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EL PRECIO TEÓRICO DEL FUTUROUn futuro es un contrato a plazo negociado en un mercado organizado en el que a fecha de hoy se
fija el precio de compraventa de un activo que se intercambiará en un momento posterior. A continua-ción explicaremos el proceso por el que se determina el precio al que se va a realizar la transacción eco-nómica a plazo.
El nombre del contrato, futuro, puede dar lugar a equívocos al asociarse a incertidumbre. Sin embar-go, nada más alejado de la realidad. Futuro implica seguridad: fijar hoy el precio de una transacción eco-nómica a plazo independientemente de cuál sea la evolución del precio del activo objeto de intercambio.
El siguiente cuadro recoge cotizaciones de los contratos de futuro negociados en MEFF el 2 de marzode 2006:
37
2FUTUROS DE RENTA VARIABLE
C U A D R O 1
En la columna de "contado" aparece el precio de las acciones en ese momento, mientras que bajoel epígrafe "futuros" cotizan las transacciones económicas a plazo de dichas acciones con vencimien-to 17 de marzo de 2006. Como podemos observar, existen diferencias entre el precio de futuro y elprecio de contado. Algunos activos (como Repsol YPF) tienen su precio de futuro por encima del con-tado y otros (como Gas Natural) lo tienen por debajo. ¿Tiene esto algo que ver con expectativas alcis-tas o bajistas sobre la evolución del precio de las acciones? Tal y como vamos a ver a continuación, larespuesta es no.
El precio del futuro es aquél que hace financieramente equivalente comprar el activo hoy o hacer-lo en la fecha de vencimiento. Por lo tanto, responde a la siguiente fórmula en la que existen dos par-tes bien diferenciadas: la capitalización del activo y el pago de dividendos.
ti = tipo de interés libre de riesgo desde la fecha de cálculo hasta el vencimiento.
ti’ = tipo de interés libre de riesgo desde que se recibe el dividendos hasta la fecha de vencimiento.
Es un tipo forward.
d = días hasta el vencimiento.
d’ = Días desde que se paga el dividendo hasta el vencimiento.
La capitalización incrementa el precio del futuro sobre el precio de contado para recoger el costede oportunidad que supone retrasar la compra del activo hasta la fecha de vencimiento. Por otro lado,el dividendo disminuye el precio del futuro con respecto al precio de contado ya que, al comprar elactivo en la fecha de vencimiento, el inversor no va a ingresar los dividendos desembolsados con ante-rioridad. Además, esta cantidad también se invierte al tipo de interés libre de riesgo durante el tiem-po que queda hasta el vencimiento. Es importante destacar que, en el caso de los dividendos, se uti-liza el tipo de interés forward que media desde que se reparten hasta la fecha de vencimiento. Otraalternativa que evita el cálculo del tipo de interés forward, sería actualizar los dividendos al tipo decontado y después capitalizarlo todo hasta la fecha de vencimiento:
ti = tipo de interés libre de riesgo desde la fecha de cálculo hasta el vencimiento.
ti’ = tipo de interés libre de riesgo desde la fecha de cáculo hasta la fecha de pago del dividendo.
d = días hasta el vencimiento.
d’ = Días hasta el pago del dividendo.
Según lo anterior, el precio del futuro no responde a ningún tipo de expectativas (éstas lasincorpora el precio de contado) sino que tan solo tiene en cuenta los tipos de interés, dividen-dos y tiempo al vencimiento, pudiendo cotizar:
CCoonn pprriimmaa oo ccoonnttaannggoo:: el precio del futuro cotiza por encima del precio de contado. La capita-lización del activo es superior al descuento de dividendos o no hay pago de los mismos.
CCoonn ddeessccuueennttoo oo BBaacckkwwaarrddaattiioonn:: el precio del futuro cotiza por debajo del precio de contado.Hay pago de dividendos y éstos son una cantidad superior a la capitalización del activo.
38
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
Precio Futuro = Precio Contado (1 + ) - Dividendos (1 + )ti x d
360
ti’ x d’
360
Precio Futuro = Precio Contado -
(1 + )(1 + )
Dividendo
ti’ x d’
360
ti x d
360[ ]
Veamos un ejemplo numérico a partir de las cotizaciones de Endesa del 2 de marzo de 2006:
Como se ha comentado, la diferencia entre el último precio cruzado de contado (27,48€)y el último precio cruzado del futuro con vencimiento el 16 de junio de 2006 (27,67€), noresponde a expectativas de revalorización de Endesa para ese periodo, sino que simplementeestablece la equivalencia entre comprar el 2 de marzo a 27,48€ o comprar el 16 de junio a27,67€. Se trata de una misma cantidad pero en diferentes momentos del tiempo. Puesto quehay 106 días entre las dos fechas consideradas, la inversión de 27,48€ al tipo de interés librede riesgo (EuriborI) durante ese periodo generaría exactamente 27,67€. Puesto que Endesa nopaga ningún dividendo entre el 2 de marzo y el 16 de junio, la relación contado/futuro reco-ge exclusivamente el tipo de interés libre riesgo.
En el siguiente gráfico se representa la evolución del Índice IBEX 35® y del Futuro sobreIBEX 35® correspondiente a la sesión del 2 de marzo de 2006.
39
FUTUROS DE RENTA VARIABLE2
27,67 = 27,48 (1 + )2,35% x 106
360
C U A D R O 2
COTIZACIÓN DE LA ACCIÓN Y FUTUROS DE ENDESA
G R Á F I C O 1
INDICE IBEX 35® VS FUTURO IBEX 35®
11.550
11.540
11.530
11.520
11.510
11.500
11.490
11.480
11.470
11.460
11.450
11.440
9.00
10.0
0
11.0
0
12.0
0
13.0
0
14.0
0
15.0
0
16.0
0
17.0
0
FuturoContado
Se observa que cualquier cambio en el precio de las acciones se refleja inmediatamente enla cotización del futuro, por lo que la diferencia entre contado y futuro, que denominamos"base", se mantiene más o menos constante a lo largo de la sesión. Según la fórmula descritaanteriormente, esta base es el reflejo de la relación existente entre el tipo de interés libre deriesgo y de los dividendos que pague el activo hasta el vencimiento. Lógicamente, en la fechaen que expira el contrato la base debe ser cero.
