definizione di funzione quasi-periodica — W* [secondo H. WEYL (»)].

La classe delle funzioni quasi-periodiche — W* è più ampia di quella delle funzioni quasi-periodiche —S,u.

e) Ancora più ampia è la classe delle funzioni quasi-perio­diche — Bft [secondo BESICOVITCH (10)], la cui definizione, per brevità, omettiamo.

/) Un'ulteriore estensione di ciascuno dei tre concetti indicati in 0).(1),6), forma oggetto di una memoria di A. S. KOVANKO ( n ) , il contenuto della quale riteniamo possa essere molto interessante, ma mai siamo riusciti a prenderne visione.

g) .Si verifica immediatamente che ogni funzione quasi-perio­dica (secondo BOHR) è quasi-periodica — # " (per qualunque /u^.1).

h) D'altra parte ogni funzione, quasi-periodica — S'1 e uni­formemente continua in (—co, -f °°), risulta quasi-periodica [se­condo BOHR].

11. LE FUNZIONI QUASI-PERIODICHE — 5 " E L'UNIFORME INTE­

GRABILITÀ'.

a) Per lo studio delle funzioni quasi-periodiche—$•" è utile far presente la seguente definizione:

Urja funzione g (x), (— co < x < -f oo), quasi continua e integra­bile (secondo LEBESGUE) SU ogni intervallo finito si chiama uni­formemente integrabile se, in corrispondenza a ogni numero rj > 0, esiste un Ò > 0 in modo che, per ogni pseudointervallo E di misura minore di è e i cui punti siano contenuti in un qualunque inter­vallo dell'asse x avente ampiezza unitaria, è verificata la disu­guaglianza

/ | g{x) | clx < r].

È

(°) H. WEYL, Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen. «Math. Annalen » Bd. 97 (1926-7), pp. 338-356.

(10) A. S. BESICOVITCH, On generalized almost periodic functions. « Proc. London math. society», voi. 25 (1926), pp. 495-512. Vedi anche A. S. BESICOVITCH - H. BOHR, luogo cit., per ultimo in (8).

(") A. S. KOVANKO. Sur quelques espaces des fonctìons présque-periodiques. «Jour­nal Inst. math. », Kiew 1935-36 I, pp. 75-96.

- - 59 —

b) ì) evidente che ogni funzione quasi-periodica —8^ (con fx > 1) è quasi-periodica — $ (e anche quasi-periodica — 8**', per ogni /u > /i'>_1).

Inoltre, se f (co) è una funzione quasi-periodica —8'1, la fun­zione \ f (oc) \/l è uniformemente integrabile.

e) Viceversa, presenta maggiore interesse il fatto che, se-fiso) è una funzione quasi periodica 8 e se la funzione \f (oc) ì1' (con JU > 1) è uniformemente integrabile, allora, la funzione f (x) risulta quasi periodica —$•".

12 . L o STUDIO DELLE FUNZIONI QUASI-PERIODICHE S.

I)a quanto abbiamo rilevato al n. 11, si deduce che la parte essenziale della teoria delle funzioni quasi-periodiche —S'1 è co­stituita dallo studio del caso /u = 1. Soggiungiamo che nella pre­sente esposizione ci limitiamo a qualche rilievo-, senza tracciare un cenno completo della teoria.

Si prova che la somma di due funzioni quasi-periodiche —8 è una funzione quasi-periodica — 8.

D'altra parte, siccome di tale proprietà non gode sempre il loro prodotto, si danno condizioni sufficienti, affinchè il prodotto di due funzioni risulti quasi-periodico — 8.

Da una di queste condizioni si deduce che, se f(x) è quasi-periodica — 8, anche il prodotto

/ (x) eUx,

ove X è un qualunque numero reale, è funzione quasi-periodica —8. Per le funzioni quasi-periodiche — 8 si dà, in modo identico

a quello visto al n. 6, il concetto di valor medio e si prova che per ogni funzione quasi-periodica — 8 esiste finito il valor medio.

b) D'altra parte facciamo presente che, come è ben natu­rale, la teoria delle funzioni quasi-periodiche — 8 si giova dei risultati raggiunti per le funzioni quasi-periodiche (secondo BOHR).

