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altemir
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Notas de aulas
Altemir Jose Borges
Curitiba
Outubro de 2013
A leitura destas notas de aulas nao
dispensa, em hipotese alguma, uma
leitura atenta ao referencial
bibliografico desta disciplina.
ii
Sumario
1 Matrizes 1
1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Matriz coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 Matriz linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.5 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.6 Matriz tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.7 Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.8 Matriz escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.9 Matriz triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.10 Matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.11 Matriz simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.12 Matriz antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.13 Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
iii
1.2.14 Matriz esparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.15 Matriz diagonalmente dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operacoes com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Adicao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Multiplicacao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 Multiplicacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.6 Matrizes em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Equivalencia de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Calculo da inversa empregando operacoes elementares . . . . . . . . 22
1.4.3 Calculo da inversa empregando matrizes de blocos . . . . . . . . . . 24
1.5 Execıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Determinantes 36
2.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Desenvolvimento por Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Execıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Sistemas de equacoes lineares 42
3.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iv
3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Vetores 52
4.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Segmento orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2 Segmentos equipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3 Classe de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Vetor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Vetor unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.4 Vetor oposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Operacoes com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Adicao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Multiplicacao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.3 Subtracao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Expressao cartesiana de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Expressao cartesiana do versor de um vetor . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.2 Operacoes com vetores na forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Paralelismo de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
v
4.6 Coplanaridade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Cossenos diretores de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Produto escalar ou interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.2 Interpretacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.4 Expressao cartesiana do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9 Produto vetorial ou externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.2 Interpretacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.9.4 Expressao cartesiana do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.9.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.2 Interpretacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10.4 Expressao cartesiana do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.10.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
vi
4.11 Exercıcios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 A reta no R3 77
5.1 Equacoes da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1 Equacao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Equacos parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.3 Equacoes simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.4 Equacoes reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 O plano no R3 84
6.1 Equacao do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Equacao vetorial do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Equacao geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.3 Equacao do plano que passa por um ponto e e ortogonal a um vetor 85
6.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 Espaco Vetorial 90
7.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Subespacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2.3 Intersecao de subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
vii
7.2.4 Soma de subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Combinacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Subespaco gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.5 Dependencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.6 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.7 Mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Transformacoes Lineares 114
8.1 Definicao e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2 O espaco vetorial L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2.1 Operacoes em L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Nucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 Transformacoes lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Autovalores e autovetores 131
9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3 Polinomio caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.5 Diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
viii
10 Espacos com produto interno 141
10.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3.1 Angulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.4 Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11 Conicas e quadricas 154
11.1 Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.1.1 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.1.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.1.3 Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2 Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.1 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.2 Hiperboloide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.3 Hiperboloide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.2.4 Paraboloide elıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.5 Paraboloide hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.6 Cone elıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.7 Cilindro elıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.2.8 Cilindro hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ix
11.2.9 Cilindro parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12 Respostas 165
x
Capıtulo 1
Matrizes
1.1 Definicao
Uma matriz de ordem m× n sobre um corpo1 F e uma aplicacao do conjunto X dado
por X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} em F.
Representaremos as matrizes por letras maiusculas do alfabeto latino.
Exemplo 1. A aplicacao A : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2}definida por A(1, 1) = 7, A(1, 2) = −1, A(2, 1) = 5, A(2, 2) = 0, A(3, 1) = 1 e A(3, 2) =
−3 e uma matriz de ordem 3× 2 sobre o corpo R.
Exemplo 2. A aplicacao I : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3}
definida por I(i, j) =
1 , i = j
0 , i 6= je uma matriz sobre R.
Notacao: Para facilitar os calculos que envolverao matrizes, em exercıcios futuros,
iremos representar uma matriz A de ordem m× n dispondo suas imagens (A(i, j)) em
uma tabela composta de m linhas e n colunas, ladeadas por colchetes. Cabendo a trans-
1Corpo e uma terna (F, +, .), que satisfaz as seguintes propriedades:(A1)(x+y)+z = x+(y+z),(A2)x+
y = y + x,(A3)x + 0 = x,(A4)x + (−x) = 0, (M1)(xy)z = x(yz),(M2)xy = yx,(M3)x.1 = x,(M4)Para
todo x 6= 0 existe y ∈ F tal que xy = 1(D)x(y + z) = xy + xz.
1
formada do par (i, j) a i-esima linha e a j-esima coluna da tabela, ficando assim a matriz
A representada genericamente por:
Am×n =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
...
am1 am2 · · · amn
= [aij]m×n
1.2 Tipos de matrizes
Existem matrizes que em determinados problemas tem forma ou propriedades espe-
ciais, dentre essas matrizes podemos citar:
1.2.1 Matriz quadrada
Uma matriz Am×n e dita quadrada quando m = n.
Exemplo: A =
1 −3 0
π√
5 2
0 8 3
1.2.2 Matriz nula
Uma matriz Am×n e chamada de matriz nula quando todos os seus elemento sao iguais
a zero, isto e, aij = 0, ∀ i e j.
Exemplo: A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2
1.2.3 Matriz coluna
Uma matriz Am×n e chamada de matriz coluna quando possuir somente uma coluna,
ou seja, n = 1.
Exemplo: A =
1
−π
0√
6
1.2.4 Matriz linha
Uma matriz Am×n e chamada de matriz linha quando possuir somente uma linha, ou
seja, m = 1.
Exemplo: A =(
1 −5 2 3)
1.2.5 Matriz diagonal
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i 6= j, isto e, os elementos
que nao estao na diagonal principal2 sao nulos.
Exemplo: A =
1 0 0
0√
3 0
0 0 3
, B =
0 0
0 1
1.2.6 Matriz tridiagonal
Uma matriz quadrada A e chamada de tridiagonal se os seus elementos sao nulos,
exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal principal e sobre as diagonais imedia-
tamente adjacentes.
2A diagonal principal e formada pelos elementos aij em que i = j.
3
Exemplo: A =
1 −5 0 0 0
2 8 −1 0 0
0 1 −3 4 0
0 0 6 9 5
0 0 0 1 2
1.2.7 Matriz identidade
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij =
1 , i = j
0 , i 6= j, isto e, os elementos da
diagonal principal sao iguais a 1 e os que nao estao na diagonal principal sao nulos. As
matrizes identidades de ordem m× n serao denotadas por In.
Exemplo: I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, I2 =
1 0
0 1
1.2.8 Matriz escalar
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij =
k , i = j
0 , i 6= j, isto e, os elementos da
diagonal principal sao iguais a um elemento k e os que nao estao na diagonal principal
sao nulos.
Exemplo: E =
3 0 0
0 3 0
0 0 3
1.2.9 Matriz triangular superior
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i > j, ou seja, e uma matriz
quadrada na qual os elementos que estao abaixo da diagonal principal sao iguais a zero.
Exemplo: S =
3 −2 5
0 2 −4
0 0 π
4
1.2.10 Matriz triangular inferior
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i < j, ou seja, e uma matriz
quadrada na qual os elementos que estao acima da diagonal principal sao iguais a zero.
Exemplo: T =
3 0 0
7 2 0
5 2 π
1.2.11 Matriz simetrica
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij = aji para todo i e j.
Exemplo: S =
3 −5 0 9
−5 2 2 8
0 2 π 4
9 8 4 3
1.2.12 Matriz antisimetrica
E uma matriz quadrada (m = n) onde aij = −aji para todo i e j.
Exemplo: A =
0 −5 0 9
5 0 −2 −8
0 2 0 −4
−9 8 4 0
1.2.13 Matriz conjugada
Considere Am×n uma matriz complexa, isto e, seus elementos [aij] sao numeros com-
plexos, chama-se matriz conjugada de A a matriz A∗ = [aij], onde aij e o conjugado
complexo de aij.
Propriedade:
i) (A∗)∗ = A
5
1.2.14 Matriz esparsa
E uma matriz que e formada por poucos elementos nao nulos.
Exemplo: T =
3 0 0 0 0
0 2 0 7 0
0 0 0 0 −1
E importante citar que existira uma grande economia computacional se somente os
elementos nao nulos da matriz forem armazenados.
1.2.15 Matriz diagonalmente dominante
Uma matriz A e diagonalmente dominante se |ai,i| >n∑
j=1,j 6=i
|aij|, i = 1, 2, . . . , n, isto e,
o modulo do elemento da matriz na diagonal principal e maior que a soma dos modulos
de todos os demais valores (nao-diagonais) daquela linha.
Exemplo: T =
13 0 2
7 9 0
5 2 8
1.3 Operacoes com matrizes
1.3.1 Igualdade de matrizes
Duas matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] serao iguais, denotado por A = B, se
ai,j = bi,j para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo: As matrizes A =
0 −5 1
−5 0 2
4 2 0
e B =
0 x 1
−5 0 y
z 2 0
serao iguais se
x = −5, y = 2 e z = 4.
6
1.3.2 Adicao de matrizes
Definicao: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se adicao de A com
B, denotado por A + B, a matriz Cm×n = [cij] tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m
e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo: Sejam A =
0 −5 1 9
−5 0 2 8
4 2 0 −2
e B =
1 1 −1 3
2 3 1 4
−1 5 1 1
, entao,
A + B =
0 + 1 −5 + 1 1 + (−1) 9 + 3
−5 + 2 0 + 3 2 + 1 8 + 4
4 + (−1) 2 + 5 0 + 1 −2 + 1
=
1 −4 0 12
−3 3 3 12
3 7 1 −1
.
Note que a adicao de matrizes somente esta definida quando a matrizes a serem so-
madas possuırem a mesma ordem.
Propriedades: Sejam as matrizes Am×n, Bm×n e Cm×n, entao:
i) A + B = B + A (propriedade comutativa)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa)
iii) A + 0 = A (existencia do elemento neutro), onde 0 e a matriz nula de ordem m× n.
iv) (A + B)∗ = A∗ + B∗
1.3.3 Multiplicacao por escalar
Definicao: Sejam uma matriz Am×n = [aij] e um escalar k. Chama-se multiplicacao
do escalar k pela matriz A, denotado por kA, a matriz Pm×n = [pij] tal que pij = k × aij
para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
7
Exemplo: Sejam A =
2 −1 1 2
3 0 −1 5
e k = 2, entao:
2A =
2× 2 2× (−1) 2× 1 2× 2
2× 3 2× 0 2× (−1) 2× 5
=
4 −2 2 4
6 0 −2 10
Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e os escalares a e b, entao:
i) a(A + B) = aA + aB (propriedade distributiva em relacao a soma de matrizes)
ii) (a + b)A = aA + bA (propriedade distributiva em relacao a soma de escalares)
iii) a(bA) = (ab)A
iv) a0 = 0
v) 0A = 0
vi) A + (−A) = 0
vii) (−1)A = −A
viii) (λA)∗ = λA∗
Definicao: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se diferenca de A
com B, nesta ordem, denotado por A−B, como A−B = A + (−B).
Exemplo: Sejam A =
0 −2 −1
3 1 1
2 −2 4
e B =
2 −1 3
0 5 1
1 −1 4
, entao,
A−B =
0− 2 −2 + 1 −1− 3
3− 0 1− 5 1− 1
2− 1 −2 + 1 4− 4
=
−2 −1 −4
3 −4 0
1 −1 0
.
1.3.4 Transposicao
8
Definicao: Dada uma matriz Am×n = [aij] chama-se transposta de A, denotada por
AT , a matriz AT = [bij]n×m tal bij = aji.
Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e o escalar k, entao:
i) (A + B)T = AT + BT
ii) (AT )T = A
iii) (kA)T = k.AT
Definicao: Uma matriz complexa Am×n = [aij] e chamada de hermitiana ou auto
adjunta se A = (A∗)T .
1.3.5 Multiplicacao de matrizes
Definicao: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bn×p = [bjk] define-se o produto das
matrizes A por B nesta ordem, denotado por AB, a matriz Cm×p = [cik] com
cik =n∑
j=1
aijbjk (1.1)
Exemplo 1. Efetue o produto AB onde A =
2 −1
1 3
e B =
4 2 0
5 1 3
.
A ordem da matriz produto C = A2×2B2×3 e C2×3, ou seja, C =
c11 c12 c13
c21 c22 c23
.
Utilizando a definicao de produto matricial dada em 1.1 cik =n∑
j=1
aijbjk, tem-se:
c11 =2∑
j=1
a1jbj1 = a11b11 + a12b21 = 2× 4 + (−1)× 5 = 8− 5 = 3
c12 =2∑
j=1
a1jbj2 = a11b12 + a12b22 = 2× 2 + (−1)× 1 = 4− 1 = 3
9
c13 =2∑
j=1
a1jbj3 = a11b13 + a12b23 = 2× 0 + (−1)× 3 = 0− 3 = −3
c21 =2∑
j=1
a2jbj1 = a21b11 + a22b21 = 1× 4 + 3× 5 = 4 + 15 = 19
c22 =2∑
j=1
a2jbj2 = a21b12 + a22b22 = 1× 2 + 3× 1 = 2 + 3 = 5
c23 =2∑
j=1
a2jbj3 = a21b13 + a22b23 = 1× 0 + 3× 3 = 0 + 9 = 9
Assim C = AB =
3 3 −3
19 5 9
.
Exemplo 2. O resultado do produto
1 −2 2
3 1 −1
2 2 −3
4
1
2
e igual a
6
11
4
, que
pode ser escrito como:
6
11
4
= 4
1
3
2
+ 1
−2
1
2
+ 2
2
−1
−3
.
Nesse caso diz-se que a matriz
6
11
4
e uma combinacao linear das matrizes
1
3
2
,
−2
1
2
e
2
−1
−3
, que se pode generalizar:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
...
am1 am2 · · · amn
.
x1
x2
...
xn
=
a11
a21
...
am1
x1 +
a12
a22
...
am2
x2 + · · · · · ·
a1n
a2n
...
amn
xn
10
Exemplo 3. Sejam as matrizes A23×5 = [aij] e B5×12 = [bij], em que aij =
0, se i 6= j
i, se i = j
e bij =
1, se i 6= j
i2, se i = j, determine o elemento c34 da matriz produto AB.
Empregando a definicao de produto matricial dada em 1.1 cik =n∑
j=1
aijbjk, escreve-se:
c34 =5∑
j=1
a3jbj4
= a31b14 + a32b24 + a33b34 + a34b44 + a35b54
= 0× 1 + 0× 1 + 3× 1 + 0× 42 + 0× 1 = 3
Definicao: Se A e uma matriz quadrada escreve-se A2 = A × A, A3 = A × A × A e
assim por diante. Considera-se A0 = I e A1 = A.