Si por cualquier motivo esta relación de equilibrio se rompe, inmediatamente actuarán losdenominados arbitrajistas corrigiendo la ineficiencia en el proceso de formación de precios.
Pongamos un ejemplo:
Supongamos que el precio del futuro de Endesa no fuera 27,67€ sino 28€. El tipo de inte-rés que estaría relacionando contado y futuro sería 6,43% (recordemos que el Euribor para elplazo considerado es 2,35%). Se genera por lo tanto una ineficiencia en la formación del pre-cio del futuro que el mercado inmediatamente corregiría mediante la intervención de los arbi-trajistas. Éstos tratan de obtener beneficios aprovechando dichas ineficiencias y lograndosimultáneamente eliminarlas mediante la corrección de los precios. En nuestro ejemplo, unarbitrajista realizaría la siguiente operación:
Pedir un préstamo al tipo Euribor (2,35%) de 2.748€ (+2.748€)
Comprar 100 acciones de Endesa a 27,48€ (-2.748€)
Vender 1 futuro de Endesa a 28€ (cada futuro tiene un nominal de 100 acciones).
En la fecha de vencimiento:
Cumple con la obligación de venta de 100 acciones a 28€ (+2.800€)
Devuelve el préstamo solicitado de 2.767€ (-2.748€ de principal y -19€ de intereses).
Rendimiento total: 2.800€ - 2.767€ = +33€
Cabe destacar los siguientes aspectos con respecto a esta operativa del arbitrajista:
1. Compra a un precio y vende a otro superior en el mismo momento del tiempo, sin ries-go ni incertidumbre.
2. Compra contado (infravalorado) lo cual presiona el precio al alza y vende futuro (sobre-valorado) lo cual presiona el precio a la baja. Por lo tanto, los precios tenderán a equilibrarsede nuevo.
En resumen, el precio del futuro de un activo guarda una relación directa con el precio delactivo en cuestión, los tipos de interés, los dividendos y el tiempo hasta el vencimiento.Cualquier otro precio que no satisfaga esa relación, será arbitrable y por tanto corregido deinmediato por el mercado.
Vamos a complicar un poco la operación de arbitraje anterior poniendo un ejemplo decómo una entidad puede cotizar la horquilla de precios del futuro de un activo.
Los datos de partida son los siguientes:
Quedan 98 días a vencimiento (hoy es 11 de diciembre de 2009 y el vencimiento es el 19de marzo de 2010).
40
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
La cotización de la acción de BBVA es:
El tipo de interés libre de riesgo a 98 días es 0,74%.
Podemos conseguir prestadas acciones de BBVA a cambio de un 2%.
No hay pago de dividendos.
Precio de venta (ask): para que alguien pueda asegurarse el precio de compra de unas accio-nes en una fecha futura, la entidad tendrá que contraer la obligación de venderlas. Para ello,deberá realizar las siguientes operaciones:
-HOY:
Pedir prestado dinero al tipo de interés libre de riesgo (+1.218€)
Con el dinero del préstamo comprar las acciones (-1.218€)
Si hubiera dividendos los ingresaría, por lo que habría que restarlos al precio futuro.
-VENCIMIENTO:
Tiene la obligación de vender las acciones al precio futuro pactado (X)
Devuelve el préstamo y los intereses (-1.220,44€)
¿Cuál debería ser el precio de venta del futuro? Claramente el que permite recuperar los1.220,44€ que ha costado mantener las acciones hasta el vencimiento, por lo tanto la cotiza-ción será 12,21€.
Precio de compra (bid): para que alguien pueda asegurarse el precio de venta de unas accio-nes en una fecha futura, la entidad tendrá que contraer la obligación de comprarlas. Para ellodeberá realizar las siguientes operaciones:
-HOY:
Pedir prestadas temporalmente las acciones a cambio de "un alquiler" (2%)
Vender las acciones en el mercado (+1.217€)
El dinero obtenido de la venta de acciones se invierte al tipo de interés libre de riesgo. (-1.217€)
41
FUTUROS DE RENTA VARIABLE2
C U A D R O 3
COTIZACIÓN DE LA ACCIÓN DE BBVA
LAS OPCIONES FINANCIERAS: EL VALOR INTRÍNSECO Y EL VALORTEMPORAL
Los contratos de opción son derechos que otorgan a su poseedor la posibilidad comprar(en el caso de un call) o vender (en el caso de un put) un activo subyacente a un precio deter-minado (precio de ejercicio) en una fecha de vencimiento a cambio del pago de una cantidadllamada prima.
Aunque pueda parecer que se trata de activos desarrollados recientemente, las opciones sehan venido negociando desde hace siglos. Por ejemplo, existen referencias del enriquecimientode Tales de Mileto con unas opciones sobre aceitunas, al realizar una previsión adecuada de cuálsería la evolución de una determinada cosecha. Otro ejemplo más próximo en el tiempo sería elactivo mercado de opciones (llamadas Opsies) creado en Ámsterdam en el siglo XVIII.
Sin embargo, la industria de las opciones da un gran salto cuantitativo en 1973 cuandoFischer Black y Myron Scholes publican su artículo “The Pricing of Options and CorporateLiabilities” en el que encuentran la solución para valorar opciones financieras (trabajos desarro-llados 10 años antes no lo lograron o quedaron incompletos: (Samuelson, Sprenkle, etc.) Porotro lado y de manera simultánea, Robert Merton publicó "Theory of Rational Option Pricing".Todos ellos son los padres de la teoría de valoración de opciones, razón por la cual Scholes yMerton recibieron el premio Nóbel en 1997 (Black murió en 1995, de no ser así seguramentetambién lo habría obtenido).
La famosa fórmula de Black-Scholes y el resto de sus variaciones (Merton, Black 76, etc.)se utiliza actualmente para calcular el precio de las opciones. Y es precisamente la prima de lasopciones lo que vamos a explicar, intentando aproximarnos de momento a ella de maneraintuitiva, evitando la formulación matemática asociada.