A tal uopo è essenziale porre in rilievo che se f (x) è una funzione quasi-periodica — 8 , considerata una sua qualunque pri­mitiva F (x)ì la funzione

[11] (P (,*•) = F(x + v) — F (x) ,

— 60 —

ove v è un qualunque numero reale positivo, risulta quasi-periodica (secondo BOHR).

e) Il risultato ora riportato fa sorgere la domanda se, at­traverso al concetto di primitiva, non possa sussistere qualche legame ancora più stretto tra funzioni quasi-periodiehe — Se funzioni quasi-periodiehe (secondo BOHR) (12).

A questo ordine di idee appartiene una recentissima ricerca di E. R. LOVE (13) della quale abbiamo appena preso visione: l'A. definisce una classe di funzioni quasi-periodiehe più ristretta di quella di BOHR (n. 2) e dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione appartenga a tale nuova classe è che essa: 1°) sia una primitiva di una funzione quasi-perio-dica — 8m, 2°) sia limitata in (—co, +co).

13. SERIE DI FOURIER (GENERALIZZATA).

Usufruendo della proposizione del n. 12, b) si prova immedia­tamente, per ogni funzione j{x) quasi-periodica —S, l'esistenza della serie di FOURIER (generalizzata).

Infatti, stabilite le uguaglianze

[12] M\$(oe) e~Ux\= M \j(x) e~%kx\,

valida per ogni X reale e diverso da zero, e

[13] M \<P{oc)\ = vM\f(x)\,

in virtù del n. 7, b) si conclude in modo ovvio che i valori di A, per i quali il valor medio M\f(x) e~iXx\ è diverso da zero, co­stituiscono al più un'infinità numerabile.

Pertanto in modo identico al n. 7, b) si definiscono gli espo­nenti di FOURIER e i coefficienti di FOURIER, mentre la [7] rap­presenta la serie di FOURIER (generalizzata) della funzione /(a?) quasi-periodica — S.

(12) A tal riguardo cfr. quanto è detto in S: CINQUINI, luogo cìt. in (°), n. 11, pp. 263-264.

(w) E. R. LOVE. More-than-aniform almost periodicity. «The Journal of the London math. society», voi. 26 (1951), pp. 14-25.

— 61 —

14. TEOREMA DI UNICITÀ'.

a) Il teorema di unicità, che abbiamo visto al n. 8 a) per le funzioni quasi-periodiche (secondo BOHR), assume per le fun­zioni che stiamo considerando la seguente forma:

Se / (x) è una funzione quasi-periodica — 8 , i cui coefficienti di FOURIER sono tutti nulli, risulta, in quasi-tutto (—co, +°°)> / ( 0 ) = 0.

Infatti in virtù delle [12] e [13] i coefficienti di FOURIER della funzione 0 (oc) definita dalla [11] risultano tutti nulli. Quindi (n. 8, a)) 0(x) è identicamente nulla in (—oo, +00)? ossia per qualunque coppia di valori reali oc,v, con v > 0 è

&(x+v) >--0(x) _ V

Passando al limite per v -> + 0, e ricordando una nota pro­prietà delle funzioni integrali, ne segue f(x) = 0 per quasi tutti gli x di (—oo, + oo).

b) Il teorema di unicità ci dà occasione di porre in rilievo l'importanza che presenta il concetto di funzione quasi-perio­dica — 8:

Due funzioni quasi-periodiche — W (od anche — B) possono avere la stessa serie di POURIER (generalizzata) pur differendo tra loro in un insieme di punti avente misura positiva e anche infinita.

e) In analogia a quanto abbiamo visto al n. 8, b) si può rilevare che una funzione quasi-periodica —8 è pienamente de­terminata dai valori che assume in qua si-tutti i punti di uno qualunque degli intervalli (a, +°°), (— °o, b), ove a e b sono due numeri reali qualunque.

d) Il teorema di unicità è equivalente alla seguente esten­sione della formula di PARSEVAL

oo

E \A(An)\*= M\\f(x)\*\,

valida per ogni funzione quasi-periodica — 82.

