120
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινή- σεις πρέπει: [ Να γνωρίζει ποια µεγέθη λέγονται µονόµετρα και ποια διανυσµατικά. [ Να γνωρίζει τις έννοιες χρονική στιγµή και χρονική διάρκεια. [ Να ξεχωρίζει το διάνυσµα θέσης από την µετατόπιση και το διάστη- µα. [ Να γνωρίζει τους ορισµούς της µέσης αριθµητικής και διανυσµατικής ταχύτητας. [ Να γνωρίζει τον ορισµό της επιτάχυνσης. [ Να έχει γνώση των νόµων της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης των εξι- σώσεων και των διαγραµµάτων που την εκφράζουν. [ Να έχει γνώση των νόµων της ευθύγραµµης οµαλά µεταβαλλόµενης κίνησης των εξισώσεων και των διαγραµµάτων που την εκφράζουν. [ Να σχεδιάζει τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t στις κινήσεις. [ Να γνωρίζει στις διαδοχικές κινήσεις ότι το τέλος της µίας είναι η αρχή της άλλης και η τελική ταχύτητα στην µία είναι η αρχική της επόµε- νης. [ Να γνωρίζει ότι κατά τη συνάντηση σωµάτων, το σηµείο συνάντησης είναι το κοινό σηµείο της τροχιάς. [ Να µπορεί σε διάγραµµα να ξεχωρίζει κινήσεις και να γνωρίζει τι δίνει το εµβαδόν και η κλίση κάθε διαγράµµατος. taexeiola.blogspot.com

Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Citation preview

Page 1: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινή-

σεις πρέπει:

Να γνωρίζει ποια µεγέθη λέγονται µονόµετρα και ποια διανυσµατικά.

Να γνωρίζει τις έννοιες χρονική στιγµή και χρονική διάρκεια.

Να ξεχωρίζει το διάνυσµα θέσης από την µετατόπιση και το διάστη-µα.

Να γνωρίζει τους ορισµούς της µέσης αριθµητικής και διανυσµατικήςταχύτητας.

Να γνωρίζει τον ορισµό της επιτάχυνσης.

Να έχει γνώση των νόµων της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης των εξι-σώσεων και των διαγραµµάτων που την εκφράζουν.

Να έχει γνώση των νόµων της ευθύγραµµης οµαλά µεταβαλλόµενηςκίνησης των εξισώσεων και των διαγραµµάτων που την εκφράζουν.

Να σχεδιάζει τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t στις κινήσεις.

Να γνωρίζει στις διαδοχικές κινήσεις ότι το τέλος της µίας είναι η αρχήτης άλλης και η τελική ταχύτητα στην µία είναι η αρχική της επόµε-

νης.

Να γνωρίζει ότι κατά τη συνάντηση σωµάτων, το σηµείο συνάντησηςείναι το κοινό σηµείο της τροχιάς.

Να µπορεί σε διάγραµµα να ξεχωρίζει κινήσεις και να γνωρίζει τιδίνει το εµβαδόν και η κλίση κάθε διαγράµµατος.

taexeiola.blogspot.com

Page 2: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

10. Ευθύγραµµες κινήσεις Τύποι - Βασικές έννοιες

Eυθύγραµµες κινήσεις: Τύποι - Βασικές έννοιες

Τυπολόγιο 1ου Κεφαλαίου

ταχύτητα: ∆x

υ∆t

=

µέση ταχύτητα: µ

t=

επιτάχυνση: ∆υ

α∆t

=

Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: υ σταθ=

, ∆x υ ∆t= ⋅ ή x υ·t=

Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη: α σταθ=

0υ υ αt= ±

20

1x υ t αt

2= ± 2

0υ υ 2αx= ± (εξίσωση τροχιάς)

Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη που το κινητό σταµατά 0υtα

=

20υx

2α=

Ευθύγραµµη κίνηση

Τι γνωρίζουµε για: χρονική στιγµή - χρονική διάρκεια - θέση - µετα-

τόπιση - διάστηµα.

Η χρονική στιγµή t προσδιορίζει το πότε συµβαίνει ένα γεγονός, ενώ η χρονική

διάρκεια 2 1∆t = t - t που είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγµών, καθορίζει το

πόσο διαρκεί ένα φαινόµενο.

Κάθε ευθύγραµµη κίνηση την εφοδιάζουµε µε έναν προσανατολισµένο άξονα, η

διεύθυνση του οποίου συµπίπτει µε την ευθεία της κίνησης. Έτσι διάνυσµα θέ-

σης x

είναι το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή του άξονα και τέλος το σηµείο

του άξονα στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος

προσδιορίζει τη θέση του κινητού µια δεδοµένη χρονική στιγµή. Η µετατόπιση

είναι η µεταβολή του διανύσµατος της θέσης 2 1∆x x x = − . Είναι ένα διάνυσµα

µε αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική.

taexeiola.blogspot.com

Page 3: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

11. Τύποι - Βασικές έννοιες Ευθύγραµµες κινήσεις

Το διάστηµα είναι το µήκος της συνολικής διαδροµής που διάνυσε το κινητό και

είναι µονόµετρο µέγεθος µε θετική πάντα τιµή.

Ποιός είναι ο ορισµός της µέσης (διανυσµατικής) ταχύτητας και µέσης α-

ριθµητικής ταχύτητας;

Η µέση (διανυσµατική) ταχύτητα εκφράζεται µε το πηλίκο της µετατόπισης

προς το χρονικό διάστηµα στο οποίο πραγµατοποιήθηκε.

2 1

µ

2 1

∆x x xυ

∆t t t

−= =−

. Μονάδες µέτρησης στο (S.Ι) είναι το 1 m/s.

Η µέση αριθµητική ταχύτητα είναι αυτή που παρουσιάζει πρακτικό ενδιαφέ-

ρον και ισούται µε το πηλίκο του διανυθέντος διαστήµατος προς το αντίστοιχο

χρονικό διάστηµα.

µ

t=

H στιγµιαία ταχύτητα ισούται µε την τιµή που τείνει να πάρει η µέση διανυσµα-

τική ταχύτητα όταν το χρονικό διάστηµα γίνεται πολύ µικρό. Αναφέρεται σε

χρονική στιγµή και είναι ο ρυθµός µεταβολής της θέσης.

Ποια κίνηση λέγεται ευθύγραµµη οµαλή;

Ευθύγραµµη οµαλή λέγετε η κίνηση κατά την οποία το κινητό κινούµενο ευθύ-

γραµµα διατηρεί σταθερό το διάνυσµα της ταχύτητας. Έτσι σε ίσα χρονικά δια-

στήµατα οι µετατοπίσεις του είναι ίσες.

Η εξίσωση της κίνησης είναι: ( )0 0x x υ t t= + −

Για 0t 0= (αρχικός χρόνος) είναι 0x 0= (αρχική θέση) τότε: x υ t= ⋅

Ποιος είναι ο ορισµός της επιτάχυνσης;

Η επιτάχυνση είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας σε µια συγκεκριµένη

χρονική στιγµή.

∆υα

∆t=

µονάδα µέτρησης στο SI: 1m / s2.

Μία κίνηση χαρακτηρίζεται επιταχυνόµενη όταν αυξάνεται το µέτρο της ταχύ-

τητας και επιβραδυνόµενη όταν το µέτρο της ταχύτητας µειώνεται. Στην επιτα-

χυνόµενη κίνηση ταχύτητα και επιτάχυνση έχουν ίδια κατεύθυνση ενώ στην επι-

βραδυνόµενη αντίθετη.

taexeiola.blogspot.com

Page 4: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

12. Ευθύγραµµες κινήσεις Τύποι - Βασικές έννοιες

Ποια κίνηση λέγετε ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη, ποιες είναι οι εξι-

σώσεις της και τα διαγράµµατα;

Κίνηση στην οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα µεταβάλλει την ταχύτητά

του µε σταθερό ρυθµό. ∆ηλαδή σε ίσα χρονικά διαστήµατα παρατηρούνται ίσες

µεταβολές της ταχύτητας. Η επιτάχυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή.

Εξίσωση ταχύτητας:

( )0 0υ υ α t t= + −

Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ υ= τότε: 0υ υ α·t= +Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ 0= : υ α·t=

Αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη 0υ υ α·t= −

Εξίσωση κίνησης:

020

0

∆t t t1∆x υ ∆t α·∆t ,

∆x x x2

= −= ⋅ +

= −

Για τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι x

0 = 0 τότε: 2

0

1x υ t α·t

2= ⋅ +

Για τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι x

0 = 0 και υ

0 = 0:

21x α·t

2=

Αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη 20

1x υ t α·t

2= −

taexeiola.blogspot.com

Page 5: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

13. Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

∆ιαγράµµατα και πληροφορίες που παρέχουν

α. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :

Αν υ > 0 Αν υ < 0

Το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα

των χρόνων είναι ίσο αριθµητικά µε την µετατόπιση ∆x του κινητού στο χρονικό

διάστηµα ∆t. Όταν η ταχύτητα είναι θετική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε θετι-

κό πρόσηµο και η µετατόπιση θα προκύπτει θετική. Όταν η ταχύτητα είναι αρ-

νητική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε αρνητικό πρόσηµο και η µετατόπιση θα

προκύπτει αρνητική.

∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ( )x f t= :

Αν x = υ·t και υ > 0.

Η κλίση της ευθείας αριθµητικά, είναι ίση µε

την ταχύτητα της κίνησης.

∆x x 0 xεφω υ

∆t t 0 t

−= = = =−

Το πρόσηµο της ταχύτητας είναι ίδιο µε το πρόσηµο της µετατόπισης ∆x.

Μπορεί η θέση να είναι θετική και η ταχύτητα αρνητική.

t(s)t0

x(m)

B

x

taexeiola.blogspot.com

Page 6: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

14. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

0t(s)t1 t2

á(m/s )2

Å

á

ù t(s)

x(m)

x

t

E

t(s)t

0

á(m/s )2

β. Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= : Αν 0υ υ α ·t= + και 0υ 0> , α 0>Η κλίση της ευθείας αριθµητικά είναι ίση µε την επιτάχυνση της κίνησης

0 0

0

υ υ υ υ∆υεφω α

∆t t t t

− −= = = =

Αν υ α·t= και α 0>

∆υ υ 0εφω α

∆t t 0

−= = =−

Σε κάθε διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου αποδεικνύεται ότι το εµβαδόν που

περικλείεται ανάµεσα στην καµπύλη και στον άξονα των χρόνων αριθµη-

τικά είναι ίσο µε την µετατόπιση ∆x για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ( )x f t= :

20

1x υ t α·t

2= ⋅ + ή

21x α·t

2= , αν 0υ 0=

Η κλίση της καµπύλης αριθµητικά είναι ίση

µε την ταχύτητα την συγκεκριµένη χρονική

στιγµή. Παρατηρούµε ότι η κλίση αυξάνεται.

∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου ( )α f t= :

Το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της γρα-

φικής παράστασης και του άξονα των χρόνων

αριθµητικά είναι ίσο µε την µεταβολή της τα-

χύτητας για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

( )αρ

2 1Ε α ∆t α t t ∆υ= ⋅ = − =

γ. Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση

Θεωρούµε την ταχύτητα θετική και την επιτάχυνση αρνητική (επιβράδυνση).

∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου

0υ 0> , α 0<

00 υ∆υα εφω

∆t t 0

−= = = −

−αρ

∆x E=

taexeiola.blogspot.com

Page 7: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

15.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου

0υ υ α·t= − 2

0

1x υ t α·t

2= ⋅ −

Η κλίση της καµπύλης x(t), (στιγµιαία ταχύτητα) µειώνεται.

Απόδειξη 2

Υπολογισµός εξίσωσης κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

( ) ( )0 0 0 0

∆xυ ∆x υ·∆t x x υ t t x x υ t t

∆t= ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = + −

για 0x 0= και 0t 0= , τότε x υ·t=

Απόδειξη 3

Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

αρ

∆υ Ε= ( )Ε εµβαδόν=

( ) ( )αρ

0 0 0Ε α ∆t ∆υ α t t υ υ α t t= ⋅ ⇒ = − ⇒ − = −

για 0t 0= , 0υ υ α·t− = , τότε 0υ υ α·t= +

Απόδειξη 4

Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη

αρ

∆υ Ε=

( ) ( )αρ

0 0 0Ε α ∆t ∆υ α t t υ υ α t t=− ⋅ ⇒ = − − ⇒ − = − −

για 0t 0= , 0υ υ α·t− = − , τότε 0υ υ α·t= −

0 t(s)t

á(m/s )2

Å

á

E

t(s)t

0

á(m/s )2

taexeiola.blogspot.com

Page 8: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

16. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Απόδειξη 5

Εξίσωση θέσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

αριθ0

0

υ υΕ ∆x ∆x ∆t επειδή υ υ α∆t

2

+= ⇒ = = +

0 0 0υ α·∆t υ 2υ α·∆t∆x ∆t ∆x ∆t

2 2

+ + += ⇒ = ⇒

( ) ( )220 0 0 0 0

1 1∆x υ ∆t α·∆t x x υ t t α t t

2 2= + ⇒ − = − + −

για 0x 0= και 0t 0= η εξίσωση έχει την µορφή 20

1x υ t α·t

2= +

Απόδειξη 6

Εξίσωση θέσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη

αριθ0

0

υ υΕ ∆x ∆x ∆t επειδή υ υ α∆t

2

+= ⇒ = = −

0 0 0υ α·∆t υ 2υ α·∆t∆x ∆t ∆x ∆t

2 2

− + −= ⇒ = ⇒

( ) ( )220 0 0 0 0

1 1∆x υ ∆t α·∆t x x υ t t α t t

2 2= − ⇒ − = − − −

για 0x 0= και 0t 0= η εξίσωση έχει την µορφή 20

1x υ t α·t

2= −

Απόδειξη 7

Πώς υπολογίζουµε τη µετατόπιση στην διάρκεια κάποιου δευτερόλεπτου;

Αν για παράδειγµα ζητείται η µετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραµµη

οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση κατά τη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου εργαζόµα-

στε ως εξής:

Υπολογίζουµε την θέση του κινητού την χρονική στιγµή 3t 3s= και την χρονική

στιγµή 4t 4s= . ∆ηλαδή (υποθέτουµε 0t 0= , 0x 0= ):

23 0 3 3

1x υ t αt

2= ⋅ + και

24 0 4 4

1x υ t αt

2= ⋅ +

Η ζητούµενη µετατόπιση ισούται µε: 4 3∆x x x= −Η παραπάνω µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και γραφικά από το εµβαδόν σε

διάγραµµα υ t− .

taexeiola.blogspot.com

Page 9: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

17.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Απόδειξη 8

Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση όταν το κινητό τελικά σταµατά

Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση όπου το κινητό τελικά σταµα-

τά, ο ολικός χρόνος και το ολικό διάστηµα µέχρι να σταµατήσει είναι:

( )0 0υ υ α·t υ

t 1υ 0 α

= − ==

( )12

01

x υ t α·t2

= − ⇒2

0 00 2

υ υ1x υ α

α 2 α= − ⋅ ⇒

20υx

2α=

Απόδειξη 9

Σχέση που συνδέει την ταχύτητα µε τη µετατόπιση στην ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη (ανεξάρτητη χρόνου).

Εξίσωση ταχύτητας Εξίσωση µετατόπισης

0υ υ α t= + ⋅ 20

1x υ t α t

2= ⋅ + ⋅

Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο: 0υ υt

α

−=

Και µε αντικατάσταση στη δεύτερη:

2 2 2 20 0 0 0 0 0

0

υ υ υ υ υ υ υ υ 2υ υ υ1x υ α x

α 2 α α 2α

− − ⋅ − − ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⇒ 2 2

2 2 2 200 0

υ υx υ υ 2α·x υ υ 2α·x

−= ⇒ = − ⇒ = + ή 20υ υ 2αx= +

Απόδειξη 10

Σχέση που συνδέει την ταχύτητα µε τη µετατόπιση στην ευθύγραµµη οµαλά

επιβραδυνόµενη (ανεξάρτητη χρόνου).

Εξίσωση ταχύτητας Εξίσωση µετατόπισης

0υ υ α t= − ⋅ 20

1x υ t α t

2= ⋅ − ⋅

Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο: 0υ υt

α

−=

Και µε αντικατάσταση στη δεύτερη:

2 2 2 20 0 0 0 0 0

0

υ υ υ υ υ υ υ υ 2υ υ υ1x υ α x

α 2 α α 2α

− − − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⇒ 2 2

2 200

υ υx υ υ 2α·x

−= ⇒ = − ⇒ ή 20υ υ 2α·x= −

taexeiola.blogspot.com

Page 10: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

18. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ. 64: Ερωτήσεις 15, 16, 17

σ. 66: Ερωτήσεις 26, 27, 30, 31

σ. 70: Ασκήσεις 9, 11, 13, 16, 18, 19

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ. 19: Παραδείγµατα 2, 6

σ. 27: Προτεινόµενα θέµατα 11, 14, 19, 20

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

taexeiola.blogspot.com

Page 11: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

19.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Τρείς πόλεις Α, Β, Γ βρίσκονται στην ίδια νοητή ευθεία. Η πόλη Α απέχει

απ’ την Β 10 Κm και η Β απ’ την Γ 20 Κm. Ένα αυτοκίνητο που εκτελεί

ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, κινείται µε ταχύτητα 20 m/s απ’ την πόλη Α

στην πόλη Β και µε ταχύτητα 30 m/s απ’ την Β στη Γ. Να υπολογιστούν:

α. η συνολική απόσταση που θα διανύσει

β. ο συνολικός χρόνος κίνησης

γ. η µέση ταχύτητα για ολόκληρη τη δια-

δροµή

δ. Να γίνει το διάγραµµα υ-t.

Λύση:

α. 4ολ AB BΓS S S 10Κm 20Km 30Km 30 1000m 3 10 m= + = + = = ⋅ = ⋅

β. 1 1 AB1 1 1

1 1 1

∆x ∆x S 10000mA B: υ ∆t ∆t 500s

∆t υ υ 20m/s→ = ⇒ = = = ⇒ =

2 2 BΓ2 2 2

2 2 2

∆x ∆x S 20000mB Γ : υ ∆t ∆t 667s

∆t υ υ 30m/s→ = ⇒ = = = ⇒

Άρα ολ 1 2

∆t ∆t ∆t 1167s= + =

γ. ολ oλµ

ολ ολ

∆x S 30000mυ 25,7m /s

∆t ∆t 1167s= = = =

δ.

õ2õ1

Äx1

Â

Äx2

(Ät )1 (Ät )2

A Ã

taexeiola.blogspot.com

Page 12: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

20. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Ποδήλατο ξεκινάει απ’ την πόλη Α και φτάνει στην πόλη Β, που απέχει

απόσταση 2000m, κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα 1υ 10m / s= . Μετά από

στάση 15min, ξεκινάει µε ταχύτητα 2υ 20m / s= και φτάνει στην πόλη Γ

µετά από 3min. Να βρεθούν:

α. ο συνολικός χρόνος που έκανε για να

πάει απ’ την πόλη Α στην πόλη Γ

β. η συνολική απόσταση που διένυσε

γ. η µέση ταχύτητα για όλη τη διαδροµή

δ. να γίνουν τα διαγράµµατα υ-t, x-t.

Λύση:

1 1 BΓ1 1

1 1 1

∆x ∆x S 2000mA B: υ ∆t 200s

∆t υ υ 10m/s→ = ⇒ = = = =

Στάση στην πόλη Β: ∆t 15min 15 60s 900s= = ⋅ =

2B Γ :∆t 3min 3 60s 180s→ = = ⋅ =

22 2 2 2

2

∆xυ ∆x υ ∆t 20m/s 180s 3600m

∆t= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

α. ολ 1 2

∆t ∆t ∆t ∆t 200s 900s 180s 1280s= + + = + + =

β. ολ 1 2

∆x ∆x ∆x 2000m 3600m 5600m= + = + =

άρα oλ ολS ∆x 5600m= =

γ. ολµ

ολ

∆x 5600mυ 4,375m/s

∆t 1280s= = =

δ.

õ2õ1

Äx1

Â

Äx2

(Ät )1

(Ät )2

A Ã

ÓôÜóç

taexeiola.blogspot.com

Page 13: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

21.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

3. Ένα σώµα ξεκινάει απ’ την ηρεµία και

κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επι-

τάχυνση 2α 3m / s= µέχρις ότου α-

ποκτήσει ταχύτητα υ 30m / s= . Στη

συνέχεια εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση. Να βρεθούν:

α. Σε πόσο χρόνο θα καλύψει απόσταση 350m;

β. Να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t αν 0t 2s= , 0x 0m=

Λύση:

A B :→ ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα

( )1υ α ∆t 1= ⋅ , ( )21 1

1∆x α ∆t 2

2= ⋅

B Γ :→ ευθύγραµµη οµαλή: ( )2

2

∆xυ 3

∆t=

Επίσης ( )ολ 1 2∆x ∆x ∆x 4= + , ( )ολ 1 2∆t ∆t ∆t 5= +

α. ( ) 1 1υ

1 ∆t ∆t 10sα

⇒ = ⇒ = , ( ) 21 1 1

12 ∆x α ∆t ∆x 150m

2⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) 2 ολ 1 2 24 ∆x ∆x ∆x ∆x 350m 150m ∆x 200m⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

( ) 22 2 2

∆x 200m3 ∆t ∆t ∆t 6,7s

υ 30m/s⇒ = ⇒ = ⇒ = άρα ( ) oλ5 ∆t 16,7s⇒ =

β.

taexeiola.blogspot.com

Page 14: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

22. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

4. Ένα κινητό ξεκινάει απ’ την ηρεµία

και κινείται µε σταθερή επιτάχυνση2

1α 4m / s= για χρόνο 10s. Στη συνέ-

χεια κάνει επιβραδυνόµενη κίνηση µε

σταθερή επιβράδυνση 22α 5m / s= .

Να βρεθούν:

α. ο ολικός χρόνος κίνησης

β. η συνολική µετατόπιση

γ. η µέση ταχύτητα σ’ όλη τη διάρκεια της κίνησής του

δ. να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t

Λύση:

A B :→ ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς 0υ

( )1 1 1υ α ∆t 1= ⋅ και ( )21 1 1

1∆x α ∆t 2

2= ⋅

B Γ :→ ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρχική ταχύτητα 1υ

( )2 1 2 2υ υ α ∆t 3= − ⋅ και ( )22 1 2 2 2

1∆x υ ∆t α ∆t 4

2= ⋅ − ⋅

α. ( )ολ 1 2∆t ∆t ∆t 5= + επειδή 1∆t 10s=

( ) 21 1 11 υ α t υ 4m / s 10s υ 40m / s⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) 2υ 0 22 23 0 40m/s 5m/s ∆t ∆t 8s

=→ = − ⋅ ⇒ = άρα ( ) oλ5 ∆t 18s⇒ =

β. ( ) 2 21 1

12 ∆x 4m/s 100s ∆x 200m

2⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

( ) 2 22 2

14 ∆x 40m/s 8s 5m /s 64s ∆x 160m

2⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ =

άρα ολ 1 2

∆x ∆x ∆x= + ⇒ oλ∆x 360m=

γ. ολµ µ

ολ

∆x 360mυ υ 20m/s

∆t 18s= = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 15: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

23.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

δ.

5. Σώµα που κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση 2α 10m / s= , τη

χρονική στιγµή t 0= έχει ταχύτητα 0υ 20m/ s= . Να βρείτε στη διάρκεια

ποιου δευτερολέπτου έχει µετατοπιστεί κατά ∆x 85m= .

Λύση:

Η θέση του σώµατος τη χρονική στιγµή t είναι: ( )2t 0

1x υ t α t 1

2= ⋅ + ⋅ ⋅

Μετά από 1s, τη χρονική στιγµή t 1+ είναι: ( ) ( ) ( )2t 1 0

1x υ t 1 α t 1 2

2+ = + + +

Άρα ( )( ) ( ) ( )21 2

t 1 t 0 02

1 1∆x x x ∆x υ t 1 α t 1 υ t αt

2 2+= − → = + + + − − ⇒

( )2 20 0 0

1 1∆x υ t υ α t 2t 1 υ t αt

2 2= + + + + − − ⇒

( )2 21 185 20 10 t 2t 1 10t

2 2= + ⋅ + + − ⋅ ⇒ 2 285 20 5t 10t 5 5t= + + + − ⇒ t 6s=

και t 1 7s+ = . Άρα κατά τη διάρκεια του 7ου δευτερολέπτου.

taexeiola.blogspot.com

Page 16: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

24. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

6. Στο διπλανό σχήµα δίνεται η ταχύτητα ενός κινη-

τού σε συνάρτηση µε το χρόνο.

α. Να προσδιοριστούν οι κινήσεις.

β. Να βρεθεί η επιτάχυνση και η µετατόπιση σε

κάθε κίνηση.

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, x-t.

Λύση:

α. ( )0 5 s :− ευθύγραµµη οµαλή γιατί υ σταθ.=

( )5 10 s :− ευθύγραµµη οµαλά επιταχ. µε αρχική ταχύτητα 10m/s και τελική 30m/s.

( )10 20 s :− ευθύγραµµη οµαλά επιβραδ. µε αρχική ταχύτητα 30m/s και τελική 0m/s.

β. ( ) 21

∆υ 10m/s 10m/s0 5 s :α 0m/s

∆t 5s 0s

−− = = =−

( ) 22

∆υ 30m/s 10m/s 20m/s5 10 s :α 4m/s

∆t 10s 5s 5s

−− = = = =−

( ) 23

∆υ 0m/s 30m/s 30m /s10 20 s :α 3m/s

∆t 20s 10s 10s

− −− = = = = −−

από υ-t υπολογίζω τη µετατόπιση απ’ το εµβαδόν άρα:

( )αρ

1 1 10 5 s :∆x E ∆x 50m− = ⇒ =

( ) ( )αρ

2 2 2 2

10 30 m / s5 10 s :∆x E ∆x 5s ∆x 100m

2

+− = ⇒ = ⋅ ⇒ =

( )αρ

3 3 31

10 20 s : ∆x E ∆x 10m / s 30s 150m2

− = ⇒ = ⋅ ⋅ =

γ.

taexeiola.blogspot.com

Page 17: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

25.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

7. Κινητό έχει σταθερή ταχύτητα 0υ και αρχίζει να επιβραδύνεται µε σταθε-

ρή επιβράδυνση 2α 2m / s= και ακινητοποιείται µετά από χρονικό διά-

στηµα ∆t 8s= . Να γίνει το διάγραµµα υ-t και να υπολογιστούν:

α. η µετατόπιση του κατά τη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου

β. η συνολική του µετατόπιση

Λύση:

Επειδή κάνει οµαλά επιβραδυνόµενη ισχύει:

υ 0

0 0 0 0υ υ α ∆t 0 υ α ∆t υ α ∆t υ 16m / s== − ⋅ → = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

α. Η διάρκεια του 4ου s µετριέται απ’ τη χρονική στιγµή t 3s= έως t 4s= . Οι

ταχύτητες για τις αντίστοιχες χρονικές στιγµές είναι:

3 0 3 3υ υ α ∆t υ 10m / s= − ⋅ ⇒ = και 4 0 4 4υ υ α ∆t υ 8m / s= − ⋅ ⇒ =Για να βρώ τη µετατόπισή του στη διάρκεια του 4ου s υπολογίζω το εµβαδόν Ε

απ’ το διάγραµµα υ-t: ( )αρ 8 10 m / s

∆x E ∆x 1s ∆x 9m2

+= ⇒ = ⋅ ⇒ =

β. Η ολική µετατόπιση αρ

oλ ABΓ oλ oλ

1∆x E ∆x 8m / s 16s ∆x 64m

2= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 18: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

26. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 Λύνουµε µόνοι µας

1. ∆ίνεται το διάγραµµα θέσεως - χρόνου για ένα κινητό. Να βρεθούν:

α. η συνολική µετατόπιση

β. να γίνει το διάγραµµα υ-t.