87
3LA PRIMA DE LAS OPCIONES
Para empezar, la primera pregunta que vamos a tratar de responder es la siguiente: ¿Cuántoestaría dispuesto a pagar por tener derecho a comprar (opción call) dentro de 6 meses accio-nes de Repsol a 21€ cuando ahora mismo está cotizando a 22€? ¿1,10€? ¿0,25€? ¿2,05€?
Difícil ¿verdad? Para poder contestar a esta pregunta hay que tener en cuenta los siguien-tes factores:
Precio del activo subyacente: precio del activo objeto de intercambio que puede estar cons-tantemente variando.
Precio de ejercicio: precio pactado para comprar o vender según sea call o put respectiva-mente.
Tiempo a vencimiento: tiempo que queda hasta el día en que expira el contrato.
Volatilidad futura: fluctuación estimada del activo subyacente hasta la fecha de vencimien-to.
Tipo de interés libre de riesgo hasta el día de vencimiento.
Dividendos: rendimientos que genera el activo subyacente entre el momento de compra oventa y la fecha de vencimiento.
Teniendo en cuenta los parámetros anteriores, a la hora de fijar la prima de una opción decompra sobre Repsol con precio de ejercicio 21€ y vencimiento dentro de 6 meses, podemosintuir los siguientes aspectos:
El precio del activo subyacente va a ser un factor clave: si Repsol cotiza a 20€ deberá subirpor encima de 21€ para que el call proporcione algún beneficio en la fecha de vencimien-to, mientras que si Repsol cotiza a 22€ el tenedor de la opción podría estar interesado enejercerla en este mismo momento.
Otro aspecto muy importante es el tiempo que queda hasta la fecha de vencimiento. Si esta-mos hablando de un período de seis meses, puede ocurrir casi cualquier cosa con el pre-cio del activo subyacente, mientras que si solo queda un día, salvo que ocurra un aconte-cimiento muy especial, el activo subyacente estará a un precio parecido al de hoy, por enci-ma o por debajo, pero no muy alejado.
Lo comentado anteriormente se puede resumir en una composición de la prima como sumade dos factores: valor intrínseco y valor temporal o extrínseco.
PPRRIIMMAA == VVAALLOORR IINNTTRRÍÍNNSSEECCOO ++ VVAALLOORR TTEEMMPPOORRAALL
El valor intrínseco es el beneficio que proporcionaría una opción si se ejerciese en el mismomomento en que se está valorando. Por lo tanto, este componente va a ser siempre igual omayor que cero (ver gráficos 1 y 2). Aunque nos estemos adelantando un poco, es necesariocomentar que casi nunca suele ser óptimo este ejercicio anticipado de opcionesII, salvo en casosmuy concretos(3), precisamente porque solo se ganaría el valor intrínseco, mientras que si ven-diera la opción en mercado se obtendría el valor intrínseco más el valor temporal.
88
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
Por ejemplo, si el activo subyacente (PS) cotiza a 21€, el valor intrínseco (VI) de las siguien-tes opciones se calculará a partir de su correspondiente precio de ejercicio (PE) aplicando lafórmula:
89
LA PRIMA DE LAS OPCIONES 3
G R Á F I C O 1
VALOR INTRÍNSECO CALL@100
30
25
20
15
10
5
0
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125
G R Á F I C O 2
VALOR INRÍNSECO PUT@100
30
25
20
15
10
5
0
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125
C U A D R O 1
VI Call = Max(PS – PE,0) VI Put = Max(PE – PS,0)Call PE 20, VI = 1€ Put PE 20, VI = 0€
Call PE 22, VI = 0€ Put PE 22, VI = 1€
Evitando cálculos matemáticos complejos, de momento, definiremos el valor temporal deuna opción como el importe en que la totalidad de la prima excede al valor intrínseco. Se tratade la cantidad adicional que el inversor está dispuesto a pagar por beneficiarse de una evolu-ción favorable de los precios limitando su pérdida a la prima desembolsada ante una evolucióndesfavorable. Por lo tanto, a partir del tiempo a vencimiento y habida cuenta de la volatilidadesperada del activo subyacente, se estima en qué niveles (máximo y mínimo) podría estar elactivo subyacente en la fecha en la que expira la opción. Es decir, estaremos dispuestos a des-embolsar prima en función de la probabilidad que haya de ganar dinero con esa opción, porlo que cuanta más incertidumbre haya más valor temporal estaremos dispuestos a pagar (vergráfico 3).
El valor temporal es máximo para aquellas opciones cuyo precio de ejercicio se encuentrapróximo al nivel del activo subyacente, ya que son las que incorporan una mayor incertidum-bre sobre su probabilidad de ejercicio. Aquellas opciones cuyo precio de ejercicio se encuen-tra más alejado del activo subyacente suponen una menor incertidumbre y, por lo tanto, suvalor temporal es más pequeño.
Por consiguiente, el valor intrínseco se calcula directamente a partir del precio del activosubyacente y el precio de ejercicio. Sin embargo, en el cálculo del valor temporal influiránotros factores comentados anteriormente, especialmente el tiempo a vencimiento y la volatili-dad. Estos dos componentes son básicos para la valoración de opciones y están muy relacio-nados entre sí: para que la volatilidad se pueda traducir en variabilidad de precios tiene quehaber tiempo a vencimiento y viceversa. Por esta razón el valor temporal de las opciones se vaerosionando hasta que en la fecha de vencimiento es cero (ver gráfico 4).
Cabe destacar cómo el valor temporal decae más rápidamente cuanto menos tiempo quedael vencimiento, debido a que existe una mayor una certeza sobre la probabilidad de ejerciciode la opción. A mayor incertidumbre sobre el ejercicio, mayor valor temporal y viceversa.
90
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
G R Á F I C O 3
VALOR TEMPORAL CALL Y PUT@100
8
7
6
5
4
3
2
1
0
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125
En resumen, la prima de una opción se compone de un valor cierto llamado valor intrín-seco y otro más subjetivo que tiene que ver con la probabilidad de que la opción se ejerza ono llamado valor temporal (ver gráficos 5 y 6).