— 62 —

15. IL PROBLEMA DELL'APPROSSIMAZIONE.

a) Il procedimento sviluppato al n. 9 per definire i poli­nomi di BOCHNER-FÉJER è pienamente valido per ogni funzione quasi-periodica — 8, e allo stesso BOCHNER è dovuto il seguente teorema:

Se f (x) è una funzione quasi-periodica — S e se oBv [se), (p = = 1,2,...) è una successione di BOCHNER relativa a f (oc) risulta.

a-fi

lim lini sup / | f(x) - oB (x) \ dx == 0 . p ->- + oo — o o < a < + o o J

a

La dimostrazione di questo teorema utilizza, attraverso alla funzione <P(x) definita dalla [11], il teorema di BOCHNER del n. 9, e).

b) Una prima estensione del teorema del capoverso a), raggiunta da BESICOVITCH-BOHR, si può enunciare nei seguenti termini:

Se j (ce) è una funzione quasi-periodica — S-", allora per ogni successione di BOCHNER 0js„(a;), (p= 1,2,...) relativa a f{x) risulta

lim lim sup / | f(x) — oB (x) [u dx = 0-p -^ + oo — o o < a < + oo ./ P

a

Questo risultato è basato essenzialmente sulla disuguaglianza

a+1 o + l

lim sup / | oB (x) |'"' dx <^ lim sup / | f(x) ["' dx , - o o < a - < - f o o , / P - o o < a < + ao J

a a

valida per ogni polinomio di BOCHNER-FÉJER relativo alla fun­zione / (x) quasi-periodica — $•".

e) Una nuova idea è stata da noi introdotta nello studio delle proprietà dei polinomi di BOCHNER-FÉJER (14).

(") Per tutto il contenuto dei capoversi e) e d) del presente numero vedi: S. CIN­QUINI, Sopra i polinomi di Bochner-Féjer e le funzioni quasi-periodiche secondo Ste-panoff. « Rend. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere», voi. 78 (1944-5), pp. 391-400.

— 63 —

A tal uopo premettiamo la seguente definizione.'

Data una successione di funzioni gv (%), (p = 1,2,...) quasi continue e integrabili (nel senso di LEBESGUE) sopra ogni inter­vallo finito, noi diciamo che gli integrali f | gv(x) ! dx, (p = 1,2, ...) sono equiassolutamenU continui in modo uniforme, quando, preso « > 0 ad arbitrio, è possibile determinare un d > 0 in modo che, se E è un qualunque pseudointervallo di misura minore di ò e tutto contenuto in un intervallo di ampiezza unitaria, per qual­siasi intero positivo p sia verificata la disuguaglianza

/ I <lv(®j\ <ix < e. È

Ciò premesso noi abbiamo stabilito che se: 1°) f (OD) è mia funzione quasi-periodica — S; 2°) lF(u), (0<.u<+co) è una funzione non negativa e convessa secondo JENSEN e tale che la funzione lF(\f(%)\) sia integrabile su ogni intervallo finito e uniformemente integrabile ; allora considerata una qualunque successione di polinomi di BOCHNER-FÉJER OBJ) (X), (p = 1 , 2 , . . . ) , gli integrali

l*F(\oBp(x)\)dx, (p = l , 2 , . . . )

sono equiassoliatamente continui in modo uniforme. In merito a questa proposizione facciamo presente che nel

caso particolare in cui sia W{u) = u'1, alle condizioni 1°) e 2°) basta sostituire [n. 11, b)] l'unica ipotesi che la funzione f(x) sia quasi-periodica — $".

D'altra parte soggiungiamo che il teorema stesso è valido anche in condizioni più ampie di quelle qui indicate.

d) Basandoci sul risultato del capoverso e), noi abbiamo dato la seguente estensione della proposizione riportata in b):

Se lF(u), {0 5LU < + °°) è una funzione non negativa e convessa secondo JENSEN, se è F(0) = 0, e se f (x) è una funzione quasi-pe--riodica — S e tale che la funzione W{2\f(%)\) sia integrabile [nel senso di LEBESGUE) SU, ogni intervallo finito e anche uniformemente integrabile, allora per ogni successione di BOCHNER oBp (x), (p =

— 64 —

= 1,2, ...) relativa a f (co) risulta

« + i

lim lim sup / W( \ f(x) — • oB (a?) | ) dx = 0 . p-y+ oo - o o < o < + oo J

a

«) Non ci fermiamo su ulteriori più recenti risultati (15).

