σwerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbn ...2019/05/01 · Το με αρ. πρωτ. εισ. ΥΠ.Π.Ε.Θ. 141607/03-09-2018 έγγραφο Μετά από σχετική

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq

σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι

qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz

xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert

λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf

ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa

sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ

τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv

ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο

ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk

lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp

asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε

ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ

αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzxασδφ

Οδηγός Εξετάσεων στα

Μαθηματικά Γενικού

Λυκείου

Οδηγός διδακτέας ύλης, Οδηγίες

επιλογής, δομής και διάρθρωσης

θεμάτων, ενδεικτικά προτεινόμενα

Θέματα

Σχολικό Έτος 2018-2019

Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Συντονιστής

Εκπαιδευτικού Έργου Μαθηματικών, 2ο

ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου

1

ΘΕΜΑ:ΟδηγίεςγιατηδιδασκαλίατωνΜαθηματικώνστιςΑ΄,Β΄τάξειςΗμερήσιουΓΕ.Λκαι

Α΄,Β΄,Γ΄τάξειςΕσπερινούΓΕΛγιατοσχολ.έτος2018–2019

Σχετ.:Τομεαρ.πρωτ.εισ.ΥΠ.Π.Ε.Θ.141607/03-09-2018έγγραφο

Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 33/26-07-

2018 του Δ.Σ, Ανακοινοποίηση στο ορθό 31-08-2018) σας αποστέλλουμε τις παρακάτω

οδηγίεςγιατηδιδασκαλίατωνΜαθηματικώνγιατοσχολικόέτος2018-2019:

1.Άλγεβρα(Τάξεις:Α΄,Β΄ΗμερησίουΓΕΛ,Α΄,Β΄,Γ΄ΕσπερινούΓΕΛ)

2.Γεωμετρία(Τάξεις:Α΄,Β΄ΗμερησίουΓΕΛ,Α΄,Β΄,Γ΄ΕσπερινούΓΕΛ)

3.ΜαθηματικάΟμάδαςΠροσανατολισμούΘετικώνΣπουδών (Τάξεις:Β΄Ημερησίου ΓΕΛ,

Β΄,Γ΄ΕσπερινούΓΕΛ)

ΒαθμόςΑσφαλείας:Ναδιατηρηθείμέχρι:Βαθ.Προτεραιότητας:Αθήνα,26-09-2018Αρ.Πρωτ.160253/Δ2

• ΠεριφερειακέςΔ/νσειςΕκπ/σης• Σχολ.ΣυμβούλουςΔ.Ε.(μέσωτων

ΠεριφερειακώνΔ/νσεωνΕκπ/σης)• Δ/νσειςΔ/θμιαςΕκπ/σης• ΓενικάΛύκεια(μέσωτωνΔ/νσεων

Δ/θμιαςΕκπ/σης)

ΠΡΟΣ:

ΙνστιτούτοΕκπαιδευτικήςΠολιτικής

[email protected]

ΕΛΛΗΝΙΚΗΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΠΑΙΔΕΙΑΣ,ΕΡΕΥΝΑΣΚΑΙΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

-----

ΓΕΝΙΚΗΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣΠΟΥΔΩΝΠ/ΘΜΙΑΣΚΑΙΔ/ΘΜΙΑΣΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣΠΟΥΔΩΝ,ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝΚΑΙΟΡΓΑΝΩΣΗΣΔ/ΘΜΙΑΣΕΚΠ/ΣΗΣ

ΤΜΗΜΑΑ΄

-----

Ταχ.Δ/νση: ΑνδρέαΠαπανδρέου37Τ.Κ.–Πόλη: 15180ΜαρούσιΙστοσελίδα: www.minedu.gov.grΠληροφορίες: Α.Πασχαλίδου B.Πελώνη Τηλέφωνο: 210-3443422 210-3442238

ΚΟΙΝ.:

2

ΑΛΓΕΒΡΑΑ΄ΤάξηςΗμερησίουΓΕΛ

ΔΙΔΑΚΤΕΑΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Ι.Εισαγωγή

Το μάθημα«Άλγεβρα και ΣτοιχείαΠιθανοτήτων»περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως,

της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά., οι οποίες είναι απαραίτητες για την

μετέπειταμαθηματικήεξέλιξητωνμαθητών.Οιμαθητέςέχουνέρθεισεμιαπρώτηεπαφήμεαυτές

τις έννοιες σε προηγούμενες τάξεις. Στην Α΄ Λυκείου θα τις αντιμετωπίσουν σε ένα υψηλότερο

επίπεδοαφαίρεσης,τοοποίοδημιουργείιδιαίτερεςδυσκολίεςστουςμαθητές.Γιατηναντιμετώπιση

αυτώντωνδυσκολιώνπροτείνεταινααφιερωθεί ικανόςχρόνοςστηνεμπέδωσητωννέωνεννοιών,

μέσω της ανάπτυξης και σύνδεσης πολλαπλών αναπαραστάσεών τους και στη χρήση τους στην

επίλυση προβλημάτων. Επίσης, να αφιερωθεί χρόνος ώστε οι μαθητές να εμπλακούν στην

αναγνώρισηομοιοτήτωνκαιδιαφορώνμεταξύιδιοτήτωνκαιδιαδικασιώνκαθώςκαισεδιαδικασίες

γενίκευσης. Οι πολλαπλές αναπαραστάσεις και η σύνδεσή τους μπορούν υποστηριχθούν από

ψηφιακά περιβάλλοντα, με τη βοήθεια των οποίων οι μαθητές μπορούν να εμπλακούν σε

ουσιαστικέςμαθηματικέςδραστηριότητες.Μέσααπότηδιερεύνησηομοιοτήτωνκαιδιαφορών-για

παράδειγμα η συσχέτιση των διαδικασιών επίλυσης ή της μορφής των λύσεων εξισώσεων και

ανισώσεων, η συσχέτιση ορισμένων ιδιοτήτων των ριζών και των αποδείξεών τους με αντίστοιχες

των απολύτων τιμών - οι μαθητές μπορούν να κατανοήσουν καλύτερα τις σχετικές έννοιες και

διαδικασίες.

ΙΙ.Διδακτέαύλη

Απότοβιβλίο«ΆλγεβρακαιΣτοιχείαΠιθανοτήτωνΑ΄ΓενικούΛυκείου»

ΕισαγωγικόκεφάλαιοΕ.2 Σύνολα

Κεφ.2ο:ΟιΠραγματικοίΑριθμοί

2.1 ΟιΠράξειςκαιοιΙδιότητέςτους

2.2 ΔιάταξηΠραγματικώνΑριθμών(εκτόςτηςαπόδειξηςτηςιδιότητας4)

2.3 ΑπόλυτηΤιμήΠραγματικούΑριθμού

2.4 ΡίζεςΠραγματικώνΑριθμών(εκτόςτωνιδιοτήτων3και4)

Κεφ.3ο:Εξισώσεις

3.1 Εξισώσεις1ουΒαθμού

3.2 ΗΕξίσωση νx α=

3.3 Εξισώσεις2ουΒαθμού

Κεφ.4ο:Ανισώσεις

4.1 Ανισώσεις1ουΒαθμού

4.2 Ανισώσεις2ουΒαθμού

Κεφ.5ο:Πρόοδοι

5.1 Ακολουθίες

5.2 Αριθμητικήπρόοδος(εκτόςτηςαπόδειξηςγιατοάθροισμανδιαδοχικώνόρωναριθμητικής

προόδου)

5.3 Γεωμετρικήπρόοδος(εκτόςτηςαπόδειξηςγιατοάθροισμανδιαδοχικώνόρωνγεωμετρικής

προόδου)

3

Κεφ.6ο:ΒασικέςΈννοιεςτωνΣυναρτήσεων

6.1 ΗΈννοιατηςΣυνάρτησης

6.2 ΓραφικήΠαράστασηΣυνάρτησης

6.3 ΗΣυνάρτησηf(x)=αx+β(εκτόςτηςκλίσηςευθείαςωςλόγοςμεταβολής)

Κεφ.7ο:ΜελέτηΒασικώνΣυναρτήσεων

7.1 ΜελέτητηςΣυνάρτησης:f(x)=αx2

7.3 ΜελέτητηςΣυνάρτησης:f(x)=αx2+βx+γ

ΙΙΙ.Διαχείρισηδιδακτέαςύλης

[Η κατανομή των διδακτικών ωρών που προτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες

περιλαμβάνεταιοχρόνοςπουθαχρειαστείγιαανακεφαλαιώσεις,γραπτέςδοκιμασίες,εργασίεςκλπ.

ΟιδραστηριότητεςπουαναφέρονταιωςΔ1,Δ2κλππεριέχονταιστοΑναλυτικόπρόγραμμασπουδών

της Α Λυκείου που ισχύει (ΥΑ 59614/Γ2,ΦΕΚ 1168/8–6–2011) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες που

περιλαμβάνονται στις παρούσες οδηγίες ως επιπλέον διδακτικό υλικό προέρχονται από το

πρόγραμμα σπουδών για το λύκειο και τον οδηγό για τον εκπαιδευτικό που εκπονήθηκαν στο

πλαίσιο της πράξης "Νέο Σχολείο" και μπορούν να ανακτηθούν από τον ιστότοπο του ΙΕΠ:

http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php]

ΕισαγωγικόΚεφάλαιο

(Προτείνεταιναδιατεθούν2διδακτικέςώρες)

Στοκεφάλαιοαυτόοιμαθητέςδιαπραγματεύονται τηνέννοια τουσυνόλουκαθώςκαισχέσειςκαι

πράξειςμεταξύσυνόλων.Ειδικότερα:

Όσοναφοράστην§Ε.1,αυτήναμηδιδαχθείωςαυτόνομοκεφάλαιοαλλάνασυζητηθείτονόημακαι

η χρήση των στοιχείων τηςΛογικής στις ιδιότητες και προτάσεις που διατρέχουν τη διδακτέαύλη

(γιαπαράδειγμαστηνιδιότηταα·β≠0 α≠0καιβ≠0της§2.1μπορείναδιερευνηθείτονόηματης

ισοδυναμίαςκαιτουσυνδέσμου«και»). §Ε.2Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρες

Οιμαθητέςαντιμετωπίζουνγιαπρώτηφοράμεσυστηματικότρόποτηνέννοιατουσυνόλουκαιτων

σχέσεωνκαιπράξεωνμεταξύσυνόλων.Επειδήηέννοιατουσυνόλουείναιπρωταρχική,δηλαδήδεν

ορίζεται,χρειάζεταινατονισθούνοιπροϋποθέσειςπουαπαιτούνταιγιαναθεωρηθείμιασυλλογή

αντικειμένωνσύνολομέσααπόκατάλληλαπαραδείγματα (π.χ. τοσύνολοπουαποτελείταιαπότα

θρανίακαιτουςμαθητέςτηςτάξης,το«σύνολο»τωνψηλώνμαθητώντηςτάξης).

Η αναπαράσταση συνόλων, σχέσεων και πράξεων αυτών καθώς και η μετάβαση από τη μία

αναπαράστασηστηνάλλη,μπορούνναυποστηρίξουντηνκατανόησητηςέννοιαςτουσυνόλου.

Οι πράξεις μεταξύ συνόλων είναι ένα πλαίσιο στο οποίο οι μαθητές μπορούν να δώσουν νόημα

στους συνδέσμους «ή» και «και». Ειδικά, όσον αφορά στο σύνδεσμο «ή», να επισημανθεί η

διαφορετική του σημασία στα Μαθηματικά από εκείνη της αποκλειστικής διάζευξης που του

αποδίδεταισυνήθωςστηνκαθημερινήχρήσητου.ΟιδραστηριότητεςΔ.1,Δ.2καιΔ.3τουΑΠΣείναι

ενδεικτικέςγιατηνεννοιολογικήπροσέγγισητηςέννοιαςτουσυνόλου.

4

Ενδεικτικήδραστηριότητα: Χρησιμοποιείστε τα διαγράμματα Venn για να

αναπαραστήσετε τις σχέσεις μεταξύ

παραλληλογράμμων, ορθογωνίων, τετραγώνων και

ρόμβων.

[Σχόλιο: Από το διάγραμμα μπορούν οι μαθητές να

διαπιστώσουνακόμαότι:

- Όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια, ενώ όλα τα

ορθογώνιαδενείναιτετράγωνα.

-Όλατατετράγωναείναιρόμβοι,αλλάόλοιοιρόμβοιδενείναιτετράγωνα.

-Όλοιοιρόμβοιείναιπαραλληλόγραμμα,αλλάόλαταπαραλληλόγραμμαδενείναιρόμβοι...

Κεφάλαιο2ο


Στο κεφάλαιο αυτό οι μαθητές επαναλαμβάνουν και εμβαθύνουν στις ιδιότητες του συνόλου των

πραγματικών αριθμών με στόχο να βελτιώσουν την κατανόηση της δομής του. Η επανάληψη και

περαιτέρωεξάσκησητωνμαθητώνστοναλγεβρικόλογισμό(αλγεβρικέςπράξεις,παραγοντοποίηση,

ταυτότητεςκ.λ.π.)δεναποτελείτονκύριοστόχοαυτούτουκεφαλαίου.Ειδικότερα:

§2.1Προτείνεταιναδιατεθούν5ώρες

Οιμαθητέςσυναντούνδυσκολίεςστηδιάκρισητωνρητώναπότουςάρρητουςκαιγενικότεραστην

ταξινόμηση των πραγματικών αριθμών σε φυσικούς, ακέραιους ρητούς και άρρητους. Οι

διαφορετικέςαναπαραστάσειςτωνπραγματικώναριθμώνεπηρεάζουντιςπαραπάνωδιεργασίες.Για

τολόγοαυτόπροτείνεταιναδοθείέμφασηστηδιάκρισητωνρητώναπότουςάρρητουςμεχρήση

κατάλληλωνπαραδειγμάτων,όπωςοιαριθμοί43 ,1.333…,1,010101…,1,1010010001…,καθώςκαι

στηνταξινόμησηαριθμώνσταβασικάυποσύνολατωνπραγματικώναριθμών(όπως42,

35

,6π

,-

1.333κ.ά.).Παράλληλα,καιμεαφορμήταπαραπάνωπαραδείγματα,μπορείναγίνεισυζήτησηαντο

άθροισμακαιτογινόμενοδύορητώνήδύοάρρητωνήρητούκαιάρρητουείναιρητόςήάρρητος.

Σημαντικόγιατοναλγεβρικόλογισμόείναιοιμαθητέςνακατανοήσουντιςιδιότητεςτωνπράξεων.Σε

αυτόθαβοηθήσειηλεκτικήδιατύπωσηκαιηδιερεύνησητων ιδιοτήτωνκαθώςκαιηαναγνώριση

της σημασίας της ισοδυναμίας, της συνεπαγωγής και των συνδέσμων «ή» και «και», με ιδιαίτερη

έμφασηστιςιδιότητες:α·β=0⇔α=0ήβ=0,α·β≠0⇔α≠0καιβ≠0.

Να δοθεί έμφαση στις μεθόδους απόδειξης και ιδιαίτερα σε αυτές με τις οποίες δεν είναι

εξοικειωμένοιοιμαθητές,όπωςηχρήσητηςαπαγωγήςσεάτοπογιατηναπόδειξηότιο 2 είναι

άρρητοςκαιτουαντιπαραδείγματοςστηναπόρριψητουισχυρισμού:α2=β2⇒α=β.Ηδραστηριότητα

Δ9τουΑΠΣμπορείνααξιοποιηθείπροςαυτήτηνκατεύθυνση.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:

ΗΕλένηκαιοΚώσταςπαρατηρούνότι τοάθροισμα3+11είναιάρτιοςκαιτογινόμενο3×11

είναιπεριττός.Κατόπιναυτών:

ΗΕλένηισχυρίζεταιότι:αντοάθροισμαδύοφυσικώναριθμώνείναιάρτιος,τότετογινόμενό

5

τουςείναιπεριττός

Ο Κώστας ισχυρίζεται ότι: αν το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών είναι περιττός, τότε το

άθροισμάτουςείναιάρτιος.

Νααπαντήσετεσταακόλουθαερωτήματα:

α)οιισχυρισμοίτηςΕλένηςκαιτουΚώσταλένετοίδιοπράγμα;

β)Τογινόμενοδύοφυσικώνείναι1271.ΑνυποθέσουμεότιέχειδίκιοοΚώσταςποιααπότις

επόμενεςπροτάσειςείναισωστή;

i.τοάθροισματωνδύοαριθμώνείναισίγουραάρτιος

ii.τοάθροισματωνδύοαριθμώνείναισίγουραπεριττός

iii.δενείναισίγουροαντοάθροισμαείναιπεριττόςήάρτιοςμέχριναμάθουμεποιοιείναιοι

αριθμοί.

γ)είναισωστόςοισχυρισμόςτηςΕλένης;Νααιτιολογήσετετηναπάντησήσας.

δ)είναισωστόςοισχυρισμόςτουΚώστα;Νααιτιολογήσετετηναπάντησήσας.


Οι μαθητές, επηρεασμένοι από τη διαδοχικότητα των ακεραίων, συναντούν δυσκολίες στην

κατανόησητηςπυκνότηταςτωνρητώναριθμών.Προτείνεταιναδοθείέμφασηστηδιερεύνησητης

έννοιαςτηςπυκνότηταςκαι τηςδιαδοχικότηταςσταβασικάυποσύνολατωνπραγματικώναριθμών

(προτείνεταιηδραστηριότηταΔ.9τουΑΠΣ)καθώςκαιστιςομοιότητεςκαιδιαφορέςτωνιδιοτήτων

τηςισότηταςκαιτηςανισότητας,μεέμφασηστιςισοδυναμίες:α2+β2=0⇔α=0καιβ=0,ενώα2+β2>0

⇔α≠0ήβ≠0καιστασχόλια1και2τηςσελ.56.


Οιμαθητές έχουναντιμετωπίσει,στο Γυμνάσιο, τηναπόλυτη τιμήενόςαριθμούως τηναπόστασή

του από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Στην ενότητα αυτή δίνεται ο τυπικός

ορισμόςτηςαπόλυτηςτιμήςκαιαποδεικνύονταιοιβασικέςιδιότητέςτης.Ναεπισημανθείημέθοδος

απόδειξηςτωνιδιοτήτωντωναπολύτωντιμών(ότιηζητούμενησχέσηείναιισοδύναμημεμίασχέση

που γνωρίζουμε ότι είναι αληθής) και να συζητηθεί η αναγκαιότητα του «πρέπει» (Û) και του

«αρκεί»(Ü)σεαυτές.

Ηγεωμετρικήερμηνείατηςαπόλυτηςτιμήςενόςαριθμούκαιτηςαπόλυτηςτιμήςτηςδιαφοράςδύο

αριθμώνείναισημαντική,γιατίβοηθάτουςμαθητέςνααποδώσουννόημαστηνέννοια.Ησύνδεση,

όμως, της αλγεβρικής σχέσης και της γεωμετρικής της αναπαράστασης δεν είναι κάτι που γίνεται

εύκολααπότουςμαθητέςκαιγιααυτόαπαιτείταιναδοθείσεαυτόιδιαίτερηέμφαση.

Μεαυτήτηνέννοιαπροτείνεταιναμηδιδαχθούν,στηγενικήτουςμορφή,οι:

Ix-x0I<ρ⇔x∈(x0-ρ,x0+ρ)⇔x0-ρ<x<x0+ρκαθώςκαι Ix-x0I>ρ⇔x∈(-∞,x0-ρ)∪(x0+ρ,+∞)⇔x<x0-ρή

x>x0+ρκαθώςκαιηγεωμετρικήερμηνείααυτών,επειδήείναιπολύδύσκολοναγίνουνκατανοητά

απότουςμαθητέςσ’αυτήτηφάσητηςαλγεβρικήςτουςεμπειρίας.Ομοίωςναμηδιδαχθείηέννοια

του κέντρου και της ακτίνας διαστήματος. Αντίθετα, οι μαθητές μπορούν να ασχοληθούν με τα

παραπάνωμέσααπόσυγκεκριμέναπαραδείγματα(π.χ.ηανίσωσηΙx-2Ι<3σημαίνει:«ποιοιείναιοι

αριθμοίπουαπέχουναπότο2απόστασημικρότερητου3;»δηλ.Ix-2I<3Ûd(x,2)<3Û-1<x<5).

6

Προτείνεται,όμως,ναγίνειδιαπραγμάτευσητωνσχέσεωνIxI<ρ⇔-ρ<x<ρκαιIxI>ρ⇔x<-ρήx>ρ.H

δραστηριότηταΔ.10τουΑΠΣυποστηρίζειτηνπαραπάνωπροσέγγιση.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:

Δίνονται τα σημεία Α , Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών

τουςαριθμούς-2,7καιxαντίστοιχα,με-2<x<7.

α)Ναδιατυπώσετετηγεωμετρικήερμηνείατωνπαραστάσεων: i.|x+2|ii.|x-7| β)Μετηβοήθειατουάξοναναδώσετετηγεωμετρικήερμηνείατουαθροίσματος:|x+2|+|x-

7|

γ)ΝαβρείτετηντιμήτηςπαράστασηςA=|x+2|+|x-7|γεωμετρικά.

δ)Ναεπιβεβαιώσετεαλγεβρικάτοπροηγούμενοσυμπέρασμα.


Οιμαθητέςέχουνήδηαντιμετωπίσει,στοΓυμνάσιο,τιςτετραγωνικέςρίζεςκαιδυνάμειςμεακέραιο

εκθέτηκαθώςκαιτιςιδιότητεςαυτών.Στηνενότητααυτήγίνεταιεπέκτασηστην-οστήρίζακαιστη

δύναμη με ρητό εκθέτη. Να μη διδαχθούν οι ιδιότητες 3 και 4 ( δηλαδή οι µ µ⋅νν α = α καιν⋅ρ νµ⋅ρ µα = α ) εφόσον καλύπτονται πλήρως από τη χρήση των δυνάμεων με ρητό εκθέτη και

μάλισταμεμικρότερεςδυσκολίεςχειρισμών.

Ναεπισημανθείηδιατήρησητωνιδιοτήτωντωνδυνάμεωνμεακέραιοεκθέτηκαιστηνπερίπτωση

του ρητού εκθέτη. Προτείνεται η διαπραγμάτευση απλών ασκήσεων. Για να αναδειχθούν τα

πλεονεκτήματατωναλγεβρικώνμεθόδωνέναντιτηςχρήσηςτουυπολογιστήτσέπης,προτείνεταιμια

δραστηριότητασαντηΔ.11τουΑΠΣ.


Στο ερώτημα ποιον αριθμό εκφράζει η παράσταση ( )22

42⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ δόθηκαν δυο διαφορετικές

απαντήσεις.Ναεξετάσετεπουβρίσκεταιτοπρόβλημα.

1ηαπάντηση: ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 2 12 12 2 4 4 4 24 42 2 [ 2 ] 4 4 4 2⋅ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = − = = = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

2ηαπάντηση: ( ) ( ) ( )22 2 2 1

4 42 2 2 2⋅⎡ ⎤− = − = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Κεφάλαιο3ο


Στοκεφάλαιοαυτόοιμαθητέςμελετούνσυστηματικάκαιδιερευνούνεξισώσεις1ουκαι2ουβαθμού.

Ωςιδιαίτερηπερίπτωσηεξετάζεταιηεξίσωσηxν=α.Ειδικότερα:


Οιμαθητές, στο Γυμνάσιο, έχουνδιαπραγματευθείαναλυτικά την επίλυσηεξισώσεων τηςμορφής

αx+β=0, τηςοποίαςοισυντελεστέςακαιβείναισυγκεκριμένοιαριθμοί. Συναντούνδυσκολίεςστη

7

μετάβασηαπότηνεπίλυσημιαςτέτοιαςμορφήςεξίσωσηςστηνεπίλυσητηςγενικήςμορφήςαx+β=0,

για δυο κυρίως λόγους: α) είναι δύσκολος ο διαχωρισμός της έννοιας της παραμέτρου από την

έννοιατηςμεταβλητήςκαιβ)δενείναιεξοικειωμένοιμετηδιαδικασίατηςδιερεύνησηςγενικά.

Γιατολόγοαυτό,προτείνεταιναδοθείπροτεραιότηταστηναναγνώρισητουρόλουτηςπαραμέτρου

σεμιαπαραμετρικήεξίσωση1ουβαθμούμέσααπότηδιαπραγμάτευσητηςπαραμετρικήςεξίσωσης

πουπεριλαμβάνεταιστηθεωρίααυτήςτηςπαραγράφου(σχολικόβιβλίο,σελ.80).Γιαπαράδειγμα,

μπορείναζητηθείαπότουςμαθητέςναλύσουντηνεξίσωσηγιασυγκεκριμένεςτιμέςτουλ(π.χ.λ=2,

λ=5,λ=1,λ=-1)καιστησυνέχειαναπροσπαθήσουνναδιατυπώσουνγενικάσυμπεράσματαγιακάθε

τιμήτηςπαραμέτρουλ.Προτείνεται,επίσης,προςδιαπραγμάτευσηηδραστηριότηταΔ.12τουΑΠΣ

καθώς και η επίλυση απλών παραμετρικών εξισώσεων και απλών εξισώσεων που ανάγονται σε

εξισώσεις1ουβαθμού(όπωςηάσκηση10τηςΑ’Ομάδας).

Για καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των ιδιοτήτων τωναπολύτων τιμών,προτείνεται ναδοθεί

ιδιαίτερηέμφασησεεξισώσεις,όπωςηIx-5I=-3,τηνοποίαδύσκολαχαρακτηρίζουνοιμαθητέςαπό

τηναρχήωςαδύνατη.


Ηεπίλυσηεξισώσεωντηςμορφήςxν=αναπεριοριστείσεαπλέςεξισώσεις.


Η επίλυση της εξίσωσης αx2+βx+γ=0, α≠0 στη γενική της μορφή με τη μέθοδο «συμπλήρωσης

τετραγώνου»είναιμιαδιαδικασίαπουδυσκολεύειτουςμαθητές.Προτείνεταιναχρησιμοποιήσουν

οι μαθητές τη μέθοδο της «συμπλήρωσης τετραγώνου» πρώτα σε εξισώσεις 2ου βαθμού με

συντελεστές συγκεκριμένους αριθμούς και στη συνέχεια με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού να

γενικεύσουντηδιαδικασία.

Επίσης,προτείνεταιηεπίλυσηαπλώνεξισώσεωνπουανάγονταισεεξισώσεις2ουβαθμού(όπωςτα

παραδείγματα1και3)καιναδοθείέμφασηστημοντελοποίησηκαιεπίλυσηπροβλημάτωνμεχρήση

εξισώσεων2ουβαθμού(προτείνονταιοιδραστηριότητεςΔ.13καιΔ.14τουΑΠΣ).

Οι τύποι τουVieta επιτρέπουνστουςμαθητές είτε να κατασκευάσουνμια εξίσωση2ουβαθμούμε

δεδομένο το άθροισμα και το γινόμενο ριζών της είτε να προσδιορίσουν απευθείας τις ρίζες της

(βρίσκονταςδυοαριθμούςπου να έχουνάθροισμαS και γινόμενοP).Προτείνεται να ζητηθείαπό

τους μαθητές, υπό μορφή άσκησης, να προσδιορίσουν αυτούς τους τύπους και να τους

χρησιμοποιήσουνστηνεπίλυσησχετικώνπροβλημάτων.Πέραντωνπαραπάνωστόχων,ηχρήσητων

τύπωντουVietaσεασκήσειςμεπολύπλοκουςαλγεβρικούςχειρισμούςξεφεύγειαπότοπνεύματης

διδασκαλίαςκαιδενπροσφέρειστημαθηματικήσκέψητωνμαθητών.


Μιαμικρήμεταλλικήσφαίραεκτοξεύεταικατακόρυφααπότοέδαφος.Τούψοςy(σεm)στο

οποίοθαβρεθείησφαίρα τη χρονικήστιγμή t (σε sec)μετά τηνεκτόξευση,δίνεταιαπό τη

σχέση:y=60t–5t2.

α)Μετάαπόπόσοχρόνοησφαίραθαεπανέλθειστοέδαφος;

β)Ποιεςχρονικέςστιγμέςησφαίραθαβρεθείστούψοςy=175m;

8

γ)Ναβρείτετοχρονικόδιάστημαστηδιάρκειατουοποίου

ησφαίραβρίσκεταισεύψοςμεγαλύτεροαπό100m.

Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Το μικροπείραμα «Επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού με τη

βοήθεια τύπου» από τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία,

μπορείναχρησιμοποιηθείγιατηνκατανόησητηςαλγεβρικήςκαιγραφικήςπροσέγγισηςτων

λύσεωνμιαςεξίσωσηςδευτέρουβαθμούκαιεπιβεβαίωσητωναποτελεσμάτωνμετηβοήθεια

τουτύπου. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2132

Κεφάλαιο4ο


Στοκεφάλαιοαυτόοιμαθητέςμελετούνσυστηματικάκαιδιερευνούνανισώσεις1ουκαι2ουβαθμού

Ειδικότερα:


Οιμαθητές,στοΓυμνάσιο, έχουνδιαπραγματευθείαναλυτικά τηνεπίλυσηανισώσεων1ουβαθμού

με συγκεκριμένους συντελεστές. Εκτός από τη χρήση της αριθμογραμμής, για την απεικόνιση του

συνόλουλύσεωνμιαςανίσωσης,προτείνεταιναδοθείέμφασηκαιστηχρήσητωνδιαστημάτωντων

πραγματικών αριθμών για την παραπάνω απεικόνιση, ως εφαρμογή της αντίστοιχης

υποπαραγράφουτης§2.2.Νασυζητηθούνομοιότητεςκαιδιαφορέςανάμεσαστηνεξίσωσηκαιτην

ανίσωση,ωςπροςτηδιαδικασίατηςεπίλυσηςτουςκαιτοσύνολοτωνλύσεώντους.

Γιακαλύτερηκατανόησηκαιεμπέδωσητωνιδιοτήτωντωναπολύτωντιμών,προτείνεταιναλυθούν

απότουςμαθητέςκαιανισώσειςόπωςοιIx-5I<-3ήIx-5I>-3,τωνοποίωντηλύση,ανκαιπροκύπτει

από απλή παρατήρηση, δεν την αναγνωρίζουν άμεσα οι μαθητές. Προτείνεται επίσης να δοθεί

προτεραιότητα στη μοντελοποίηση προβλημάτων με χρήση ανισώσεων 1ου βαθμού, όπως για

παράδειγμαηάσκηση11τηςΑ΄Ομάδαςκαιοιασκήσεις3και4τηςΒ΄Ομάδας.


ΗΕιρήνηπαρατηρείότικάθεφοράπουοσκύλοςτηςγαβγίζειτηνύχταξυπνάεικαιχάνει15

λεπτάύπνου.Τοπροηγούμενοβράδυκοιμήθηκελιγότεροαπό5ώρες,ενώσυνήθως(ανδεν

γαβγίσειοσκύλος)κοιμάται8ώρεςτοβράδυ.