91
LA PRIMA DE LAS OPCIONES 3
G R Á F I C O 5
VALOR TEÓRICO CALL@100
30
25
20
15
10
5
0
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125
Prima CallVIVT
G R Á F I C O 4
EVOLUCIÓN DEL VALOR TEMPORAL A VENCIMIENTO
TIEMPO A
VENCIMIENTO
PRIMA
Valor Temporal
Valor Intrínseco
Valor Temporal
vto
Para la toma de posiciones en opciones es conveniente conocer cómo afectan al precio deuna opción los movimientos en el precio del activo subyacente, volatilidad, tiempo a venci-miento, tipos de interés y dividendos tal y como hemos visto en el capítulo anterior (ver cua-dro 1). Pero no sólo es necesario saber si el efecto beneficia o perjudica a la cartera. Tambiénes fundamental poder cuantificarlo. Para ello utilizaremos las sensibilidades (también llamadasGriegas).
127
4SENSIBILIDADES DE LAS OPCIONES
C U A D R O 1
RESUMEN DE MOVIMIENTOS EN PARÁMETROS QUE AFECTAN A LA VALORACIÓN DE OPCIONESMovimiento Call Put
Subyacente s s t
t t s
P.Ejercicio s t s
t s t
Volatilidad s s s
t t t
Temp. Vto. t t t
Dividendos s t s
t s t
T.Interés s Suby.Contado s t
s Suby.futuro t t
t Suby.Contado t s
t Suby.futuro s s
Por ejemplo, a partir de la siguiente cartera de Telefónica:
¿Podríamos responder a las siguientes preguntas básicas?:
¿Se trata de una cartera alcista o bajista?
¿Cuánto ganamos/perdemos ante movimientos de un tick en el activo subyacente?
¿Cuánto ganamos/perdemos ante movimientos en la volatilidad?
¿Cuánto ganamos/perdemos por el paso de un día?
Claramente, a simple vista estas y otras preguntas no podemos responderlas.
Por ello, los operadores de los mercados de opciones se ayudan de las sensibilidades, demodo que al final de este capítulo volveremos a analizar la cartera y responderemos a esas pre-guntas sin la menor dificultad.
A partir de los diferentes parámetros que afectan al precio de una opción, se definen lassiguientes sensibilidades:
Delta: variación de la prima ante la variación de un tick en el activo subyacente.
Gamma: variación de delta ante la variación de un tick en el activo subyacente (algunosoperadores prefieren expresar en sus carteras gamma como la variación de delta ante lavariación de un 1% en el activo subyacente).
Vega: variación de la prima ante la variación de un 1% en la volatilidad.
Theta: variación de la prima ante el paso de un día.
Rho: variación de la prima ante la variación de un 1% en el tipo de interés.
Es importante destacar cómo las sensibilidades delta y gamma se definen a partir de lavariación de un tick en el activo subyacente, ya que dependiendo del tipo de producto de quese trate, este concepto varía.
DELTAIndica cuánto varía la prima de una opción ante movimientos de un tick en el activo sub-
yacente. Matemáticamente es la derivada de la prima respecto del activo subyacente o, lo quees lo mismo, la pendiente del valor teórico de la opción:
128
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
C U A D R O 2
Subyacente C/V Activo PE Vencimiento Volumen Precio MercadoTelefónica c Call 17 18/06/2010 100 1,06 euros
Telefónica v Call 18 18/06/2010 125 0,52 euros
Telefónica c Put 17,5 18/06/2010 75 0,51 euros
Telefónica v Put 18,5 18/06/2010 90 1,09 euros
Telefónica c Put 19 18/06/2010 50 1,46 euros
Δ = δPδAS
Las opciones no son productos lineales. Por lo tanto, su precio fluctúa de distinta maneraen función de dónde se encuentre el activo subyacente (ver gráfico 1 y cuadro 3).
Como podemos observar en el cuadro anterior, para una opción call sobre Ibex con preciode ejercicio 14.500, incrementos equivalentes en el activo subyacente no provocan el mismoincremento en la prima. Así, cuando la opción está OTM (out of the money) un incremento de1.000 puntos en el activo subyacente apenas provoca movimiento en el precio de la opción.En cambio, cuando la opción está ATM (at the money), el aumento de la prima es aproximada-mente la mitad. Por último, cuando la opción está ITM (in the money) los incrementos en elactivo subyacente y prima son aproximadamente los mismos.
A partir de esta información se concluye, asombrosamente, que las opciones tienen menorriesgo direccional que el activo subyacente, ya que si no están muy ITM, las primas siemprevariarán menos que éste.
Un aumento del activo subyacente provoca un incremento en el valor del call, por lo quedelta del valor teórico de un call se define con signo positivo (pendiente positiva). Sin embar-go, en el caso de un put activo subyacente y prima se mueven en sentido contrario, por lo quedelta del valor teórico de un put se define con signo negativo (pendiente negativa). Teniendoen cuenta que delta de las opciones varía entre 0 y 1 (en valor absoluto) representamos en losgráficos 2 y 3 la información anterior:
1.600
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
0
13.0
00
13.2
00
13.4
00
13.6
00
13.8
00
14.0
00
14.2
00
14.4
00
14.6
00
14.8
00
15.0
00
15.2
00
15.4
00
15.6
00
15.8
00
16.0
00
Activo subyacente
Valo
r teó
rico
Call
129
SENSIBILIDADES DE LAS OPCIONES 4
G R Á F I C O 1
VALOR TEÓRICO CALL 14.500
C U A D R O 3
Call IBEX 35 PE 14.500
Incremento del AS Incremento de la PrimaDe 13.000 a 14.000 = 1.000 ptos. De 8 a 134 (aprox.)= 126 ptos.
De 14.000 a 15.000 = 1.000 ptos. De 134 a 641 (aprox.) = 507 ptos.
De 15.000 a 16.000 = 1.000 ptos. De 641 a 1510 (aprox.) = 869 ptos.