16. SPAZI FUNZIONALI E FUNZIONI ASTRATTE.

Il contenuto dei nn. 11-15 dà un'idea di come si sviluppa una trattazione concreta ed elementare delle funzioni quasi-periodiche secondo STEPANOFF. Ma dobbiamo far presente che da parte di altri autori si è andata sviluppando l'idea di una trattazione astratta delle funzioni quasi-periodiche.

Già nella importante Memoria di BESICOVITCH e BOHR, che abbiamo avuto occasione di citare (I6), viene fatto uno studio simultaneo delle funzioni quasi-periodiche secondo STEPANOFF,

secondo WEYL e secondo BESICOVITCH, basandosi sul concetto di distanza tra due funzioni, la quale, naturalmente, è intesa in tre sensi diversi corrispondenti ai tre citati autori.

Di data più recente è una ricerca dovuta a H. BOHR,

E. F0LNER (17) sugli spazi funzionali costituiti dalle funzioni delle tre classi ora indicate, i quali vengono studiati come sot­tospazi di spazi più ampi: così lo spazio delle funzioni quasi-periodiche — S11 è un sottospazio di quello costituito dalle fun-'

« + i

zioni per le quali è finito il lim sup / \f (oD)\/ldoo. Trai ' r isul-- o o < « < + oo J

et

tati raggiunti in questa Memoria facciamo presente che, mentre lo spazio delle funzioni quasi-periodiche — $•" (e così pure quello delle funzioni quasi periodiche —B1') è completo, lo spazio delle funzioni quasi-periodiche —W7' è incompleto.

Di natura del tut to astratta è la teoria sviluppata da

(15) Vedi S. CINQUINI, luogo cit. in (°), § I. (lc) Vedi luogo cit. per ultimo in (s). (") H. BOHR - E. FOLNER, On the some types of functionals spaces. A contribution

lo the theory of almost periodic functìons. « Acta Mathematica», Bd. 76 (1944). pp. 31-155).

— 65 —

S. BOCHNER (18): essa abbraccia le funzioni di BOHR, di STEPANOFF

e quelle considerate da C. F . MUCKENHOUPT che avremo occasione di citare al n. 21.

17. LE FUNZIONI QUASI-PERIODICHE IN RELAZIONE ALL'INTEGRALE

DI DENJOY.

Di data recentissima è la seguente estensione del concetto di funzione quasi-periodica, dovuta a H. BURKILL (19) e basata sull'integrale di DENJOY:

Una funzione f (oc) integrabile secondo DENJOY è quasi-pei'io­dica {nel senso di DENJOY-BURKILL), quando, preso e> 0 ad arbi­trio, si può determinare un numero l > 0 in modo che in ogni intervallo delVasse x, avente ampiezza l, sia contenuto almeno un T per il quale risulta

a-\-n,

I \f(0D + r)-f(x) \dx

per ogni a reale e tutti gli h con 0 <_&_£.!.

§ 3. APPLICAZIONI DELLE FUNZIONI QUASI-PERIODICHE.,

18. PRELIMINARI.

Vogliamo accennare come le funzioni quasi-periodiche abbiano efficacemente illuminato la trattazione di alcuni problemi appli­cativi, i quali talvolta hanno addirittura trovato la loro effet­tiva soluzione in tale classe di funzioni. Citiamo qualche esempio.

Non ci soffermiamo a rilevare la quasi-periodicità (secondo BOHR) della traiettoria nel moto sopra una superficie di rota­zione, sotto l'influenza di un campo di forze che incontra l'asse della superfìcie e dipende da una funzione delle forze (20).

(ls) S. BOCHNER. Abstrakte jastperiodische Funktionen. «Acta mathematica», Bd. 61 (1933), pp. 149-184.

(lu) H. BURKILL, Almost periodicity and non - absolutely integrale fuctions. « Proc. of the London math. society», voi. 53 (1951), pp. 32-42.

("") E. HUSS0iN. L'aire converte par une trajectoire dynamique; la presque-pt''riodicité de la trajectoire. «Journal de math. pures et appliquées », T. 16 (1937), pp. 101-104.