2. Ένα σώµα έχει αρχική ταχύτητα 0υ 20m/ s= και επιταχύνεται µε στα-

θερή επιτάχυνση. Μετά από χρονικό διάστηµα ∆t, έχει αποκτήσει τα-

χύτητα υ 40m / s= και έχει διανύσει διάστηµα 120m. Να βρεθούν:

α. ο χρόνος κίνησης

β. η επιτάχυνση

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t.

∆ίνεται 0t 0= , 0x 0=

3. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρ-

χική ταχύτητα 0υ 40m/ s= και επιβράδυνση 2α 10m / s= .

α. Σε πόσο χρόνο η ταχύτητά του θα έχει ελαττωθεί στο µισό της αρχι-

κής και πόσο θα έχει µετατοπισθεί µέχρι τότε;

β. Ποιος είναι ο ολικός χρόνος κίνησής του και ποια η ολική του µετα-

τόπιση µέχρι να σταµατήσει;

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t αν 0t 0= , 0x 0= .

taexeiola.blogspot.com

Page 19: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

27.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

4. Κινητό ξεκινάει απ’ την ηρεµία και κινείται µε σταθερή επιτάχυνση

21α 4m / s= για χρόνο 1∆t 10s= . Στη συνέχεια κινείται ευθύγραµµα

οµαλά για χρόνο 2∆t 10s= . Συνεχίζει µε επιβραδυνόµενη κίνηση µε

σταθερή επιβράδυνση 2

3α 2m / s= µέχρις ότου µηδενιστεί η ταχύτητά

του. Να βρεθούν:

α. η αρχική ταχύτητα της επιβραδυνόµενης κίνησης και η χρονική

διάρκεια της επιβραδυνόµενης κίνησης

β. ο ολικός χρόνος κίνησης και η συνολική µετατόπιση

γ. να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t.

5. Σώµα που αρχικά ηρεµεί, κάνει επιταχυνόµενη κίνηση µε σταθερή επι-

τάχυνση 21α 2m / s= µέχρις ότου η ταχύτητά του γίνει 1υ 20m / s= . Στη

συνέχεια κινείται µε σταθερή ταχύτητα και µετά από χρονικό διάστη-

µα 2∆t επιβραδύνεται µε σταθερή επιβράδυνση 22α 4m / s= µέχρις

ότου σταµατήσει. Αν η συνολική του µετατόπιση είναι oλ∆x 200m=να βρεθούν:

α. η χρονική διάρκεια της επιταχυνόµενης και της επιβραδυνόµενης

κίνησης

β. η µετατόπιση του σώµατος κατά τη διάρκεια της ευθύγραµµης ο-

µαλής κίνησης

γ. να γίνουν τα διαγράµµατα α-t, υ-t, x-t.

6. ∆ύο κινητά Α και Β περνούν ταυτόχρονα απ’ το ίδιο σηµείο µε ταχύτη-

τες ΟΑυ 8m/ s= και Bυ 20m / s= µε ίδια κατεύθυνση. Το Α επιταχύνε-

ται µε σταθερή επιτάχυνση 2α 2m / s= ενώ το Β κινείται ισοταχώς µε

ταχύτητα Bυ σταθ.= Να βρεθούν:

α. πότε και που θα ξανασυναντηθούν

β. ποια χρονική στιγµή έχουν την ίδια ταχύτητα

γ. να γίνει κοινό διάγραµµα υ-t.

7. ∆ύο ποδήλατα ξεκινούν, ταυτόχρονα, τη χρονική στιγµή t 0= από δύο

σηµεία Α και Β µιας ευθύγραµµης πορείας κινούµενα αντίθετα. Ο πο-

δηλάτης που βρίσκεται στο σηµείο Α αναπτύσσει επιτάχυνση2

1α 6m / s= και ο ποδηλάτης που βρίσκεται στο σηµείο Β 22α 4m / s= .

Αν η απόσταση ΑΒ είναι 80m να βρείτε πότε θα συναντηθούν και σε

πόση απόσταση απ’ το Α.

taexeiola.blogspot.com

Page 20: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

28. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

ÂÞìá 5

Θέµα 1ο

Α. Ένα κινητό εκτελεί τρεις πλήρεις, παλινδροµικές κινήσεις ανάµεσα στα

σηµεία Α και Β που απέχουν µεταξύ τους 5m. Ποιες από τις παρακάτω

προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ).

α. Η µετατόπιση είναι ίση µε µηδέν. ( )

β. Το διάστηµα είναι ίσο µε µηδέν. ( )

γ. Η µετατόπιση είναι ίση µε 30m. ( )

δ. Η µετατόπιση είναι ίση µε 15m. ( )

ε. Το διάστηµα είναι ίσο µε 30m. ( )

Β. Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραµµη οµαλή όταν:

α. Το διάνυσµα της ταχύτητας είναι σταθερό. ( )

β. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι σταθερό. ( )

γ. Το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό. ( )

δ. Το µέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό. ( )

Γ. Ποια είναι η γραφική παράσταση µετατόπισης - χρόνου ( )x f t= στην

ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση.

Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

taexeiola.blogspot.com

Page 21: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

29.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

∆. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής µε αυτά της δεξιάς στήλης

( )α 0> .

α. 0υ υ αt= + 1. ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

β. 21x αt

2= 2. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

γ. x υ t= ⋅ 3. ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση

δ. 20

1x υ t αt

2= −

ε. 0υ υ αt= −

Ε. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες.

α. Η κλίση της ευθείας στο διάγραµµα ( )υ t είναι η µετατόπιση. ( )

β. Τα διανύσµατα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης έχουν την ίδια κατεύ-

θυνση σε κάθε ευθύγραµµη κίνηση. ( )

γ. Η µέση ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος. ( )

δ. Το διάστηµα ταυτίζεται πάντα µε την µετατόπιση. ( )

ε. Η έκφραση 21m / s δηλώνει ότι η ταχύτητα του κινητού µεταβάλλεται κατά

1m/s κάθε δευτερόλεπτο. ( )

Θέµα 2ο

α. Να υπολογίσετε την εξίσωση της κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση µε αρχική ταχύτητα.

β.

Ι. Ποια είναι η επιτάχυνση τις χρονικές στιγµές:

i. 1 1t 2,5s : α= =

ii. 2 2t 4s : α= =

iii. 3 3t 7,2s : α= =

taexeiola.blogspot.com

Page 22: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

30. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

II. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες.

i. Η επιτάχυνση είναι µηδέν.

ii. Η ταχύτητα είναι σταθερή.

iii. Η επιτάχυνση είναι 213m / s .

ΙΙΙ. Την χρονική στιγµή 1t 1,5s= η ταχύτητα είναι:

i. 7,5 m/s ii. 9 m/s iii. 12 m/s

γ. Ποια µονάδα είναι µεγαλύτερη, το 1m/s ή το 1 km/h;

Θέµα 3ο

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραµµα οµαλά. Ένα

ακίνητο περιπολικό, µόλις περνά το αυτοκίνητο

από µπροστά του, αρχίζει να το καταδιώκει µε

σταθερή επιτάχυνση. Στο κοινό διάγραµµα υ(t)

είναι σχεδιασµένες οι γραφικές παραστάσεις των

ταχυτήτων τους σε σχέση µε τον χρόνο.

α. Σε πόσο χρόνο αποκτούν κοινή ταχύτητα;

β. Σε πόσο χρόνο το περιπολικό φθάνει το

αυτοκίνητο;

γ. Πόση µετατόπιση έχουν διανύσει;

δ. Ποια είναι η ταχύτητα του περιπολικού;

Θέµα 4ο

Ο Ολυµπιονίκης του Sidney Κώστας Κεντέρης προετοιµαζόµενος για τους

Ολυµπιακούς αγώνες στην Αθήνα, σχεδιάζει τον τελικό των 200m. Υπολογίζει

ότι µε χρόνο κάτω από 20,45s θα κατακτήσει το χρυσό. Η µέγιστη ταχύτητά του

είναι 10m/s. Αν στην αρχή επιταχύνει οµαλά µέχρι να αποκτήσει την µέγιστη

ταχύτητα, στη συνέχεια κινηθεί µε την σταθερή αυτή ταχύτητα για 172m, ενώ

στο τέλος επιβραδύνει οµαλά, λόγω κούρασης, µε επιβράδυνση 22m /s και τελικά

πέσει στο νήµα µε ταχύτητα 8m/s. Θα πετύχει τον στόχο του, σύµφωνα µε τους

υπολογισµούς του;

taexeiola.blogspot.com

Page 23: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο δυναµική σε µία

διάσταση πρέπει:

Να γνωρίζει την έννοια της δύναµης.

Να µπορεί να συνθέσει δύο ή περισσότερες συγγραµµικές δυνάµεις.

Να διατυπώνει τον 1ο Νόµο του Νεύτωνα.

Να γνωρίζει την έννοια της παραµόρφωσης και τα είδη της.

Να διατυπώνει τον νόµο του Ηooke.

Να γνωρίζει τι είναι αδράνεια και τι αδρανειακή µάζα.

Να γνωρίζει τον 2ο Νόµο του Νεύτωνα.

Να µπορεί να κάνει διερεύνηση της σχέσης ΣF mα=

(2ου Νόµου).

Να γνωρίζει τι λέγεται βάρος σώµατος στη γη.

Να δίνει τον ορισµό της ελεύθερης πτώσης, να γνωρίζει τις εξισώσειςτης ελεύθερης πτώσης, της αποδείξεις της και τα διαγράµµατά της.

Να ξέρει ποιοι παράγοντες καθορίζουν την τιµή της επιτάχυνσης τηςβαρύτητας.

Να µπορεί να υπολογίσει τη συνισταµένη συγγραµµικών δυνάµεων.

Να είναι σε θέση να καταλήξει σε συµπεράσµατα για την συνισταµ-µένη δύναµη εάν το σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ή είναι

ακίνητο ή όταν εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή µεταβαλλόµενη κίνηση.

Να µπορεί από τα διαγράµµατα F(t) και την αρχική κατάσταση τουσώµατος να συµπεραίνει τι κίνηση κάνει.

taexeiola.blogspot.com

Page 24: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

32. ∆υναµική σε µία διάσταση Τύποι - Βασικές έννοιες

∆υναµική σε µία διάσταση: Τύποι - Βασικές έννοιες

Τυπολόγιο 2ου κεφαλαίου

Συνισταµένη δύο δυνάµεων που έχουν ίδια κατεύθυνση 1 2F F F= +

Συνισταµένη δύο δυνάµεων που έχουν αντίθετη κατεύθυνση 1 2F F F= −

2ος Νόµος Νεύτωνα ΣF m α= ⋅

α. Αν ΣF 0=

τότε υ 0=

ή ( )υ σταθ x υ t= = ⋅

β. Αν ΣF σταθ=

τότε 0

20

υ υ αt

α σταθ 1x υ t αt

2

= ± = = ±

γ. Αν ΣF µεταβλ=

τότε α µεταβλ=

Αδρανειακή µάζα:ΣF

= ,

Βαρυτική µάζα:Β

mg

=

Ελεύθερη πτώση: α g= υ g t= ⋅ 21

s gt2

=

∆υναµική σε µία διάσταση

∆ιερεύνηση:

Βάρος: Β m g= ⋅

Τι λέγεται δύναµη;

∆ύναµη ονοµάζεται η αιτία που µπορεί να παραµορφώσει ένα σώµα ή να µετα-

βάλλει την κινητική του κατάσταση.

Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος. Τα χαρακτηριστικά της δύναµης είναι το

µέτρο της, η κατεύθυνση της (διεύθυνση και φορά) και το σηµείο εφαρµογής της.

Μονάδα µέτρησης της δύναµης είναι το 21N 1kg m/s= ⋅ .

Ποια παραµόρφωση λέγεται ελαστική και ποια πλαστική;

Ελαστική λέγεται η παραµόρφωση σώµατος όταν το σώµα επανέρχεται στην

αρχική του κατάσταση µόλις πάψει να ασκείται η δύναµη που είχε

προκαλέσει την παραµόρφωση.

Πλαστική λέγεται η παραµόρφωση που διατηρείται και µετά την παύση της

δύναµης.

taexeiola.blogspot.com

Page 25: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

33. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική σε µία διάσταση

∆ιατυπώστε το νόµο του Hooke.

Ο Νόµος Hooke για τις ελαστικές παραµορφώσεις

Οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι ανάλογες των δυ-

νάµεων που τις προκαλούν.

F κ x= ⋅x: η παραµόρφωση του ελατηρίου σε σχέση µε το φυσικό του µήκος κ: η σταθερά

του ελατηρίου που εκφράζει τη σκληρότητα του και µετριέται σε Ν/m.

Πώς συνθέτουµε συγγραµµικές δυνάµεις; Τι λέγεται συνισταµένη;

Συνισταµένη δύο ή περισσοτέρων δυνάµεων ονοµάζεται ή δύναµη που τις αντι-

καθιστά και επιφέρει στο ίδιο σώµα το ίδιο αποτέλεσµα µ’ αυτές. Οι επιµέρους

δυνάµεις λέγονται συνιστώσες. Η διαδικασία εύρεσης της συνισταµένης λέγεται

σύνθεση.

∆ιανυσµατικά γράφουµε πάντα:

1 2F F F ...F

νΣ = + +

Υπολογισµός συνισταµένης

1. ∆ύο δυνάµεων ίδιας κατεύθυνσης (οµόρροπες)

Ισχύει: 1 2F F F

= + και 1 2F F F= +Η συνισταµένη έχει την ίδια κατεύθυνση µε τις συ-

νιστώσες και µέτρο το άθροισµα των µέτρων τους.

2. ∆ύο δυνάµεις αντίθετης κατεύθυνσης (αντίρροπες)

Ισχύει: 1 2F F F

= + και 1 2F F F= −Η συνισταµένη έχει την κατεύθυνση της µεγαλύτε-

ρης και µέτρο την διαφορά των µέτρων των συνιστω-

σών.

3. Τρεις ή περισσότερες δυνάµεις.

Ισχύει: 1 2 3F F F F

Σ = + + Επιλέγουµε αυθαίρετα µια φορά σαν θετική

Όσες δυνάµεις έχουν την θετική φορά λαµβάνονται µε θετική αλγεβρική

τιµή και όσες έχουν την αρνητική φορά λαµβάνονται µε αρνητική αλγεβρι-

κή τιµή.

Προσθέτουµε τις αλγεβρικές τιµές των δυνάµεων. Αν η συνισταµένη προκύ-

ψει θετική θα έχει τη θετική φορά. Αν όχι την αρνητική.

taexeiola.blogspot.com

Page 26: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

34. ∆υναµική σε µία διάσταση Τύποι - Βασικές έννοιες

∆ιατυπώστε τον 1ο Νόµο του Νεύτωνα.

Αν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σώµα είναι µηδέν τότε

το σώµα ισορροπεί δηλαδή ηρεµεί ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά.

Ισχύει: Αν 1 2F 0 F F ... 0

Σ = ⇒ + + = τότε υ 0=

ή υ =

σταθερή

Για δύο δυνάµεις: 1 2 1 2F 0 F F 0 F F

Σ = ⇒ + = ⇒ = −

1 2 1 2F 0 F F 0 F FΣ = ⇒ − = ⇒ = (µέτρα)

Για τρείς δυνάµεις: 1 2 3 1 2 3F 0 F F F 0 F F F

Σ = ⇒ + + = ⇒ + = −

1 2 3 1 2 3F 0 F F F 0 F F FΣ = ⇒ + − = ⇒ + =

Τι λέγεται αδράνεια;

Αδράνεια ονοµάζεται η ιδιότητα των σωµάτων να τείνουν να διατηρούν την

κινητική τους κατάσταση.

Ορισµός της αδρανειακής µάζας.

Μέτρο της αδράνειας των σωµάτων είναι η αδρανειακή µάζα F

m =α

Όταν η συνισταµένη δύναµη είναι διάφορη του µηδενός τότε η αδράνεια των

σωµάτων εκδηλώνεται σαν αντίσταση στην αιτία που µεταβάλλει την κινητική

κατάσταση. Παρά την αδράνεια πάντως η κινητική κατάσταση θα µεταβληθεί.

∆ιατυπώστε το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής ή το δεύτερο νόµο του Νεύ-

τωνα.

ΣF mα=

ή ΣF

αm

=

Η επιτάχυνση α

έχει την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης

Η επιτάχυνση α είναι ανάλογη της δύναµης για την ίδια µάζα και αντι-

στρόφως ανάλογη της µάζας για την ίδια δύναµη.

∆ώστε τον ορισµό του βάρος του σώµατος στη γή.

Βάρος σώµατος στη Γη, ονοµάζεται η δύναµη που δέχεται το σώµα από τη Γή.

mg

Β = όπου m η βαρυτική µάζα του σώµατος B

mg

=

Αδρανειακή και βαρυτική µάζα πειραµατικά διαπιστώθηκε ότι είναι ίσες.

taexeiola.blogspot.com

Page 27: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

35. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική σε µία διάσταση

Ποια κίνηση λέγεται ελεύθερη πτώση;

Η κίνηση που εκτελεί ένα σώµα όταν αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτη-

τα από κάποιο ύψος µε την επίδραση µόνο του βάρους του. Το βάρος λαµβάνε-

ται σταθερό και οι αντιστάσεις αέρα αµελητέες.

Ποια είναι τα διαγράµµατα υ-t, α-t, s-t στην ελεύθερη πτώση;

∆ιαγράµµατα στην ελεύθερη πτώση

Ποιοι είναι οι παράγοντες που καθορίζουν την τιµή της επιτάχυνσης της

βαρύτητας;

Γεωγραφικό πλάτος

Η επιτάχυνση της βαρύτητας αυξάνεται από τον ισηµερινό ( )2g 9,78m / s=

προς τους πόλους ( )2g 9,83m / s= .

Ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης.

Μειώνεται µε την αύξηση του ύψους

taexeiola.blogspot.com

Page 28: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

36. Mαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

Να διερευνηθεί η σχέση ΣF mα=

(2ος Νόµος του Νεύτωνα).

1. Αν F 0

Σ = τότε α 0=

. Το σώµα ηρεµεί ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα. (1ος

ΝΟΜΟΣ ΝΕΥΤΩΝΑ).

2. Αν F

Σ = σταθερή τότε α = σταθερή.

Αν F

Σ και υ

έχουν την ίδια κατεύθυνση (οµόρροπες) τότε η κίνηση είναι ευθύ-

γραµµη οµαλά επιταχυνόµενη.

Αν F

Σ και υ

έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπες) τότε η κίνηση είναι

ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη.

3. Αν ΣF ≠

σταθερή τότε α ≠

σταθερή. Κίνηση µε µεταβαλλόµενη επιτάχυνση.

Απόδειξη 2

Τι ισχύει για την επιτάχυνση του σώµατος στην ελεύθερη πτώση.

Ισχύει: ΣF mα Β mα mg mα g α

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =Αν και τα σώµατα έχουν διαφορετικό βάρος (λόγω της διαφορετικής µάζας τους)

πέφτουν όλα µε την ίδια επιτάχυνση την επιτάχυνση της βαρύτητας g

.

Απόδειξη 3

Ποιες είναι οι εξισώσεις ταχύτητας και διαστήµατος στην ελεύθερη πτώση;

υ α tυ g t

α g

= ⋅ ⇒ = ⋅=

22

1s α t 1

s g t22

α g

= ⋅ ⇒ = ⋅=

( )2

υ g t

Τυχαία θέση Α1s g t

2

= ⋅ = ⋅

Όταν φτάνει στο έδαφος ισχύει:

21 2 HH g t t

2 g

⋅= ⋅ ⇒ = και υ g t 2 g H= ⋅ = ⋅ ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 29: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

37.Βήµα 2ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 101 - 105: Ερωτήσεις 13, 15, 17, 18, 34, 37, 38, 41

σ.σ. 107 - 108: Ασκήσεις 4, 5, 12, 13, 16, 18

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 49 - 50: Ερωτήσεις 4, 5, 6, 7, 9, 11

σ.σ. 51 - 54: Ασκήσεις 5, 7, 10, 12, 20, 21

σ.σ. 55 - 56: Ξεχωριστό θέµα

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

taexeiola.blogspot.com

Page 30: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

38. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Σώµα µάζας m 2kg= κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε αρχική ταχύτη-

τα µέτρου 10m/s. Ξαφνικά ασκούµε στο σώµα οριζόντια δύναµη µέ-

τρου F 10N= . Ποια είναι η ταχύτητα του σώµατος 20s µετά την άσκη-

ση της δύναµης αν:

α. η δύναµη έχει την ίδια φορά µε την ταχύτητα

β. η δύναµη έχει αντίθετη φορά µε την ταχύτητα

Λύση:

α. Από το θεµελιώδη νόµο της Μηχανικής έχουµε:

2F 10NF m α α 5m/s

m 2kg= ⋅ ⇒ = = = . Άρα κάνει ευθ. οµαλά επιταχ. κίνηση.

H ταχύτητά του είναι: 2

0υ υ α t 10m / s 5m / s 20s 110m / s= + ⋅ = + ⋅ =β. Από το θεµελιώδη νόµο της Μηχανικής έχουµε:

2F 10NF m α α 5m/s

m 2kg

− −− = ⋅ ⇒ = = = − . (γιατί ορίσαµε ως θετική φορά προς

τα δεξιά). Άρα κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση και η τα-

χύτητά του θα είναι: 20υ υ α t 10m /s 5m /s 20s 90m /s= + ⋅ = − ⋅ = −

∆ηλαδή το σώµα θα κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα µέτρου 90m/s.

2. Σώµα µάζας m 2kg= ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώµα ασκούµε

µε σταθερή οριζόνται δύναµη 1F 20N= για χρόνο 4s. Στη συνέχεια και

για τα επόµενα 6s ασκούµε και άλλη δύναµη 2F σταθερού µέτρου και

αντίθετης κατεύθυνσης από την 1F , οπότε το σώµα αποκτά ταχύτητα

µέτρου 70m/s. Να βρείτε το µέτρο της 2F και το ολικό διάστηµα που

διανύει το σώµα.

taexeiola.blogspot.com

Page 31: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

39.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

Για την κίνηση από 0 4s− , το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλή επιταχυνόµενη

κίνηση. Από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής έχουµε:

211 1 1

1

F 20NF m α α 10m/s

m 2kg= ⋅ ⇒ = = = είναι: 2

1 1 1υ α t 10m / s 4s 40m / s= ⋅ = ⋅ =

και 2 2 2 21 1 1

1 1x α t 10m/ s 4 s 80m

2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ = .

Για την κίνηση 4 10s− το σώµα συνεχίζει την κίνησή του. Η νέα επιτάχυνση

2α είναι: 22 12 1 2 2 2

2

υ υ 70m/s 40m/sυ υ α t α 5m/s

t 6s

− −= + ⋅ ⇒ = = =

Εποµένως συνεχίζει την ευθύγραµµη οµαλή επιταχυνόµενη κίνηση.

Από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής έχουµε: 2ΣF m α ΣF 10N= ⋅ ⇒ =Η 2F είναι αντίρροπη της 1F ισχύει:

1 2 2 1 2 2ΣF F F F F ΣF F 20N 10N F 10N= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Το x2 είναι: 2 2 2 2

2 1 2 2 2 21 1

x υ t α t x 40m/s 6s 5m / s 6 s 330m2 2

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

Άρα το ολικό διάστηµα θα είναι: ολ 1 2x x x 80m 330m 410m= + = + =

3. Η ταχύτητα σώµατος µεταβάλλεται σύµφωνα µε το διάγραµµα. Αν το

σώµα έχει µάζα m 2kg= για t 0= , 0x 0= να γίνει το διάγραµµα x-t και

F-t .

taexeiola.blogspot.com

Page 32: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

40. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Λύση:

Θα µελετήσουµε το διάγραµµα κατά χρονικά διαστήµατα.

Από 0 2s :− Ευθύγραµµη Οµαλά Επιταχυνόµενη Κίνηση

21

∆υ 20m/s 0m/ sα 10m /s

∆t 2s 0s

−= = =−

και 21 1F m α 2kg 10m / s 20Ν= ⋅ = ⋅ =

( )αρ

1 1µβ τριγώνου

2s 20m / sx E x 20m

2

⋅= ⇒ = =

Από 2 4s :− Ευθύγραµµη Οµαλή Κίνηση

2α 0= , 2F 0= και ( ) ( )αρ

2 2ορθ.x E x 20m / s 4s 2s 40m= ⇒ = − =

Από 4 5s :− Ευθύγραµµη Οµαλή Επιβραδυνόµενη Κίνηση

23

∆υ 0m/s 20m/sα 20m/s

∆t 5s 4s

−= = = −−

και ( )23 3F m α 2kg 20m/s 40Ν= ⋅ = ⋅ − = −

( )( )αρ

3 3τριγ

20m / s 5s 4sx E x 10m

2

⋅ −= ⇒ = =

4. ∆ύο σώµατα µε µάζες 1m 10kg= και 2m 20kg= βρίσκονται στο ίδιο

λείο οριζόντιο επίπεδο δίπλα - δίπλα. Στο 1m ενεργεί δύναµη 1F 100N=ενώ στο 2m δύναµη 2F 400N= οµόρροπη στην 1F . Να βρείτε τις ταχύ-

τητές τους όταν απέχουν 125m.

Λύση:

211 1 1 1

1

FF m α α 10m/s

m= ⋅ ⇒ = = και 22

2 2 2 22

FF m α α 20m/s

m= ⋅ ⇒ = =

Έχουµε: 2 22 1 2 1

1 1∆x x x ∆x α t α t

2 2= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

taexeiola.blogspot.com

Page 33: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

41.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2 2 2 21 1125 20 t 10 t 125 10t 5t

2 2= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⇒ t 5s=

Άρα 21 1υ α t 10m / s 5s 50m / s= ⋅ = ⋅ = και 2

2 2υ α t 20m / s 5s 100m / s= ⋅ = ⋅ = .

5. Σε σώµα µάζας m 0,03kg= , που κινείται ευθύγραµµα και οµαλά µε

ταχύτητα 0υ ασκείται µια σταθερή δύναµη F 0,6N= µε κατεύθυνση

αντίθετη της ταχύτητας. Παρατηρούµε ότι το σώµα σταµατάει µετά

από χρόνο t 5s= από τη στιγµή που του ασκήθηκε η δύναµη. Να υπο-

λογιστούν:

α. η αρχική ταχύτητα 0υ του σώµατος

β. πότε θα αλλάξει φορά η ταχύτητα

γ. σε ποια θέση θα συµβεί αυτό;

Λύση:

Το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλή επιβραδυνόµενη κίνηση είναι:

F 0,6ΝF m α α α α 20m/s

m 0,03kg= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

α. Αφού το σώµα σταµατά είναι: ( ) 0 0υ 0 υ υ α t υ 100m / s= ⇒ = − ⋅ ⇒ =β. Η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά στο σηµείο που µηδενίζεται η ταχύ-

τητα στο τέλος του χρόνου t 5s= .

γ. Το διάστηµα που διανύει το σώµα µέχρι να σταµατήσει είναι:2 2

2 2 0τ 0

υ υυ υ 2αx x x 250m

−= − ⇒ = ⇒ =

6. Σώµα µάζας m 1kg= κινείται µε σταθε-

ρή ταχύτητα 0υ πάνω σε λείο οριζόντιο

επίπεδο. Ξαφνικά στο σώµα ασκείται

σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου

F 0,2N= , που µετά από 16s το ξαναφέρ-

νει στο σηµείο που βρισκόταν τη στιγ-

µή που άρχισε να ασκείται σε αυτό η

δύναµη F. Να βρείτε την αρχική ταχύ-

τητα 0υ του σώµατος.

taexeiola.blogspot.com

Page 34: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

42. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Λύση:

2FF m α α α 0,2m / s

m= ⋅ ⇒ = ⇒ =

Από το Α → Γ: ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε 0υ και τελ

υ 0= .