En el ejemplo numérico en el cuadro 5, observamos cómo el movimiento de un tick del acti-
vo subyacente provoca una variación en la prima de la opción exactamente en la cuantía indicada por
su delta.
Por lo tanto, la definición de delta nos permite cuantificar el efecto que va a tener una variación
en el activo subyacente sobre el precio de una opción. Este efecto va a ser diferente en función de que
130
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
C U A D R O 4
DELTA DE CALL Y PUTOTM ATM ITM
CALL 0 0,5 1
PUT 0 -0,5 -1
1.600
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
0
13.0
00
13.2
00
13.4
00
13.6
00
13.8
00
14.0
00
14.2
00
14.4
00
14.6
00
14.8
00
15.0
00
15.2
00
15.4
00
15.6
00
15.8
00
16.0
00
Activo subyacente
Valo
r teó
rico
Call
Δ=1Δ=0
G R Á F I C O 2
VALOR TEÓRICO CALL 14500
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
13.0
00
13.2
00
13.4
00
13.6
00
13.8
00
14.0
00
14.2
00
14.4
00
14.6
00
14.8
00
15.0
00
15.2
00
15.4
00
15.6
00
15.8
00
16.0
00
Activo subyacente
Delta
DELTA CALL 14500
131
SENSIBILIDADES DE LAS OPCIONES 4
C U A D R O 5
Cotización Subyacente 14.900 14.901Precio de ejercicio 14.950 14.950Tipo de interés 5% 5%Días a vencimiento 30 30Dividendo Continuo 5% 5%Volatilidad 30% 30%
Call Prima 485,34 485,84Call Delta 0,50Put Prima 535,13 534,64PutDelta -0,50
1.600
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
0
13.0
00
13.2
00
13.4
00
13.6
00
13.8
00
14.0
00
14.2
00
14.4
00
14.6
00
14.8
00
15.0
00
15.2
00
15.4
00
15.6
00
15.8
00
16.0
00
Activo subyacente
Valo
r teó
rico
Call Δ=1
Δ=0
G R Á F I C O 3
VALOR TEÓRICO PUT 14500
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
13.0
00
13.2
00
13.4
00
13.6
00
13.8
00
14.0
00
14.2
00
14.4
00
14.6
00
14.8
00
15.0
00
15.2
00
15.4
00
15.6
00
15.8
00
16.0
00
Activo subyacente
Delta
DELTA PUT 14500
ESTRATEGIAS SIMPLES CON OPCIONES: COBERTURAESTÁTICA CON PUT
A la hora de abordar esta tipología de estrategias, es necesario anticipar que la calificaciónde "estática" es engañosa. Efectivamente, en el mundo de las opciones no hay nada estático, yaque se trata de una herramienta que precisamente lo que aporta es una gran flexibilidad en lagestión; mediante la operativa con opciones se pueden crear sintéticamente distintos perfiles yadaptar de forma instantánea la cartera a unas determinadas expectativas sobre el mercado. Dehecho, como veremos a continuación, cubrir una cartera de acciones con compra de put supo-ne convertir la posición resultante en un call sintético. El adjetivo de "estática" se debe a la con-traposición de este tipo de estrategias frente a las coberturas dinámicas, también llamadas deltaneutral, cuyo objetivo, como ya se ha explicado en anteriormente, es completamente distinto.
A diferencia las coberturas con futuros ya analizadas, las coberturas con opciones no elimi-nan las expectativas de movimiento del activo subyacente, sino que las modifican añadiendoun elemento, la volatilidad.
En función precisamente de esa volatilidad y de las expectativas que queramos incorporara la cartera, escogeremos distintos tipos de coberturas o combinaciones de opciones. Las posi-bilidades son enormes, esa es la virtud de las opciones, pero también es su pecado, ya que esdifícil seleccionar, entre tantas alternativas, cuál es la mejor para la cartera.
Antes de realizar la cobertura, tenemos que tener claras las expectativas que queremosincorporar, para ello deberíamos hacernos unas cuantas preguntas:
En cuanto al activo subyacente: ¿va a caer o no?, ¿mucho o solo es una corrección?, ¿duran-te cuánto tiempo?, ¿el valor está bajista, alcista o lateral?, ¿hay algún soporte o resistenciapróximos sobre el que basar mis decisiones?, ¿merece la pena cubrir o deshago la posición
157
5ESTRATEGIAS OPCIONES
y busco otras inversiones?, ¿cuánto estoy dispuesto a perder? ¿cuánto quiero ganar y encuanto tiempo?, etc.
En cuanto a la volatilidad: ¿está cara o barata?, ¿históricamente estamos bajos o altos?,¿cómo está la volatilidad implícita con respecto a la realizada?, ¿cómo estaba la volatilidadimplícita respecto a la realizada hace un mes?, ¿cómo está la volatilidad del valor respectoa la de su sector?, ¿y con respecto a la del mercado?, etc.
Una vez respondidas a estas y otras muchas preguntas, o incluso si no somos capaces deresponder a todas ellas, podremos determinar si conviene realizar una cobertura comprandoput, vendiendo call, comprando putspread, con túnel bajista, etc. Sabremos también qué pre-cio de ejercicio y qué vencimiento es el que mejor se adecúa a nuestros propósitos. En primerlugar vamos a analizar la cobertura con compra de put, mientras que el resto de estrategiasserán analizadas con posterioridad.
Pongamos un ejemplo sencillo: partimos una cartera compuesta por 1.000 acciones deTelefónica. Hemos comprado las acciones con un dinero que teníamos ahorrado y que quere-mos invertir durante 3 ó 4 meses para obtener una rentabilidad adicional. Conocemos perfec-tamente el riesgo de comprar acciones, que es precisamente el de caída de su precio y estamosdispuestos a asumirlo, pero no nos gustaría perder mucho dinero porque lo necesitaremos enun futuro. Sin embargo, sí que nos gustaría beneficiarnos de una posible subida.