α)ΠόσεςφορέςμπορείναξύπνησετοπροηγούμενοβράδυηΕιρήνη;

β)Μπορείνατηνξύπνησετογάβγισμα33φορές;Νααιτιολογήσετετηναπάντησήσας.


Ηδιαπραγμάτευσηανισώσεων2ουβαθμούγίνεταιγιαπρώτηφοράστηνΑ΄Λυκείου.Προτείνεταινα

δοθείέμφασηστηδιερεύνησητηςπαραγοντοποίησηςτουτριωνύμου,όπουγίνεταιξανάχρήσητης

μεθόδου «συμπλήρωσης τετραγώνου», ώστε να μη δοθούν απευθείας τα συμπεράσματα αυτής.

Στονπροσδιορισμότουπρόσημουτουτριωνύμου,παρατηρείταισυχνάοιμαθητέςναπαραβλέπουν

τοπρόσημοτουσυντελεστήτουδευτεροβάθμιουόρουήνασυγχέουντοπρόσημοτηςδιακρίνουσας

μετοπρόσημοτουτριωνύμου(π.χ.ότανΔ<0,θεωρούνότικαιτοτριώνυμοπαίρνειαρνητικέςτιμές).

9

Ταπαραπάνωπροβλήματασυχνάαντιμετωπίζονταιμεδιάφορα«τεχνάσματα»μετασύμβολα«+»

και«-»,ώστεναπροσδιορίσουνοιμαθητέςτοπρόσημοτουτριωνύμουκαιναεπιλύσουνανισώσεις

2ουβαθμού.Τέτοιεςπροσεγγίσειςδεσυνδέονταιμετηνκατανόησητουπότεένατριώνυμοπαίρνει

θετικέςκαιπότεαρνητικέςτιμές.

Γιατολόγοαυτόπροτείνεταιναδοθείέμφασηστηνκατανόησητηςδιαδικασίαςπροσδιορισμούτου

πρόσημου του τριωνύμου (π.χ. μέσα από τη μελέτη του προσήμου των παραγόντων του και του

συντελεστήτουδευτεροβάθμιουόρου,όταναυτόπαραγοντοποιείται)καιστησυνέχειαστηχρήση

των συμπερασμάτων για την επίλυση ανισώσεων 2ου βαθμού. Η μοντελοποίηση και επίλυση

προβλημάτωνμεχρήσηανισώσεων2ουβαθμού(π.χ.ηδραστηριότηταΔ.15τουΑΠΣκαιηάσκηση7

τηςΒ’Ομάδας)λειτουργούνπροςαυτήντηνκατεύθυνση.


α)Ναλύσετετηνανίσωση: .

β)ΝαβρείτετοπρόσημοτωναριθμώνΚ=246 465 6

47 47⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

και Μ= 2( 37) 5 37 6− − .

Νααιτιολογήσετετοσυλλογισμόσας.γ)Ανα∈(-6,6),ναβρείτετοπρόσημοτηςπαράστασης 2 5 6Λ =α − α − .Νααιτιολογήσετε

τηναπάντησήσας.


Ποιοι πραγματικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από το τετράγωνό τους; Ποιοι είναι

μεγαλύτεροικατά1απότοτετράγωνότους;


Το μικροπείραμα «Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου» από τα

εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί

διερευνητικά, ώστε ο μαθητής να οδηγηθεί μέσα από

πειραματισμούς και εικασίες στην εύρεση της περιοχής που

πρέπεινακινείταιητιμήτηςμεταβλητήςχ,ώστετοτριώνυμονα

παίρνειθετικήήαρνητικήτιμή.Παράλληλαμαθαίνειγιατορόλο

της εικασίας και τουπειραματισμούστηδιαδικασία της εύρεσης

αλγεβρικώνσχέσεων. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/1752

Κεφάλαιο5ο


Στο κεφάλαιο αυτό οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της ακολουθίας πραγματικών αριθμών και

μελετούν περιπτώσεις ακολουθιών που εμφανίζουν κάποιες ειδικές μορφές κανονικότητας, την

αριθμητικήκαιτηγεωμετρικήπρόοδο.Ειδικότερα:


Να δοθεί προτεραιότητα στην αναγνώριση της ακολουθίας ως αντιστοιχίας των φυσικών στους

πραγματικούς αριθμούς και στην εξοικείωση των μαθητών με το συμβολισμό (π.χ. ότι ο φυσικός

10

αριθμός1,μέσωμιαςακολουθίαςα,αντιστοιχείστονπραγματικόαριθμόα1πουαποτελείτονπρώτο

όρο της ακολουθίας αυτής), δεδομένου ότι αυτός δυσκολεύει τους μαθητές (προτείνεται η

δραστηριότηταΔ.16τουΑΠΣ).


Αρχικά οι μαθητές χρειάζεται να μπορούν να αναγνωρίσουν με βάση τον ορισμό αν μια

συγκεκριμένη ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος (π.χ. η δραστηριότητα Δ.17 του ΑΠΣ). Στη

συνέχεια, να προσδιορίζουν το ν-οστό όρο με τρόπο τέτοιο που να τους βοηθά να αντιληφθούν

κανονικότητες, οι οποίες μπορούν να τους οδηγήσουν στα γενικά συμπεράσματα (προτείνεται η

δραστηριότητα Δ.18 του ΑΠΣ χωρίς τα ερωτήματα γ και δ). Η μοντελοποίηση και επίλυση

προβλημάτων (όπως η άσκηση 12 της Α΄ Ομάδας) συμβάλλει στην εννοιολογική κατανόηση της

έννοιαςτηςαριθμητικήςπροόδου.

Ηαπόδειξητουτύπουγιατοάθροισματωννπρώτωνόρωναριθμητικήςπροόδουδενθαδιδαχθεί.

Ενδεικτικήδραστηριότητα: Το μικροπείραμα «Ας φτιάξουμε μια σκάλα» από τα

εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί

διερευνητικά ώστε ο μαθητής να οδηγηθεί μέσα από

πειραματισμούςκαιεικασίεςστηνκατανόησητωνεννοιώντης

αριθμητικήςπροόδου. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5155


Ηδιαπραγμάτευση της έννοιας της γεωμετρικήςπροόδουπροτείνεται να γίνει κατ’αντιστοιχίαμε

τηνέννοιατηςαριθμητικήςπροόδου.ΠροτείνονταιοιδραστηριότητεςΔ.19(χωρίςταερωτήματαδ

και ε) και Δ.21 (χωρίς το ερώτημα δ) του ΑΠΣ, που στόχο έχουν να αντιληφθούν οι μαθητές

κανονικότητες που θα τους οδηγήσουν στην εύρεση του ν-στού όρου γεωμετρικής προόδου. Η

απόδειξητουτύπουγιατοάθροισματωννπρώτωνόρωνγεωμετρικήςπροόδουδενθαδιδαχθεί


ΤηνημέραπουηΜαρίαγιόρταζετα12αγενέθλιάτης,ηγιαγιάτης,τηςέδωσε50ευρώκαι

τηςείπεότιμέχριναγιορτάσειτα21αγενέθλιάτηςθατηςαύξανεκάθεχρόνοτοποσότου

δώρουτηςκατά10ευρώ.ΟπαππούςτηςΜαρίαςτηςέδωσε5ευρώκαιτηςείπεότιμέχρινα

γιορτάσει τα 21αγενέθλιά της θα της διπλασίαζε κάθε χρόνο, το προηγούμενο ποσό του

δώρου του. Η Μαρία δυσαρεστήθηκε με την πρόταση του παππού της. Είχε δίκιο; Πόσα

χρήματαθαείναι τοδώρο της,στα15ακαιστα21αγενέθλια της,από τονπαππούτηςκαι

πόσααπότηγιαγιάτης;

Κεφάλαιο6ο


Οι μαθητές, στο Γυμνάσιο, έχουν έρθει σε επαφή με την έννοια της συνάρτησης, κυρίως με

εμπειρικό τρόπο, και έχουνδιερευνήσειστοιχειωδώςσυγκεκριμένεςσυναρτήσεις. ΣτηνΑ’Λυκείου

μελετούν την έννοια της συνάρτησης με πιο συστηματικό και τυπικό τρόπο. Σε πολλούς μαθητές

11

δημιουργούνται παρανοήσεις και ελλιπείς εικόνες σχετικά με την έννοιααυτή, με αποτέλεσμα να

παρουσιάζουν προβλήματα στην αναγνώριση μιας συνάρτησης, καθώς και να μη μπορούν να

χειριστούν με ευελιξία διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας συνάρτησης (π.χ. πίνακας τιμών,

αλγεβρικόςτύπος,γραφικήπαράσταση).Γιατολόγοαυτόθαπρέπειοιμαθητές,μέσωκατάλληλων

δραστηριοτήτων, να χρησιμοποιούν, να συνδέουν και να ερμηνεύουν τις αναπαραστάσεις μιας

συνάρτησηςκαθώςκαιναεντοπίζουνπλεονεκτήματακαι(ενδεχομένως)μειονεκτήματακαθεμιάςεξ

αυτών. Η εξαντλητική ενασχόληση των μαθητών με επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων για την

εύρεσητουπεδίουορισμούδενβοηθάστηνκατανόησητηςέννοιαςτηςσυνάρτησηςκαιδενείναι

στοπνεύματηςδιδασκαλίας.

Οι έννοιες «κατακόρυφη - οριζόντια μετατόπιση καμπύλης», «μονοτονία – ακρότατα - συμμετρίες

συνάρτησης»,δενσυμπεριλαμβάνονταιστηδιδακτέαύλη,όπωςαναπτύσσονταιστιςπαραγράφους

6.4 και 6.5. Οι έννοιες αυτές θα μελετηθούν στις ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων της μορφής:

f(x)=αx+β(§6.3),f(x)=αx2(§7.1)καιf(x)=αx2+βx+γ(§7.3).Ειδικότερα:

§6.1-§6.2Προτείνεταιναδιατεθούν7ώρες

Προτείνεταιναδοθούναρχικάσυγκεκριμέναπαραδείγματαμοντελοποίησηςκαταστάσεων,ώστενα

αναδειχθεί η σημασία της έννοιας της συνάρτησης για τις εφαρμογές, και στη συνέχεια να

ακολουθήσειοτυπικόςορισμός.Ναδοθείέμφασηστηναναγνώρισηκαιτεκμηρίωση,μεβάσητον

ορισμό, αν αντιστοιχίες που δίνονται με διάφορες αναπαραστάσεις είναι συναρτήσεις ή όχι (οι

δραστηριότητεςΔ.22,Δ.23καιΔ.24τουΑΠΣλειτουργούνπροςαυτήντηνκατεύθυνση),στησύνδεση

διαφορετικώναναπαραστάσεωνμιας συνάρτησης (τύπος, πίνακας τιμών και γραφικήπαράσταση)

και στην ερμηνεία μιας δεδομένης γραφικής παράστασης για την επίλυση ενός προβλήματος). O

τυπικός ορισμός της μονοτονίας θα συζητηθεί στην Β τάξη. Μπορεί όμως κατά την κρίση του

διδάσκοντα να εισαχθούν διαισθητικά οι έννοιες της μονοτονίας και ακρότατων και να γίνει η

αναγνώρισητουςσεγραφικέςπαραστάσεις.Οιέννοιεςαυτέςδεναποτελούνεξεταστέαύλη.

Τονίζεται ότι ο τύπος της απόστασης δύο σηµείων αποτελεί µία άλλη έκφραση του Πυθαγορείου Θεωρήµατος µε όρους συντεταγµένων, ανακαλεί τις έννοιες των παραγράφων 2.3 και 2.4 . και προσφέρεται για υπολογισµούς. Επισηµαίνεται ότι:

Α) Η απόδειξη του τύπου δεν αποτελεί αντικείµενο εξέτασης και ως εφαρµογές του θα διδαχθούν οι ασκήσεις 4 και 5 . Β) Δεν θα διδαχθεί η εφαρµογή της σελίδας 155

ΠροτείνονταιοιδραστηριότητεςΔ.15καιΔ.26τουΑΠΣ

Ενδεικτική

δραστηριότητα

1:

i) Ποιόν κανόνα

πρέπει να

εφαρμόσουμε

γιαναυπολογίσουμεαπόπόσασημείαθααποτελείταιτο7οσχήμα;

ii)Απόπόσασημείαθααποτελείταιτο27οσχήμα;

12


Αν με Δ παραστήσουμε μια δόση αμπικιλλίνης (η αμπικιλλίνη είναι μια χημική ουσία

χρησιμοποιείται για τη θεραπεία αναπνευστικών λοιμώξεων) σε χιλιοστόγραμμα και μεW

παραστήσουμετοβάροςπαιδιούσεκιλά,τότεηεξίσωσηΔ=50Wδίνειένανκανόναγιατην

εύρεσητηςμέγιστηςασφαλούςημερήσιαςδόσηςτουφαρμάκουτηςαμπικιλλίνηςγιαπαιδιά

πουζυγίζουνλιγότεροαπό10κιλά.

α)Ηεξίσωσηεκφράζεισυνάρτηση;Νααιτιολογήσετετοσυλλογισμόσας.

β)Ποιεςείναιοιλογικέςεπιλογέςγιαανεξάρτητηκαιεξαρτημένημεταβλητή;

γ)Ναδημιουργήσετεένανπίνακατιμώνκαιμιαγραφικήπαράσταση.


Οιμαθητέςέχουνδιαπραγματευθείτηγραφικήπαράστασητηςευθείαςψ=αx+βστοΓυμνάσιο.Εδώ

προτείνεται να δοθεί έμφαση στη διερεύνηση του ρόλου των παραμέτρων α και β στη γραφική

παράστασητης f(x)=αx+β,ώστεναπροκύψουνοισχετικέςθέσειςευθειώνστοεπίπεδο(πότεείναι

παράλληλεςμεταξύτους,πότεταυτίζονται,πότετέμνουντονάξοναy’yστοίδιοσημείο).

Επίσηςπροτείνεται,αφούοιμαθητέςπαρατηρήσουν (μεχρήσητηςγραφικήςπαράστασηςκαι του

πίνακατιμώνσυγκεκριμένωνγραμμικώνσυναρτήσεων)πώςμεταβάλλονταιοιτιμέςτηςσυνάρτησης

όταν μεταβάλλεται η ανεξάρτητη μεταβλητή, να καταλήξουν σε γενικότερα συμπεράσματα που

αφορούν στη μονοτονία της συνάρτησης και να τα εκφράσουν συμβολικά, καθώς και να

διερευνήσουντορόλοτηςπαραμέτρουασεσχέσημεαυτά(προτείνεταιηδραστηριότηταΔ.27του

ΑΠΣ).


Έναςαθλητήςκολυμπάειύπτιοκαικαίει9θερμίδεςτολεπτό,ενώότανκολυμπάειπεταλούδα

καίει12θερμίδεςτολεπτό.Οαθλητήςθέλει,κολυμπώντας,νακάψει360θερμίδες.

α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει

πεταλούδαγιανακάψεισυνολικά360θερμίδες.

β)Οαθλητήςαποφασίζειπόσοχρόνοθακολυμπήσειύπτιοκαιστησυνέχειαυπολογίζειπόσο

χρόνοπρέπεινακολυμπήσειπεταλούδαγιανακάψει360θερμίδες.

βi)Ανxείναιοχρόνος(σελεπτά)πουοαθλητήςκολυμπάειύπτιο,νααποδείξετεότιοτύπος

τηςσυνάρτησηςπουεκφράζειτοχρόνοπουπρέπεινακολυμπήσειπεταλούδαγιανακάψει

360θερμίδεςείναι: ( ) = −3304

f x x

βii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος (βi), στο πλαίσιο του

συγκεκριμένουπροβλήματος.

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρείτε τα

σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη

σημασίατουςστοπλαίσιοτουπροβλήματος.


Το μικροπείραμα «Ο ρόλος των συντελεστών στην y=αx+β»

από τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, μπορεί να

χρησιμοποιηθεί διερευνητικά, για την εισαγωγή στη

13

συνάρτησηf(x)=αx+βμέσωτηςδιερεύνησηςτουρόλουκάθεσυντελεστήστοσχηματισμότης

ευθείαςy=αx+βκαιερμηνείαςτηςσχέσηςτωνμελώντηςκάθεμιαςαπότιςδυοοικογένειες

ευθειών,γιαασταθερόκαιβμεταβαλλόμενοκαιαντίστροφα. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/1774

Κεφάλαιο7ο


Στο κεφάλαιο αυτό οι μαθητές μελετούν τη συνάρτηση ψ=αx2 και τις ιδιότητές της. Επίσης, με

αφετηρία τηνψ=αx2, κατασκευάζουν τηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ την

οποίαστησυνέχειαχρησιμοποιούνγιαναμελετήσουνιδιότητεςτηςf.Ειδικότερα:


Οιμαθητές χρησιμοποιούνπίνακες τιμώνκαιλογισμικόγιανακάνουν τηγραφικήπαράστασητης

συνάρτησηςψ=αx2.Μέσααπότηνπαρατήρησητηςγραφικήςπαράστασηςκαιτωντιμώνδιερευνούν

τημονοτονία,ταακρότατακαιτιςσυμμετρίεςτωνσυναρτήσεωνg(x)=x2καιh(x)=-x2.Μετηβοήθεια

της γραφικής παράστασης γενικεύουν τα παραπάνω συμπεράσματα για τη συνάρτηση f(x)=αx2

(προτείνεταιηδραστηριότηταΔ.29τουΑΠΣήηχρήσηλογισμικού)καιταεκφράζουνσυμβολικά.


Το μικροπείραμα « Οι μεταβολές της συνάρτησης ψ=αx2» από ταεμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί

διερευνητικάγιατημελέτημονοτονίαςτηςσυνάρτησηςψ=αx2όταν

α>0ήα<0. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/1729


Τομικροπείραμα«Μετατοπίσειςτηςψ=αx²»απόταεμπλουτισμένα

σχολικάβιβλία, μπορείναχρησιμοποιηθείδιερευνητικάαπότους

μαθητές για την οριζόντια και κατακόρυφημετατόπιση τηςψ=αx²

αλλά και την εύρεση του τύπου της στη νέα θέση και να

πειραματιστούν για τον συνδυασμό των δύο παραπάνω

μετατοπίσεων. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/1748


Να δοθεί έμφαση στη χάραξη και διερεύνηση της γραφικής παράστασης συγκεκριμένων

πολυωνυμικώνσυναρτήσεωντηςμορφήςf(x)=αx2+βx+γκαιστηδιαισθητικήμελέτητηςμονοτονίας,

τωνακρότατωνκαιτηςσυμμετρίαςτηςσυνάρτησηςμετηβοήθειατηςγραφικήςτηςπαράστασης.Η

γενίκευσητωνπαραπάνωεννοιώνθαδιδαχτούνστηνΒΛυκείου.

Ειδικότερα, όσον αφορά στη χάραξη της γραφικής παράστασης και στη μελέτη της συνάρτησης

f(x)=αx2+βx+γ,η ιδέαπουβρίσκεταικαιπίσωαπότηδραστηριότηταΔ.30τουΑΠΣείναιηεξής:Οι

μαθητέςχρησιμοποιούνείτεπίνακεςτιμώνείτελογισμικόγιαναχαράξουντηγραφικήπαράσταση

14

της ψ=αx2+κ και να την συγκρίνουν με την ψ=αx2, ομοίως για την ψ=α(x+λ)2 και τελικά για την

ψ=α(x+λ)2+κ. Με αυτόν τον τρόπο εισάγονται διαισθητικά στις μετατοπίσεις, τις οποίες θα

γενικεύσουνστηνΒΛυκείου.Ανχρησιμοποιηθείλογισμικό,οιμαθητέςμπορούναφούχαράξουντη

γραφικήπαράστασητηςg(x)=αx2γιαδιάφορεςτιμέςτουανατηνμετατοπίσουνκμονάδεςοριζόντια

για διάφορες τιμές του κ (π.χ. κατά 3 μονάδες αριστερά, κατά 4 μονάδες δεξιά) και να

παρατηρήσουν τη μορφή που παίρνει ο τύπος της συνάρτησης. Στη συνέχεια να μετατοπίσουν λ

μονάδεςκατακόρυφαγιαδιάφορεςτιμέςτουλ(π.χ.κατά2μονάδεςκάτω,κατά5μονάδεςπάνω)και

νακάνουνανάλογεςπαρατηρήσεις.Συνδυάζονταςτιςδύομετατοπίσειςμπορούνναπαρατηρήσουν

ότιησυνάρτησηπουθαπροκύψειθαείναιτηςμορφήςf(x)=α(x+κ)2+λ.

Τέλος, δίνονται στους μαθητές συγκεκριμένες συναρτήσεις της μορφής f(x)=αx2+βx+γ και εκείνοι

προσπαθούν,μεκατάλληλεςμετατοπίσειςτηςg(x)=αx2,ναοδηγηθούνστηγραφικήπαράστασητης

f. Στη συνέχεια μελετούν, με τη βοήθεια της γραφικής της παράστασης, ιδιότητες της f και

επεκτείνουντασυμπεράσματαπουαφορούνστημονοτονία,σταακρότατακαιστιςσυμμετρίεςτης

g(x)=αx2στηνf(x)=αx2+βx+γ.

Επίσης, να γίνει γεωμετρική ερμηνεία των συμπερασμάτων των §3.3 και §4.2(ρίζες και πρόσημο

τριωνύμου)μετηβοήθειατηςγραφικήςπαράστασηςτηςσυνάρτησηςf(x)=αx2+βx+γ(προτείνεταιη

δραστηριότηταΔ.32τουΑΠΣ). Διδακτικάέχει ιδιαίτεροενδιαφέροννασχεδιαστούνοιέξιβασικές

περιπτώσεις που αφορούν στις τιμές της διακρίνουσας (Δ>0, Δ=0 και Δ<0) συνδυαζόμενες με το

πρόσημοτουα(α>0,α<0)ώστεοιμαθητέςνασυνδέσουντηγραφικήπαράστασημετααλγεβρικά

συμπεράσματαπουήδηχρησιμοποιούν


α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων: φ(x)=x2, f(x)=(x-3)2,

g(x)=(x+3)2.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

φ(x)=x2 0

f(x)=(x-3)2 0

g(x)=(x+3)2 0

β) Με βάση τον παραπάνω πίνακα τιμών, να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεωνφ,fκαιg.

γ)Ποιαμετατόπιση της γραφικήςπαράστασης τηςφ, δίνει τη γραφικήπαράσταση της fκαι

ποιαμετατόπισητηςγραφικήςπαράστασηςτηςφδίνειτηγραφικήπαράστασητηςg.


Ένας μετεωρολόγος δημιούργησε την διπλανή παραβολή για να

παρουσιάσειτηθερμοκρασίαμιαςπόληςμιασυγκεκριμένηημέρα

τουέτους,όπουτοxείναιοαριθμόςωρώνμετάταμεσάνυχτακαι

τοyείναιηθερμοκρασία(σεβαθμούςΚελσίου).

α) Βρείτε τη συνάρτηση f που αντιστοιχεί στην παραπάνω

γραφικήπαράσταση.

β)Ποιαείναιηπιοκρύαθερμοκρασίατηνημέραεκείνη;

15

Σημείωση:Μπορείτενακατεβάσετετιςψηφιακέςδραστηριότητεςκαινατιςανοίξετετοπικάμετοαντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο μεκατάληξη .ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνσηhttps://www.geogebra.org/download ή διαφορετικά ψάξτε για το αντίστοιχο λογισμικό στηδιεύθυνσηhttp://photodentro.edu.gr/edusoft/. Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online),προτιμήστετονφυλλομετρητήMozillaFirefox.

• ΑνηεφαρμογήείναισεflashθαπρέπειναεγκαταστήσετετοπρόσθετοAdobeflashplayerαπότηδιεύθυνσηhttps://get.adobe.com/flashplayer/.

• Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τηδιεύθυνση http://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση,τότε προσθέστε τις διευθύνσεις http://photodentro.edu.gr καιhttp://digitalschool.minedu.gov.gr στο exception site list στην καρτέλα security της Java(ανοίξτετοControlPanel,τηJava,στηνκαρτέλαsecurityπατήστεEditsitelistκαιπροσθέστετιςδύοδιευθύνσεις,κλείστετοbrowserκαιξανανοίξτετον).

ΆλγεβραΑ΄ΤάξηςΕσπερινούΓΕΛ

1. Η Διδακτέα –εξεταστέα ύλη ταυτίζεται με αυτή της Α΄ Τάξης τουΗμερήσιουΓΕΛ.

2. Η διαχείριση της ύλης είναι αυτή που προτείνεται για την Α΄ τάξηΗμερησίου ΓΕΛ με την ακόλουθη διαφοροποίηση ως προς τις ώρεςδιδασκαλίαςανάκεφάλαιο.

Απότοβιβλίο«ΆλγεβρακαιΣτοιχείαΠιθανοτήτωνΑ΄ΓενικούΛυκείου»

ΕισαγωγικόΚεφάλαιο§Ε.2

(Προτείνεταιναδιατεθεί1διδακτικήώρα

Κεφάλαιο2ο

(Προτείνεταιναδιατεθούν13διδακτικέςώρες)Κεφάλαιο3ο


Κεφάλαιο4ο


Κεφάλαιο5ο


Κεφάλαιο6ο


Κεφάλαιο7ο


Για την προσαρμογή της διδασκαλίας στο διατιθέμενο χρόνο, προτείνεται να

16

δίδεται έμφαση στα βασικά παραδείγματα - εφαρμογές και στην ανάδειξη,μέσωαυτών,τουπεριεχομένου,(εννοιώνκαιμεθόδων)τηςκάθεπαραγράφου

ΓεωμετρίαΑ΄ΤάξηςΗμερήσιουΓενικούΛυκείου


I.ΕισαγωγήΗ διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α΄ Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στοθεωρητικότρόποσκέψης,με ιδιαίτερηέμφασηστημαθηματικήαπόδειξη.ΟιμαθητέςέχουνέρθεισεεπαφήμεστοιχείαθεωρητικήςγεωμετρικήςσκέψηςκαιστοΓυμνάσιο,όπουέχουναντιμετωπίσειασκήσειςπουαπαιτούνθεωρητικήαπόδειξη.ΣτηνΑ΄Λυκείου,πρέπειαυτήηεμπειρίατωνμαθητώννα αξιοποιηθεί με στόχο την περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρητικής τους σκέψης. Η διατύπωσηορισμών γεωμετρικών εννοιών είναι κάτι δύσκολο για τους μαθητές, ακόμα και αυτής της τάξης,καθώςαπαιτείτησυνειδητοποίησητωνκρίσιμωνκαιελάχιστωνιδιοτήτωνπουαπαιτούνταιγιατονκαθορισμό μιας έννοιας. Επίσης οι μαθητές χρειάζεται να διερευνούν ιδιότητες και σχέσεις τωνγεωμετρικώνεννοιώνκαιναδημιουργούνεικασίεςτιςοποίεςναπροσπαθούννατεκμηριώσουν.Ηαντιμετώπιση της μαθηματικής απόδειξης απλάως περιγραφή μιας σειράς λογικών βημάτων πουπαρουσιάζονται από τον εκπαιδευτικό, δεν είναι κατάλληλη ώστε να μυηθούν οι μαθητές στησημασίακαιτηνκατασκευήμιαςαπόδειξης.Αντίθετα,είναισημαντικόναεμπλακούνοιμαθητέςσεαποδεικτικές διαδικασίες, να προσπαθούν να εντοπίζουν τη βασική αποδεικτική ιδέα, μέσωπειραματισμούκαιδιερεύνησης,καιναχρησιμοποιούνμετασχηματισμούςκαιαναπαραστάσεις,πουυποστηρίζουν την ανάπτυξη γεωμετρικών συλλογισμών. Η κατασκευή από τους μαθητέςαντιπαραδειγμάτων και η συζήτηση για το ρόλο τους είναι μια σημαντική διαδικασία, ώστε νααρχίσουννααποκτούνμιαπρώτηαίσθησητηςσημασίαςτουαντιπαραδείγματοςσταΜαθηματικά.Η απαγωγή σε άτοπο είναι επίσης μια μέθοδος που συχνά συναντούν οι μαθητές στην απόδειξηαρκετώνθεωρημάτων.Ορόλοςτου«άτοπου»στηντεκμηρίωσητουαρχικούισχυρισμούαλλάκαιτοκατά πόσο η άρνηση του συμπεράσματος οδηγεί τελικά στην τεκμηρίωσή του, δημιουργούνιδιαίτερη δυσκολία στους μαθητές. Σε όλα τα παραπάνω ουσιαστικό ρόλο μπορεί να παίξει ηαξιοποίησηλογισμικώνΔυναμικήςΓεωμετρίας.