— 66 —

19. MOTO DEL PERIGEO LUNARE.

Di ben maggiore rilievo è il contributo che A. WINTNER ha arrecato al problema ristretto dei tre corpi (21) nel caso par­ticolare del moto della luna, usufruendo del seguente teorema, intuito dallo stesso WINTNER e dimostrato da BOHR:

Se 0(t) è una funzione reale e el6{t} è quasi-periodica, esistono una costante co e u-na funzione quasi-periodica W(t), per le quali risulta

0(t) = a > - * 4 W(t).

Una prima applicazione di questo teorema alla teoria del movimento medio del perigeo lunare sviluppata da G. W. H I L L ,

fornisce (22) la piena giustificazione matematica dell'identifica­zione dell'esponente caratteristico dell'orbita, con il movimento medio del perigeo lunare.

20. MOTO DEL NODO LUNARE.

Un'altra applicazione del teprema riportato al n. 19 riguarda il movimento medio del nodo ascendente lunare, di cui nel 1911 si era occupato T. LEVI-CIVITA: per la coordinata <&(t) era nota la relazione

&(t) = co- t+ W{t),

ove co è una costante e W (t) è limitata. Il WINTNER (23) ha stabilito, in modo indipendente dal risul­

tato già raggiunto dal LEVI-CIVITA, che la parte non secolare di ft(t) cioè lF(t) è quasi-periodica: ciò ha posto in piena luce quella tacita supposizione in virtù della quale il termine W{t)

(21) Per tutte le generalità su questo problema rinviamo all'ampio e profondo studio di C. AGOSTINELLI. Sul problema dei tre corpi. « Rend. del Seminario matematico e fisico di Milano», voi. XXI (1950), pp. 165-195.

(~) A. WINTNER, Almost periodic functions and HilVs theory of limar perìgee. «Ame­rican journal of matem. », voi. LIX (1937), pp. 795-802.

("i!) A. WINTNER, Uber eine Anwendungen der Theorie der fastperiodischen Fiink-tionen ciuf das Levi-Civitasche Problem der mittleren Bewegung. « Annali di matema­tica pura e applicata, T. X (1932), pp. 277-282.

A. WINTNER, Ori the almost periodic behavior of the limar node. «American Jour­nal of mathem. », voi. LXI (1940), pp. 49-60.

— 67 —

può essere analizzato mediante una serie di FOURIER anarmonica. Accenniamo sommariamente all'idea del WINTNER.

Considerata una soluzione planare del problema ristretto dei tre corpi

[1.4] x = x(t), y = y(t),

la terza coordinata s=z(t), relativa a una soluzione non pla­nare « infinitamente » prossima alla [14], è determinata dall'equa­zione differenziale di ADAMS

[14'] s " + /(«)«= 0 ,

ove, se x{t)ì y (t) sono funzioni periodiche, anche / (t) gode di tale proprietà.

Supposto, senza entrare in particolari, che la [14] verifichi la disuguaglianza

oc(t)y'(t)- y(t)x'(t)^0,

e posto

[15] n = [xy' — yx') sen cp cos # , v = {xy' — yx') sen <p sen f>

(ove (p = (p (t) è la (piccola) inclinazione), la [14'] è equivalente al sistema lineare canonico

riftì , 8K , òK

ove la funzione hamiltoniana K~=K (u, v,t) è una forma qua­dratica in u, v.

Siccome le soluzioni u=u(t), v=v(t) del sistema [16] sono funzioni quasi-periodiche di t e (scartato il caso banale u(t) = = u (t) = 0) è u2 (t) +v2 (t) > const. > 0, tenendo conto delle [15] e i&{t) risulta quasi-periodica e quindi, in virtù del già citato teo­rema di WINTNER-BOHR, ne segue

&{t)=a>>t + 5^(0,

con W{t) quasi-periodica.

— 68

21 . CORDA VIBRANTE.

Nelle questioni di astronomia ora citate interessano soluzioni quasi-periodiche (secondo BOHR) di equazioni differenziali ordi­narie, ma altri problemi dipendono da equazioni a derivate par­ziali e da classi più ampie di funzioni quasi-periodiche.