Si se nos planteara la siguiente posibilidad: "su inversión tiene ahora mismo un valor de17.000€ (TEF cotiza a 17,00), si usted paga 590€, se asegura que hasta junio no puede perdermás de 590€ y sin embargo puede ganar todo lo que suba Telefónica". En las circunstancias
158
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
C U A D R O 1
TELEFONICA
FUTUROS 16/04/2010
Compra Venta
Vencimiento Tipo Vol. Precio Precio Vol. Ult. Vol. Máx. Min. Ant. Hora18-jun-10 Entrega 177 16,98 17,24 100 17 7.051 17,39 16,97 17,43 17:34
Volumen Total 7.051
OPCIONES EUROPEAS 16/04/2010
CALL PUT
Compra Venta Vencimiento Compra Venta
Hora Vol. Últ. Vol. Precio Precio Vol. Prec. Ejerc. Vol. Precio Precio Vol. Últ. Vol. Hora17:22 0 30 1,17 1,26 100 18 jun - 16,00 100 0,21 0,26 100 0 17:32
17:32 0 100 0,85 0,91 100 18 jun - 16,50 100 0,34 0,39 100 0,3 10 17:31
17:33 10 0,66 100 0,55 0,60 100 18 jun - 17,00 100 0,54 0,59 100 0 17:33
17:31 0 100 0,32 0,37 100 18 jun - 17,50 100 0,80 0,86 100 0 17:32
17:33 0 100 0,16 0,21 100 18 jun - 18,00 100 1,14 1,22 100 0 17:34
17:19 25 0,14 100 0,07 0,12 100 18 jun - 18,50 100 1,54 1,62 100 0 17:34
16:39 0 100 0,02 0,10 100 18 jun - 19,00 100 1,98 2,08 100 0 17:34
15:56 0 0,10 100 18 jun - 19,50
80 Volumen Total 20
expuestas anteriormente, probablemente diríamos que sí, ya que esta alternativa se adapta anuestras necesidades.
Nos están ofreciendo un seguro para nuestra inversión. Se trata de una estrategia tan sen-cilla como la compra de un put. Tal y como se puede observar en el cuadro 1, el put de junio17,00 cotiza a 0,59 (euros por acción). Si tenemos acciones y put compradas en la misma pro-porción, la posición resultante sintéticamente es call comprado (ver gráfico 1).
Según la paridad call-putI, sin tener en cuenta tipos de interés:
K+C=S+P 17,00+C=17,00+0,59 C=0,59
El call sintético resultante tiene un precio de 0,59, por lo que podemos deducir que estaestrategia tiene en el vencimiento de junio:
Máxima pérdida = 590 €
Máximo beneficio = ilimitado, todo lo que suba el activo subyacente.
Punto de Break Even = 17,59 = 17+0,59. (PE+ call sintético o activo subyacente + put, queen este caso resultan ser los mismos números al coincidir activo subyacente y precio deejercicio).
Esta estrategia nos permite beneficiarnos de subidas en el activo subyacente, pero tambiénhace posible ejercer el put en el caso de la evolución desfavorable de los precios que suponeuna caída de la cotización. Por lo tanto, esta técnica se llevará a cabo cuando esperemos unaalta volatilidad en dos sentidos:
Volatilidad del activo subyacente: esperamos que el activo subyacente en la fecha de venci-miento cotice muy por encima o muy por debajo de su nivel actual.
Volatilidad implícita: esperamos que la volatilidad con la que cotizan las opciones aumen-te y con ella el valor de nuestras opciones.
159
ESTRATEGIAS OPCIONES 5
G R Á F I C O 1
COBERTURA CON C/ PUT ATM2.500
2.000
1.500
1.000
500
0
-500
-1.000
-1.500
-2.000
-2.500
15,0
15,2
15,4
15,6
15,8
16,0
16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
17,4
17,6
17,8
18,0
18,2
18,4
18,6
18,8
19,0
Activo subyacente
Bene
ficio
/pér
dida
C/ PUTASTotal
AS=17
PE=17
Break Even=17,59
Prima=0,59
En función de cuánta volatilidad esperemos tanto en el activo subyacente como en lasopciones, el inversor podrá elegir opciones a más corto o a más largo plazo y opciones ITM,ATM o OTM. En este aspecto, no se puede valorar qué tipo de cobertura con put es mejor, yaque depende de las expectativas de cada inversor.
En cuanto al plazo, recordemos:
Opciones a corto plazo: más baratas, menor vega y mayor theta. Esto significa que necesita-mos menos movimiento del activo subyacente para recuperar la inversión, pero aumentos enla volatilidad implícita nos harán ganar poco dinero. Por otro lado, el paso del tiempo nosafecta mucho si tenemos la intención de deshacernos de la posición antes del vencimiento.
Opciones a largo plazo: más caras, mayor vega y menor theta. Necesitaremos un mayormovimiento del activo subyacente debido a su mayor precio, pero aumentos en la volatili-dad implícita nos harán ganar más dinero. El paso de tiempo, de momento, afectará pocoa la posición.
En cuanto al precio de ejercicio de la put:
Con una put ATM (17,00), tendremos un call sintético ATM. Tal y como hemos mostradoen el ejemplo anterior, el coste de la cobertura sería 590€ (3,47%), el punto de break evenpor tanto es 17,59€ y la máxima pérdida es de 590€ (3,47%).
Con una Put OTM (16,00), tendremos un call sintético ITM. El coste de la cobertura es260€ (1,53%), por lo tanto, TEF tendría que subir solo hasta 17,26€ para recuperar el costede la cobertura. El inconveniente es que solo podremos ejercer el put por debajo de16,00€. La máxima pérdida es de 1.260€ (7,41%) (Ver gráfico 2).
Con un Put ITM (18,00), tendremos un call sintético OTM. El coste de la cobertura es1.220 euros (7,17%). Por lo tanto, TEF tendría que subir hasta 18,22€ para que recupere-mos el coste de la cobertura, sin embargo podremos ejercer el put siempre que TEF estépor debajo de 18,00€. La máxima pérdida será 220€ (1,30%) (ver gráfico 3).