( )0τελ 0 1 0 1 1

υυ υ α t 0 υ α t t 1

α= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ =

και ( )

( )2 21

2 0 0 00 1 1 0

υ υ υ1 1s υ t α t s υ α s 2

2 α 2 α 2α

= ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⇒ = Από το Γ → Α: ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα.

Είναι: 2F m α α 0,2m / s= ⋅ ⇒ = και ( )22

1s α t 3

2= ⋅

Από τις (2) και (3)

220 02 2

υ υ1α t t

2α 2 α⇒ = ⋅ ⇒ =

Όµως 01

υt

α= οπότε: ολ

1 2t

t t 8s2

= = = και 2

0 1υ α t 0,2m / s 8s 1,6m / s= ⋅ = ⋅ =

7. Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται δύο µάζες µε 1m 1kg=και 2m 3kg= που ηρεµούν δεµένες στις άκρες ενός τεντωµένου σχοινιού

χωρίς µάζα µε µήκος 4m= . Τη χρονική στιγµή 0t 0= στη µάζα 1m α-

σκείται σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F 8N= . Αν τη χρονική στιγµή

1t 3s= το σχοινί σπάει, ενώ η δύναµη συνεχίζει να ασκείται στη µάζα 1m ,

να βρείτε την απόσταση µεταξύ των µαζών τη χρονική στιγµή 2t 5s= .

Λύση:

Μέχρι τα 3s οι µάζες κινούνται µαζί µε ολ1 2

FF m α α

m m= ⋅ ⇒ = ⇒

+28N

α 2m/s4kg

⇒ = = και ταχύτητα 1 2 1 1 2υ υ α t υ υ 6m / s= = ⋅ ⇒ = = .

taexeiola.blogspot.com

Page 35: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

43.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Μετά από 1t 3s= η 1m κινείται µε επιτάχυνση: 21

1

FF m α΄ α΄ 8m / s

m= ⋅ ⇒ = =

και η 2m συνεχίζει µε σταθερή ταχύτητα 2υ . Ισχύει: 2 1∆t t t ∆t 2s= − ⇒ = .

Οπότε έχουµε: 22 1 1 2

1d x x d υ ∆t α΄ ∆t υ ∆t d 20m

2 + = + ⇒ = + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ =

8. Ένα σώµα εκτοξεύεται από ταράτσα πολυκατοικίας ύψους 25m προς

τα πάνω µε 0υ 20m/ s= . Να βρείτε:

α. το χρόνο ανόδου και το µέγιστο ύψος από την ταράτσα

β. το χρόνο καθόδου και την ταχύτητα επιστροφής στο ύψος της ταράτσας

γ. την ταχύτητα στις χρονικές στιγµές 1t 1s= , 2t 3s= και 3t 5s= . Που

βρίσκεται τότε το σώµα;

∆ίνεται 2g 10m / s= .

Λύση:

α. 0 αν 0 αν 0 αν αν αν2

20m / sυ υ g t 0 υ g t υ g t t t 2s

10m / s= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

2 2 2 2max 0 αν αν

1 1h υ t g t 20m /s 2s 10m/s 2 s 20m

2 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

β. καθ αν

t t 2s= = άρα ολ αν καθ

t t t 4s= + =2

επιστρ 0 ολυ υ g t 20m/s 10m/s 4s 20m/s= − ⋅ = − ⋅ = −

γ. Για 1t 1s=2

1 0 αν 1υ υ g t 20m / s 10m / s 1s υ 10m / s= − ⋅ = − ⋅ ⇒ =

2 2 2 21 0 1 1 1

1 1y υ t y t 20m/ s 1s 10m/ s 1 s y 15m

2 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ =

Για 2t 3s=2

2 0 2 2υ υ g t 20m / s 10m / s 3s υ 10m / s= − ⋅ = − ⋅ ⇒ = − το σώµα κατέρχεται.

2 2 2 22 0 2 2 2

1 1y υ t y t 20m /s 3s 10m/s 3 s y 15m

2 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ =

Για 3t 5s=2

3 0 3 3υ υ g t 20m /s 10m / s 5s υ 30m / s= − ⋅ = − ⋅ ⇒ = − το σώµα κατέρχεται.

2 2 2 23 0 3 3 3

1 1y υ t y t 20m /s 5s 10m/s 5 s y 25m

2 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − το σώµα βρί-

σκεται 25m κάτω από το σηµείο που εκτοξεύθηκε (στο έδαφος) .

taexeiola.blogspot.com

Page 36: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

44. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

9. Αερόστατο ανέρχεται κατακόρυφα µε ταχύτητα

0υ 20m/ s= . Κάποια στιγµή που το αερόστα-

το βρίσκεται σε ύψος H 300m= αφήνεται από

αυτό ελεύθερα να πέσει ένα µικρό σώµα. Να

υπολογιστούν:

α. το µέγιστο ύψος του σώµατος από το έδαφος

β. µετά από πόσο χρόνο το σώµα φτάνει στο

έδαφος

γ. η θέση του αερόστατου όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος

δ. η ταχύτητα του σώµατος όταν χτυπήσει το έδαφος.

∆ίνεται: 2g 10m / s=

Λύση:

Το σώµα όταν το αφήσουµε ελεύθερο έχει την ταχύτητα του αερόστατου 0υ .

Εποµένως θα κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω και θα φτάσει σε ύψος h:

22 2 2 0

0 0υ

υ υ 2gh 0 υ 2gh h h 20m2g

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

ο χρόνος υπολογίζετε από 00 1 0 1 1 1

υυ υ gt 0 υ gt t t 2s

g= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

α. Άρα το µέγιστο ύψος του σώµατος από το έδαφος είναι:

oλH Η h 300m 20m 320m= + = + =

β. Ο χρόνος που το σώµα φτάνει στο έδαφος είναι: ( )ολ 1 2t t t 1= +

Από το ύψος Η h+ το σώµα πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα σε

χρόνο 2t , οπότε έχουµε:

( )2 2 2 22 2 2 2

2 H h1Η h gt t t 64s t 8s

2 g

++ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = . Άρα ολ

t 2s 8s 10s= + = .

γ. Το αερόστατο ανέρχεται µε σταθερή ταχύτητα, εποµένως σε χρόνο ολ

t αυτό

θα έχει ανέβει κατά 1 0 ολ 1h υ t 20m / s 10s h 200m= ⋅ = ⋅ ⇒ = .

Άρα η θέση του αερόστατου από το έδαφος όταν το σώµα φτάνει σε αυτό

είναι: αερ 1 αερH Η h 300m 200m H 500m= + = + ⇒ = .

δ. Η ταχύτητα του σώµατος στο έδαφος είναι:

22υ g t 10m / s 8s 80m / s= ⋅ = ⋅ = .

taexeiola.blogspot.com

Page 37: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

45.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

10. Από ύψος H 100= αφήνουµε ένα σώµα να πέσει ελεύθερο. Από το

έδαφος και στην ίδια κατακόρυφο εκτοξεύουµε ταυτόχρονα ένα άλλο

σώµα προς τα πάνω µε 0υ 50m/ s= . Να βρείτε που και πότε θα συνα-

ντηθούν; ∆ίνεται: 2g 10m / s= .

Λύση:

Έστω ότι θα συναντηθούν στο σηµείο Γ.

Για το πρώτο σώµα: 21

1h g t

2= ⋅

Για το δεύτερο σώµα: 22 0

1h υ t g t

2= ⋅ − ⋅

Όµως: 2 21 2 0

1 1H h h H gt υ t gt

2 2= + ⇒ = + − ⇒

00

H 100mH υ t t t 2s

υ 50m/s= ⇒ = = ⇒ =

Οπότε: 22 0 2

1h υ t g t h 80m

2= ⋅ − ⋅ ⇒ =

Θα συναντηθούν µετά από 2s σε ύψος 80m από το έδαφος.

taexeiola.blogspot.com

Page 38: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

46. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 Λύνουµε µόνοι µας

1. Σώµα µάζας m 1kg= κινείται µε 0υ 20m/ s= .

α. Στο σώµα ασκείται δύναµη F 10N= που έχει την ίδια κατεύθυνση

µε την 0υ . Ποια θα είναι η µετατόπιση και η ταχύτητα µετά από

χρόνο 2s.

β. Στο σώµα ασκείται δύναµη F 10N= που έχει την ίδια διεύθυνση

αλλά αντίθετη φορά µε την 0υ . Ποια είναι η µετατόπιση µέχρι να

σταµατήσει στιγµιαία το σώµα. Στην περίπτωση αυτή µετά από πόσο

χρόνο το σώµα θα έχει πάλι ταχύτητα 20m/s;

2. Αν την 0t 0= και 0x 0= το σώµα ήταν ακί-

νητο και η µάζα του είναι m 1kg= και η

δύναµη οριζόντια και µεταβάλλεται όπως

δείχνει το διάγραµµα, να βρείτε την ολική

µετατόπιση και να γίνουν τα διαγράµµατα

α-t, υ-t, x-t.

3. Σε σώµα µάζας m 100kg= , το οποίο κινείται πάνω σε ευθύγραµµη τρο-

χιά µε ταχύτητα 36Κm/h, ασκείται δύναµη F 200N= κατά τη διεύθυν-

ση της κίνησής του για χρόνο t 10s= . Να βρεθεί η ταχύτητά του στο

τέλος του δέκατου δευτερολέπτου.

α. Αν η φορά της δύναµης συµπίπτει µε τη φορά της κίνησής του.

β. Αν είναι αντίθετη από αυτή.

4. ∆ύο σώµατα της ίδιας µάζας βρίσκονται σε λείο και οριζόντιο επίπεδο

και συνδέονται µεταξύ τους µε νήµα που έχει όριο θραύσης θ

T 50Ν= .

Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιµή της οριζόντιας δύναµης F που πρέπει

να ασκηθεί στο ένα σώµα για να σπάσει το νήµα.

taexeiola.blogspot.com

Page 39: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

47.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

5. Η µηχανή τρένου έχει µάζα Mm 10tn= και τα βαγόνια του Bm 60tn= .

Το τρένο κινείται ευθύγραµµα µε επιτάχυνση 21α 1,5m / s= . Με ποια

επιτάχυνση 2α θα κινείται το τρένο, όταν αφαιρέσουµε από αυτό βαγό-

νια µάζας m 17,5tn= ; Η δύναµη της µηχανής παραµένει σταθερή.

6. ∆ύο σώµατα 1Σ και 2Σ µε µάζες 1m 30kg= και 2m 20kg= αντίστοιχα

είναι δεµένα µε νήµα µικρού µήκους και ηρεµούν σε οριζόντιο επίπε-

δο. Τα σώµατα σύρονται από οριζόντια δύναµη F 80N= που ασκείται

στη µάζα 2m ξεκινώντας από την ηρεµία. Αν µετά από χρόνο 1t 5s= το

νήµα κόβεται, να υπολογιστεί πόσο θα απέχουν τα δύο σώµατα σε χρό-

νο t 5s= µετά το κόψιµο του σχοινιού, αν η δύναµη F εξακολουθεί να

ασκείται στη µάζα 2m . Τριβές δεν υπάρχουν.

7. Σώµα βάλλεται από την κορυφή ψηλού πύργου µε ταχύτητα 0υ 30m/ s=κατακόρυφα προς τα πάνω.

α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η χρονική στιγµή που το σώµα φτά-

νει στο µισό του µέγιστου ύψους.

β. Ποια είναι η αποµάκρυνση του σώµατος τις χρονικές στιγµές 1t 2s= ,

2t 4s= , 3t 8s= .

γ. Ποια χρονική στιγµή το σώµα θα βρίσκεται σε απόσταση h 200m= −κάτω από το σηµείο βολής; 2g 10m / s= .

8. Από ύψος h 180m= αφήνουµε να πέσει µία πέτρα ενώ την ίδια χρονική

στιγµή από το ίδιο ύψος ρίχνουµε κατακόρυφα προς τα κάτω µια άλλη

µε 0υ 25m/ s= .

α. Να βρείτε τις ταχύτητες µε τις οποίες φτάνουν στο έδαφος.

β. Πόσο απέχουν όταν η µία από αυτές φτάνει στο έδαφος.

∆ίνεται 2g 10m / s= .

9. Από ένα αερόστατο, που ανεβαίνει κατακόρυφα µε σταθερή ταχύτητα

µέτρου 0υ 40m/ s= , ρίχνουµε προς τα κάτω βόµβα, η οποία, όταν φτά-

νει στο έδαφος, εκρήγνυται. Ο χρόνος που περνά από τη στιγµή που

ρίξαµε τη βόµβα µέχρι να ακουστεί η έκρηξη στο αερόστατο τη στιγµή

που ρίξαµε τη βόµβα. ∆ίνονται ήχουυ 340m/ s= , 2g 10m / s= και ότι η

αρχική ταχύτητα της βόµβας ως προς το έδαφος είναι µηδέν.

taexeiola.blogspot.com

Page 40: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

48. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α. Σώµα κίνειται ευθύγραµµα µε την επίδραση σταθερής συνισταµένης δύνα-

µης που έχει την κατεύθυνση της κίνησης. Ποια είναι η σωστή απάντηση;

α. Η µάζα του σώµατος αυξάνεται.

β. Η επιτάχυνση του σώµατος αυξάνεται.

γ. Ο ρυθµός µεταβολής της θέσης του σώµατος αυξάνεται.

δ. Η ταχύτητα παραµένει σταθερή.

Β. Μια µικρή σφαίρα κάνει ελεύθερη πτώση. Ποιο είναι το σωστό διάγραµµα

επιτάχυνσης - χρόνου.

Γ. Αν σ’ ένα σώµα η συνισταµένη δύναµη είναι µηδέν ΣF 0= .

α. Αποκτά σταθερή επιτάχυνση.

β. Η επιτάχυνση του αυξάνει.

γ. Η ταχύτητά του είναι σταθερή ή µηδέν.

δ. Η ταχύτητά του αυξάνει.

Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

ÂÞìá 5

taexeiola.blogspot.com

Page 41: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

49.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

∆. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της αριστερής µε αυτά της δεξιάς στήλης.

α. υ α

→ → 1. Η ταχύτητα µειώνεται

β. υα

← → 2. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

γ. α

υ 0= → 3. Το κινητό ξεκινά από την ηρεµία

δ. υ

α 0= → 4. Η ταχύτητα αυξάνεται.

5. Το σώµα ηρεµεί.

Ε. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες.

α. Αδράνεια είναι η δύναµη η οποία διατηρεί την κίνηση των σωµάτων. ( )

β. 21Ν 1kg m / s= . ( )

γ. Ένα σώµα σταµατά, όταν δεν ασκούνται πάνω δυνάµεις. ( )

δ. Η µάζα ενός σώµατος είναι σταθερή, ενώ το βάρος του αλλάζει από τόπο

σε τόπο. ( )

ε. Στην ελεύθερη πτώση η µετατόπιση που διανύει ένα σώµα είναι ανάλογη

του χρόνου πτώσης του. ( )

Θέµα 2ο

Α. ∆ιερευνήστε την ΣF m α= ⋅

αν:

α. ΣF 0=

β. ΣF σταθερή=

γ. ΣF µεταβλητή=

Β. Ένα σώµα που αρχικά ηρεµεί δέχεται την επί-

δραση συνισταµένης δύναµης όπως στο σχήµα.

Αν η µάζα του είναι m 2kg= τότε:

Ι. Γράψτε το είδος της κίνησης του σώµατος:

α. ο έως 2s:

β. 2s έως 4s:

γ. 4s έως 6s:

ΙΙ. Πόση είναι η επιτάχυνσή του τις χρονικές στιγµές:

1 1t 1,89s : α= =

2 2t 2,05s : α= =

3 3t 5s : α= =ΙΙΙ. Ποια είναι η µετατόπισή του την t 1s= :

α. 2m, β. 3m, γ. 5m, δ. 6m

taexeiola.blogspot.com

Page 42: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

50. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

Γ. ∆ώστε τις εξισώσεις και τα διαγράµµατα της επιτάχυνσης, της ταχύτητας

και της µετατόπισης σε συνάρτηση µε τον χρόνο, στην ελεύθερη πτώση.

Θέµα 3ο

Ένα σώµα είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο σώµα ασκούνται

δύο οριζόντιες αντίρροπες δυνάµεις 8Ν και 5Ν. Ύστερα από 3s η µετατόπιση

του σώµατος είναι 18m. Πόση είναι η µάζα του σώµατος;

Θέµα 4ο

Ένα σώµα που πέφτει ελεύθερα έχει σ’ένα σηµείο της τροχιάς του ταχύτητα

40m/s ενώ σ’ ένα χαµηλότερο σηµείο Β ταχύτητα 150m/s. Πόση είναι η από-

σταση ΑΒ. ∆ίνεται 2g 10m / s= .

taexeiola.blogspot.com

Page 43: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο δυναµική στο επί-

πεδο πρέπει:

Να γνωρίζει τον 2ο Νόµο του Νεύτωνα και τις εφαρµογές του.

Να γνωρίζει τον 3ο Νόµο του Νεύτωνα και τις εφαρµογές του.

Να γνωρίζει τα είδη δυνάµεων επαφής και απόστασης.

Να µπορεί να υπολογίσει την συνισταµένη δύο ή περισσότερων οµο-επίπεδων δυνάµεων.

Να µπορεί να αναλύσει οµοεπίπεδες δυνάµεις.

Να γνωρίζει την Αρχή της Ανεξαρτησίας των κινήσεων.

Να γνωρίζει τις έννοιες και τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής.

Να γνωρίζει ποια κίνηση λέγεται οµαλή κυκλική κίνηση και τις εξισώ-σεις της.

Να γνωρίζει τι λέγεται περίοδος και τι συχνότητα.

Να ξεχωρίζει την έννοια της γραµµικής από την γωνιακή ταχύτηταστην οµαλή κυκλική κίνηση και να γνωρίζει τη µεταξύ τους σχέση.

taexeiola.blogspot.com

Page 44: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

52. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Τυπολόγιο 3ου Κεφαλαίου

∆υναµική στο επίπεδο

Σύνθεση δύο οµοεπιπέδων δυνάµεων.

Μέτρου: 2 21 2 1 2F F F 2FF συνφ= + + Κατεύθυνσης: 2

1 2

F ηµφεφθ

F F συνφ=

+,

( )1θ F ,F=

Σύνθεση δύο καθέτων οµοεπιπέδων δυνάµεων.

Μέτρου: 2 21 2F F F= + Κατεύθυνσης: 2

1

Fεφθ

F= , ( )

1θ F ,F=

Σύνθεση πολλών οµοεπιπέδων δυνάµεων.

Μέτρου: 2 2

x yΣF ΣF ΣF= + Κατεύθυνσης: y

x

ΣFεφθ

ΣF= , ( )

xθ ΣF ,ΣF=

Ισορροπία οµοεπιπέδων δυνάµεων: xΣF 0= yΣF 0=

Τριβή ολίσθησης: T µ Ν= ⋅

Οριζόντια βολή

x yυ υ υ= +

Μέτρο: 2 2 20υ υ g t= +

Κατεύθυνση: εy

0

υεφθ

υ= , ( )

0θ υ ,υ=

xx΄ yy΄

xα 0= yα g=

x 0υ υ= yυ gt=

0x υ t= 21y gt

2=

2ος Ν. Νεύτωνα σε διανυσµατική και αλγεβρική µορφή

Οµαλή κυκλική κίνηση

ΣF m α

= ⋅ x xΣF m α= ⋅ y yΣF m α= ⋅

1 Nf

T t= = θ 2π υ

ω 2πft Τ R

= = = =

S 2πRυ 2πRf

t T= = =

2 22 2 2

κ 2

υ 4πα ω R R 4π f R

R Τ= = = =

2 22 2 2

κ κ 2

mυ 4πF mα mω R m R m 4π f R

R T= = = = ⋅ = ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 45: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

53. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

∆υναµική στο επίπεδο: Τύποι - Βασικές έννοιες

∆ιατυπώστε το νόµο δράσης - αντίδρασης του Νεύτωνα:

Όταν δύο σώµατα Α και Β αλληλεπιδρούν και το σώµα Α ασκεί µία δύναµη στο

σώµα Β, τότε και το σώµα Β ασκεί στο σώµα Α δύναµη ίσου µέτρου και αντίθε-

της κατεύθυνσης.

Σχηµατικά ισχύει:

α. Η µία από τις δύο δυνάµεις ονοµάζεται δράση και η άλλη αντίδραση

β. Σε κάθε δράση αναπτύσσεται πάντα µία αντίδραση. ∆ράση και αντίδραση

συνυπάρχουν. Έτσι οι δυνάµεις στη φύση εµφανίζονται πάντα ανά ζεύγη.

γ. ∆ράση και αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα.

∆ώστε παραδείγµατα δράσης αντίδρασης:

1. Βάρος σώµατος:

Β

: Η δύναµη που ασκεί η Γη στο σώµα

: Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη Γη.

Ισχύει: B B΄

= −Τα σώµατα κινούνται προς τη Γη και όχι η Γη προς τα σώ-

µατα λόγω της µικρής τους µάζας συγκριτικά µε τη µάζα

της Γης.

2. ∆ύναµη από το δάπεδο (κάθετη αντίδραση):

N

: ∆ύναµη από το δάπεδο στο σώµα

: ∆ύναµη από το σώµα στο δάπεδο

Ισχύει: N N΄= −

3. Τάση νήµατος:'

1F

: Η δύναµη που ασκεί ο άνθρωπος στο σχοινί

1F

: Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον άνθρωπο -

αντίδραση της 1F΄

2F ΄

: Η δύναµη που ασκεί ο κάβος στο σχοινί

2F

: Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον κάβο - αντίδραση της 2F ΄

Ισχύει: 1 1F F΄

= − και 2 2F F ΄

= −Επίσης για σχοινί χωρίς µάζα (αµελητέα) ισχύει για τα µέτρα τους: 1 2F F= . Έτσι

1 1 2 2F F΄ F F ΄= = = . Η βάρκα και ο άνθρωπος κινούνται προς την προκυµαία λόγω της 1F

.

taexeiola.blogspot.com

Page 46: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

54. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Τι γνωρίζουµε για τις δυνάµεις επαφής;

∆υνάµεις επαφής είναι µεταξύ άλλων και οι παρακάτω:

α. Τριβή, β. Τάση νήµατος,

γ. ∆ύναµη ελατηρίου, δ. Άνωση,

ε. Αντίσταση αέρα, στ. Κάθετη δύναµη στήριξης

Τι γνωρίζουµε για τις δυνάµεις από απόσταση;

Οι δυνάµεις από απόσταση αναπτύσσονται:

α. Ανάµεσα σε µαγνήτες β. Ανάµεσα σε ηλεκτρικά φορτία και

γ. Μεταξύ µαζών.

Πως συνθέτουµε δύο οµοεπίπεδες δυνάµεις µε κάθετες διευθύνσεις;

Ισχύει: 1 2F F F

= +

Μέτρο της F : 2 2

1 2F F F= +

Κατεύθυνση της 2

1

FF: εφφ

F

= όπου φ η γωνία που σχηµα-

τίζει η συνισταµένη F

µε την 1F

ή 1

2

Fεφθ

F= .

Η επιλογή της φ ή της θ είναι αυθαίρετη.

Πως συνθέτουµε δύο οµοεπίπεδες δυνάµεις, που οι διευθύνσεις τους σχη-

µατίζουν γωνία φ µεταξύ τους;

Ισχύει: 1 2F F F

= +

Για το µέτρο της 2 2

1 2 1 2F : F F F 2FF συνφ

= + +

Για την κατεύθυνση της 2

1 2

F ηµφF: εφθ

F F συνφ

=+

όπου θ η γω-

νία που σχηµατίζει η F µε την F1.

Πως αναλύουµε δυνάµεις σε δύο συνιστώσες;

Συνήθως η ανάλυση γίνεται σε δύο κάθετες συνιστώσες:

xx

Fσυνθ F Fσυνθ

F= ⇒ =

yy

Fηµθ F Fηµθ

F= ⇒ =

Η γωνία θ θεωρείται γνωστή.

taexeiola.blogspot.com

Page 47: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

55. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

Πως συνθέτουµε περισσότερες από δύο δυνάµεις;

Για να βρούµε τη συνισταµένη περισσοτέρων των δύο δυνάµεων ακολουθούµε τα

παρακάτω βήµατα.

α. Επιλέγουµε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων µε αρχή το

σηµείο εφαρµογής των δυνάµεων. Η επιλογή του συστή-

µατος είναι αυθαίρετη έτσι ώστε να χρειάζονται όσο το

δυνατόν λιγότερες αναλύσεις.

β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους άξονες

σε συνιστώσες: 1x 1F Fσυνθ= , 1y 1F Fηµθ= ,

2x 2F F συνφ= , 2y 2F F ηµφ=

γ. Υπολογίζουµε τη συνισταµένη ( )x yΣF κ ' ΣF

σε κάθε άξονα προσθέτοντας αλ-

γεβρικά τις συνιστώσες (ή τις δυνάµεις) που βρίσκονται πάνω σε κάθε άξονα

ξεχωριστά: 2xx 1xΣF F F= − , y 2y1y 3ΣF F F F= + −

δ. Οι δυνάµεις xΣF

και yΣF

είναι κάθετες µεταξύ τους.

Έτσι για τη συνισταµένη ισχύει:

Για το µέτρο 2 2

yΣF ΣF ΣF= +

Για την κατεύθυνση y

x

ΣFεφω

ΣF=

Πότε ένα υλικό σηµείο ισορροπεί;

Ένα σώµα που το θεωρούµε υλικό σηµείο ισορροπεί όταν η συνισταµένη των

δυνάµεων που ασκούνται σ’ αυτό είναι µηδέν.

Αν ΣF 0=

ή 1 2 νF F ...F 0

+ + = τότε: υ 0=

ή υ =

σταθερό και αντιστρόφως.

Πότε ισορροπούν δύο δυνάµεις;

1 2 1 2ΣF 0 F F 0 F F= ⇒ + = ⇒ = −

Για τα µέτρα των δυνάµεων ισχύει

1 2 1 2ΣF 0 F F 0 F F= ⇒ − = ⇒ =

Πότε ισορροπούν τρεις οµοεπιπέδες δυνάµεις;

Όταν υλικό σηµείο ισορροπεί υπό την επίδραση τριών οµο-

επιπέδων δυνάµεων η συνισταµένη των δύο από αυτές θα

πρέπει να είναι αντίθετη της τρίτης.

1 2 3ΣF 0 F F F 0= ⇒ + + = ⇒

1 2 3 12 3F F F F F+ = − ⇒ = −

taexeiola.blogspot.com

Page 48: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

56. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Ποια είναι η αναλυτική µέθοδος για ισορροπία τριών ή περισσοτέρων οµο-

επιπέδων δυνάµεων;

α. Επιλέγουµε αυθαίρετα κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα ΧΟΥ αξόνων. Η επιλο-

γή γίνεται έτσι ώστε να χρειάζονται όσο το δυνατόν λιγότερες αναλύσεις δυ-

νάµεων.

β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους άξονες.

γ. Εφαρµόζουµε συνθήκη ισορροπίας σε κάθε άξονα.

x 1x 2xΣF 0 F F ... 0= ⇒ + + = (1)

y 1y 2yΣF 0 F F ... 0= ⇒ + + = (2)

δ. Οι σχέσεις (1), (2) είναι ικανές και αναγκαίες ώστε ένα σώµα να ισορροπεί.

∆ηλαδή: x

y

ΣF 0υ 0 ή υ σταθ.

ΣF 0

= ⇒ = ==

και όταν υ 0 = η υ

= σταθερό τότε: xΣF 0=

yΣF 0=

∆ώστε τον ορισµό της στατικής τριβής. Από τι εξαρτάται;

Είναι η δύναµη που αναπτύσσεται από ένα σώµα Α σε

ένα σώµα Β όταν λόγω της επίδρασης εξωτερικής δύ-

ναµης F

στο Β αυτό τείνει να κινηθεί ως προς το Α

χωρίς να το καταφέρνει. Στο σώµα Α ασκείται φυσικά

από το Β η αντίδραση της παραπάνω δύναµης.

