G odels ufuldstˆndighedssˆtningerassets.openstudy.com/updates/attachments/50d958b6e... · Russells paradoks (1901). Mˆngden U af alle mˆngder er et eksempel p a en mˆngde som

Godels ufuldstændighedssætninger

Thomas Bolander, DTU Informatik

Matematik: Videnskaben om det uendeligeFolkeuniversitetet i København, efteraret 2009

Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 1/27

Godels første ufuldstændighedssætning

I 1931 publicerer den østrigske matematiker Kurt Godel som 25 arigartiklen Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematicaund verwandter Systeme I. Artiklen indeholder en af det 20. arhundredesmest berømte matematiske sætninger, Ufuldstændighedssætningen.

Faktisk indeholder artiklen ikke en, men to, ufuldstændighedssætninger,men vi vil starte med at kigge pa den første og mest berømte af de to. Isin oprindelige formulering siger sætningen følgende:

Zu jeder ω-widerspruchsfreien rekursiven Klasse κ von Formelngibt es rekursive Klassenzeichen r , so daß weder v Gen r nochNeg(v Gen r) zu Flg(κ) gehort (wobei v die freie Variable aus rist).

Denne formulering giver ikke mening for særligt mange mennesker, sa lados prøve at simplificere den lidt...


Godels første ufuldstændighedssætning

En lidt simplificeret omformulering af Godels sætning ser saledes ud:

I ethvert (ω-)konsistent, rekursivt aksiomatiserbart formeltsystem indeholdende formel talteori findes udsagn som hverkenkan bevises eller modbevises.

Et formelt system som indeholder udsagn der hverken kan bevises ellermodbevises kaldes ufuldstændigt. Det er ufuldstændigt pa den made atdet kan udtrykke matematiske udsagn, hvis sandhed eller falskhed ikkekan afgøres indenfor systemet selv.

Ved at slække lidt pa præcisionen kan vi simplificere Godels sætningyderligere, sa den i stedet lyder:

Ethvert formelt system med tilstrækkelig stor udtrykskraft erufuldstændigt.

Altsa: Hvis et formelt system bliver tilstrækkeligt kraftfuldt (kan udtrykkemange matematiske udsagn) vil det nødvendigvis lide den skæbne at detbliver ufuldstændigt.


Fortolkninger af ufuldstændighedssætningen

Godels ufuldstændighedssætning er blevet givet meget vidtrækkendefortolkninger. En af dem er:

Der findes sande matematiske sætninger som ikke kan bevises.

En anden er:

Der er grænser for vores mulighed for erkendelse af sandhedgennem logiske argumenter.

Eller endnu mere vidtrækkende:

Der er grænser for den rationelle tankegangs rækkevidde.

Sadanne vidtrækkende fortolkninger har naturligvis været med til at sikreberømtheden af Godels sætning, men det er vigtigt at forsta at ingen afovenstaende udsagn er direkte konsekvenser af Godels sætning. Godelssætning taler om formelle beviser og formelle argumenter indenfor fasterammer, ikke matematiske beviser og logiske argumenter i almindelighedog fuld generalitet.


Hvorfor er Godels sætning speciel?

Godels sætning er meget atypisk og overraskende i matematisksammenhæng, da den via matematiske metoder viser at der er grænserfor hvad der kan opnas ved hjælp af matematiske metoder. Den har ogsasat en masse tanker i gang omkring grænser for (matematisk) erkendelse,og i det hele taget ændret grundlæggende pa vores forstaelse afmatematikken og dens metoder.

Godels ufuldstændighedssætninger (især nummer 2) skød ogsa HilbertsProgram i sænk. Desuden var det en alvorlig kæp i hjulet pa Whiteheadog Russells enorme værk Principia Matmematica og de bagvedliggendelogicistiske ideer.

Men lad os først ga tilbage til det som startede alt dette: de logiskeparadokser som blev opdaget i starten af det 20. arhundrede...