Exemplo 4. Dada a funcao f : R2×2 → R2×2 tal que f(x) = x2 − 3x + 2. Determine
f(A) para A =
1 0
4 2
. 3
f(A) = A2 − 3A + 2I
f(A) = A× A− 3A + 2I
f(A) =
1 0
4 2
×
1 0
4 2
− 3
1 0
4 2
+ 2
1 0
0 1
f(A) =
1 0
12 4
−
3 0
12 6
+
2 0
0 2
f(A) =
0 0
0 0
Observacoes sobre o produto matricial
a) A associatividade.
3R2×2 e o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 2× 2 e, f : R2×2 → R2×2 e uma funcao com
domınio e contra-domınio iguais a R2×2.
11
Sejam A, B e C matrizes tais que os seguintes produtos existam, entao A(BC) =
(AB)C.
b) A nao comutatividade.
Se as matrizes A e B sao tais que AB = BA dizemos que A e B comutam, por
exemplo:
• As matrizes A =
2 5
3 4
e B =
1 0
0 1
comutam.
• Porem A =
2 5
3 4
e B =
1 1
0 1
nao comutam.
Consequentemente dizemos o produto de matrizes nao e comutativo, uma vez que
nao se tem AB = BA para todas as matrizes A e B.
c) A distributividade em relacao a adicao.
Sendo A, B e C matrizes de ordens convenientes, entao:
• A(B + C) = AB + AC (distributividade a direita)
• (B + C)A = BA + CA (distributividade a esquerda)
c) A lei do cancelamento.
Uma igualdade X = Y , com X e Y matrizes de ordem m×n, pode ser multiplicada
a esquerda por uma matriz Pp×m, obtendo PX = PY . Analogamente poderıamos
multiplicar ambos os membros da igualdade X = Y a direita por uma matriz Qn×q
chegando a XQ = Y Q.
Ja a recıproca nao e valida, isto e, se XQ = Y Q nao implica em X = Y , analoga-
mente PX = PY tambem nao implica em X = Y . Tambem AB = 0 nao implica
em termos A = 0 ou B = 0.
Isto e a lei do cancelamento para matrizes nao e valida.
Teorema : Se Am×n e Bn×p entao (AB)T = BT AT .
Demonstracao:
Escreva A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p. O elemento cik de AB e dado por cik =n∑
j=1
aijbjk.
12
Considere c′ik como o elemento generico de (AB)T , assim c′ik =n∑
j=1
akjbji. Mas o elemento
b′ij de BT e b′ij = bji, logo o elemento c′ik de BT AT e c′ik =∑n
j=1 b′ija′jk =
∑nj=1 bjiakj, logo
c′ik de (AB)T o mesmo elemento c′ik de BT AT .
Definicao: Uma matriz Am×m = [aij] e chamada de idempotente se A2 = A.
Definicao: Uma matriz Am×m = [aij] e chamada de nilpotente de ındice k se Ak = 0
e Ak−1 6= 0, sendo k um inteiro positivo.
1.3.6 Matrizes em blocos
Uma matriz A pode-se particionada em matrizes menores chamadas blocos ou celas.
A matriz A assim escrita e chamada matriz em blocos.
Exemplo:
A matriz A =
−2 3 −1 0 0
1 −3 1 0 0
−1 2 −1 4 7
pode ser particionada em blocos, por exemplo,
como A =
−2 3 −1 0 0
1 −3 1 0 0
−1 2 −1 4 7
=
X Y
Z W
, onde X =
−2 3 −1
1 −3 1
, Y =
0 0
0 0
, Z =
(−1 2 −1
)e W =
(4 7
).
A vantagem da particao de uma matriz em blocos, vem do fato que as operacoes sobre
matrizes em blocos pode se feito operando-se os blocos, como se fossem elementos das
matrizes.
Sejam as matrizes de blocos A =
A11 A12 · · · A1p
A21 A22 · · · A2p
· · · · · · · · · · · ·Am1 Am2 · · · Amp
, B =
B11 B12 · · · B1n
B21 B22 · · · B2n
· · · · · · · · · · · ·Bp1 Bp2 · · · Bpn
13
e C =
C11 C12 · · · C1p
C21 C22 · · · C2p
· · · · · · · · · · · ·Cm1 Cm2 · · · Cmp
, entao:
a) kA =
kA11 kA12 · · · kA1p
kA21 kA22 · · · kA2p
· · · · · · · · · · · ·kAm1 kAm2 · · · kAmp
b) A + C =
A11 + C11 A12 + C12 · · · A1p + C1p
A21 + C21 A22 + C22 · · · A2p + C2p
· · · · · · · · · · · ·Am1 + Cm1 Am2 + Cm2 · · · Amp + Cmp
c) AB =
Q11 Q12 · · · Q1n
Q21 Q22 · · · Q2n
· · · · · · · · · · · ·Qm1 Qm2 · · · Qmn
, em que Qij = Ai1B1j + Ai2B2j + · · ·+ AipBpj
Exemplo: Empregando matrizes de blocos efetue AB, onde A =
−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
,
B =
−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1
.
AB =
−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
.
−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1
=
14
AB =
−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
.
−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1
=
X Y Z
W R T
E
F
G
=
X.E + Y.F + Z.G
W.E + R.F + T.G
=
X.E + 0 + 0
0 + R.F + T.G
=
X.E
R.F + T.G
=
X.E
R.F
+
0
T.G
=
4 + 3 −6− 9 0 0
−2− 3 3 + 9 0 0
1 −2 4 4
−1 2 1 1
+
0 0 0 0
−0 0 0 0
0 0 14 −7
0 0 4 −2
=
7 −15 0 0
−5 12 0 0
1 −2 18 −3
−1 2 5 −1
1.4 Matriz inversa
Definicao: Dada uma matriz Am×n, dizemos que uma matriz Gn×m e uma inversa
a esquerda da matriz A se e somente se GA = I. Analogamente Hn×m e uma inversa a
direita de A se AH = I.
Exemplo: Determine, se existirem, as inversas a esquerda e a direita da matriz A = 1 0 2
−1 1 1
15
(i) Inversa a esquerda (G):
Como a matriz A possui ordem 2 × 3 a matriz inversa a esquerda, caso exista, tera
ordem 3× 2, assim considere:
G =
a b
c d
e f
, tal que GA = I, ou ainda:
a b
c d
e f
1 0 2
−1 1 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a− b = 1
b = 0
2a + b = 0
c− d = 0
d = 1
2c + d = 0
e− f = 0
f = 0
2e + f = 1
,
que e um sistema de equacoes lineares incompatıvel, assim, a matriz A nao possui inversa
a esquerda.
(ii) Inversa a direita (H):
Como a matriz A possui ordem 2×3 a matriz inversa a direita, caso exista, tera ordem
3× 2, assim considere:
H =
a b
c d
e f
, tal que AH = I, ou ainda:
16
1 0 2
−1 1 1
a b
c d
e f
=
1 0
0 1
a + 2e = 1
b + 2f = 0
−a + c + e = 0
−b + d + f = 1
=⇒=⇒
a = 1− 2e
b = −2f
Substituindo as duas ultimas igualdades nas equacoes (3) e (4) iniciais, vem:
a = 1− 2e
b = −2f
−(1− 2e) + c + e = 0 ⇒ c = 1− 3e
−(−2f) + d + f = 1 ⇒ d = 1− 3f
e ∈ Rf ∈ R
Como o sistema apresentou-se indeterminado, existem varias matrizes inversas a di-
reita da matriz A e, escreve-se:
H =
1− 2e −2f
1− 3e 1− 3f
e f
, e ∈ R, f ∈ R
Veja que a medida que forem atribuıdos valores aos parametros e e f , serao obtidas
as diversas matrizes inversas a direita.
Teorema: Se existirem inversas a esquerda e a direita de uma matriz quadrada A elas
serao iguais e essa inversa sera unica.
demonstracao: Sejam G e H as inversas de A a esquerda e a direita, respectivamente,
assim GA = I e AH = I. Mas G = G.I = G(AH) = (GA)H = I.H = H. Para provar
a unicidade suponha que exista G′ que tambem seja uma inversa a esquerda de A, logo
como feito anteriormente chega-se a G′ = H entao G′ = G, ou seja a inversa e unica.
Teorema: Seja Am×n uma matriz retangular, m 6= n. Se m < n A nao possui inversa
a esquerda e se m > n A nao possuira inversa a direita.
Observacao. Veja que o teorema acima nada afirma com respeito a existencia de uma
matriz inversa, somente afirma que em determinado lado nao havera inversa.
17
Definicao: Se existirem inversas a esquerda e a direita de uma matriz A ela sera dita
inversıvel, regular ou nao singular e essa inversa (unica) sera denotada por A−1.
Teorema: Uma matriz e inversıvel se e somente se for quadrada e seu determinante
for diferente de zero.
Teorema: Se A e B forem matrizes inversıveis, entao:
i) (A−1)−1 = A
ii) (AT )−1 = (A−1)T
iii) (AB)−1 = B−1A−1
iv) Para todo k ∈ R∗ a matriz k.A e inversıvel e (k.A)−1 =1
kA−1
v) A−n = (A−1)n = A−1.A−1 · · ·A−1
Prova:
(i) (A−1)−1 = X ⇒ (A−1)(A−1)−1 = A−1X ⇒ I = A−1X ⇒ A = X.
Propriedades : Se A e B forem matrizes inversıveis, entao:
i) Se A e uma matriz inversıvel, entao A.AT e AT .A sao tambem inversıveis.
ii) Se A e uma matriz simetrica inversıvel, entao A−1 e simetrica.
iii) A inversa de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular inferior.
iv) A inversa de uma matriz triangular superior e uma matriz triangular superior.
1.4.1 Equivalencia de matrizes
Definicao: Chamam-se operacoes elementares por linhas de uma matriz A = [aij] de
ordem m× n:
op.1) A permuta de duas linhas de A.
18
op.2) A multiplicacao de uma linha por um escalar nao nulo.
op.3) A substituicao de uma linha pela sua soma com outra linha premultiplicada por
um escalar.
Definicao: Uma matriz B diz-se equivalente por linhas a uma matriz A se e somente
se puder ser obtida, a partir de A, mediante a aplicacao de um numero finito de operacoes
elementares sobre as linhas de A.
Exemplo. Dada a matriz A =
1 2 −1
−1 1 3
1 −1 0
determine uma matriz T , triangular
superior que seja equivalente por linhas a A.
Como foi pedido para se determinar uma matriz equivalente por linhas a matriz A,
basta escalonar, por linhas a matriz A ate obter-se uma matriz triangular superior.
1 2 −1
−1 1 3
1 −1 0
L2 → L2 + L1 ⇒
1 2 −1
0 3 2
1 −1 0
1 2 −1
0 3 2
1 −1 0
L3 → L3 − L1 ⇒
1 2 −1
0 3 2
0 −3 1
1 2 −1
0 3 2
0 −3 1
L3 → L3 + L2 ⇒
1 2 −1
0 3 2
0 0 3
Logo B =
1 2 −1
0 3 2
0 0 3
e uma matriz triangular superior equivalente por linhas a
matriz A.
Exemplo. Idem para A =
2 −1 2
1 −1 0
3 −2 2
19
2 −1 2
1 −1 0
3 −2 2
L1 ↔ L2 ⇒
1 −1 0
2 −1 2
3 −2 2
1 −1 0
2 −1 2
3 −2 2
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − 3L1
⇒⇒
1 −1 0
0 1 2
0 1 2
1 −1 0
0 1 2
0 1 2
L3 → L3 − L2 ⇒
1 −1 0
0 1 2
0 0 0
e, C =
1 −1 0
0 1 2
0 0 0
e uma matriz triangular superior equivalente por linhas a
matriz A.
Observacao: E importante observar que as operacoes elementares op.1 e op.2 nos
fornecem outra operacao, nao elementar, mas que pode ser de muita utilidade:
Li → cLi + dLj
Definicao: Uma matriz m× n e dita escalonada, ou em forma de escada, se:
a) As linhas nulas ocorrem depois das linhas nao nulas.
b) Se o primeiro nao nulo de uma linha ocorrer na coluna k entao o primeiro elemento
nao nulo da linha seguinte devera estar depois da coluna k.
Definicao: Chama-se matriz escalonada reduzida por linhas a uma matriz A tal que:
a) A matriz e escalonada.
b) Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha tem todos os
outros seus elementos iguais a zero.
c) O primeiro elemento nao nulo de linha e 1.
20
Teorema: Toda matriz Am×n sobre um corpo F e equivalente por linhas a uma unica
matriz B, escalonada reduzida por linhas.
Definicao: Chama-se matriz elementar a matriz que e obtida a partir da matriz
identidade utilizando-se uma unica operacao elementar sobre as linhas da matriz identi-
dade.
Exemplos: A =
1 0 0
1 1 0
0 0 1
, B =
1 0
0 2
sao matrizes elementares, enquanto
que C =
1 0
1 2
e D =
1 0 0
1 2 0
0 0 1
nao sao matrizes elementares.
Teorema: Matrizes elementares sao inversıveis e suas inversas sao matrizes elementares
do mesmo tipo.
Teorema: Qualquer operacao elementar sobre as linhas de uma matriz Am×n pode se
obtida multiplicando-se a matriz A pela matriz elementar E, a esquerda, onde E e obtida
aplicando-se a matriz identidade a operacao elementar desejada.
Exemplo:
1 0
1 1
3 −5
1 2
=
3 −5
4 −3
e o mesmo que aplicar a operacao
elementar L2 → L2 + L1.
Teorema:Uma matriz Am×n e equivalente por linhas a uma matriz Bm×n se e somente
se existe uma matriz P produto de matrizes elementares, onde A = PB.
Teorema: Uma matriz A quadrada sera inversıvel se e somente se for equivalente por
linhas a matriz identidade.
demonstracao:
(⇒) Seja A inversıvel e B a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. Entao
existe uma matriz P , que e produto de matrizes elementares, tal que B = PA. Pelo fato
de A ser inversıvel tem-se det(A) 6= 0 e como P e o produto de matrizes elementares
tem-se tambem que det(P ) 6= 0, logo det(B) 6= 0 o que implica que B nao possui linhas
21
nulas e assim B = I. Entao A e equivalente por linhas a matriz identidade.
⇐ Sendo A equivalente por linhas a matriz identidade, existe P , produto de matrizes
elementares, tal que I = PA. Entao det(I) = det(PA) ou ainda det(I) = det(P )det(A),
mas det(I) = 1 logo det(A) 6= 0 e assim A e inversıvel.
1.4.2 Calculo da inversa empregando operacoes elementares
Como consequencia do teorema anterior pode-se escrever o seguinte algoritmo para a
determinacao da inversa de uma matriz quadrada A.