II.ΔιδακτέαΎληΑπό το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ ΓΕΛ Τεύχος Α΄» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου Π.,ΚατσούληΓ.,ΜαρκάτηΣ.,ΣίδερηΠ.Κεφ.1ο:ΕισαγωγήστηνΕυκλείδειαΓεωμετρία1.1 ΤοαντικείμενοτηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίας1.2 ΙστορικήαναδρομήστηγένεσηκαιανάπτυξητηςΓεωμετρίαςΚεφ.3ο:Τρίγωνα3.1.Είδηκαιστοιχείατριγώνων3.2.1οΚριτήριοισότηταςτριγώνων(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.3.2οΚριτήριοισότηταςτριγώνων(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.4.3οΚριτήριοισότηταςτριγώνων(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.5Ύπαρξηκαιμοναδικότητακαθέτου(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.6.Κριτήριαισότηταςορθογώνιωντριγώνων(εκτόςτηςαπόδειξηςτωνθεωρημάτωνΙκαιΙΙ).3.7.Κύκλος-Μεσοκάθετος–Διχοτόμος3.10.Σχέσηεξωτερικήςκαιαπέναντιγωνίας(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.11.Ανισοτικέςσχέσειςπλευρώνκαιγωνιών(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)

17

3.12.Tριγωνικήανισότητα(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)3.13.Κάθετεςκαιπλάγιες(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματοςΙΙ)3.14.Σχετικέςθέσειςευθείαςκαικύκλου(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματοςΙ)3.15.Εφαπτόμενατμήματα3.16.Σχετικέςθέσειςδύοκύκλων3.17.Απλέςγεωμετρικέςκατασκευές3.18.ΒασικέςκατασκευέςτριγώνωνΚεφ.4ο:Παράλληλεςευθείες4.1.Εισαγωγή4.2.Τέμνουσαδύοευθειών-Ευκλείδειοαίτημα(εκτόςτηςαπόδειξηςτουΠορίσματοςΙΙτηςσελ.81,καιτωνπροτάσεωνΙ,ΙΙ,ΙΙΙκαιΙV)4.4.Γωνίεςμεπλευρέςπαράλληλες4.5.Αξιοσημείωτοικύκλοιτριγώνου4.6.Άθροισμαγωνιώντριγώνου4.8.Άθροισμαγωνιώνκυρτούν-γώνου(ΕκτόςτηςαπόδειξηςτουΠορίσματος)ΙστορικόΣημείωμαΚεφ.5ο:Παραλληλόγραμμα–Τραπέζια5.1.Εισαγωγή5.2.Παραλληλόγραμμα5.3.Ορθογώνιο5.4.Ρόμβος5.5.Τετράγωνο5.6.Εφαρμογέςστατρίγωνα(εκτόςτηςαπόδειξηςτουΘεωρήματοςΙΙΙ)5.7Βαρύκεντροτριγώνου(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)5.8.Τοορθόκεντροτριγώνου(ΧωρίςτοΠόρισμα).5.9.Μιαιδιότητατουορθογώνιουτριγώνου5.10.Τραπέζιο5.11.ΙσοσκελέςτραπέζιοΚεφ.6ο:Εγγεγραμμένασχήματα6.1.Εισαγωγικά–Ορισμοί6.2.Σχέσηεγγεγραμμένηςκαιαντίστοιχηςεπίκεντρης(Εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)6.3.Γωνίαχορδήςκαιεφαπτομένης(Εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)6.4.Βασικοίγεωμετρικοίτόποιστονκύκλο–Τόξοκύκλουπουδέχεταιγνωστήγωνία.6.5.Τοεγγεγραμμένοτετράπλευρο6.6.Τοεγγράψιμοτετράπλευρο(εκτόςτηςαπόδειξηςτουθεωρήματος)

ΙΙΙ.Διαχείρισηδιδακτέαςύλης



ΟιδραστηριότητεςπουαναφέρονταιωςΔ1,Δ2κλππεριέχονταιστοΑναλυτικόπρόγραμμασπουδών

της Α Λυκείου που ισχύει (ΥΑ 59614/Γ2,ΦΕΚ 1168/8–6–2011) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες που

περιλαμβάνονται στις παρούσες οδηγίες ως επιπλέον διδακτικό υλικό προέρχονται από το

πρόγραμμα σπουδών για το λύκειο και τον οδηγό για τον εκπαιδευτικό που εκπονήθηκαν στο

πλαίσιο της πράξης "Νέο Σχολείο" και μπορούν να ανακτηθούν από τον ιστότοπο του ΙΕΠ:

http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php]

Κεφάλαιο1ο(Προτείνεταιναδιατεθεί1διδακτικήώρα)ΣτόχοςτουκεφαλαίουαυτούείναιηδιάκρισηκαιεπισήμανσητωνδιαφορετικώνχαρακτηριστικώντηςΠρακτικήςΓεωμετρίας,πουοιμαθητέςδιδάχθηκανσεπροηγούμενεςτάξεις,καιτηςΘεωρητικής

18

ΓεωμετρίαςπουθαδιδαχθούνστοΛύκειο.Κάποιαζητήματαπουθαμπορούσαννασυζητηθούνγιατην ανάδειξη των πλεονεκτημάτων της Θεωρητικής Γεωμετρίας έναντι της Πρακτικής, είναι: Ηαδυναμία ακριβούς μέτρησης, η ανάγκη μέτρησης αποστάσεων μεταξύ απρόσιτων σημείων, ηαναξιοπιστία των εμπειρικών προσεγγίσεων (προτείνεται η δραστηριότητα που αντιστοιχεί στοστόχοΕΓ1τουΑΠΣ).Για να αποκτήσουν οι μαθητές μια πρώτη αίσθηση των βασικών αρχών της ανάπτυξης τηςΕυκλείδειας Γεωμετρίαςως αξιωματικoύ συστήματος, προτείνεται να εμπλακούν σε μια συζήτησησχετικά με τη σημασία και το ρόλο των όρων «πρωταρχική έννοια», «ορισμός», «αξίωμα»,«θεώρημα»,«απόδειξη».Στοιχείατης ιστορικήςεξέλιξηςτηςΓεωμετρίαςμπορούννααποτελέσουνέναπλαίσιοαναφοράςστοοποίοθααναδειχθούνταπαραπάνωζητήματα.Κεφάλαιο3ο(Προτείνεταιναδιατεθούν14διδακτικέςώρες)§3.1,§3.2(Ναδιατεθούν2ώρες)§3.3,§3.4(Ναδιατεθούν3ώρες)§3.5,§3.6(Ναδιατεθούν3ώρες)Οι μαθητές έχουνδιαπραγματευθεί τομεγαλύτερομέρος τουπεριεχομένου τωνπαραγράφων3.1έως3.6στοΓυμνάσιο.Προτείνεταιναδοθείέμφασησεκάποιανέαστοιχείαόπως:α)Ησημασίατηςισότηταςτωνομόλογωνπλευρώνστησύγκρισητριγώνων.β)Ηδιαπραγμάτευσηπαραδειγμάτωντριγώνωνμετρίακύριαστοιχείατουςίσα,ταοποία-τρίγωνα-δενείναιίσα(δυοτρίγωναμείσεςδυοπλευρέςκαιμιαμηπεριεχόμενηγωνίααντίστοιχαίση,όπωςστιςδραστηριότητεςΔ.5καιΔ.7τουΑΠΣ).γ) Ο σχεδιασμός σχημάτων με βάση τις λεκτικές διατυπώσεις των γεωμετρικών προτάσεων(ασκήσεων,θεωρημάτων)καιαντίστροφα.δ)Ηδιατύπωσητωνγεωμετρικώνσυλλογισμώντωνμαθητών.ε) Η ισότητα τριγώνων,ως μια στρατηγική απόδειξης ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων ή γωνιών(σχόλιοσελ.43).στ) Ο εντοπισμός κατάλληλων τριγώνων για σύγκριση σε «σύνθετα» σχήματα (προτείνεται ηδραστηριότηταΔ.6τουΑΠΣ).ζ)Ησημασίατης«βοηθητικήςγραμμής»στηναποδεικτικήδιαδικασία(πόρισμαIτης§.3.2).Προτείνεται ναενοποιηθούνσεμιαπρότασηοιπροτάσειςπουταυτίζουν τηδιχοτόμο, τηδιάμεσοκαι το ύψοςαπό τη κορυφή ισοσκελούς τριγώνου (πόρισμα I σελ.42, πόρισμα I σελ.45, πόρισμα Iσελ.50).Μαζίμετηνπρότασηαυτήπροτείνεταιναγίνειηδιαπραγμάτευσητηςεφαρμογής2τηςσελ.61γιατηναπόδειξητηςοποίαςαρκούντακριτήριαισότηταςτριγώνων.Επίσης,σανμιαενιαίαπρόταση,μπορείναζητηθείαπότουςμαθητέςναδείξουνότισείσατρίγωναταδευτερεύονταστοιχείατους(διάμεσος,ύψος,διχοτόμος)πουαντιστοιχούνσεομόλογεςπλευρέςείναιεπίσηςίσα(π.χ.άσκηση1iΕμπέδωσηςσελ.48,άσκηση4Εμπέδωσηςσελ.54).Ενιαίαμπορούννααντιμετωπιστούν,ως αντίστροφες προτάσεις, τα πορίσματα ΙV της §3.2 και ΙΙΙ, ΙV της §3.4 πουαναφέρονταιστιςσχέσειςτωνχορδώνκαιτωναντίστοιχωντόξων.Μεστόχοτηνανάδειξητηςδιδακτικήςαξίαςτωνγεωμετρικώντόπωνπροτείνεται ταπορίσματα ΙΙΙτης§3.2καιΙΙτης§3.4,πουαφορούνστημεσοκάθετοτμήματος,καθώςκαιτοθεώρημαΙVτης§3.6,που αφορά στη διχοτόμο γωνίας, να διδαχθούν ενιαία ως παραδείγματα βασικών γεωμετρικώντόπων. Συγκεκριμένα, προτείνεται οι μαθητές πρώτα να εικάσουν τους συγκεκριμένουςγεωμετρικούςτόπουςκαιστησυνέχειανατουςαποδείξουν(προτείνονταιοιδραστηριότητεςΔ.8,Δ.9καιΔ.10τουΑΠΣ).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1: Μετομικροπείραμα«3οκριτήριοισότηταςτριγώνου»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,οιμαθητέςχρησιμοποιώνταςτιςγνώσειςτους,εμπλέκονταιενεργάκαιεξοικειώνονταιμετηνέννοιατηςισότηταςτωντριγώνων.Αναζητούναπαντήσεις,μεερευνητικόκαιβιωματικότρόπο,γεγονόςπουπροσφέρειτοκατασκευαστικόπεριβάλλοντουΧελωνόκοσμου. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5821Ενδεικτικήδραστηριότητα2:

19

Μετομικροπείραμα«Ύψος,Διάμεσοςκαιδιχοτόμοςτηςκορυφήςισοσκελούςτριγώνου»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,οιμαθητέςοδηγούνταιμέσααπόπειραματισμούςκαιεικασίεςστηνεύρεσητηςσχέσηςπουσυνδέειτούψος,τηδιάμεσοκαιτηδιχοτόμοτηςκορυφήςενόςισοσκελούςτριγώνου.Παράλληλαμαθαίνουνγιατορόλοτηςεικασίαςκαιτουπειραματισμούστηδιαδικασίατηςεύρεσηςσχέσεωνμεταξύγεωμετρικώναντικειμένων. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2277

§3.7(Ναδιατεθεί1ώρα)§3.10-§3.13(Ναδιατεθούν2ώρες)Η ύλη των παραγράφωναυτών είναι νέα για τους μαθητές. Να επισημανθεί στους μαθητές ότι ητριγωνικήανισότητααποτελείκριτήριογιατοπότε τρίαευθύγραμματμήματααποτελούνπλευρέςτριγώνου(προτείνεταιηδραστηριότηταΔ.12τουΑΠΣ).Στόχοςείναιοιμαθητέςναδιαπιστώσουντηναναγκαιότητάτης,αλλάκαιτηλειτουργικότητάτης,γιατηνκατασκευήενόςτριγώνου.Επίσης, προτείνονται οι ασκήσεις 4 και 6 (Αποδεικτικές), που διαπραγματεύονται την απόστασησημείουαπόκύκλοκαισχέσειςχορδώνκαιτόξωναντίστοιχα.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Ναεξετάσετεαν κατασκευάζονται τρίγωναμεμήκηπλευρών τις τιμές τωνα,β και γ για τιςπεριπτώσειςτουπαρακάτωπίνακα.

α β γ 5 6 7 10 3 4 8 9 10 12 3 5

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Ανδύοπλευρέςτριγώνουέχουνμήκη5και9:α)Ναδώσετεενδεικτικέςτιμέςγιατηντρίτηπλευρά,β)Ναβρείτετοδιάστημαστοοποίοπαίρνειτιμέςτομήκοςτηςτρίτηςπλευράς.Ενδεικτικήδραστηριότητα3:Δίνεται ευθεία ε και δύο σημεία Α, Β εκτός αυτής. Να βρείτε τη θέση του σημείουΜ τηςευθείας,γιατοοποίο:α)ΤοάθροισμαΑΜ+ΒΜγίνεταιελάχιστο,β)ηδιαφοράΑΜ-ΜΒγίνεταιμέγιστη.ΝαλύσετετοπρόβλημαστηνπερίπτωσηπουταΑκαιΒβρίσκονταιεκατέρωθεντηςευθείαςκαιστηνπερίπτωσηπουβρίσκονταιπροςτηνίδιαμεριά.ΥπάρχεισημείοΜ,ώστετοάθροισμαναγίνειμέγιστο;Αιτιολογήστετηναπάντησήσας.ΥπάρχεισημείοΜ,ώστεηδιαφοράναγίνειελάχιστη;Ανναι,ποιο;[Σχόλιο-στόχος:Οιμαθητέςχρησιμοποιούντιςανισοτικέςσχέσειςσεένατρίγωνοσεεπίλυσηπροβλήματος]

§3.14-§3.16(Ναδιατεθούν2ώρες)Τασυμπεράσματατης§3.14είναιγνωστάστουςμαθητέςαπότοΓυμνάσιο.Οιαιτιολογήσεις,όμως,προέρχονται από τα θεωρήματα της §3.13. Το περιεχόμενο της §3.16 δεν είναι γνωστό στουςμαθητέςκαιχρειάζεταικαιγιατιςγεωμετρικέςκατασκευέςπουακολουθούν (προτείνονταιοιΔ.14καιΔ.15τουΑΠΣ).§3.17,§3.18(Ναδιατεθεί1ώρα)Η διαπραγμάτευση των γεωμετρικών κατασκευών συμβάλλει στην κατανόηση των σχημάτων απότουςμαθητέςμεβάσητις ιδιότητές τουςκαθώςκαιστηνανάπτυξη τηςαναλυτικήςκαισυνθετικήςσκέψηςηοποίαμπορείνααξιοποιηθείκαισεεξωμαθηματικέςγνωστικέςπεριοχές.Προτείνεταιναγίνουνκατάπροτεραιότηταταπροβλήματα2και4της§3.17καιταπροβλήματα2και3της§3.18.

20

Κεφάλαιο4ο(Προτείνεταιναδιατεθούν9διδακτικέςώρες)§4.1,§4.2,§4.3,§4.5(Ναδιατεθούν4ώρες)Το σημαντικότερο θέμα στις παραγράφους αυτές αποτελεί το «αίτημα παραλληλίας» το οποίοκαθορίζει τη φύση της Γεωμετρίας στην οποία αναφερόμαστε. Η σημασία του «αιτήματοςπαραλληλίας»,γιατηΓεωμετρίατηνίδιακαιγιατηνιστορικήτηςεξέλιξη,μπορείναδιαφανείαπόστοιχείαπουπαρέχονταιστο ιστορικόσημείωματηςσελ.96καθώςεπίσηςκαιστηδραστηριότηταΔ.16τουΑΠΣ.Οιμαθητέςείναισημαντικόνααναγνωρίσουντηναδυναμίαχρήσηςτουορισμούκαιτησημασίατωνπροτάσεωντης§4.2(πουπροηγούνταιτου«αιτήματοςπαραλληλίας»)ωςεργαλείαγιατηναπόδειξητηςπαραλληλίαςδύοευθειών.Προτείνεταιναδιερευνήσουνοιμαθητέςτησχέσητουθεωρήματοςτης§4.2καιτηςΠρότασηςIτηςσελ.82μεστόχονααναγνωρίσουνότιτοέναείναιτοαντίστροφοτουάλλου.Προτείνεται, πριν τη διαπραγμάτευση των θεωρημάτων της παραγράφου 4.5 να επισημανθεί ηστρατηγικήπουχρησιμοποιείταιστιςαποδείξειςτωνθεωρημάτωνσχετικάμετοπώςδείχνουμεότιτρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο, γιατί δεν είναι οικεία στους μαθητές, διαδικασία ηοποίααναδεικνύεταιμετιςαποδείξειςτωνθεωρημάτωντηςπαραγράφου.§4.6,§4.8(Ναδιατεθούν3ώρες)Προτείνεται το θεώρημα της §4.6 να συνδεθεί με τα πορίσματα της σελ. 59, ώστε οι μαθητές νααναγνωρίσουνότιτοσυμπέρασματουθεωρήματοςείναιισχυρότεροαπόταπορίσματακαιότιαυτόοφείλεται στη χρήση του «αιτήματος παραλληλίας» στην απόδειξή του. Το ίδιο ισχύει και για τοπόρισμα(i)τηςσελ.89σεσχέσημετοΘεώρηματηςσελ.59.Προτείνεταιοιμαθητές,χρησιμοποιώνταςτοάθροισματωνγωνιώντριγώνου,ναβρουντοάθροισματωνγωνιώντετραπλεύρου,πενταγώνουκ.α.,ναεικάσουντοάθροισματωνγωνιώνν-γώνουκαινααποδείξουντηναντίστοιχησχέση(προτείνεταιηδραστηριότηταπουαντιστοιχείστοστόχοΠΕ4τουΑΠΣ). Δίνεται έτσι η δυνατότητα σύνδεσης Γεωμετρίας και Άλγεβρας. Να επισημανθεί, επίσης, ησταθερότητατουαθροίσματοςτωνεξωτερικώνγωνιώνν-γώνου.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1: Με το μικροπείραμα «Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου» από ταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,οιμαθητέςδιερευνούντοάθροισματων γωνιών ενός τριγώνου και οδηγούνται σταδιακά από τηνδιαίσθησηστηντυπικήαπόδειξητουσχετικούθεωρήματος. http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/2265

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα. Στη στήλη «Τρίγωνα» νασυμπληρώσετε τον αριθμό των τριγώνων στα οποία χωρίζεται τοπολύγωνοαπόδιαγώνιουςπουάγονταιαπόμίακορυφήτου.

Αριθμόςπλευρών Τρίγωνα Άθροισμαγωνιώνκυρτούν-γώνου

4 5 6 … ν

Μπορείτεναπροσδιορίσετετοντύποτουαθροίσματοςτωνγωνιώνκυρτούν-γώνου;[Σχόλιο:Αυτήηδραστηριότητααποσκοπείστηνδημιουργίαεικασίας,πουθαοδηγήσειστηναπόδειξητουτύπου.]

ΙστορικόΣημείωμα(Ναδιατεθούν1έως2ώρες)Στο ιστορικό σημείωμα αναδεικνύεται η σημασία του 5ου αιτήματος στην δημιουργία τηςΕυκλείδειας Γεωμετρίας και παρουσιάζεται η συζήτηση και οι αναζητήσεις που προκάλεσε ηδιατύπωσήτου,μέχριτον19οαιώνα,καιπουτελικάοδήγησανστηδημιουργίατωνμη-ΕυκλείδειωνΓεωμετριών. Προτείνεται, η θεματολογία του ιστορικού σημειώματος, να χρησιμοποιηθεί για να

21

γίνουνσχετικέςεργασίεςαπότουςμαθητές.Σημείωση:Μπορείτενακατεβάσετετιςψηφιακέςδραστηριότητεςκαινατιςανοίξετετοπικάμετοαντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο μεκατάληξη.ggbκατεβάστεΚεφάλαιο5ο(Προτείνεταιναδιατεθούν19διδακτικέςώρες)§5.1,§5.2(Ναδιατεθούν4ώρες)Να επισημανθεί ότι καθένα από τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα περιέχει τις ελάχιστεςιδιότητεςπουαπαιτούνταιγιαείναιισοδύναμομετονορισμότουπαραλληλογράμμου(προτείνεταιηδραστηριότηταΔ.18τουΑΠΣ).Προτείνεταιναζητηθείαπότουςμαθητέςναδιερευνήσουνανένατετράπλευρο με τις δυο απέναντι πλευρές παράλληλες και τις άλλες δυο ίσες είναιπαραλληλόγραμμο. Για την εφαρμογή των ιδιοτήτων των παραλληλογράμμων στην επίλυσηπροβλημάτωνμπορείνααξιοποιηθείηδραστηριότηταΔ.19τουΑΠΣ.

Προτεινόμενηεργασία:Ναεπιλέξετεένααπότακριτήριαπουκαθιστούνένατετράπλευρο,παραλληλόγραμμο.Θεωρώντας το κριτήριο που επιλέξατε ως ορισμό, να αποδείξετε τον παλιό ορισμό και τιςιδιότητεςτωνπαραλληλογράμμων.[Σχόλιο:Με αυτή την εργασία, οι μαθητές διακρίνουν τον ορισμό από τις ιδιότητες και τακριτήριακαιεξετάζουντοισοδύναμομεταξύορισμούκαικριτηρίου]

§5.3-§5.5(Ναδιατεθούν5ώρες)Ναεπισημανθείότικάθεένααπότακριτήριαγιαναείναιένατετράπλευροορθογώνιοήρόμβοςήτετράγωνοπεριέχειτιςελάχιστες ιδιότητεςπουαπαιτούνταιγιαναείναι ισοδύναμομετονορισμότου ορθογωνίου ή του ρόμβου ή του τετραγώνου αντίστοιχα. Επιδιώκεται οι μαθητές νααναγνωρίζουν τα είδη των παραλληλογράμμων (ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) με βάση τααντίστοιχακριτήριακαιόχιμεβάσηκάποιαπρότυπασχήματαπουσυνδέονταιμετηνοπτικήγωνίαπουτακοιτάμε.Ναδοθείέμφασηστηνταξινόμησητωνπαραλληλογράμμωνμεβάσητις ιδιότητέςτους(βλέπεενδεικτικήδραστηριότητα1)στηνάρσητηςπαρανόησηςπουδημιουργείταισεμαθητές,ότιένατετράγωνοδενείναιορθογώνιοήένατετράγωνοδενείναιρόμβος.Προτείνεταιναζητηθείαπότουςμαθητέςναδιερευνήσουν:ανένατετράπλευρομείσεςδιαγώνιεςείναιορθογώνιοκαιανένατετράπλευρομεκάθετεςδιαγώνιεςείναιρόμβος,καθώςκαινααξιοποιήσουντις ιδιότητεςτωνπαραλληλογράμμωνστηνεπίλυσηπροβλημάτων(δραστηριότητεςΔ.20,Δ.21καιΔ.22τουΑΠΣ).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Ναδημιουργήσετεδιαγραμματικήαναπαράστασητηςταξινομίαςτωνπαραλληλογράμμων(π.χ.μεχρήσηεννοιολογικούχάρτη,διαγράμματοςVenn).Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Ηάσκησηεμπέδωσης3τουσχολικούβιβλίουπροτείνεταιναυλοποιηθείπιοδιερευνητικάμετομικροπείραμα«Τισχήμαδημιουργούνοιδιχοτόμοιτωνγωνιώνενόςπαραλληλογράμμου;»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία.Μετηβοήθειατουλογισμικούοιμαθητέςμεταβάλλουντιςγωνίεςκαιτιςπλευρέςενόςπαραλληλογράμμουγιαναδημιουργήσουντηνεικασίασχετικάμετοσχήμαπουδημιουργείταιαπότιςδιχοτόμους,ενώστησυνέχειααποδεικνύουντηνεικασίααυτή. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5825

§5.6–§5.9(Ναδιατεθούν5ώρες)Προτείνεται να ζητηθεί από τους μαθητές να εικάσουν σε ποια γραμμή ανήκουν τα σημεία που

22

ισαπέχουναπόδυοπαράλληλεςευθείεςκαιστησυνέχειανααποδείξουνότιημεσοπαράλληλήτουςείναιοζητούμενοςγεωμετρικόςτόπος.Προτείνεται,επίσης,ηδιαπραγμάτευσητηςΕφαρμογής1τηςσελ.106.Προτείνεταιναζητηθείαπότουςμαθητέςναδιερευνήσουνταείδητωντριγώνωνπουτοορθόκεντρο είναι μέσα ή έξω από το τρίγωνο. Θα μπορούσαν να αναζητηθούν εναλλακτικέςαποδείξειςγιαταθεωρήματαπουαφορούνστιςιδιότητεςτουορθογωνίουτριγώνου.Προτείνεται η απόδειξη του θεωρήματος της παραγράφου 5.7 νααποτελέσει αντικείμενο διαπραγμάτευσης στην τάξη με στόχο τηνανάδειξητωνμεθοδολογικώνστοιχείωντης.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:Προτείνεταιναχρησιμοποιηθείδιερευνητικάτομικροπείραμα«Ησχέσητηςυποτείνουσαςενόςορθογωνίουτριγώνουμετηνδιάμεσοπουαντιστοιχείσ’αυτήνκαιεπίλυσηπροβλημάτωνμετησχέσηαυτή».http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5781

§5.10,§5.11(Ναδιατεθούν5ώρες)Εκτός από το συγκεκριμένο αντικείμενο των παραγράφων αυτών, προτείνεται να εμπλακούν οιμαθητές στην επίλυση προβλημάτων που συνδυάζουν γεωμετρικά θέματα από όλο το κεφάλαιο.Προτείνεται επίσης να συζητηθεί με τους μαθητές η ταξινόμηση των τετραπλεύρων του σχολικούβιβλίου(σελ.125)και,κατάτηνκρίσητουεκπαιδευτικού,ησυσχέτισημεάλλεςταξινομήσειςόπωςαναφέρονταιστοιστορικόσημείωματωνσελ.123,124.Κεφάλαιο6ο(Προτείνεταιναδιατεθούν7διδακτικέςώρες)§6.1–§6.3(Ναδιατεθούν2ώρες)Στόχος είναι οι μαθητές να χρησιμοποιούν τη σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρηςγωνίαςσεεπίλυσηπροβλημάτων,καθώςκαι νααναγνωρίζουνωςορθές τις εγγεγραμμένεςγωνίεςπου βαίνουν σε ημικύκλιο. Επίσης να χρησιμοποιούν το συμπέρασμα του θεωρήματος της §6.3(γωνίαχορδήςκαιεφαπτομένης).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Ναβρείτετομέτροτηςγωνίαςδύοτεμνουσώνευθειώνκύκλου,συναρτήσειτωνοριζομένωναπό αυτές τόξων κύκλου (προτείνεται η δραστηριότητα να υλοποιηθεί σε περιβάλλονδυναμικήςγεωμετρίας).

§6.4–§6.6(Ναδιατεθούν5ώρες)Ναγίνειαπλήαναφοράστηνπαράγραφο6.4(τόξοκύκλουπουδέχεταιγνωστήγωνία).Προτείνεται,ωςεισαγωγήστοπρόβλημαεγγραψιμότηταςενόςτετραπλεύρουσεκύκλο,οιμαθητέςνα διερευνήσουν ποια από τα γνωστά τετράπλευρα (παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος,τετράγωνο, τραπέζιο) είναι εγγράψιμα, βασιζόμενοι στις ιδιότητες των εγγεγραμμένωντετραπλεύρων(π.χ.,ορόμβοςδενείναιεγγράψιμοςσεκύκλο,γιατίανήτανεγγράψιμοςθαέπρεπεναέχειτιςαπέναντιγωνίεςτουπαραπληρωματικές).Ηδιερεύνησηθαμπορούσεναεπεκταθείκαισετυχαία τετράπλευρα (και με τη βοήθεια λογισμικού), ώστε οι μαθητές να εικάσουν τα κριτήριαεγγραψιμότητας.Επίσης,στόχοςείναιοιμαθητέςναδιακρίνουντηδιαφοράμεταξύτωνθεωρημάτωνπουισχύουνγιαταεγγράψιματετράπλευρακαιστακριτήρια,πουπρέπειναισχύουν,ώστεναείναιένατετράπλευροεγγράψιμο(ενδεικτικήδραστηριότητα1).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:ΣεοξυγώνιοτρίγωνοΑΒΓταύψητουΑΔ,ΒΕ,ΓΖτέμνονταιστοΗ.ΣχεδιάστεταευθύγραμματμήματαΔΕ,ΕΖκαιΖΔ.(α)Ναβρείτεταεγγράψιματετράπλευραπουσχηματίζονται.

23

(β)ΝααποδείξετεότιταύψητουτριγώνουΑΒΓείναιδιχοτόμοιτωνγωνιώντουτριγώνουΔΕΖ.Ενδεικτική(ψηφιακή)δραστηριότητα2:Ηερώτησηκατανόησης6προτείνεταιναδιερευνηθείμετομικροπείραμα«Εγγράψιματετράπλευρα»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία.http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2264

και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνση https://www.geogebra.org/download ήδιαφορετικάψάξτεγιατοαντίστοιχολογισμικόστηδιεύθυνσηhttp://photodentro.edu.gr/edusoft/.Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online),προτιμήστετονφυλλομετρητήMozillaFirefox.

l ΑνηεφαρμογήείναισεflashθαπρέπειναεγκαταστήσετετοπρόσθετοAdobeflashplayerαπότηδιεύθυνσηhttps://get.adobe.com/flashplayer/.

l Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τηδιεύθυνση http://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση,τότε προσθέστε τις διευθύνσεις http://photodentro.edu.gr καιhttp://digitalschool.minedu.gov.gr στο exception site list στην καρτέλα security της Java(ανοίξτετοControlPanel,τηJava,στηνκαρτέλαsecurityπατήστεEditsitelistκαιπροσθέστετιςδύοδιευθύνσεις,κλείστετοbrowserκαιξανανοίξτετον).

ΓεωμετρίαΑ΄ΤάξηςΕσπερινούΓΕΛ

ΗΔιδακτέα–εξεταστέαύληκαθώςκαιηδιαχείρισητηςταυτίζεταιμεαυτήτηςΑ΄ΤάξηςτουΗμερήσιουΓΕΛ.

24

ΑΛΓΕΒΡΑ

• Β΄ΤάξηςΗμερησίουΓΕΛ• Β΄ΤάξηςΕσπερινούΓΕΛ• Γ΄ΤάξηςΕσπερινούΓΕΛ


Απότοβιβλίο«ΆλγεβραΒ΄ΓενικούΛυκείου»

Κεφ.1ο:ΓραμμικάΣυστήματα

1.1ΓραμμικάΣυστήματα(χωρίςτιςαποδείξειςτωνσυμπερασμάτωντηςυποπαραγράφου«Λύση-

Διερευνησηγραμμικούσυστήματος2χ2)

1.2 ΜηΓραμμικάΣυστήματα

Κεφ.2ο:ΙδιότητεςΣυναρτήσεων

2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-ΣυμμετρίεςΣυνάρτησης

2.2 Κατακόρυφη-ΟριζόντιαΜετατόπισηΚαμπύλης

Κεφ.3ο:Τριγωνομετρία

3.1 ΤριγωνομετρικοίΑριθμοίΓωνίας

3.2 ΒασικέςΤριγωνομετρικέςΤαυτότητες(χωρίςτηναπόδειξητηςταυτότητας4)

3.3 Αναγωγήστο1oΤεταρτημόριο

3.4 Οιτριγωνομετρικέςσυναρτήσεις

3.5 Βασικέςτριγωνομετρικέςεξισώσεις

3.6 Τριγωνομετρικοίαριθμοίαθροίσματοςγωνιών(χωρίςτιςαποδείξειςτωντύπων) 3.7 Τριγωνομετρικοίαριθμοίτηςγωνίας2α(χωρίςτιςαποδείξειςτωντύπων)

Κεφ.4ο:Πολυώνυμα-Πολυωνυµικέςεξισώσεις

4.1 Πολυώνυμα

4.2 Διαίρεσηπολυωνύμων

4.3 Πολυωνυµικέςεξισώσειςκαιανισώσεις

4.4 Εξισώσειςκαιανισώσειςπουανάγονταισεπολυωνυμικές.

Κεφ.5ο:ΕκθετικήκαιΛογαριθμικήσυνάρτηση

5.1 Εκθετικήσυνάρτηση

5.2 Λογάριθμοι(χωρίςτηναπόδειξητουτύπουαλλαγήςβάσης)

5.3 Λογαριθμικήσυνάρτηση (ναδιδαχθούνμόνοοιλογαριθμικέςσυναρτήσειςμεβάσητο10

καιτοe).