Για το µέτρο της µέγιστης στατικής τριβής ισχύει:

σmax σT µ Ν= όπου

σµ ο συντελεστής οριακής στατικής

τριβής που εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή και

Ν

η κάθετη αντίδραση.

Γενικά για τη στατική τριβή ισχύει: σ σmax σ

0 Τ T µ Ν≤ ≤ =

Συνοπτικά για τη στατική τριβή ισχύει ότι:

α. Είναι ανεξάρτητη από το εµβαδόν της επιφάνειας συνεπαφής.

β. Έχει µεταβλητό µέτρο. Ελάχιστη τιµή µηδέν και µέγιστη σmax σ

T µ Ν= .

γ. Εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή.

δ. Η µέγιστη τιµή της που λέγεται και οριακή στατική τριβή εξαρτάται από τη

δύναµη Ν

που δρα κάθετα από τη µια επιφάνεια στην άλλη και τον συντελε-

στή οριακής στατικής τριβής.

taexeiola.blogspot.com

Page 49: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

57. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

∆ώστε τον ορισµό της τριβής ολίσθησης. Από τί εξαρτάται; Τι γνωρίζετε για

τον συντελεστή τριβής ολίσθησης;

Είναι µια δύναµη που αναπτύσσεται ανάµεσα σε δύο

σώµατα που βρίσκονται σε επαφή και το ένα ολισθαίνει

ως προς το άλλο.

Έχει πάντοτε φορά αντίθετη από την ταχύτητα του σώ-

µατος (ως προς το σώµα που ασκεί την τριβή). Το µέτρο

της είναι σταθερό και ίσο µε Τ µ N= ⋅ όπου µ ο συντε-

λεστής τριβής ολίσθησης που είναι καθαρός αριθµός. Η διεύθυνσή της είναι πα-

ράλληλη µε την διαχωριστική επιφάνεια των δύο σωµάτων.

Συνοπτικά για την τριβή ολίσθησης.

α. Το µέτρο της είναι σταθερό και ανεξάρτητο της ταχύτητας µε την οποία κινεί-

ται το ένα σώµα ως προς το άλλο (για µικρές ταχύτητες).

β. Το µέτρο της ανεξάρτητο από το εµβαδό συνεπαφής (για µικρές ταχύτητες).

γ. Το µέτρο της εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή.

δ. Το µέτρο της εξαρτάται από το µέτρο της κάθετης δύναµης στήριξης (κάθετη

αντίδραση).

Ποιες είναι οι δυνατές περιπτώσεις εφαρµογής του 2ου Νόµου του Νεύτωνα;

Με τον όρο ισορροπεί εννοούµε ότι υ 0

= (ηρεµεί) η υ = σταθ (ευθ. οµαλή)

Σχέση ∆υνάµεων Είδος Κίνησης στον Είδος Κίνησης στον

άξονα xx΄ άξονα yy΄

xΣF 0= και yΣF 0= xα 0= Ισορροπεί yα 0= Ισορροπεί

xΣF 0≠ και yΣF 0= x

x

ΣFα

m= yα 0= Ισορροπεί

Επιταχύνεται

xΣF 0= και yΣF 0≠ xα 0= Ισορροπεί y

y

ΣFα

m=

Επιταχύνεται

xΣF 0≠ και yΣF 0≠ x

x

ΣFα

m=

yy

ΣFα

m=

Επιταχύνεται Επιταχύνεται

taexeiola.blogspot.com

Page 50: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

58. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Τι γνωρίζετε για τον 2ο Νόµο του Νεύτωνα σε ∆ιανυσµατική και σε Αλγε-

βρική µορφή;

Από το 2ο Νόµο του Νεύτωνα γνωρίζουµε ότι για ένα σώµα στο οποίο ασκούνται

πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις ισχύει ότι:

x x

y y

ΣF mαΣF mα

ΣF mα

== ⇔ =

Γνωρίζουµε επίσης ότι εάν είναι γνωστές οι συνιστώσες για τα µέτρα τους ισχύει:

2 2x yΣF ΣF ΣF= + και 2 2

x yα α α= +

Τι γνωρίζουµε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων;

Η αρχή διατυπώνεται ως εξής:

“Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε µία

από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην

οποία φτάνει το κινητό µετά από χρόνο t, είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτε-

λούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε µία”.

Για τον υπολογισµό της ταχύτητας και της µετατόπισης σε κάποιο χρόνο t, γρά-

φουµε το διανυσµατικο άθροισµα των ταχυτήτων και µετατοπίσεων αντίστοιχα,

που θα είχε το κινητό αν εκτελούσε κάθε µία κίνηση ανεξάρτητα και επί χρόνο t.

1 2υ υ υ = + και 1 2x x x

= +Όταν ρίχνουµε ένα σώµα από ύψος h οριζόντια µε ταχύτητα

υ0 και αγνοούµε την αντίσταση του αέρα, τότε η κίνηση που

µελετάµε ονοµάζεται οριζόντια βολή. Είναι µια σύνθετη

κίνηση και αποτελείται από δύο απλές κινήσεις µια κατακό-

ρυφη, που είναι ελεύθερη πτώση (λόγω βαρύτητας), και µια

οριζόντια, που είναι ευθύγραµµη οµαλή (επειδή δεν ασκεί-

ται δύναµη στην οριζόντια διεύθυνση).

Ποιες είναι οι εξισώσεις κίνησης στην οριζόντια βολή;

οριζόντιος άξονας xx΄: xα 0= , x 0υ υ= , 0x υ t= ⋅

κατακόρυφος άξονας yy΄: yα g= , yυ g t= ⋅ , 21

y g t2

= ⋅

Ποιες είναι οι εξισώσεις τροχιάς - χρόνου - βελινεκούς - ταχύτητας, στην

οριζόντια βολή;

Η εξίσωση της τροχιάς: 2

20

gy x

2υ=

taexeiola.blogspot.com

Page 51: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

59. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

Επειδή είναι εξίσωση της µορφής 2y xκ= ⋅ , η οποία είναι

εξίσωση παραβολής, γι’ αυτό και η τροχιά του σώµατος στην

οριζόντια βολή είναι παραβολή.

Η εξίσωση του χρόνου: 2h

tg

=

Η εξίσωση του βελινεκούς: max 0

2hx = υ

gΗ εξίσωση της ταχύτητας:

Εξίσωση της ταχύτητας για οποιαδήποτε χρονική στιγµή: 2 2

x yυ υ υ= +

Ταχύτητα που θα έχει το σώµα, όταν θα φτάσει στο έδαφος: 2 2 20υ υ g t= +

Η κατεύθυνση ορίζεται: y

x

υεφω

υ=

Ποιος είναι ο ορισµός της οµαλής κυκλικής κίνησης;

Την κίνηση ενός σώµατος κατά την οποία η τροχιά του είναι περιφέρεια κύκλου

και το µέτρο της ταχύτητάς του είναι σταθερό την ονοµάζουµε οµαλή κυκλική.

Τι γνωρίζουµε για την επιτάχυνση στην οµαλή κυκλική κίνηση;

Η κυκλική κίνηση είναι µια καµπυλόγραµµη κίνηση και η επιτάχυνση α

έχει

δύο συνιστώσεις:

Μια εφαπτόµενη στην τροχιά, την επιτρόχια εα

(που δηµιουργεί την µεταβολή

στο µέτρο της ταχύτητας).

Μια κάθετη στην ταχύτητα, στη διεύθυνση της ακτίνας µε φορά προς το κέ-

ντρο της κίνησης, την κεντροµόλο κ

α

(που δηµιουργεί την µεταβολή στην

διεύθυνση της ταχύτητας).

Στην οµαλή κυκλική κίνηση:

Η επιτρόχια επιτάχυνση είναι: ε

α 0= διότι το µέτρο της

ταχύτητα µένει σταθερό.

Η κεντροµόλος επιτάχυνσης είναι: 2

κ

υα

R= , (1m/s2)

όπου R: ακτίνα τροχιάς

κάθετη στην ταχύτητα υ

ίδια διεύθυνση µε την ακτίνα της τροχιάς

φορά προς το κέντρο της τροχιάς

Τι ονοµάζουµε περίοδο στην οµαλή κυκλική κίνηση;

Περίοδος Τ ονοµάζεται ο χρόνος που χρειάζεται ένα κινητό να εκτελέσει µια

περιστροφή. Μονάδες S.I. 1s

taexeiola.blogspot.com

Page 52: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

60. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

∆ώστε τον ορισµό της συχνότητας στην οµαλή κυκλική κίνηση:

Συχνότητα f ονοµάζεται το πηλίκο του αριθµού των περιστροφών Ν που εκτελεί

σε κάποιο χρόνο το κινητό, προς το χρόνο αυτό:N

ft

= , Μονάδες S.I. 1Ηz = 1s–1.

Tι γνωρίζουµε για την κεντροµόλο δύναµη;

Η δύναµη αυτή είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας του σώµατος έχει κατεύθυν-

ση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και γι’ αυτό λέγεται κεντροµόλος δύναµη.

∆εν είναι µία ακόµα δύναµη που ενεργεί στο σώµα, είναι η συνισταµένη όλων

των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα κατά τη διεύθυνση της ακτίνας της κυ-

κλικής τροχιάς, µε φορά προς το κέντρο του κύκλου.

Η βασική προϋπόθεση για να µπορέσει ένα σώµα να εκτελέσει κυκλική κί-

νηση είναι να υπάρχει κεντροµόλος δύναµη Fκ.

Τα χαρακτηριστικά της Fκ είναι:

Μέτρο: κ κ

F m α= ⋅ ή 2

κ

mυF

R= ή

2

R

mυΣF

R= Μονάδα S.I. 1N

∆ιεύθυνση: ίδια µε της ακτίνας του κύκλου (κάθετη στη ταχύτητα υ)

Φορά: προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς

Ορισµός της γραµµικής ταχύτητας (υ) στην οµαλή κυκλική κίνηση:

Στην οµαλή κυκλική κίνηση η ταχύτητα περιστροφής ή γραµ-

µική ταχύτητα ενός κινητού είναι το φυσικό µέγεθος που

έχει µέτρο ίσο µε το πηλίκο του µήκους τόξου S που διανύει

το κινητό σε κάποιο χρόνο t, προς τον χρόνο αυτό.

Άρα: S

υt

= Μονάδα S.I. 1m/s

Η διεύθυνση είναι κάθετη στην ακτίνα της τροχιάς, ενώ η κατεύθυνση της µετα-

βάλλεται συνεχώς, επειδή είναι εφαπτόµενη της τροχιάς.

Ορισµός της γωνιακής ταχύτητας (ω):

Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω

εκφράζει τη µετα-

βολή της επίκεντρης γωνίας ∆θ που διαγράφει η επιβατι-

κή ακτίνα επάνω στην περιφέρεια του κύκλου, προς τον

απαιτούµενο χρόνο ∆t: ∆θ

ω∆t

=2π

ωΤ

= = 2πf, Mονάδα S.I. 1rad/s

Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς.

Η φορά καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

taexeiola.blogspot.com

Page 53: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

61. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

Μεθοδολογία ασκήσεων 3ου Κεφαλαίου

1. Σε σύστηµα σωµάτων εφαρµόζουµε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα ξε-

χωριστά για κάθε σώµα του συστήµατος λαµβάνοντας υπόψη µόνο τις

δυνάµεις που ασκούνται σ’ αυτό (σώµα). Παράδειγµα:

Ισχύει T T΄=Σώµα Α: 1 1Β Τ m α− = (1)

Σώµα Γ: 2 2T΄ m α T m α= ⇒ = (2)

Με πρόσθεση των (1) κ’ (2) κατά µέλη:

11 1 2

1 2

m gΒ (m m )α α

m m= + ⇒ =

+Το σχοινί και η τροχαλία θεωρούνται αβαρή και δεν υπάρχουν τριβές µεταξύ

των σωµάτων

2. Ένδειξη ζυγαριάς.

Η ζυγαριά µετράει τη δύναµη που ασκεί σ’ αυτήν το σώµα που είναι

τοποθετηµένο πάνω της. Η δύναµη αυτή δεν ισούται πάντα µε το βάρος

του σώµατος.

B:

Η δύναµη που ασκεί η γη στο σώµα

Ν :

Η δύναµη που ασκεί η ζυγαριά στο σώµα.

Ν΄:

Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη ζυγαριά

Ισχύει: Ν Ν΄:= −

Η ζυγαριά µετράει τη δύναµη Ν΄

3. Για τη σύνθεση δυνάµεων που σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ απα-

ραίτητες είναι οι γνώσεις των τιµών των παρακάτω τριγωνοµετρικών

αριθµών:

θ ηµθ συνθ εφθ

ο0 0 1 0

o30 1/ 2 3 / 2 3 /3

o45 2 / 2 2 / 2 1

o60 3 / 2 1/ 2 3

o90 1 0 −

Επίσης για γωνίες µεγαλύτερη των 90ο χρησιµοποιούµε τους τύπους:

( )ηµ 180 θ ηµθ− = και ( )συν 180 θ συνθ− = −

taexeiola.blogspot.com

Page 54: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

62. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Μεθοδολογία ασκήσεων στην ισορροπία υλικού σηµείου

α. Για την περίπτωση ισορροπίας υλικού σηµείου µε την επίδραση τριών

οµοεπιπέδων δυνάµεων

Εφαρµογή

Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί µε την επίδραση ορι-

ζόντιας δύναµης

F . Το σώµα είναι δεµένο στο άκρο

σχοινιού το άλλο άκρο του οποίου είναι στερωµένο σε

οροφή. Να βρεθεί η τάση του σχοινιού και το βάρος του

σώµατος. ∆ίνονται µάζα σώµατος m και γωνία φ.

1ος τρόπος

Επιλέγουµε κατάλληλους ορθογώνιους αξονες x΄x και

y΄y και αναλύουµε την τάση του σχοινιού σ’ αυτούς.

xΤ T ηµφ= ⋅

yΤ Τ συνφ= ⋅

Επειδή το σώµα ισορροπεί θα ισχύουν οι σχέσεις:

x xF

ΣF 0 F T 0 F Tηµφ Tηµφ

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = (1)

y yΣF 0 T B 0 B Tσυνφ= ⇒ − = ⇒ = (2)

Η (2) λόγω της (1): F F

B συνφ Bηµφ εφφ

= ⋅ ⇒ =

2ος τρόπος

Επειδή το σώµα ισορροπεί η συνισταµένη F

και B

θα είναι αντίθετη της τάσης T

.

ΣF 0 F B T 0 F B T Σ T= ⇒ + + = ⇒ + = − ⇒ = −

Αλγεβρικά ΣF 0 Σ Τ 0 Σ Τ= ⇒ − = ⇒ = (3)

Από το σχήµα: F F

εφφ BB εφφ

= ⇒ =

( )3F F Fηµφ Σ T

Σ ηµφ ηµφ= ⇒ = ⇒ =

Παρατήρηση: Ο δεύτερος τρόπος συνήθως οδηγεί σε πιο γρήγορη λύση. Επειδή

όµως χρησιµοποιείται µόνο για ισορροπία τριών δυνάµεων η ανάλυση σε άξονες

είναι προτιµότερη.

taexeiola.blogspot.com

Page 55: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

63. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

β. Ισορροπία σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο (λείο)

Εφαρµογή

Το σώµα του σχήµατος έχει βάρος =Β 100Ν και ι-

σορροπεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την επίδραση

δύναµης

F παράλληλης στο κεκλιµένο επίπεδο. Αν

= ο

φ 30 να υπολογιστεί η

F και η δύναµη Ν

από το

δάπεδο στο σώµα.

Αναλύουµε το βάρος του σώµατος σε ορθογώνιους

άξονες τον xx΄ παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο και

τον yy΄ κάθετο σ’ αυτό.

Έτσι yΒ Βσυνφ=

xΒ Βηµφ=Από τις συνθήκες ισορροπίας του σώµατος παίρνουµε:

x xΣF 0 F B 0 F Bηµφ 50Ν= ⇒ − = ⇒ = =

y yΣF 0 Ν Β 0 N Bσυνφ 50 3N= ⇒ − = ⇒ = =

γ. Όταν σε ένα υλικό σηµείο ασκείται ένας αριθµός δυνάµεων και το σώµα

δεν ισορροπεί τότε για να ισορροπήσει πρέπει να ασκήσουµε δύναµη F

που υπολογίζεται ως εξής:

i. Αναλύουµε τις ήδη υπάρχουσες δυνάµεις σε κατάλληλο ορθωγόνιο σύστηµα

αξόνων ΧΟΥ

ii. Σχεδιάζουµε την άγνωστη δύναµη F

µε κατεύθυνση τέτοια ώστε οι δύο

συνιστώσες της στους άξονες να έχουν θετική αλγεβρική τιµή. (εκτός αν η

κατεύθυνσή της είναι προφανής).

iii. Εφαρµόζουµε τις συνθήκες ισορροπίας για το σώµα xΣF 0=

και yΣF 0

=

από τις οποίες υπολογίζουµε τις συνιστώσες xF

και yF

της δύναµης F

.

iv. Για το µέτρο της F

θα έχουµε: 2 2x yF F F= + και για την κατεύθυνση της

y xεφθ F / F= (θ η γωνία µε τον άξονα x΄x).

taexeiola.blogspot.com

Page 56: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

64. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

Μεθοδολογία ασκήσεων στον 2ο Νόµο Νεύτωνα στο επίπεδο

1. Όταν σώµα κινείται υπό την επίδραση δύο δυνάµεων που δεν είναι αντί-

θετες τότε υπολογίζουµε την συνισταµένη των δυνάµεων.

Μέτρο: 2 2

1 2 1 2ΣF F F 2F F συνφ= + +

Κατεύθυνση: 1

2 1

Fηµφεφθ

F Fσυνφ=

+

και ΣF

ΣF mα αm

= ⇒ =

2. Μεθοδολογία κίνησης σε µη λείο οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση ή

όχι δύναµης F

α. Χωρίς την επίδραση δύναµης F

.

Στον άξονα yy΄ το σώµα ισορροπεί:

yΣF 0 N B N mg⇒= ⇒ = = (1)

Στον άξονα xx΄ το σώµα θα εκτελέσει κίνηση ευθύ-

γραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη λόγω της τριβής. Για

το µέτρο της επιβράδυνσης ισχύει:

xΣF mα T mα µN mα= ⇒ = ⇒ = και λόγω της (1)

µmg mα α µg= ⇒ = .

β. Με την επίδραση οριζόντιας δύναµης F

.

Άξονας yy΄: yΣF 0 N B N mg= ⇒ = ⇒ = (1)

Άξονας xx΄:( )

xΣF mα F Τ mα F µΝ mα

1= ⇒ − = ⇒ − = ⇒

F µmg mα− =από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση α

της κίνη-

σης.

Αν F Τ> η κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη

Αν F T= η κίνηση ευθύγραµµη οµαλή

Αν F T< η κίνηση οµαλά επιβραδυνόµενη.

(Αν το επίπεδο είναι λείο η T 0= )

taexeiola.blogspot.com

Page 57: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

65. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆υναµική στο επίπεδο

γ. Με την επίδραση δύναµης F

που σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο

επίπεδο προς τα πάνω.

Για τον άξονα yy΄ ισχύει:

y yΣF 0 F N B N mg Fηµφ= ⇒ + = ⇒ = − (1) (πάντο-

τε από την σχέση ισορροπίας του άξονα yy΄ υπολογί-

ζουµε την κάθετη αντίδραση Ν

).

Για τον άξονα xx΄:

xxΣF mα F T mα Fσυνφ µN mα= ⇒ − = ⇒ − = και λόγω της (1)

Fσυνφ µ(mg Fηµφ) mα− − = από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση της κί-

νησης (ή την επιβράδυνση). (Αν το επίπεδο είναι λείο η T 0= )

3. Κίνηση σε µη λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την επίδραση της δύναµης F

παράλληλης µε το κεκλιµένο επίπεδο.

α. Κίνηση προς τα πάνω

Άξονας yy΄: yyΣF 0 N B 0= ⇒ − = ⇒

yN B N mgσυνφ= ⇒ = (1)

Άξονας xx΄: ( )1

xxΣF mα F T B mα= ⇒ − − = ⇒

F µmgσυνφ mgηµφ mα− − =

Η αλγεβρική τιµή της α

εξαρτάται από το µέτρο των δυνάµεων F

, xΒ

, T

. Αν

F 0= τότε

mα µmgσυνφ mgηµφ α µgσυνφ gηµφ= + ⇒ = + (µέτρο της επιβράδυνσης).

(Αν το επίπεδο είναι λείο η T 0= )

β. Κίνηση προς τα κάτω ( )F υ

↑↑

Άξονας yy΄: yyΣF 0 N B N mgσυν= ⇒ = ⇒ = (1)

Άξονας xx΄: F( )1

xF B T mα+ − = ⇒

F mgηµφ µmgσυν mα+ − = (2)

Η δύναµη F

µπορεί να είναι αντίρροπη της ταχύτη-

τας. (Αν το επίπεδο είναι λείο η T 0= )

taexeiola.blogspot.com

Page 58: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

66. ∆υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΝ∆ΕΙΞΗΣ ΖΥΓΑΡΙΑΣ ΓΙΑ

ΣΩΜΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΜΕΣΑ ΣΕ ΑΣΑΝΣΕΡ

α. Ασανσέρ ακίνητο ή ασανσέρ που κινείται µε σταθερή

ταχύτητα.

Ισχύει ΣF 0 N B 0 N B= ⇒ − = ⇒ = .

Η ζυγαριά θα δείχνει το βάρος του σώµατος.

β. Ασανσέρ που ανεβαίνει µε επιτάχυνση α

(ή κατεβαίνει µε επιβράδυν-

ση α

).

Ισχύει: ΣF mα= ⇒ Ν Β mα N mg mα− = ⇒ − =

Ν mg mα⇒ = +Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι µεγαλύτερη από το βάρος του

σώµατος.

γ. Ασανσέρ που κατεβαίνει µε επιτάχυνση α

(ή ανεβαίνει µε επιβράδυν-

ση α

).

Ισχύει: ΣF mα= ⇒ B N mα− = ⇒ N mg mα m(g α)= − = −Η ένδειξη της ζυγαριάς µικρότερη από το βάρος του σώµα-

τος.

Αν α g=

τότε N 0= . Το σώµα θα εκτελεί ελεύθερη πτώ-

ση, µε την επίδραση µόνο του βάρους του

taexeiola.blogspot.com

Page 59: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

67. Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

Ποια είναι η εξίσωση τροχιάς σώµατος που κάνει οριζόντια βολή;

Η εξίσωση της τροχιάς σε µια βολή είναι µια σχέση

µεταξύ των συντεταγµένων θέσης x και y, η οποία δεν

περιλαµβάνει το χρόνο, και µας δίνει το είδος της τρο-

χιάς του σώµατος. Έτσι έχουµε:

00

2 2

20

xtx υ t

υ1

y g t 1 xy g2

2 υ

== ⋅ ⇒

= ⋅ =

ή 22

0

gy x

2υ=

Με τι ισούται ο χρόνος που χρειάζεται το σώµα να φτάσει στο έδαφος, στην

οριζόντια βολή;

21y g t

2= ⋅ ή 2 2 21 2h

h gt 2h gt t2 g

= ⇒ = ⇒ = ⇒ 2h

tg

=

Με τί ισούται το βεληνεκές στην οριζόντια βολή (µέγιστη οριζόντια µετατόπιση);

max 0x υ t= ⋅ ⇒ max 0

2hx = υ

g

Να υπολογιστεί η ταχύτητα µε την οποία θα φτάσει το σώµα στο έδαφος,

στην οριζόντια βολή:

x 0

y

υ υ

υ g t

= = ⋅

η συνισταµένη των δύο ταχυτήτων είναι η ταχύτητα υ που έχει το σώµα

στο έδαφος, δηλαδή έχει µέτρο: 2 2

x yυ υ υ= + ⇒ 2 2 20υ υ g t= +

κατεύθυνση: y

x

υεφω

υ=

taexeiola.blogspot.com

Page 60: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

68. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Απόδειξη 2

Από τι εξαρτάται η γωνία κλίσης του δρόµου, για την ασφαλή διέλευση οχή-

µατος σε στροφή (σχέση γωνίας οδοστρώµατος µε τη γραµµική ταχύτητα);

Όταν ένα αυτοκίνητο κινείται πάνω σε κεκλιµένο ως προς

το οριζόντιο επίπεδο δρόµο, η απαραίτητη κεντροµόλος

δύναµη για την ασφαλή διέλευση του οχήµατος εξαρτά-

ται από την κλίση του δρόµου. Αν θεωρήσουµε αµελητέα

την τριβή, στο όχηµα ασκούνται δύο δυνάµεις:

το βάρος του B

και η κάθετη δύναµη Α

από το οδό-

στρωµα.

Tο ρόλο της κεντροµόλου δύναµης ασκεί η συνιστώσα xA

2 22

x

y

mυ mυA A ηµφ υ

εφφR RR g

Α B Aσυνφ mg

÷

= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅= ⇒ = Φαίνεται ότι για ορισµένη κλίση του οδοστρώµατος η διέλευση είναι ασφαλής

µόνο για ορισµένη τιµή της ταχύτητας.

Απόδειξη 3

Να αποδείξετε ότι το µέτρο της γραµµικής ταχύτη-

τας στην οµαλή κυκλική κίνηση ισούται µε:2πR

υ =T

Εάν ο χρόνος t είναι ο χρόνος µιας περιόδου Τ, τότε το

µήκος του τόξου που διανύει το κινητό είναι ίσο µε την

περίµετρο του κύκλου S = 2πR.

Oπότε, o τύπος S

υt

= γίνεται: 2πR

υT

=

Να αποδείξετε ότι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην οµαλή κυκλική

κίνηση ισούται µε:2π

ω =Τ

ή ω = 2πf

Σε χρόνο µιας περιόδου Τ η επιβατική ακτίνα θα έχει διαγράψει γωνία 2π rad, έτσι:

2πω

Τ= µονάδα µέτρησης: rad / s

Επειδή 1

fT

= ισχύει και ω 2πf=

taexeiola.blogspot.com

Page 61: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

69. Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Να αποδειχθεί η σχέση µεταξύ συχνότητας f και περιόδου Τ:

Αν t = T τότε Ν = 1 κύκλο, άρα ο τύπος N

ft

= παίρνει τη µορφή 1

fT

=

Να αποδειχθεί η σχέση γραµµικής ταχύτητας υ και γωνιακής ταχύτητας ω

του κινητού:

2πRυ

Tυ ω R

2πω

Τ

= ⇒ = ⋅=

Όλα τα σηµεία ενός περιστρεφόµενου δίσκου ενώ έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα

ω

, έχουν γραµµικές ταχύτητες η τιµή των οποίων είναι ανάλογη µε την απόσταση

τους από τον άξονα (κέντρο) περιστροφής.

Να αποδειχθεί η σχέση γραµµικής ταχύτητας υ και συχνότητας περιστροφής

f του κινητού:

Από τη σχέση: 2πR 1

υ 2πRT Τ

= = ⇒ υ 2πRf=

Να αποδειχθεί η σχέση που συνδέει το κέντρο της κεντροµόλου επιτάχυνσης

κα

και της γωνιακής ταχύτητας.

Από τη σχέση: ( )22 2 2

κ

ωRυ ω Rα

R R R= = = ⇒ 2

κα ω R=

Να αποδειχθεί η σχέση που συνδέει την κεντροµόλο δύναµη και τη συχνότη-

τα περιστροφής f:

Από τη σχέση: ( )2 2 2 2

2

κ

mυ m m 4π R fF 2πRf

R R R

⋅= = = ⇒ 2 2κ

F 4mπ Rf=

Απόδειξη 4

Να αποδειχθεί για τη γωνία τριβής φ ισχύει σ

εφφ µ=Είναι η ελάχιστη γωνία κεκλιµένου επιπέδου για την οποία

ένα σώµα είναι έτοιµο να ολισθήσει µε την επίδραση του

βάρους του. Τη στιγµή που για την γωνία φ το σώµα είναι

έτοιµο να ολισθήσει η στατική τριβή έχει πάρει τη µέγι-

στη τιµή της σ σmax σ

T Τ µ Ν= = .