Algoritmo: Devera ser construıda uma matriz de blocos [A... I] e em seguida apli-
camos operacoes elementares sobre as linhas desta matriz de blocos com o objetivo de
conduzir a matriz A a matriz identidade. Assim no lugar da matriz A teremos a matriz
identidade e no lugar da matriz identidade teremos a inversa de A.
Exemplo 1. Determine, utilizando o algoritmo anterior, a inversa da matriz
1 0 0
1 2 0
0 0 1
1 0 0 1 0 0
1 2 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
L2 → L2 − L1
1 0 0 1 0 0
0 2 0 −1 1 0
0 0 1 0 0 1
L2 → L2
2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 −1/2 1/2 0
0 0 1 0 0 1
A−1 =
1 0 0
−1/2 1/2 0
0 0 1
22
Exemplo 2. Determine a matriz inversa de
0 1 2
1 2 1
−1 3 8
.
0 1 2 1 0 0
1 2 1 0 1 0
−1 3 8 0 0 1
L2 ↔ L1
1 2 1 0 1 0
0 1 2 1 0 0
−1 3 8 0 0 1
L3 → L3 + L1
1 2 1 0 1 0
0 1 2 1 0 0
0 5 9 0 1 1
L1 → L1 − 2L2
L3 → L3 − 5L2
1 0 −3 −2 1 0
0 1 2 1 0 0
0 0 −1 −5 1 1
L1 → L1 − 3L3
L2 → L2 + 2L3
1 0 0 13 −2 −3
0 1 0 −9 2 2
0 0 −1 −5 1 1
L3 → −L3
1 0 0 13 −2 −3
0 1 0 −9 2 2
0 0 1 5 −1 −1
A−1 =
13 −2 −3
−9 2 2
5 −1 −1
23
1.4.3 Calculo da inversa empregando matrizes de blocos
Seja A uma matriz de ordem n× n da forma A =
P Q
R S
, em que P tem ordem
k×k, S e de ordem (n−k)× (n−k), Q e de ordem k× (n−k) e R tem ordem (n−k)×k.
Supondo que P−1 e conhecida ou e facilmente determinada, pode mostrar que A−1 pode
ser obtida atraves de um procedimento eficiente utilizando somente A−1.
Considere que A−1 =
X Y
Z W
, assim pode-se escrever:
P Q
R S
X Y
Z W
=
Ik 0
0 In−k
, em que Ik e In−k sao respectivamente as matrizes identidade de ordem k e n−k, e tem-se
PX + QZ = Ik (1)
PY + QW = 0 (2)
RX + SZ = 0 (3)
RY + SW = In−k (4)
Isolando Y na equacao (2) tem-se Y = −P−1QW que substituıdo em (4) resulta
W = (S −RP−1Q)−1.
Agora a partir de (1) escreve-se X = P−1 − P−1(QZ) e levado em (3) implica em
Z = WRP−1, assim:
W = (S −RP−1Q)−1
Y = P−1QW
Z = −WRP−1
X = P−1 − P−1(QZ)
.
Exemplo: Determine, empregando matrizes de blocos, a inversa de
A =
1 0 3 −1
0 0.5 4 −2
5 −3 −10 7
6 −4 −14 10.5
.
24
Tome: P =
1 0
0 0.5
, Q =
3 −1
4 −2
,R =
5 −3
6 −4
e S =
−10 7
−14 10.5
.
Como P−1 =
1 0
0 2
escreve-se P−1Q =
3 −1
8 −4
Empregando as relacoes deduzidas anteriormente, vem:
W = (S −RP−1Q)−1 =
−1 0
0 2
Y = P−1QW =
3 2
8 8
Z = −WRP−1 =
5 −6
−12 16
X = P−1 − P−1(QZ) =
−26 34
−88 114
assim,
A−1 =
X Y
Z W
=
−26 34 3 2
−88 114 8 8
5 −6 −1 0
−12 16 0 2
.
1.5 Execıcios
1. Escreva em forma de tabela as seguintes matrizes:
(a) A2×3 = [aij] onde aij = i2 − j
(b) B3×3 = [bij] onde bij =
1 , i = j
0 , i 6= j
(c) C3×1 = [cij] onde cij = i + j
(d) D1×4 = [dij] onde dij =
i , i = j
−j , i 6= j
2. Determine a matriz transposta de:
(a) D1×4 = [dij] onde dij =
i , i = j
−j , i 6= j
25
(b) I3×3 = [iij] onde iij =
i , i = j
0 , i 6= j
(c) E3×2 = [eij] onde eij =
i + j , i = j
1− j , i 6= j
3. Resolva a equacao matricial
x y
8 z
=
3 x + 1
8 x + y
4. Determine x e y em
x 2
1 0
+
−1 7
4 3
=
−7 y
5 3
5. Dadas as matrizes A =
y + 4 2
9 x2 + 4
e B =
12 2
9 53
calcular x e y de
modo que A = B.
6. Dadas as matrizes A =
2 3 8
−5 9 −6
7 4 −1
, B =
−3 7 1
−4 2 5
0 9 4
e C =
7 −8 3
4 −3 2
9 −5 1
.
Calcular:
(a) A + B
(b) C − A
(c) 3A− 2B + 4C
7. Forneca um exemplo de uma matriz de ordem 3 × 3 que seja antisimetrica. (nota:
uma matriz e dita antisimetrica se AT = −A)
8. Seja A =
a b c
d e f
g h i
. Calcule:
(a) A− AT
(b) A + AT
9. Dadas as matrizes A =
1 2
4 −2
, B =
2 −2
5 0
e C =
0 1
2 −1
, deter-
mine X tal que 3X + B = 2A− C.
26
10. Dadas as matrizes A =
1 0
4 2
e B =
0 2
2 1
resolva o sistema
2X + Y = 3A−B
X − 2Y = 5A + 2B.
11. Verifique se o produto A.AT e uma matriz simetrica, sendo A =
−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1
12. Dadas as matrizes A =
4 −5
3 −7
−2 4
e B =
−4 6 −3
−3 5 8
. Calcule (AB)T e
BT AT verificando a igualdade (AB)T = BT AT
13. Verdadeiro ou falso? Se a afirmacao for verdadeira prove, caso falsa de um con-
traexemplo.
(a) A matriz nula O3×3 e uma matriz diagonal.
(b) A matriz identidade I3×3 e triangular inferior.
(c) Toda matriz escalar e triangular superior.
(d) O produto de duas matrizes quadradas sempre existe.
(e) Existem matrizes quadradas nao nulas que elevadas ao quadrado resultam na
matriz nula.
(f) AX = AY implica em X = Y para qualquer matriz A.
(g) (A−B)(A + B) = A2 −B2
(h) Se A e uma matriz triangular superior entao AT e triangular inferior.
(i) Seja An×n entao AAT e simetrica.
(j) O produto de matrizes triangulares inferiores (superiores) de mesma ordem e
outra matriz triangular inferior (superior) de mesma ordem.
(k) (A + B)2 = (A + B)(A + B)
(l) Uma matriz escalar de ordem m×m comuta com todas as matrizes de ordem
m×m.
27
14. De um exemplo de uma matriz nilpotente de ındice 4.
15. Determine X na equacao matricial AXB = C, sabendo que PA = BQ = I.
16. Dada a funcao f : R2×2 → R tal que f(x) = 2x2 − x + 4. Calcule f(A) sendo −1 2
3 1
17. Uma rede de comunicacao tem cinco locais com transmissores de potencias distin-
tas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz a seguir, significa que a estacao i pode
transmitir diretamente a estacao j, e aij = 0 significa que a transmissao da estacao
i nao alcanca a estacao j.
A =
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
(a) Qual o significado da diagonal principal ser nula.
(b) Calcule B = A2
(c) Qual o significado do elemento b13 = 2 em A2
(d) Qual o significado da matriz A2
18. Existem tres marcas de automoveis disponıveis no mercado: o Jacare, o Piranha e
o Urubu. O termo aij da matriz A, a seguir, e a probabilidade de que um dono de
carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
0.7 0.2 0.1
0.3 0.5 0.2
0.4 0.4 0.2
(a) Calcule A2
(b) Qual o significado da matriz A2
19. Determine An, para:
(a) A =
1 0
0 2
28
(b) B =
1 0 0
0 −1 0
0 0 3
(c) R =
cos(x) −sen(x)
sen(x) cos(x)
20. Determine, se existir, uma matriz A tal que:
(a) A2 =
−5 −4
6 −5
(b) A2 =
0 1
0 0
21. Determine todas as matrizes A2×2 tais que AB = BA para B =
2 0
−1 1
22. Dada uma matriz An×n = [aij], entao o traco de A, denotado tr(A), e definido como
a soma de todos os elementos da diagonal principal de A, isto e, tr(A) =i=n∑i=1
aii.
Mostre que:
(a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
(b) tr(AT ) = tr(A)
(c) tr(AT A) ≥ 0
23. Calcule o traco de uma matriz escalar de ordem n× n.
24. Se A e uma matriz n× n e A4 = 0, verifique que (In − A)−1 = In + A + A2 + A3.
25. Sendo A =
2 0
0 3
calcule A2, A3, · · · An.
26. Seja A =
11
2
01
3
. Usando o Octave, calcule a sequencia A, A2, A3, . . . , An, . . .
. Descreva o comportamento dessa sequencia matricial.
29
27. Uma matriz real simetrica A e positiva definida de para todo vetor (coluna) x
tem-se xT Ax e positivo. Verifique se as matrizes A =
1 0 −2
0 2 −2
−2 −2 7
, B =
1 0 1
0 1 2
1 2 3
e C =
4 −2 12
−2 10 −3
12 −3 41
sao positiva definidas.
28. Uma matriz real S e ortogonal se ST S = SST = I.
Mostre que S =
1/9 8/9 −4/9
4/9 −4/9 −7/9
8/9 1/9 4/9
e ortogonal.
29. Descreva como determinarıamos somente o elemento p7,4 da matriz P = AB, onde
A23×12 e B12×9.
30. Considere a matriz S =
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
, mostre que Sn+1 = 3nS para todo n
inteiro positivo.
31. Encontre todas as matrizes
x y
z t
que comutam com
1 1
0 1
.
32. Verifique se a matriz X =
1
2
1
e solucao da equacao matricial AX = 2X com
A =
3 −2 0
−2 3 0
0 5 5
.
33. Determine uma matriz nao nula de ordem 2× 2 tal que B2 = 0.
34. Resolva o sistema de equacoes
X + Y = A + B
X − Y = −A + C, em que A =
3 −2
−2 3
0 5
,
30
B =
0 0
3 0
5 5
e C =
1 −2
−2 1
4 2
.
35. Prove que se A e B sao matrizes simetricas entao AB sera simetrica se e somente
se AB = BA.
36. Calcule BA sendo A =
2 −3 0 0 0 0
1 3 0 0 0 0
0 0 0 1 −4 7
0 0 0 1 1 −2
e B =
2 −3 0 0
1 3 0 0
0 0 −1 4
0 0 1 −1
.
37. Dada a matriz A =
1 2
3 6
. Determine uma matriz nao nula B2×3 tal que
AB = 0.
38. Confirme as respostas encontradas utilizando o software Octave.
39. Verificar se a matriz A =
−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3
e a inversa de B =
−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1
.
40. Determine m e n para que a matriz B =
5 22
2 9
seja a inversa de A =
m −22
−2 n
41. Determine a inversa das seguintes matrizes, se existirem: ,
31
(a) A =
1 2 1
0 1 3
1 2 3
(b) B =
1 1 1
0 1 2
2 3 4
(c) C =
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 −2 0
(d) D =
1 2 1
0 1 1
1 1 1
(e) E =
1 2 1
2 1 1
1 −1 0
(f) F =
i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
(g) G =
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
(h) H =
a 0 0 0
0 b 0 0
0 1 c 0
0 0 0 d
(i)I =
cos(θ) sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)
(j) J =
12(ex + e−x) 1
2(ex − e−x)
12(ex − e−x) 1
2(ex + e−x)
42. Uma maneira para codificar uma mensagem e atraves da multiplicacao de matri-
zes. Vamos associar as letras do alfabeto aos numeros, segundo a correspondencia
seguinte:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja ”PUXA VIDA”. Podemos formar uma
matriz 3× 3 assim:
P U X
A − V
I D A
, que usando a correspondencia numerica fica:
M =
15 20 23
1 0 21
9 4 1
Agora seja C uma matriz qualquer 3× 3 nao singular, por exemplo:
C =
1 0 1
−1 3 1
0 1 1
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo M.C,
32
15 20 23
1 0 21
9 4 1
.
1 0 1
−1 3 1
0 1 1
=
−5 83 58
1 21 22
5 13 14
. Transmitimos esta nova
matriz(na pratica, envia-se a cadeia de numeros−5, 83, 58, 1, 21, 22, 5, 13, 14). Quem
recebe a mensagem decodifica-a atraves da multiplicacao pela inversa(M.C).C−1 =
M e posterior transcricao dos numeros por letras. C e chamada matriz chave para
o codigo.
(a) Voce recebeu a mensagem: −12, 48, 23,−2, 42, 26, 1, 42, 29. Utilizando a mesma
matriz chave traduza a mensagem.
(b) Acontece que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voce
substituir a matriz chave por
1 1 −1
1 1 0
0 0 2
. Voce transmite a mensagem
”CRETINO...”a ele. Por que nao sera possıvel a ele decodificar sua mensagem?
(c) Escolha uma matriz chave que de para codificar palavras ate 16 letras. Codi-
fique e descodifique a vontade! Se possuir algum software que faca o produto
de matrizes, o utilize neste ıtem.
43. Verdadeiro ou falso? Se a afirmacao for verdadeira prove, caso falsa de um con-
traexemplo.
(a) Se a matriz A possui uma linha nula entao AB tambem tem uma linha de
elementos nulos.
(b) Se a matriz A possui uma coluna nula entao AB tambem tem uma coluna de
elementos nulos.
(c) Se A e B sao matrizes diagonais n× n entao AB = BA.
(d) Se AAT = 0 entao A = 0.
(e) A inversa de uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior.
(f) Se tr(AAT ) = 0 entao A = 0.
(g) Sejam duas matrizes A e B de ordem n × n equivalentes por linhas. A e
inversıvel se e somente se B e inversıvel.
(h) Se A, B e C sao matrizes n× n, entao (ABC)−1 = C−1A−1B−1.
33
(i) Se A e inversıvel entao (A−1)−1 = A.
(j) Se A e inversıvel entao (kA)−1 = kA−1.
(k) Nao existem matrizes A2×2, diferente da matriz identidade, que seja auto-
inversa, isto e, tal que A = A−1.
(l) Se uma matriz A e inversıvel entao A2 sempre sera inversıvel.
(m) Se as matrizes An×n e Bn×n sao inversıveis entao A + B tambem e inversıvel.