II.Διαχείρισηδιδακτέαςύλης



Οιενδεικτικέςδραστηριότητεςπουπεριλαμβάνονταιστιςπαρούσεςοδηγίεςωςεπιπλέονδιδακτικό

υλικόπροέρχονταιαπό τοπρόγραμμασπουδώνγια τολύκειοκαι τονοδηγόγια τονεκπαιδευτικό

25

που εκπονήθηκαν στο πλαίσιο της πράξης "Νέο Σχολείο" και μπορούν να ανακτηθούν από τον

ιστότοποτουΙΕΠ:http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php]

Πριν την έναρξη της διδασκαλίας της ύλης της Β Τάξης ΓΕΛ , προτείνεται να διατεθούν έως 5

διδακτικέςώρες για επανάληψη – ολοκλήρωση της διδακτέας ύλης της Α΄ Λυκείου από το βιβλίο

«ΆλγεβρακαιΣτοιχείαΠιθανοτήτωνΑ΄ΓενικούΛυκείου».

ΣτησυνέχειαθαακολουθήσειηδιδασκαλίατηςύληςτηςΒΛυκείου

Κεφάλαιο1ο


§1.1.Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρες

Απότογυμνάσιοείναιγνωστήηέννοιατωνγραμμικώνσυστημάτων2Χ2,ηγραφικήεπίλυσήτους

και η αλγεβρική επίλυση με τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο των αντίθετων

συντελεστών.Μετημέθοδοτωνοριζουσώνναγίνουνμόνοαριθμητικάπαραδείγματα.


Προτείνεταιηεπίλυσηαπλώνμηγραμμικώνσυστημάτωνμε2αγνώστους,καθώςκαιηέμφασηστη

γεωμετρικήερμηνείατωναποτελεσμάτων.Ναμηδιδαχθούνοιασκήσεις4και5τηςΒ΄Ομάδας.


Το μικροπείραμα «Εισαγωγή στα μη γραμμικά συστήματα» από τα

εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να

εισαχθούν στην έννοια του μη γραμμικού συστήματος και να

πειραματιστούνμετιςδιάφορεςτιμέςτωνπαραμέτρωντου. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5281

Κεφάλαιο2ο


§2.1και2.2(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες)

Στην Α΄ Λυκείου οι μαθητές μελέτησαν την f(x)=αx2+βx+γ, μέσω μετατοπίσεων της g(x)=αx2 και

εξέτασαντημονοτονίακαιταακρότατααυτής.Στοκεφάλαιοαυτόδιατυπώνονταιοιγενικοίορισμοί

των παραπάνω εννοιών και εξετάζονται αυτές και για άλλες συναρτήσεις μέσω των γραφικών

παραστάσεών τους. Η έμφαση πρέπει να δοθεί στη γεωμετρική ερμηνεία των εννοιών της

μονοτονίας,τωνακροτάτωνκαιτηςάρτιας–περιττήςκαιστησύνδεσητηςγεωμετρικήςερμηνείαςμε

τηναλγεβρικήέκφραση.


Τομικροπείραμα«Συμμεταβολήσημείων-Μονοτονία-Ακρότατα

συνάρτησης» από τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, προτείνεται

για την εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης ως συμμεταβολή

σημείωνκαιδιερεύνησητωνιδιοτήτωντηςσυμμεταβολήςτωνδύο

σημείων,τηςμονοτονίαςκαιτωνακρότατων.

http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5226

26

Κεφάλαιο3ο


§3.1Προτείνεταιναδιατεθούν6ώρες Οι μαθητές στο γυμνάσιο έχουν συναντήσει και ασχοληθεί με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

οξείαςγωνίαςορθογωνίουτριγώνουκαιαμβλείαςγωνίας.Τοκαινούργιοεδώείναιηεισαγωγήτου

τριγωνομετρικούκύκλουγιατονορισμότωντριγωνομετρικώναριθμών.Επειδήστοντριγωνομετρικό

κύκλοστηρίζονταιόλεςοιέννοιεςκαιοιιδιότητεςπουμελετώνταιστησυνέχεις,έμφασηπρέπεινα

δοθείστηνκατανόησηκαισυνεχήχρήσητου.Επίσης,ναδοθείέμφασηστηνέννοιατουακτινίου,στη

σύνδεσήτουμε τιςμοίρεςκαι τηναναπαράστασήτουστον τριγωνομετρικόκύκλοκαθώςκαιστην

«κατάληξη»τηςτελικήςπλευράςμιαςγωνίαςπάνωσεαυτόν.


α)Δίνεταιγωνία,με0°≤ω<360°πουικανοποιείτιςσχέσεις:ημω=12

− καισυνω>0.Να

σχεδιάσετετηγωνίαωπάνωστοντριγωνομετρικόκύκλο,ναεξηγήσετεγιατίείναιμοναδική

καιναβρείτετομέτροτης.

β)Ναβρείτεόλεςτιςγωνίεςφμε0°≤φ<360°,πουικανοποιούντησχέσηημφ=12

− καινα

τιςσχεδιάσετεπάνωστοντριγωνομετρικόκύκλο.


Δίνεται ο κύκλος του σχήματος με κέντρο Κ και ακτίνα 10cm.

ΕπίσηςδίνεταιτοτόξοΑΒμεμήκος25cm

καιαντίστοιχηεπίκεντρηγωνίαω.

α)Ναβρείτετομέτροτηςωσεrad.

β) Να δικαιολογήσετε ότι το συνημίτονο της γωνίας ω είναι

αρνητικό.


Το μικροπείραμα «Τι είναι το ακτίνιο;» από τα εμπλουτισμένα σχολικά

βιβλία, προτείνεται για την κατανόηση της έννοιας του ακτινίου και τη

σύνδεση μεταξύ της μέτρησης γωνιών σε μοίρες και ακτινίων στον

τριγωνομετρικόκύκλο. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5272


Με το μικροπείραμα «Ο τριγωνομετρικός κύκλος» από τα

εμπλουτισμένασχολικάβιβλία,οιμαθητέςεισάγονταιστονορισμότου

τριγωνομετρικούκύκλουκαιτωντριγωνομετρικώναριθμώνμιαςγωνίας. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5140


27

Οστόχος τηςπαραγράφουείναιη κατανόηση τωνσχέσεωνμεταξύ των τριγωνομετρικώναριθμών

και για αυτό οι μαθητές θα πρέπει να εμπλακούν με απλές ασκήσεις υπολογισμού των

τριγωνομετρικών αριθμών όταν είναι γνωστός ο ένας και απλές αποδείξεις σχέσεων. Να γίνει

επιλογήαπότιςασκήσεις1-6καιαπότις10-13τηςΑ΄Ομάδας.


α)Υπάρχειγωνίαθμεημθ=14καισυνθ=

34;

β)Υπάρχειγωνίαθμεημθ=35καισυνθ=

45

− ;

Αν όχι, αιτιολογήστε. Αν ναι, να σχεδιάσετε μια τέτοια γωνία πάνω στον τριγωνομετρικό

κύκλο.Πόσεςτέτοιεςγωνίεςμεταξύ0°και360°υπάρχουν;


Η ανάδειξη του τριγωνομετρικού κύκλου σε (δηλαδή του ορισμού των τριγωνομετρικώναριθμών)

στο βασικό εργαλείο αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο μπορεί να αντικαταστήσει την

απομνημόνευση τύπων και την αναπαραγωγή κανόνων χωρίς νόημα. Αυτό μπορεί να γίνει αν

ενθαρρυνθούν οι μαθητές να χρησιμοποιούν τις συμμετρίες σε νοητό τριγωνομετρικό κύκλο.

ΠροτείνεταιναμηδοθούνπροςλύσηοιασκήσειςτηςΒ΄Ομάδας.ΟιερωτήσειςκατανόησηςΙκαι ΙΙ

μπορούνναχρησιμοποιηθούνγιανασυζητηθούνκαιναδιευκρινιστούνπτυχέςτωνπροηγούμενων

ενοτήτωντηςτριγωνομετρίας.

Ενδεικτικήδραστηριότητα: Μετομικροπείραμα«Τριγωνομετρικοίαριθμοίγωνιώνπου

ανάγονται στο 2ο τεταρτημόριο» από τα εμπλουτισμένα

σχολικά βιβλία, οι μαθητές βρίσκουν τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών που η προβολή τους

στονπρώτο κύκλο είναιστοδεύτερο τεταρτημόριο.Με τη

βοήθεια του λογισμικού μέσω πολλαπλών δυναμικά

αλληλοσυνδεόμενων γεωμετρικών αναπαραστάσεων, οι

μαθητές βρίσκουν στην αριθμογραμμής μια συγκεκριμένη

γωνίαπουξεπερνάτονπρώτοκύκλοκαιβλέπουντηνγεωμετρικήτηςαναπαράστασηπάνω

στοντριγωνομετρικόκύκλο.Στησυνέχεια,μπορούνναδουντοτόξοαυτόστοχώρο,βρίσκουν

τηνπροβολήτουστονπρώτοκύκλοκαι τουςτριγωνομετρικούςαριθμούςτηςγωνίαςαυτής,

αφούτηναναγάγουνσεγωνίατουπρώτουτεταρτημορίου.Τέλος,εφαρμόζουντηστρατηγική

αυτήκαισεάλλεςγωνίες. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5275


Ηέννοιατηςπεριοδικότητας,πουσυνδέεταιάμεσαμεφαινόμενατηςκαθημερινήςζωής,είναιμια

απότιςσημαντικότερεςέννοιεςπουθαδιδαχτούνοιμαθητέςστηΒΛυκείου.Θαπρέπειλοιπόννα

δοθείέμφασησεαυτήτηνιδιότηταμέσααπότιςτριγωνομετρικέςσυναρτήσειςκαιτιςγραφικέςτους

παραστάσεις.Ηχάραξητωνγραφικώνπαραστάσεωντωντριγωνομετρικώνσυναρτήσεωνμπορείνα

28

στηριχτείστοντριγωνομετρικόκύκλο.

Πρέπει να επισημανθεί ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκφράζει

τόξο μετρημένο σε ακτίνια και όχι σε μοίρες. Αφού συζητηθούν τα παραδείγματα του σχολικού

βιβλίου,νατονισθούντασυμπεράσματαπουπεριέχονταιστοΣχόλιοτηςσελίδας81.

Προτείνεταιναγίνουνκατάπροτεραιότηταοιασκήσεις1,3,4,5,6και7τηςΑ΄Ομάδαςκαι1,2και3

τηςΒ΄Ομάδας.


Μίαρόδαακτίνας1περιστρέφεταιμεφοράαντίθετηαπόαυτήντωνδεικτώντουρολογιού

έτσιώστε, κάθε σημείο της περιφέρειάς της, να διαγράφει σε ένα δευτερόλεπτο τόξο ενός

ακτινίου. Τοποθετούμε τη ρόδα σε ένα σύστημα αξόνων με αρχή στο κέντρο της Ο και

θεωρούμεένασημείοτηςΡ,τοοποίοτηχρονικήστιγμή0βρίσκεταιστοσημείο(1,0).

α)Ναεξηγήσετεγιατί,τούψοςτουσημείουΡσεσχέσημετονάξοναx’xκάθεχρονικήστιγμήt

(σεsec),t≥0δίνεταιαπότησυνάρτησηf(t)=ημt,t≥0

β)Νασχεδιάσετετηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησηςf(t)στοδιάστημα[0,4π]. γ)Ναβρείτετιςχρονικέςστιγμές tμε 0≤ t≤4πκατάτιςοποίεςτοσημείοΡβρίσκεταιστο

μεγαλύτεροκαιστομικρότεροδυνατόύψος. δ)Ναπροσδιορίσετεταχρονικάδιαστήματαμεταξύ0και4πsecκατάταοποίατούψοςτου

σημείουΡείναιμεγαλύτεροτου0,5.

ε)ΘεωρούμετώρατοσημείοΚτηςρόδας,τοοποίοτηχρονικήστιγμή0βρίσκεταιστηθέση

(0,1). Να δείξετε ότι το ύψος του σημείου Κ κάθε χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη

συνάρτησηg(t)=συνt,t≥0.

Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Με το μικροπείραμα «Περιοδικά φαινόμενα: Η παλίρροια» από τα εμπλουτισμένα σχολικά

βιβλία (άσκηση 2, Β΄ ομάδας), οι μαθητές χρησιμοποιώντας τις γνώσεις τους, εμπλέκονται

ενεργά και εξοικειώνονται με την έννοια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επίσης

μελετούν το φαινόμενο της παλίρροιας και αναζητούν απαντήσεις, με ερευνητικό και

βιωματικότρόπο,γεγονόςπουπροσφέρειτοδιερευνητικόπεριβάλλοντουGeogebra. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5165


29

Με το μικροπείραμα «Περιοδικές συναρτήσεις - Το ελατήριο» από τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, οιμαθητές χρησιµοποιώντας τις γνώσεις τους,

εµπλέκονται ενεργά και εξοικειώνονται µε την έννοια των περιοδικών συναρτήσεων. Επίσης, πειραµατίζονται µε ένα ελατήριο και αναζητούν απαντήσεις µε ερευνητικό και βιωµατικό τρόπο, γεγονός που προσφέρει το διερευνητικό περιβάλλον του Geogebra. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5208


Οιτριγωνομετρικέςεξισώσειςείναιένασημαντικόαλγεβρικόεργαλείοκαιείναιτοπρώτοείδοςμη

πολυωνυμικών εξισώσεων που συναντούν οι μαθητές. Η ερμηνεία των τύπων λύσεων πρέπει να

στηριχτεί τόσο στον τριγωνομετρικό κύκλο όσο και στη γραφική παράσταση των αντίστοιχων

συναρτήσεων.

Προτείνεταιναμηγίνουνηάσκηση11(ii)τηςΑ΄ΟμάδαςκαιόλεςοιασκήσειςτηςΒ΄Ομάδας.


α)Δίνεταιγωνίαω(σεrad),με0≤ω<2ππουικανοποιείτιςσχέσεις:ημω=12καισυνω>0.

Να σχεδιάσετε τη γωνία ω πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο, να εξηγήσετε γιατί είναι

μοναδικήκαιναβρείτετομέτροτης.

β)Ναβρείτεόλεςτιςγωνίεςφμε0≤φ<2π,πουικανοποιούντησχέσηημφ=12καινατις

σχεδιάσετεπάνωστοντριγωνομετρικόκύκλο.

γ)Ναβρείτεόλεςτιςλύσειςτηςεξίσωσηςημx=12,x∊ℝ.

Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Με το μικροπείραμα «Η εξίσωση ημχ=α» από τα

εμπλουτισμένασχολικάβιβλία,οιμαθητέςβρίσκουντις

λύσεις μιας συγκεκριμένης εξίσωσης στον

τριγωνομετρικό κύκλο και μέσω πολλαπλών δυναμικά

αλληλοσυνδεόμενων γεωμετρικών και γραφικών

αναπαραστάσεων, γενικεύουν τις λύσεις αυτές σ’ όλο

το R. Στη συνέχεια δημιουργούν τις δικές τους εξισώσεις και τις λύνουν επαληθεύοντας

ταυτόχρονατιςλύσειςτουςγραφικά. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5141

§3.6-&3.7:Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρες

Ηδιδασκαλίατηςπαραγράφου3.6ναπεριορισθείσεαπλέςεφαρμογέςτωντύπωνμέσααπόλίγες

καιαπλέςασκήσειςΑομάδας.Απότηνπαράγραφο3.7ναδιδαχτούνμόνοοι τύποι (1), (2), (3)ως

εφαρμογέςτηςπαραγράφου3.6,καιναμηνγίνουνασκήσεις.Ναμηδιδαχτούνοιτύποι(4),(5)και

30

(6)(τύποιαποτετραγωνισμού).

Κεφάλαιο4ο

(Προτείνεταιναδιατεθούν20διδακτικέςώρες) Όλη η διδασκαλία των πολυωνύμων θα πρέπει να εμπλουτιστεί – αν όχι να εστιαστεί – με την

συναρτησιακήπροσέγγιση τωνπολυωνύμων. Αυτή η προσέγγισηα) θαπαρέχει στους μαθητές τη

δυνατότητα πρόσβασης σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις (όπως είναι η γραφική παράσταση

συνάρτησης) που μπορούν να βοηθήσουν στην απόδοση νοήματος και την κατανόηση και β) θα

μειώσειτορόλοαφηρημένωναλγεβρικώνπροσεγγίσεωντωνπολυωνύμωνπουδενσυνδέονταιμε

τηνκατανόησηούτεμετηνπεραιτέρωδιδασκαλίατωνσχολικώνμαθηματικών.

§4.1Προτείνεταιναδιατεθούν5ώρες Προτείνεταιναπαρουσιαστούν(είτεμελογισμικό,είτεμεέντυπημορφή)οιγραφικέςπαραστάσειςμερικών συναρτήσεων όπως οι 3f (x) x= , 3f (x) x= − , 3f (x) x 3x= − , 4 2f (x) x 2x= − ,

3 2f (x) x 3x 9x 11= − − + . Στόχος είναι η παρατήρηση και ο σχολιασμός των ιδιοτήτων τους, των

σημείων τομήςμε τουςάξονες, των τμημάτωνπουβρίσκονταιπάνωήκάτωαπό τονάξονα τωνx,

κοκ. Προτείνεταιναγίνουνκατάπροτεραιότηταοιασκήσεις1και2,5και6τηςΑ΄Ομάδαςκαι2,3και5

τηςΒ΄Ομάδας.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1: Από ένα χαρτόνι διαστάσεων 20×30 εκατοστών κόβουμε τετράγωνα

πλευράςx(όπωςφαίνεταιστοσχήμα)μεσκοπόνακατασκευάσουμεένα

κουτίανοικτόαπόπάνω.

α)Ναβρείτεμιασυνάρτησηπουναεκφράζει τονόγκοτουκουτιού.Τι

τιμέςμπορείναπάρειτοx; β)ΟΓιάννηςισχυρίζεταιότιόσοαυξάνεταιτοx,μειώνεταιοόγκος.

ΝαφτιάξετεέναπίνακατιμώνγιαναδιαπιστώσετεανοΓιάννηςέχει

δίκιο.

γ) Να βρείτε (με προσέγγιση) πόσο πρέπει να είναι το x ώστε το

κουτίναέχειτομέγιστοόγκο.

Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων 3f (x) x 3x= − και 4 2g(x) x 2x= −

χρησιμοποιώντας κάποιο λογισμικό δυναμικής

γεωμετρίας.Παρατηρώνταςτοσχήμα,

α) να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα

ακρότατατωνfκαιg.

β)Είναικάποιασυνάρτησηάρτιαήπεριττή;

γ)Ναβάλετεσεαύξουσασειράτουςαριθμούς g(–

2),g(–0,5),g(0),g(1),g(1,5).


31

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης2x 1f (x)2x+

= και την ευθεία1y x2

=

χρησιμοποιώντας λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας.

Παρατηρώνταςτοσχήμα,

α)ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςf.

β)ναεξετάσετεανηfείναιάρτιαήπεριττή.

γ) να βρείτε από τη γραφική παράσταση (κατά

προσέγγιση)τιςλύσειςτηςεξίσωσηςf(x)=2.Νααιτιολογήσετετοσυλλογισμόσας.

δ) να εξετάσετε για ποιες τιμές του c η εξίσωση f(x) = c έχει λύσεις και πόσες. Να

αιτιολογήσετετηναπάντησήσας.

ε)ναεξετάσετεγιαποιεςτιμέςτουαηευθείαy=αxτέμνειτηγραφικήπαράστασητηςf.

στ)ναβρείτεγραφικάκαιαλγεβρικάτιςλύσειςτηςανίσωσης2x 1 12x 2+

>

§4.2Προτείνεταιναδιατεθούν5ώρες Προτείνεται να δοθεί έμφαση στη χρήση των θεωρημάτων της υποπαραγράφου "Διαίρεση

πολυωνύμουμεx–ρ"καιπιοσυγκεκριμένα,στημεταξύτουςσχέσηκαιστησυνέπειαπουέχουνγια

τηπαραγοντοποίησηπολυωνύμου.ΓιατοσχήμαHornerκαλόείναιναεξηγηθείησχέσητουμετους

συντελεστέςπουεμφανίζονταικατάτηδιαδικασίατηςδιαίρεσης(όπωςστοεισαγωγικόπαράδειγμα

τουσχολικούβιβλίουήμεάλλοαριθμητικόπαράδειγμα)

Προτείνεται ναγίνουνκατάπροτεραιότηταοιασκήσεις1 (i, iv), 2, 3 και10 τηςΑ΄Ομάδας.Ναμη

γίνουνοιασκήσεις1,2και5τηςΒ΄Ομάδας.


Στην ενότητα αυτή εισάγονται νέα εργαλεία για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων μέσω της

οποίαςεπιλύονταιστησυνέχειαπολυωνυμικέςεξισώσειςκαιανισώσειςβαθμούμεγαλύτερουαπό2.

Αν και οι ακέραιες ρίζες ενός τυχαίου πολυωνύμου δεν εμφανίζονται συχνά, παρόλα αυτά το

θεώρημαείναιέναχρήσιμοεργαλείο.Ωστόσο,γιατηλύσηπολυωνυμικήςεξίσωσης,έμφασηπρέπει

ναδοθείστηνπροτεραιότητατηςπαραγοντοποίησηςτουαντίστοιχουπολυωνύμου.

Ο προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση είναι ένα χρήσιμο αριθμητικό εργαλείο που μπορεί να

συνδεθεί με τον τρόπο που θα μπορούσε να προσδιορίσει κανείς μη ακέραια ρίζα αν είχε στη

διάθεσή του κάποια υπολογιστική μηχανή. Κυρίως όμως, αυτή η μέθοδος, επειδή στηρίζεται στη

γεωμετρική ερμηνεία του Θ. Bolzano, υποστηρίζει την συναρτησιακή προσέγγιση και την

οπτικοποίησητωνσχετιζόμενωνεννοιών.

Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα: Οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6 και 8 της Α΄ Ομάδας και

προβλήματατηςΒ΄Ομάδας,ταοποίαοδηγούνστηνεπίλυσηπολυωνυμικώνεξισώσεων.


Μιαβιομηχανίαέχειυπολογίσειότιγιατηνημερήσιαπαραγωγήxμονάδωναπόέναπροϊόνέχεικόστος 2(x) 2x 120x 100Κ = − + + χιλιάδεςευρώ,ενώηπώλησηαυτώντωνxμονάδων

τηςαποφέρειέσοδα 3 2E(x) x x 20x= − + χιλιάδεςευρώ.Ηβιομηχανίαμπορείναπαράξει

μέχρι20μονάδεςαυτούτουπροϊόντοςκαθημερινά.

32

α)Ποιαπαραγωγήδίνειέσοδα20.000ευρώ;

β)Πόσεςμονάδεςπροϊόντοςπρέπειναπαράγειηβιομηχανίαγιαναέχεικέρδος;


Να εξετάσετε αν η εξίσωση x3 + 2x -2 = 0 έχει ρίζα μεταξύ των αριθμών 0 και 1. Να

προσδιορίσετεαυτήτηρίζαμεπροσέγγισηεκατοστού,χρησιμοποιώνταςυπολογιστήτσέπης.

Μπορείτε με τον ίδιο τρόπο να διαπιστώσετε αν υπάρχει ρίζα της εξίσωσης μεταξύ των

αριθμών1και2;


Με το μικροπείραμα «Πολυωνυμική εξίσωση 3ου βαθμού» από

τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, οι μαθητές διερευνούν τη

σχέσητωνριζώνμιαςπολυωνυμικήςεξίσωσης3ουβαθμού,μετα

σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της αντίστοιχης

πολυωνυμικήςσυνάρτησηςτέμνειτονοριζόντιοάξονα. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5229


Στην ενότητα αυτή επιλύονται εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές, όπως

άρρητεςκαικλασματικέςεξισώσειςκαιανισώσεις.Ναδοθείέμφασηστογεγονόςότιηύψωσητων

μελώνμιαςεξίσωσηςστοτετράγωνοδενοδηγείπάντασεισοδύναμηεξίσωση.Αυτόμπορείναγίνει

καιμετηβοήθειατωνπαρακάτωγραφικώνπαραστάσεων.

Προτείνεταιναμηγίνουνοιασκήσεις3και4τηςΒ΄Ομάδας.


α)Ναλύσετετηνεξίσωση x 3 x 1+ = + (Ε1).

β)Ναλύσετετηνεξίσωση 2x 3 (x 1)+ = + (Ε2)

γ)ΝαεξηγήσετεγιατίηΕ1καιηΕ2δενέχουντιςίδιεςακριβώςλύσεις,ανκαιηΕ2προκύπτει

απότηνΕ1ανυψώσουμεκαιταδύομέλητηςστοτετράγωνο.

δ)Ναλύσετεγραφικάτιςεξισώσειςτουα)καιτουβ)ερωτήματος.

Κεφάλαιο5ο



Η έννοια της εκθετικής μεταβολής που συνδέεται με σημαντικό φαινόμενα της πραγματικότητας,

μπορεί να αποτελέσει την εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση. Αν και συχνά στα πραγματικά

φαινόμεναπουμελετάμε,οιτιμέςτηςανεξάρτητηςμεταβλητήςείναιδιακριτές(συχνάείναιφυσικοί

αριθμοί), τέτοια φαινόμενα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την μετάβαση στην εκθετική

συνάρτηση,δηλαδήσεπεδίοορισμούτουςπραγματικούς.Ηέμφασηστηδιδασκαλίατηςεκθετικής

συνάρτησης πρέπει να είναι στα προβλήματα και στις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όπως

33

προκύπτουναπότηγραφικήτηςπαράσταση.

ΠροτείνεταιναδοθείέμφασησταπροβλήματατηςΒ΄Ομάδας,μεπροτεραιότηταστις6,7και8.


Τα βακτήρια είναι πολύ μικροί, μονοκύτταροι οργανισμοί που είναι μακράν οι πιο

πολυπληθείς οργανισμοί στη Γη, οι οποίοι αναπαράγονται μέσω μιας διεργασίας που

ονομάζεται διχοτόμηση: ένα κύτταρο χωρίζεται στη μέση, σχηματίζοντας δύο "θυγατρικά

κύτταρα". Ένα τέτοιο βακτήριο είναι η σαλμονέλα (salmonella), το οποίο σε θερμοκρασία

περιβάλλοντος35°Cδιαιρείταικάθεώρακαισχηματίζονταιδυοάλλαβακτήρια.

Ας υποθέσουμε ότι σε μια μερίδα τροφής υπάρχουν 100 βακτήρια σαλμονέλας και ότι η

θερμοκρασίαπεριβάλλοντοςείναι35°C.

α)Νασυμπληρώσετετονπαρακάτωπίνακα

Χρόνος(σεώρες) 0 1 2 3 4 5

Αριθμόςβακτηρίων 100

β)Νααποτυπώσετεταδεδομένατουπίνακαμεσημείασεκατάλληλοσύστημαορθογωνίων

αξόνων. Η σχέση μεταξύ του αριθμού των βακτηρίων και χρόνου είναι γραμμική; Να

αιτιολογήσετετηναπάντησήσας.

γ) Να εκτιμήσετε το χρόνο που θα υπάρχουν α) 1200 βακτήρια , β) 4.550 βακτήρια και γ)

περισσότερααπό7.200βακτήριαστημερίδατροφής.

δ) Να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει το πλήθος των βακτηρίων σαλμονέλας ως

συνάρτησητουχρόνου.Ποιοείναιτοπεδίοορισμούτηςσυνάρτησης;

ε)Μπορούμεναυπολογίσουμεανάπάσαχρονικήστιγμήτονπληθυσμότωνβακτηρίων;Θα

είχαννόημαγιατοσυγκεκριμένοπρόβλημαοιαρνητικέςτιμέςγιαα)γιατοχρόνοκαιβ)για

τονπληθυσμότωνβακτηρίων;


Ναδοθούνοιγραφικέςπαραστάσειςτωνακόλουθωνομάδωνσυναρτήσεων.Ναζητηθείαπό

τουςμαθητέςνασυγκρίνουνταγραφήματάτουςκαιναπροσδιορίσουντυχόνομοιότητεςκαι

διαφορέςπουαφορούνα)τοπεδίοορισμού,β)τοσύνολοτιμών,γ)τασημείατομήςμετους

άξονες,δ)τημονοτονία,ε)τιςασύμπτωτεςκαιστ)τησυμμετρία. Ø x x x x

1 2 3 4f (x) 2 , f (x) 3 2 , f (x) 3 2 , f (x) 4 2= = ⋅ = − ⋅ = ⋅ .

Ø xf (x) 2= , x1g(x) 24

= ⋅ .

Ø x1f (x) 2= , x

2f (x) 2 3= + , x 33f (x) 2 −= , x 3

4f (x) 2 3−= +

Ø xf (x) 2= ,x1g(x)

2⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


Με το μικροπείραμα «Η μονοτονία μιας εκθετικής συνάρτησης» από τα

εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, οι μαθητές διερευνούν την έννοια της

μονοτονίαςκαιτημελέτητηςμονοτονίαςμιαςεκθετικήςσυνάρτησης.Μετη

βοήθειατουλογισμικούμεταβάλλουντηβάσημιαςεκθετικήςσυνάρτησης

και παρατηρώντας τη γραφική τηςπαράστασηβρίσκουν τημονοτονία της

μετηβοήθειατουορισμού. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5238

34


Η κατανόηση των λογαρίθμων και των ιδιοτήτων τους μπορεί να στηριχτεί στον ορισμό του

λογαρίθμου και στις ήδη γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Μια προσπάθεια απομνημόνευσης

τύπωνκαιτεχνασμάτωνχωρίςνόημαδενείναιαποδοτικήκαιδενενθαρρύνεται.Έμφασηπρέπεινα

δοθείσταπαραδείγματα1και2πουπεριγράφουντηνκλίμακαRichterγιατημέτρησητωνσεισμών

καιτοpHγιατηνοξύτηταενόςδιαλύματος.

ΠροτείνεταιναγίνουνκατάπροτεραιότηταοιασκήσειςτηςΑ΄Ομάδαςμεέμφασησταπροβλήματα

καιοιασκήσεις2,3,5τηςΒ΄Ομάδας.Προτείνεταιναμηγίνουνοιασκήσεις6,7και8τηςΒ΄Ομάδας.


Για απλό ήχο δεδομένης έντασης Ι, η ένταση του υποκειμενικού αισθήματος πουαντιλαμβάνεταικάποιοςακροατήςονομάζεταιακουστότηταLτουήχου.ΓιατηνακουστότηταLχρησιμοποιείταιωςμονάδαμέτρησηςτο1decibelκαιγιατηνέντασηΙτοwatt/m2.

Έχει βρεθεί πειραματικά ότι η ακουστότητα L σχετίζεται με την ένταση Ι με λογαριθμικό

τρόπο,σύμφωναμετοντύπο0

IL 10 logI

= ⋅ ,όπουΙ0ημικρότερηέντασηήχουπουμπορεί

ναακούσειτοαυτίτουανθρώπου,καιείναιπερίπουίσημε 1210− watt/m2.Ναυπολογίσετε

τηνακουστότητααπλούήχουέντασης:α)10-6watt/m2καιβ)δεκαπλάσιαςαπότο Ι0.