Θα ισχύει: xΣF 0= (οριακά) x σmaxΒ Τ⇒ = ⇒

σ σ σmgηµφ µ Ν mgηµφ µ mgσυνφ εφφ µ= ⇒ = ⇒ = . Η γωνία φ λέγεται γωνία τριβής.

taexeiola.blogspot.com

Page 62: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

70. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα 2ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 151 - 156: Ερωτήσεις 16, 17, 26, 28, 32, 33, 35, 41, 42, 44, 52, 53

σ.σ. 157 - 159: Ασκήσεις 3, 6, 7, 8, 12, 20, 22, 24

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ. 96: Ερωτήσεις 3, 4, 5, 6

σ. 98: Ασκήσεις 4, 5, 7, 8, 15, 18, 21

σ. 112: Ερωτήσεις 5, 6, 7, 8, 9

σ.σ. 113 - 115 : Ασκήσεις 4, 5, 10, 11

σ. 129: Ερωτήσεις 4, 5, 6, 7, 8, 10

σ.σ. 130 - 133: Ασκήσεις 4, 7, 10, 12, 14

taexeiola.blogspot.com

Page 63: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

71. Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Σε κιβώτιο µάζας m 10kg= που αρχικά ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο, α-

σκείται οριζόντια δύναµη µέτρου F 100N= για 1t 5s= και µετά η δύναµη

καταργείται. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και ε-

πιπέδου είναι µ 0,1= , να βρεθούν:

α. η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που κα-

ταργείται η δύναµη

β. ο ολικός κίνησης του σώµατος

γ. το ολικό διάστηµα που διανύει.

∆ίνεται: 2g 10m / s= .

Λύση:

α. ∆ιαδροµή ΑΓ Οι οριζόντιες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι η F

και η

T

. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: F µmgΣF mα F T mα F µ Ν mα F µmg mα α

m

−= ⇒ − = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ =2

1α 9m /s⇒ = και 21 1 1 1υ α t υ 9m / s 5s 45m / s= ⇒ = ⋅ =

β. Στη διαδροµή Γ∆ η µόνη οριζόντια δύναµη είναι η T

.

Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα υπολογίζουµε την επιτάχυνση (επιβράδυνση) 2α

( )x 2 2 2 2ΣF mα T m α µmg mα α 1m / s

2= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =Επειδή το σώµα σταµατά στο ∆ έχουµε:

1∆ 1 2 Γ∆ 1 2 Γ∆ Γ∆ Γ∆

1

υυ υ α t 0 υ α t t t 45s

α= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

Οπότε ολ 1 Γ∆

t t t 5s 45s 50s= + = + =

γ. Για το ολικό διάστηµα που διανύει το σώµα έχουµε:

2 2 2 21 1 1 1 1

1 1S α t S 9m/s 5 s S 112,5m

2 2= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

21

Γ∆ Γ∆

2

υS S 1012,5m

2α= ⇒ = οπότε

ολ 1 Γ∆S S S 1125m= + =

taexeiola.blogspot.com

Page 64: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

72. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Σώµα µάζας m 10 3kg= κινείται µε σταθερή

ταχύτητα µέτρου υ 20m / s= σε οριζόντιο δρό-

µο µε την επίδραση δύναµης µέτρου F 100N=που σχηµατίζει ο

θ 60= µε το οριζόντιο επίπε-

δο προς τα πάνω.

Μετά από 1t 10s= η F

καταργείται. Να βρεθούν:

α. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και επιπέδου

β. Ο χρόνος που θα σταµατήσει το σώµα µετά την κατάργηση της δύναµης.

∆ίνεται: 2g 10m / s=

Λύση:

α. ∆ιαδροµή ΑΓ: Αναλύουµε την F

σε δύο συνιστώσες xF

και yF

µε µέτρα

x1

F F συνθ 100Ν 50Ν2

= ⋅ = ⋅ = και y3

F F ηµθ 100Ν 50 3Ν2

= ⋅ = ⋅ =

Επειδή το σώµα κινείται µε υ σταθ.=

Ισχύει: x x xΣF 0 F T 0 F T T 50N= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Από την συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουµε:

y yΣF 0 F N B 0= ⇒ + − = ⇒

yN B F Ν mg F ηµθ Ν 50 3N= − ⇒ = − ⋅ ⇒ =

Τ 50Ν 3T µΝ µ µ

Ν 350 3Ν= ⇒ = = ⇒ =

β. Μετά την κατάργηση της F

η µόνη οριζόντια δύναµη είναι η τριβή, η οποία

επιβραδύνει και τελικά σταµατά το σώµα

( ) 2x

Τ ' 10 3ΣF mα T ' m α α α m / s

m 3

= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

όπου T ' µ Ν' Τ ' µ mg Τ΄ 100N= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = και 02 2

υt t 2 3s

α= ⇒ =

3. Σώµα ρίχνεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου

κλίσης οθ 30= µε υ 20m / s= . Αν ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και κεκλιµέ-

νου επιπέδου είναι 3

µ5

= να βρεθούν:

α. Η απόσταση που διανύει στο κεκλιµένο επίπε-

δο µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία.

taexeiola.blogspot.com

Page 65: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

73. Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

β. Να εξεταστεί αν θα επιστρέψει στη βάση του κεκλιµένου και αν ναι , σε

πόσο χρόνο και µε ποια ταχύτητα.

(∆ίνεται ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής σώµατος και κεκλιµέ-

νου επιπέδου 3

µ'4

= και 2g 10m/ s= )

Λύση:

α. Η απόσταση που διανύει το σώµα µπορεί να βρεθεί ή µε εφαρµογή του νόµου

Νεύτωνα ή µε το θεώρηµα έργου ενέργειας. Γνωρίζουµε επίσης ότι:

y xB mgσυνθ, Β mgηµθ= =Οι δυνάµεις ασκούνται στη διεύθυνση κίνησης του σώµατος είναι η xB

και T

που επιβραδύνουν το σώµα, οπότε για το διάστηµα που διανύει µέχρι να σταµα-

τήσει ισχύει: ( )20υs 1

2 α= . y yIσχύει στον yy΄: ΣF 0 N B mgσυνθ

Τ µΝ T µmgσυνθ

= ⇒ = = = ⇒ =

Ισχύει: ( ) 2x xΣF mα Β T m α mgηµθ µ mgσυνθ mα α 8m / s= ⇒ − − = − ⇒ + ⋅ = ⇒ =

Από την (1) έχουµε: 20υs S 25m

2 α= ⇒ = .

β. Για να εξετάσουµε αν θα επιστραφεί στη βάση, σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που

ασκούνται στο σώµα για να κινηθεί προς τα κάτω θα πρέπει:

x στ στ στ

1 3 3 1 3Β T mgηµθ µ mgσυνθ ηµθ µ συνθ

2 4 2 2 8> ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⋅ ⇒ > που

ισχύει άρα το σώµα επιστρέφει .

Έχουµε: xx x

Β TΣF mα΄ Β T mα΄ α΄

m

−= ⇒ − = ⇒ = 2α ' 2m / s⇒ =

22

1 2 S 2 25mS αt t t 5s

2 α 2m /s

⋅ ⋅= ⇒ = = ⇒ = και επ επυ α t υ 10m / s= ⇒ =

4. Σώµα αφήνεται στο σηµείο Α κεκλιµένου επιπέδου σε ύψος h 1,25m= και

συνεχίζει την κίνησή του στο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση 10m (σηµεί-

ο Γ) από τη βάση του κεκλιµένου. Να βρεθεί ο χρόνος κίνησης AΓt (τα

επίπεδα θεωρούνται λεία, οφ 30= ).

Λύση:

2xΣF mα mgηµφ mα α gηµφ α 5m / s= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 66: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

74. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

ΤΡΙΓ. ΑΕΖ: AZh h

ηµφ AZ S AZAZ ηµφ

= ⇒ = ⇒ =

2 2ΑΖ 1

1 h 1S αt g ηµφ t t 1s

2 ηµφ 2= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Z 1 Zυ α t υ 5m / s= ⋅ ⇒ =ΖΓ: ευθύγραµµη οµαλή

ZΓ 2 2S υt t 2s= ⇒ = και

ολ 1 2t t t 2s= + =

5. Σε σώµα m 2kg= αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο

επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναµη F

της οποίας η

αλγεβρική τιµή δείχνεται στο διάγραµµα:

α. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος τη χρονική

στιγµή t 8s=β. Να γίνει το διάγραµµα (υ, t)

Λύση:

α. 0 4s→ : Ασκείται στο σώµα σταθερή δύναµη µέτρου F 50N= οπότε κάνει ευθύ-

γραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση.

21 1 1

FF mα α α 25m/s

m= ⇒ = ⇒ = και 1 1 1υ α t υ 100m / s= ⇒ =

4 6s :→ F 0= και 2α 0= άρα το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλή µε

2 1υ υ 100m / s= =6 8s :→ Ασκείται σταθερή δύναµη µέτρου F 20N= αντίρροπη στην κίνησή του,

οπότε το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρχική τα-

χύτητα 0 2υ υ 100m / s= = .

Άρα 2

3 3 3F

F mα α α 10m/sm

= ⇒ = ⇒ =

και 3 0 3 3υ υ α t υ 80m / s= − ⇒ = είναι η ταχύτητά του στο τέλος των 8s

β. ∆ιάγραµµα (υ, t)

taexeiola.blogspot.com

Page 67: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

75. Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

6. Όταν το σύστηµα του σχήµατος αφεθεί ελεύθερο να βρεθούν:

α. Το διάστηµα που διανύει η 1m σε 2s

β. Η ταχύτητα του 2m σε 2s

γ. Η τάση του νήµατος

∆ίνονται: 1 2m m 5kg= = , 2g 10m / s= και ο συντελε-

στής τριβής ολίσθησης του m1 µε το δάπεδο µ 0,25= .

(Η τροχαλία θεωρείται αβαρής)

Λύση:

Εφαρµόζουµε το 2ο Νόµο του Νεύτωνα για κάθε σώµα χωριστά µε τις δυνάµεις που

φαίνονται στο σχήµα: για το 1m : ( )1 ρ 1 1 1ΣF m α Τ Τ m α Τ µm g m α 1= ⇒ − = ⇒ − =

για το 2m : ( )2 2 2 2 2ΣF m α Β Τ m α m g Τ m α 2= ⇒ − = ⇒ − =

( ) ( ) 22 1 1 21 2 m g µm g m α m α α 3,75m / s+ ⇒ − = + ⇒ =

α. Για το διάστηµα που διανύει το 1m σε t 2s= έχουµε: 2

1 11

S αt S 7,5m2

= ⇒ =

β. 2 2υ α t υ 7,5m / s= ⋅ ⇒ =

γ. ( ) 1 11 T m α µm g Τ 31,25N⇒ = + ⇒ =(Επειδή τα δύο σώµατα συνδέονται µε τεντωµένο νήµα κάθε στιγµή έχουν την

ίδια ταχύτητα οπότε και οι µεταβολές των ταχυτήτων τους στη µονάδα του χρό-

νου είναι ίσες, άρα έχουν και ίσες επιταχύνσεις 1 2α α α= = )

7. Σ’ έναν κυκλικό στίβο ακτίνας 200

R mπ

= ξεκινούν από το ίδιο σηµείο δύο

δροµείς Α και Β µε ταχύτητες µέτρων Α

υ 3m / s= και Bυ 2m / s= αντί-

στοιχα. Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για τρίτη φορά όταν:

α. κινούνται µε την ίδια φορά

β. κινούνται µε αντίθετες φορές

Λύση:

α. Οι δυο δροµείς όταν θα συναντηθούν για πρώτη φορά θα έχουν διατρέξει δια-

στήµατα: A ΑS υ t 3t= ⋅ = , B BS υ t 2t= ⋅ = αλλά ο πρώτος που έχει µεγαλύτερη

ταχύτητα θα έχει διαγράψει ένα κύκλο (2πR) περισσότερο. Έτσι µετά από την

τρίτη φορά θα έχει διαγράψει τρεις κύκλους περισσότερους, δηλ.

( )A B

200S S 3 2πR 3t 2t 6π s

π= + ⇒ = + ⇒ t 1200s=

β. Όταν κινούνται µε αντίθετες φορές έχουν διαγράψει έναν κύκλο για κάθε φορά

που συναντιώνται. ( )A B

200S S 3 2πR 3t 2t 6π s

π+ = ⇒ + = ⇒ t 240s=

taexeiola.blogspot.com

Page 68: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

76. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

8. Ο οριζόντιος δίσκος του σχήµατος περιστρέφεται µε

συχνότητα f 0,1Hz= . Για να ισορροπεί ένα σώµα

πάνω στο δίσκο, πρέπει να υπάρχει τριβή µεταξύ

τους. Αν σ

µ 0,2= να βρείτε τις τιµές που µπορεί να

πάρει η απόσταση d, ώστε το σώµα να ισορροπεί

πάνω στο δίσκο. ∆ίνονται 2g 10m/ s= και

2π 10= .

Λύση:

Για να ισορροπεί το σώµα πρέπει να υπάρχει στατική τριβή η οποία να παίζει το

ρόλο της απαραίτητης κεντροµόλου δύναµης.

Ισορροπεί όταν: 2

σmax κ σ

mυΤ F µ mg

d≥ ⇒ ⋅ ≥ ⇒

2 2σ

µ mg 4π f dm⋅ ≥ ⇒ σ

2 2

µ gd

4π f≤ ή d 5m≤

9. Ένα βοµβαρδιστικό αεροπλάνο ενώ πετάει οριζό-

ντια µε ταχύτητα 275 m/s ως προς το έδαφος σε

ύψος 3000m πάνω από µια επίπεδη επιφάνεια, ρί-

χνει µια βόµβα.

α. Σε ποια οριζόντια απόσταση από τη θέση από

την οποία αφέθηκε, η βόµβα θα προσκρούσει

στο έδαφος.

β. Αν το αεροπλάνο διατηρεί την αρχική του ταχύτητα και πορεία, που θα

βρίσκεται κατά τη στιγµή που η βόµβα θα προσκρούσει στο έδαφος;

∆ίνεται: 2g 10m/ s=

Λύση:

α. Ο χρόνος πτώσης της βόµβας είναι: 2

2h 2 3000mt t 24,5s

g 10m / s

⋅= = ⇒ =

η οριζόντια µετατόπιση της βόµβας είναι:

0x υ t x 275m / s 24,5s= ⇒ = ⋅ ⇒ x 6737,5m=

β. Η κίνηση του αεροπλάνου είναι ευθύγραµµη οµαλή, οπότε σε χρόνο t 24,5s= θα

έχει διανύσει απόσταση αερ 0 αερ αερ

x υ t x 275m / s 24,5s x 6737,5m= ⇒ = ⋅ ⇒ =ίση µε το βεληνεκές της βόµβας.

Βρίσκεται κατακόρυφα πάνω απ’ το σηµείο στο οποίο προσέκρουσε η βόµβα.

taexeiola.blogspot.com

Page 69: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

77. Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 Λύνουµε µόνοι µας

1. Σώµα m 2kg= ξεκινά να ανέρχεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου κλί-

σης θ µε ηµθ 0,6= και συνθ 0,8= µε επίδραση οριζόντιας δύναµης

F 100N= . Aν µ 0,1= να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος όταν αυτό έχει

διανύσει 10m στο κεκλιµένο.

2. Σώµα µάζας m 1kg= είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο µε το

οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ 0,1= . Τη χρονική στιγ-

µή t 0= στο σώµα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάµεις κάθετες µεταξύ

τους µε µέτρα 1F 8N= και 2F 6N= . Nα βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος

στο οριζόντιο επίπεδο µετά από 4 sec καθώς και το διάστηµα που έχει

διανύσει στη διάρκεια του 4ου sec της κίνησής του.

3. Από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης ο

φ 30= , εκτοξεύεται προς

τα πάνω ένα σώµα µε αρχική ταχύτητα µέτρου 0υ 32m/ s= .Ο συντελε-

στής τριβής µεταξύ του σώµατος και του επιπέδου είναι µ 3 / 5=

α. Να υπολογιστεί το διάστηµα που θα διανύσει το σώµα µέχρι να σταµα-

τήσει στιγµιαία.

β. Θα επιστρέψει το σώµα στη βάση;

γ. Αν ναι µε τι ταχύτητα;

4. Σώµα µάζας m περνάει από σηµείο Α λείου οριζόντιου επιπέδου µε ταχύ-

τητα υ0 και διανύει 4 m στο οριζόντιο επίπεδο σε t 1s= . Στη συνέχεια

συναντά λείο κεκλιµένο επίπεδο κλίσης οθ 30= στο οποίο αρχίζει να ανε-

βαίνει. Να βρεθεί ο συνολικός χρόνος για να περάσει το σώµα για δεύτερη

φορά από το σηµείο Α του οριζόντιου επιπέδου (µε αντίθετη ταχύτητα).

taexeiola.blogspot.com

Page 70: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

78. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

5. Σε σώµα m 5kg= που αρχικά ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο ασκείται δύνα-

µη µέτρου F 30N= που σχηµατίζει οθ 45= προς τα πάνω µε το οριζόντιο

επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι µ 0,2= και η F ασκεί-

ται για t 3s= και µετά καταργείται να βρεθούν:

α. Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που καταργείται η δύναµη.

β. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώµατος µέχρι να σταµατήσει.

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα υ(t) και α(t).

6. Αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h 320m= από το έδαφος µε ταχύτη-

τα 0υ 100m/ s= . Στο έδαφος κινείται οµόρροπα στην ίδια διεύθυνση άρµα

µε ταχύτητα 1υ 10m / s= . Να βρείτε από ποια οριζόντια απόσταση s από το

άρµα πρέπει ο πιλότος να αφήσει µια βόµβα ώστε αυτή να χτυπήσει το

άρµα. ∆ίνεται 2g 10m/ s= .

7. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κρέµεται από µη εκτατό νήµα µήκους L. Το

σφαιρίδιο περιστρέφεται οµαλά κυκλικά σε οριζόντιο επίπεδο κατά τρόπο

που το νήµα να διαγράφει περιφέρεια κώνου. Η γωνία που σχηµατίζει το

νήµα µε την κατακόρυφο είναι θ. Να βρεθούν:

α. το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας του σφαιριδίου

β. η περίοδος περιστροφής του σφαιριδίου.

8. Σε ένα ρολόι ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης δείχνει τη 12η ώρα ακρι-

βώς. Μετά από πόσο χρόνο οι δείκτες θα σχηµατίσουν για πρώτη φορά

γωνίες π

2, π και 2π.

taexeiola.blogspot.com

Page 71: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

79. Βήµα 5ο Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

ÂÞìá 5

Θέµα 1ο

1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές:

α. Η στατική τριβή, µεταξύ δύο επιφανειών, είναι σταθερή

β. Η τριβή ολίσθησης είναι ανάλογη του βάρους

γ. Η τριβή ολίσθησης έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση της

κίνησης του σώµατος πάνω στο οποίο δρά.

2. Σώµα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση

α. Το διάνυσµα της κεντροµόλου δύναµης είναι σταθερό

β. Η συνισταµένη των δυνάµεων που σκούνται σ’ αυτό ισούται µε την κεντροµό-

λο δύναµη.

γ. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι σταθερό

δ. Το διάνυσµα της ταχύτητας είναι σταθερό.

3. Ένα µικρό σώµα αφήνεται από αερόστατο που πετά οριζόντια σε ύψος h. Τη

στιγµή που αφήνεται το σώµα έχει ταχύτητα ίδιου µέτρου µε την ταχύτητά

του................... Η κίνηση του είναι σύνθεση δύο κινήσεων. Μιας η οποία εξε-

λίσσεται σε οριζόντια διεύθυνση και είναι .......................... και µιας που εξελίσ-

σεται σε κατακόρυφη διεύθυνση και είναι.......................

4. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες:

α. Το µέτρο της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι σταθερό, ενώ

στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται.

β. Το διάνυσµα της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι σταθερό,

ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται.

γ. Το µέτρο της επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

είναι σταθερό ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται.

δ. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνη-

ση είναι σταθερό ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται.

Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

taexeiola.blogspot.com

Page 72: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

80. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

5. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της αριστερής µε αυτά της δεξιάς στήλης.

α. ω i. 1m / s

β. υ ii. 1 Hz

γ. κ

α iii. 2m / s

δ. f iv. s

ε. T v. 1 rad / s

Θέµα 2ο

α. Αποδείξτε τη σχέση της γραµµικής µε την γωνιακή τα-

χύτητα

β. Μεταβάλλοντας την κλίση του µη λείου κεκλιµένου επι-

πέδου, για κάποια γωνία φ, το σώµα αρχίζει να κατέρχε-

ται ισοταχώς. Πως µπορούµε να υπολογίσουµε το συντε-

λεστή τριβής ολίσθησης µ, αν είναι γνωστή η εφφ.

γ. Για τις δυνάµεις του σχήµατος 1F 20N= , 2F 12N= ,

3F 16N= , 4F 10N= , το µέτρο της συνισταµένης τους εί-

ναι:

i. 14N, ii. 2N, iii. 10N, iv. 58N

Θέµα 3ο

α. Να υπολογισθούν η περίοδος και η συχνότητα του δευτερολεπτοδείκτη, του λεπτο-

δείκτη και του ωροδείκτη.

β. Κάποια στιγµή το ρολόι δείχνει 12 το µεσηµέρι. Μετά από πόση ώρα ο δευτερο-

λεπτοδείκτης και ο λεπτοδείκτης σχηµατίζουν γωνία π rad για πρώτη φορά;

Θέµα 4ο

Σώµα µάζας m 1kg= ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο έχει συντελεστή τρι-

βής ολίσθησης µ 0,5= . Στο σώµα ασκείται δύναµη F 10N= για χρονικό διάστηµα

1t 2s= , που σχηµατίζει γωνία φ µε τον ορίζοντα, προς τα πάνω, ώστε ηµφ 0,6=και συνφ 0,8= . Η δύναµη µετά καταργείται. Να υπολογίσετε:

α. τον ολικό χρόνο κίνησης µέχρι το σώµα να σταµατήσει.

β. την ολική µετατόπιση του σώµατος µέχρι να σταµατήσει.

∆ίνεται 2g 10 m / s= .

taexeiola.blogspot.com

Page 73: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµος παγκόσµιας

έλξης, πεδίο βαρύτητας πρέπει:

Να µπορεί να διατυπώσει τον Νόµο της παγκόσµιας έλξης.

Να γνωρίζει την έννοια βαρυτικό πεδίο και τι ισχύει για αυτό.

Να ξέρει την ένταση του βαρυτικού πεδίου, την εξίσωσή της και απότι εξαρτάται.

Να γνωρίζει από τι εξαρτάται η κίνηση των δορυφόρων, να αποδείξειτην ταχύτητα ενός γήϊνου δορυφόρου και την περίοδο.

Να γνωρίζει ποιος δορυφόρος λέγεται σύγχρονος.

Να ξέρει τι ισχύει στις συνθήκες έλλειψης βαρύτητας.

taexeiola.blogspot.com

Page 74: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

82. Νόµος παγκόσµιας έλξης Τύποι - Βασικές έννοιες

Νόµος παγκόσµιας έλξης: Τύποι - Βασικές έννοιες

Βαρύτητα

Τυπολόγιο 4ου Κεφαλαίου

Ν. παγκόσµιας έλξης 1 22

m mF G

r=

Ένταση βαρυτικού πεδίου της Γης Γ

2

MF Bg G

m m r= = = , όπου

Γr R h= +

2Γ 0 Γ

GM g R= ⋅

Κίνηση δορυφόρων ΓGMυ

r= ,

3

20 Γ

rΤ 2π

g R=

Πυκνότητα: M

dV

= . Ο όγκος σφαίρας ακτίνας R: 34

V πR3

=

∆ιατυπώστε τον νόµο της παγκόσµιας έλξης.

Βαρυτικές δυνάµεις

Όταν δύο σώµατα µε µάζες 1m και 2m βρίσκονται σε απόσταση r, οπουδήποτε

στο Σύµπαν, τότε το ένα σώµα ασκεί στο άλλο µια ελκτική δύναµη (παγκόσµια

έλξη), η οποία:

Είναι ανάλογη του γινοµένου των δύο µαζών και

Είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της µεταξύ τους απόστασης

(Νόµος Παγκόσµιας Έλξης)

Μέτρο: 1 22

m mF G

r

⋅=

∆ιεύθυνση: την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των

δύο µαζών

G: σταθερά παγκόσµιας έλξης ( )11 2 2G 6,67 10 Nm kg−= ⋅ δεν εξαρτάται από

τις µάζες των σωµάτων ούτε από το µέσο που τις περιβάλλει.

Οι βαρυτικές δυνάµεις µε τις οποίες αλληλεπιδρούν τα δύο σώµατα είναι αντί-

θετες, έχουν µεταξύ τους σχέση δράσης - αντίδρασης.

taexeiola.blogspot.com

Page 75: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

83. Τύποι - Βασικές έννοιες Νόµος παγκόσµιας έλξης

Τι γνωρίζεται για το βάρος του σώµατος;

Βάρος σώµατος

Η ελκτική δύναµη, που δέχεται ένα σώµα µάζας m από τη Γη, που βρίσκεται σε

ύψος h από την επιφάνειά της, (παγκόσµια έλξη) ονοµάζεται βάρος Β του

σώµατος µε χαρακτηριστικά:

Μέτρο: 2

M mB G

r

⋅= , όπου r R h= + ,

Μ = µάζα Γης,

m = µάζα σώµατος

ηςΓναίακτR =∆ιεύθυνση: την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο µαζών (κατακόρυφη)

Φορά: προς το κέντρο της Γης.

Ποιο πεδίο λέγεται βαρυτικό και τι ισχύει σ’ αυτό;

Βαρυτικό πεδίο

Με τον όρο βαρυτικό πεδίο εννοούµε το χώρο

γύρω από µία οποιαδήποτε µάζα Μ, ο οποίος

έχει την ιδιότητα να ασκεί δύναµη (ελκτική)

σε κάθε άλλη µάζα m, που θα βρεθεί στο χώρο

αυτό. Τη µάζα Μ, στην οποία αποδίδουµε τη

δηµιουργία του πεδίου, την ονοµάζουµε πηγή

του πεδίου και την m, που δέχεται τη δύναµη,

υπόθεµα.

Αν ως πηγή του πεδίου θεωρήσουµε τη µάζα της Γης, ο χώρος γύρω από αυτήν

ονοµάζεται βαρυτικό πεδίο της Γης. Η δύναµη που δέχεται κάθε σώµα που θα

βρεθεί στο χώρο αυτό, είναι το βάρος του σώµατος. Επειδή τα σώµατα αλληλε-

πιδρούν και η µάζα m θα ασκεί δύναµη αντίθετη στη Γη.

Ορισµός έντασης στο βαρυτικό πεδίο της γης.

Ένταση g στο βαρυτικό πεδίο της Γης

Αν θεωρήσουµε ένα σηµείο Α σε απόσταση r

από το κέντρο της Γης και σ’ αυτό φέρουµε

διαδοχικά µάζες m, 2m, 3m .... τότε η βαρυ-

τική έλξη σύµφωνα µε τη σχέση 2

M mF G

r

⋅=

θα έχει µέτρο αντίστοιχα F, 2F, 3F .... Συµπε-

taexeiola.blogspot.com

Page 76: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

84. Νόµος παγκόσµιας έλξης Τύποι - Βασικές έννοιες

ραίνουµε ότι το πηλίκο δύναµη

υπόθεµα παραµένει σταθερό.

Κάθε σηµείο του βαρυτικού πεδίου της Γης χαρακτηρίζεται από το σταθερό

πηλίκο F

m

, το οποίο ονοµάζεται ένταση g

του βαρυτικού πεδίου F

gm

=

.