(n) Seja A inversıvel, entao se AB = AC tem-se B = C.
(o) Seja A uma matriz quadrada tal que I − A e inversıvel entao A(I − A)−1 =
(I − A)−1A.
44. Suponha que A e B sao matrizes quadradas e que AB = 0. Se B e inversıvel calcule
a matriz A.
45. As operacoes elementares
op1. L2 → L2 − 2L1
op2. L3 → L3 − 4L1
op3. L3 → L3 + L2
op4. L3 → −L3
op5. L2 → L2 + L3
op6. L1 → L1 − 2L3
praticadas na ordem em que estao escritas deixam a matriz A3×3 equivalente por
linhas a matriz identidade. Determine as matrizes A e A−1.
46. Explique, utilizando os teoremas vistos em sala, o procedimento pratico para a
determinacao da matriz inversa, isto e, [A... I] escalonado se torna [I
... A−1].
47. Se A−1 =
1 3 0
0 1 1
1 −1 4
e B−1 =
2 1 1
0 0 −2
1 1 −1
. Calcule (AB)−1.
48. Dada a matriz A =
0 1 2
1 2 1
−1 3 8
, resolva a equacao A−1.X.AT = A, sem substi-
tuir X por uma matriz generica.
34
49. Resolva as seguintes equacoes matriciais, sendo A inversıvel:
(a) AX = B
(b) XA = B
(c) X−1A = B
(d) AX−1 = B
(e) AXB = BA
(f) (AX)T = B
(g) (AX)−1 = B
(h) ((AX)−1B)T = A
(i) AX = AT + I
50. Mostre que a inversa de A =
cos(x) sen(x)
−sen(x) cos(x)
e A−1 =
cos(x) −sen(x)
sen(x) cos(x)
.
51. Resolva, novamente, os exercıcios 39, 40, 41, 42, 47 e 48 utilizando o Octave.
35
Capıtulo 2
Determinantes
2.1 Definicoes
Definicao: Seja S = {1, 2, 3, . . . , n} o conjunto de todos os numeros inteiros de 1
a n, dispostos em ordem crescente. Uma outra ordem j1, j2, . . . , jn dos elementos de S
e chamada uma permutacao de S.
Definicao: Uma permutacao j1, j2, . . . , jn de Sn = {1, 2, 3, . . . , n} tem uma
inversao se um inteiro jr precede um inteiro menor js. Uma permutacao e denominada
par se o numero total de inversoes e par. Uma permutacao e denominada ımpar se o
numero total de inversoes e ımpar.
Exemplo 1: Seja S4 = {1, 2, 3, 4}. A permutacao (4, 1, 3, 2), que representaremos
por 4132, tem 4 inversoes: o 4 antes do 1, o 4 antes do 3, o 4 antes do 2, o 3 antes do 2.
Portanto, a permutacao 4132 de S4 e uma permutacao par, pois tem um numero par de
inversoes.
Exemplo 2: Seja S2 = {1, 2}. A permutacao 12 nao tem nenhuma inversao. Logo,
e uma permutacao par. Ja a permutacao 21 e uma permutacao ımpar, pois tem apenas
uma inversao, o 2 antes do 1.
Definicao: Seja Am×m uma matriz quadrada, define-se como determinante de A, de-
36
notado por det(A) ou |A|, como det(A) =∑
(±)a1j1 .a2j2 .a3j3 . . . amjm , onde o somatorio
e tomado sobre todas as permutacoes j1, j2, . . . , jm do conjunto Sm = 1, 2, 3, . . . , m. O
sinal do termo correspondente a permutacao j1, j2, . . . , jm e + se ela for par e sera − se
for ımpar.
Pode-se constatar que cada termo do det(Anxn) e um produto de n elementos de A,
contento exatamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Os ındices
relativos as linhas estao na sua ordem natural (1, 2, 3, . . . , n), enquanto que os ındices
relativos as colunas estao na ordem j1, j2, . . . , jn . Como a permutacao j1, j2, . . . , jn
consiste nos numeros de 1 a n em uma ordem diferente da usual, ela nao tem repeticao.
Assim, o det(A) tem n! termos.
Calcule, usando a definicao, o determinante das seguintes matrizes:
1. A =
a11 a12
a21 a22
Na definicao de determinante, det(A) =∑
(±)a1j1 .a2j2 , tem-se S = {1, 2}, cujas
permutacoes sao 1, 2 e 2, 1 que possuem, respectivamente, 0 e 1 inversao, assim:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣= a11.a22 − a12.a21
2. A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Pela definicao de determinante temos:
det(A) =∑
(±)a1j1 .a2j2 .a3j3
Como S3 = {1, 2, 3}, entao as permutacoes sao 123, 132, 213, 231, 312, 321 com,
respectivamente, 0, 1, 1, 2, 2, 3 inversoes. Assim,
det(A) = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
No caso particular de determinantes de matrizes 3 × 3, pode-se empregar a regra de
Sarrus.
37
2.2 Propriedades
(i) det(AT ) = det(A)
(ii) Se B e uma matriz obtida permutando-se duas linhas (ou duas colunas) de A, entao
det(B) = −det(A),
(iii) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais ou, ainda, se A possui uma linha ou
uma coluna nula, entao det(A) = 0.
(iv) Se Be uma matriz obtida multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um
numero real k, entao det(B) = kdet(A). Consequentemente, det(kB) = kndet(A)
se An×n.
(v) Se substituirmos uma linha r (ou coluna r) pela soma dos elementos de r com os corre-
spondentes elementos de uma linha s (ou coluna s) multiplicada por uma constante
k nao nula, com r 6= s, obtendo-se assim uma matriz B, entao det(B) = det(A).
(vi) Se A e uma matriz triangular superior ou inferior, entao det(A) = a11.a22. . . . .ann,
isto e, o determinante de A e igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
(vii) det(AB) = det(A).det(B).
(viii) det(A−1) =1
det(A), se A e inversıvel.
(ix) det(λA) = λndet(A), onde A tem ordem n× n.
2.3 Desenvolvimento por Laplace
Seja Am×m uma matriz quadrada entao:
det(A) =m∑
j=1
aij(−1)i+jdet(Aij) ,
onde det(Aij) e o determinante da submatriz Aij obtida a partir de A suprimindo-se
a i-esima linha e a j-esima coluna.
38
Exemplo. Calcule o determinante da matriz A =
3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L3 → L3 + 2L1
L4 → L4 + L1
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
5 2 0 3
6 3 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
5 2 0 3
6 3 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) = (−1)(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
5 2 3
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ (0)(−1)2+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
5 2 3
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ 0(−1)3+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
1 1 1
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
0(−1)4+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
1 1 1
5 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) = (−1)(8 + 15 + 18− 12− 9− 20
)
det(A) = 0
39
2.4 Execıcios
1. Quantas inversoes de 1, 2, 3, 4, 5 existem nos conjuntos:
(a) 3, 5, 4, 1, 2
(b) 2, 1, 4, 3, 5
(c) 5, 4, 3, 2, 1
2. Calcule o valor do determinante da matriz A =
1 2 3
−1 1 −1
−1 4 1
pela definicao.
Depois confirme o resultado utilizando a regra de Sarrus e o Octave.
3. Dadas as matrizes A =
1 2
1 0
e B =
3 −1
0 1
, calcule:
(a) det(A) + det(B)
(b) det(A + B)
4. Sejam A e B matrizes de ordem n×n. Se a afirmacao for verdadeira justifique, caso
falsa de um contra-exemplo.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(AT ) = det(A)
(c) det(2A) = 2det(A)
(d) det(A2) = (det(A))2
(e) Se det(A) = 1 entao A−1 = A
(f) det(AT BT ) = det(A).det(BT ).
(g) Se A = A−1 entao det(A) e somente igual a 1.
5. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
(a) A =
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
40
(b) B =
i 3 2 −1
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
(c) C =
1 0 0 0 0
3 −2 0 0 0
2 1 −1 0 0
−2 4 0 1 0
−3 5 8 −4 2
6. Qual o valor do determinante de uma matriz ortogonal A?
7. Sendo A =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
determine os valores λ tais que det(A− λI) = 0.
41
Capıtulo 3
Sistemas de equacoes lineares
3.1 Conceitos
Um sistema de m equacoes lineares com n incognitas x1, x2, · · · , xn e com coeficientes
aij e termos independentes bk, definidos sobre um corpo F e escrito de seguinte forma:
S :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
· · ·am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
Sistemas lineares e matrizes
Se no sistema S anterior fizermos Am×n = [aij], XT = [x1, x2, · · · , xn] e bT =
[b1, b2, · · · , bm] teremos a forma matricial:
Ax = b
Quando a matriz b = 0 o sistema sera chamado de sistema linear homogeneo.
Solucao de um sistema linear
Chama-se solucao de um sistema linear S a uma matriz x que verifique simultanea-
42
mente todas as equacoes de S : Ax = b. Conceitua-se que resolver um sistema linear e
determinar todas as suas solucoes, enquanto que discutir um sistema e discutir sob quais
condicoes este sistema tera ou nao solucoes.
Com respeito ao numeros de solucoes um sistema de equacoes lineares pode ser clas-
sificado em:
• SPD - Sistema possıvel e determinado, quando o sistema possui solucao unica;
• SPI - Sistema possıvel e indeterminado, quando o sistema possui varias solucoes;
• SI - Sistema incompatıvel quando o sistema nao apresenta solucao.
Equivalencia de sistemas lineares
Dois sistemas lineares S1 e S2 serao chamados de equivalentes se e somente se possuırem
as mesmas solucoes, ou seja, toda solucao de S1 tambem e solucao de S2 e vise-versa.
Assim torna-se claro que para determinarmos a solucao de um sistema linear S deveremos
encontrar um sistema S1 equivalente a S mas que possua uma solucao mais visıvel. Como
por exemplo:
S :
2x + y = 9
−2x + 2y = 0e S1 :
2x + y = 9
+ 3y = 9
Veja que no sistema S1 a solucao e facilmente encontrada, x = y = 3.
Teorema: Se as matrizes [A...B] e [A1
...B1] forem equivalentes por linhas entao os siste-
mas A1x = B1 e Ax = B serao equivalentes.
Posto
Chama-se posto de uma matriz Am×n, denotado por p(A), ao numero de linhas nao
nulas de uma matriz escalonada equivalente por linhas a A.
Nulidade
Chama-se nulidade de uma matriz Am×n a n− p(A).
Teorema:
43
Dado um sistema de equacoes lineares Ax = b, com Am×n.
(i) Se p(Ab) > p(A) o sistema sera incompatıvel.
(ii) Se p(Ab) = p(A) < n o sistema sera possıvel e indeterminado, apresentando mais de
uma solucao.
(iii) Se p(Ab) = p(A) = n o sistema sera possıvel e determinado, apresentando uma unica
solucao.
Exemplos
1. Resolver os seguintes sistemas de equacoes lineares:
a)
x + 2y − 3z = −3
2x − y + z = 3
−x − y − z = −4
2x − 3z = −4
1 2 −3 −3
2 −1 1 3
−1 −1 −1 −4
2 0 −3 −4
1 2 −3 −3
2 −1 1 3
−1 −1 −1 −4
2 0 −3 −4
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1
L4 → L4 − 2L1
1 2 −3 −3
0 −5 7 9
0 1 −4 −7
0 −4 3 2
L2 ↔ L3
44
1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 −5 7 9
0 −4 3 2
L3 → L3 + 5L2
L4 → L4 + 4L2
1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 0 −13 −26
0 0 −13 −26
L4 → L4 − L3
1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 0 13 26
0 0 0 0
⇒ x + 2× 1− 3× 2 = −3⇒x = 1
⇒y − 4× 2 = −7⇒ y = 1
⇒13z = 26 ⇒z = 2
b)
x + 2y − 3z + w = −3
2x − y + z − 2w = 3
x − 8y + 11z − 7w = 9
1 2 −3 1 −3
2 −1 1 −2 3
1 −8 11 −7 9
1 2 −3 1 −3
2 −1 1 −2 3
1 −8 11 −7 9
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
1 2 −3 1 −3
0 −5 7 −4 9
0 −10 14 −8 12
L3 → L3 − 2L2
1 2 −3 1 −3
0 −5 7 −4 9
0 0 0 0 −6
⇒ 0w = −6 ⇒ Sistema incompatıvel
45
c)
3x + 2y − z − w = −3
2x − y + z − 2w = 3
−x − 3y + 2z − w = 6
3 2 −1 −1 −3
2 −1 1 −2 3
−1 −3 2 −1 6
3 2 −1 −1 −3
2 −1 1 −2 3
−1 −3 2 −1 6
L2 → L2 − L1
3 2 −1 −1 −3
−1 −3 2 −1 6
−1 −3 2 −1 6
L3 → L3 − L2
3 2 −1 −1 −3
−1 −3 2 −1 6
0 0 0 0 0
L2 → 3L2 + L1
3 2 −1 −1 −3
0 −7 5 −4 15
0 0 0 0 0
⇒ −7y + 5z − 4w = 15 ⇒ y =
5z − 4w − 15
7
3x + 2y − z − w = −3 ⇒ 3x + 25z − 4w − 15
7− z − w = −3 ⇒ x =
−z + 5w + 3
7
2. Discutir os seguintes sistemas de equacoes lineares:
a)
x − y − z = 1
2x − y + bz = 3
−x − y − z = a
1 −1 −1 1
2 −1 b 3
−1 −1 −1 a
46
1 −1 −1 1
2 −1 b 3
−1 −1 −1 a
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1
1 −1 −1 1
0 1 b + 2 1
0 −2 −2 a + 1
L3 → L3 + 2L2
1 −1 −1 1
0 1 b + 2 1
0 0 2b + 2 a + 3
⇒ (2b + 2)z = a + 3
• Sistema possıvel e determinado: 2b + 2 6= 0 ⇒ b 6= −1
• Sistema possıvel e indeterminado: 2b + 2 = 0 e a + 3 = 0 ⇒ b = −1 e a = −3
• Sistema incompatıvel: 2b + 2 = 0 e a + 3 6= 0 ⇒ b = −1 e a 6= −3
b)
x + y + a2z = 1
bx + y + abz = 1
b2x + by − a3z = ab
1 1 a2 1
b 1 ab 1
b2 b −a3 ab
1 1 a2 1
b 1 ab 1
b2 b −a3 ab
L2 → L2 − bL1
L3 → L3 − bL2
1 1 a2 1
0 1− b ab− a2b 1− b
0 0 −a3 − ab2 ab− b
⇒
1 1 a2 1
0 1− b ab(1− a) 1− b
0 0 −a(a2 + b2) b(a− 1)
• Sistema possıvel e indeterminado: −a(a2 + b2) = 0 e b(a − 1) = 0 ou 1 − b = 0 e
ab(1 − a) = 0 e 1 − b = 0 ⇒ b = 1, isto e, a = 0 e b = 0 ou a = b = 1 ou a = 0 e
b = 1.