Den naive mængdelære

Mængdelærens fader, Georg Cantor, definerede i 1895 begrebet mængdepa følgende made:

Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung Mvon bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrerAnschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ vonM genannt werden) zu einem Ganzen.

Intentionen er her at vi bør kunne tage en vilkarlig samling afmatematiske objekter og samle dem i en mængde. Mængden er da dennesamling af matematiske objekter betragtet som et hele.

Det er klart at denne definition af en mængde er relativt upræcis i forholdtil de fleste definitioner i matematikken, eksempelvis i forhold tildefinitionen af kontinuitet eller differentiabilitet. Nogle upræcisedefinitioner finder man senere ud af hvordan man kan præcisere, men iforbindelse med Cantors definition er problemerne dybere end som sa...


Paradokser i den naive mængdelære

I slutningen af det 19. arhundrede viser det sig at Cantors mængdebegrebleder til paradokser. Det første er Cantors parodoks.

Cantors paradoks (1899). Lad M være en vilkarlig mængde og ladP(M) betegne mængden af delmængder af M. Ifølge Cantors sætninghar P(M) strengt højere kardinalitet end M (der er flere elementer iP(M) end i M).

Betragt nu mængden U af alle mængder. Mængden U findes ifølgeCantors mængdebegreb. Da U indeholder alle mængder, ma U specieltindeholde alle elemter fra P(U). Der gælder altsa at P(U) er endelmængde af U.

Men samtidig siger Cantors sætning at P(U) har højere kardinalitet endU. Dette er en modstrid. Denne modstrid kaldes Cantors paradoks.


Paradokser i den naive mængdelære

Russells paradoks (1901). Mængden U af alle mængder er et eksempelpa en mængde som er element i sig selv (altsa U ∈ U). Mængden N afnaturlige tal er derimod et eksempel pa en mængde som ikke er element isig selv (altsa N 6∈ N).

Betragt nu mængden R af alle mængder som ikke er element i sig selv,det vil sige, lad R = {x | x 6∈ x}.Spørgsmalet er nu: Er R element i sig selv eller ej?

Antag først at R er element i sig selv. Da ma den per definition af R væreen af de mængder som ikke er element i sig selv, hvilket er en modstrid.

Antag modsat at R ikke er element i sig selv. Da opfylder den R’sdefinition og ma derfor være element i R. Konklusionen er sa at R erelement i R, hvilket igen er en modstrid. Uafhængigt af vores antagelseomkring R ledes vi altsa frem til en modstrid. Denne modstrid kaldesRussells paradoks.

I matematisk notation: R ∈ R ⇔ R ∈ {x | x 6∈ x} ⇔ R 6∈ R.Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 8/27

En variant af Russells paradoks

En interessant variant af Russells paradoks er Grellings paradoks.

Grellings paradoks (1908). Kald et prædikat (et sprogligt udtryk)heterologisk hvis det ikke selv har den egenskab det udtrykker.Eksempelvis er prædikaterne “tysk” og “fejlstavet” heterologiske, mens“deutsch” og “fejlstaved” ikke er det.

Spørgsmalet er nu: Er begrebet heterologisk selv heterologisk eller ej?

Antag først at begrebet er heterologisk. Da kan det per definition ikkehave den egenskab det selv udtrykker. Men da det netop udtrykkeregenskaben at være heterologisk, kan det saledes ikke være heterologisk.Det er en modstrid.

Antag modsat at begrebet ikke er heterologisk. Da har begrebet ikke denegenskab det selv udtrykker, og ma saledes per definition alligevel væreheterologisk. Det er igen en modstrid.

Den uundgaelige modstrid kaldes Grellings paradoks.

Hvad er sammenhængden til Russells paradoks?Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 9/27

Konsekvenser af paradokserne

De mængdeteoretiske paradokser (Cantors, Russells) m.fl. rystedematematikkens grundvold i starten af det 20. arhundrede, fordi man ikkekunne finde nogen let made at undslippe dem pa.