Έχει κατεύθυνση ίδια µε αυτή της δύναµης

Μονάδα µέτρησης: 1 N kg ή 21 m s .

Απο τι εξαρτάται η ένταση του βαρυτικού πεδίου και πώς µεταβάλλεται το

µέτρο της;

Η τιµή της έντασης g

του πεδίου βαρύτητας:

είναι ανεξάρτητη του υποθέµατος

εξαρτάται από το ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης, όσο µεγαλώνει το

ύψος h το µέτρο έντασης g

µικραίνει.

εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος, όσο αποµακρυνόµαστε από τον Ισηµερι-

νό προς τους πόλους, το µέτρο της έντασης g

µεγαλώνει, γιατί η Γη δεν είναι

τελείως σφαιρική.

Στην επιφάνεια της Γης η τιµή της έντασης του πεδίου βαρύτητας της Γης

γίνεται: 0 2

Mg G

R= απ’ όπου παίρνουµε: 2

0g R G M= ⋅

Το µέτρο της έντασης g

µεταβάλλεται µε την απόσταση r από το κέντρο της

Γης όπως φαίνεται στο διάγραµµα.

2

GMg

r= , r R≥

Τι γνωρίζουµε για την κίνηση των δορυφόρων.

Η κίνηση των δορυφόρων

Κάθε πλανήτης που περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, λέµε ότι είναι φυσικός

του δορυφόρος. Με την έννοια αυτή, φυσικός δορυφόρος της Γης είναι η Σελή-

νη ή φυσικός δορυφός του ∆ία είναι το ουράνιο σώµα Ιώ.

Πέρα όµως από τους φυσικούς δορυφόρους, ο άνθρωπος κατόρθωσε να θέσει

taexeiola.blogspot.com

Page 77: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

85. Τύποι - Βασικές έννοιες Νόµος παγκόσµιας έλξης

σε κυκλικές τροχιές, κυρίως γύρω από τη Γη, σώµατα που τα αποκαλούµε τε-

χνητούς δορυφόρους της Γης.

Κάθε σώµα το οποίο περιφέρεται µε σταθερή τροχιά γύρω από τη Γη και η

µόνη δύναµη που δέχεται είναι η δύναµη βαρύτητας, το ονοµάζουµε δορυφόρο

της Γης.

Ποιος δορυφόρος λέγεται σύγχρονος;

Σύγχρονος ονοµάζεται ο δορυφόρος που βρίσκεται συνεχώς πάνω από το ίδιο

σηµείο του ισηµερινού. Τότε: T 24h 86400s= = . Από την (1) έχουµε:

r 42600km

Σχέση ακτίνας, περιφοράς και περιόδου δορυφόρου.

Όσο µεγαλώνει η ακτίνα περιφοράς ενός δορυφόρου, τόσο µεγαλώνει και η

περίοδός του, δηλαδή, σε µεγάλα ύψη από την επιφάνεια της Γης, χρειάζεται

περισσότερο χρόνο για να κάνει µια περιφορά, π.χ. ο διαστηµικός σταθµός έχει

περίοδο T 90min= .

Πώς θέτουµε δορυφόρους σε τροχιά;

Έστω ότι θέλουµε να θέσουµε ένα σώµα σε τροχιά γύρω από τη Γη, θέλουµε

δηλαδή να το κάνουµε δορυφόρο της σε ύψος h. Ακολουθούµε την διαδικασία:

α. µε βοήθεια πυραύλων φέρνουµε το σώµα σε ύψος h.

β. µε βοήθεια βοηθητικών πυραύλων (προγραµµατιζόµενων από τη Γη) δίνου-

µε στο σώµα κατάλληλη ώθηση, ώστε τελικά να αποκτήσει ταχύτητα κάθε-

τη στη βαρυτική έλξη ( )B υ⊥

και µε µέτρο 2

0 ΓΓ

Γ Γ

g RGMυ

R h R h= =

+ +.

Ποιες συνθήκες λέγονται συνθήκες έλλειψης βαρύτητας;

Συνθήκες έλλειψης βαρύτητας

Ο δορυφόρος και όλα τα σώµατα που βρίσκονται µέσα σε αυτόν δέχονται δύ-

ναµη βαρύτητας λόγω του πεδίου βαρύτητας της Γης. Παρ’ όλα αυτά όµως τα

σώµατα αιωρούνται, δηλαδή αν τα ζυγίσουµε µε δυναµόµετρο, η ένδειξη του

δυναµόµετρου είναι µηδέν.

taexeiola.blogspot.com

Page 78: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

86. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

Σχέση έντασης στο βαρυτικό πεδίο.

Θεωρούµε ένα σώµα µάζας m σε µικρό ύψος h πάνω

από την επιφάνεια της Γης. Η τιµή της έντασης

g

του πεδίου βαρύτητας της Γης στο σηµείο αυτό

έχει µέτρο:

2

2

M mGF Mrg G

m m r

= = = ή ( )2

Mg G

R h=

+

Απόδειξη 2

Με τι ισούται η ταχύτητα δορυφόρου σε κυκλική τροχιά;

Η ελκτική δύναµη (παγκόσµια έλξη) που δέχεται ο

δορυφόρος από τη Γη (ή από κάθε άλλο πλανήτη)

έχει το ρόλο κεντροµόλου δύναµης, δηλαδή:

2

κ 2

M m mυB F G

r r

⋅= ⇒ = , όπου r R h= +

GMυ

r= ή

( )

20g R

υR h

=+

.

Η ταχύτητα ενός δορυφόρου είναι ανεξάρτητη της µάζας m του δορυφόρου εξαρ-

τάται µόνο από την ακτίνα περιφοράς του, δηλαδή όλοι οι δορυφόροι που κινού-

νται σε κυκλικές τροχιές ίδιας ακτίνας, έχουν την ίδια ταχύτητα.

Όσο πιο µακρυά από τη Γη περιφέρεται ένας δορυφόρος της, τόσο πιο µικρή είναι

η ταχύτητά του.

taexeiola.blogspot.com

Page 79: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

87.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Απόδειξη 3

Με τι ισούται η περίοδος δορυφόρου σε κυκλική τροχιά;

Η ταχύτητα µε την οποία περιφέρεται ένας δορυφόρος γύρω από τη Γη αποδείχθη-

κε ότι είναι: ( )

GM GMυ

r R h= =

+Η κίνηση του δορυφόρου είναι οµαλή κυκλική, έτσι είναι γνωστή η σχέση:

2 32πr 2πr r rT 2π T 2π

GMυ GMGMrr

= = = ⇒ = και αν 20g R GM= τότε

( )3

0

2π rT 1

R g= .

Απόδειξη 4

Πώς εξηγούνται οι συνθήκες έλλειψης βαρύτητας;

Οι συνθήκες αυτές που επικρατούν µέσα στο δορυφόρο λέγονται “συνθήκες έλλει-

ψης βαρύτητας” και εξηγούνται ως εξής:

Ο δορυφόρος και κάθε σώµα βάρους B

κάνει οµαλή κυκλική υπό την επίδραση της

δύναµης βαρύτητας και µε κεντροµόλο επιτάχυνση κ

α g=

. Έτσι αν σ’ ένα σώµα

ασκείται δύναµη βαρύτητας B

και η F

του δυναµόµετρου, ισχύει:

κ κ κ κ κB F F mg F m α F mg mα F mα mα F 0− = ⇒ − = ⋅ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = .

Όταν ένα σώµα βρίσκεται µέσα στο δορυφόρο, φαινοµενικά το βάρος του είναι

µηδέν, δηλαδή το σώµα βρίσκεται σε “συνθήκες έλλειψης βαρύτητας”.

taexeiola.blogspot.com

Page 80: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

88. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 187 - 189: Ερωτήσεις 4, 5, 6, 13, 14, 17

σ.σ. 191 - 192: Ασκήσεις 6, 8, 10, 11, 12

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 142 - 147: Παραδείγµατα 2, 3, 6, 8

σ.σ. 148 - 150: Προτεινόµενα θέµατα 4, 5, 11, 12,

16

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

taexeiola.blogspot.com

Page 81: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

89.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Ένας πλανήτης µάζας m κινείται γύρω από τον Ήλιο που έχει µάζα Μ,

διαγράφοντας µε γωνιακή ταχύτητα ω κυκλική τροχιά ακτίνας r. Να δεί-

ξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι ανεξάρτητη από τη µάζα του πλανήτη.

Λύση:

Η ελκτική δύναµη λόγω Παγκόσµιας Έλξης έχει το ρόλο κεντροµόλου δύναµης για

να εκτελέσει ο πλανήτης κυκλική κίνηση, δηλαδή:

( )2

2κ 2

Mm mυ MF F G G ωr

r r r= ⇒ = ⇒ =

2 2 23 3

M GM GMG ω r ω ω

r r r⇒ = ⇒ = ⇒ =

ανεξάρτητη της µάζας m του πλανήτη

2. Να βρείτε το µέτρο της βαρυτικής επιτάχυνσης σε ύψος h 3R= από την

επιφάνεια της γης. ∆ίνεται το µέτρο της βαρυτικής επιτάχυνσης στην επι-

φάνεια της Γης 2

0g 10 m s= .

Λύση:

Το σηµείο Α βρίσκεται σε απόσταση

r R h R 3R 4R= + = + = από το κέντρο της Γης.

Στο σηµείο Α η βαρυτική επιτάχυνση

( )A 22 2 2

M M M 1 Mg G G G G

r 16 R 16 R4R= = = =

⋅ .

Είναι γνωστό όµως 0 2

Mg G

R= οπότε A 0

1g g

16= ή

2 2A

1g 10 m s 1,25m/ s

16= = .

taexeiola.blogspot.com

Page 82: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

90. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

1. ∆ιαστηµόπλοιο πλησιάζει τον πλανήτη Άρη, ο οποίος έχει ένα δορυφόρο.

Ο αστροναύτης που βρίσκεται µέσα στο διαστηµόπλοιο γνωρίζει την ακ-

τίνα AR του Άρη και µετρά την ακτίνα περιφοράς r του δορυφόρου κα-

θώς και την περίοδο του Τ. Να δείξετε ότι:

α. Η µάζα του Άρη δίνεται 2 3

A 2

4π rM

GT= ενώ

β. το µέτρο της βαρυτικής επιτάχυνσης στην επιφάνειά του δίνεται

2 3

A 2 2A

4π rg

T R= .

2. Εάν η µάζα της Σελήνης είναι 227,343 10 kg⋅ και η ακτίνα της 1741 km, να

υπολογισθεί η επιτάχυσνη της βαρύτητας στην επιφάνεια της Σελήνης (∆ί-

νεται 11 2 2G 6,67 10 Nm kg−= ⋅ )

Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

taexeiola.blogspot.com

Page 83: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της

ορµής πρέπει:

Να γνωρίζει ποιες δυνάµεις λέγονται εσωτερικές και ποιες εξωτερι-κές ενός συστήµατος σωµάτων.

Να γνωρίζει ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο.

Να γνωρίζει τι είναι ορµή σώµατος.

Να διατυπώνει την Αρχή διατήρησης της ορµής.

Να γνωρίζει τον 2ο Νόµο Νέυτωνα στην γενικευµένη του µορφή.

Να γνωρίζει τι είναι κρούση.

Να εφαρµόζει την Α.∆.Ο. στην κίνηση πυραύλων.

Να υπολογίζει τις δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά την κρούση δύοσωµάτων.

taexeiola.blogspot.com

Page 84: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

92. ∆ιατήρηση της ορµής Τύποι - Βασικές έννοιες

∆ιατήρηση της ορµής: Τύποι - Βασικές έννοιες

Τυπολόγιο 5ου Κεφαλαίου

Ορµή υλικού σηµείου: p m υ= ⋅

Α.∆.Ο: Αν εξ

ΣF 0

= τότε ( ) ( )ολ αρχ ολ τελp p=

Η δύναµη και η µεταβολή της ορµής: τελ αρχ

p p∆pF

∆t ∆t

−= =

∆ιατήρηση της ορµής

Ποιες δυνάµεις ονοµάζονται εσωτερικές και ποιες εξωτερικές; Να αναφερ-

θούν παραδείγµατα.

Σε ένα σύστηµα σωµάτων διακρίνουµε δύο είδη δυνάµεων:

∆υνάµεις που ασκούνται µεταξύ των σωµάτων που αποτελούν το σύστηµα και

οι οποίες ονοµάζονται εσωτερικές.

∆υνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον, δρουν στα σώµατα του συστή-

µατος και οι οποίες ονοµάζονται εξωτερικές.

Παράδειγµα 1: ∆ύο σώµατα m1 και m

2 που βρίσκονται σε επαφή, αποτελούν

ένα σύστηµα.

Εσωτερικές:

F

: δύναµη που ασκεί το σώµα m1 στο σώµα m

2 (δράση).

F'

: δύναµη που ασκεί το σώµα m2 στο σώµα m

1 (αντί-

δραση).

Λόγω 3ου Ν. Νεύτωνα: F F'

= −Εξωτερικές:

Τα βάρη 1B

, 2B

που ασκεί η Γη στα σώµατα.

Οι κάθετες αντιδράσεις 1N

, 2N

που ασκεί το έδαφος.

taexeiola.blogspot.com

Page 85: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

93. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆ιατήρηση της ορµής

Παράδειγµα 2: Μαγνήτης έλκει σφαίρα µάζας m (εκκρεµές). Για το σύστηµα

µαγνήτης - σφαίρα είναι οι δυνάµεις:

Εσωτερικές:

Για το µαγνήτη, εσωτερική δύναµη είναι η ελκτική

δύναµη F

που ασκεί η σφαίρα στο µαγνήτη.

Για τη σφαίρα, εσωτερική δύναµη είναι η ελκτική

δύναµη F'

από το µαγνήτη.

Εξωτερικές:

Η τάση του νήµατος T

, τα βάρη των σωµάτων και

η αντίδραση που ισορροπεί τον µαγνήτη.

Στην ερώτηση αν το βάρος του σώµατος σας είναι δύναµη

εσωτερική ή εξωτερική απαντάµε µε µια ερώτηση.

- Για ποιο σύστηµα;

Ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο;

Ένα σύστηµα ονοµάζεται µονωµένο όταν οι εξωτερικές δυνάµεις που δρουν

πάνω του έχουν συνισταµένη µηδέν ή αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις.

∆ώστε τον ορισµός της ορµής p

σώµατος.

Ορµή p

σώµατος: όταν ένα σώµα µάζας m κινείται

µε ταχύτητα υ

λέµε ότι έχει ορµή p

.

Η ορµή p

ενός σώµατος είναι το διανυσµατικό µέγε-

θος που έχει µέτρο ίσο µε το γινόµενο της µάζας m του

σώµατος επι το µέτρο της ταχύτητα του υ

.

p m·υ =

Κατεύθυνση: είναι ίδια µε την κατεύθυνση της ταχύτητας του σώµατος.

Μονάδα µέτρησης στο S.I.: 2m1kg

s (ισοδύναµη µε 1N s⋅ )

∆ιατυπώστε την αρχή διατήρησης της ορµής Α.∆.Ο.

Αρχή ∆ιατήρησης ορµής: Σε ένα σύστηµα σωµάτων στο οποίο δεν ασκούνται

εξωτερικές δυνάµεις ή αν ασκούνται, έχουν συνισταµένη µηδέν (µονωµένο σύ-

στηµα), η ορµή του διατηρείται σταθερή: oλ αρχ τελp σταθ. p p= ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 86: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

94. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

Από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής να αποδειχτεί ότι η συντισταµένη

δύναµη είναι ίση µε το ρυθµό µεταβολής της ορµής.

Οι δυνάµεις που ασκούνται στα σώµατα προκαλούν την αλλαγή στην ταχύτητα

και στην ορµή τους.

Σύµφωνα µε το θεµελιώδη Ν. Μηχανικής:

∆υΣF m α ΣF m

∆t

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

τελ αρχ τελ αρχυ υ mυ mυ

ΣF m∆t ∆t

− −= = ⇒

τελ αρχp p ∆p

ΣF ΣF∆t ∆t

−= ⇒ =

Συνεπώς για να αλλάξει η ορµή ενός σώµατος απαιτείται η άσκηση δύναµης.

Απόδειξη 2

Ποια είναι η αρχή της κίνησης των πυραύλων;

Θεωρούµε τον πύραυλο και τα αέρια που φεύγουν ως µονωµένο σύστηµα. Αρχικά

το σύστηµα είναι ακίνητο. Όταν µία µάζα αερίων φεύγει µε ταχύτητα α

υ

, η ορµή

της είναι:

α α αp m υ = ⋅

και ο πύραυλος αποκτά ταχύτητα π

υ

, οπότε η ορµή του είναι:

π π πp m υ= ⋅

αλλά για το µονωµένο σύστηµα πύραυλος - αέρια ισχύει:

ολ αρχ τελ α πp σταθ. p p 0 p p= ⇒ = ⇒ = + ⇒

α α π π0 m υ m υ= ⋅ + ⋅ ⇒

α

π α

π

mυ υ

m= − ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 87: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

95.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Όταν λοιπόν µια µάζα αερίων βγαίνει από τον πύραυλο µε ταχύτητα α

υ

, o πύραυ-

λος κινείται αντίρροπα µε ταχύτητα που δίνεται από την παραπάνω σχέση. Το αρ-

νητικό πρόσηµο στην ταχύτητα του πυραύλου δείχνει ότι έχει φορά αντίθετη εκείν-

ης της ταχύτητας των αερίων.

Απόδειξη 3

Τι γνωρίζετε για την Κρούση δύο σωµάτων;

Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής (Α.∆.Ο) γιατί οι δυνάµεις

που αναπτύσσονται κατά την διάρκειά της είναι πολύ µεγάλες σε σχέση µε τις

δυνάµεις που είχαν ασκηθεί στα σώµατα.

Αν δύο σφαίρες µικρών διαστάσεων που κινούνται στην ίδια διεύθυνση, έχουν µά-

ζες 1m , 2m και συγκρουστούν τότε θα ασκηθούν πάνω τους δύο αντίθετες δυνά-

µεις:

1 21 2 1 2

∆υ ∆υF F m m

∆t ∆t

= − ⇒ = − ⇒

1 1 2 2 1 2m ∆υ m ∆υ ∆p ∆p ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⇒

( )τ1 α1 τ2 α2 τ1 τ2 α1 α2p p p p p p p p − = − − ⇒ + = + ⇒

( ) ( )ολ τ ολ αp p =

∆ηλαδή η ορµή του συστήµατος είναι σταθερή.

Απόδειξη 4

Να αποδειχθεί ότι η συνολική ορµή ενός µονωµένου συστήµατος σωµάτων

διατηρείται σταθερή.

Σε δύο σώµατα που αλληλεπιδρούν ασκούνται αντίθετες δυνάµεις άρα:

1 21 2 1 2

∆υ ∆υF F m m

∆t ∆t

= − ⇒ = − ⇒

1 1 2 2 1 2m ∆υ m ∆υ ∆p ∆p ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⇒

( )τ1 α1 τ2 α2 τ1 τ2 α1 α2p p p p p p p p − = − − ⇒ + = + ⇒

( ) ( )ολ τ ολ αp p =

∆ηλαδή η ορµή του συστήµατος είναι σταθερή.

taexeiola.blogspot.com

Page 88: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

96. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 213 - 215: Ερωτήσεις 4, 8, 11, 13, 17, 18, 19

σ.σ. 217 - 218: Ασκήσεις 4, 5, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 17

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ. 160: Παράδειγµα 2

σ.σ. 164 - 165: Ερωτήσεις 1, 2, 3, 4, 5

σ.σ. 166 - 167: Ασκήσεις 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

taexeiola.blogspot.com

Page 89: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

97.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Σε µία πίστα πάγου δύο χορευτές µε µάζες

1m 60kg= και 2m 50kg= , κινούνται µε ταχύ-

τητες 1υ 3m / s= και 2υ 3,6m / s= . Να βρεθεί

η συνολική ορµή τους αν:

α. κινούνται µε οµόρροπα

β. κινούνται αντίρροπα

γ. κινούνται κάθετα

Λύση:

α. oλ 1 2 1 2 1 1 2 2p p p p p m υ m υ 60 3 50 3,6 360kgm / s = + ⇒ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

β. oλ 1 2 oλ 1 2 1 1 2 2p p p p p p m υ m υ 60 3 50 3,6 0kgm / s = + ⇒ = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

γ. 2 2oλ 1 2 oλ 1 2

p p p p p p 180 2 kgm / s = + ⇒ = − =

2. Βλήµα µάζας m κινείται µε ταχύτητα υ 5m / s=και διασπάται σε δύο ίσα κοµµάτια που κι-

νούνται σε κάθετες διευθύνσεις. Να βρεθούν

οι ταχύτητες των δύο κοµµατιών αν η ταχύ-

τητα του ενός κοµµατιού ειναι η µισή της τα-

χύτητας του άλλου.

Λύση:

Γνωρίζουµε ότι ( )12

υυ 1

2=

επειδή τα δύο κοµµάτια θα κινηθούν σε κάθετες διευθύνσεις, θα έχουµε:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2oλ 1 2 1 1 2 2 2

m mp p p mυ m υ m υ m υ υ υ

2 2 = + ⇒ = + ⇒ = + ⋅ ⇒

taexeiola.blogspot.com

Page 90: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

98. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

21

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 21 2 1 1 1 1

υ

m υ m υ υ υ υ 5υ2m υ υ υ υ

4 4 4 4 4 16 16

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒

2 2 221 1 1 1

16υ 16υ 16 5υ υ υ m/s υ 4 5m/s

5 5 5

⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Άρα 12

υυ 2 5m/s

2= = .

3. Βλήµα µάζας m 50g= κινείται οριζόντια µε

ταχύτητα υ 50m / s= και σφηνώνεται σε ακί-

νητο κιβώτιο µάζας M 950g= .

α. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµα-

τος µετά τη κρούση.

β. Αν ο συντελεστής της τριβής ολισθήσεως µεταξύ του εδάφους και

του κιβωτίου ειναι µ 0,5= να υπολογίσεται το συνολικό διάστηµα

που διανύει το κιβώτιο µετά τη κρούση ώσπου να σταµατήσει.

Λύση:

α. Ισχύει η Αρχή ∆ιατήρησης της Ορµής οπότε έχουµε:

( ) m υmυ Μ m V V V 2,5m /s

Μ m

⋅= + ⇒ = ⇒ =+

β. Το σώµα θα εκτελέσει ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µέχρι να

σταµατήσει οπότε ισχύον οι σχέσεις: ( )0υ υ αt 1= −

( )20

1x υ t αt 2

2= ⋅ −

Η επιβραδύνουσα δύναµη είναι η Τριβή εποµένως βρίσκουµε την επιβράδυνση

( ) ( ) ( ) ( )T M m α µΝ Μ m α µ Μ m g M m α= + ⇒ = + ⇒ + = + ⇒

α µg α 5m / s⇒ = ⇒ =Για τη στιγµή που το σώµα σταµατάει η (1) θα γίνει:

0

0 υ α t t t 0,5sα

= − ⋅ ⇒ = ⇒ =

Άρα το συνολικό διάστηµα θα βρεθεί από τη σχέση (2) αντικαθιστώντας:

2 2 21x 2,5m /s 0,5s 5m / s 0,5 s x 0,625m

2= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 91: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

99.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

4. Σε σώµα µάζας m 5kg= ασκείται οριζόντια δύναµη F. Αν η µεταβολή

της ορµής µεταβάλλεται σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα, να βρεθούν:

α. Ποιά η ελάχιστη και ποιά η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος;

β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ(t) ,

F(t) και να βρεθεί η συνολική µετατόπιση

του σώµατος.

Λύση:

α. minmin

p 0kgm /sυ 0m /s

m 5kg= = =

maxmax

p 200kgm/sυ 40m/s

m 5kg= = =

β. Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση υ(t) θα πρέ-

πει να υπολογίσουµε τις τιµές των ταχυτήτων τις

χρονικές στιγµές 0, 5, 10, 12s.

0 50 5

p pυ 20m/s, υ 40m / s

m m= = = = ,

10 1210 12

p pυ 40m/s, υ 0m /s

m m= = = =

Για την F(t) έχουµε:

Από 0-5s: ∆p 100kgm/s

F 20N∆t 5s

= = =

Aπό 5-10s: ∆p 0kgm/s

F 0N∆t 5s

= = =

Από 10-12s: ∆p 200kgm/s

F 100N∆t 2s

−= = = −

5. Πυροβόλο µάζας M 250kg= που ηρεµεί, εκ-

σφενδονίζει βλήµα µάζας m 5kg= που εξέρ-

χεται από την κάνη µε οριζόντια ταχύτητα

βυ 500m / s= . Να βρεθούν:

α. η ταχύτητα ανάκρουσης υπ του πυροβόλου

β. τα µέτρα των ορµών του βλήµατος και του

πυροβόλου κατά την έξοδο του βλήµατος

από το πυροβόλο, και να δικαιολογηθεί η ισότητά τους

γ. η µεταβολή του µέτρου της ορµής του βλήµατος κατά την κίνησή

του µέσα στην κάνη.

taexeiola.blogspot.com

Page 92: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

100. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Λύση:

α. Ισχύει η Αρχή ∆ιατήρησης της Ορµής

β β

αρχ τελ β β π π π π

π

m υp p 0 m υ m υ υ υ 10m / s

m

⋅= ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⇒ =

β. Για το βλήµα: β β βp m υ 5kg 500m / s 2500kgm / s= ⋅ = ⋅ =

Για το πυροβόλο: π π πp m υ 250kg 10m / s 2500kgm / s= ⋅ = ⋅ =

Όπως καταλαβαίνουµε τα µέτρα των τελικών ορµών είναι ίσα λόγω της αρ-

χής διατήρησης της ορµής. Η αρχική ορµή είναι 0 εποµένως θα πρέπει και η

τελική να είναι µηδέν δηλαδή θα πρέπει π βp p= .

γ. τελ αρχ β β∆p p p m υ 0 5kg 500m / s 2500kgm / s= − = ⋅ − = ⋅ =

6. Ένα σώµα µάζας m 20kg= κινείται σε λείο

οριζόντιο επίπεδο, µε σταθερή ταχύτητα

µέτρου 0υ 10m/ s= . Κάποια στιγµή ασκεί-

ται στο σώµα σταθερή δύναµη µέτρου

F 20N= κατά τη διεύθυνση και φορά της ταχύτητας, για χρονικό διά-

στηµα t 8s= . Να βρεθούν:

α. η µετατόπιση του σώµατος για το χρονικό διάστηµα t

β. η µεταβολή της ορµής του σώµατος στο χρονικό διάστηµα t

γ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής κατά το χρονικό διάστηµα από 0

έως 8s

δ. ο ρυθµός µεταβολής της ορµής της χρονική στιγµή t 0= .

Λύση:

α. Το σώµα θα εκτελέσει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε αρχική

ταχύτητα υ0 οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις: ( )0υ υ α t 1= + ⋅ και

( )20

1x υ t α t 2

2= ⋅ + ⋅ όπου

2F 20Nα 1m/s

m 20kg= = = .

Άρα η (2) γίνεται: 2 2 21

x 10m/s 8s 1m / s 8 s x 112m2

= ⋅ + ⋅ ⇒ = .

β. Τη χρονική στιγµή t 8s= η ταχύτητα του σώµατος θα είναι:

0υ υ α t 10 1 8 18m / s= + ⋅ = + ⋅ = και τελ αρχ∆p p p= − ⇒

τελ αρχ∆p mυ mυ 20kg 18m / s 20kg 10m / s ∆p 160kgm / s= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ =γ. Το µέτρο της µεταβολής της ορµής θα βρεθεί διανυσµατικά.

taexeiola.blogspot.com

Page 93: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

101.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. Κιβώτιο µάζας Μ 0,5kg= τοποθετείται σε τραχεία οριζόντια επιφάνεια. Ο

συντελεστής τριβής κιβωτίου - επιφάνειας είναι µ 0,4= . Βλήµα µάζας

m 20g= εκτοξεύεται µε ταχύτητα υ 150m / s= προς το κιβώτιο και ενσω-

µατώνεται σ’ αυτό. Να υπολογιστούν:

α. η ταχύτητα µε την οποία θα κινηθεί το κιβώτιο µετά την κρούση

β. το διάστηµα που θα διατρέξει το κιβώτιο µέχρι να σταµατήσει.