47
• Sistema incompatıvel: −a(a2 + b2) = 0 e b(a− 1) 6= 0 ou 1− b = 0 e ab(1− a) = 0
e 1− b 6= 0 ⇒ b 6= 1, isto e, a = 0 e b 6= 0.
• Sistema possıvel e determinado: Nos casos contrarios.
3.2 Exercıcios
1. Determine todas as solucoes, se existirem, dos seguintes sistemas de equacoes linea-
res.
a)
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
b)
x + y + 2z − 5t = 3
2x + 5y − z − 9t = −3
2x + y − z + 3t = −11
x − 3y + 2z + 7t = −5
c)
x + 2y + 3z + 4w = 5
x + 3y − 5z + 7w = 11
x − z − 2w = −6
d)
x + 2y + 2z = 0
−x + 3y + 2z = 0
2x + y − 2z = 0
e)
x + 2y + z + w = 0
x + w = 0
x + y + z = 0
f)
x + 2y = 0
−x − 2y = 0
g)
1 1 1
2 5 −2
.
x
y
z
=
4
3
h)
1 3 2 3 −7
2 6 1 −2 5
1 3 −1 0 2
.
x1
x2
x3
x4
x5
=
14
−2
−1
2. Resolva os sistemas anteriores usando o comando \ do Octave.
3. Resolva os sistemas anteriores usando o comando rref do Octave.
48
4. Resolva por escalonamento e tambem com o Octave o sistema
x + = 1
+ 0.001y = 0.001
+ 0.0001z = 0.0001
x + 0.001y + 0.0001z = 1.0011
5. No exercıcio 3 anterior substitua a matriz de termos independentes por b =
1.01
0.011
−0.0099
1.0021
e resolva novamente por escalonamento e tambem pelo Octave. Compare as solucoes.
O que sera que aconteceu com o software?
6. Sabe-se que uma alimentacao diaria equilibrada em vitaminas deve constar de 170
unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina
C, 180 unidades de vitamina D e 350unidades de vitamina E. Com o objetivo de
descobris como devera ser uma refeicao equilibrada, foram estudados 5 alimentos.
Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que:
i) O elemento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade
de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
ii) O elemento II tem 9 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 0 unidade
de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E.
iii) O elemento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5
unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
iv) O elemento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1
unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina
E.
v) O elemento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade
de vitamina C, 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir para
que nossa alimentacao seja equilibrada?
49
7. Discutir os seguintes sistemas:
a)
ax + y − az = 0
ax + y − z = 2− a
x + ay − z = −a
b)
x + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
c)
ax + 2y = 6
3x − y = −2
x + y = 0
d)
x + ay − z = a
x − y + az = −a2
ax + y + z = ab
f)
x − 4y + a2z = a2
2x + 2y − 2az = ab
4x − y + 4z = b2
g)
x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
8. Resolva o sistema nao linear
2sen(α) + cos(β) = 1
7sen(α) + 6cos(β) − tg(γ) = 1
4sen(α) + 4cos(β) − tg(γ) = 0
, para os
angulos incognitos α, β e γ, em que 0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ β ≤ 2π e 0 ≤ γ ≤ π.
9. Determine o polinomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d tal que p(0) = −3, p(1) = −5,
p(2) = −5 e p(3) = 9
10. Sejam U e V matrizes-colunas solucoes do sistema linear homogeneo Ax = 0.
(a) Mostre que U + V e uma solucao
(b) Mostre que U − V e uma solucao
(c) Mostre que rU e uma solucao qualquer que seja o escalar r.
(d) Mostre que rU + sV e uma solucao quaisquer que sejam os escalares r e s.
(e) De exemplos numericos para ilustrar este exercıcio
11. Dada a matriz
a b
c d
. Mostre que A e equivalente por linhas a I2 se e somente
se ad− bc 6= 0.
12. Dada a matriz A =
1 0 5
1 1 1
0 1 −4
. Determine a solucao dos sistemas (A+4I)X = 0
50
e (A− 2I)X = 0.
13. Considere Am×n e Bm×1 6= 0. Mostre que se X1 e uma solucao do sistema AX = B e
Y1 e uma solucao do sistema associado AX = 0 entao X1 +Y1 e solucao de AX = B.
14. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n ×m, com n < m. Mostre que AB
nao e inversıvel. (Dica: Mostre que o sistema (AB)X = 0 tem solucao nao trivial,
isto e, e indeterminado.)
51
Capıtulo 4
Vetores
4.1 Conceitos
4.1.1 Segmento orientado
Dada uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a esta reta. Ao se admitir um
sentido para o segmento AB tem-se um segmentos orientado AB, em que A e chamado
de origem e B de extremidade do segmento orientado, ou BA. Todo segmento orientado
e composto por tres ıtens:
• Direcao: E a mesma de sua reta suporte.
• Sentido: E definido da origem para a extremidade do segmento.
• Modulo: E dado pela distancia do ponto A ao ponto B e, sera representado por
|AB|.
4.1.2 Segmentos equipolentes
Dois segmentos orientados AB e CD sao chamados de equipolentes se possuirem a
mesma deirecao, o mesmo sentido e o mesmo modulo e, serao denotados por AB ∼ CD.
52
Propriedades
(i) Reflexiva: AB ∼ AB.
(ii) Simetrica: Se AB ∼ CD entao CD ∼ AB.
(iii) Transitiva: AB ∼ CD e CD ∼ EF entao AB ∼ EF
(iv) Dados um segmento orientado AB e um ponto C, entao existe um unico ponto D
tal que AB ∼ CD.
(v) Se AB ∼ CD entao BA ∼ DC.
(vi) Se AB ∼ CD entao AC ∼ BD.
(vii) Todos os segmentos nulos sao equipolentes entre si.
4.1.3 Classe de equivalencia
Pela propriedade (iv) anterior, existem infinitos segmentos orientados equipolentes
a um segmento−→AB dado. Este conjunto recebe o nome de classe de equivalencia do
segmento orientado−→AB.
4.2 Vetor
O vetor determinado por um segmento orientado AB e o conjunto de todos os seg-
mentos orientados equipolentes a AB e, sera denotado por −→v , isto e, vetor e um elemento
generico de uma classe de equivalencia. E importante concluir, a partir desta definicao,
que um vetor −→v nao esta fixo em um determinado ponto do espaco ao qual ele pertence.
Assim, pode-se escrever:
A +−→v = B, ou ainda, −→v = B − A.1
Exemplos:
1Veja que este conceito e consequencia da propriedade (iv)
53
1. Determine o vetor −→v =−→AB em que A(1, 2, 4) e B(0, 3, 1).
2. Determine o modulo do vetor−→AB em que A(0, 5, 0) e B(2,−1, 3).
4.2.1 Vetor nulo
E um vetor que possui modulo igual a zero.
4.2.2 Vetor unitario
Um vetor −→v e unitario se |−→v | = 1.
4.2.3 Versor
Dado um vetor −→v nao nulo, seu versor, denotado por vers−→v , e o vetor unitario de
mesma direcao e mesmo sentido de −→v .
4.2.4 Vetor oposto
Dado um vetor−→AB seu vetor oposto sera dado por
−→BA.
4.3 Operacoes com vetores
4.3.1 Adicao de vetores
1. Definicao: Dados dois vetores −→u e −→v chama-se vetor soma de −→u e −→v , denotado
por −→u +−→v , ao vetor obtido por meio do seguinte procedimento: Dado um ponto A
qualquer determine o ponto B tal que B = A +−→u e o ponto C tal que C = B +−→v .
nestas condicoes, tem-se −→u +−→v = C − A.
2. Propriedades Dados os vetores −→u , −→v e −→w , entao:
54
• Associativa. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )
• Comutativa: −→u +−→v = −→v +−→u
• Elemento neutro. −→u +−→0 = −→u
• Elemento oposto: −→u + (−→−u) =
−→0
• Lei do cancelamento: Se −→u +−→v = −→u +−→w entao −→v = −→w
Prova da propriedade comutativa.
OA
P
B
V2
V1
V2
V1
V1+V
2
V2+V
1
Figura 4.1: Propriedade comutativa da adicao de vetores.
Como
O +−→v1 = A ⇒ −→v1 = A−O
A +−→v2 = P ⇒ −→v2 = P − A
Logo −→v1 +−→v2 = P −O. (1)
E como
O +−→v2 = B ⇒ −→v2 = B −O
B +−→v1 = P ⇒ −→v1 = P −B
vem −→v2 +−→v1 = P −O. (2)
Comparando (1) e (2) resulta −→v1 +−→v2 = −→v2 +−→v1
4.3.2 Multiplicacao por escalar
1. Definicao: Dados um vetor −→v e um escalar K. Chama-se multiplicacao do escalar
K pelo vetor −→v , denotado por k−→v , ao vetor k−→v tal que:
• −→v e K−→v possuem a mesma direcao.
• −→v e K−→v terao mesmo sentido se K > 0 e terao sentidos contrarios se K < 0.
55
• |K−→v | = |K||−→v |
2. Propriedades: Dados os escalares α e β e os vetores −→u e −→v entao:
• Propriedade comutativa. α−→v = −→v α
• Propriedade associativa em relacao ao produto de escalares. α(β−→u ) = (αβ)−→u
• Propriedade distributiva em relacao a adicao de escalares. (α + β)−→u = α−→u +
β−→u
• Propriedade distributiva em relacao a adicao de vetores. α(−→u +−→v ) = α−→u +α−→v
4.3.3 Subtracao de vetores
1. Definicao: Dados dois vetores −→u e −→v , define-se diferenca entre −→u e −→v , nesta
ordem, denotado por −→u −−→v , ao vetor −→u −−→v = −→u + (−−→v ).
4.3.4 Exemplos
1. Determine o modulo da soma e o modulo da diferenca de dois vetores −→v e −→w que
formam um angulo de 60o, |−→v | = 4 e |−→w | = 6.
O
A
V1
V1+V
2
P
V1−V
2
V2
−V2
Figura 4.2: Soma e subtracao de vetores.
56
A partir da lei dos cosenos a2 = b2 + c2− 2bccos(θ), e da figura 4.2 pode-se escrever:
|−→v +−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(180o − θ)
Assim |−→v +−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(120o).
Logo |−→v +−→w |2 = 16 + 36 + 24, assim |−→v +−→w | = √76.
Analogamente,
|−→v −−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(θ)
Assim |−→v −−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(60o).
Logo |−→v −−→w |2 = 16 + 36− 24, assim |−→v −−→w | = √28.
2. Dados dois vetores perpendiculares de modulo igual a 12 e 5, determine o modulo
da soma e o modulo da diferenca desses vetores.
3. Demonstre, vetorialmente, que o segmento determinado pelos pontos medios de dois
lados de um triangulo e paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a metade
deste terceiro lado. Do triangulo ABC da figura 4.3 vem (B−A) = (C−A)+(B−C).
A B
C
MN
Figura 4.3: Exemplo 3.
(3)
Do triangulo MNC da figura 4.3 vem (N −M) = (C −M) + (N − C). (4)
Mas (C − A) = 2(C − M) e (B − C) = 2(N − C), assim (3) fica (B − A) =
2(C −M) + 2(N − C)
(B − A) = 2(N −M) ⇒ −→AB = 2
−−→MN
57
4.4 Expressao cartesiana de um vetor
Considere um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox, Oy e Oz e os respectivos
versores destes eixos−→i ,−→j e
−→k .
P
Oj
k
C
v
i
A
x
yB
z
Figura 4.4: Expressao cartesiana de um vetor
Observando a figura 4.4 e considerando P (x, y, z) pode-se escrever:
−→v =−→OP =
−→OA +
−−→OB +
−→OC
Mas como:−→OA = x
−→i ,
−−→OB = y
−→j e
−→OC = z
−→k vem
−→v =−→OP = x
−→i + y
−→j + z
−→k
que e a expressao de um vetor −→v = (x, y, z).
4.4.1 Expressao cartesiana do versor de um vetor
Dado o vetor −→v = x−→i + y
−→j + z
−→k pode-se escrever:
vers(−→v ) =−→v|−→v | =
x−→i + y
−→j + z
−→k√
x2 + y2 + z2
vers(−→v ) =x√
x2 + y2 + z2
−→i +
y√x2 + y2 + z2
−→j +
z√x2 + y2 + z2
−→k
58
4.4.2 Operacoes com vetores na forma cartesiana
1. Adicao: Dados os vetores −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e −→v2 = x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k tem-se
−→v1 +−→v2 = (x1 + x2)−→i + (y1 + y2)
−→j + (z1 + z2)
−→k .
2. Produto de um vetor por um escalar: Dado o vetor −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e o
escalar α tem-se α−→v1 = αx1−→i + αy1
−→j + αz1
−→k
4.4.3 Exercıcios
1. Dados os vetores −→v1 = 2−→i − 3
−→j +
−→k e −→v2 = 2
−→i +
−→j − 2
−→k determine:
a) −→v1 +−→v2
b) 2−→v1 + 3−→v2
2. Determine m, n e p tais que m−→v1 + n−→v2 + p−→v3 = O
3. Determine os escalares a e b tais que −→u = a−→v + b−→w , em que −→u = −−→i +−→j ,
−→v =−→i + 5
−→j + 2
−→k e −→w =
−→i + 2
−→j +
−→k .
4. Determine o valor de a para que o vetor −→w = 3a−→i + a
−→j + 3
−→k tenha modulo igual
a 7.
4.5 Paralelismo de vetores
Dois vetores −→u e −→v serao chamados de paralelos se possuirem a mesma direcao, logo
pelo fato desses vetores possuirem a mesma reta suporte, eles irao diferir ou pelo sentido
ou pelo modulo, assim pode-se enunciar:
Teorema 4.1 Dois vetores −→u e −→v , nao nulos, serao paralelos se e somente se existir um
escalar K tal que
−→u = K−→v
.
59
Corolario 4.2 Dois vetores −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e −→v2 = x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k serao
paralelos se somente se suas coordenadas homonimas forem proporcionais, isto e,
x1
x2
=y1
y2
=z1
z2
2
4.5.1 Exercıcios
1. Determine a e b para que os vetores −→u =−→i + 2
−→j − 3
−→k e −→v = a
−→i + 4
−→j + b
−→k
sejam paralelos.
2. Dados os pontos A(3,−1, 2) e B(−3, 1,−1), determine:
a) O vetor−→AB
b) O vetor −→w paralelo a−→AB e tal que |−→w | = 14
3. Verifique se os pontos A(2,−1, 0), B(3, 1,−1) e C(3, 3,−2) sao colineares.
4. Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sao vertices de um
paralelogramo.