Det er klart at man ikke kan tillade en matematik bygget pa etfundament som indeholder paradokser, for sa har man reelt ikkesikkerhed for noget som helst længere. Normalt vil man jo vide at hvis etudsagn er gyldigt (f.eks. 2 + 2 = 4) er det modsatte udsagn ugyldig(f.eks. 2 + 2 6= 4), men det bryder sammen i paradokserne (R ∈ R ergyldig hvis og kun hvis R 6∈ R er det).

Paradokserne leder derfor til en reel matematisk grundlagskrise i startenaf det 20. arhundrede, og man føler ikke man kan stole pa matematikkenfør denne krise og paradokserne er blevet løst.


Løsning af paradokserne

Det viser sig at være ikke helt ligetil at løse paradokserne. Russell skriveri sin selvbiografi følgende om sit forsøg pa at løse sit paradoks:

“I made practice of wandering about the common every nightfrom eleven until one... I was trying hard to solve thecontradiction mentioned above. Every morning I would sit downbefore a blank sheet of paper. Throughout the day, with a briefinterval for lunch, I would stare at the blank sheet. Often whenevening came it was still empty.”

Det ledende synspunkt i starten af det 20. arhundrede var atgrundlagskrisen skulle løses ved at antage en formalistisk tilgang tilmatematikken: forsøge at genopbygge matematikken fra grunden kun vedhjælp af strenge aksiomatisk og finitiske metoder. David Hilbert varforegangsmanden for dette synspunkt, som blandt andet udmøntede sig iHilberts program (jvf. forrige forelæsning).


Nyt grundlag for matematikken

Det var tanker svarende til Hilberts der ledte Whitehead og Russell til atskrive deres Principia Mathematica, hvor de forsøgte at genopbyggematematikken pa et solidt, formelt logisk grundlag.

Ideen var at genbygge matematikken indenfor et formelt systemudelukkende ved brug af strenge logiske og rent syntaktiske regler. For atforsta dette skal vi se pa hvad et formelt system egentlig er...


Formelle systemer

Et formelt system er karakteriseret ved størrelserne symboler,konstanter, variable, formler, aksiomer, slutningsregler og beviser.

Konstanter, variable og formler er opbygget af de givne symboler. I detfølgende vil vi antage at alle formelle systemer som minimum indeholderfølgende:

• Konstanterne 0, 1, 2, 3, . . .

• Variablene x , y , z ,w , . . .

• Symbolerne +, =, ¬ og →• Formlerne opbygget pa sædvanlig vis af ovenstaende, f.eks.

7 + 1 = 8, ¬7 + 1 = 8, 5 + x = 8, x1 = x2 → x1 + y = x2 + y .

Hvis ϕ er en formel hvori variablene x1, . . . , xn optræder, skriver vi ogsaϕ(x1, . . . , xn) for denne formel. For ethvert valg af konstanter ellervariable t1, . . . , tn lader vi da ϕ(t1, . . . , tn) være strengen der opstar vedat substituere enhver forekomst af xi med ti . Hvis altsa eksempelvis ϕ(x)betegner formlen x + 3 = 3 + x sa betegner ϕ(1) formlen 1 + 3 = 3 + 1.


Formelle systemer fortsat

Hvis ϕ er en formel kaldes ¬ϕ dens negation.

Aksiomerne i et formelt system er en pa forhand udvalgt mængde afformler (de “oplagt sande” formler).

Eksempel pa aksiom: 1 + 3 = 3 + 1, eller mere generelt x + y = y + x .

En slutningsregel er et princip, der pa rent formel, mekanisk madeangiver, hvordan man fra en eller flere formler kan udlede en ny formel.

Eksempel pa slutningsregel: Udfra ϕ og ϕ→ ψ sluttes ψ (modusponens).

Et formelt bevis, eller blot et bevis, er en endelig sekvens af formler. Etbevis starter med et eller flere aksiomer, og enhver formel skal (hvis denikke selv er et aksiom) fremkomme af de foregaende formler i sekvensenved brug af en slutningsregel.


