PANEVROPSKI UNIVERZITET APEIRON FAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE Predmet MENADMENT POSLOVNIH INFORMACIONIH SISTEMA Fuzzy skupovi (seminarski rad) Student Mundi Amer Index br. 59-09/VIT Banja Luka, februar 2012. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 1 Sadraj 1. UVOD ............................................................................................................................................................... 2 2. FUZZY SKUPOVI ........................................................................................................................................... 3 3. OBLICI FUZZY FUNKCIJA PRIPADNOSTI ............................................................................................... 6 3.1 TROUGAONA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ............................................................................................................... 6 3.2 TRAPEZOIDNA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ............................................................................................................. 7 3.3 PRAVOLINIJSKA FUNKCIJA PRIPADNOSTI .......................................................................................................... 7 3.4 ZVONASTA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ................................................................................................................... 8 4. OSNOVNE OSOBINE FUZZY SKUPA .......................................................................................................... 9 4.1 NORMALNOST FUZZY SKUPA .............................................................................................................................. 9 4.2 KONVEKSNOST (ISPUPENOST) FUZZY SKUPA ................................................................................................... 9 4.3 BROJ ELEMENATA (KARDINALNOST) FUZZY SKUPA .......................................................................................... 9 5. OPERACIJE KOJE SE VRE NA FUZZY SKUPOVIMA .......................................................................... 10 5.1 ZBIR DVA FUZZY SKUPA (UNIJA): ..................................................................................................................... 10 5.2 ZAJEDNIKI SKUP DVA FUZZY SKUPA (PRESEK FUZZY SKUPOVA) .................................................................. 10 5.3 SKUP SUPROTAN FUZZY SKUPU (KOMPLEMENT FUZZY SKUPA) ...................................................................... 11 6. POREENJE FUZZY SKUPOVA ................................................................................................................ 12 7. PRINCIP RAZLAGANJA I PRINCIP PROIRENJA ................................................................................. 13 7.1 PRINCIP RAZLAGANJA ...................................................................................................................................... 13 7.2 FUZZY BROJ ...................................................................................................................................................... 13 7.3 PRINCIP PROIRENJA ........................................................................................................................................ 14 8. ZAKLJUAK ................................................................................................................................................. 15 9. LITERATURA ............................................................................................................................................... 