2. Ένα βλήµα µάζας 1m 0,1kg= κινείται µε οριζόντια ταχύτητα 1υ 400m / s=και διαπερνά ένα κιβώτιο µάζας 2m 2kg= που βρίσκεται πάνω σε λείο

οριζόντιο δάπεδο. Αν το βλήµα βγαίνει από το κιβώτιο µε ταχύτητα'1υ 100m/ s= σε χρόνο 1∆t 0,1s= . Να βρείτε:

α. την ταχύτητα που αποκτά το κιβώτιο

β. τη µέση οριζόντια δύναµη που ασκεί το βλήµα στο κιβώτιο.

3. Μια βάρκα µήκους 6m= και µάζας Μ 120kg= είναι ακίνητη στην ήρε-

µη επιφάνεια µιας λίµνης. Ένας άνθρωπος µάζας m 60kg= , που είναι αρ-

χικά ακίνητος, µετακινείται από το ένα άκρο της βάρκας στο άλλο. Κατά

πόσο θα µετακινηθεί η βάρκα κατά τη διάρκεια της µετακίνησης του αν-

θρώπου; Η αντίσταση του νερού θεωρείται αµελητέα.

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 Λύνουµε µόνοι µας

taexeiola.blogspot.com

Page 94: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

102. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

ÂÞìá 5

Θέµα 1ο

1. Τι έχει µεγαλύτερη ορµή, ένα ακίνητο φορτηγό ή ένα παιδί που τρέχει;

∆ικαιολογήστε την απάντηση σας.

2. Η ορµή ενός σώµατος είναι µέγεθος .......................... , το µέτρο της υπολογίζε-

ται από την σχέση .................... και η µονάδα της στο S.I. είναι ..................... .

Θέµα 2ο

α. Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της ορµής. Ισχύει για όλα τα συστή-

µατα σωµάτων;

β. Επιβεβαιώστε την Α.∆.Ο για δύο σφαίρες την στιγµή που συγκρούονται.

Θέµα 3ο

Ένα µπαλάκι του τένις µάζας m 100g= που κινείται οριζό-

ντια µε ταχύτητα µέτρου 1υ 10m / s= συγκρούεται µε κατα-

κόρυφο τοίχο και ανακλάται µε οριζόντια ταχύτητα

2υ 8m / s= .

α. Να βρείτε τη µεταβολή της ορµής του, λόγω της σύγκρου-

σης µε τον τοίχο.

β. Αν η κρούση διαρκεί ∆t 0,09s= να υπολογίσετε την µέση δύναµη που δέχεται το

µπαλάκι από τον τοίχο. (Να την θεωρήσετε σταθερή κατά την διάρκεια της κρούσης).

Θέµα 4ο

Ένα σώµα µάζας Μ 5kg= είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήµα µάζας

m 50g= κινείται οριζόντια µε ταχύτητα 1υ 400m / s= , διαπερνάει το σώµα και

εξέρχεται από αυτό µε ταχύτητα 2υ 100m / s= . Μετά την κρούση το σώµα ολισθαί-

νει στο οριζόντιο επίπεδο και σταµατάει αφού διανύσει διάστηµα s 4,5m= . Να

υπολογιστούν: α. η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την κρούση

β. ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος - επιπέδου. ∆ίνεται 2g 10m/s=

Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

taexeiola.blogspot.com

Page 95: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρηση της µη-

χανικής ενέργειας πρέπει:

Να γνωρίζει την έννοια και τον ορισµό του έργου δύναµης.

Να µπορεί να υπολογίζει το έργο δύναµης σταθερού µέτρου, όπωςκαι το έργο δύναµης µεταβλητού µέτρου F(x).

Να γνωρίζει και να µπορεί να εφαρµόσει το θεώρηµα µεταβολής κι-νητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.).

Να γνωρίζει την έννοια της δυναµικής ενέργειας.

Να υπολογίζει τη σχέση της µεταβολής της δυναµικής ενέργειας µε τοέργο της δύναµης αλληλεπίδρασης, για το βαρυτικό πεδίο.

Να γνωρίζει την έννοια της µηχανικής ενέργειας.

Να µπορεί να εφαρµόσει την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέρ-γειας (Α.∆.Μ.Ε.) και να γνωρίζει πότε ισχύει.

Να γνωρίζει ποιες δυνάµεις λέγονται συντηρητικές ή διατηρητικές καιτι ισχύει για το έργο τους. (απόδειξη για την περίπτωση του βάρους).

Να γνωρίζει τι είναι ισχύς και να αποδεικνύει την σχέση της µε τηνταχύτητα του σώµατος.

Να εφαρµόζει την διατήρηση της µηχανικής ενέργειας στην οριζόντιαβολή.

Να γνωρίζει ποιες λέγονται µη συντηρητικές δυνάµεις και τι ισχύει γιατην µηχανική ενέργεια και την ορµή, όταν ασκούνται αυτές οι δυνά-

µεις.

taexeiola.blogspot.com

Page 96: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

104. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας Τύποι - Βασικές έννοιες

Τυπολόγιο 6ου Κεφαλαίου

Έργο σταθερής δύναµης: FW F x συνθ= ⋅ ⋅

Θ.Μ.Κ.Ε: ( )τελ αρχ F ολΚ Κ W− =

∆υναµική βαρυτική ενέργεια β

U m g h= ⋅ ⋅

Έργο δύναµης αλληλεπιδράσεων: ( ) ( )2 1 1 2F 1 2W ∆U U U U U→ = − = − − = −

Μηχανική ενέργεια: 21

Ε Κ U mυ mgh2

= + = +

Ισχύς: W

Pt

= . Αν F σταθ

= , υ σταθ = και οµόρροπα τότε: Ρ F υ= ⋅

∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας: Τύποι - Βασικές έννοιες

Πότε µία δύναµη παράγει έργο;

Μια δύναµη, που ασκείται σε ένα σώµα, παράγει έργο όταν µετατοπίζει το ση-

µείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της.

Παράδειγµα:

Στο σχ.(α) παράγουν έργο οι δυνάµεις F

, T

, ενώ δεν παράγουν οι δυνάµεις N

, B

.

Στο σχ.(β) παράγει έργο το βάρος B

, ενώ η τάση T

δεν παράγει έργο.

Στο σχ.(γ) δεν παράγουν έργο οι T

, B

.

Να δώσετε τον ορισµό του έργου σταθερής δύναµης:

Έργο σταθερής δύναµης είναι ένα µονόµετρο φυσικό µέ-

γεθος που ισούται µε το γινόµενο του µέτρου της συνιστώ-

σας της δύναµης κατά τη διεύθυνση της κίνησης επί τη

µετατόπισή της.

W = F · x · συνθ Μονάδας (S.I) 1Joule 1N m= ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 97: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

105. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

Ποια είναι η φυσική σηµασία του έργου;

Το έργο εκφράζει την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σ’ ένα άλλο ή που

µετατρέπεται απο µια µορφή σε άλλη. Κάθε φορά που παράγεται έργο έχουµε

δαπάνη ενέργειας ίσης µε το παραγόµενο έργο.

Παράδειγµα:

Ένα σώµα ανέρχεται σε κεκλιµένο δάπεδο υπό την επίδραση δύνα-

µης F

όπως στο σχήµα.

FW : εκφράζει µεταφορά ενέργειας από τον παράγοντα,

που προκαλεί την κίνηση, στο σώµα.

BηµφW : εκφράζει µετατροπή µέρους της µεταφερόµενης

ενέργειας σε δυναµική.

WΤ : εκφράζει µετατροπή µέρους της µεταφερόµενης ενέργειας σε θερµότητα.

F Bηµφ ΤW − − : το έργο της συνισταµένης δύναµης, εκφράζει µετατροπή µέρους της

µεταφερόµενης ενέργειας σε κινητική ενέργεια.

ΝW 0= , BσυνφW 0= γιατί είναι κάθετες στην µετατόπιση.

∆ιερεύνηση της τιµής του έργου:

α. Αν η δύναµη είναι οµόρροπη µε την µετατόπιση,

οθ 0= ⇒ οσυν0 1= τότε W F x= ⋅ . Το έργο αυτό το

λέµε θετικό ή παραγόµενο, οπότε η δύναµη προσφέρει

ενέργεια στο σώµα.

Γενικότερα W F x συνθ 0= ⋅ ⋅ > µε 00 θ 90≤ < .

β. Αν η δύναµη είναι κάθετη µε την µετατόπιση,

90οθ = ⇒ οσυν90 0= τότε W 0= , δεν παράγει έργο.

π.χ. κάθετη αντίδραση, κεντροµόλος δύναµη.

γ. Αν η δύναµη είναι αντίρροπη µε την µετατόπιση,

οθ 180= ⇒ οσυν180 1= − , W F x= − ⋅ . Το έργο αυτό

το λέµε αρνητικό ή καταναλισκόµενο, οπότε η δύναµη

αφαιρεί ενέργεια από το σώµα.

Γενικότερα W F x συνθ 0= ⋅ ⋅ < µε 0 090 θ 180< ≤ .

δ. Αν F σταθ

= και η δύναµη µετατοπίζει το σηµείο ε-

φαρµογής της στην διεύθυνσή της, τότε το εµβαδόν

της γραφικής παράστασης F(x) ισούται αριθµητικά µε

το έργο της F

.

taexeiola.blogspot.com

Page 98: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

106. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας Τύποι - Βασικές έννοιες

ε. Αν η τιµή της δύναµης δεν είναι σταθερή τότε το εµβα-

δόν της F(x), ισούται αριθµητικά µε το έργο της F

.

Παράδειγµα:

Η δύναµη ελατηρίου ελ

F K x= − ⋅ (N. Hooke)

F OABW E= ⇒F

1W F x

2= ⋅

F

1W Kx x

2= ⋅ ⇒ 2

F

1W K x

2= ⋅

όπου Κ: σταθερά ελατηρίου

x: αποµάκρυνση απο την θέση φυσικού µήκους

Να διατυπωθεί η σχέση έργου βάρους και µεταβολής της κινητικής ενέργειας:

B τελ αρχW Κ Κ= − ⇒

BW ∆Κ=∆ηλαδή η µεταβολή της κινητικής ενέργειας ισούται µε το

έργο του βάρους στην ελεύθερη πτώση. Το συµπέρασµα αυτό

ισχύει γενικευµένο µε τον τίτλο “θεώρηµα µεταβολής της

κινητικής ενέργειας” (Θ.Μ.Κ.Ε) για την περίπτωση που α-

σκούνται πολλές δυνάµεις στο σώµα:

∆ιατυπώστε το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας:

Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώµατος είναι ίση µε το αλγεβρι-

κό άθροισµα των έργων των δυνάµεων που ασκούνται σ’ αυτό.

∆Κ = ΣWF

Παρατήρηση: Με το Θ.Μ.Κ.Ε. µπορούµε να υπολογίσουµε την ταχύτητα, την

µετατόπιση του σώµατος ή το έργο µιας άγνωστης δύναµης.

Ποια δύναµη λέγεται συντηρητική;

Μια δύναµη είναι συντηρητική αν το έργο που παράγει σε µια κλειστή

διαδροµή είναι µηδέν.

Για τις συντηρητικές δυνάµεις υπάρχει και άλλος ισοδύναµος ορισµός:

Μια δύναµη είναι συντηρητική, αν το έργο που παράγεται από αυτή πάνω

σε ένα σωµάτιο που κινείται µεταξύ δύο σηµείων, εξαρτάται µόνο από τα

σηµεία αυτά και όχι από την διαδροµή.

taexeiola.blogspot.com

Page 99: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

107. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

Τι γνωρίζετε για τη δυναµική ενέργεια;

∆υναµική ενέργεια είναι το αποτέλεσµα της αλληλεπίδρασης ενός συστήµα-

τος σωµάτων, µε συντηρητικές δυνάµεις.

Για να υπάρξει δυναµική ενέργεια απαιτείται ένα σύστηµα τουλάχιστον δύο

σωµάτων. Για παράδειγµα, δεν υπάρχει η δυναµική ενέργεια ενός µήλου αλλά

η δυναµική ενέργεια του συστήµατος µήλου - Γη.

Αν οι δυνάµεις που αλληλεπιδρούν µεταξύ των σωµάτων του συστήµατος είναι

συντηρητικές (διατηρητικές), στο σύστηµα µήλου - Γης, αν αφήσουµε το µήλο

να πέσει από ύψος h στο έδαφος, τότε η δυναµική του ενέργεια µετατρέπεται

εξ’ ολοκλήρου σε κινητική (αγνοούµε την αντίσταση του αέρα).

Η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος (σύστηµα Γη - σώµα) σε µικρό ύψος h πάνω

από την επιφάνεια της Γης είναι: U = mgh

Τι γνωρίζετε για τη σχέση µεταξύ της µεταβολής της δυναµικής ενέργειας

και του έργου συντηρητικής δύναµης;

Το έργο του βάρους ενός σώµατος είναι αντίθετο µε την µεταβολή της δυναµικής

ενέργειας µεταξύ δύο θέσεων (ή ίσο µε την διαφορά της δυναµικής ενέργειας του

συστήµατος). Το συµπέρασµα αυτό είναι γενικότερο για τις αλληλεπιδράσεις µε-

ταξύ συντηρητικών δυνάµεων π.χ. ελατηρίου, ηλεκτροστατικές.

WF = ∆U

Tι ονοµάζουµε µηχανική ενέργεια;

Μηχανική ενέργεια ονοµάζουµε το άθροισµα της κινητικής και δυναµικής ενέργει-

ας ενός συστήµατος σωµάτων: Ε = Κ + U

Τι γνωρίζουµε για την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας;

Η µηχανική ενέργεια διατηρείται εφ’ όσον οι δυνάµεις που εκτελούν έργο είναι

συντηρητικές. ∆ηλαδή, ∆Κ + ∆U = 0.

taexeiola.blogspot.com

Page 100: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

108. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας Τύποι - Βασικές έννοιες

Κινητική

Υπάρχει εφ’ όσον υπάρχει κίνηση.

Είναι δυνατόν ένα σώµα να έχει,

κινητική ενέργεια χωρίς να αλλη-

λεπιδρά µε άλλα σώµατα.

oW λ∆Κ =

το έργο oW λ : της συνισταµένης των

δυνάµεων.

∆υναµική

Υπάρχει εφ’ όσον αλληλεπιδρούν µε

συντηρητικές δυνάµεις τα σώµατα του

συστήµατος.

Είναι δυνατόν, ένα σύστηµα να έχει,

δυναµική ενέργεια χωρίς να κινείται.

U W− = αλλ∆

Wαλλ : το έργο των συντηρητικών δυνά-

µεων αλληλεπίδρασης.

Να συγκριθούν η κινητική και η δυναµική ενέργεια

Τι γνωρίζουµε για την ισχύ;

Η ισχύς µιας µηχανής είναι ένα µονόµετρο φυσικό µέγεθος που ισούται µε το

πηλίκο του έργου που παράγει η µηχανή προς τον αντίστοιχο χρόνο:

WP =

tΙσοδύναµα εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της ενέργειας:

∆WP =

∆t

Είναι µονόµετρο µέγεθος µε µονάδα µέτρησης στο S.I. = 1 Watt = 1 J/s

Ποιους αλλους τύπους για την ισχύ γνωρίζουµε;

Στιγµιαία ισχύς: P = Fx · υ, όπου υ: η στιγµιαία ταχύτητα και Fx η συνιστώσα της

διεύθυνσης της κίνησης.

Τι γνωρίζουµε για το συνταλεστή απόδοσης µίας µηχανής;

Συντελεστής απόδοσης µηχανής (α) είναι το πηλίκο της ωφέληµης ισχύος (Ρωφ.)

προς τη δαπανόµενη ισχύ (Ρδαπ.):

ωφ.

δαπ.

Pα =

P

taexeiola.blogspot.com

Page 101: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

109. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

Μεθοδολογία για τη λύση ασκήσεων µε την βοήθεια του Θ.Μ.Κ.Ε.

Για να λύσουµε µια άσκηση, κάνουµε τις παρακάτω διαδικασίες:

α. Σχεδιάζουµε, πάνω στο σώµα, που κινείται, όλες τις δυνάµεις που ασκούνται

πάνω του και τις αναλύουµε σε δύο άξονες: έναν κατά τη διεύθυνση κίνησης

και έναν κάθετο σ’ αυτόν.

β. Καθορίζουµε το διάστηµα ή τα διαστήµατα κατά τα οποία ασκείται η κάθε µια

από αυτές τις δυνάµεις.

γ. Βρίσκουµε το έργο (αρνητικό ή θετικό) της κάθε µιας και κατόπιν το ολικό έργο.

δ. Εφαρµόζουµε το ΘΜΚΕ για όλη την διάρκεια της κίνησης ή επιλέγουµε εµείς το

διάστηµα 2 2

0 ολ

1 1mυ mυ W

2 2− =

Μεθοδολογία µε Θ.Μ.Κ.Ε., Α.∆.Μ.Ε. και Α.∆.Ε.

i. Το θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας (ΘΜΚΕ):

2 2τελ αρχ ολ 0 ολ

1 1Κ Κ W mυ mυ W

2 2− = ⇒ − =

Πλεονεκτήµατα: εφαρµόζεται χωρίς κανένα περιορισµό.

Μειονεκτήµατα: χρειάζεται να υπολογίσουµε το Wολ . Αυτό γίνεται είτε βρί-

σκοντας την συνισταµένη δύναµη F

ολ και υπολογίζοντας το

έργο της είτε υπολογίζοντας το έργο κάθε δύναµης και αθροί-

ζοντάς τα αλγεβρικά.

Για τον υπολογισµό του έργου δύναµης πρέπει ξέρουµε τρία πράγµατα:

α. Το είδος της δύναµης:

i Αν ( )F f x= : W =αριθ

ΑΓ∆ΖΕi Αν F σταθ=

: W F x συνθ= ⋅ ⋅

i Αν F =

σταθ : και µετατοπίζεται σε κα-

µπύλη τροχιά τότε ( )1 1W F= ⋅ Α Γ ,

όπου ( )1 1Α Γ : η προβολή της τροχιάς

σε διεύθυνση παράλληλη της δύναµης

i Αν F

εφάπτεται σε καµπύλη τροχιά

και έχει σταθερό µέτρο:

( )W F ΑΓ= ⋅ , όπου (ΑΓ): το µήκος

της τροχιάς

taexeiola.blogspot.com

Page 102: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

110. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας Τύποι - Βασικές έννοιες

i Αν η δύναµη είναι συντηρητική, όπως το βάρος, παί-

ζει ρόλο όχι η διαδροµή αλλά η αρχική και τελική θέση.

Για το βάρος είναι η κατακόρυφη απόσταση µεταξύ

των δύο θέσεων W Β ∆h= ⋅

β. Την µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της δύναµης

γ. Το πρόσηµο του έργου:

i είναι θετικό αν η δύναµη είναι οµόρροπη µε την µετατόπιση (προσφέρει

ενέργεια στο σώµα)

i είναι αρνητικό αν η δύναµη είναι αντίρροπη µε την µετατόπιση (αφαιρεί

ενέργεια από το σώµα)

i είναι µηδέν αν η δύναµη είναι κάθετη στην µετατόπιση.

ii. Η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας (Α.∆.Μ.Ε.)

( ) ( )2 2

1 1 2 21 2

1 1E E m mgh m mgh

2 2= ⇒ + = +υ υ

Πλεονεκτήµατα: Εφαρµόζεται µεταξύ δύο θέσεων της τροχιάς του κινητού,

αρκεί να έχω προσδιορίσει (είτε σαν δεδοµένο είτε σαν ζη-

τούµενο) την ταχύτητα και την θέση.

Μειονεκτήµατα: Εφαρµόζεται αν στο σώµα ασκούνται µόνο συντηρητικές δυ-

νάµεις (βάρος, ηλεκτροστατικές κ.λ.π).

iii. Θεώρηµα διατήρησης της ενέργειας (Α.∆.Ε. γενική διατύπωση):

( ) ( )F1 2E W W E+ + =αντ όπου

FW : το έργο των δυνάµεων που προσφέρουν ενέργεια στο σώµα, εκτός του

βάρους.

Wαντ : το έργο των δυνάµεων που αφαιρούν ενέργεια από το σώµα (τριβές,

αντιστάσεις κ.λ.π.), των οποίων το έργο είναι αρνητικό.

taexeiola.blogspot.com

Page 103: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

111. Τύποι - Βασικές έννοιες ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

Μεθοδολογία για λύση ασκήσεων µε συνθήκη ανακύκλωσης ή ανακύκλισης

Με τον όρο συνθήκη ανακύκλωσης στην καµπυλόγραµµη κίνηση εννούµε την

οριακή συνθήκη, ώστε το σώµα που εκτελεί καµπυλάγραµµη κίνηση να περνά από

το ανώτερο σηµείο της τροχιάς του, διατηρώντας οριακά την κυκλική κίνησή του

α. Σώµα δεµένο σε νήµα εκτελεί κυκλική κίνηση σε κα-

τακόρυφο επίπεδο. ∆έχεται την επίδραση της τάσης

Τ και του βάρους

Β . Η συνισταµένη των δυνάµεων

στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς είναι η κεντροµόλος:

( )2

Γκ

κ

mυmυF

B T 1

F B T

= + =

= +

Για να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση πρέπει T 0= . Από τη (1) έχουµε:2Γ,min

Γ,min

mυmg υ g= ⇒ =

β. Σώµα στο άκρο αβαρούς ράβδου που εκτελεί κυκλική

κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Αρκεί στο ανώτερο

σηµείο της τροχιάς να έχει µηδενική ταχύτητα:

Γ,minυ 0=

γ. Σώµα κινείται στο εσωτερικό καµπύλης τροχιάς (ή

στο εξωτερικό). Στο σώµα ασκούνται η κάθετη αντί-

δραση N

και το βάρος B

. Στο ανώτερο σηµείο της

τροχιάς η συνισταµένη τους, στην διεύθυνση της ακ-

τίνας είναι η κεντροµόλος:

( )2

Γκ

κ

mυmυF

B N 1RR

F B N

= + =

= + Για να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση πρέπει N 0= . Η (1) γίνεται:

2Γ,min

Γ,min

mυmg υ gR

R= ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 104: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

112. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Μαθαίνουµε

τις αποδείξεις

Απόδειξη 1

Να αποδειχθεί η σχέση µεταξύ του έργου βάρους και της µεταβολής της κινη-

τικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.):

Σώµα κινείται κατακόρυφα, κάνοντας ελεύθερη πτώση, αν θεω-

ρήσουµε αµελητέα την αντίσταση του αέρα. Στη θέση (Α) έχει

αρχική ταχύτητα 0υ

, ενώ µετά από ύψος h, στη θέση (Γ) έχει

ταχύτητα υ

. Η κίνηση είναι ευθ. οµαλά επιταχυνόµενη άρα:

( )00 0

υ υυ υ gt υ υ gt t 1

g

−= + ⇒ − = ⇒ =

( )12

0

1h υ t gt

2= + ⇒

( ) ( )2

0 00

υ υ υ υ1h υ g

g 2 2g

− −= + ⇒

( ) ( )2

0 0 02υ υ υ υ υh

2g 2g

− −= + ⇒ ( )

2 20υ υ

h 22g

−=

Το έργο του βάρους για την ίδια διαδροµή είναι:

( )2

BW B h= ⋅ ⇒2 2

0B

υ υW mg

2g

−= ⇒22

0B

mυmυW

2 2= −

Η ποσότητα 2mυ

2 εκφράζει την τελική κινητική ενέργεια

τελΚ ενώ η

20mυ

2 την

αρχική κινητική ενέργεια αρχ

Κ . Συνεπώς B τελ αρχW Κ Κ= − ⇒ BW ∆Κ=

∆ηλαδή η µεταβολή της κινητικής ενέργειας ισούται µε το έργο του βάρους στην

ελεύθερη πτώση.

Απόδειξη 2

Να αποδείξετε ότι το βάρος είναι συντηρητική δύναµη:

Πράγµατι το βάρος είναι συντηρητική δύναµη γιατί το

έργο του στην διαδροµή:

Α → Γ → Α είναι µηδέν.

Wολ = WΑΓ + WΓΑ ⇒ Wολ = Β · h – B · h = 0

ÂÞìá 1

taexeiola.blogspot.com

Page 105: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

113.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Απόδειξη 3

Να αποδείξετε ότι µια δύναµη είναι συντηρητική, αν το έργο της πάνω σε ένα

σωµάτιο που κινείται µεταξύ δύο σηµείων, εξαρτάται µόνο από τα σηµεία αυτά:

Πράγµατι, το έργο του βάρους στην διαδροµή Α → Γ

είναι ίδιο µε το έργο του στην διαδροµή Α → ∆.

Το WA∆ = Β·(Α∆) = B · h

Το ( ) ( ) ( )( )AΓ x

h AΓW Β AΓ Β ηµφ AΓ Β B h

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅

Από τις παραπάνω σχέσεις ισχύει: WA∆

= WΑΓ

Απόδειξη 4

Να αποδείξετε ότι η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας είναι ίση µε το έργο του βάρους:

Ένα σώµα µάζας m βρίσκεται στη θέση (1) και το αφήνουµε να πέσει ελεύθερα µέχρι

τη θέση (2) εξ’ αιτίας του βάρους του:

1 2 1 2 B(1 2)B(1 2)

2 1 1 2

U U mgh mgh mgh WW ∆U

όµως ∆U U U (U U )

→→

− = − = = ⇒ = −= − = − −

Απόδειξη 5

Να αποδείξετε ότι η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή, εφόσον εκτελεί-

ται έργο µόνο από συντηρητικές δυνάµεις: αλληλεπίδραση ολικόW W=

αλλ. 2 1 αλλ.

2 1 2 1αλλ. 2 1 αλλ.

1 1 2 2 1 2

Από Θ.Μ.Κ.Ε.: ∆Κ W Κ Κ WΚ Κ (U U )

∆U W (U U ) W

Κ U K U E E

= ⇒ − = ⇒ − = − − ⇒− = ⇒ − − =

+ = + ⇒ =

Απόδειξη 6

Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας που φτάνει στο έδαφος, ενός σώµατος

που εκτελεί οριζόντια βολή, µε αρχική ταχύτητα υ0 από ύψος h.

Σώµα µικρών διαστάσεων (αµελητέα η αντίσταση του αέρα), βάλλεται οριζόντια µε

ταχύτητα υ0, από ύψος h. Επειδή ασκείται µόνο το βάρος ισχύει η διατήρηση της µηχα-

νικής ενέργειας:

Από Α.∆.Μ.Ε. έχουµε για την ταχύτητα υ στο έδαφος:

2 2 2(A) (Γ) 0 0

1 1E E mυ mgh mυ υ υ 2gh

2 2= Þ + = Þ = +

Απόδειξη 7

Να αποδείξετε ότι: P = F · υ αν η F σταθ= και F υ↑↑

:

W F xP F υ

t t

⋅= = = ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 106: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

114. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Επαναλαµβάνουµε

τις ασκήσεις “κλειδιά”

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 247 - 250: Ερωτήσεις 1, 2, 4, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16

σ.σ. 251 - 253: Ασκήσεις 1, 4, 5, 12, 16, 19, 22

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ. 184: Ερωτήσεις 5, 6, 7, 8, 9, 10

σ.σ. 185 - 189: Ασκήσεις 4, 7, 12, 15, 16, 18, 19

σ. 208: Ερωτήσεις 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11

σ.σ. 209 - 213 : Ασκήσεις 4, 6, 8, 10, 14, 15, 16

taexeiola.blogspot.com

Page 107: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

115.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Λύνουµε περισσότερες

ασκήσεις

1. Σώµα µάζας m 1kg= βρίσκεται στο ανώ-

τερο σηµείο Α του τεταρτοκυκλίου που

είναι λείο. Αν το αφήσουµε ελεύθερο, φθά-

νοντας στο κατώτερο σηµείο του τεταρ-

τοκυκλίου Γ, συνεχίζει την κίνησή του σε

οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιά-

ζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ 0,2= .