Beviser i formelle systemer

Vi siger, at en formel ϕ kan bevises hvis ϕ optræder som sidste formel iet bevis. Vi siger at ϕ kan modbevises hvis negationen ¬ϕ kan bevises.

Eksempel. Lad der være givet et formelt system med følgende aksiomer:

A1 3 + 1 = 4

A2 x = y → z · x = z · yog følgende slutningsregler

S1 Udfra ϕ og ϕ→ ψ sluttes ψ.

S2 Udfra ϕ(x1, . . . , xn) sluttes ϕ(k1, . . . , kn), for et vilkarligt valg afkonstanter k1, . . . , kn.

Eksempel pa bevis:

1. x = y → z · x = z · y A22. 3 + 1 = 4→ 5 · (3 + 1) = 5 · 4 S2 pa 13. 3 + 1 = 4 A14. 5 · (3 + 1) = 5 · 4 S1 pa 2,1

Formlen 5 · (3 + 1) = 5 · 4 kan saledes bevises i det givne system.Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 15/27

Formalisering af matematikken

Ideen er nu at finde et passende sæt aksiomer og slutningsregler indenforhvilke vi kan bevise alle matematikkens sætninger pa et mere solidtgrundlag.

Men det at forsøge at “mekanisere” matematikken igennem formellesystemer er ikke i sig selv nogen garanti for at vi far et mere solidtgrundlag. Vi kan eksempelvis let komme i problemer hvis vi laver etformelt system indeholdende aksiomer og slutningsregler svarende tilCantors mængdebegreb som vi introducerede tidligere:

UC ϕ(x)↔ x ∈ {y | ϕ(y)}, for alle formler ϕ (ubegrænsetkomprehension).

S Udfra ϕ(x) sluttes ϕ(t), hvor t er et vilkarligt udtryk pa formen{x | x ∈ ψ} (substitution).


En formalisering af Russells paradoksBetragt igen et formelt system med følgende aksiomer og slutningsregler:

UC ϕ(x)↔ x ∈ {y | ϕ(y)}, for alle formler ϕ (ubegrænsetkomprehension).

S Udfra ϕ(x) sluttes ϕ(t), hvor t er et vilkarligt udtryk pa formen{x | x ∈ ψ} (substitution).

I et formelt system indeholdende disse elementer kan vi uden vidererekonstruere Russells paradoks. Det gøres ved at lade ϕ(x) være formlenx 6∈ x . Da fas af UC :

x 6∈ x ↔ x ∈ {y | y 6∈ y}.Vi kan nu benytte slutningsreglen S til at substitutere x med {y | y 6∈ y}:

{y | y 6∈ y} 6∈ {y | y 6∈ y} ↔ {y | y 6∈ y} ∈ {y | y 6∈ y}.Lader vi R betegne udtrykket {y | y 6∈ y} reducerer dette til:

R 6∈ R ↔ R ∈ R.

Bemærk at R netop betegner den mængde som blev introduceret iRussells paradoks. Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 17/27

En formalisering af Russells paradoks

Den beviste formel R 6∈ R ↔ R ∈ R er naturligvis en modstrid. Vi makonkludere at enten gælder bade R 6∈ R og R ∈ R eller ogsa gælderingen af dem. Dette svarer til begreberne inkonsistens ogufuldstændighed i forbindelse med formelle systemer.

Et formelt system kaldes konsistent hvis ingen formel kan bade bevisesog modbevises, det vil sige, hvis det ikke findes nogen formel ϕ sa badeϕ og ¬ϕ kan bevises. Ellers kaldes systemet inkonsistent.

Et formelt system kaldes fuldstændigt hvis enhver formel kan entenbevises eller modbevises, det vil sige, hvis der for enhver formel ϕ gælderat enten ϕ eller ¬ϕ kan bevises. Ellers kaldes det ufuldstændigt.