C. F. MUCKENHOUPT (24) ha considerato le vibrazioni di una corda, la cui massa JLI(X) e la cui tensione T (x) siano funzioni dell'ascissa x, ma non del tempo t; le posizioni della corda sono definite da soluzioni y = y (ce, t) dell'equazione a derivate par­ziali

I H !)="<*> dt2'

Sotto l'ipotesi che l'energia totale del sistema sia finita e che esistano le derivate fino all'ordine che è necessario, l'A. prova che y (x, t) è quasi-periodica in media, vale a dire a ogni e > 0 corrisponde un l > 0 in modo che in ogni intervallo di ampiezza l è contenuto un r per il quale risulta

y (t + T, x) — y {t, x) |2 dx <_ e ,

per qualunque t reale.

22. MEMBRANA CIRCOLARE VIBRANTE.

Non ci soffermiamo sul concetto di funzione quasi-periodica secondo MUCKENHOUPT (n. 21), che appare come una semplice estensione di quello di STEPANOFF (e WIENER) (25), perchè esso è contenuto come caso particolare in quello successivamente introdotto da A. S. AVAKIAN (26) per lo studio della membrana

(21) C. F. MUCKENHOUPT, Almost periodic functions and vìbratìng systems. «Jour­nal of mathem. and phys. (of Massachussets) », voi. Vili (1928-29), pp. 163-199.

(2r>) Precisamente, se y (t, x) = Y (t + x), Y è quasi-periodica —S'2. (2ti) A. S. AVAKIAN, Almost periodic functions and the vibrating membrane. «Jour­

nal of mathem. and physic (of Massachussets) », voi. XIV (1935), pp. 350-378.

69 —

circolare vibrante nell'ipotesi che la massa e la tensione dipen­dano dalla posizione del punto ma non dal tempo.

Eiferendoci a un sistema di coordinate polari (r, 0), la posi­zione della membrana è definita in ogni istante da una solu­zione z=z{t\r,0) dell'equazione a derivate parziali

[17] 1JL r dr

rTx (r, 6) dz dr + r2 ^ T2(r,6)

dz 86

d2z

ove 1\ (r, 6), T2 (r, 6) rappresentano rispettivamente le tensioni nelle direzioni di r e di 6, e fx (r, 6) è la massa.

L'equazione [17] in coordinate cartesiane ortogonali assume la forma

d_

dx Ts (*, y) fx +

d_

dy Tt(x,y)

d_z_

dy thfay) CM y d*z di*

e nel caso particolare in cui la tensione sia costante (= T) si riduce alla ben nota equazione delle onde

d2z d2z dx~2+ ~df

\xx d2z

~T di­

sotto l'ipotesi che l'energia totale del sistema sia limitata e che esistano le derivate fino all'ordine che è necessario, la soluzione z{t;r, 6) della [17] è rispetto a t una funzione quasi-periodica in media, vale a dire:

z(t;r,6) è definita per ogni (r, 6) di un campo 42 = [0 <_r j£22; 0 <_6 <. 2 ut] e per tutti i valori di t, è continua in media in t, è a quadrato integrabile rispetto a (r, 6) nel campo Q e tale che ad ogni e > 0 corrisponde un l >0 in modo che in ogni intervallo dell'asse t avente ampiezza l è contenuto almeno un T per il quale risulta, per qualunque t,

z(t + r ; r, 6) - z(t; r, 6) | 2 drdd <^e .

Q

5

— 70 —

Derivando ambo i membri della [17] rispetto a t abbiamo

7 8r[r ^ ^ V Fr (ti) + H 00 [T 2 ( r ' 0 ) d0 y = >* <r' 0 ) à» ( à ) '

dz vale a dire si ottiene la [17] stessa, nella quale si sostituisca — di

al posto di z9 e così di seguito. Pertanto, non soltanto il mo­vimento della membrana, ma anche la velocità, l'accelerazione ecc. risultano funzioni di t quasi-periodiche in media.

23. PROBLEMI VARI.

Due altre applicazioni delle funzioni quasi-periodiche ad equa­zioni a derivate parziali formano oggetto di una nota del 1948 (27), nella quale sia il problema della corda vibrante, sia quello della conduzione del calore vengono trattati, usufruendo di funzioni quasi-periodiche —B2 (secondo BESICOVITCH) che si presentano come estensioni a tutto (—co, -}-°o) di funzioni a quadrato in­tegrabile in un intervallo limitato.