16 Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 2 1. Uvod Engleskarijefuzzy,oznaavanetonedefinisano,neprecizno,neodreenoili nedefinisano. Na tom znaenju poiva ime fuzzy logike i fuzzy skupova. Uosnoviserazlikujudvijevrstenejasnosti:neodreenostinesigurnost.Matematiki gledano, njima pripadaju dva koncepta: teorija fuzzy skupova i teorija slabe mjere. Fuzzy(fazi)skupjeosnovnielementzapredstavljanjeiobradunepreciznostiufuzzy tehnologijama. Fuzzy skup predstavlja skup elemenata sa slinim svojstvima.Fuzzy funkcije pripadnosti mogu imati razliite oblike. Najee se koriste trougaona i trapezastafunkcijapripadnosti.Fuzzyskupoviimajusvojeosobine.Osnovneosobinefuzzy skupa su normalnost, konveksnost i broj elemenata fuzzy skupa. Akcije ili operacije se mogu vrsiti nad fazi skupovima Operacije koje se vre su skup ili zbir, presjek I komplement fazi skupa. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 3 2. Fuzzy skupovi Fuzzy(fazi)skupjeosnovnielementzapredstavljanjeiobradunepreciznostiufuzzy tehnologijama. Fuzzy skup predstavlja skup elemenata sa slinim svojstvima.Klasian,diskretanskupjeskupelemenatasaistimsvojstvima.Svakielemenat diskretnogskupapripadatomskupu100%.Naskali,od0do1,kaemodasvakielement diskretnog skupa pripada tom skupu sa stepenom 1.Fuzzyskupjeskupelemenatasaslinimsvojstvima.Fuzzyskupvisokihmukaraca, fuzzyskupkojioznaavavisokeprihode,fuzzyskupkojiopisujepunrezervoar,fuzzyskup stolica ili fuzzy skup automobila. Dok u diskretnom skupu svaki element pripada tom skupu sa stepenom pripadnosti 1, u fuzzy skupu svaki element pripada tom skupu u izvijesnom stepenu. Slika 1.Primjer klasinog u odnosu na fuzzy skup Primjerfuzzyskupajefuzzyskupvisokihmukaracakojisadrimukarcevisoke205 cm a i mukarce visoke185 cm. Mukarci visoki 205 cm su vii od mukaraca visokih 185 cm pajenjihovstepenpripadnostifuzzyskupuvisokihmukaracavei.Kadaseod180cmvisina poveava ka 220 cm, stepen pripadnosti fuzzy skupu visokih mukaraca se poveava od 0 do 1. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 4 Slika 2. Fuzzy funkcija pripadnosti koja opisuje fuzzy skup i pojam pun rezervoar Slika 3. Fuzzy funkcija pripadnosti PRAZAN REZERVOAR se definie kao suprotna funkcija pripadnosti PUN REZERVOAR Naslici2.vidisefuzzyfunkcijapripadnostikojaopisujepunrezervoar.Naprimjer, rezervoarsa15litarabenzinakomejeukupankapacitet30litarajenapunjen50%,ilidopola pun.Na slici 3.pojam prazan rezervoar je definisan kao suprotan pojmu pun rezervoar. to je stepen pripadnosti funkcije prazan rezervoar vei, to je stepen funkcije pun rezervoar manji, i obrnuto. Fuzzy funkcija pripadnosti opisuje stepen pripadnosti elemenata nekom fuzzy skupu. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 5 Matematiki funkciju pripadnosti predstavljamo na sledei nain: Neka je dat neprazan skup X. Fuzzy skup A u X se opisuje funkcijom pripadnosti: ( ) | | 1 , 0 : X xAgde ( ) xA predstavljastepenpripadnostielementaxufuzzyskupuAzasvako X xe.Xse naziva i nadskup ili univerzalan skup. Fuzzy skup A se u potpunosti moe predstaviti skupom parova:( ) ( ) { } X x x x AAe = , , . Fuzzy skup je proirenje i uoptenje diskretnih skupova. Na jednostavan nain od fuzzy skupovamoemodobitidiskretanskupalidolazidogubitkainformacijainemogunostida koristimodobijeniskupzamekoipostepenorazmiljanje.Kadadefiniemoskupvisokih djevojaka da bude diskretan skup i kaemo da su sve djevojke vie od 178 cm visoke a sve nie od 178 cm nisu visoke. Kod fuzzy skupa, mala razlika u visini se vidi u maloj razlici u stepenima pripadnostidokkoddiskretnogskupatonijemogueipromjenastepenapripadnostijenaglai neprirodna. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 6 3. Oblici fuzzy funkcija pripadnosti Fuzzy funkcije pripadnosti mogu imati razliite oblike. Najee se koriste trougaona i trapezasta funkcija pripadnosti. 3.1 Trougaona funkcija pripadnosti Trougaonafunkcijapripadnostiukontinualnomsluaju(slika3.1.1)odreujefuzzy skup dat sledeom formulom:} }++=02202222xxxxA Slika 4.Kontinualan sluaj trougaone funkcije pripadnosti Ukolikoseposmatradiskretansluajreprezentacijefuzzyskupakoristiseistaformula samo na konanom domenu. Na primer, neka je domen { } 2 , 5 . 