Hvis systemet ovenfor desuden indeholder alle aksiomer pa formen ϕ∨¬ϕ(det udelukkede tredjes princip) vil systemet være inkonsistent. Hvorfor?


Hilbert program

Malet er naturligvis at formalisere matematikken i et system som bade erkonsistent og fuldstændigt. Men hvordan afgør vi om vores system hardisse egenskaber? Hilbert mente at konsistensen af simple formellesystemer for “den finite kerne” af matematikken (aritmetikken) varuproblematisk, og at konsistensen af sadanne systemer derfor uden viderekunne antages.

Ideen var sa at hive sig selv op ved snørrebandende ved at konstrueremere og mere komplekse formelle systemer, eksempelvis formængdelæren, og sa vise konsistensen af disse systemer ved hjælp af renefinitistiske metoder, det vil sige, indenfor det formelle system foraritmetikken. Dette er essensen i Hilberts program.


Hilberts program fortsat

Desværre fik Hilberts program nadestødet af Godels resultater. Dels visteGodel at intet formelt system for aritmetik kan være bade kan konsistentog fuldstændigt (første ufuldstændighedssætning), og desuden viste hanhvis et formelt system for aritmetik faktisk er konsistent sa vil det ikkekunne bevise sin egen konsistens (anden ufuldstændighedssætning).

Hvis et system ikke kan bevise sin egen konsistens kan det naturligvisheller ikke bevise konsistensen af et system som er stærkere, og dermedforsvandt habet for at gennemføre Hilberts program (i hvert fald i sinoprindelige formulering).


Godels resultater

Sa hvordan beviste Godel sine resultater? Overraskende nok tog hanudgangspunkt i selvsamme paradokser som skabte grundlagskrisen iførste omgang.

Kort sagt viste han at hvis et formelt system for aritmetikken erfuldstændigt vil man kunne formalisere en version af Grellings paradoks isystemet. Hvis systemet er fuldstændigt ma det derfor ogsa væreinkonsistent. Konklusionen er sa at det altsa ikke kan være badekonsistent og fuldstændigt.

Vi vil nu prøve at gennemføre en simplificeret version af Godels argumentvia en version af Grellings paradoks. Først har vi brug for et par nyebegreber...


Repræsenterbarhed

Antag vi ønsker at lave et formelt system for aritmetikken (læren om denaturlige tal). Da skal systemet være i stand til at udtrykke velkendteegenskaber for tal og udtrykke om et givet tal har disse egenskab eller ej.

Lad os betragte egenskaben “primtal”. At et formelt system er i stand tilat “tale om” egenskaben at være et primtal skal forstas pa den made atder findes en formel ϕ(x), sa der for ethvert naturligt tal i gælder:

i er et primtal⇔ ϕ(i) kan bevises.

Vi kan da sige at formlen ϕ(i) udtrykker egenskaben at “tallet i er etprimtal”.

I et sædvanligt formelt system med kvantorer (∃ og ∀) kan egenskaben atvære et primtal udtrykkes ved følgende formel ϕ(i):

i > 1 ∧ ∀x∀y(y > 0 ∧ x · y = i → x = 1 ∨ x = i).

Med passende aksiomer og slutningsregler vil det da være saledes at ϕ(i)kan bevises netop nar i betegner et primtal.


Repræsenterbarhed fortsat

For at præcisere hvad et formelt system kan “udtrykke” og “tale om”introducerer vi begrebet repræsenterbarhed.

Lad M være en mængde af naturlige tal. M siges at værerepræsenterbar i et formelt system, hvis der eksisterer en formel ϕ(x) isystemet, sa følgende er opfyldt for alle naturlige tal i :

i ∈ M ⇔ ϕ(i) kan bevises.

I dette tilfælde siger vi at ϕ(i) repræsenterer mængden M.

I et formelt system med de sædvanlige aksiomer og slutningsregler for denaturlige tal kan vi vise at formlen fra før,

i > 1 ∧ ∀x∀y(y > 0 ∧ x · y = i → x = 1 ∨ x = i),

repræsenterer netop mængden af primtal.