5. Determine o ponto simetrico de A(3, 1,−2) em relacao ao ponto B(−1, 0,−3).
6. Os vetores −→v1 = 2−→i − 3
−→j + 6
−→k e −→v2 = −−→i + 2
−→j − 2
−→k estao aplicados no mesmo
ponto A. Determine as coordenadas do vetor−→AB de modulo 3
√42 e cuja direcao e
a direcao da bissetriz do angulo formado pelos vetores −→v1 e −→v2 .
7. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se interseptam em seus pontos
medios.
8. O segmento que une os pontos medios dos lados nao paralelos de um trapezio e
paralelo as bases e igual a sua semi-soma.
9. Demonstre vetorialmente que o baricento G de um triangulo ABC e dado por G =
A+B+C3
.
2A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do numerador correspondente.
60
4.6 Coplanaridade de vetores
Tres vetores −→u , −→v e −→w serao coplanares se possuirem imagens geometricas paralelas
ao mesmo plano.
av
vu
wbw
Figura 4.5: Coplanaridade de tres vetores
Teorema 4.3 Os vetores −→u , −→v e −→w serao coplanares se e somente se existirem escalares
a e b tais que −→u = a−→v + b−→w 3 .
Corolario 4.4 Tres vetores −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3) serao
coplanares se e somente se ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.
4.6.1 Exercıcios
1. Verificar se os vetores −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4) sao coplanares.
2. Verifique se os pontos A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2) sao co-
planares.
3. Determine o valor de m para que os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e
D(3,−2,−2) sejam coplanares.
61
Figura 4.6: Cossenos diretores de um vetor
4.7 Cossenos diretores de um vetor
Chamam-se angulos diretores de um vetor −→v = x−→i + y
−→j + z
−→k aos angulos α, β e γ
que o vetor −→v forma com os vetores−→i ,−→j e
−→k , respectivamente.
Os cossenos dos angulos diretores sao chamados de cossenos diretores do vetor −→v , ou
seja, cos(α), cos(β) e cos(γ) e, sao dados por:
cos(α) =x
|−→v | , cos(β) =y
|−→v | e cos(γ) =z
|−→v | ,
e satisfazem a
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1 .
4.7.1 Exercıcios
1. Determine os cossenos diretores do vetor −→v = (−2, 3, 6).
2. Determinar o angulo diretor α de um vetor −→v , sendo β = 45o e γ = 60o.
3. Prove que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.
3Nesta expressao (−→u = a−→v + b−→w ) diremos que −→u e uma combinacao linear de −→v e −→w .
62
4.8 Produto escalar ou interno
4.8.1 Definicao
Dados dois vetores −→u e −→v , chama-se produto escalar ou interno de −→u e −→v , denotado
por −→u .−→v , ao numero real
−→u .−→v = |−→u ||−→v |cos(θ) , (4.1)
em que 0 ≤ θ ≤ π e o angulo formado por −→u e −→v .
A partir da definicao (4.1)) observa-se:
1. Sinal do produto escalar. Tem-se −→u .−→v > 0 quando cos(θ) > 0, ou seja, quando
o angulo entre os dois vetores for agudo e, −→u .−→v < 0 quando cos(θ) < 0, isto e,
quando o angulo for obtuso.
2. Nulidade do produto escalar. O produto interno −→u .−→v sera nulo se:
(i) Um dos dois vetores for o vetor nulo.
(ii) O vetores forem ortogonais.
3. Modulo de um vetor. Dado um vetor −→u , tem-se
−→u .−→u = |−→u ||−→u |cos(0)
−→u .−→u = |−→u |2
|−→u | =√−→u .−→u
4.8.2 Interpretacao geometrica
Sejam dados os vetores −→u e −→v que formam um angulo θ, conforme a figura 4.7.
Do triangulo OP ′P da figura 4.7 pode-se escrever:
cos(θ) =|−−→OP ′||−→v | ou |−−→OP ′| = |−→v |cos(θ) (4.2)
em que−−→OP ′ e o vetor projecao de −→v sobre −→u ,
63
Figura 4.7: Interpretacao geometrica do produto escalar.
mas da definicao (4.1)) pode-se escrever |−→v |cos(θ) =−→u .−→v|−→u | ,
assim (4.2) fica:
|−−→OP ′| = |−→u .−→v ||−→u |
4.8.3 Propriedades
Dados os vetores −→v1 ,−→v2 e −→v3 e os escalares a e b tem-se:
1. Propriedade comutativa: −→v1 .−→v2 = −→v2 .
−→v1
2. Propriedade associativa do produto escalar em relacao aos escalares a e b: (a−→v1).(b−→v2) =
(ab)−→v1 .−→v2
3. Propriedade distributiva: (−→v1 +−→v2).−→v3 = −→v1 .
−→v3 +−→v2 .−→v3
4.8.4 Expressao cartesiana do produto escalar
Sejam os vetores −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e −→v2 = x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k entao:
−→v1 .−→v2 = (x1
−→i + y1
−→j + z1
−→k ).(x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k )
Aplicando as propriedades dadas em (2.1.3), vem:
−→v1 .−→v2 = x1x2
−→i .−→i + x1y2
−→i .−→j + x1z2
−→i .−→k + y1x2
−→j .−→i + y1y2
−→j .−→j + y1z2
−→j .−→k +
+z1x2
−→k .−→i + z1y2
−→k .−→j + z1z2
−→k .−→k
64
mas−→i .−→i =
−→j .−→j =
−→k .−→k = 1 e
−→i .−→j =
−→i .−→k =
−→j .−→k = 0 tem-se
−→v1 .−→v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
4.8.5 Exercıcios
1. Dados |−→u | = 4 e |−→v | = 5, calcular |−→u +−→v | sabendo que o angulo entre os vetores
−→u e −→v e igual a 120o.
2. Determinar, empregando produto escalar, |−→v |, sendo −→v = (−1, 3, 2).
3. Determine o angulo entre os vetores −→v = (1, 1, 4) e −→u = (−1, 2, 2).
4. Mostre que o triangulo de vertices A(2, 3, 1), B(2, 1,−1) e C(2, 2,−2) e retangulo.
5. Determine o valor de a para que os vetores −→u = (−1, a, 2) e −→v = (2, 1, 4) sejam
ortogonais.
6. Determine um vetor nao nulo simultaneamente ortogonal aos vetores −→u = (−1, 2, 4)
e −→v = (3, 1, 2).
7. Determine um vetor unitario simultaneamente ortogonal aos vetores −→u = (−2, 3, 1)
e −→v = (6, 1,−1).
8. Sabendo que os vetores −→u e −→v sao paralelos e que −→u−→v = 3 determine −→u sendo
−→v = (2, 1, 1).
9. Determine o modulo da projecao do vetor −→u = (2, 3, 4) sobre o vetor −→v = (1,−1, 0)
e apos determine o vetor projecao.
10. Dado o triangulo de vertices A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) e C(2, 1, 2) determine a me-
dida da projecao do lado AB sobre o lado BC e a projecao do vertice A sobre o
lado BC.
11. Prove que as diagonais de um losango sao perpendiculares.
65
4.9 Produto vetorial ou externo
4.9.1 Definicao
Dados dois vetores −→u e −→v chama-se produto vetorial ou externo de −→u por −→v , nesta
ordem, denotado por −→u ×−→v , ao vetor com as seguintes caracterısticas:
• A direcao de −→u ×−→v e ortogonal ao plano determinado por −→u e −→v .
• O sentido de −→u ×−→v e aquele em que o triedro formado pelos vetores −→u , −→v e −→u ×−→ve orientado positivamente.
• |−→u ×−→v | = |−→u ||−→v |sen(θ), em que θ e o Angulo formado por −→u e −→v .
Figura 4.8: Sentido do produto vetorial
4.9.2 Interpretacao geometrica
Dado um paralelogramo formado por dois vetores −→v1 e −→v2 aplicados em um mesmo
ponto P , cujo o valor absoluto da area deste paralelogramo e igual a |−→v1 ||−→v2 ||sen(θ)| e
comparando com o modulo do produto vetorial conclui-se:
A = |−→v1 ×−→v2 |.
66
Figura 4.9: Interpretacao geometrica do produto vetorial
4.9.3 Propriedades
Dados os vetores −→v1 ,−→v2 e −→v3 e os escalares a e b tem-se:
1. Propriedade associativa em relacao aos escalares a e b: (a−→v1)×(b−→v2) = (ab)(−→v1×−→v2)
2. Propriedade distributiva: (−→v1 +−→v2)×−→v3 = −→v1 ×−→v3 +−→v2 ×−→v3 ou −→v1 × (−→v2 +−→v3) =
−→v1 ×−→v2 +−→v1 ×−→v3
3. Anti-comutativa: −→v1 ×−→v2 = −−→v2 ×−→v1
4. Se −→v1 ×−→v2 = 0 entao −→v1 =−→0 ou −→v2 =
−→0 ou os vetores sao paralelos.
4.9.4 Expressao cartesiana do produto vetorial
Sejam os vetores −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k e −→v2 = x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k entao:
−→v1 ×−→v2 = (x1−→i + y1
−→j + z1
−→k )× (x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k ) (4.3)
Aplicando as propriedades dadas em (5.9.3), vem:
−→v1×−→v2 = x1x2−→i ×−→i +x1y2
−→i ×−→j +x1z2
−→i ×−→k +y1x2
−→j ×−→i +y1y2
−→j ×−→j +y1z2
−→j ×−→k +
+z1x2
−→k ×−→i + z1y2
−→k ×−→j + z1z2
−→k ×−→k
mas−→i × −→i =
−→j × −→j =
−→k × −→k =
−→0 e
−→i × −→j = −−→j × −→i =
−→k e −−→i × −→k =
−→k ×−→i =
−→j e
−→j ×−→k = −−→k ×−→j =
−→i assim
−→v1 ×−→v2 = x1y2
−→k − x1z2
−→j − x2y1
−→k + y1z2
−→i + x2z1
−→j − y2z1
−→i
67
−→v1 ×−→v2 = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)
−→j + (x1y2 − x2y1)
−→k
−→v1 ×−→v2 =
∣∣∣∣∣∣y1 z1
y2 z2
∣∣∣∣∣∣−→i −
∣∣∣∣∣∣x1 z1
x2 z2
∣∣∣∣∣∣−→j +
∣∣∣∣∣∣x1 y1
x2 y2
∣∣∣∣∣∣−→k
que, a partir do desenvolvimento por Laplace, pode ser escrita
−→v1 ×−→v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4.9.5 Exercıcios
1. Calcule (−1, 3, 2)× (2, 1,−1)
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
−1 3 2
2 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−3− 2)
−→i + (4− 1)
−→j + (−1−−6)
−→k
−→u ×−→v = −5−→i + 3
−→j − 7
−→k
2. Determine um vetor unitario simultaneamente ortogonal a −→v1 = −−→i −−→j +−→k e a
−→v2 = 2−→i +
−→j −−→k
−→v1 ×−→v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
−1 −1 1
2 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (0, 1, 1)
−→w =(0, 1, 1)
|(0, 1, 1)| =(0, 1, 1)√
2=
(0,
√2
2,
√2
2
)
3. Determine a area do paralelogramo determinado pelos vetores −→v1 =−→i − 3
−→j + 2
−→k
e −→v2 = −−→i + 2−→j −−→k .
A = |−→v1 ×−→v2 |
−→v1 ×−→v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
1 −3 2
−1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1,−1,−1)
A = |(−1,−1,−1)| = √3 ua
4. Determine a area do triangulo de vertices A(−1, 0, 1), B(0, 1, 3) e C(1, 2, 4).
68
−→AB = B − A = (0, 1, 3)− (−1, 0, 1) = (1, 1, 2)−→AC = C − A = (1, 2, 4)− (−1, 0, 1) = (2, 2, 3)
−→AB ×−→AC =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
1 1 2
2 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1, 1, 0)
A =1
2|(−1, 1, 0)| = 1
2
√2 ua
5. Determine a medida da altura referente ao vertice A para o triangulo ABC do
exercıcio anterior.
Sabe-se da geometria plana que a area de um triangulo e dada por A =bh
2, mas
exercıcio anterior A =√
2, assim,√
2 = |−−→BC|h e,
h =
√2
|(1, 1, 1)|h =
√2√3
uc
6. Demonstre a lei dos senos para um triangulo ABC.
A expressao que fornece a area de um triangulo pode escrita como A =bh
2ou
vetorialmente por A =|−→AB ×−→AC|
2=|−→BA×−−→BC|
2=|−→CA×−−→CB|
2.
ou ainda, utilizando a definicao de produto vetorial:
A =|−→AB||−→AC|sen(A)
2=|−→AB||−−→BC|sen(B)
2=|−→AC||−−→BC|sen(C)
2Dividindo ambos os membros da igualdade acima por |−→AB||−−→BC||−→AC|, vem:
sen(A)
|−−→BC|=
sen(B)
|−→AC|=
sen(C)
|−→AB|e como |−−→BC| = a, |AC| = b e |−→AB| = c escreve-se:
sen(A)
a=
sen(B)
b=
sen(C)
c.
4.10 Produto misto
4.10.1 Definicao
Dados tres vetores −→v1 ,−→v2 e −→v3 , chama-se produto misto destes vetores, ao escalar
−→v1 .(−→v2 ×−→v3).
69
4.10.2 Interpretacao geometrica
Figura 4.10: Interpretacao geometrica do produto misto
Sabe-se da geometria espacial que o volume do paralelepıpedo e dado pelo produto da
area da base pela altura, para a figura 4.10, o volume e o produto da area do paralelogramo
composto pelos vetores −→v1 e −→v2 , Abase, pela altura h.
Mas Abase = |−→v1 × −→v2 | e h e a projecao do vetor −→v3 sobre o vetor −→v1 × −→v2 , ou seja,
h = −→v3cos(θ), assim:
V = |−→v1 ×−→v2 ||−→v3 |cos(θ)
V = |(−→v1 ×−→v2).−→v3 |
Finalmente, o volume de um paralelepıpedo formado pelos vetores −→v1 ,−→v2 e −→v3 e numeri-
camente igual ao modulo do produto misto destes vetores.
4.10.3 Propriedades
1. −→v1 .(−→v2 × −→v3) = 0 se e somente um dos tres vetores for o vetor nulo ou se −→v2 for
paralelo a −→v3 ou se os vetores forem coplanares.
2. −→v1 .(−→v2 ×−→v3) = −−→v2 .(
−→v1 ×−→v3).
70
3. O produto misto nao se altera quando e trocada a ordem dos produtor escalar e
vetorial, isto e, −→v1 .(−→v2 ×−→v3) = (−→v1 ×−→v2).