160
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
G R Á F I C O 2
COBERTURA CON C/ PUT OTM2.500
2.000
1.500
1.000
500
0
-500
-1.000
-1.500
-2.000
-2.500
15,0
15,2
15,4
15,6
15,8
16,0
16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
17,4
17,6
17,8
18,0
18,2
18,4
18,6
18,8
19,0
Activo subyacente
Bene
ficio
/pér
dida
C/ PUTASTotal
AS=17PE=16
Break Even=17,26
Prima=0,26
Por lo tanto, una vez tomada la decisión de llevar a cabo una estrategia de cobertura de unaposición larga en acciones mediante la compra de put, la selección del precio de ejercicio dela opción a comprar determinará el perfil resultante de la cobertura. Así, cuanto menor sea elprecio de ejercicio de la put, menor será la prima a desembolsar, pero mayor será la pérdidamáxima asumida. Por otro lado, cuanto mayor sea el precio de ejercicio de la put, mayor serála prima a desembolsar, pero menor será la pérdida máxima asumida.
ESTRATEGIAS SIMPLES CON OPCIONES: COBERTURAESTÁTICA CON CALL
En esta ocasión vamos a estudiar la combinación de una compra de acciones con una ventade call que, como ya sabemos, sintéticamente es una venta de put.
Podemos pensar que convertir una posición que tiene beneficios y pérdidas ilimitadas enuna posición con beneficios limitados y pérdidas ilimitadas no es una operación de cobertura.Sin embargo, a continuación comentaremos las situaciones en las que esta estrategia podríaresultar interesante y sus características.
Utilicemos el mismo ejemplo que en el apartado anterior, dónde expusimos la coberturacon compra de put, con el propósito de que podamos comparar las dos alternativas.
Supongamos que hemos comprado 1.000 acciones de Telefónica pensando que la cotiza-ción va a subir en los próximos meses. Sin embargo va pasando el tiempo y las acciones noterminan de "despegar". Por otro lado tampoco se ha producido una caída de la cotización,simplemente el valor está teniendo un comportamiento lateral en un rango estrecho que nosdeja muy poco margen y no es la rentabilidad que estábamos buscando. Nos hemos equivoca-do.
En esta situación, podemos hacer dos cosas: la primera es vender las acciones y replantearnuestra inversión y la segunda es intentar obtener una rentabilidad aprovechándonos de la
161
ESTRATEGIAS OPCIONES 5
G R Á F I C O 3
COBERTURA CON C/ PUT ITM2.500
2.000
1.500
1.000
500
0
-500
-1.000
-1.500
-2.000
-2.500
15,0
15,2
15,4
15,6
15,8
16,0
16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
17,4
17,6
17,8
18,0
18,2
18,4
18,6
18,8
19,0
Activo subyacente
Bene
ficio
/pér
dida
C/ PUTASTotal
AS=17 PE=18
Break Even=18,22
Prima=1,22
La principal ventaja que le otorga a un gestor controlar perfectamente el uso de las opcio-nes es la flexibilidad que éstas le aportan en la gestión de su cartera. Tanto el mercado comolas expectativas del gestor van evolucionando y las opciones permiten ir adaptando en todomomento la cartera a dichas expectativas. Con un pequeño cambio se puede cubrir la cartera,transformarla de alcista a bajista o adaptarla a un entorno de alta o baja volatilidad.
La búsqueda de estrategias que maximicen el beneficio mientras se es capaz de controlar elriesgo asociado a la posición será la máxima preocupación de un gestor, por ello las opcionesserán para él un gran aliado.
Explicaremos cómo podemos hacer evolucionar una posición para adaptarla a unas expec-tativas tanto de movimiento en el activo subyacente como de variación en volatilidad. Sinembargo, antes de plantear una modificación es necesario analizar la posición, saber quépotencial tiene, cuáles son sus riesgos y cómo se debe modificar ante un cambio en las condi-ciones del mercado.
Las “”griegas”” nos van a ayudar mucho en esta tarea. Sin embargo, mirando a estas sensi-bilidades es muy difícil captar todos los riesgos que entraña una posición y ver cómo evolu-cionan. Muchos traders encuentran más fácil interpretar la información que otorgan los gráfi-cos, por ello será muy útil graficar la posición suponiendo una serie de cambios en las condi-ciones del mercado.
Veamos un sencillo ejemplo.
215
6MODIFICACIÓN DEL PERFIL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Como se puede observar en el cuadro 1, la posición de nuestro ejemplo, un Ratio CallSpread, se tomará cuando se cree que la volatilidad es demasiado alta y que bajará: mientrasque delta es prácticamente neutral, gamma y vega son negativas y theta es positiva.
Gamma negativa nos indica que movimientos fuertes del activo subyacente perjudicarán laposición, ya que un movimiento al alza hará que la posición sea bajista y un movimiento a labaja hará que sea alcista, justo lo contrario de lo que debería ser para obtener un beneficio.
Si se quisiera mantener la posición delta neutral, habría que vender 0,9 acciones si el sub-yacente cae un punto (o cualquier otra posición delta negativa que neutralice el movimiento)y comprar 0,9 acciones cuando el subyacente suba otro punto (o cualquier otra posición deltapositiva)(2).
Un Ratio Vertical Spread, además, tiene theta positiva por lo que el paso del tiempo favo-rece la posición. Tal y como podemos observar en el gráfico 1, según disminuye el tiempo avencimiento su valor aumenta.
216
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
C U A D R O 1 ( 1 )
Precio AS 99
Volatilidad 20%
Días a Vto 50
T. Interés 6%
Dividendo 0%
Precio Delta Gamma Theta VegaCompra 10 Call Jun @ 95 5,85 0,7596 0,0424 -0,0341 0,1139
Venta 30 Call Jun @ 105 1,10 0,2588 0,0441 -0,0277 0,1185
Prima Neta Delta Total Gamma Total Theta Total Vega Total25,45 -0,1693 -0,9003 0,4904 -2,4175
G R Á F I C O 1
VALOR TEÓRICO RATIO CALL SPREAD CON RESPECTO AL PASO DEL TIEMPO
75 78 81 84 87 90 93 96 99 102105108111114117 120123 5042
3426
1810
2
-350-300-250-200-150-100-50
050
100
Valo
r teó
rico 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102105108111114117 120123 50
4234
2618
102
Activo subyacente en %Dias a vencimiento
50/100
0/50
-50/0
-100/-50
-150/-100
-200/-150
-250/-200
-300/-250
-350/-300
No solo el beneficio potencial de la posición cambia cuando pasa el tiempo, también lohacen los riesgos asociados.