Tilstrækkelig styrke

Antag, at vi er givet et formelt system, og lad x betegne en af systemetsvariable. Der er kun et tælleligt antal formler som indeholder variablen x ,og disse kan vi derfor nummerere:

ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x), . . .

Vi kalder formlen ϕn(x) heterologisk, hvis ¬ϕn(n) kan bevises. Hvisϕn(x) er heterologisk, kalder vi n for et heterologisk tal.

Vi siger nu at et formelt system er af tilstrækkelig styrke hvis mængdenaf heterologiske tal er repræsenterbar i det.

Der findes naturligvis formelle systemer som ikke er af tilstrækkelig styrkemed denne definition. Pa den anden side er det ikke unaturligt at antageat ethvert formelt system for aritmetik bør kunne repræsentere mængdenaf heterologiske tal, da dette er en delmængde af de naturlige taldefineret pa en systematisk made (som f.eks. mængden af primtalbetragtet ovenfor). Desuden viser det sig faktisk at de sædvanligeaksiomer og slutningsregler for aritmetik tillader denne mængde at bliverepræsenteret (Godel).


Beviset for Godels sætning

Sætning (Godels første ufuldstændighedssætning). Ethvertkonsistent formelt system af tilstrækkelig styrke er ufuldstændigt.

Bevis. Antag at vi har et konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke.Da findes en formel ϕh(x), som repræsenterer mængden af heterologisketal. Derfor gælder for alle naturlige tal n:

n er et heterologisk tal⇔ ϕh(n) kan bevises.

Da der desuden gælder:

n er et heterologisk tal⇔ ¬ϕn(n) kan bevises

far vi i alt:ϕh(n) kan bevises⇔ ¬ϕn(n) kan bevises.

Dette gælder for alle n. Lader vi specielt n = h fas

ϕh(h) kan bevises⇔ ¬ϕh(h) kan bevises.

Heraf følger ufuldstændighed (pga. konsistens). �Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 25/27

Mere om beviset for Godels sætning

Et springende punkt i ovenstaende version af Godels sætning ernaturligvis hvornar et formelt system har tilstrækkelig styrke. Godelbeviste at det gælder for alle ω-konsistente systemer som indeholder desædvanlige aksiomer for de naturlige tal. Mere om det ved næsteforelæsning...

Godels bevis siges ofte at være baseret pa et “diagonalargument” i stilmed beviset for overtælleligheden af mængden af delmængder af denaturlige tal. Kan I se hvad sammenhængen er imellem det givne bevisbaseret pa Grellings paradoks og sa det Cantorianske diagonalargument?


Afslutning

Godels sætning har som nævnt haft stor betydning, bade indenfor ogudenfor matematikken. Det er interessant at resultatet i en vis forstandbygger pa et paradoks—netop et af dem man forsøgte at undga ved atformalisere matematikken.

Men der er intet paradoksalt ved Godels resultat: Det viser blot at hvis viantager bade konsistens og fuldstændighed af et formelt system foraritmetikken, sa følger paradokserne med ind i det formelle system.

Det bedste vi kan habe pa er saledes at lave formelle systemer som erkonsistente, men ikke fuldstændige. Der vil sa altid være formler somhverken kan bevises eller modbevises i systemet. Vi kan naturligvis altidtilføje en endelig mængde af sadanne formler som aksiomer til systemet,men det gør det ikke fuldstændigt (mængden af heterologiske tal kanstadig repræsenteres). Vi kan ikke fuldstændiggøre det uden at tilføjeuendeligt mange aksiomer, men sa forsvinder jo hele grundideen...


Documents

G odels ufuldstˆndighedssˆtningerassets.openstudy.com/updates/attachments/50d958b6e... · Russells paradoks (1901). Mˆngden U af alle mˆngder er et eksempel p a en mˆngde som