Αν η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι R 1m= να βρείτε:

α. την ταχύτητα του σώµατος όταν διέρχεται από το κατώτερο σηµείο

Γ του τεταρτοκυκλίου.

β. τη µετατόπιση του σώµατος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο

γ. µετατροπές ενέργειας που έχουµε κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώµατος.

Λύση:

α. ΘΜΚΕ Α Γ→ : FΣW ∆Κ= ⇒ B N Γ ΑW W K Κ+ = − ⇒

Β ΓW Κ= ⇒

1m·g·R m·υ

2= ⇒

Γυ 2g ·R= ⇒

Γυ 20= m/s

β. ΘΜΚΕ Α ∆→ : FΣW ∆Κ= ⇒ T Β ∆ ΑW W K Κ+ = − ⇒ T Β

W W 0+ =

µ m g ∆x m g R 0− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ R 1m∆x ∆x 5m

µ 0,2= = ⇒ =

γ. NW 0= ( N

πάντοτε κάθετη στη µετατόπιση), ΚΑ = 0 ( 0υ 0= )

Κ∆ = 0 (στο σηµείο ∆ το σώµα σταµατάει)

( )Τ µΝ ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν m·g= = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =Η αρχική δυναµική ενέργεια στο σηµείο Α (UA = mgR) µετατρέπεται αρχικά

µέσω του έργου του βάρους σε κινητική ενέργεια στο σηµείο Γ:

2Γ Γ

1K m·υ

2 =

. Kατόπιν µετατρέπεται σε θερµότητα (µέσω του έργου της

τριβής) στη διαδροµή Γ∆ πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

Äx

N

N

TB

B

U = 0Ä

ÄÃ

R

R

A m

taexeiola.blogspot.com

Page 108: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

116. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο116. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Σώµα µάζας m 1kg= αφήνεται στο σηµείο Α κεκλιµένου επιπέδου γω-

νίας κλίσης οφ 60= που βρίσκεται σε ύψος h 1m= από το οριζόντιο

επίπεδο. Όταν το σώµα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου

συνεχίζει σε οριζόντιο επίπεδο µέχρις ότου σταµατήσει.

Αν το σώµα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής και στα δύο επίπεδα

3µ =

4 να βρεθούν:

α. Η ταχύτητα του σώµατος στη βάση Γ του κεκλιµένου επιπέδου.

β. Η µετατόπιση του σώµατος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

γ. Τις µετατροπές ενέργειας που έχουµε κατά τη διάρκεια της κίνησης.

δ. Το ποσοστό της αρχικής δυναµικής ενέργειας που γίνεται θερµότη-

τα στη κίνηση πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο.

Λύση:

xB Bηµφ m·g·ηµφ= = , yΒ Βσυνφ m·g·συνφ= =

11

h hηµφ ∆x

∆x ηµφ= ⇒ =

α. ΘΜΚΕ Α Γ→ : ΣWF = ∆Κ ⇒

x yB B T N Γ ΑW W W W K Κ+ + + = − ⇒

xB T ΓW W K+ = ⇒

2x 1 1 1 Γ

1Β ·∆x T ·∆x m·υ

2− = ⇒

h h 1m·g·ηµφ µ·m·g·συνφ m·υ

ηµφ ηµφ 2− = ⇒

Γ Γ

h συνφυ 2(g·h µ·g·συνφ ) υ 2g·h 1 µ

ηµφ ηµφ

= − ⇒ = − ⇒

Γυ 15m / s=

NW 0= , yBW 0= και AK 0=

y y yΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν Βσυνφ Ν m·g·συνφ= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

β. Στο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: ∆

Κ 0= και Β

W 0= ,

yΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν m·g= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

ΘΜKΕ Γ ∆ :→ FΣW ∆Κ= ⇒

B N T ∆ Γ 2 2

υW W W K Κ ∆x ∆x 3m

2µ·g+ + = − ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 109: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

117.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 117.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

γ. Η αρχική ∆υναµική ενέργεια στο Α µέσω του έργου του βάρους µετατρέπε-

ται σε κινητική στο Γ και µέσω του έργου της τριβής µετατρέπεται σε θερµό-

τητα µέχρι το Γ. Μετά όλη η κινητική στο Γ θα µετατραπεί µέσο του έργου

της τριβής σε θερµότητα έως το ∆.

δ. β

U m·g·h 10J= = , 2Γ

1K m·υ K 2,5J

2= ⇒ =

άρα β

Q U K 10J 2,5J 7,5 J= − = − = , εποµένως: β

Q 7,5 J0, 75 ή 75%

U 10 J= =

3. Σφαιρίδιο µάζας 1m 2kg= είναι δεµένο στο άκρο κατακόρυφου νήµα-

τος µήκους L 0,8m= . Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο ώστε το νήµα να γίνει

οριζόντιο και το αφήνουµε ελεύθερο. Όταν το νήµα γίνει πάλι κατακό-

ρυφο το σφαιρίδιο συναντά σώµα 2m 6kg= που ηρεµεί σε οριζόντιο

επίπεδο. Αν το σφαιρίδιο µετά την κρούση επιστέφει µε ταχύτητα µισή

της ταχύτητας πριν την κρούση να βρεθούν:

α. η ταχύτητα του σφαιριδίου µε την οποία συναντά το σώµα

β. την τιµή της τάσης του νήµατος λίγο πριν το σφαιρίδιο συναντήσει

το σώµα

γ. την ταχύτητα του σώµατος µετά τη συνάντηση

δ. το διάστηµα που θα διανύσει το σώµα m2 έως ότου σταµατήσει

είναι S 2m= , να βρεθεί ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος και

επιπέδου

ε. σε τι ύψος θα ξαναφθάσει το m1 στιγµιαία;

Λύση:

α. Θ.Μ.Κ.Ε. : FΣW ∆Κ= ⇒ B T Γ AW W K K+ = −

Επειδή T AW 0, K 0= = ισχύει: 21 1

1m·g·L m υ

2=

1υ 2g·L= ⇒ 1υ 4m / s=

β. 21

R 1

υΣF m

L= ⇒

21

1 1 1

υT B m

L− = ⇒

21

1 1 1

υT m ·g m

L= + ⇒

21

1 1

υT m g

L

= + ⇒ 1T 60N=

γ. Α.∆.Ο.: ολ, πριν ολ, µεταΡ Ρ

= ⇒ 11 1 1 2 2

υm υ m m υ

2= − + ⇒ 1

1 1 1 2 2

υm υ m m υ

2+ = ⇒

11 2 2

υ3m m υ

2= ⇒ 1 1

22

3m υυ

2m= ⇒ 2υ 2m / s=

taexeiola.blogspot.com

Page 110: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

118. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο118. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

δ. Θ.Μ.Κ.Ε. Γ ∆→ : FΣW ∆Κ=

N 0 B 0 T ∆ 0 ΓW W W K Κ= = =+ + = −

22 2 2

1µm g·S m υ

2− = − ⇒

22υ

µ 0,12 g S

= =⋅ ⋅

ε. Α.∆.Μ.Ε.: αρχ αρχ τελ τελ

K U Κ U+ = +

Επειδή αρχ τελ

U 0, K 0= =

2

11 1 1

υ1m m ·g·h

2 2 = ⇒

21

1

υh

8g= ⇒ 1h 0,2m=

4. Σώµα µάζας m 4kg= που ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο δέχεται δύναµη

F 20N= υπό γωνία φ ως προς αυτό και αφού το µετατοπίσει κατά

1∆x 5m= παύει να ασκείται. Το σώµα συνεχίζει να κινείται και σταµα-

τάει λόγο τριβών. Αν ο συντελεστής µεταξύ σώµατος και επιπέδου εί-

ναι µ 0,2= , να βρεθούν:

α. η ταχύτητα του σώµατος όταν παύει να ασκείται η δύναµη

β. η συνολική µετατόπιση του σώµατος.

∆ίνεται: 0ηµφ 0,8, συνφ 0,6, υ 0= = =

Λύση:

y 1 y 1 yΣF 0 Ν F Β 0 Ν Β F= ⇒ + − = ⇒ = − ⇒

1Ν m·g Fηµφ= − ⇒ ( )1 1Τ µΝ µ m·g fηµφ= = −

α. Θ.Μ.Κ.Ε. fΣW ∆Κ=

x y B N 0 Γ Γ A 0WF WF W W W K K= =+ + + + = =

( ) 21 1

1Fσυνφ·∆x µ m·g Fηµφ ∆x m·υ υ 3 2m/s

2− − = ⇒ =

β. y 2 2 2ΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν m·g= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

2 2Τ µΝ µm·g= = . Επειδή FΣW ∆Κ=

2 2T N B ∆ ΓW W W K Κ+ + = − ⇒ 2

2

1µ·m·g·∆x m·υ

2− = −

2

2

υ∆x 4,5m

2µ·g= = .

ολ 1 2∆x ∆x ∆x 5m 4,5m 9,5m= + = + =

Μετά ∆x 5m=

taexeiola.blogspot.com

Page 111: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

119.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 119.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

5. Σώµα µάζας m kg= ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. ∆ύναµη F 20N= α-

σκείται στο σώµα υπό γωνία φ, για χρόνο t 5s= και στη συνέχεια παύ-

ει να ασκείται. Το σώµα συνεχίζει να κινείται και σταµατάει λόγω τρι-

βών. Αν ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος ή επιπέδου είναι µ 0,2=να βρεθεί:

α. η ταχύτητα του σώµατος όταν παύει να ασκείται η δύναµη

β. η µετατόπιση του κατά τη διάρκεια όλης της κίνησης

Λύση:

α. y 1 1ΣF 0 Ν Fηµφ Β 0 Ν Β Fηµφ= ⇒ + − = ⇒ = − ⇒

( )1Ν m·g Fηµφ 1= − , ( ) ( )(1)

1 1Τ µΝ µ m·g Fηµφ 2= = −

(2)

x 1 1ΣF m·α Fσυνφ Τ m·α= ⇒ − = ⇒

( ) 1Fσυνφ µ m·g Fηµφ m·α− − = ⇒ 21α 1,8m/ s=

1 1υ α ·t 9m / s= = ⇒ 21 1 1

1∆x α ·t 22,5m

2= =

β. y 2 2 2ΣF 0 N B 0 N B N m·g= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = (3)

(3)

x 2 2 2ΣF m·α T m·α µΝ m·α= ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2µm·g m·α α µ·g= ⇒ = ⇒ 22α 2m/s=

0 2 2υ υ α ·t 2t 9s t 4,5s= − ⇒ = ⇒ =

22 0 2 2 2 2

1∆x υ ·t α t ∆x 20,25m

2= − ⇒ =

ολ 1 2∆x ∆x ∆x 22,5m 20,25m 42,25m= + = + =

6. Σώµα µαζας M 5kg= ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρου-

σιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ 0,1= . Βλήµα κινούµενο οριζό-

ντια µε ταχύτητα 0υ 100m/ s= και µάζας m 0,1kg= διαπερνά το σώµα

και η ταχύτητα του γίνεται 0υ / 2 . Να βρεθούν:

α. Η ταχύτητα του σώµατος Μ µετά την έξοδο του βλήµατος.

β. Η µεταβολή της ορµής του σώµατος Μ από τη στιγµή που ηρεµού-

σε µέχρι την έξοδο του βλήµατος.

Μετά t 5s=

taexeiola.blogspot.com

Page 112: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

120. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο120. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. Η µέση δύναµη που δέχεται το σώµα κατά τη διάρκεια της “κρού-

σης” αν αυτή διαρκεί ∆t = 0,01 s.

δ. Η θερµότητα που παράγεται κατά την κίνηση του σώµατος Μ πάνω

στο οριζόντιο επίπεδο, καθώς και η µετατόπιση µέχρι να σταµατή-

σει το σώµα µάζας Μ..

Λύση:

α. Α.∆.Ο.

0 0ολ,πριν ολ,µετα 0 0

υ υp p m·υ Μ·V m m·υ m Μ·V

2 2

= ⇒ = + ⇒ − = ⇒

0 0υ m·υm M·V V V 1m/s

2 2Μ⇒ = ⇒ = ⇒ =

β. M µετά πριν Μ Μ∆p p p ∆p Μ·V 0 ∆p 5kg·1m / s 5kgm / s = − ⇒ = − ⇒ = =

γ. M ΜM M M

∆p ∆p 5kgm / sF F F 500N

∆t ∆t 0,01s

= ⇒ = ⇒ = =

δ. yΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν Μ·g= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ T µ·Ν µ·Μ·g= =

Από Θ.Μ.Κ.Ε.: FΣW ∆Κ= ⇒ B N T Γ ΑW W W K Κ+ + = −

Επειδή B N ΓW W K 0= = = τότε

21µ·M·g·∆x ·Μ·V

2− = − ⇒

2V∆x

2µ·g= ∆x 0,5m⇒ =

TQ W= ⇒ Q µ·Μ·g·∆x= ⇒ Q 2,5J=

7. Στην Ολυµπιάδα του Σύδνεϋ το 2000 ο αρσι-

βαρίστας µας Πύρρος ∆ήµας σήκωσε στο α-

ρασέ µάζα m 250kg= σε ύψος h 1,8m= .

Να βρεθούν:

α. το έργο της δύναµης που έβαλε ο Πύρρος

για να σηκώσει τα βάρη

β. το έργο του βάρους

γ. τη δυναµική ενέργεια που έχουν τα βάρη στο ύψος h

δ. την ισχύ του Πύρρου αν σηκώσει τα βάρη σε t 5s=ε. όταν τα αφήνει ο Πύρρος από το ύψος h, να βρεθεί η ταχύτητα µε

την οποία προσπίπτουν στο δάπεδο.

taexeiola.blogspot.com

Page 113: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

121.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 121.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Θεωρούµε ότι ο Πύρρος σηκώνει τα βάρη µε σταθερή ταχύτητα και

2g 10m/ s=

Λύση

α. F 2

mW F·h B·h m·g·h W 250kg·10 ·1,8m W 4500J

s= = = ⇒ = ⇒ =

επειδή υ = σταθερή, ΣF 0 F B 0 F B= ⇒ − = ⇒ =

β. 2B B BW m·g·h W 250kg·10m/s ·1,8m W 4500J= − ⇒ = − ⇒ = −

γ. ( )B B τελ αρχ B τελ τελW ∆U W U U W U U 4500J= − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒ =

δ. FW 4500JP 900W

t 5s= = =

ε. Α.∆.Μ.Ε.

αρχ αρχ τελ τελK U Κ U+ = +

Επειδή αρχ τελ

K 0, U 0= =

αρχ2αρχ

2U1 2·4500JU m·υ υ υ υ 6m / s

2 m 250kg= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 114: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

122. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

1. Σώµα µάζας m 1kg= ανεβαίνει κεκλιµένο επί-

πεδο µε τη βοήθεια οριζόντιας δύναµη F µε

σταθερή ταχύτητα υ 10m / s= . Ο συντελεστής

τριβής ανάµεσα στο σώµα και το επίπεδο εί-

ναι µ 0,5= . Αν το σώµα µετατοπιστεί κατά

∆x 5m= να βρείτε:

α. το έργο της δύναµης

β. το έργο του βάρους

γ. το έργο της τριβής

δ. το έργο της συνισταµένης των δυνάµεων

ε. ποια η ισχύς της δύναµης F.

∆ίνονται ηµφ 0,6= , συνφ 0,8= , 2g 10m/ s= .

2. Σώµα ξεκινά από την ηρεµία µε την άσκη-

ση δύναµης F (οριζόντιας) που το µέτρο της

µεταβάλεται όπως δείχνει το διάγραµµα

F x− . Αν η δύναµη καταργείται µετά από

1∆x 10m= να βρεθούν:

α. τη ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή της

κατάργησης της δύναµης F

β. τη µετατόπιση του σώµατος µετά την κα-

τάργηση της δύναµης έως όταν σταµατήσει

γ. τη συνολική θερµότητα που παράχθηκε.

∆ίνεται συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος του οριζοντίου

επιπέδου µ 0,2= και µάζα σώµατος m 2kg= , 2g 10m/ s= .

3. Έλκηθρο ηρεµεί σε πίστα χιονοδροµικού κέντρου και έχει µάζα

2m 45kg= . Ένα παιδί µάζας 1m 30kg= τρέχοντας µε ταχύτητα

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 Λύνουµε µόνοι µας

taexeiola.blogspot.com

Page 115: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

123.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1υ 10m / s= πηδάει πάνω στο έλκηθρο. Αν ο συντελεστής µεταξύ έλκη-

θρου και χιονιού είναι µ 0,05= να βρεθούν:

α. η κοινή ταχύτητα έλκηθρου - παιδιού

β. η µεταβολή της ορµής του παιδιού

γ. η απόσταση που θα διανύσει το έλκηρθο µέχρι να σταµατήσει αν η

πίστα είναι οριζόντια

δ. την απώλεια κινητική ενέργειας του συστήµατος παιδί - έλκηθρο

κατά την “κρούση” τους. ∆ίνεται 2g 10m/ s=

4. Σώµα ρίχνεται µε ταχύτητα 0υ κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου οφ 60=

προς τα πάνω και διανύει διάστηµα 1S 8m= µέχρι να σταµατήσει. Το

ίδιο σώµα ρίχνεται µε την ίδια ταχύτητα 0υ σε οριζόντιο επίπεδο και

διανύει διάστηµα 2S 16m= µέχρι να σταµατήσει. Αν το σώµα παρου-

σιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής µε τα δύο επίπεδα να βρεθούν:

α. ο συντελεστής τριβής

β. η αρχική ταχύτητα του σώµατος

γ. η θερµότητα που παράγεται στις δύο διαδροµές

δ. γιατί δεν είναι ίδια αφού την ίδια αρχική κινητική ενέργεια δώσαµε

στο σώµα. ∆ίνεται m 2kg= και 2g 10m / s= .

taexeiola.blogspot.com

Page 116: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

124. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

5. Σώµα µάζας 1m 1kg= εκτοξεύεται µε ταχύτητα 0υ 10m/ s= πάνω σε

οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής µ 0,2= .

Όταν διανύσει απόσταση 1∆x 9m= συναντά σώµα µάζας 2m 3kg= και

η κρούση είναι πλαστική. Στη συνέχεια το συσσωµάτωµα ανεβαίνει

κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ όπως δείχνει το σχήµα. Αν το συσσωµά-

τωµα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής µε το κεκλιµένο επίπε-

δο να βρεθούν:

α. η ταχύτητα του σώµατος 1m πριν συγκρουστεί µε το σώµα 2mβ. την κοινή τους ταχύτητα µετά τη σύγκρουση

γ. το ύψος που θα ανέβει το συσσωµάτωµα πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο.

∆ίνεται 2g 10m/ s=

6. Εργάτης µεταφέρει κουβά γεµάτο χαλίκι µάζας m 20kg= στο δεύτερο

όροφο οικοδοµής από το δρόµο, ανεβαίνοντας N 30= σκαλιά. Αν το

ύψος κάθε σκαλιού είναι h 20cm= και ο εργάτης ανεβαίνει µε σταθερή

τιµή ταχύτητας να βρεθούν:

α. το έργο της δύναµης του εργάτη

β. το έργου του βάρους του κουβά

γ. η δυναµική ενέργεια του κουβά στο δεύτερο όροφο της οικοδοµής

δ. η ισχύς του εργάτη αν χρειάστηκε 60s για να ανεβάσει τον κουβά

ε. αν ο κουβάς φύγει από τα χέρια του εργάτη και πέσει ελεύθερα στο

κενό µε τι ταχύτητα προσκρούει στο δρόµο;

∆ίνεται 2g 10m/ s=

taexeiola.blogspot.com

Page 117: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

125.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τις γνώσεις µας

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4

ÂÞìá 5 Ελέγχουµε τις γνώση µας

Θέµα 1ο

1. Το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας εκφράζει ότι το συνολικό

..................... δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα είναι ..................... µε την

µεταβολή .................... του σώµατος.

2. Να αντιστοιχίσετε τις µονάδες της αριστερής στήλης µε τα φυσικά µεγέθη της

δεξιάς στήλης.

Μονάδες Φυσικά µεγέθη

α. Ν 1. Ενέργεια

β. m 2. ∆ύναµη

γ. N m⋅ 3. Μετατόπιση

δ. J 4. Έργο

3. Από ύψος 1m αφήνουµε να πέσει ένα φύλλο χαρτί. Ποιες από τις παρακάτω

αρχές ισχύουν:

α. ∆ιατήρηση της ορµής

β. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας

γ. Θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας

δ. ∆ιατήρηση της ενέργειας

4. Συµπληρώστε τα κενά:

Το έργο του βάρους είναι .................. της διαδροµής που ακολουθεί το σώµα και

εξαρτάται από την ................. και από την διαφορά ............... .

5. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης µε τις µονάδες τους

α. έργο

β. ρυθµός ενέργειας

γ. ενέργεια

δ. δύναµη

ε. ορµή

m1kg

s

1 J

1 N

1 W

taexeiola.blogspot.com

Page 118: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

126. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5ο

Θέµα 2ο

α. Η επιτάχυνση ενός σώµατος που αρχικά ηρεµεί και

έχει µάζα m 2kg= , µεταβάλλεται µε την µετατόπιση

όπως στο σχήµα. Να υπολογίσετε το έργο που παρά-

γεται για µετατόπιση από 0 έως 6m, καθώς και την

ταχύτητά του στην θέση 6m.

β. Είναι δυνατόν να ασκείται δύναµη σε κάποιο σώµα και να µην παράγεται έργο;

Αναφέρετε ένα π.χ. για να υποστηρίξετε την άποψή σας

γ. Ένα σώµα µικρών διαστάσεων βάλλεται οριζόντια από ύψος h µε αρχική ταχύτη-

τα 0υ . Αν είναι γνωστή η επιτάχυνση της βαρύτητας να υπολογίσετε το µέτρο

της ταχύτητάς του τη στιγµή που φθάνει στο έδαφος (αντίσταση του αέρα αµε-

λείται).

Θέµα 3ο

Σώµα µάζας m 2kg= που αρχικά ηρεµεί σε κεκλιµένο δάπεδο γωνίας ο

φ 30= µε

το οποίο παρουσιάζει συντελεστής τριβής ολίσθησης 3

µ6

= , δέχεται την επίδρα-

ση σταθερής δύναµης F

, µέτρου F 19N= παράλληλη στο κεκλιµένο δάπεδο.

Αν 2g 10m /s= να υπολογίσετε:

α. Την επιτάχυνση του σώµατος.

β. Την µετατόπιση του την στιγµή που έχει ταχύτητα υ 8m / s= .

Θέµα 4ο

Σώµα µάζας m 2kg= , που αρχικά ηρεµεί σε οριζό-

ντιο δάπεδο µε το οποίο έχει συντελεστή τριβής

ολίσθησης 0,1=µ . Στο σώµα ασκείται οριζόντια

δύναµη που µεταβάλλεται µε τη θέση όπως στο σχή-

µα. Να υπολογίσετε:

α. Το έργο της F για µετατόπιση από 0 έως 6m.

β. Το έργο της τριβής για την ίδια µετατόπιση.

γ. Την ταχύτητά του στην θέση x 6m= .

∆ίνεται 2g 10m/s=

taexeiola.blogspot.com

Page 119: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

127.Γενικό ∆ιαγώνισµα

Γενικό ∆ιαγώνισµα

Θέµα 1ο

1. Καθώς µια µικρή σφαίρα εκτελεί οριζόντια βολή, χωρίς αντιστάσεις πέφτει

στο έδαφος.

α. Η κινητική της ενέργεια διατηρείται

β. Η κινητική της ενέργεια µετατρέπεται σε δυναµική

γ. Η δυναµική της ενέργεια διατηρείται

δ. Η δυναµική της ενέργεια µετατρέπεται σε κινητική

2. Ένα σώµα κατέρχεται ολισθαίνοντας στο κεκλιµένο δάπεδο. Να αντιστοι-

χίσετε τα διανύσµατα του διαγράµµατος µε τα φυσικά µεγέθη της δεξιάς

στήλης.

α. Βάρος σώµατος

β. Τριβή ολίσθησης

γ. Κάθετη αντίδραση

δ. Στατική τριβή

3. ∆ύο δυνάµεις 6Ν και 2Ν ακούνται στο ίδιο σώµα. Πόση είναι η συνισταµέ-

νη δύναµη;

α. 8Ν β. 4Ν

γ. 5Ν δ. τα στοιχεία δέν επαρκούν για την απάντηση.

4. Να χαρακτηρίσετε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες.

α. Στο διάγραµµα υ(t) το εµβαδόν µας δείχνει αριθµητικά την επιτάχυνση. ( )

β. Για να κινείται ένα σώµα µε σταθερή ταχύτητα πρέπει να ασκείται πάνω του

µια δύναµη. ( )

γ. Για να ισορροπεί ένα σώµα υπό την επίδραση τριών οµοεπιπέδων δυνάµεων

πρέπει η συνισταµένη των δύο να είναι αντίθετη της τρίτης. ( )

δ. Το βάρος µας είναι πάντα εσωτερική δύναµη. ( )

ε. Μια δύναµη δεν παράγει έργο, όταν είναι κάθετη στην µετατόπιση. ( )

5. Να αντιστοιχίσετε τα µεγέθη της αριστερής στήλης µε τις µονάδες της δε-

ξιάς στήλης.

Α. επιτάχυνση α. 1J

Β. ορµή β. 2

m1N

S

Γ. δύναµη γ. 2

m1

S∆. κινητική ενέργεια δ. 1N m⋅

Ε. έργο ε. m

1kgS

taexeiola.blogspot.com

Page 120: Fusiki a Lykeioy Theoria-Askiseis

128. Γενικό ∆ιαγώνισµα

Θέµα 2ο

1. Μικρή σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια από µικρό ύψος h µε ταχύτητα 0υ . Αν είναι

γνωστό το g να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας που πέφτει στο έδαφος, µε

την διατήρηση της µηχανικής ενέργειας.

2. Να διατυπώσετε τον 1ο νόµο του Νέυτωνα και να δώσετε ένα παράδειγµα.

3. Η επιτάχυνση ενός σώµατος που ηρεµεί κια έχει

µάζα m 2kg= , µεταβάλλεται µε την µετατόπιση

όπως στο σχήµα. Να υπολογίσετε το έργο που πα-

ράγεται για µετατόπιση από 0 έως 6m, καθώς και

την ταχύτητά του στη θέση 6m.

Θέµα 3ο

1. Σε σώµα µάζας m 50kg= που ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο, ενεργεί σταθερή ορι-

ζόντια δύναµη µέτρου F 150N= και το µετατοπίζει κατά 1x 20m= . Στη συνέ-

χεια το σώµα µετατοπίζεται χωρίς την επίδραση της δύναµης και τελικά σταµα-

τάει, αφού διανύσει ακόµη µετατόπιση 2x 30m= . Να υπολογίσετε:

α. Το ολικό έργο της τριβής.

β. Τον συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ του σώµατος και του δαπέδου.

∆ίνεται 2g 10m / s= .

Θέµα 4ο

Ένα αυτοκινητάκι διατρέχει το πρώτο µισό µιας ευθύγραµµης πίστας µήκους 100m

µε σταθερή ταχύτητα 5m/s. Στο δεύτερο µισό της πίστας παρουσιάζει µηχανικό

πρόβληµα και επιβραδύνεται µε σταθερή επιβράδυνση 20,2m/s .

α. Σε πόσο χρόνο θα διατρέξει την απόσταση των 100m;

β. Με ποια ταχύτητα τερµατίζει;

taexeiola.blogspot.com