1 , 1 , 5 . 0 , 0 , 5 . 0 , 1 , 5 . 1 , 2 = X tada fuzzy skup A1 predstavljamo na sledei nain (slika 4.): 5 . 125 . 015 . 05 . 075 . 000 . 15 . 075 . 015 . 05 . 125 . 01+ + + +++= A Slika 5.Diskretan sluaj trougaone funkcije pripadnosti Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 7 Velikibrojpraktinorealizovanihsistemakoristitrougaonufunkcijupripadnosti.Ako trougaona funkcija nije simetrina potrebna su tri parametra da bi se funkcija opisala (tri tjemena trougla),aakojesimetrinadovoljnojedasupoznatasamodvatjemenatrougla.Diskretna trougaonareprezentacijajemnogokorisnijapriprikazivanjufuzzyskupovaiakojeneto komplikovanija. 3.2 Trapezoidna funkcija pripadnosti } } }+ ++=42222424 124xxx xxB Slika 6. Trapezoidna funkcija pripadnosti Trapezoidnioblikfaziskupaunesimetrinomsluajuzahtijevaetiriparametra (tjemenatrapeza),ausimetrinomsluajutribrojazapotpunureprezentaciju(sredinjutaku, duinu gornje i donje osnove). 3.3 Pravolinijska funkcija pripadnosti(dio po dio pravolinijska funkcija):} }+ =10020101 1 . 0x xxC Slika 7. Pravolinijska funkcija pripadnosti Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 8 Brojneophodnihelemenatazaopisfuzzyskupazavisiodbrojapravolinijskih segmenata s i iznosi 2(s+1), poto je za predstavljanje s segmenata potrebna s+1 taka. Kako su segmenti u dvije dimenzije (elemenat nadskupa i stepen pripadnosti), ovaj broj se mnoi sa dva kako bi se dobio broj podataka neophodnih za opis ovog skupa. 3.4 Zvonasta funkcija pripadnosti } =xexXDx) (2) 5 ( 5 . 0 Slika 8. Zvonasta funkcija pripadnosti Zvonasta kriva se koristi u neuronskim mreama. U nesimetrinom sluaju potrebno je tri parametra (ploaj, nagib, parametar rasipanja), a u simetrinom sluaju dva. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 9 4. Osnovne osobine fuzzy skupa Osnovne osobine fuzzy skupa su normalnost, konveksnost i broj elemenata fuzzy skupa. 4.1 Normalnost fuzzy skupa Fuzzyskupkojinijenormalannazivasesub-normalanilipod-normalanfuzzyskup. Normalanfuzzyskupimamaksimalnuvrijednostfunkcijepripadnostijednakujedinici.Sub-normalanfuzzyskupimamaksimalnuvrijednostfunkcijepripadnostimanjuodjedinice.Sub-normalan fuzzy skup se moe jednostavno transformisati u normalan fuzzy skup ako se sve vrednostistepenapripadnostipodijelenajveimstepenompripadnostizadatiskup.Ova operacija se esto izvodi u praktinim primjenama i naziva se operacija normalizacije. 4.2 Konveksnost (ispupenost) fuzzy skupa Fuzzy skup je konveksan ako i samo ako vai: | | 1 , 0 , ,2 1e e e X x X x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1, min ) 1 x x x xA A A > + 4.3 Broj elemenata (kardinalnost) fuzzy skupa AkojeXdiskretanikonaanskup,ondasekardinalnostfuzzyskupaizraavazbirom stepena pripadnosti pojedinih elemenata fuzzy skupa:e=X xAx A ) ( . Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 10 5. Operacije koje se vre na fuzzy skupovima 5.1 Zbir dva fuzzy skupa (unija): Zbir(unija)fuzzyskupovaAiBjefuzzyskupABpredstavljenpomoufunkcije pripadnosti:( ) ( ) ( ) ( ) { } X X X X XB A B A B A ), ( max = v =

, gde v oznaava operator maksimuma. Slika 9.Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhova unija 5.2 Zajedniki skup dva fuzzy skupa (presek fuzzy skupova) Zajednikiskup(presek)dvafuzzyskupaAiBjefuzzyskupABpredstavljen pomou funkcije pripadnosti:( ) ( ) ( ) ( ) { } X X X X XB A B A B A ), ( min = . =, gde . oznaava operator minimuma. Slika 10. Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhov presjek Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 11 5.3 Skup suprotan fuzzy skupu (komplement fuzzy skupa) Ovdeemoovajoperatornazvatioperatoromnegacije.KomplementfuzzyskupaAje fuzzy skup A predstavljen pomou funkcije pripadnosti:( ) ( ) X XAA =1 . Slika 11. Funkcija pripadnosti skupa A , i njegov komplement Operacije presjeka, unije i komplementa koje smo ovde predstavili su operacije koje se najeekoriste.Postojeimnogidrugioperatoriunije,presjekaikomplementaufuzzyteoriji, aliihovdeneemopominjatizbogjednostavnosti.Istoovovaiizaoperatornegacije,kojise esto posebno definie. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 12 6. Poreenje fuzzy skupova