−→v3 .
4. (−→v1 +−→v2).(−→v3 ×−→v4) = −→v1 .(
−→v3 ×−→v4) +−→v2 .(−→v3 ×−→v4).
5. (a−→v1).(−→v2 ×−→v3) = −→v1 .(a
−→v2 ×−→v3) = −→v1 .(−→v2 × a−→v3) = a
(−→v1 .(−→v2 ×−→v3)
).
4.10.4 Expressao cartesiana do produto misto
Dados os vetores −→v1 = x1−→i + y1
−→j + z1
−→k , −→v2 = x2
−→i + y2
−→j + z2
−→k e −→v3 = x3
−→i +
y3−→j + z3
−→k , entao
−→v1 .(−→v2 ×−→v3) = (x1
−→i + y1
−→j + z1
−→k ).
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→v1 .(−→v2 ×−→v3) = (x1
−→i + y1
−→j + z1
−→k ).
( ∣∣∣∣∣∣y2 z2
y3 z3
∣∣∣∣∣∣−→i −
∣∣∣∣∣∣x2 z2
x3 z3
∣∣∣∣∣∣−→j +
∣∣∣∣∣∣x2 y2
x3 y3
∣∣∣∣∣∣−→k
)
−→v1 .(−→v2 ×−→v3) =
(x1
∣∣∣∣∣∣y2 z2
y3 z3
∣∣∣∣∣∣− y1
∣∣∣∣∣∣x2 z2
x3 z3
∣∣∣∣∣∣+ z1
∣∣∣∣∣∣x2 y2
x3 y3
∣∣∣∣∣∣)
−→v1 .(−→v2 ×−→v3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4.10.5 Exercıcios
1. Determine (1, 2,−1).(0, 4, 1)× (−1, 0, 1)
(1, 2,−1).(0, 4, 1)× (−1, 0, 1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
0 4 1
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 4− 2− 4 = −2
2. Determine o volume do tetraedro de vertices A(−1, 1, 1), B(0, 1, 4), C(2,−1, 3) e
D(4, 5, 2).
O volume de um tetraedro de vertices A, B, C e D e igual a sexta parte do volume
do prisma de mesmos vertices, e, usando a interpretacao geometrica do produto
71
misto tem-se:
V =1
6|−→AB.
−→AC ×−−→AD|
V =1
6|
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 3
3 −2 2
5 4 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣|
V =1
6| − 2 + 36 + 30− 8| = 56
6uv
3. Determine o valor x para que o ponto A(4, 5, x) pertenca ao plano determinado
pelos pontos B(−4, 4, 4), C(0,−1,−1) e D(3, 9, 4).
Para que A pertenca ao plano BCD e necessario que o volume do prisma ABCD
seja nulo, assim:−→CA.
−−→CB ×−−→CD = 0∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 6 x + 1
−4 5 5
3 10 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
100− 40x− 40 + 90− 15x− 15 + 120− 200 = 0
x = 1
4. Determine a equacao do plano BCD do exercıcio anterior.
Tome A = (x, y, z)−→CA.
−−→CB ×−−→CD = 0∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y + 1 z + 1
−4 5 5
3 10 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
25x + 15y + 15− 40z − 40− 15z − 15 + 20y + 20− 50x = 0
−25x + 35y − 55z − 20 = 0
−5x + 7y − 11z − 4 = 0
4.11 Exercıcios gerais
1. Dado o triangulo de vertices ABC, cujas medianas sao AM , BN e CP prove que−−→AM +
−−→BN +
−→CP =
−→0
2. Demonstre que em qualquer quadrilatero os pontos medios dos lados sao os vertices
72
de um paralelogramo.
3. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam mutuamente ao meio.
4. Demonstre que a base media de um trapezio e paralela as bases e igual a sua
semi-soma.
5. Sabendo que |−→v1 | = 11, |−→v2 | = 23 e |−→v1 −−→v2 | = 30, calcule |−→v1 +−→v2 |.
6. Sabendo que os vetores −→v1 e −→v2 formam um angulo de 60o e que seus modulos sao
rspectivamente iguais a 8 e 5. Calcule |−→v1 −−→v2 | e |−→v1 +−→v2 |.
7. Num triangulo ABC sabe-se que G e o baricentro. Demonstre que−→GA+
−−→GB+
−→GC =
−→0 .
8. Determine o modulo dos seguintes vetores:
(i) −→v1 = (−2, 1, 2)
(ii) −→v2 = −6−→i + 2
−→j − 3
−→k
(iii) −→v3 =−→i +
−→j −−→k
9. Normalize cada um dos vetores do exercıcio (8) anterior.
10. Dados os pontos A(2, 2,−1) e B(3,−2, 6), determine o versor do vetor−→AB.
11. Determine um vetor paralelo ao vetor −→v = (2, 1, 2) que tenha modulo igual a 6.
12. Determine o valor de x para o vetor −→v = (x, 2, 2x) tenha modulo igual a 7.
13. Sendo A, B, C e D vertices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coor-
denadas do vertice D, sendo dados A(1, 3), B(5, 11) e C(6, 15).
14. Num paralelogramo ABCD sabe-se que A(1, 3,−2) e que as diagonais sao−→AC(4, 2,−3)
e−−→BD(−2, 0, 1). Calcule as coordenadas dos outros 3 vertices.
15. Determine o valor de r sabendo que os vetores −→u = (1, 3, 10) e −→v = (−2, r,−20)
sao paralelos.
16. Justifique que os vetores −→v1 = −−→i + 3−→j + 4
−→k , −→v2 = +
−→i − 2
−→j − 6
−→k e −→v3 =
73
3−→i +
−→j −2
−→k podem ser os lados de um triangulo. Calcule o perımetro e os comprimentos
das medianas deste triangulo.
17. Exprimir o vetor −→v = 4−→i − −→
k como combinacao linear de −→v1 =−→i , −→v2 =
3−→i + 2
−→j +
−→k e −→v3 = −−→i −−→j +
−→k .
18. Determine m para que os seguintes vetores sejam linearmente dependentes:
(i) (2, 5, 3), (−1, 2, 3) e (m, 0, 2).
(ii) (1, 2,−3), (m− 1, 4,−6).
(iii) (m + 1, 1, 0), (1, 0, 1) e (−1, 2, 1)
19. Verifique se os vetores −→v1 = 4−→i +
−→j − 3
−→k , −→v2 = 3
−→j +
−→k e −→v3 = 2
−→j + 3
−→k sao
coplanares.
20. Determine o valor de m para que os vetores −→v1 = 2−→i +
−→j + 5
−→k , −→v3 = m
−→i + 6
−→j
e −→v3 = 2−→i + 4
−→j −−→k sejam coplanares.
21. Sabendo que os vetores −→v1 e −→v2 sao linearmente independentes, mostre que os
vetores −→v1 +−→v2 e −→v1 tambem sao LI.
22. Os vetores −→v1 = (2,−3, 6) e −→v2 = (−1, 2,−2) estao aplicados no mesmo ponto A.
Determine as coordenadas do vetor−→AB de modulo 3
√42 e cuja direcao e a direcao da
bissetriz do angulo formado pelos vetores −→v1 e −→v2 .
23. Determine, em radianos, o angulo entre os vetores:
a) −→u = (1, 0, 1), −→v = (−2, 10, 2)
b) −→u = (√
32
, 12, 0), −→v = (
√3
2, 1
2,√
3)
c) −→u = (300, 300, 0), −→v = (−2000,−1000, 2000), dica: Procure vetores com coordenadas
mais simples tais que a medida do anguloe seja a mesma.
74
24. Se −→u +−→v +−→w =−→0 , |−→u | = 3
2, |−→v | = 1
2, |−→w | = 2, calcule −→u .−→v +−→v .−→w +−→w .−→u
25. Decomponha o vetor −→u = (−1,−3, 2) como a soma de dois vetores −→w1 e −→w2, com
−→w1 paralelo a (0, 1, 3) e −→w2 ortogonal e este ultimo.
26.Mostre que |−→u +−→v |2 = |−→u |2 + 2−→u .−→v + |−→v |2.
27.Prove que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.
28. Ache um vetor unitario ortogonal aos vetores −→u = (1,−3, 1) e −→v = (−3, 3, 3).
29. Ache −→x tal que −→x × (−→i +
−→k ) = (2, 2,−2) e |−→x | = √
6.
30. Calcule a distancia de um ponto C a reta definida pelos pontos distintos A e B.
31. Determine os angulos internos do triangulo de vertices A(0, 3, 4), B(−1, 2, 2) e
C(2,−1, 2).
32. Os vetores −→v1 e −→v2 sao dois lados consecutivos de um paralelogramo. Sabe-se que
|−→v1 | = 4, |−→v2 | = 2 e o angulo entre −→v1 e −→v2 e igual a 60o. Calcule o angulo formado pelas
diagonais deste paralelogramo.
33. Um vetor −→v1 forma com o eixo dos x um angulo de 60o e com os outros dois eixos
y e z angulos congruentes. Calcule as coordenadas de −→v1 .
34. Calcule a medida da projecao ortogonal do vetor −→v1 = (2, 0,−1) sobre a direcao
do vetor −→v2 = (2, 1,−3).
35. Calcule a area do triangulo de vertices A(1,−1, 2), B(2,−1, 0) e C(−2, 3, 4).
36. Calcular a area do paralelogramo ABCD cujas diagonais sao−→AC = (−1, 3,−3) e
−−→BD = (−3,−3, 1).
37. Dados os vetores −→v1 = (0, 1, 2) e −→v2 = (3,−2, 1) determine as coordenadas do vetor
−→v3 paralelo ao plano xOy e tal que −→v2 = 2(−→v1 ×−→v3).
38. Calcule o volume do tetraedro de vertices A(2, 1, 0), B(−1, 2, 3), C(1, 2, 3) e
D(−4, 2, 1).
39. Um tetradro tem volume igual a 4. Sabe-se que A(1, 3, 1), B(0,−2, 4) e C(2, 1−, 3).
75
Determine o vertice D sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
40. Caso as seguintes afirmacoes forem verdadeiras justifique, caso falsas de um contra-
exemplo:
(i) Se −→u .−→v = −→u .−→w entao −→v = −→w
(ii) Se −→u .−→v = −→u .−→w entao −→u ⊥ (−→v −−→w )
(iii) −→u ×−→v = |−→u |.|−→v |sen(θ)
(iv) Os vetores −→u , −→v e −→u ×−→v sao LI.
(v) −→u ×−→v = −→v ×−→u
(vi) Se −→u ×−→v +−→v ×−→w entao −→v × (−→u +−→w ).
(vii) Se −→u ×−→v +−→v ×−→w entao (−→u −−→w )×−→v
(viii) Se −→u ×−→v = −→u ×−→w entao −→v = −→w
(ix) (−→u ×−→v ).−→w = −→u ×−→v .−→w
76
Capıtulo 5
A reta no R3
5.1 Equacoes da reta
5.1.1 Equacao vetorial
Dado um ponto A(x0, y0, z0) e um vetor −→v = (a, b, c). Considere P (x, y, z) um ponto
generico da reta que passa por A e com a direcao do vetor −→v . Como o vetor −→v e paralelo
ao vetor−→AP , pode-se escrever:
−→AP = t−→v ,
e ainda, P − A = t−→v , assim
P = A + t−→v ,
que e a equacao vetorial da reta.
5.1.2 Equacos parametricas
Dada a equacao vetorial P = A + t−→v e considerando A(x0, y0, z0),−→v = (a, b, c) e
P (x, y, z), tem-se
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)
77
e
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
que sao as equacoes parametricas da reta.
5.1.3 Equacoes simetricas
Isolando o parametro t em cada uma das equacoes parametricas
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
, re-
sulta:
t =x− x0
a=
y − y0
b=
z − z0
c
que sao as equacoes simetricas da reta.
5.1.4 Equacoes reduzidas
Das equacoes simetricas t =x− x0
a=
y − y0
b=
z − z0
cpode-se escrever, por exemplo:
y − y0=
x− x0
az − z0
c=
x− x0
a
e isolando a variavel y resulta:
y =m(x− x0)
l+ y0
y =mx
l+ y0 − mx0
l
chamandom
l= p1 e y0 − mx0
l= q1, vem:
y = p1x + q1
Analogamente para a variavel z, vem:
z = p2x + q2
que sao as equacoes reduzidas da reta.
Exemplos:
78
1. Determine a equacao vetorial da reta determinada pelos pontos A(1,−2, 1) e B(0, 1,−3).
Para determinar a equacao de uma reta e necessario ter:
Um ponto · · ·Um vetor · · ·Logo a equacao vetorial da reta e P = (1,−2, 1) + t(−1, 3,−4)
2. Determine as equacoes parametricas da reta que passa pelo ponto A(2,−1, 1) e tem
a direcao do vetor −→v = (1, 3, 2).
Para determinar a equacao de uma reta e necessario ter:
Um ponto · · ·Um vetor · · ·Logo a equacao vetorial da reta e P = (2,−1, 1) + t(1, 3, 2).
As equacoes parametricas da reta sao r :
x = 2 + t
y = −1 + 3t
z = 1 + 2t
3. Dada a reta r :x− 3
2=
y + 1
−2=
z
1, determine o vetor diretor e dois pontos de r.
A(3,−1, 0)
B(5,−3, 1)
−→v = (2,−2, 1)
4. Determine o ponto em que a reta r :
x = 1 + t
y = 2− t
z = −1− 2t
intercepta o plano yOz.
O plano yOz tem equacao · · ·Assim para x = 0 resulta t = · · ·O ponto de intersecao e A(0, 3, 1).
5. Determine o angulo entre as retas r :
x = 1− t
y = 2− 2t
z = −1− 2t
e s :x + 1
2=
y − 3
−2=
z − 2
1.
Para determinar o angulo entre as duas retas deve-se conhecer os vetores diretores
das retas e apos calcular o produto escalar.
−→vr = (−1,−2,−2) e −→vs = (2,−2, 1)
−→vr • −→vs = |−→vr ||−→vs |cos(θ)cos(θ) =
0
9=⇒ θ = arccos(0) =
π
2
79
6. Determine o valor de m para que as retas r :x
m=
y − 5
3=
z + 2
2e s :
x = −1 + 3t
y = 3− 2t
z = −4− t
sejam ortogonais.
Para que duas retas sejam ortogonais basta que seus vetores diretores sejam orto-
gonais, isto e, o produto interno e igual a zero.
−→vr = (m, 3, 2) e −→vs = (3,−2,−1)
3m− 6− 2 = 0 =⇒ m = 8/3
7. Obtenha as equacoes simetricas da reta que passa por P (1,−2, 2) e e paralela a reta
determinada pelos pontos A(0,−1, 1) e B(−1, 2, 4).