Κατ'αντιστοιχίαμε την εκθετικήσυνάρτηση, έμφασηθαπρέπει ναδοθεί σεπροβλήματα και στις

ιδιότητεςτηςλογαριθμικήςσυνάρτησηςόπωςπροκύπτουναπότηγραφικήτηςπαράσταση.

Προτείνεται να διδαχθούν μόνο οι συναρτήσειςf(x)=logx και f(x)=lnx. Ωστόσο, για λόγους

κατανόησηςτηςσχέσηςμετηναντίστοιχηεκθετικήσυνάρτηση,θαμπορούσαναναναφερθούνκαιοι

λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση α, με 0<α<1, σε αυτή την περίπτωση όμως, θα πρέπει να

επισημανθείότιηδιδακτέαύληπεριορίζεταιστιςf(x)=logxκαιf(x)=lnx.Προτείνεταιναγίνουνκατά

προτεραιότηταοιασκήσεις:2,5,6,7και8τηςΑ΄Ομάδαςκαι1(i,iii),3,5,7και8τηςΒ΄Ομάδας.

Ενδεικτικήδραστηριότητα: Προτείνεται να χρησιμοποιηθεί το μικροπείραμα «

Λογαριθμική μεταβολή – Κλίμακα Richter» από τα

εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, για την κατανόηση της

λογαριθμικής μεταβολής. Με τη βοήθεια του λογισμικού, οι

μαθητές από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του

μεγέθουςενόςσεισμούσεκλίμακαRichterωςπροςτηνέντασή

του, δημιουργούν εικασίες σχετικά με τη σχέση που έχουν

αυτάταδύομεγέθηκαιτιςαποδεικνύουναλγεβρικά.Στησυνέχεια,συγκρίνουντιςεντάσεις

σεισμώνπουέχουνσυμβείστοπαρελθόνκαιλύνουνταπροβλήματαγραφικάκαιαλγεβρικά.


35

Σημείωση:Μπορείτενακατεβάσετετιςψηφιακέςδραστηριότητεςκαινατιςανοίξετετοπικάμετοαντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο μεκατάληξη .ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνσηhttps://www.geogebra.org/download ή διαφορετικά ψάξτε για το αντίστοιχο λογισμικό στηδιεύθυνσηhttp://photodentro.edu.gr/edusoft/. Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online),προτιμήστετονφυλλομετρητήMozillaFirefox.

• ΑνηεφαρμογήείναισεflashθαπρέπειναεγκαταστήσετετοπρόσθετοAdobeflashplayerαπότηδιεύθυνσηhttps://get.adobe.com/flashplayer/.

• Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τηδιεύθυνση http://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση,τότε προσθέστε τις διευθύνσεις http://photodentro.edu.gr καιhttp://digitalschool.minedu.gov.gr στο exception site list στην καρτέλα security της Java(ανοίξτετοControlPanel,τηJava,στηνκαρτέλαsecurityπατήστεEditsitelistκαιπροσθέστετιςδύοδιευθύνσεις,κλείστετοbrowserκαιξανανοίξτετον).

36

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

• Β΄ΤάξηςΗμερήσιουΓΕΛ


Απότοβιβλίο«ΕυκλείδειαΓεωμετρίαΒ΄ΓΕΛΤεύχοςΒ»των.ΑργυρόπουλουΗ,ΒλάμουΠ.,ΚατσούληΓ.,ΜαρκάκηΣ.καιΣιδέρηΠ. Κεφ.7o:Αναλογίες7.1.Εισαγωγή7.4.Ανάλογαευθύγραμματµήµατα–Αναλογίες7.5.Μήκοςευθύγραμμουτµήµατος7.6.Διαίρεσητµηµάτωνεσωτερικάκαιεξωτερικάωςπροςδοσμένολόγο (χωρίς τηναπόδειξη τηςΠρότασηςκαιχωρίςτηνυποπαράγραφο“Διερεύνηση”)7.7.ΘεώρηματουΘαλή(χωρίςτιςαποδείξειςτωνθεωρημάτωνκαιτουΠορίσματοςκαιχωρίςτουςορισμούς«συζυγήαρμονικά»και«αρμονικήτετράδα»)7.8. Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου (χωρίς τις αποδείξεις των θεωρημάτων και χωρίς τονυπολογισμότωνευθυγράμμωντμημάτωνσταοποίαηδιχοτόμος–εσωτερικήήεξωτερική–διαιρείτηναπέναντιπλευρά)Κεφ.8ο:Ομοιότητα8.1.Όμοιαευθύγραμμασχήματα8.2.Κριτήριαομοιότητας(χωρίςτιςαποδείξειςτωνθεωρημάτωνI,ΙΙκαιΙΙΙκαιτιςεφαρμογές1,2και3)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Να μην διδαχθούν οι αποδεικτικές ασκήσεις, τα σύνθετα θέματα και οι γενικές ασκήσεις από τακεφάλαια7και8.

Κεφ.9ο:Μετρικέςσχέσεις9.1.Ορθέςπροβολές9.2.ΤοΠυθαγόρειοθεώρημα9.3.Γεωμετρικέςκατασκευές9.4.ΓενίκευσητουΠυθαγόρειουθεωρήματος(χωρίςτηνεφαρμογή2)Κεφ.10ο:Εμβαδά10.1.Πολυγωνικάχωρία10.2.Εμβαδόνευθύγραμμουσχήματος-Ισοδύναμαευθύγραµµασχήματα10.3.Εμβαδόνβασικώνευθύγραμμωνσχημάτων10.4.Άλλοιτύποιγιατοεμβαδόντριγώνου(χωρίςτηναπόδειξητωντύπωνΙκαιΙΙΙ)10.5.Λόγοςεμβαδώνόμοιωντριγώνων–πολυγώνων(χωρίςτηναπόδειξητουΘεωρήματοςΙΙ)Κεφ.11ο:ΜέτρησηΚύκλου11.1.Ορισμόςκανονικούπολυγώνου11.2. Ιδιότητες και στοιχεία κανονικώνπολυγώνων (χωρίς τιςαποδείξεις τωνθεωρημάτων και τουΠορίσματος)11.3.Εγγραφήβασικώνκανονικώνπολυγώνωνσεκύκλοκαιστοιχείατους(χωρίςτιςεφαρμογές2,3)11.4.Προσέγγισητουμήκουςτουκύκλουµεκανονικάπολύγωνα11.5.Μήκοςτόξου11.6.Προσέγγισητουεμβαδούκύκλουµεκανονικάπολύγωνα11.7.ΕμβαδόνκυκλικούτοµέακαικυκλικούτµήµατοςΚεφ.12ο:Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο12.1.Εισαγωγή

37

12.2.Ηέννοιατουεπιπέδουκαιοκαθορισμόςτου12.3.Σχετικέςθέσειςευθειώνκαιεπιπέδων12.4.Ευθείεςκαιεπίπεδαπαράλληλα–ΘεώρηματουΘαλή12.5.Γωνίαδύοευθειών–Ορθογώνιεςευθείες12.6.Απόστασησημείουαπόεπίπεδο–Απόστασηδύοπαραλλήλωνεπιπέδων

II.Διαχείρισηδιδακτέαςύλης



Οιενδεικτικέςδραστηριότητεςπουπεριλαμβάνονταιστιςπαρούσεςοδηγίεςωςεπιπλέονδιδακτικό

υλικόπροέρχονταιαπό τοπρόγραμμασπουδώνγια τολύκειοκαι τονοδηγόγια τονεκπαιδευτικό

που εκπονήθηκαν στο πλαίσιο της πράξης "Νέο Σχολείο" και μπορούν να ανακτηθούν από τον

ιστότοποτουΙΕΠ:http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php]Κεφάλαιο7ο(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες).Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη φορά λόγος για σύμμετρα και ασύμμετρα ευθύγραμματμήματα.Ηέννοιατηςασυμμετρίαςμπορείναβοηθήσεισημαντικάτουςμαθητέςναξεκαθαρίσουντηνέννοιατουαρρήτουαριθμού.Επίσης,στόχοιτηςδιδασκαλίας,τηςπαραγράφουείναι:

ü Να γίνει σύντομη αναφορά στις ιδιότητες των αναλογιών και να δοθεί έμφαση στοΘεώρηματουΘαλήκαισταΘεωρήματαδιχοτόμων.

ü Μέσω παραδειγμάτων να κατανοήσουν οι μαθητές ότι ζεύγη ευθυγράμμων τμημάτωνδιαφορετικώνμηκώνείναιδυνατόνναέχουντονίδιολόγο.

ü ΝαεφαρμόζουντοΘεώρηματουΘαλή,σεδοσμένασχήματα,ήσεσχήματαπουχρειάζεταινα σχεδιαστούν βοηθητικές ευθείες. Να αναδειχθούν οι εφαρμογές του Θεωρήματος σετρίγωνακαιτραπέζια.

ü Με χρήση των θεωρημάτων διχοτόμου, οι μαθητές να διαπιστώσουν τη δυνατότηταχωρισμούευθύγραμμουτμήματοςστον ίδιολόγομεσημείοπουβρίσκεταιστοεσωτερικότουήτηνπροέκτασήτου

(Προτείνεται,αντοεπιτρέπειοδιαθέσιμοςχρόνος,ναγίνειαπόδειξητουΘεωρήματοςτουΘαλή,για

συγκεκριμένολόγο(π.χ.34 )καινααναφερθείότιγενικεύεταισεοποιουσδήποτερητούς.

Προτείνεταιναγίνουνταδύοπροβλήματατηςπαραγράφου7.7καιναδοθείέμφασηστιςερωτήσειςκατανόησης1-3καιστιςασκήσειςεμπέδωσης3-7τηςωςάνωπαραγράφου.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:Ανταα,βκαιγείναιγνωστάευθύγραμματμήματα,νακατασκευάσετετοευθύγραμμοτμήμαχ

ώστεναισχύεια γβ χ= .

[Σχόλιο: Η παραπάνω δραστηριότητα είναι πρόβλημα που λύνεται με τη βοήθεια τουΘεωρήματοςτουΘαλή.]

Στο Κεφάλαιο 7 δεν θα γίνουν αποδεικτικές ασκήσεις, σύνθετα θέματα καθώς και οι γενικέςασκήσειςτουκεφαλαίουαυτού.Κεφάλαιο8ο(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες).Ναδοθείέμφασηστακριτήριαομοιότηταςτριγώνων.Στόχοιείναιοιμαθητές:

ü Νακατανοήσουντηλειτουργίακριτηρίωνομοιότητας,πουόπωςκαιτακριτήριαισότητας,μελιγότερεςπροϋποθέσειςαπότονορισμόμπορούμενααποφανθούμεγιατηνομοιότητα

38

δύοτριγώνων.ü Νασυσχετίσουντηνισότηταμετηνομοιότητατριγώνωνκαιναεντοπίσουνδιαφορές.

Παρατηρήσεις:ü Ανυπάρχειχρόνοςαρκείναγίνειηαπόδειξηενόςμόνοκριτηρίουομοιότηταςτριγώνων.ü Ηεφαρμογή4τηςπαραγράφου8.2θαχρειασθείστησυνέχειαγιανααποδειχθείτύπος(iii)

τηςπαραγράφου10.4,γιατοεμβαδόντριγώνου.ü Το Κεφάλαιο προσφέρεται για τη συζήτηση εφαρμογών που ήδη θίγονται στο σχολικό

βιβλίο(μέτρησηύψουςαπρόσιτωνσημείων,χρήσηεξάντα).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:(α)ΔύοευθύγραμματμήματαΑΒκαιΓΔήοιπροεκτάσειςτουςτέμνονταισεένασημείοΜκαιισχύειΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ⋅ = ⋅ .Νααποδείξετε,σεκάθεπερίπτωση,ότιτασημείαΑ,Β,ΓκαιΔείναικορυφέςεγγράψιμουτετραπλεύρου.(β)Ναεξετάσετεανισχύειτοαντίστροφοτηςπαραπάνωπρότασης.Ενδεικτικήδραστηριότητα2:

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ=2, ΑΓ=4 και τη γωνίαΛΑ 60ο= . Να κατασκευάσετε

τρίγωναόμοιαπροςτοΑΒΓμελόγοομοιότητας1,2και12 .

Στο Κεφάλαιο 8 δεν θα γίνουν αποδεικτικές ασκήσεις, σύνθετα θέματα καθώς και οι γενικέςασκήσειςτουκεφαλαίουαυτού.Κεφάλαιο9ο(Προτείνεταιναδιατεθούν8διδακτικέςώρες)§9.1-9.3(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες)Στόχοιτηςδιδασκαλίαςείναιοιμαθητές:

ü Ναμπορούννασχεδιάζουνορθέςπροβολές.ü Ναερμηνεύουντιςμετρικέςσχέσειςμεπροβολές9.2ωςαποτέλεσμαομοιότηταςτριγώνων

καινατιςχρησιμοποιούνσεεπίλυσηπροβλημάτων.ü Να εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του στην επίλυση

προβλημάτων.Παρατηρήσεις:

ü Στις παραγράφους αυτές η άσκοπη ασκησιολογία αλγεβρικού χαρακτήρα δε συνεισφέρειστηνκατανόησητηςΓεωμετρίας.

ü Προτείνεταιναγίνειτοσχόλιοτηςεφαρμογήςωςσύνδεσημετηνεπόμενηπαράγραφο.ü Ναμηγίνουντασύνθεταθέματα4,6.

Στηνπαράγραφοαυτήείναισκόπιμοναδιατεθείχρόνοςώστενασχολιαστείτοιστορικόσημείωμαγιατηνανακάλυψητωνασύμμετρωνμεγεθώνκαιναγίνουνκαιοι3κατασκευές(υποτείνουσακαικάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, μέση ανάλογος, άρρητα πολλαπλάσια ευθύγραμμουτμήματοςπουδίνουνκαιτοντρόποκατασκευήςευθυγράμμωντμημάτωνμεμήκοςτετραγωνικήρίζαφυσικού–αφορμήγιαμίασύντομησυζήτησηγια τηδυνατότητακατασκευήςήμη τωναρρήτων).Επίσης μπορεί να γίνει αναφορά στην 7.3 στην οποία γίνεται λόγος για την κατασκευή αρρήτωνμεγεθών.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Νακατασκευάσετεορθέςπροβολέςα)τουΟ,τωνευθυγράμμωντμηματωνΑΒ,ΓΔ,ΕΖκαιΗΘστηνευθείαεκαιβ)τηςΑΒπάνωστηνΒΓσταδύοπαρακάτωσχήματα.

39

(α)

(β)

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Τοπρόβλημα3προτείνεταιναγίνειμεπιοδιερευνητικότρόπομε το μικροπείραμα «Κατασκευή ασύμμετρων τμημάτων (Ησπείρα του Κυρηναίου)» από τα εμπλουτισμένα σχολικάβιβλία, για την γεωμετρική κατασκευή ασύμμετρωνευθυγράμμωντμημάτων. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5636Ενδεικτικήδραστηριότητα3:(α) Να κατασκευάσετε με κανόνα και διαβήτη, τη μέση ανάλογο β, δύο εθυγράμμωντμημάτωνακαιγ.(β)ΝαβρείτετησχέσητουμήκουςΑΔτουύψουςορθογωνίουτριγώνουΑΒΓ(μεΑ=90ο)μετογεωμετρικόμέσοτωνμηκώνΒΔκαιΔΓ.ΠοιοστοιχείοτουτριγώνουείναιοαριθμητικόςμέσοςτωνμηκώνΒΔκαιΔΓ;Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γεωμετρικού μέσου.Πότεισχύειηισότητα;[Σχετικήμετιςμετρικέςσχέσειςτηςπαραγράφου9.2]Ενδεικτικήδραστηριότητα4:

ΔίνεταιευθύγραμμοτμήμαΑΒ.Νακατασκευάσετεμεκανόνακαιδιαβήτητατμήματα 2ΑΒ

και 3ΑΒ .[ΣχετικήμετοΠυθαγόρειοΘεώρημα]

§9.4(Προτείνεταιναδιατεθούν3διδακτικέςώρες).ΣτόχοιείναιοιμαθητέςναχρησιμοποιούντοΓενικευμένοΠυθαγόρειοΘεώρημαγιαναδιακρίνουναν ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και να χρησιμοποιούν το νόμο τωνσυνημιτόνωνσεεπίλυσηηπροβλημάτων.Παρατηρήσεις:

l Στηνπαράγραφο9.4προτείνεταιναμηναναλωθείεπιπλέονδιδακτικόςχρόνοςγιαάσκοπηασκησιολογίααλγεβρικούτύπου.

40

l Ναμηγίνουντασύνθεταθέματατηςπαραγράφου9.4.l ΝαμηγίνουνοιγενικέςασκήσειςτουΚεφαλαίου.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:Ένα πλοίο κινείται µε κατεύθυνση από το Α προς το Σ. Από τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση Α και μέχρι τηνολοκλήρωση της πορείας του, ασκούνται σε αυτόπλαγιομετωπικοίάνεμοιπουτοωθούνμεδύναμημέτρουF1 που σχηματίζει γωνία ω με την επιθυμητή πορείαπλεύσης. Ο καπετάνιος, προκειμένου να διατηρήσεισταθερήτηνπορεία,δίνειεντολήναστραφείτοπηδάλιοκατάφμοίρες.Ανοι προπέλεςωθούν τοπλοίομεσταθερήδύναμημέτρουF1μπορείτε ναπεριγράψετεέναντρόπομετονοποίομπορείναπροσδιοριστείηγωνίαφ;

Κεφάλαιο10ο(Προτείνεταιναδιατεθούν10διδακτικέςώρες).§10.1-10.3(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες).Παρατηρήσεις&στόχοι:

ü Οιμαθητέςναδιακρίνουνταισοδύναμα(ισεμβαδικά)απόταίσασχήματα.

ü Με κατάλληλους μετασχηματισμούς και χρήση βοηθητικών γραμμών οι μαθητές ναυπολογίζουνεμβαδάαπόάλλαήδηγνωστάτους.

ü Προτείνεται, αν υπάρχει χρόνος, να γίνουν οι 3 εφαρμογές (με την παρατήρηση τηςεφαρμογής2)καιοι2δραστηριότητες.

ü Θα μπορούσε να γίνει η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος μέσω εμβαδών, όπωςπαρατίθεταισταστοιχεία τουΕυκλείδηκαιαναφέρεταιστο ιστορικόσημείωμαστο τέλοςτουΚεφαλαίου.

ü Προτεινόμενεςασκήσεις:Οιερωτήσειςκατανόησης.Απότιςασκήσειςεμπέδωσηςοι3και6.Απότιςαποδεικτικέςασκήσειςοι1,4,7και8.

ü Ναμηγίνουντασύνθεταθέματα1και5.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:(α)Ναχωρίσετεένατρίγωνοσετέσσεραίσατρίγωναφέρνονταςκατάλληλεςευθείεςκαιστησυνέχειανασυγκρίνετετοεμβαδόνκάθετριγώνουμετοεμβαδόντουαρχικού.(β)Ναχωρίσετεέναπαραλληλόγραμμοσε• δύο,• τρία,• τέσσεραίσαπαραλληλόγραμμα.Στησυνέχειανασυγκρίνετετοεμβαδόνκάθεπαραλληλογράμμουμετοεμβαδόντουαρχικούπαραλληλογράμμου.(γ) Να χωρίσετε ένα τρίγωνο με ευθεία που διέρχεται από την κορυφή σε δύο τρίγωνα με

λόγοεμβαδών13 .

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Ηερώτησηκατανόησης1προτείνεταιναγίνειμεπιοδιερευνητικότρόπομετομικροπείραμα«Τύποιυπολογισμούεμβαδών»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,γιατηνκατανόησητωντύπωντωνεμβαδώνβασικώνγεωμετρικώνσχημάτωνκαιτιςαποδείξειςτους. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5771

§10.4(Προτείνεταιναδιατεθούν2διδακτικέςώρες).Παρατηρήσειςκαιστόχοι:

-Nα γίνει απλή εφαρμογή των τύπων. Οι μαθητές να μπορούν να λύνουν απλά προβλήματα

41

υπολογισμούεμβαδών,μεαυτούς.-Ανυπάρχειχρόνος,ναγίνειηαπόδειξητουτύπου(iii).-Ναεξηγηθείοσυμβολισμόςτηςημιπεριμέτρου.-Μίαεπιλογήασκήσεωνθαμπορούσεναείναι:

Οιερωτήσειςκατανόησης1και2.Απότιςασκήσειςεμπέδωσηςοι3και4.Απότιςαποδεικτικέςοι1,3και5.

-Ναμηγίνουντασύνθεταθέματα1,2.§10.5(Προτείνεταιναδιατεθούν3διδακτικέςώρες).Στόχος είναι οι μαθητές να συσχετίσουν το λόγο ομοιότητας δύο σχημάτων με το λόγο τωνπεριμέτρωντουςκαιτολόγοτωνεμβαδώντους.Ναμηγίνουντασύνθεταθέματατηςπαραγράφου10.5.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:α)Νααποδείξετετοθεώρημαδιχοτόμωνμεχρήσηεμβαδών.β)ΝααποδείξετετοΠυθαγόρειοΘεώρημαμετηβοήθειατωνεμβαδώνκαινατογενικεύσετεμε την κατασκευή εξωτερικά των πλευρών του ομοίων σχημάτων (προτείνεται η χρήσηλογισμικούδυναμικήςγεωμετρίας).

Κεφάλαιο11ο(Προτείνεταιναδιατεθούν11διδακτικέςώρες).§11.1-11.2(Προτείνεταιναδιατεθούν2διδακτικέςώρες).Παρατηρήσεις:

l Στηνπαράγραφο11.1μπορείναγίνειμίαυπενθύμισητηςέννοιαςτουκυρτούπολυγώνουκαιτωνστοιχείωντου,όπωςαναφέρεταιστηνπαράγραφο2.20πουείναιεκτόςτηςύληςτηςΑ΄Λυκείου.

l Προτείνεται να γίνει η παρατήρηση και το σχόλιο (που χρειάζονται για την επόμενηπαράγραφο).

l Μπορείναγίνειμίααναφοράστορόλοτωνκανονικώνπολυγώνωνστηφύση,τηντέχνηκαιτιςεπιστήμες(βιβλίοκαθηγητήγιαεπέκτασητηςαποδεικτικήςάσκησης1καισυσχέτισημετηδιακόσμησημεκανονικάπολύγωνα).

l Ναμηγίνουντασύνθεταθέματα.Στόχοιείναιοιμαθητέςνααναγνωρίζουντακανονικάπολύγωνα,ναδιακρίνουντηγωνίατους,απότην κεντρική τους γωνία και να μπορούν να υπολογίζουν στοιχεία κανονικών πολυγώνων. ΔενκρίνεταισκόπιμοναχρησιμοποιούνέτοιμουςτουςτύπουςτουθεωρήματοςΙτηςπαραγράφου11.2

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Ορόμβοςκαιτοορθογώνιοείναικανονικάπολύγωνα;Τιπρέπειναισχύειγιαναείναι;Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Μετομικροπείραμα«Ηεξωτερικήγωνίαενόςκανονικούπολυγώνου»μετοοποίοοιμαθητέςεμπλέκονταισεδιαδικασίεςκατασκευήςκανονικώνν-γώνωνεγγεγραμμένωνσεκύκλομεστόχοναανακαλύψουντησχέσηπουσυνδέειτηνεξωτερικήγωνίατουκανονικούν-γώνουμετοπλήθοςντωνπλευρώντου.ΟιμαθητέςεκτελούναπλέςδιαδικασίεςσεγλώσσαLogoπουδημιουργούνμιαανοικτήτεθλασμένηγραμμήμεδυοκορυφέςτηςπάνωσεκύκλοκαιπειραματίζονταιδιορθώνονταςτιςαρχικέςδιαδικασίες,ώστετοαποτέλεσματηςεκτέλεσήςτουςναείναικανονικόν-γωνοεγγεγραμμένοσεκύκλο.Toμικροπείραμαέχειδημιουργηθείμεχρήσηεργαλείωνσυμβολικήςέκφρασηςμέσωτουπρογραμματισμού(Χελωνόκοσμος). http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5748

§11.3(Προτείνεταιναδιατεθούν2διδακτικέςώρες).Παρατηρήσεις:

ü Βάσει του σχολίου και της παρατήρησης της προηγούμενης παραγράφου, οι μαθητέςμπορούνμόνοι τους ναοδηγηθούνστηνεγγραφή τωνβασικώνκανονικώνπολυγώνωνσε

42

κύκλο,όπωςπροτείνεταικαιστοβιβλίοτουκαθηγητή.ü Προτείνεταιναδοθείέμφασηστηνεφαρμογή1καιστησυνέχειαναγίνειηδραστηριότητα1.ü Δεν προτείνεται να γίνουν ασκήσεις αλγεβρικού τύπου με χρήση των έτοιμων τύπων του

πίνακατηςπαραγράφου11.3.ü Προτείνεται οι μαθητές να κατανοήσουν πώς μεταβάλλονται τα στοιχεία ενός κανονικού

πολυγώνου σε δοσμένο κύκλο, όταν αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών του (βλέπεενδεικτικήδραστηριότητα)

ü Ναμηγίνουντασύνθεταθέματα.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ να εγγράψετε τετράγωνο και στη συνέχεια κανονικόοκτάγωνο.Συνεχίστετηνίδιαδιαδικασίαμετηνεγγραφήδεκαεξαγώνουκ.ο.κ.Ποιοςείναιοτύπος που περιγράφει το πλήθος των πλευρών μετά από ν βήματα της κατασκευής; Τισυμβαίνειμετομήκοςτωνπλευρών;

§11.4,11.5,11.6,11.7(Προτείνεταιναδιατεθούν7διδακτικέςώρες).Να αφιερωθεί χρόνος για τη διαδικασία προσέγγισης τόσο για τον υπολογισμό του μήκους τουκύκλουόσοκαιγιατονυπολογισμότουεμβαδούτου.Παρατηρήσεις:

ü Οιπαράγραφοιαυτέςμπορούνναπροετοιμάσουντουςμαθητέςπουθαακολουθήσουντηθετικήκατεύθυνσηγιατηνεισαγωγήστιςάπειρεςδιαδικασίεςμεφυσιολογικότρόπο,μέσωαναφοράς στην μέθοδο της εξάντλησης. Η σύνδεσημεθόδων τουΑρχιμήδημε μεθόδουςπου χρησιμοποιήθηκαν περίπου δύο χιλιετίες μετά, στην απαρχή του απειροστικούλογισμού,έχειευρύτεροενδιαφέρονγιαόλουςτουςμαθητές

ü Θαμπορούσαννααναφερθούνκάποιαεπιπλέονστοιχείαγιατοναριθμόπ,αλλάθαπρέπειναδιευκρινιστείτιείναιαλγεβρικόςκαιτιυπερβατικόςαριθμός(γιατηνπαράγραφο11.8).

ü Ναμηγίνειτοσύνθετοθέμα2.ü Προτείνεται να δοθεί έμφαση στις εφαρμογές (μηνίσκοι του Ιπποκράτη) και στη

δραστηριότητα.Στόχοιείναιοιμαθητές:

ü Ναπεριγράφουνκαιναερμηνεύουντοντρόπομετονοποίοπροσεγγίζεταιτομήκοςκαιτοεμβαδόντουκύκλου

ü Ναβρίσκουντομήκοςτόξουωςσυνάρτησητηςακτίνας.ü Ναυπολογίζουντοεμβαδόνενόςκυκλικούτομέα.ü Να χρησιμοποιούν τα παραπάνω συμπεράσματα και δεξιότητες σε προβλήματα με

μεικτόγραμμασχήματα.

Ενδεικτικήδραστηριότητα:ΝασχεδιάσετεκύκλομεκέντροΟκαιακτίνα4.Στησυνέχειανακατασκευάσετετοκανονικόεγγεγραμμένοκαιτοκανονικόπεριγεγραμμένοεξάγωνοστονκύκλο.α)Ναβρείτετιςπεριμέτρουςτωνδύοεξαγώνων.β)Τισυμπεραίνετεγιατομήκοςτουκύκλου;γ) Μπορείτε να βρείτε ακριβέστερο τρόπο προέγγισης του μήκους του κύκλου; Νατεκμηριώσετετηναπάντησήσαςμεαριθμητικάαποτελέσματα.[Σχόλια:Αυτήηδραστηριότηταείναιεισαγωγικήστηνπαράγραφο11.4καιμπορείναγίνεικαιμε τη βοήθεια λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.Επίσης μπορεί να επεκταθεί και στηνπροσέγγισηεμβαδούκύκλουμεκατάλληλητροποποίησητωνερωτημάτων.]

Κεφάλαιο12ο(Ναδιατεθούν11ώρες)§12.1-12.3(Ναδιατεθούν2ώρες)ΝαγίνειμετάβασηαπότιςέννοιεςτηςεπίπεδηςΓεωμετρίαςσεαυτέςτηςΓεωμετρίαςτουχώρου,γιαπαράδειγμα:Επίπεδηγωνία(σημείο,δύοημιευθείες)καιδίεδρηγωνία(ευθεία,δύοημιεπίπεδα)ήακόματετράγωνοστοεπίπεδοκαικύβοςστοχώρο.Νατονιστείηδιαφοράμεταξύπαραλλήλωνκαιασύμβατωνευθειών.Προτείνεται:

43

ü ΝααναφερθούνμετηβοήθειασχημάτωντααξιώματαΙ,ΙΙ,ΙΙΙκαιIVτηςπαραγράφου12.2.ü Οι προτάσεις που προκύπτουν, στην ίδια παράγραφο, να αναφερθούν επίσης, χωρίς

απόδειξηήπαρουσιάζονταςενδεικτικάτηναπόδειξητηςπρότασηςΙ.ü ΝααναφερθούντααξιώματαVκαιVIτηςπαραγράφου12.3.ü Σε αυτό το σημείο μπορούν να προκύψουν μέσα από συζήτηση στην τάξη οι τυπικοί

ορισμοί:Τωνπαραλλήλωνευθειών(§12.2),τωνπαραλλήλωνεπιπέδων,τηςπαράλληληςευθείαςσεεπίπεδο(§12.3).Είναισκόπιμοοιμαθητέςναπροσπαθήσουννακατασκευάσουντουςορισμούς.

ü Οορισμόςτωνασύμβατωνευθειώνναδοθείμετάτηναπόδειξητουθεωρήματοςτης§12.3.ü Ναδοθούνμόνοερωτήσειςκατανόησηςκαιασκήσειςεμπέδωσης(καιόχιαποδεικτικές),ως

εργασίαγιατοσπίτιήτηντάξη.