Como podemos observar en el gráfico 2, el paso del tiempo hace que las deltas se alejen de0,5; para la opción dentro del dinero su delta tiende a 1 mientras que la opción que está fueradel dinero tiende a 0. El efecto neto es que si el activo subyacente está por debajo de 105, elpaso del tiempo hará que delta aumente. Sin embargo, si el precio del activo está por encimade 105 las dos call estarán dentro del dinero y sus deltas tenderán hacia 1 haciendo que la deltatotal sea cada día que pase más negativa.
Gamma también cambia con el paso del tiempo. Las opciones ATM siempre tienen gammamáxima y ésta aumenta muy rápidamente con el paso del tiempo.
217
MODIFICACIÓN DEL PERFIL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 6
G R Á F I C O 2
DELTA Y GAMMA CON RESPECTO AL PASO DEL TIEMPO
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125 50
3928
176
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
Delta 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 10
110
310
510
710
911
111
311
511
711
912
112
312
5 5039
2817
6
Activo subyacente en % Dias a vencimiento
5/10
0/5
-5/0
-10/-5
-15/-10
-20/-15
En el gráfico 3 vemos cómo el paso del tiempo afecta de manera muy distinta a theta y avega. Theta y gamma son de signo contrario pero tienen una gran correlación, por ello, loexplicado para gamma es extensible a theta. Sin embargo vega, que es muy grande cuandoqueda mucho tiempo a vencimiento, decrece con el paso de los días, afectando muy pococuando se aproxima el vencimiento.
Como vega es negativa, cualquier aumento en volatilidad implícita perjudicará a la posi-ción y una disminución le beneficiará. Tal y como se muestra en el gráfico 4, el valor teóricode la posición varía con cambios en volatilidad, teniendo en cuenta que a diferencia del efec-to de paso del tiempo, esta variable puede tanto aumentar como disminuir. Adicionalmente, elcambio en la volatilidad implícita también afectará a las sensibilidades, llevándose las deltaslejos de 0,5 cuando cae o arrastrándolas hacia ese punto cuando aumenta. Por lo tanto, si caela volatilidad delta se vuelve positivo y si aumenta negativo. Este hecho se pone de manifiestoclaramente en el gráfico 4 donde, para un nivel del activo subyacente en 99, ante una caída de
218
OPCIONES Y FUTUROS DE RENTA VARIABLE: MANUAL PRÁCTICO:
G R Á F I C O 3
THETA Y VEGA CON RESPECTO AL PASO DEL TIEMPO
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 1255042342618102
-3,0-2,0-1,00,01,02,03,04,05,06,07,0
Theta
75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 1255042342618102
Activo subyacente en %
dias a vencimiento
6/7
5/6
4/5
3/4
2/3
1/2
0/1
-1/0
-2/-1
75 78 81 84 87 90 93 96 9910
210
510
811
111
411
712
012
350 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10
6 2
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
Vega
75 78 81 84 87 90 93 96 9910
210
510
811
111
411
712
012
350 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10
6 2
Activo subyacente en % Dias a vencimiento
0/1
-1/0
-2/-1
-3/-2
-4/-3
-5/-4
la volatilidad la pendiente se vuelve positiva mientras que ante un aumento de la volatilidadla pendiente se torna negativa.
El cuadro 2 resume y cuantifica todo lo visto anteriormente. Es una matriz de tensión, loque significa que estresa el movimiento del subyacente y de la volatilidad. En nuestro caso lohemos hecho por tramos destacando en negrita la situación actual. Por ejemplo, si sube el acti-vo subyacente un 10% (de 99 a 108,9) pero cae la volatilidad un 10% (de 20% a 18%), la posi-ción perdería 53,04€, la delta se volvería muy negativa y el resto de los riesgos aumentaríansignificativamente.
219
MODIFICACIÓN DEL PERFIL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 6
G R Á F I C O 4
VALOR TEÓRICO RATIO CALL SPREAD CON RESPECTO AL MOVIMIENTO DE LA VOLATILIDAD
75 78 81 84 87 90 93 96 99 102105108111114117120 1236%14%
22%30%
38%46%
-400-350-300-250-200-150-100-50
050
100
Valo
r teó
rico 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102105108111114117120 1236%
14%22%
30%38%
46%
Activo subyacente en %
Volatilidad
50/100
0/50
-50/0
-100/-50
-150/-100
-200/-150
-250/-200
-300/-250
-350/-300
-400/-350
C U A D R O 2
MATRIZ DE TENSIÓN89,1 94,05 99 103,95 108,9
-110% -55% 0% 5% 10%Bº/Pª -17,05 € -7,92 € -4,94 € -22,26 € -67,84 €Delta 1,6800 1,6838 -1,0033 -6,2794 -12,0123
22% 10% Gamma 0,1619 -0,2299 -0,8530 -1,1973 -1,0483
Theta -0,1084 0,1117 0,5740 0,9656 1,0324
Vega 0,3874 -0,6129 -2,5195 -3,8988 -3,7468
Bº/Pª -18,00 € -6,99 € - € -14,36 € -60,38 €Delta 1,7869 2,3442 -0,1694 -6,0092 -12,4059
20% 0% Gamma 0,2545 -0,1277 -0,9003 -1,3509 -1,1412
Theta -0,1357 0,0287 0,4905 0,9043 0,9579
Vega 0,5535 -0,3094 -2,4176 -3,9991 -3,7080
Bº/Pª - 19,23 € -6,70 € 4,71 € -6,25 € -53,04 €Delta 1,7870 3,0052 0,7978 -5,7273 -12,9163
18% -110% Gamma 0,3452 0,0133 -0,9460 -1,5434 -1,2393
Theta -0,1468 -0,0486 0,4035 0,8412 0,8790
Vega 0,6758 0,0289 -2,2861 -4,1123 -3,6238