§ 4. LE FUNZIONI QUASI-PERIODICHE NELLA TEORIA

DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI.

24. LE RICERCHE DI J. FAVARD.

Gli esempi indicati al § 3 ci hanno portato spontaneamente a parlare dell'applicazione delle funzioni quasi periodiche nella teo­ria delle equazioni differenziali.

Sono ormai classiche le ricerche compiute da J. FAVARD (28), alla base delle quali sta il concetto di funzione normale.

Una funzione di variabile reale / (co), continua per ogni x con ( —. oo < a? < f oo ) si chiama funzione normale se da ogni succes­sione di funzioni

fix + hj, f{oc+h2), ..., f{x + hn)9

(27) I. ROETTINGER, Note on the use of almost periodic junctions in the solution oj certain boundary value problems (ibidem, voi. XXVII (1948), pp. 232-239).

(28) Vedi J . FAVARD, op. cit. in ( ] ) , cap . I I I .

— 71 —

ove /t1?/t2,..., hn,... è una successione arbitraria di numeri reali, si può estrarre un'altra successione che converge uniformemente in tutto l'intervallo (—oo, + 0 0 ) .

Il concetto ora indicato è strettamente legato a quello di funzione quasi-periodica, nel senso che ogni funzione quasi-perio-dica (secondo BOHR) è funzione normale e viceversa.

, Riportiamo il primo teorema di FAVARD, soggiungendo che la somma limpidezza di questo eminente A. rende facilmente accessibili le sue opere.

Dato il sistema completo

\ dy n

[ 0 J } lÌ ^ -^ f*- j ^ Vi W + g* ̂ ' & = -1 ' 2 ' • - ' %) '

ove le funzioni fiti(oo), (i,j = 1,2, ..., n), #*(#), (i = 1,2, ...,n) sono quasi-periodiche, si consideri sia l'insieme I(€x+h) costituito da tutti i sistemi

\ dy- n * * Ox] -, ~~ = E /<. jWy^x) + (ji (oc) , (i = 1, 2, ... , n),

' ax j=i

ove

/*,(ff)=lim fuia+hj, (i,j=l, 2,...,%); r->-j-oo

9*(v)=fon gt{x+hr), ( t= l ,2 , . . . ,») ,

sia l'insieme I (Ox+h) costituito da tutti i corrispondenti sistemi omogenei

i fini • n * [Olì \ -g=^fi,,(x)yj(x), (»« 1,2, . . . , n ) ,

facendo presente che sia /(0^.+^), sia I (Ox+h) è definito da uno qualunque dei propri elementi.

Ciò premesso, se il sistema (Cx) ammette una soluzione limi­tata e se nessuno dei sistemi I (Ox+h) ìia soluzioni limitate (ad eccezione, naturalmente, delle soluzioni identicamente nulle), allora non

— 72 —

soltanto la soluzione limitata di (Cx) è costituita da funzioni quasi-periodiche, ma anche ogni altro sistema delVinsieme (C*x) ha una soluzione quasi-periodica.

25. RICERCHE DI S. BOCHNER E DI R. H. CAMERON.

a) Particolare interesse presenta il seguente teorema di S. BOCHNER (29), relativo a un sistema omogeneo

[18]

Se

è una soluzione del sistema [18], si chiama rango della soluzione n (x) e si indica con E [n] l'inviluppo chiuso di tutti i punti dello spazio w-dimensionale che hanno come coordinate (y± (x),y2(®), ...,yn(x)).

Supposto che i coefficienti aifj(x) (i,j = 1, 2,. . . , n) siano funzioni quasi-periodiche, e date n soluzioni del sistema [18]

[19] ^\x), >i[2](x),..., rfn\x),

linearmente indipendenti, esse risultano costituite di funzioni quasi-periodiche, se

I) il rango E[rjw] è limitato per /u = 1,2, ...,n-,

II) non vi è alcun altra soluzione di [18] rj(x), il cui rango R[rj] sia una parte di uno dei ranghi R[r}[/% (JLI =- 1,2, ...,n);

III) il Wronskiano delle n soluzioni [19] non assume valori arbitrariamente prossimi a zero.