Ενδεικτικήδραστηριότητα1: Οισχετικέςθέσειςευθείαςκαιεπιπέδουπροτείνεταιναδιερευνηθούνμετομικροπείραμα«Σχετικέςθέσειςευθείαςκαιεπιπέδου»από ταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5904

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Οι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων στο χώρο προτείνεται ναδιερευνηθούν με το μικροπείραμα «Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5905

§12.4(Ναδιατεθεί2ώρες)Νααναγνωρίσουντομεσοκάθετοεπίπεδοσεευθύγραμμοτμήμακαθώςκαιτομεσοπαράλληλοεπίπεδοωςγεωμετρικούςτόπους,κατ’αντιστοιχίαμετηνμεσοκάθετοευθυγράμμουτμήματοςκαιτημεσοπαράλληληδυοπαραλλήλωνευθειών.Προτείνεται:

ü ΝααναφερθούνταΘεωρήματακαιταπορίσματατηςπαραγράφουωςαποτελέσματα.ü Μπορεί,ανυπάρχειχρόνος,ναγίνειηαπόδειξητουΘεωρήματοςIV.ü ΤοθεώρηματουΘαλήναμηαποδειχθεί.Ανυπάρχειχρόνοςκαιανάλογαμετιςδιδακτικές

επιλογέςτουδιδάσκοντα,μπορείναγίνειδιερευνητικάμετηνπροτεινόμενηενδεικτικήδραστηριότητα1.

ü Ναγίνει,απότοδιδάσκοντα,μίαεπιλογήμόνοαπότιςασκήσειςεμπέδωσηςκαι,ανκριθείσκόπιμο,ηάσκηση3απότιςαποδεικτικές(βλέπεενδεικτικήδραστηριότητα2).

Ενδεικτικήδραστηριότητα1: ΤοθεώρηματουΘαλήπροτείνεταιναγίνειμεπιοδιερευνητικότρόπομετομικροπείραμα«ΤοθεώρηματουΘαλήσεασύμβατεςευθείες»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,γιατηνπαραλληλίακαιτηνκαθετότηταευθειώνστοχώροκαιτηναπόδειξητουθεωρήματοςτουΘαλήσεασύμβατεςευθείες. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5793Ενδεικτικήδραστηριότητα2: Ηάσκηση3απότιςαποδεικτικές,προτείνεταιναγίνειμεπιοδιερευνητικότρόπομετομικροπείραμα«Οιδιαγώνιεςτουστρεβλούτετραπλεύρου»απόταεμπλουτισμένασχολικάβιβλία,γιατιςιδιότητεςτωνδιαγωνίωντουστρεβλούτετραπλεύρου. http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5855

44

§12.5(Ναδιατεθούν3ώρες)Σεαυτήτηνπαράγραφοεισάγεταιηνέαέννοιατηςγωνίαςδύοασύμβατωνευθειών,πουεποπτικάσχετίζεταιμετηνπροβολήστοεπίπεδοκαιτηςκαθετότηταςευθείαςκαιεπιπέδου.Οιέννοιεςαυτέςγενικεύουντηνέννοιατηςγωνίας,πουεδώπροσδιορίζεταιαπόμιαγωνιακήσχέσημεταξύ δύο σχημάτων του χώρου. Π.χ. οι ασύμβατες ευθείες δε σχηματίζουν ‘γωνία’ όπως τηνξέρουνοιμαθητές,αλλάέχουνμιαγωνιακήσχέση,μέσωτηςπροβολήςμιαςεκτωνδύοστοεπίπεδοτηςάλλης.Προτείνεται:

ü Οιμαθητέςνακάνουνεικασίεςγιαταεξήςερωτήματα:Πώςμπορούμεναορίσουμεμιαγωνίαμεταξύδύοασύμβατωνευθειών;Πότεθαχαρακτηρίζαμεμίαευθείακαιέναεπίπεδοκάθεταμεταξύτους;

ü Στησυνέχειανακατασκευαστούνοιορισμοίστηντάξηκαινασυγκριθούνμετουςτυπικούςορισμούςτουβιβλίου.

ü Να αποδειχθεί το κριτήριο καθετότητας ευθείας σε επίπεδο και το θεώρημα των τριώνκαθέτων.

ü Ναγίνειεπιλογήαπότιςερωτήσειςκατανόησηςκαιτιςασκήσειςεμπέδωσης.§12.6(Ναδιατεθούν4ώρες)Στην παράγραφο 12.6 προτείνεται να δοθούν οι ορισμοί και να γίνουν οι εφαρμογές ωςδραστηριότητες στην τάξη. Επίσης προτείνεται να γίνει περιορισμένος αριθμός από τις ασκήσειςεμπέδωσης,ανάλογοςμετηνεκτίμησηκαιτονδιδακτικόπρογραμματισμότουδιδάσκοντα.Επίσηςπροτείνονταιοιπαρακάτωδραστηριότητες:

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Ναβρείτετογεωμετρικότόποτωνσημείωντουχώρουπουαπέχουνίσεςαποστάσειςαπό:α)Δύοσημεία,β)τρίασημεία.Ενδεικτικήδραστηριότητα2:

Δίνεται γωνίαΛ

xOy σε ένα επίπεδο Π. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του

χώρουπουαπέχουνίσεςαποστάσειςαπότιςπλευρέςτηςγωνίαςΛ

xOy .Σημείωση:Μπορείτενακατεβάσετετιςψηφιακέςδραστηριότητεςκαινατιςανοίξετετοπικάμετοαντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο μεκατάληξη .ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνσηhttps://www.geogebra.org/download ή διαφορετικά ψάξτε για το αντίστοιχο λογισμικό στηδιεύθυνσηhttp://photodentro.edu.gr/edusoft/.Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online),προτιμήστετονφυλλομετρητήMozillaFirefox.

l ΑνηεφαρμογήείναισεflashθαπρέπειναεγκαταστήσετετοπρόσθετοAdobeflashplayerαπότηδιεύθυνσηhttps://get.adobe.com/flashplayer/.

Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνσηhttp://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση, τότε προσθέστε τιςδιευθύνσειςhttp://photodentro.edu.grκαιhttp://digitalschool.minedu.gov.grστοexceptionsitelistστηνκαρτέλαsecurityτηςJava(ανοίξτετοControlPanel,τηJava,στηνκαρτέλαsecurityπατήστεEditsitelistκαιπροσθέστετιςδύοδιευθύνσεις,κλείστετοbrowserκαιξανανοίξτετον).

45

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

l Β΄ΤάξηΕσπερινούΓΕΛ

• Γ΄ΤάξηςΕσπερινούΓΕΛ

Η Διδακτέα –εξεταστέα ύλη ταυτίζεται με αυτή της Β΄ Τάξης τουΗμερήσιουΓΕΛ.

Η διαχείριση της ύλης είναι αυτή που προτείνεται για την Β΄ τάξηΗμερησίου ΓΕΛ με την ακόλουθη διαφοροποίηση ως προς τις ώρεςδιδασκαλίαςανάκεφάλαιο.

Απότοβιβλίο«ΕυκλείδειαΓεωμετρίαΒ΄ΓΕΛΤεύχοςΒ»των.ΑργυρόπουλουΗ,ΒλάμουΠ.,ΚατσούληΓ.,ΜαρκάκηΣ.καιΣιδέρηΠ. Κεφάλαιο7ο

(Προτείνεταιναδιατεθούν3διδακτικέςώρες).Κεφάλαιο8ο(Προτείνεταιναδιατεθούν2διδακτικέςώρες).Κεφάλαιο9ο

(Προτείνεταιναδιατεθούν4διδακτικέςώρες)Κεφάλαιο10ο(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες).Κεφάλαιο11ο

(Προτείνεταιναδιατεθούν5διδακτικέςώρες).Κεφάλαιο12ο

(Ναδιατεθούν6ώρες) Για την προσαρµογή της διδασκαλίας στο διατιθέµενο χρόνο, προτείνεται να δίδεται έµφαση στα βασικά παραδείγµατα - εφαρµογές και στην ανάδειξη, µέσω αυτών, του περιεχοµένου, ( εννοιών και µεθόδων ) της κάθε παραγράφο

46

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΑΔΑΣΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΘΕΤΙΚΩΝΣΠΟΥΔΩΝ

• Β΄ΤΑΞΗΗΜΕΡΗΣΙΟΥΓΕΛ• Β΄ΤΑΞΗΕΣΠΕΡΙΝΟΥΓΕΛ• Γ΄ΤΑΞΗΕΣΠΕΡΙΝΟΥΓΕΛ

I.ΔιδακτέαύληΑπότοβιβλίο«ΜαθηματικάΘετικήςκαιΤεχνολογικήςΚατεύθυνσηςΒ΄ΤάξηςΓενικούΛυκείου»τωνΑδαμόπουλουΛ.,ΒισκαδουράκηΒ.,ΓαβαλάΔ.,ΠολύζουΓ.καιΣβέρκουΑ.

Κεφ.1ο:Διανύσματα1.1. ΗΈννοιατουΔιανύσματος.1.2. ΠρόσθεσηκαιΑφαίρεσηΔιανυσμάτων.1.3. ΠολλαπλασιασμόςΑριθμούμεΔιάνυσμα(χωρίςτιςΕφαρμογές1και2).1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο (Χωρίς την απόδειξη της υποπαραγράφου «ΣυντεταγμένεςΔιανύσματος», χωρίς την Εφαρμογή 2 στη σελ. 35 και χωρίς την απόδειξη της συνθήκηςπαραλληλίαςδιανυσμάτων).1.5. ΕσωτερικόΓινόμενοΔιανυσμάτων(χωρίςτηναπόδειξητουτύπουτηςαναλυτικήςέκφρασηςΕσωτερικούΓινομένου)καιχωρίςτηνπαράγραφο«Προβολήδιανύσματοςσεδιάνυσμα».Κεφ.2ο:ΗΕυθείαστοΕπίπεδο2.1. ΕξίσωσηΕυθείας.2.2. ΓενικήΜορφήΕξίσωσηςΕυθείας(χωρίςτηνεφαρμογή2).2.3. ΕμβαδόνΤριγώνου(χωρίςτιςαποδείξειςτωντύπωντηςαπόστασηςσημείουαπόευθεία,τουεμβαδούτριγώνουκαιχωρίςτηνΕφαρμογή1).Κεφ.3ο:ΚωνικέςΤομές3.1. ΟΚύκλος(χωρίςτιςπαραμετρικέςεξισώσειςτουκύκλου).3.2. ΗΠαραβολή(χωρίςτηναπόδειξητηςεξίσωσηςτηςπαραβολής,τηναπόδειξητουτύπουτηςεφαπτομένηςκαιτηνΕφαρμογή1στησελ.96).3.3. ΗΈλλειψη(χωρίςτηναπόδειξητηςεξίσωσηςτηςέλλειψης,τιςπαραμετρικέςεξισώσειςτηςέλλειψης,τηνεφαπτομένητηςέλλειψηςκαιχωρίςτιςεφαρμογές).3.4. ΗΥπερβολή(χωρίςτηναπόδειξητηςεξίσωσηςτηςυπερβολής,τηναπόδειξητουτύπουτωνασύμπτωτωνκαιτηνεφαπτομένητηςυπερβολής).3.5. Μόνοηυποπαράγραφος«σχετικήθέσηευθείαςκαικωνικής».

ΣΗΜΕΙΩΣΗΑ)ΔενθαδιδαχθούνοιασκήσειςΒομάδαςτωνπαραγράφων3.2,3.3και3.4.Β) Από τις γενικέςασκήσεις του 3ου Κεφαλαίουδενθαδιδαχθούνασκήσεις πουαναφέρονται στιςπαραπάνωπαραγράφους(Παραβολή,ΈλλειψηκαιΥπερβολή).Γ)Όσοναφοράστιςπροτεινόμενεςδραστηριότητες,επαφίεταιστηνκρίσητουδιδάσκονταηεπιλογήεκείνων που θα εφαρμόσει στην τάξη. Ωστόσο, καλό είναι να εμπλουτιστεί το μάθημα με τοσυγκεκριμένουλικό.II.Διαχείρισηδιδακτέαςύλης[Η κατανομή των διδακτικών ωρών που προτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρεςπεριλαμβάνεταιοχρόνοςπουθαχρειαστείγιαανακεφαλαιώσεις,γραπτέςδοκιμασίες,εργασίεςκλπ.Οιενδεικτικέςδραστηριότητεςπουπεριλαμβάνονταιστιςπαρούσεςοδηγίεςωςεπιπλέονδιδακτικόυλικόπροέρχονταιαπό τοπρόγραμμασπουδών για το λύκειο και τονοδηγό για τον εκπαιδευτικόπου εκπονήθηκαν στο πλαίσιο της πράξης "Νέο Σχολείο" και μπορούν να ανακτηθούν από τον

47

ιστότοποτουΙΕΠ:http://www.iep.edu.gr/neosxoleiops/index.php]

Κεφάλαιο1ο(Προτείνεταιναδιατεθούν16διδακτικέςώρες).

ΕισαγωγήΣτηντάξηαυτήοιμαθητέςθαεμβαθύνουνστονλογισμότωνδιανυσμάτων.Ποιοσυγκεκριμέναθαγίνειαναφορά:

• Στον ορισμό του διανύσματος, τα χαρακτηριστικά του και στη σχέση μεταξύ διανυσμάτων(παράλληλα,ίσα,αντίθετα,γωνίαδιανυσμάτων).

• Στον ορισμό των πράξεων της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού αριθμού μεδιάνυσμα(βαθμωτόςπολλαπλασιασμός).

• Στογραμμικόσυνδυασμόδιανυσμάτων.• Στοεσωτερικόγινόμενοδιανυσμάτων.• Στηνπαράστασηδιανύσματοςσεκαρτεσιανόσύστημασυντεταγμένων.

Τα παραπάνω αποτελούν απαραίτητες γνώσεις προκειμένου να γίνει κατανοητή η θεμελίωση τηςΑναλυτικής Γεωμετρίας του επιπέδου που ακολουθεί, καθώς και η αντιμετώπιση πολλώνκαταστάσεωντηςπραγματικήςζωήςκαιπροβλημάτωντηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίας.Εστίασησεσημαντικέςιδέεςστοκεφάλαιοτωνδιανυσμάτων

• Το διάνυσμα αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που δομήθηκε από τη στενήαλληλεπίδρασηΜαθηματικώνκαιΦυσικής.

• Ένα διάνυσμα μπορεί να αναπαρίσταται με διαφορετικούς τρόπους. Ως προσανατολισμένοευθύγραμμο τμήμα (γεωμετρική αναπαράσταση) και ως αλγεβρικό αντικείμενο με τη βοήθειασυντεταγμένων.

• ΠροτάσειςκαιθεωρήματατηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίαςαποδεικνύονταιμεχρήσητωνδιανυσμάτων.§1.1,1.2Προτείνεταιναδιατεθούν2και2ώρεςαντίστοιχαΤοδιάνυσμαεισάγεταιωςπροσανατολισμένοευθύγραμμοτμήμα.Οιπράξειςτηςπρόσθεσηςκαιτουπολλαπλασιασμού διανύσματος με αριθμό, παρουσιάζονται με τη βοήθεια της γεωμετρικής

εποπτείας και τονίζεται ιδιαίτερα ότι ένα οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒuuur

μπορεί να γραφτεί ως

διαφοράΟΒ ΟΑ−uuur uuur

,όπουΟείναιέναοποιοδήποτεσημείοτουχώρου.§1.3Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρεςΑ) Να τονιστεί ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσμάτων

( )α / /β α λβ β 0⇔ = ≠r r r rr r

χρησιμοποιείταιγιατηναπόδειξητηςσυγγραμμικότηταςτριώνσημείων.

Β)ΕπειδήαρκετοίμαθητέςαντιλαμβάνονταιτοντύποΟΑ ΟΒΟΜ

2+

=

uuur uuuruuuurωςδιαίρεσηδιανύσματος

μεαριθμό,καλόείναινατονισθείότιηγραφήαυτήείναιμίασύμβασηκαιστηνπραγματικότητατο

2ο μέλος είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ΟΑuuur

και ΟΒuuur

, δηλαδή1 1ΟΜ ΟΑ ΟΒ2 2

= +uuuur uuur uuur

.

Γ)ΝαγίνουνασκήσειςμόνοαπότηνΑ΄ομάδα.§1.4Προτείνεταιναδιατεθούν4ώρεςΑ) Να δοθεί έμφαση στο γεγονός ότι ένα διάνυσμα μπορεί να αναπαρίσταται με διαφορετικούςτρόπους.Ωςπροσανατολισμένοευθύγραμμοτμήμα (γεωμετρικήαναπαράσταση)καιωςαλγεβρικόαντικείμενο με τη βοήθεια συντεταγμένων. Να τονισθεί επίσης η μοναδικότητα της έκφρασηςδιανύσματοςμε τιςσυντεταγμένες του.Ηέννοια τωνδιανυσμάτωνείναισημαντικήστηγεωμετρίαεάν αναλογιστεί κανείς ότι η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ενός σημείου του επιπέδου με έναδιατεταγμένοζεύγοςπραγματικώναριθμώνοδηγείστην«αλγεβροποίηση»τηςΓεωμετρίας,δηλαδήστημελέτητωνγεωμετρικώνσχημάτωνμεαλγεβρικέςμεθόδους.Β)Πριναναφερθείησυνθήκηπαραλληλίαςδιανυσμάτων,οεκπαιδευτικόςναδώσειτονορισμότηςορίζουσαςδύοδιανυσμάτων,οοποίοςβρίσκεταιπροςτοτέλοςτηςπαραγράφου.

48

Ενδεικτικά:

Ονομάζουμεορίζουσαδύοδιανυσμάτων ( )1 1α ,x y=r

και ( )2 2β ,x y=r

καιτησυμβολίζουμεμε

1 1

2 2

x yx y

τον πραγματικό αριθμό 1 11 2 1 2

2 2

x yx y y x

x y= ⋅ − ⋅ , όπου η 1η γραμμή είναι οι

συντεταγμένες του διανύσματος ( )1 1α ,x y=r

και η 2η γραμμή είναι οι συντεταγμένες του

διανύσματος ( )2 2β ,x y=r

.

Την ορίζουσα των διανυσμάτων ( )1 1α ,x y=r

και ( )2 2β ,x y=r

με τη σειρά που δίνονται, τη

συμβολίζουμεκαιμε ( )det α,βrr

.Δηλαδή ( ) 1 11 2 1 2

2 2

det α,βx y

x y y xx y

= = ⋅ − ⋅rr

.

Γενικότερα, η παράσταση 1 11 2 1 2

2 2

x yD x y y x

x y= = − ονομάζεται ορίζουσα και είναι ένας

πραγματικόςαριθμός.§1.5Προτείνεταιναδιατεθούν6ώρεςΑ)Ναμηνδιδαχθείηυποπαράγραφος«Προβολήδιανύσματοςσεδιάνυσμα»

Β)Ναμηγίνουν:Ø Οιασκήσεις8,9και10και12τηςΑ΄Ομάδας.Ø Οιασκήσεις1,3,9και10,11τηςΒ΄Ομάδας.Ø ΟιΓενικέςΑσκήσεις.

ΣχόλιοΠροτείνεται να γίνουν ως δραστηριότητες κάποιες από τις ερωτήσεις κατανόησης όπως γιαπαράδειγμα, οι ερωτήσεις 6, 7 και 13. Ιδιαίτερα, η 13 θα αντιμετωπιστεί με τον ορισμό τουεσωτερικούγινομένου,αφούηπροβολήπλέονδενδιδάσκεται,μεστόχοτηνκατανόησητουρόλουτηςγωνίαςκαιότιδενισχύειηιδιότητατηςδιαγραφήςστοεσωτερικόγινόμενο.

ΠροτεινόμενεςΔραστηριότητεςΑςδούμετώραμερικέςδραστηριότητεςπουμπορούμεναυλοποιήσουμεστηντάξημετουςμαθητέςμας.ΗπρώτηδραστηριότητασυνδέειταΜαθηματικάμετηΦυσική.Ηδεύτερηδραστηριότηταδίνειτη δυνατότητα στο μαθητή να συνδέει, διατυπώνει και αποδεικνύει προτάσεις της ΕυκλείδειαςΓεωμετρίας με το διανυσματικό λογισμό, αλλά να ακολουθεί και την αντίστροφηπορεία. Τέλος, ητρίτη δραστηριότητα1 αναφέρεται σε ένα πρόβλημα από τον πραγματικό κόσμο, όπου οι μαθητέςμοντελοποιούν το πρόβλημα με χρήση των διανυσμάτων και απαντούν στο τέλος με τη φυσικήγλώσσα.Ανκαιείναιαυτονόητο,επισημαίνεταιότιανέναπρόβλημααπαιτείτύπουςήσχέσειςαπόάλλοεπιστημονικόπεδίο,αυτάδίνονταιστουςμαθητές.Δραστηριότητα1Ηδύναμητουδιαγράμματοςέχειμέτρο pF 20N= καισχηματίζειγωνία θo μετοοριζόντιοέδαφος.Τοβαγονάκισύρεται100mκατάμήκοςτουεδάφους.α)Ναυπολογίστετοέργοτηςδύναμης όταν η γωνία είναι30o .β) Επιλέξτε δύο άλλες τιμέςγια τη γωνία θo καιυπολογίστε το έργο σε κάθεπερίπτωση. Συγκρίνοντας τααποτελέσματαμπορείτεναδιατυπώσετεκάποιαεικασία;

1 Η συγκεκριµένη δραστηριότητα έχει αλιευθεί από το βιβλίο: THOMAS Απειροστικός λογισµός, Τόµος ΙΙ των Finney, Weir & Giordano, σελ. 697, ΠΕΚ, Ηράκλειο 2011.

49

ΣΧΟΛΙΟΗσυγκεκριμένηδραστηριότηταστοχεύει νασυνδέσει ταμαθηματικάμε τηφυσικήκαι εφαρμογέςτουπραγματικούκόσμου.Εστιάζειστογεγονόςότιτοέργοδενείναιτίποταάλλο,παράτοεσωτερικόγινόμενοδύοδιανυσματικώνμεγεθών.Τηςδύναμηςκαιτηςμετατόπισης.Δραστηριότητα2

Ταδιανύσματααrκαι β

rτουεπιπέδουικανοποιούντησχέση

2 22α β α β− = +

r rr r.

i) Ναεξετάσετεανησυγκεκριμένησχέση ικανοποιείται γιαοποιαδήποτεδιανύσματααr και β

r του

επιπέδουήμόνοσεσυγκεκριμένεςπεριπτώσεις.ii) Προσπαθήστεναερμηνεύσετεγεωμετρικάτοπροηγούμενοσυμπέρασμάσας.

ΕνδεικτικήλύσηΗσυγκεκριμένηδραστηριότητασυνδέειτοδιανυσματικόλογισμόμετηνΕυκλείδειαΓεωμετρία.Στοπρώτοερώτημααναμένεται,οιμαθητέςναεφαρμόσουντιςιδιότητεςτουεσωτερικούγινομένουκαιεργαζόμενοι,κυρίωςαλγεβρικά,νακαταλήξουνότιησυγκεκριμένησχέσηισχύειανκαιμόνοανταδιανύσματαείναικάθετα.Με το δεύτερο ερώτημα επιχειρούμε να οπτικοποιήσουν οι μαθητές τη δοθείσα σχέση. Έτσι, με

σημείοαναφοράςτοΟθακατασκευάζουνταδιανύσματα αΟΑ =uuur r

και βΟΒ =uuur r

,οπότεθαείναι

α β− =ΟΑ−ΟΒ =ΒΑuuur uuur uuurrr

,όπωςφαίνεταικαιστοσχήμα.Οι μαθητές, στη συνέχεια, αναμένεται να ερμηνεύσουν τα μέτρα των διανυσμάτων ως μήκη

ευθυγράμμωντμημάτων,οπότετησχέση2 22

α β α β− = +r rr r

θατηνγράψουνστημορφή:

(ΑΒ)2=(ΟΑ)2+(ΟΒ)2,γιανακαταλήξουνστοσυμπέρασμαότιισχύει,ανκαιμόνοαντοτρίγωνοΟΑΒ

είναιορθογώνιο,δηλαδήανκαιμόνοανταδιανύσματααrκαι β

rείναικάθετα.

Δραστηριότητα3Ένααεροσκάφοςπουπετάπροςανατολάςμεταχύτητα500km/hαπουσίαανέμου,συναντάάνεμο

ταχύτητας 70 km/h, που πνέει σε κατεύθυνση 060 ανατολική-βορειονατολική (οι κατευθύνσειςορίζουνγωνίαηοποίαμετριέταιαπότηνπρώτηκατεύθυνσηδηλ. τηνανατολική,προςτηδεύτερηκατεύθυνση, δηλ τη βορειοανατολική). Το αεροπλάνο διατηρεί τον προσανατολισμό του προςανατολάς, ωστόσο λόγω του ανέμου, η ταχύτητα του ως προς το έδαφος αποκτά νέο μέτρο καικατεύθυνση.Βρείτετηνέακατεύθυνσητουαεροσκάφους.Ενδεικτικήλύση

50

Έστω ur η ταχύτητα τουαεροσκάφουςπριντηνεπίδρασητουανέμουκαι vr ηταχύτητατου ανέμου. Τότε έχουμε: 500u =r και

70v =r . Ζητείται τομέτροκαιηφοράτης

συνισταμένης u v+r r. Υποθέτουμε ότι ο

θετικός ημιάξονας των x δείχνει προς τηνΑνατολή και ο θετικός ημιάξονας των y προς τον Βορρά. Στο σύστημα αυτό τοδιάνυσμα ( )500, 0u =r καιτο

( ) ( )0 070 60 , 70 60 35, 35 3v = =r

συν ηµ .Επομένως, ( )535, 35 3u v+ =r r

καισυνεπώς

( )22535 35 3 538, 4u v+ = + ≈r r

.

Επιπλέον, για τη γωνία θ που σχηματίζει η κατεύθυνση του αεροσκάφους με την ανατολική

κατεύθυνσηισχύει:35 3535

=εϕθ .

Ερμηνεία: Η νέα ταχύτητα τουαεροσκάφουςθα είναι περίπου538,4 km/h, ενώη νέαπορεία του

είναιπερίπου 06,5 ανατολική-βορειοανατολική.Β΄τρόπος

Μπορούμε να υπολογίσουμε το u v+r r

με χρήση του εσωτερικού τετραγώνου και τη γωνία των

διανυσμάτων urκαι u v+

r rμεχρήσητουεσωτερικούγινομένου.

Κεφάλαιο2ο(Προτείνεταιναδιατεθούν14διδακτικέςώρες)

ΕισαγωγήΚατάτηφοίτησητουςστοΓυμνάσιο,οιμαθητέςέχουνέλθειήδησεεπαφήμεέννοιεςτηςΑναλυτικήςΓεωμετρίας. Στην Β΄ Λυκείου σκοπεύουμε σε περαιτέρω εμβάθυνση θεμελιωδών ζητημάτων τηςΑναλυτικήςΓεωμετρίας.Ταθέματαπουσχετίζονταιμετηνευθείαπαρουσιάζονταισυστηματικότερακαιμεμεγαλύτερηπληρότητακαιακρίβεια.Τονίζεταιησημασίατουσυντελεστήδιεύθυνσης(κλίσης)μιαςευθείας,μετηβοήθειατουοποίουδιατυπώνονταιοισυνθήκεςπαραλληλίαςκαικαθετότηταςδύοευθειών.Επιπλέον,προσδιορίζονταιοιδιάφορεςμορφέςτηςεξίσωσηςτηςευθείας,ηγενικήτηςμορφή,καθώςκαιτοσύνολοτωνευθειώνπουδιέρχονταιαπόένασημείο.ΜετηδιδασκαλίααυτήςτηςενότηταςεπιδιώκεταιοιμαθητέςναεξοικειωθούνμετιςμεθόδουςτηςΑναλυτικήςΓεωμετρίας,καθώςκαι νακατανοήσουν τιςδυνατότητεςπουπαρέχειωςμαθηματικόεργαλείοστηδιερεύνησηκαιαπόδειξηπροτάσεωντηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίας,αλλάκαισεπεριοχέςάλλωνεπιστημών.Προτείνεται,ηδιδασκαλίατηςευθείαςναέχειωςστόχο,ναμπορούνοιμαθητέςνααπαντούνστιςπαρακάτωερωτήσεις:

• Μεποιον τρόποσυνδέεταιηκλίση τηςευθείας,ολόγοςμεταβολήςμεταξύδύοσημείωντηςκαιοσυντελεστήςδιεύθυνσηςδιανύσματοςπαράλληλουπροςαυτήν;

• Πώςελέγχουμεανδύοευθείεςείναιπαράλληλεςήκάθετεςμεχρήσητωνσυντελεστώνδιεύθυνσης;• Πώςελέγχουμεανδύοευθείεςείναιπαράλληλεςήκάθετεςόταν μίατουλάχιστονεκ τωνδύοδεν

έχεισυντελεστήδιεύθυνσης.• Πώς βρίσκουμε την εξίσωση ευθείας όταν: α) διέρχεται από γνωστό σημείο και έχει γνωστό

συντελεστή διεύθυνσης ή είναι παράλληλη στον x xʹ , β) δίνονται δύο σημεία της, γ) δίνεται ένασημείοτηςκαιείναιπαράλληλησεγνωστόδιάνυσμα;

• Πώς αποδεικνύουμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία και ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά;Είναισημαντικόνακατανοήσουνοιμαθητέςότι ένασημείοανήκειστηνευθείαανκαιμόνοανοισυντεταγμένεςτουεπαληθεύουντηνεξίσωσήτης.

51

• Ποια είναι η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας και με ποιο τρόπο προσδιορίζουμε ένα διάνυσμακάθετοκαιέναδιάνυσμαπαράλληλομεβάσητηγενικήμορφήτηςεξίσωσης;

• Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο και πώς διερευνάται αλγεβρικά τοσυγκεκριμένοερώτημαμεχρήσητωνοριζουσών;§2.1Προτείνεταιναδιατεθούν4ώρες.Προτείνεται να δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί ναεκφρασθείοσυντελεστήςδιεύθυνσηςευθείαςκαιστοότιδενορίζεταισυντελεστήςδιεύθυνσηςγιατην ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y yʹ . Να τονισθεί επίσης, ότι από το σημείο

( )0 0Μ ,x y διέρχονταιοιευθείεςμεεξισώσεις: ( )0 0λy y x x− = − και 0x x= .