Poreenje fuzzy skupova vri se jednostavnim poreenjem njihovih funkcija pripadnosti -Jednakost fuzzy skupova. Fuzzy skupovi A i B su jednaki ako su im jednake funkcije pripadnosti: ( ) ( ) X X B AB A = = . -Inkluzija (ukljuenje) fuzzy skupova. FaziskupAsesadriufaziskupuBakojefunkcijapripadnosti ( ) XAmanjaodfunkcije pripadnosti ( ) XB u celom domenu X: Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 13 7. Princip razlaganja i princip proirenja 7.1 Princip razlaganja Principrazlaganjajejojednavanavezaizmeuklasineteorijeskupovaiteorije fuzzy skupova. Ovaj princip je esto upotrebljavan u fuzzy teoriji. Fuzzy skup se moe predstaviti pomou unije diskretnih skupova njegovih -presjeka. -presjekfuzzyskupaApredstavljaskupsvihelemenatanadskupaXsaosobinomdau originalnom fuzzy skupu imaju vrijednost stepena pripadnosti vei od . Slika 12.Princip razlaganja OriginalankontinualanfuzzyskupAsemoerazloitinabeskonanomnogo-presjeka. U sluaju diskretne reprezentacije, A se moe razloiti na konaan broj -presjeka. Na slicisuprikazaniskupovi ooA kojisedobijajukadasealfapresjek oApomnoisadatom vrednou o. 7.2 Fuzzy broj Fuzzy broj A je fuzzy skup predstavljen funkcijom pripadnosti A(x) sa sledeim osobinama: -A(x) je definisana nad skupom realnih brojeva; -A(x) je konveksna; -A(x) je normalna; -A(x) je dio po dio neprekidna funkcija. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 14 Slika 13. Fazi broj Na slici 7.3 prikazana je ilustracija nekoliko fuzzy skupova od kojih neki nisu (C i D), a neki jesu fuzzy brojevi (A i B). 7.3 Princip proirenja Principproirenjaomoguavaproirenjemnogihoperacijasarealnimbrojevimana fuzzyskupove.NekajedatafunkcijafkojapreslikavadiskretanskupXudiskretanskupY. TadadefiniemofunkcijufsaskupasvihfuzzypodskupovaAodXuskupsvihfuzzy podskupova od Y na sledei nain: ( ) | |( ) ( ) ( ) { } x f y X x x y A fA= e = , sup Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 15 8. Zakljuak Da zakljuim, fuzzy skup je osnovni elemenat za predstavljanje i obradu nepreciznosti u fuzzy tehnologijama.Onpredstavljaskupelemenatasaslinimsvojstvima,zarazlikuodklasinog, diskretnogskupa,kodkogasvakielementpripadatomskupu,ufuzzyskupusvakielement pripada tom skupu u izvijesnom stepenu to jest od 1 do 0.Kroz ovaj rad su obraene fuzzy funkcije pripadnosti, osobine fuzzy skupova i operacije koje moemo izvriti na fuzzy skupovima.Fuzzyfunkcijapripadnostiopisujestepenpripadnostielemenatanekomfuzzyskupu. Obraenasu4oblikafunkcija,ito:trougaona,trapezoidna,pravolinijskaizvonastafunkcija pripadnosti.Osnovneosobinefuzzyskupasu:normalnost,konveksnost(ispupenost)ibroj elemenata (kardinalnost) fuzzy skupa, a operacije koje moemo izvriti na fuzzy skupovima su: zbir fuzzy skupova, zajedniki skup i skup suprotan fuzzy skupu (komplement).Sad za sad, fuzzy skupove treba gledati I prihvatiti kao pomona matematika sredstva. Mundi Amer -Fuzzy skupoviPage 16 9. Literatura Web: -http://control.etfbl.net/MVI/Fuzzy.pdf -http://www.slideshare.net/marepunk/fuzzy-logika -http://ccd.uns.ac.rs/aus/ius/doc/Fuzzy/1%20Osnovni%20pojmovi%20fuzzy%20logike.pdf -http://scindeks.nb.rs/article.aspx?artid=1450-82300602115M -http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.pdf(5.1) -http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/Diplomski-radovi/Petric-Maretic-Fuzzy-logika.pdf -http://www.austinlinks.com/Fuzzy/tutorial.html Knjige: -Z. Avdagi: Vjetaka inteligencija & fuzzy-neuro-genetika, Grafoart, 2003 -R.Kruse,J.Gebhard,F.Klawonn: FoundationsofFuzzySystems,JohnWiley&Sons.1995