Siccome il valore di tale Wronskiano è X

j[an(x) + ati(x) +...+ ann{x)]dx

dx H aiti(x)yt(x) (* = l , 2 , . . . , w ) ,

r}(oo)^\y1(x)1 ..., yn(x) j

(2U) S. BOCHNER, Homogeneous systems of differential equations with almost periodic coefficients. «The Journal of the London mathem. society», voi. 8 (1933), pp. 283-288.

— 73 —

la condizione III) è equivalente all'ipotesi che l'integrale della parte reale della funzione quasi-periodica au(x) -\-a22-]-...-{• ann(x) sia limitato, ossia che tale integrale sia quasi-periodico.

b) Al teorema di BOCHNER riportato in a) si collega una successiva ricerca di E. H. CAMERON (30), il quale da un lato ha sostituito all'ipotesi II) altre condizioni, e d'altra parte si è oc­cupato anche di sistemi completi.

e) Altre ricerche dello stesso CAMERON (31), dedicate a sistemi sia omogenei sia completi, i cui coefficienti sono funzioni quasi-periodiche, sono dedicate a stabilire teoremi i quali affermano o che le soluzioni appartengono al tipo quasi-periodico (vale a dire sono espressioni che dipendono, in modo che qui non stiamo a precisare, da funzioni quasi periodiche) 0 che opportune espres­sioni costruite mediante le soluzioni sono quasi-periodiche.

26. CONCLUSIONE.

Non ci indugiamo su ricerche dedicate a equazioni differen­ziali ordinarie di ordine n (32) e non facciamo parola di studi relativi a equazioni a derivate parziali (33) e nemmeno a equa­zioni integrali (34), perchè dobbiamo trarre le conclusioni.

Fatta eccezione per una postilla al lavoro di BOCHNER citato in (29), nella quale l'A. avverte che il teorema che abbiamo riportato conserva la propria validità anche quando i coefficienti (ma non le soluzioni) sono funzioni quasi periodiche secondo

CM) R. H. CAMERON, Linear differential equations with almost periodic coefficients. « Annals of mathematics », voi. 37 (1936), pp. 29-42.

(n) R. H. CAMERON. Linear differential equations with almost periodic coefficients. «Aetà Mathematica», Bd. 69 (1938), pp. 21-56.

R. H. CAMERON. Almost periodic proprierties of bounded solutions of linear Solu­tions of linear differential equations with almost periodic coefficients. «journal of math. and phisic (of Massachussets) », voi. XV (1936), pp. 73-81.

(a2) Vedi, per esempio: J. SHTOKALO, On the theory of linear differential equations with quasi-periodic coefficients. « Akad. Nauk. Ukrain R. S. R. », voi. 8 (1947), pp. 163-176.

(:i3) Vedi, per esempio: S. BOCHNER, Fastperiodische Losungen der W ellengleichun-gen. «Acta Mathematica», Bd. 62 (1934), pp. 227-237.

S. L. SOBOLEFF, Sur la presque-périodicité des solutions de Véquation des ondes. I, II, III (C. R. Doklady) « Acad. Sci. U. R. S. S. », voi. 48 (1945), pp. 542-545, pp. 618-620: voi. 49 (1945), pp. 12-15.

H. L. SMOLICKII. On almost periodic generalized solutions of the wave equation. Ibidem, voi. 60 (1948), pp. 353-356.

(3<) Vedi, per esempio: B. LEWITAN, On an integrai equation with an almost perio­dic solution. «Bull, of the American math. society», voi. 43 (1937), pp. 677-679.

— 74 —

STEPANOFF, siamo costantemente nel campo delle funzioni quasi-periodiehe (secondo BOHR), le quali sono continue.

Ma oggi, a oltre 30 anni, dalle celebri ricerche di 0. CARA-THÉODORY, la teoria delle equazioni differenziali si sviluppa in. condizioni che fanno pienamenle sentire la necessità dell'uso delle funzioni quasi-periodiche secondo STEPANOFF.

D'altra parte se le ricerche, di cui abbiamo parlato, sono state rivolte al campo delle equazioni differenziali lineari, ciò, come esplicitamente ha affermato anche il MUCKENHOUPT, è dovuto soltanto a ragioni di semplicità.