§2.2Προτείνεταιναδιατεθούν6ώρεςΝαδοθεί έμφασηόχι μόνοστη γενικήμορφή εξίσωσης ευθείας, αλλά και στησχέσηπουυπάρχειμεταξύ των συντελεστών της εξίσωσης και των συντεταγμένων του διανύσματος που είναιπαράλληλοήκάθετοπροςτηνευθεία.Στηνπαράγραφοαυτήεισάγεταιηδιαδικασίαεπίλυσηςτουγραμμικού συστήματος 2χ2 με τη μέθοδο των οριζουσών, σε συνδυασμό με τη σχετική θέση δύοευθειών στο επίπεδο. Επειδή δεν περιέχεται το σχετικό θέμα στο σχολικό βιβλίο, προτείνεται ηπαρακάτωδιδακτικήπορεία.Αςείναι

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 2

Α Β Γ 0 µε Α 0 Β 0Α Β Γ 0 µε Α 0 Β 0

x y ήx y ή⋅ + ⋅ + = ≠ ≠⎧

⎨⋅ + ⋅ + = ≠ ≠⎩

οιεξισώσειςδύοευθειών 1 2ε και ε στοεπίπεδοαντίστοιχα.Τιςεξισώσειςαυτέςμπορούμενατιςγράψουμεισοδύναμαωςεξής:

( )1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 2

Α Β Γ µε Α 0 Β 01

Α Β Γ µε Α 0 Β 0

x y ή

x y ή

⋅ + ⋅ = − ≠ ≠⎧⎪⎨⎪ ⋅ + ⋅ = − ≠ ≠⎩

Τότελέμεότιέχουμεέναγραμμικόσύστημαδύοεξισώσεωνμεδύοαγνώστουςήαλλιώςέναγραμμικόσύστημα(2χ2).

Ταδιανύσματα ( )1 1 1η Α ,Β=r

και ( )2 2 2η Α ,Β=r

είναικάθεταστιςευθείες 1 2ε και ε αντίστοιχα.

Επομένως,θαπροσδιορίζουνκαιτησχετικήθέσητωνευθειώναυτών.

Η ορίζουσα των διανυσμάτων 1ηr

και 2ηr

, η ( ) 1 11 2

2 2

Α Βdet η ,η

Α Β=

r r, επειδή σχηματίζεται από

τους συντελεστές των αγνώστων του συστήματος (1), ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και

συμβολίζεταιμεD ,δηλαδή 1 1

2 2

Α ΒΑ Β

D = .

Διακρίνουμετιςπεριπτώσεις:

• Ανταδιανύσματα ( )1 1 1η Α ,Β=r

και ( )2 2 2η Α ,Β=r

δενείναισυγγραμμικά,τότεισοδύναμα

( ) 1 11 2

2 2

Α Βdet η ,η 0 0 0

Α ΒD≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

r r(2)

Επομένως,οιευθείες 1ε και 2ε τέμνονται.Τοσημείοτομήςέχεισυντεταγμένεςτημοναδικήλύσητουσυστήματος(1).

• Αν 0D = , τότε ισοδύναμα τα 1ηr

και 2ηr

είναισυγγραμμικάκαι επομένως,οι ευθείες 1ε και 2ε είναι παράλληλες. Να τονιστεί ότι η έννοια της παραλληλίας νοείται υπό την αναλυτική τηςέκφραση.Δηλαδή,οιευθείεςείτεδενέχουνκανένακοινόσημείο,είτεταυτίζονταικαιέχουνάπειρακοινά σημεία. Επομένως, όταν 0D = , τότε το σύστημα (1) είτε είναι αδύνατο, είτε έχει άπειρεςλύσειςαντίστοιχα.

52

ΕναλλακτικήπροσέγγισηΑντί των καθέτων διανυσμάτων, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τα διανύσματα

( )1 1 1δ Β , Α= −r

και ( )2 2 2δ Β , Α= −r

που είναι παράλληλα στις ευθείες 1ε και 2ε αντίστοιχα.

Τότε τα διανύσματα θα προσδιορίζουν και τη σχετική θέση των ευθειών αυτών. Διακρίνουμε τιςπεριπτώσεις:

Ανταδιανύσματα ( )1 1 1δ Β , Α= −r

και ( )2 2 2δ Β , Α= −r

δενείναισυγγραμμικά,τότε

( ) 1 11 2 1 2 1 2

2 2

Β Αdet δ ,δ 0 0 Β Α Α Β 0

Β Α−

≠ ⇔ ≠ ⇔ − + ≠−

r r

Ητελευταίασχέσηγράφεταικαι 1 1

2 2

Α Β0

Α ΒD = ≠ (2).Ησυγκεκριμένηορίζουσαπουαποτελείται

από τουςσυντελεστές τωναγνώστων τουσυστήματος, λέγεταιορίζουσα τουσυστήματος.Ησχέση(2)σημαίνειισοδύναμαότιοιευθείες 1 2ε και ε τέμνονταικαιτοσημείοτομήςέχεισυντεταγμένεςτημοναδικήλύσητουσυστήματος(1).Ότανταδιανύσματαείναιπαράλληλα,τότε

( ) 1 11 2 1 2 1 2

2 2

β αdet δ ,δ 0 0 β α α β 0 0

β αD

−= ⇔ = ⇔− + = ⇔ =

−

r r

Αφούταδιανύσματα ( )1 1 1δ β , α= −r

και ( )2 2 2δ β , α= −r

είναιπαράλληλα,τότεκαιοιαντίστοιχες

ευθείες 1ε και 2ε είναι παράλληλες. Να τονιστεί ότι η έννοια της παραλληλίας νοείται υπό τηναναλυτικήτηςέκφραση.Δηλαδή,οιευθείεςείτεδενέχουνκανένακοινόσημείο,είτεταυτίζονταικαιέχουνάπειρακοινάσημεία.Επομένως,όταν 0D = ,τότετοσύστημαείτεείναιαδύνατο,είτεέχειάπειρεςλύσεις.ΣχόλιοΠροαιρετικά ο διδάσκων θα μπορούσε, με τη βοήθεια των οριζουσών, να προχωρήσει στηδιερεύνηση των συνθηκών κάτω από τις οποίες οι παράλληλες ευθείες δεν έχουν κανένα κοινόσημείοήσυμπίπτουν.Για παράδειγμα: Οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνουν έναν τουλάχιστον από τους άξονες. Έστω ότι

τέμνουντον y yʹ .Τότε,η 1ε τοντέμνειστοσημείομετεταγμένη 1

1

ΓΒ

− καιη 2ε στοσημείομε

τεταγμένη 2

2

ΓΒ

− .Στηνπερίπτωσηαυτή,οιευθείες 1ε και 2ε :

ü Συμπίπτουνανκαιμόνοναν

1 11 21 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

Γ ΒΓ Γ ΓΒ Β Γ ΓΒ Β Γ 0 0 0Γ ΒΒ Β xD= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

όπου 1 1

2 2

Γ ΒΓ ΒxD = .Ηορίζουσα xD προκύπτειαπότηνορίζουσαD,ανηστήλητωνσυντελεστών

του x αντικατασταθεί από τους σταθερούς όρους του συστήματος (1). Με παρόμοιο τρόπο

προκύπτεικαιηορίζουσα 1 1

2 2

Α ΓΑ ΓyD = ,γιατηνοποίαεύκολαδιαπιστώνουμεότι 0yD = . Να

σημειωθείότισεόλεςτιςπεριπτώσειςυπάρχεισυντελεστήςαγνώστουδιαφορετικόςαπότομηδέν.ü Δενέχουνκανένακοινόσημείοανκαμόνοναν

53

1 11 21 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

Γ ΒΓ Γ ΓΒ Β Γ ΓΒ Β Γ 0 0 0Γ ΒΒ Β xD≠ ⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

ΣυμπερασματικάΟΡΙΖΟΥΣΑ ΣΧΕΤΙΚΗΘΕΣΗΔΥΟΕΥΘΕΙΩΝ ΛΥΣΕΙΣΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

0D ≠

Οιευθείεςτέμνονται(μοναδικόκοινόσημείο)

Μοναδικήλύση

και yx DDx yD D

= =

0D =

Οιευθείεςδενέχουνκανένακοινόσημείο

ήΟιευθείεςσυμπίπτουν(άπειρακοινά

σημεία)

Αδύνατοή

Άπειρεςλύσεις

• Νατονιστείμεαπλάαριθμητικάπαραδείγματαότιστηνπερίπτωσηόπουοισυντελεστές

1 2 2 1Α ,Β ,Α ,Β δενείναιμηδένησυνθήκη 1 2 2 1D Α Β Α Β 0= − = δηλώνειότιοισυντελεστές

είναιανάλογοικαιοιευθείεςέχουνίσουςσυντελεστέςδιεύθυνσης,ενώοιορίζουσες x yD , D

καθορίζουνανηαναλογίαισχύεικαιγιατουςσυντελεστές 1 2Γ ,Γ ,οπότεοιευθείεςταυτίζονται,ήδενισχύειοπότεοιευθείεςείναιπαράλληλες.

• ΠροτείνεταιναδιδαχθούνασκήσειςπαραμετρικώνσυστημάτωναπότοβιβλίοτηςΆλγεβραςΒΛυκείουυπότοπρίσματηςσχετικήςθέσηςδύοευθειών.

• Ηδιδακτικήπορείαπουθαεπιλεγείδενθαείναιστηνεξεταστέαύλη.Οιμαθητέςόμωςπρέπειναγνωρίζουνκαιναχρησιμοποιούνσεασκήσειςτασυμπεράσματατουπαραπάνωπίνακα.§2.3Προτείνεταιναδιατεθούν4ώρεςΠρινδοθούνοιτύποιτηςαπόστασηςσημείουαπόευθείακαιτουεμβαδούτριγώνου,οιμαθητέςναεπεξεργαστούνδραστηριότητες,όπωςοιπαρακάτωδύο:

1η:Δίνονταιηευθείακαιτοσημείο ( )5, 2A .Ναβρεθούν:

i) Ηεξίσωσητηςευθείας ζ πουδιέρχεταιαπότο A καιείναικάθετηστην ε .ii) Οισυντεταγμένεςτουσημείουτομήςτης ζ μετην ε .iii) Ηαπόστασητου A απότην ε .

Στη συνέχεια, να δηλωθεί στους μαθητές ότι με ανάλογο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ο τύποςαπόστασηςενόςσημείουαπόμίαευθεία,οοποίοςκαιναδοθεί.

2η:Δίνονταιτασημεία ( )5, 2A , ( )2, 3B και ( )Γ 3, 4 .Ναβρεθούν:

i) Ηεξίσωσητηςευθείας ΒΓ .ii) ΤούψοςΑΔτουτριγώνου ΑΒΓ καιiii) Τοεμβαδόντουτριγώνου ΑΒΓ .

Στησυνέχεια,ναδηλωθείστουςμαθητέςότιμεανάλογοτρόπομπορείνααποδειχθείο τύποςτουεμβαδούτριγώνουτουοποίουείναιγνωστέςοισυντεταγμένεςτωνκορυφών.

Β)Ναμηγίνουν:Ø Ηάσκηση7τηςΒ΄Ομάδας.Ø ΑπότιςΓενικέςΑσκήσειςοι3,4,5,6και7.

ΠροτεινόμενεςΔραστηριότητεςσεόλοτοκεφάλαιοΑςδούμετώραμερικέςδραστηριότητεςπουμπορούμεναυλοποιήσουμεστηντάξημετουςμαθητέςμας

Δραστηριότητα1Νασυμπληρώσετετακενάστονπαρακάτωπίνακα

54

Κλίσηευθείας

Συντελεστήςδιεύθυνσηςδιανύσματος

2 1

2 1

y yx x−

−

Γωνίαευθείαςμετονάξοναx xʹ

030ω = 060ω = 0150ω =

Διάνυσμαπαράλληλοπροςτηνευθεία

( )3, 3δ =r

( )1, 3δ = − −r

( )3, 3δ = −r

Σημείατηςευθείας

( )0, 1 και ( )3, 2

( )1, 3 1− και

( )3, 2

( )0, 2 και ( )3, 3−

Οιμαθητέςκαλούνταινασυμπληρώσουντακενάκαινασυνδέσουνέτσι τηνκλίσητηςευθείας, το

συντελεστήδιεύθυνσηςτουπαράλληλουδιανύσματοςκαιτοπηλίκοδιαφορών 2 1

2 1

y yx x−

−.Αναμένεται

ναπαρατηρήσουνότιοιτιμέςτωντριώνμεγεθώνταυτίζονταικαικατάσυνέπειαεκφράζουντηνίδιαμαθηματικήέννοια.

Δραστηριότητα2Θεωρούμετιςευθείεςμεεξισώσεις:

( ) ( ) ( )

( )

1

2

1 3 1 3 8

3 1

ε

ε

− + + =

+ =

x y

x y

α) Να προσδιορίσετε δύο διανύσματα 1ru και 2

ru που να είναι κάθετα στις ευθείες 1ε και 2ε αντίστοιχακαιναβρείτεταμέτρατους.

β)Ναβρείτετηνοξείαγωνίαπουσχηματίζουνοιευθείεςμεταξύτους.γ)Ναβρείτετοσημείοτομήςτωνευθειών.

Δραστηριότητα 3 (Επίλυση γεωμετρικού προβλήματος μεάλγεβρα)Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιες ενός παραλληλογράμμουδιχοτομούνται.ΕνδεικτικήλύσηΤοζητούμενοαποτελείμίααπότιςβασικέςιδιότητεςτωνπαραλληλογράμμων.Αυτόπουθέλουμεόμωςτώρα,είναινατηναποδείξουμεμεχρήσητηςάλγεβρας.Επιλέγουμελοιπόν ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Ηκαταλληλότηταέχεινακάνειμετηχρήσηόσοτοδυνατόνλιγότερων αγνώστων. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμεναέχουμετοδιπλανόσχήμαμετουςάξονες.Θεωρώνταςτο σημείο ( )0,0Α ως αρχή των αξόνων, το σημείο

( ),0βΒ και τοσημείο ( ),α δΔ . Τότε ( ),ΑΓ = +uuur

α β δ ,οπότετοσημείο Γ έχειτις ίδιεςσυντεταγμένες.Άμεσαπροκύπτειότιοισυντεταγμένεςτουμέσου

τουτμήματοςΑΓείναι ,2 2

α β δ+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

όπωςακριβώςσυμβαίνεικαιμετιςσυντεταγμένεςτουμέσουτου

55

ΒΔ.Επομένως,οιδιαγώνιοιτουπαραλληλογράμμουδιχοτομούνται.Δραστηριότητα4Με τη χρήση του λογισμικού GeoGebra να επιλέξετε τρεις δρομείς Α, Β, Γ και να παραστήσετε

γραφικά τα διανύσματα ( )Α Β=rn , και ( )Β Α= −

rδ , , καθώς και την ευθεία ε με εξίσωση

Α Β Γx y+ = .Ναυπολογίσετεεπιπλέοντομέτροτηςγωνίαςτωνδιανυσμάτωνrn και

rδ ,καθώςκαι

το μέτρο της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμαrn με την ευθεία ε και, στη συνέχεια, να

απαντήσετεσταπαρακάτωερωτήματα:

i) Ποιαείναιησχέση τωνδιανυσμάτωνrn και

rδ , τόσομεταξύ τους,όσοκαιμε τηνευθείαε, όταν

μεταβάλλουμετοΑήτοΒ;ii) Πώς κινείται η ευθεία ε, όταν μεταβάλλουμε μόνο το Α ή μόνο το Β ή μόνο το Γ; Για να

απαντήσετε στο ερώτημα αυτό ενεργοποιείστε το ίχνος της ευθείας ε και μεταβάλλετε διαδοχικάτουςδρομείςΑ,Β,Γ,αφούπροηγουμένωςδιατηρήσετεστηνεπιφάνειαεργασίαςμόνοτηνευθείακαιτουςδρομείςκαιαποκρύψετεόλαταυπόλοιπα(βλέπεπαρακάτωσχήμα).

iii) Αποδείξτετονπροηγούμενοισχυρισμόσας.

Δραστηριότητα5

Δίνεταιηπαρακάτωοικογένειαγραμμικώνεξισώσεων:

( )2 2: 3− ⋅ − ⋅ = − ∈Rλε λ λ x λ y λ λ, λ .

ΜετολογισμικόGEOGEBRAεπιλέξτεέναδρομέαλπουναπαίρνειτιμέςαπό-20έως20μεαύξηση

0,2καιπαραστήστεγραφικάτην λε

i) Μετακινήστετοδρομέαγιαναμεταβάλλετετιςτιμέςτουλκαιαπαντήστεστοερώτημα:«Τι

παριστάνειη λε γιατιςδιάφορεςτιμέςτου 0λ ≠ καιτίγια 0λ = ;»Αποδείξτετονισχυρισμόσας.

ii) Πάρτεδύοτιμέςτου λ ,γιαπαράδειγμα λ 1, λ 2= = ,παραστήστεγραφικάτις 1ε και 2ε ,βρείτετιςσυντεταγμένεςτουσημείουτομήςτουςΑκαιεπιβεβαιώστεαλγεβρικάτηναπάντησήσας.

56

iii) Ενεργοποιήστετοίχνοςτης λε ,μετακινήστετοδρομέαγιαναμεταβάλλετετιςτιμέςτου λ καιελέγξτεανοι λε , λ∈R διέρχονταιόλεςαπότοσημείοΑ.Επαληθεύσατετηνεικασίασαςαλγεβρικά.

Κεφάλαιο3ο(Προτείνεταιναδιατεθούν20διδακτικέςώρες)

(Ενδεικτικήκατανομήωρών:§3.1-10ώρες,§3.2-4ώρες,§3.3-2ώρες,§3.4-2ώρες,§3.5-2ώρες)ΕισαγωγήΗ μελέτη των κωνικών τομών αποτελεί μια φυσιολογική διδακτική εξέλιξη μετά τη μελέτη τηςευθείας,πουεκφράζεταιμεεξίσωσηπρώτουβαθμού,αφούηαναλυτικήτουςέκφρασηαντιστοιχείσε εξισώσεις 2ου βαθμού. Κατά τη διδασκαλία του κεφαλαίου προτείνεται, να δοθεί έμφαση σταπαρακάτωσημεία:

• Κάθε κωνική τομή είναι γεωμετρικός τόπος σημείων του επιπέδου τα οποία ικανοποιούνσυγκεκριμένηκάθεφοράιδιότητα.

• Οτιμήτηςεκκεντρότηταςκαθορίζειτημορφήτηςκωνικήςτομής.• Οιιδιότητεςτωνκωνικώντομώνέχουνπολλέςπρακτικέςεφαρμογές.

Στόχοςείναιναμπορούνοιμαθητέςνααπαντούνστιςπαρακάτωερωτήσεις:

• Γιατίονομάσθηκανκωνικέςτομέςοκύκλος,ηπαραβολή,ηέλλειψηκαιηυπερβολή;• Πώςορίζεταιοκύκλος,ηπαραβολή,ηέλλειψηκαιηυπερβολή;• Ποιεςείναιοιεξισώσειςτωνκωνικώντομών;• Πώςορίζεταιηεφαπτομένησεένασημείομιαςκωνικήςτομήςκαιποιαείναιηεξίσωσήτης;(μόνο

γιατονκύκλοκαιτηνπαραβολή).• Πώςορίζονταιοιασύμπτωτεςτηςυπερβολής;

§3.1Προτείνεταιναδιατεθούν10ώρεςΝα γίνει υπενθύμιση των βασικών ιδιοτήτων του κύκλου που έχουν γνωρίσει οι μαθητές κατά τηδιδασκαλίατηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίας.Προτείνεταιγιατηνεύρεσητηςεξίσωσηςτουκύκλουναμηνδοθεί έμφαση μόνο στην εφαρμογή του τύπου, αλλά και στην εύρεσή της με τη μέθοδο τηςσυμπλήρωσηςτετραγώνου.§3.2Προτείνεταιναδιατεθούν4ώρεςΠριν δοθεί ο τύπος της εξίσωσης της παραβολής, να λυθεί ένα πρόβλημα εύρεσης εξίσωσηςπαραβολήςτηςοποίαςδίνεταιηεστίακαιηδιευθετούσα.Γιαπαράδειγματηςπαραβολήςμεεστίατοσημείο (1,0)E καιδιευθετούσατηνευθεία : 1δ x = − .

Μετοντρόποαυτόοιμαθητέςέρχονταισεεπαφήμετηβασικήιδέατηςαπόδειξης.§3.3Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρεςΑ) Πριν δοθεί ο τύπος της εξίσωσης της έλλειψης, να λυθεί ένα πρόβλημα εύρεσης εξίσωσηςέλλειψηςτηςοποίαςδίνονταιοιεστίεςκαιτοσταθερόάθροισμα 2α .Γιαπαράδειγματηςέλλειψηςμεεστίεςτασημεία ( ) ( )Ε 4,0 , Ε 4,0΄ − και 2 10α = .Δενθαγίνουνοιασκήσεις5,6και7τηςΑ΄

ομάδαςπουαναφέρονταιστηνεφαπτομένητηςέλλειψης.Β)Ναμηδοθείέμφασησεασκήσειςπουαναλώνονταισεπολλέςπράξεις§3.4Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρεςΑπό την παράγραφο αυτή να γίνουν απλές ασκήσεις με αριθμητικά δεδομένα και μόνο. Δεν θαγίνουνοιασκήσεις4,5και7τηςΑομάδαςπουαναφέρονταιστηνεφαπτομένητηςυπερβολής.§3.5Προτείνεταιναδιατεθούν2ώρεςΑπότηνπαράγραφοαυτήθαδιδαχθείμόνοηυποπαράγραφος«Σχετικήθέσηευθείαςκαικωνικής»και για κωνικές της μορφής των παραγράφων 3.1 και 3.2. Έτσι, οι μαθητές θα γνωρίσουν τηναλγεβρικήερμηνείατουγεωμετρικούορισμούτηςεφαπτομένηςτωνκωνικώντομώνκαιγενικότερατηςσχετικήςθέσηςευθείαςκαικωνικήςτομής.Προτείνεταιηεπίλυσηαπλώνασκήσεων,όπωςείναιη

57

άσκηση4τηςΑ΄ομάδας.

Δραστηριότηταα.Νααντιστοιχίσετεκάθεστοιχείοτηςπρώτηςστήληςτουπίνακαπουακολουθείμετοαντίστοιχότουστηδεύτερηστήλη:

β.Όμοιαγιατονπίνακα:

Εκκεντρότητα Κωνικήτομή

22

Κύκλος

0 Ισοσκελήςυπερβολή

45

Υπερβολή

54

Έλλειψη

2

Ενδεικτικέςψηφιακέςδραστηριότητες

Ενδεικτικήδραστηριότητα1:Τομές κώνου με επίπεδο. Μικροπείραμα, αναρτημένο στο«Φωτόδεντρο», για τη διερεύνηση των τομών ενός κώνου έναεπίπεδο. Ο χρήστης μπορεί να διερευνήσει το είδος της καμπύληςπουπροκύπτει(έλλειψη,παραβολή,υπερβολή,κύκλος),σεσχέσημετηθέσηκαι την κλίση τουεπιπέδου τομής, καθώςκαι τη γωνία τηςκορυφήςτουκώνου.http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/5654?locale=el

Ενδεικτικήδραστηριότητα2:Η έννοια της έλλειψης προτείνεται να γίνει με πιο διερευνητικότρόπο με τη δραστηριότητα «Κατασκευή έλλειψης» από το Φωτόδεντρο. Με τη βοήθεια τωνοδηγιών και του λογισμικού, οι μαθητές κατασκευάζουν το γεωμετρικό τόπο ενός σημείουπου τοάθροισματωναποστάσεώντουαπόδύοσταθεράσημεία,είναισταθερό.Μπορούνναμεταβάλλουνδυναμικά τη θέση των σταθερών σημείων, το σταθερό άθροισμα των αποστάσεων του τρίτουσημείουαπόαυτάκαιναπαρατηρούνκάθεφοράτημεταβολήστογεωμετρικότόπο.


Σημείωση:Μπορείτενακατεβάσετετιςψηφιακέςδραστηριότητεςκαινατιςανοίξετετοπικάμετοαντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο μεκατάληξη .ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνσηhttps://www.geogebra.org/download ή διαφορετικά ψάξτε για το αντίστοιχο λογισμικό στηδιεύθυνσηhttp://photodentro.edu.gr/edusoft/.Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online),

Εξίσωση Κωνικήτομή2 29 0x y− = Έλλειψη

2 2 4 2 6 0x y x y+ − + − = Υπερβολή2 2 2 1 0y x y− − + = Παραβολή

2 24 8 2 4 0x y x y+ − + + = Ζεύγοςευθειών2 2 2 4 4 0x y x y− + − − = Κύκλος

58

προτιμήστετονφυλλομετρητήMozillaFirefox.l Ανηεφαρμογήείναισε flashθαπρέπειναεγκαταστήσετε τοπρόσθετοAdobe flashplayerαπότη

διεύθυνσηhttps://get.adobe.com/flashplayer/.

Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνσηhttp://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση, τότε προσθέστε τιςδιευθύνσειςhttp://photodentro.edu.grκαιhttp://digitalschool.minedu.gov.gr στοexceptionsite listστηνκαρτέλαsecurityτηςJava(ανοίξτετοControlPanel,τηJava,στηνκαρτέλαsecurityπατήστεEditsitelistκαιπροσθέστετιςδύοδιευθύνσεις,κλείστετοbrowserκαιξανανοίξτετον). Οιδιδάσκοντες/ουσεςναενημερωθούνενυπόγραφα.

Εσωτ.Διανομή• ΓραφείοΥπουργού• ΓραφείοΓενικούΓραμματέα• Δ/νσηΣπουδών,Προγρ/των&ΟργάνωσηςΔ.Ε.,Τμ.Α΄• Αυτ.Δ/νσηΠαιδείας,Ομογ.,Διαπολ.Εκπ/σης,ΞένωνκαιΜειον.Σχολείων• ΔιεύθυνσηΘρησκευτικήςΕκπ/σης• Δ/νσηΕιδικήςΑγωγήςκαιΕκπ/σης• Δ/νσηΙδιωτικήςΕκπ/σης• ΑυτοτελέςΤμήμαΠρότυπωνκαιΠειραματικώνΣχολείων

ΟΥΠΟΥΡΓΟΣΠΑΙΔΕΙΑΣ,ΕΡΕΥΝΑΣΚΑΙΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣΓΑΒΡΟΓΛΟΥ

[1]

Θέμα: «Οδηγίες για τις γραπτές πραγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα

Μαθηματικά όλων των τάξεων των Γενικών Λυκείων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου του

σχολικού έτους 2018-2019»

Αγαπητοί συνάδελφοι,

Κρίνω σκόπιμο, ενόψει των εξετάσεων Μαΐου-Ιουνίου του τρέχοντος σχολικού έτους 2018-

2019, να σας υπενθυμίσω ορισμένα βασικά σημεία για τις εξετάσεις γενικότερα αλλά και ως

προς την εξέταση του μαθήματος των Μαθηματικών στα Γενικά Λύκεια ειδικότερα.

Α. Ως προς τις εξετάσεις γενικότερα

Α1. Οι προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηματικά σε όλες τις τάξεις του

Γενικού Λυκείου διεξάγονται σύμφωνα με τον Νόμο 4610/2019 (ΦΕΚ 70/07-05-2019) και

τα σχετικά άρθρα 105, 106, 107, 108 και 112 , την Υ.Α. 71388/Δ2 (ΦΕΚ 1674/14-05-2019)

καθώς και τις τελευταίες οδηγίες διδασκαλίας και διαχείρισης της ύλης όπως δόθηκαν από το

Ι.Ε.Π. για το τρέχον σχολικό έτος 2018-2019, με εισήγηση του Ι.Ε.Π.

Α2. Τα γραπτώς εξεταζόμενα μαθήματα (ΟΜΑΔΑ Α) στις προαγωγικές και απολυτήριες

εξετάσεις στα Μαθηματικά ανά τάξη είναι:

Α΄ Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Α΄τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου

Άλγεβρα

Γεωμετρία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ &

ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π. Ε. & Δ.Ε.

Ν. ΑΙΓΑΙΟΥ

2ο ΠΕ.Κ.Ε.Σ. ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ

Γ.ΜΑΥΡΟΥ 2, Τ.Κ. 85100 ΡΟΔΟΣ

Τηλ. 2241364848

ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΠΕ03

________________________________________

Ρόδος, 15 /05/2019

Αρ. Πρωτ.: 318

Προς :

1. Τους εκπαιδευτικούς κλάδου

ΠΕ03 Μαθηματικών των Γενικών

Λυκείων του Νομού

Δωδεκανήσου (μέσω του 2ου

ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου και της

ΔΔΕ Ν. Δωδεκανήσου) .

Κοιν.:

1. ΠΔΕ Ν. Αιγαίου.

2. Οργανωτικό Συντονιστή 2ου

ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου.

2. ΔΔΕ Ν. Δωδεκανήσου

3. ΔΔΕ Ν. Κυκλάδων

.

[2]

Β΄ Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Β΄τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου

Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας

Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών).

Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού.

Γ΄ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας

Προσανατολισμού, Ανθρωπιστικών Σπουδών).

Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού.

Γ΄ Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Δ΄τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής.

Α3. Το μάθημα των Μαθηματικών χωρίζεται στους εξής κλάδους: α) Άλγεβρα β) Γεωμετρία

Κάθε κλάδος βαθμολογείται χωριστά. Ο τελικός βαθμός του μαθήματος είναι ο μέσος όρος

των τελικών βαθμών των κλάδων του με προσέγγιση δεκάτου.

Α4. Τα θέματα των προαγωγικών, απολυτηρίων και κατατακτηρίων εξετάσεων λαμβάνονται

από την ύλη που ορίζεται ως εξεταστέα για κάθε μάθημα κατά το έτος που γίνονται οι

εξετάσεις. Οι ερωτήσεις είναι ανάλογες με εκείνες που υπάρχουν στα σχολικά εγχειρίδια και

στις οδηγίες του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής, διατρέχουν όσο το δυνατόν

μεγαλύτερη έκταση της εξεταστέας ύλης, ελέγχουν ευρύ φάσμα διδακτικών στόχων και είναι

κλιμακούμενου βαθμού δυσκολίας. Οι μαθητές απαντούν υποχρεωτικά σε όλα τα θέματα.

Α5. Σε περίπτωση κατά την οποία ένα θέμα αναλύεται σε υποερωτήματα, η βαθμολογία που

προβλέπεται για αυτό κατανέμεται ισότιμα στις επιμέρους ερωτήσεις, εκτός αν κατά την

ανακοίνωση των θεμάτων καθορίζεται διαφορετικός βαθμός για κάθε μια από αυτές.

Α6. Η διάρκεια των γραπτών προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων στα Μαθηματικά

είναι δίωρη.

Α7. Οι γραπτές και προφορικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις διενεργούνται με την

ευθύνη του Διευθυντή και των διδασκόντων/σουσών σε κάθε Γενικό Λύκειο.

Α8. Τα θέματα των γραπτών και προφορικών εξετάσεων ορίζονται από τους διδάσκοντες το

αντίστοιχο μάθημα κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους και είναι κοινά για όλους τους

εξεταζόμενους/νες της τάξης.

