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FUV – limitesTeorema do Confronto, Limites Laterais, Limites Infinitos
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-9 1/18
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R→ R e números reais a e L, dizemosque
limx→a
f (x) = L,
se para todo número real ε > 0, existe algum número real δ > 0 talque a implicação abaixo é válida
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
v. 2015-2-9 2/18
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f ,g funções tais que limx→a
f (x) = L elimx→a
f (x) = M. Então:
● limx→a
(f (x) + g(x)) = L +M
● limx→a
(f (x) ⋅ g(x)) = L ⋅M
● Se M ≠ 0, limx→a
f (x)g(x)
=LM
● limx→a
(f (x))n= Ln
● Se n é ímpar, limx→a
n√
f (x) = n√L
● Se n é par e M ≥ 0, limx→a
n√
f (x) = n√L
v. 2015-2-9 3/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0,
mas limx→0
sen(1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2,
e que limx→0
x2= lim
x→0−x2
= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0.
Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos umteorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas:
para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x). Vejaque o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0? Felizmente, temos um
teorema para isto!
Teorema do confronto. (ou do sanduíche) Sejam f ,g ,h funçõestais que ambas as propriedades abaixo são válidas para todox ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto que contém a:(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) lim
x→af (x) = lim
x→ah(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.v. 2015-2-9 4/18
Teorema do Confronto: limite fundamentalTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2015-2-9 5/18
Teorema do Confronto: limite fundamentalTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa).
Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2015-2-9 5/18
Teorema do Confronto: limite fundamentalTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2015-2-9 5/18
Teorema do Confronto: limite fundamentalTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2015-2-9 5/18
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2015-2-9 6/18
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa).
Noteque lim
x→0cos (x) = 1 e que lim
x→01 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2015-2-9 6/18
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2015-2-9 6/18
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2015-2-9 6/18
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2015-2-9 7/18
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.
Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2015-2-9 7/18
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2015-2-9 7/18
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2015-2-9 7/18
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2015-2-9 7/18
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2015-2-9 8/18
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2015-2-9 8/18
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2015-2-9 8/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
=
limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx=
limx→0+
1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 =
1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
=
limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
=
limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 =
− 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe!
Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites laterais: exemplo
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. Se limx→a
f (x) existe, então limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x).
Contrapositiva: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2015-2-9 9/18
Limites infinitos
Veja que limx→0
1x
e que limx→0
1x2 não existem, pois, à medida que x se
aproxima de 0, nenhuma das funções se aproxima de um valor realúnico.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
1x2
1x
Note, porém, que os comportamentos de ambas são ligeiramentediferentes em torno de 0.
v. 2015-2-9 10/18
Limites infinitos
Veja que limx→0
1x
e que limx→0
1x2 não existem, pois, à medida que x se
aproxima de 0, nenhuma das funções se aproxima de um valor realúnico.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Note, porém, que os comportamentos de ambas são ligeiramentediferentes em torno de 0.
v. 2015-2-9 10/18
Limites infinitos
Veja que limx→0
1x
e que limx→0
1x2 não existem, pois, à medida que x se
aproxima de 0, nenhuma das funções se aproxima de um valor realúnico.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Note, porém, que os comportamentos de ambas são ligeiramentediferentes em torno de 0.
v. 2015-2-9 10/18
Limites infinitos
Veja que limx→0
1x
e que limx→0
1x2 não existem, pois, à medida que x se
aproxima de 0, nenhuma das funções se aproxima de um valor realúnico.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
1x2
1x
Note, porém, que os comportamentos de ambas são ligeiramentediferentes em torno de 0.
v. 2015-2-9 10/18
Limites infinitosIntuitivamente, dizemos que lim
x→af (x) = +∞ se, à medida que x
tende para a (não importa de que forma!), o valor de f (x) assumevalores cada vez maiores, sem restrição.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
limx→0
1x2 = +∞
v. 2015-2-9 11/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M, ou
seja, x2<
1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M. Portanto, dado M > 0, escolha
δ = 1√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M, ou
seja, x2<
1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M. Portanto, dado M > 0, escolha
δ = 1√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M,
ouseja, x2
<1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M. Portanto, dado M > 0, escolha
δ = 1√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M, ou
seja, x2<
1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M.
Portanto, dado M > 0, escolhaδ = 1
√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M, ou
seja, x2<
1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M. Portanto, dado M > 0, escolha
δ = 1√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→0
1x2 = +∞
Demonstração. Dado M > 0 qualquer, queremos que 1x2 > M, ou
seja, x2<
1M , logo ∣x ∣ < 1
√
M. Portanto, dado M > 0, escolha
δ = 1√
Me assim teremos que
0 < ∣x − 0∣ < δ ⇒ 1x2 > M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= +∞
Sobre o limite limx→0
1x
só podemos afirmar que é indefinido!
v. 2015-2-9 12/18
Limites infinitosSe o valor de f (x) assume valores cada vez menores, semrestrição, à medida que x se aproxima de a, dizemos que f (x)tende a −∞.
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = −∞ se, para todo M < 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
v. 2015-2-9 13/18
Limites infinitosSe o valor de f (x) assume valores cada vez menores, semrestrição, à medida que x se aproxima de a, dizemos que f (x)tende a −∞.
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = −∞ se, para todo M < 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
v. 2015-2-9 13/18
Limites infinitosSe o valor de f (x) assume valores cada vez menores, semrestrição, à medida que x se aproxima de a, dizemos que f (x)tende a −∞.
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = −∞ se, para todo M < 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < M
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
v. 2015-2-9 13/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1
√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1
√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M,
logo 1−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, o
lado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0),
portanto ∣x − 1∣ < 1√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1
√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1
√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites infinitos
Exemplo. Demonstre formalmente que limx→1
12x − 1 − x2 = −∞
Demonstração. Dado M < 0 qualquer, queremos que 12x−1−x2 < M,
ou seja, que 1−(x−1)2 < M, logo 1
−M > (x − 1)2 (ao dividir por M, olado da desigualde se altera pois M < 0), portanto ∣x − 1∣ < 1
√
−M.
Assim, dado M < 0, escolha δ = 1√
−M. Deste modo,
0 < ∣x − 1∣ < δ ⇒ 12x − 1 − x2 < M ∎
Para casa: demonstre que é falso afirmar que limx→0
1x= −∞
v. 2015-2-9 14/18
Limites laterais infinitos
Note que não podemos afirmar que limx→0
1x
é +∞ nem −∞
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Porém, note que o valor de 1/x cresce arbitrariamente à medidaque x se aproxima de 0 pela direita, e decresce arbitrariamente àmedida que x se aproxima de 0 pela esquerda.
v. 2015-2-9 15/18
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2015-2-9 16/18
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M
● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que limx→a+
f (x) = −∞ se paratodo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que lim
x→a−f (x) = −∞ se
para todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2015-2-9 16/18
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2015-2-9 16/18
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < Mv. 2015-2-9 16/18
Limites laterais infinitos
Veja que limx→0+
1x= +∞ e que lim
x→0−1x= −∞.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Para casa: demonstre formalmente (usando a definição).
v. 2015-2-9 17/18
Para casa
Stewart: Seções 2.2, 2.3, 2.4.Exercícios 1 a 6 e de 8 a 12 da Lista 1.
v. 2015-2-9 18/18