Κατ’ εξαίρεση είναι δυνατόν να δοθούν χωριστά θέματα, αν συντρέχει αποχρών λόγος, ο

οποίος αναγράφεται σε σημείωση στο έγγραφο που περιέχει τα θέματα και παράλληλα

συντάσσεται και σχετική πράξη στο βιβλίο πράξεων του Διευθυντή του σχολείου.

Α9. Αν δεν δύναται να οριστούν θέματα από τον διδάσκοντα το αντίστοιχο μάθημα κατά τη

διάρκεια του σχολικού έτους, λόγω σοβαρών προβλημάτων υγείας ή σοβαρού κωλύματος

[3]

που συνιστά ανωτέρα βία, τα θέματα ορίζονται από άλλον εκπαιδευτικό της ίδιας ειδικότητας

ή, αν δεν υπάρχει, από εκπαιδευτικό που έχει σε ανάθεση το αντίστοιχο μάθημα, ο οποίος

ορίζεται από τον Διευθυντή του σχολείου. Αν δεν υπηρετεί στη σχολική μονάδα

εκπαιδευτικός, ο οποίος έχει σε ανάθεση το αντίστοιχο μάθημα, τότε ορίζεται για το σκοπό

αυτό από τον αρμόδιο Διευθυντή Δ.Ε. άλλος εκπαιδευτικός.

Α10. Τα θέματα των γραπτών και προφορικών προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

διανέμονται φωτοτυπημένα στους μαθητές. Οι απαντήσεις των θεμάτων γράφονται από τους

μαθητές/τριες σε φύλλο χαρτιού (κόλλα αναφοράς) που φέρει τη σφραγίδα του Σχολείου, την

υπογραφή του Διευθυντή και ειδική εκτύπωση για την αναγραφή των προκαταρκτικών

στοιχείων και της βαθμολογίας του γραπτού δοκιμίου.

Α11. Οι μαθητές των Α΄, Β΄ και Γ΄ τάξεων του Γενικού Λυκείου, που παραπέμπονται

εξετάζονται το δεύτερο δεκαπενθήμερο του Ιουνίου του ίδιου έτους σε ειδική εξεταστική

περίοδο, σε όσους κλάδους μαθημάτων έχουν υστερήσει, σύμφωνα με την κείμενη

νομοθεσία. Οι εξετάσεις είναι γραπτές και διεξάγονται σύμφωνα με τη διαδικασία των

προαγωγικών εξετάσεων.

Β. Ως προς την εξεταστέα ύλη

Η εξεταστέα ύλη στις προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις όλων των τάξεων του Γενικού

Λυκείου στα Μαθηματικά:

Β1. Δεν μπορεί να είναι λιγότερη από το μισό (1/2) και περισσότερη από τα δύο τρίτα (2/3)

της διδακτέας. Η επιλογή και ο ακριβής προσδιορισμός της εξεταστέας ύλης γίνεται από τον

διδάσκοντα ή τους διδάσκοντες σε περίπτωση που το μάθημα διδάσκεται από περισσότερους

του ενός καθηγητές.

Β2. Εγκρίνεται από τον Διευθυντή και γνωστοποιείται στους μαθητές πέντε (5) εργάσιμες

ημέρες πριν από τη λήξη των μαθημάτων, καταγράφεται στο βιβλίο της διδασκόμενης ύλης

και υπογράφεται από τον διδάσκοντα καθηγητή.

Γ. Ως προς την επιλογή, δομή και διάρθρωση θεμάτων

Γ1. Α΄ και Β΄ τάξεις Ημερησίου Γενικού Λυκείου και Α΄, Β΄ και Γ΄ τάξεις Εσπερινού

Γενικού Λυκείου

Γ1.1. Η εξέταση στην Άλγεβρα και τη Γεωμετρία στις Α΄ και Β΄ τάξεις Ημερησίου Γενικού

Λυκείου και Α΄, Β΄ και Γ΄ τάξεις Εσπερινού Γενικού Λυκείου και στα Μαθηματικά της Ομάδας

Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών της Β΄ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου και της Β΄ και

Γ΄ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γίνεται ως εξής: Ι. Στους μαθητές δίνονται τέσσερα (4)

θέματα από την εξεταστέα ύλη, με τα οποία ελέγχεται η γνώση εννοιών και ορολογίας, η

δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστικών στοιχείων, η ικανότητα εκτέλεσης γνωστών αλγορίθμων,

[4]

η ικανότητα του μαθητή να αναλύει, να συνθέτει και να επεξεργάζεται δημιουργικά ένα

δεδομένο υλικό, καθώς και η ικανότητα επιλογής και εφαρμογής κατάλληλης μεθόδου.

Γ1.2. Τα τέσσερα θέματα που δίνονται στους μαθητές/τριες διαρθρώνονται ως εξής:

Το πρώτο θέμα αποτελείται από δύο μέρη.

Το πρώτο μέρος περιέχει πέντε (05) ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (πολλαπλής

επιλογής, Σωστού - Λάθους, αντιστοίχισης) με τις οποίες ελέγχεται η γνώση και η

κατανόηση των βασικών εννοιών και των σπουδαιότερων συμπερασμάτων της

θεωρίας σε όσο το δυνατόν ευρύτερη έκταση της εξεταστέας ύλης. Στο δεύτερο

μέρος ζητείται η απόδειξη μίας απλής πρότασης (ιδιότητας, λήμματος, θεωρήματος ή

πορίσματος), που είναι αποδεδειγμένη στο σχολικό εγχειρίδιο.

Το δεύτερο θέμα αποτελείται από μία άσκηση που είναι εφαρμογή ορισμών,

αλγορίθμων ή προτάσεων (ιδιοτήτων, θεωρημάτων, πορισμάτων).

Το τρίτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση που απαιτεί από τον μαθητή ικανότητα

συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών και αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών.

Το τέταρτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση ή ένα πρόβλημα που η λύση του

απαιτεί από τον μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης γνώσεων, αλλά και

την ανάληψη πρωτοβουλιών για την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσής του. Το

δεύτερο, τρίτο και τέταρτο θέμα μπορούν να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα

που διευκολύνουν τον μαθητή στη λύση.

Η βαθμολογία κατανέμεται ανά εικοσιπέντε (25) μονάδες στο καθένα από τα τέσσερα (4)

θέματα. Ειδικότερα, στο πρώτο θέμα το πρώτο μέρος βαθμολογείται με δέκα (10) μονάδες,

ενώ το δεύτερο μέρος βαθμολογείται με δεκαπέντε (15) μονάδες. Στο δεύτερο, τρίτο και

τέταρτο θέμα η κατανομή της βαθμολογίας στα επιμέρους ερωτήματα μπορεί να

διαφοροποιείται ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας τους και καθορίζεται στη διατύπωση των

θεμάτων.

Γ2. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και της Ομάδας

Προσανατολισμού Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής στη Γ΄ τάξη Ημερησίου

Γενικού Λυκείου και στη Δ΄ τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου

Γ2.1. Για την εξέταση στα Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και

της Ομάδας Προσανατολισμού Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής στη Γ΄ τάξη

Ημερησίου Γενικού Λυκείου και στη Δ΄ τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου, καθώς και για την

εξέταση στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής, ως μάθημα Γενικής Παιδείας στις

ανωτέρω τάξεις ισχύουν τα εξής: Στους μαθητές δίνονται τέσσερα (4) θέματα από την

[5]

εξεταστέα ύλη, τα οποία μπορούν να αναλύονται σε υποερωτήματα, με τα οποία ελέγχεται η

δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστικών στοιχείων, η γνώση εννοιών και ορολογίας και η

ικανότητα εκτέλεσης γνωστών αλγορίθμων, η ικανότητα του μαθητή να αναλύει, να συνθέτει

και να επεξεργάζεται δημιουργικά ένα δεδομένο υλικό, καθώς και η ικανότητα επιλογής και

εφαρμογής κατάλληλης μεθόδου.

Γ2.2. Τα τέσσερα θέματα που δίνονται στους μαθητές/τριες διαρθρώνονται ως εξής

Το πρώτο θέμα αποτελείται από ερωτήματα θεωρίας που αφορούν έννοιες, ορισμούς,

λήμματα, προτάσεις, θεωρήματα και πορίσματα. Με το θέμα αυτό ελέγχεται η

κατανόηση των βασικών εννοιών, των σπουδαιότερων συμπερασμάτων, καθώς και η

σημασία τους στην οργάνωση μιας λογικής δομής.

Το δεύτερο και το τρίτο θέμα αποτελείται το καθένα από μία άσκηση που απαιτεί

από το μαθητή ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή

υπολογιστικών διαδικασιών. Η κάθε άσκηση μπορεί να αναλύεται σε επιμέρους

ερωτήματα.

Το τέταρτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση ή ένα πρόβλημα που η λύση του

απαιτεί από το μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης προηγούμενων

γνώσεων, αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών στη διαδικασία επίλυσής του. Το

θέμα αυτό μπορεί να αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα, τα οποία βοηθούν το

μαθητή στη λύση.

Η βαθμολογία κατανέμεται ανά είκοσι πέντε (25) μονάδες στο καθένα από τα τέσσερα

θέματα.

Δ. Προτάσεις

Τα θέματα προτείνεται να γράφονται σε Η/Υ και τα σχήματα, όπου δίνονται, να

γίνονται με τη βοήθεια μαθηματικού λογισμικού. Οφείλουν δε να είναι ευκρινή,

ευμεγέθη, σαφή και σε αντιστοιχία με την συγκεκριμένη άσκηση.

Τα θέματα να είναι αποτέλεσμα καλής συνεργασίας των διδασκόντων, να είναι

δημιούργημα των ιδίων, σύμφωνα με την σχετική ύλη του σχολικού βιβλίου, και να

μην είναι αντιγραφή από εξωσχολικά βιβλία-βοηθήματα, ούτε από σελίδες στο

διαδίκτυο.

Να λύνονται από όλους τους διδάσκοντες ξεχωριστά, πριν δοθούν στους μαθητές,

ώστε να προληφθεί τυχόν ασάφεια ή λανθασμένη διατύπωση σε κάποιο θέμα.

Να είναι λογικά, διαβαθμισμένης δυσκολίας και μέσα στο πλαίσιο της διδασκαλίας

που προηγήθηκε κατά την διάρκεια της σχολικής χρονιάς, καθώς και να αντιστοιχούν

στο χρόνο εξέτασης (2 ώρες).

[6]

Να ελέγχεται αν είναι όλα τα ερωτήματα-υποερωτήματα εντός της εξεταστέας ύλης.

Να ελέγχεται αν κατά τις προηγούμενες εξεταστικές περιόδους της σχολικής μονάδας

ζητήθηκαν τα ίδια θέματα, ώστε να αποφεύγονται επαναλήψεις.

Είναι, επίσης, απαραίτητο να έχουν πραγματοποιηθεί μαθήματα γενικής επανάληψης στην

εξεταστέα ύλη και να έχουν δοθεί στους μαθητές θέματα εξετάσεων παλαιοτέρων ετών ή να

έχουν λυθεί στην διάρκεια του μαθήματος θέματα ανάλογα με το ύφος και το επίπεδο των

θεμάτων των εξετάσεων της σχολικής μονάδας.

Παρακαλώ τους κ.κ Διευθυντές/ντριες των Γενικών Λυκείων να ενημερώσουν ενυπόγραφα

τους εκπαιδευτικούς κλάδου ΠΕ03 Μαθηματικών της σχολικής τους μονάδας για το παρόν

έγγραφο καθώς και να αναρτηθεί το έγγραφο αυτό στον πίνακα ανακοινώσεων του σχολείου

σας ή/και να δοθεί φωτοαντίγραφο σε κάθε έναν από τους διδάσκοντες μαθηματικά στη

σχολική σας μονάδα.

Τα σχετικά έγγραφα της νομοθεσίας που αναφέρονται παραπάνω, καθώς και υλικό

εξετάσεων μπορείτε να βρείτε στο δικτυακό τόπο blogs.sch.gr-iokaragi (Μαθηματικός

Περιηγητής) στη κατηγορία « ΛΥΚΕΙΟ».

Σας εύχομαι καλή συνέχεια

Ο Συντονιστής Εκπαιδευτικού Έργου ΠΕ03

του 2ου ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου

Καραγιάννης Β. Ιωάννης

ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ

Τα θέματα αυτά είναι ενδεικτικά και αφορούν στα μαθηματικά της Α΄, της Β΄ και της

Γ΄ τάξης του Γυμνασίου. Είναι θέματα προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων στα

δύο προηγούμενα σχολικά έτη (2016-2017 και 2017-2018) που τέθηκαν σε Γενικά

Λύκεια της περιοχής του Νομού Δωδεκανήσου.

Προέρχονται από τη συλλογή θεμάτων αρχείου προαγωγικών και απολυτήριων

εξετάσεων που διατηρεί ο Συντονιστής Εκπαιδευτικού Έργου του 2ου ΠΕ.Κ.Ε.Σ.

Νοτίου Αιγαίου και πρώην Σχολικός Σύμβουλος Νομού Δωδεκανήσου.

Παρατήρης:

Τα θέματα του 2017 και 2018 βασίζονται στις οδηγίες/διδακτέα ύλη του αντίστοιχου

σχολικού έτους όπως είχαν δοθεί από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.)

Εφιστάται λοιπόν η προσοχή στην επιλογή των θεμάτων, ώστε τα επιλεγόμενα

θέματα να βρίσκονται εντός της διδακτέας (και κατά συνέπεια της εξεταστέας ύλης

που δόθηκε στους μαθητές/τριες) και να είναι σύμφωνα με τις οδηγίες διδασκαλίας

και διαχείρισης της ύλης του τρέχοντος σχολικού έτους 2018-2019.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΑΞΗ: A

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος

1. Αν α + β > γ + δ τότε ισχύει πάντα α > γ και β > δ.

2. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς τον άξονα x’x είναι το Μ’(α, - β).

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει .

4. Αν α < 0, τότε η ευθεία y x σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x’x.

5. Το τριώνυμο 2 , με 0x x και Δ < 0 είναι ετερόσημο του α για κάθε x R .

Μονάδες 5·2 = 10

Β. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς , .

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Να λύσετε την εξίσωση 22 9 4 0x x .

Β. Αν 3x , να απλοποιήσετε το κλάσμα 22 9 4

4

x xK

x

.

Μονάδες 12 + 13 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x .

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Β. Να εξετάσετε αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία (20, 3 2)M και

(1, 1) .

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 1

1

( 4) 1f

και

2

1

(4) 1f

, γράφεται στη μορφή

2 2 2 1 0x x .

Μονάδες 7 + 8 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο Δίνεται η ευθεία (ε): 3 6y x και η παραβολή 2( ) 2 6f x x x .

Α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού μ, έτσι ώστε η ευθεία (ε) να είναι

παράλληλη στην ευθεία μ 2 μ 1y x .

Β. Για ποιες τιμές του x, η παραβολή βρίσκεται κάτω από την ευθεία (ε).

Γ. Αν 1 2x x , όπου 1 2, x x οι ρίζες της ( )f x , να βρείτε το πρόσημο της παράστασης

( ) ( )f f (με αιτιολόγηση).

Μονάδες 10 + 10 + 5 = 25



ΤΑΞΗ: A

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Για κάθε R , ισχύει 2 .

2. Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί με α > β και γ < 0 τότε αγ > βγ.

3. Το σημείο Μ(α, β) με α < 0 και β > 0 βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο.

4. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το

Μ΄(-α, -β).

5. Η ευθεία y = αx + β, με α > 0 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x΄x.


Β. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S των ριζών της εξίσωσης

2 0 με 0x x , δίνεται από τον τύπο S

.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: y = 2x + β, η οποία διέρχεται από το σημείο

Μ(20, 18).

Α) Να υπολογίσετε το β.

Β) Έστω β = -22. Να βρείτε:

Β1) Τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες x΄x και y΄y.

Β2) Την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) και τέμνει

τον άξονα y΄y στο σημείο Β(0, 2018).

Μονάδες 8 + 10 + 7 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται το τριώνυμο 2 2( ) 2 ( 1) με λx x x R .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0x , έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες

για κάθε λ R .

Β) Έστω 2

Β1) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου ( )x , για τις διάφορες τιμές του

x R .

B2) Αν (1,3)x , να λύσετε την εξίσωση ( ) 3 5x x .

Μονάδες 7 + 8 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4f x x .

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( )f x .

Β) Να αποδείξετε ότι 1

( 1) ( 2)(1) (2)

f ff f

.

Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς

(0) και (3)f f , γράφεται στη μορφή 2 3 2 0x x .

Μονάδες 10 + 10 + 5 = 25


ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΑΞΗ: A

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Το έγκεντρο κάθε τριγώνου ισαπέχει από τις πλευρές του.

2. Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι πάντα μεσοκάθετος της διακέντρου τους.

3. Ένας ρόμβος με ίσες διαγώνιες είναι πάντα τετράγωνο.

4. Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή, διχοτομεί το

αντίστοιχο τόξο της.

5. Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεών του.


Β. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της

ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται αμβλυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διάμεσος του ΑΔ.

Ο κύκλος (Α, ΑΔ) τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

Α. Η ευθεία ΒΓ εφάπτεται στον παραπάνω κύκλο

Β. ΕΖ // ΒΓ

Γ. Το τετράπλευρο ΒΓΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο

Μονάδες 5 + 10 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο

με � 135 και το ΓΔΕΖ τετράγωνο.

Να αποδείξετε ότι:

Α. Τα σημεία Β, Γ, Ε είναι συνευθειακά

Β. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι ίσα

Γ. Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι παραλληλόγραμμο

Μονάδες 5 + 10 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

με � 90 και ɵ 30 .

Το ΑΔ είναι ύψος και η ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ.

Αν ΓΕ κάθετη στην ευθεία ΑΜ, τότε:

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα

Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΜ

Γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΕΔ είναι κάθετη στην ΑΒ

Μονάδες 9 + 8 + 8 = 25

B

Ε Ζ

Δ Γ

A

300

Ε

Δ

Γ

M

Α Β


ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΑΞΗ: A

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

1. Κάθε τρίγωνο που έχει δύο οξείες γωνίες είναι οξυγώνιο.

2. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι

ίσα.

3. Σε κάθε τρίγωνο το βαρύκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των

πλευρών του.

4. Διάμεσος τραπεζίου λέγεται το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεών του.

5. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι

εσωτερικών γωνιών του.

Μονάδες 5·2 = 10 Β. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις

πλευρές της.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ//ΓΔ και το ΑΒΕΖ είναι

τετράγωνο. Αν οι ΔΖ και ΓΕ τέμνουν την ΑΒ στα

σημεία Η και Θ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

Α. Τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΒΓΕ είναι ίσα.

Β. Τα τμήματα ΗΖ και ΘΕ είναι ίσα.

Μονάδες 12 + 13 = 25

ΘΗ

ΕΖ

Γ

Α Β

Δ

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με � 080 . Από το

έγκεντρο Ι του τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε

ευθεία παράλληλη στη ΒΓ που τέμνει τις

πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε

αντίστοιχα. Έστω ότι �020 .

Α. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΔΒ + ΕΓ.

Β. Να αποδείξετε ότι 0130 ɵ .

Γ. Αν η ΓΚ είναι κάθετη στην ευθεία ΔΕ, να αποδείξετε ότι ΙΓ = 2ΓΚ.

Μονάδες 10 + 8 + 7 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ

αντίστοιχα.

Προεκτείνουμε την ΖΕ (προς το Ε) κατά τμήμα ΕΚ = ΖΕ.

Α. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΖΓΚ είναι ορθογώνιο.

Β. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΖΚ είναι παραλληλόγραμμο.

Γ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι ρόμβος.

Δ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΖΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Μονάδες 10 + 5 + 5 + 5 = 25

200

800

ΚΕΔ Ι

Γ

Α

Β



ΤΑΞΗ: Β

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Η συνάρτηση ( ) με 1xf x a , είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

2. Ισχύει η ισοδυναμία , κ Ζx x

3. Αν το ρ είναι ακέραια και μη μηδενική ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(x), τότε το ρ είναι πάντα

διαιρέτης του σταθερού του όρου.

4. Για οποιαδήποτε 1 2, 0 ισχύει 1 2 1 2log( ) log log .

5. Για τη γωνία ω ισχύει η ισότητα: συν(90ο – ω) = ημω.


Β. Αν 0 και 1a , να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε 0 και κ R ισχύει

log loga a

.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται το πολυώνυμο 2 4 3( ) ( ) 2P x x x x , το οποίο είναι 3ου βαθμού.

Α. Να αποδείξετε ότι λ = 1.

Β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x .

Μονάδες 12 + 13 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο Δίνεται η παράσταση 2 0 2 050 40 ( ) ( )A x x .

Α. Να αποδείξετε ότι 1A x

Β. Να λύσετε την εξίσωση ( 1) ( 1) 0A A A .

Γ. Αν 2

5A και

3

2x

, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x

Μονάδες 8 + 8 + 9 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln(4 4)xf x και ( ) ln(6 2 12)xg x .

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων ,f g .

Β. Να αποδείξετε ότι ( 1) (3) (2) ln 3g f f .

Γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ,f g .

Μονάδες 6 + 9 + 10 = 25



ΤΑΞΗ: Β

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Το σύνολο τιμών της f(x) = αx, με 0 και 1 είναι το (0, ) .

2. Οι λύσεις της εξίσωσης x είναι της μορφής με x k k Z .

3. O βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων ισούται πάντα

με το γινόμενο των βαθμών των δύο πολυωνύμων.

4. Για κάθε 0 και 1 ισχύει log 0a a .

5. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν(–ω) = συνω.


Β. Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x), τότε το

x – ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται το πολυώνυμο 3( ) 6P x x ax για το οποίο γνωρίζουμε ότι το

υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 1x ισούται με – 6 .

Α. Να αποδείξετε ότι 1 .

Β. Να κάνετε τη διαίρεση 2( ) : ( 2 3)P x x x .

Γ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

Μονάδες 8 + 9 + 8 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνονται οι παραστάσεις 0 03

( ) (7 ) 70 1102

x x

και

2 2 13(5 ) ( 5 )

6 2

.

Α. Να αποδείξετε ότι 2 και 1x .

Β. Να λύσετε την εξίσωση 0 .

Μονάδες 16 + 9 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 3)xf x e

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( )f x .

Β. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της ( )f x με τον

άξονα x΄x.

Γ. Να αποδείξετε ότι 3 (ln 5) 2ln 5 ln10 2ln 2 0f .

Μονάδες 8 + 7 + 10 = 25

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΎ

ΤΑΞΗ: Β

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Για οποιαδήποτε συγγραμμικά διανύσματα �

και �

ισχύει | | | | � ��

.

2. Η εξίσωση 2 2 0x y x y με 0 παριστάνει πάντα κύκλο .

3. Η απόσταση του σημείου 0 0( , )x y από την ευθεία ε με εξίσωση 0x y

υπολογίζεται από τον τύπο 0 0

2 2

| |( , )

x yd

.

4. Αν οι ευθείες 1 και 2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 και 2 αντίστοιχα , τότε

1 2 1 2/ / 1 .

5. Το εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων �

και �

δίνεται από τον

τύπο | | | | � ��

, όπου η γωνία των διανυσμάτων �

και �

.


Β. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα έχει εξίσωση

2 2 2x y .

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνονται τα διανύσματα , ��

με | |=4�

, | | 2 �

και ( , )4

��

.

Α. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ��

.

B. Έστω ��

, R .

B1. Να υπολογίσετε το R ώστε τα διανύσματα �

και �

να είναι κάθετα.

B2. Αν 4 να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων �

και �

.

Μονάδες 9+(8+8)= 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται τρίγωνο με κορυφές ( 6,6) , ( 2, 2) και (1, 2) .

Α. Να υπολογίσετε εμβαδόν του τριγώνου .

Β. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας και την εξίσωση του φορέα της

διαμέσου .

Γ. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας ( ) η οποία διέρχεται από το Α και είναι

παράλληλη στη .

Δ. Να προσδιορίσετε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ( ) και .

Μονάδες 6+8+5+6= 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται η εξίσωση 1( )C : 2 2 4( ) 1 6 0x y x y y .

Α. Να αποδείξετε ότι η 1( )C παριστάνει κύκλο με κέντρο (2,1) και ακτίνα 2 .

Β. Έστω ότι οι κύκλοι 1( )C και 2( )C : 2 2( 2 ) ( ) 25x y είναι ομόκεντροι .

Β1. Να υπολογίσετε τους αριθμούς και .

Β2. Να αποδείξετε ότι το σημείο ( 1,5) ανήκει στον κύκλο 2( )C και να βρείτε το

αντιδιαμετρικό σημείο Β του Α στον κύκλο 2( )C .

Β3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2( )C στο σημείο Β.

Μονάδες 8+(6+6+5)= 25


ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΤΑΞΗ: B

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα , ��

ισχύει = με 0 ��

, τότε τα

, ��

είναι ομόρροπα.

2. Η απόσταση του σημείου 0 0( , )x y από την ευθεία ε με εξίσωση

0x y υπολογίζεται από τον τύπο 0 0

2 2

| |( , )

x yd

.

3. Η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο 0 0( , )A x y και είναι

παράλληλη στον άξονα y΄y είναι η 0x x .

4. Η εξίσωση 0x y με 0 ή 0 , παριστάνει πάντα ευθεία.

5. Για την γωνία που σχηματίζει ένα μη μηδενικό διάνυσμα με τον άξονα

x΄x ισχύει πάντα 0 .


Β. Να αποδείξετε ότι για τα διανύσματα 1 1( , )a x y�

και 2 2( , )x y ��

με

συντελεστές διεύθυνσης 1 2, αντίστοιχα ισχύει: 1 2/ / ��

.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνονται τα διανύσματα (3, 4) , ( 6, ) και ( ,3)a � ��

έτσι ώστε / / ��

και ��

.

Α. Να αποδείξετε ότι 8 και 4 .

Β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 4 3u a � � �

και να

υπολογίσετε το μέτρο του.

Μονάδες 15 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ( 1, 2) . Το ύψος ΒΔ ανήκει στην ευθεία

( ) : 5 3 9 0x y και η πλευρά ΒΓ έχει εξίσωση ( ) : 3y x .

Α. Να βρείτε τις συντεταγμένες τις κορυφής Β.

Β. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ.

Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Μονάδες 7 + 8 + 10 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 22 4 4 0 με x y ax ay a a R .

Α. Να εξετάσετε για ποιες τιμές της παραμέτρου α, η εξίσωση παριστάνει

κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του σε συνάρτηση με το α.

Β. Να βρείτε σε ποια ευθεία κινούνται τα κέντρα των παραπάνω κύκλων.

Γ. Για 1 , να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που είναι

παράλληλες στην ευθεία ( ) :8 15 2018 0x y .

Μονάδες 10 + 5 + 10 = 25

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΑΞΗ: Γ

ΘΕΜΑ 1Ο


1. Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών

μιας ποιοτικής μεταβλητής.

2. Η τυπική απόκλιση είναι μέτρο θέσης.

3. Για την παράγωγο του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων ,f g ισχύει

( ( ) ( )) ' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x .

4. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού

της όταν για οποιαδήποτε 1 2,x x με 1 2x x ισχύει 1 2( ) ( )f x f x

5. Ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές αν ο συντελεστής μεταβολής CV υπερβαίνει το 10 %.


Β. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης ( )f x x είναι η '( ) 1f x για κάθε

x R .

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Ένα δείγμα μεγέθους ν = 7, αποτελείται από τις παρατηρήσεις : 3, 5, 4, 3, 1, 7, 5.

Α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και το εύρος του δείγματος.

Β. Αν στο δείγμα προστεθεί μία ακόμη παρατήρηση x, η μέση τιμή του νέου δείγματος είναι

5.

Β1. Να υπολογίσετε την παρατήρηση x που προστέθηκε.

Β2. Να υπολογίσετε τη διάμεσο του νέου δείγματος.

Μονάδες 9 + 8 + 8 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 6 8f x x x .

Α. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Β. Να υπολογίσετε το όριο 1

lim ( )x

f x

και το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf

στο σημείο ( 1, ( 1))M f .

Γ. Να υπολογίσετε το όριο 5

( ) 3lim

5x

f x

x

Μονάδες 10 + 8 + 7 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο Η βαθμολογία ενός δείγματος 50 φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής φαίνεται στον

παρακάτω πίνακα.

Τιμές xi

(βαθμοί)

Συχνότητα

νi

Σχετική

συχνότητα

fi

fi%

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική

Αθροιστική

συχνότητα

Fi

Fi%

4 7

5 10

6 15

7 12

8

Αθροίσματα ν = 50

Α. Να μεταφέρετε τον πίνακα στην κόλλα σας συμπληρωμένο (με αιτιολόγηση).

Β. Να βρείτε το πλήθος των φοιτητών που έγραψαν το πολύ 6.

Γ. Να βρείτε το ποσοστό των φοιτητών που έγραψαν τουλάχιστον 5.

Δ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του δείγματος.

Μονάδες 10 + 5 + 5 + 5 = 25

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΑΞΗ: Γ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

1. Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x είναι f'(x) = 1 , για κάθε x R .

2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε σημεία x1,x2∈Δ με x1<x2 ισχύει 1 2f(x ) > f(x ) .

3. (συνx)΄= ημx, x ∈ R.

4. Η συχνότητα νi της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός.

5. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική των τιμών μιας ποιοτικής

μεταβλητής.


Β. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) = c είναι f'(x) = 0 , για

κάθε x R .

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται η συνάρτηση f με 2

2 -2

x -4f(x)=

x x.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Β. Nα υπολογίσετε το όριο 2x

lim f(x) .

Μονάδες 12 + 13 = 25

ΘΕΜΑ 3Ο

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται το πλήθος των τηλεφωνικών κλήσεων 50

συνδρομητών μιας εταιρίας κινητής τηλεφωνίας κατά την διάρκεια της ημέρας.

Πλήθος κλήσεων

xi

Πλήθος συνδρομητών

v i

Σχετική Συχνότητα

f i%

Αθροιστική Συχνότητα

Ν i

Αθροιστική Σχετική

Συχνότητα F i%

xi ·v i

2 8

3 12

4 10

5 14

6 4

7 2

Σύνολο 50

Α. Να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε.

Β. Να βρείτε τον αριθμό και το ποσοστό των συνδρομητών που πραγματοποίησαν το

πολύ 4 κλήσεις.

Γ. Να υπολογίσετε την μέση τιμή του πλήθους των κλήσεων.

Μονάδες 10 + 8 + 7 = 25

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται η συνάρτηση 3 21

f(x) = x -2x + 3x +13

.

Α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της f(x).

Β. Να μελετήσετε την f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x) στο σημείο

της Α(0, f(0)).

Μονάδες 8 + 12 + 5 = 25

Documents

σwerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbn ...2019/05/01 · Το με αρ. πρωτ. εισ. ΥΠ.Π.Ε.Θ. 141607/03-09-2018 έγγραφο Μετά από σχετική