Retas paralelas possuem o mesmo vetor diretor −→vr = (1,−3,−3).x− 1
1=
y + 2
−3=
z − 2
−3
8. Calcule o valor de m para que as retas r :
x = 1 + t
y = 2 + mt
z = −1− 2t
e s :
x = 4 + 2y
z = −2− y
sejam coplanares.
Para que duas retas sejam coplanares e necessario que seus vetores diretores e um
outro vetor formado por um ponto de uma reta com um ponto da outra reta sejam
coplanares.
−→vr = (1,m,−2)
−→vs = (2, 1,−1)−→RS = (4, 0,−2)− (1, 2,−1) = (3,−2,−1)
Condicao de coplanaridade · · ·∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 m −2
2 1 −1
3 −2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣=⇒ m = 11.
9. Determine o ponto de intersecao das retas r :
x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = 2t
e s :x + 1
2=
y + 1
4=
z + 2
1.
Deve-se resolver o sistema de equacoes lineares formado pelas equacoes das retas.
80
Escrevendo as equacoes simetricas da reta r
r :x− 2
3=
y − 4
5=
z
2
Resolvendo o sistema
x− 2
3=
y − 4
5
x + 1
2=
y + 1
4
=⇒ x = y = −1
Substituindo x = −1 na equacao da reta s, por exemplo, vem z = −2 e o ponto de
intersecao e P (−1,−1,−2).
10. Determine a distancia do ponto P (1, 1, 3) a reta determinada pelos pontos A(4, 3,−2)
e B(2, 2, 0).
A distancia do ponto P ate uma reta AB e numericamente igual a medida da altura
do paralelogramo formado pelos vetores−→AP e
−→AB.
d =√
2
11. Determine a distancia entre as retas r :x
1=
y
1=
z − 2
2e s :
x + 1
2=
y − 1
2=
z
4.
Veja que as retas sao paralelas.
d =√
30/3
12. Determine a distancia entre as retas r :x
1=
z − 1
1, y = 1 e s :
x− 1
1=
y − 2
1=
z − 1
2.
Veja que as retas sao reversas.
d =2√
3
3
5.2 Exercıcios
1. Determine dois pontos distintos e o vetor diretor das seguintes retas:
(i) r :
x = −1 + 2t
y = −t
z = 1− 3t
(ii) s :x− 2
3=
y + 1
2=
z + 4
−1
(iii) r :
y = −x− 1
z = 2x + 3
81
(iv) P = (1, 2,−1) + α(−1, 0, 3)
2. Quais sao os valores de a e b para que o ponto A(a, b, 2) pertenca a reta r :
x = 7− 2t
y = 3 + t
z = −1 + 3t
?
3. Dada a reta s :x + 5
−3=
y − 1
−2=
z + 4
2, determine as coordenadas do ponto P de
cota −6 pertencente a s.
4. Determine as equacoes parametricas das seguintes retas:
(i) r definida pelos pontos A(0, 1, 0) e B(−1, 3, 1)
(ii) r paralela a s :
x = −y − 1
z = 2y − 3passando pelo ponto Q(2, 3, 0)
5. Determine as equacoes simetricas das seguintes retas:
(i) r definida pelos pontos A(−1, 1, 0) e B(−1, 3, 1)
(ii) r paralela a reta s :
x = −1− t
y = −2t
z = 5− 3t
passando pelo ponto Q(−2, 3, 6)
6. Determine as equacoes reduzidas da reta r que passa pelo ponto A(2,3,-5) e e paralela
ao eixo das ordenadas.
7. Determine a equacao vetorial da reta r que passa pelo ponto A(7,-4,6) e e perpen-
dicular ao plano x0y.
8. Dado o triangulo de vertices A(−1, 2, 3), B(3,−6, 1) e C(0, 4,−7). Escreva a equacao
vetorial da reta suporte da mediana relativa ao lado AB.
9. Determine as equacoes parametricas da reta r que passa pelo ponto A(7,11,-5) e e
ortogonal aos eixos Ox e Oz.
10. Seja a reta r definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(−1, 3,−1). Determine as equacoes
parametricas da reta s passando pelo ponto P (4, 7, 0) e paralela a r.
82
11. Determine a equacao vetorial da reta r que passa pela intersecao das retas r1 :
x = −1 + t
y = 2− t
z = −3 + 2t
e r2 :
x = −3
y = 4− 4t
z = −7− 3t
e e paralela a P = (−2, 3,−6) + k(−1, 5, 2)
12. Encontre o ponto de intersecao da reta P = (2,−3, 1) + α(−1, 1, 2) com o plano
x0y, se existir.
13. Determine o angulo entre as retas:
(i) r definida pelos pontos A(1, 1, 1) e B(2, 3,−1) e s dada pelos pontos C(−1, 1,−1)
e D(0, 1, 2).
(ii) r :
x = 3
y = −4t
z = 1− 5t
e r :
x = z − 1
y = 2z + 3
(iii) P = (0, 0, 0) + α(2,−1,−2) ey − 4
4=
z − 5
3, x = 2
14. Verifique a posicao relativa dos seguintes pares de retas.
(i) r :
y = 2x− 3
z = −xe s :
x− 2
−3=
y − 4
−6=
z
3
(ii) r : P = (2, 0, 2) + α(3,−2, 2) e s : P = (0, 1, 0) + α(2,−2, 1)
(iii) r :
x = 2 + t
y = 3 + 2t
z = −1− 2t
e s : P = (0,−3, 0) + α(1, 4, 1)
15. Determine o valor de a para que as retas r : P = (1,−2, 3) + α(2, 5, 1) e s :x− 3
4=
y − 1
a=
z − 3
2sejam ortogonais.
16. Encontre as coordenadas do ponto P equidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4), que per-
tence ao eixo das ordenadas.
17. Mostre que a distancia entre duas retas reversas r : P1 + α−→vr e s : P2 + α−→vs e dada
por d(r, s) =(P2 − P1).
−→vr ×−→vs
| −→vr ×−→vs | .
83
Capıtulo 6
O plano no R3
6.1 Equacao do plano
6.1.1 Equacao vetorial do plano
Seja o plano π determinado pelo ponto A(xo, yo, zo) e pelos vetores −→v1 = (a1, b1, c1) e
−→v2 = (a2, b2, c2).
Qualquer ponto P (x, y, z) do plano π determinara um vetor−→AP que sera combinacao
linear dos vetores −→v1 e −→v2 , isto e:
−→AP = k−→v1 + l−→v2 , assim:
P = A + k−→v1 + l−→v2
que e a equacao vetorial do plano.
6.1.2 Equacao geral do plano
Impondo que os vetores−→AP , −→v1 e −→v2 sejam coplanares, vem:
84
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− xo y − yo z − zo
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 vem:
(b1c2 − b2c1)(x− xo) + (a2c1 − a1c2)(y − yo) + (a1b2 − a2b1)(z − zo) = 0 que pode ser
escrita como:
ax + by + cz + d = 0
que e a equacao geral do plano.
6.1.3 Equacao do plano que passa por um ponto e e ortogonal
a um vetor
Dada um ponto Po(xo, yo, zo) pertencente a um plano π e um vetor −→n = a−→i +b
−→j +c
−→k
ortogonal a π.
Seja P (x, y, z) um ponto generico do plano π, entao os vetores PoP e −→n sao ortogonais
e seu produto interno e nulo, assim:
(P − Po) • −→n = 0
a(x− xo) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0
ax + by + cz + (−axo − byo − czo) = 0
ax + by + cz + d = 0
Exemplos:
1. Determine a equacao vetorial, as equacoes parametricas e a equacao geral do plano
que contem o ponto A(1,−2, 2) e e paralelo aos vetores −→v1 = (−2, 1, 3) e −→v2 =
(3, 1, 4).
Para ter-se a equacao de um plano e necessario conhecer um ponto e dois vetores
do plano.
P = (1,−2, 2) + k(−2, 1, 3) + l(3, 1, 4) =⇒ Equacao vetorial.
85
x = 1− 2k + 3l
y = −2 + k + l
z = 2 + 3k + 4l
=⇒ Equacoes parametricas.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 1 y + 2 z − 2
−2 1 3
3 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒
4(x− 1)− 2(z − 2) + 9(y + 2)− 3(z − 2) + 8(y + 2)− 3(x− 1) = 0
x + 17y − 5z + 43 = 0
2. Achar a equacao geral do plano que contem os pontos A(0, 4, 1) e B(−1, 3, 2) e tem
a direcao do vetor −→v = (−1, 3, 5).∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 0 y − 4 z − 1
1 1 −1
−1 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒
3. Determine a intersecao do plano π : 2x− 3y + 4z = 12 com o plano x0y.
Plano x0y =⇒ z = 0 =⇒ r : 2x− 3y = 12 =⇒
4. Determine a intersecao do plano π : 2x− 3y + 4z = 12 com os eixos coordenados.
Eixo 0x =⇒ y = z = 0 =⇒ x = 6
Eixo 0y =⇒ x = z = 0 =⇒ y = −4
Eixo 0z =⇒ x = y = 0 =⇒ z = 3
5. Parametrize o plano de equacao segmentariax
2+
y
−2+
z
1= 1.
x = 2k + 2l
y = 2k
z = 1− l
6. Determine a equacao do plano que contem A(4,−1, 2) e e ortogonal ao vetor −→v =
(−2, 3, 1).
−2x + 3y + z + d = 0 =⇒ −2.4 + 3.(−1) + 2 + d = 0 =⇒ d = 9 =⇒−2x + 3y + z + 9 = 0
7. Obtenha um vetor unitario ortogonal ao plano π :√
2 x + y − z + 5 = 0
−→n = (√
2/2, 1/2,−1/2).
86
8. Determine a equacao do plano que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e e paralelo ao plano
π : 2x− 3y + z − 5 = 0.
π1 : 2x− 3y + z = 0
9. Calcule o valor de k para que os planos π : 3x−y+z−4 = 0 e α : kx+3y−z−2 = 0
sejam ortogonais.
3k − 3− 1 = 0 =⇒ k = 4/3.
10. Determine a equacao do plano ortogonal aos planos π1 : x − y + z − 2 = 0 e
π2 : 2x + 3y − z − 1 = 0 e que contem o ponto A(1, 1,−1).
−→n = (1,−1, 1)× (2, 3,−1)
11. Encontre a projecao ortogonal do ponto A(3, 1, 3) sobre o plano π : x+y+z−4 = 0
Mostre que a projecao P do ponto A e dada por P = A−(−→BA•vers(−→n )
)vers(−→n ),
em que B e um ponto qualquer do plano π.
P (2, 0, 2)
12. Determine o ponto simetrico do ponto A em relacao ao plano π do exemplo anterior.
13. Determine a distancia do ponto A(1, 0, 1) ao plano π : 2x + 2y − 2z + 3 = 0.
d =√
3/2
14. Determine o angulo entre os planos π1 : x+2y−3z−1 = 0 e π2 : 3x−y+2z−5 = 0.
θ = arccos(5/14)
15. Determine o angulo que a reta r :x− 1
3=
y − 3
2=
z
6forma com o plano x0y.
θ = arcsen(6/7).
6.2 Exercıcios
1. Determine o valor de a para que o ponto P (a, 3,−1) pertenca ao plano π : 2x +
11y + 8z = 27.
2. Determine um vetor normal para os seguintes planos:
(i) π1 : −x− y − z − 2 = 0
(ii) π2 : x + z = 0
87
(iii) π3 : z = 0
3. Determine os pontos de intersecao do plano π : 2x− 3y + 4z − 12 = 0 com os eixos
coordenados.
4. Determine a equacao vetorial e a equacao geral do plano que passa pelos pontos
A(4,−2, 1), B(−1, 1,−1) e C(3, 0, 2).
5. Encontre a equacao geral do plano que passa por P (1, 2,−3) e e paralelo ao plano
yOz.
6. Determine a equacao geral do plano que passa pelo ponto P (3,−1, 2) e e perpendi-
cular a retax− 1
−2=
y + 1
1=
z − 2
−1.
7. Determine a equacao geral do plano paralelo aos vetores −→u1 = (−2, 0, 1) e −→u2 =
(−1,−2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0).
8. Determine a equacao geral do plano que contem a reta r :
x = −3 + 2y
z = −3 + 3ye passa
pelo ponto A(0, 0,−6).
9. Verifique se os pontos A(2, 1, 0), B(−1, 2, 3), C(1, 2, 3) e D(−4, 2, 1) pertencem a
um mesmo plano.
10. Verifique a posicao relativa dos planos:
(i) π1 : x− 2y − 3z + 5 = 0 e π2 : −2x + 4y + 6z − 1 = 0
(ii) π1 : 3x + 4y + 4z − 3 = 0 e π2 : 4x− y + 2z − 5 = 0
(iii) π1 : x− 4y + 4z − 3 = 0 e π2 : 4x + 3y + 2z − 1 = 0
11. Determine o valor de α para que os planos π1 : 3x− y + 4z − 3 = 0 e π2 : αx− y +
2z − 5 = 0 sejam perpendiculares.
12. Determine o valor de α e de β para que os planos π1 : 3x − y + 4z − 3 = 0 e
π2 : αx + βy + 2z − 5 = 0 sejam paralelos.
13. Determine o angulo entre os planos π1 : −x+ y− 2z +3 = 0 e π2 : 4x+2y +2z = 0.
88
14. Determine o angulo entre o plano π1 : −x+y−2z+3 = 0 e a reta r :
x = −3− t
y = −2 + t
z = −3 + t
.
15. Determine as equacoes simetricas da reta intersecao dos planos π1 : 2x−3y+2z−4 =
0 e π2 : x− y + z + 2 = 0.
16. Determinar as equacoes reduzidas, em funcao de z, da reta r que passa pelo ponto
A(−2, 3, 6) e e perpendicular ao plano π : x− 3y + 2z + 11 = 0.
17. Determine as coordenadas da projecao ortogonal de P (3, 1, 3) sobre o plano π :
x + y + z − 4 = 0
18. Determine as coordenadas do ponto simetrico de P (3, 6, 1) em relacao ao plano
π : x + y + z − 13 = 0.
19. Mostre que a distancia do ponto P (xo, yo, zo) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 e
dada por| axo + byo + czo + d |√
a2 + b2 + c2.
20. Determinar as equacoes reduzidas, em funcao de z, da reta r que passa pelo ponto
A(−2, 3, 6) e e perpendicular ao plano π : x− 3y + 2z + 11 = 0.
89
Capıtulo 7
Espaco Vetorial
7.1 Definicao
Espaco vetorial sobre um corpo K e um conjunto nao vazio V de elementos u, v, w, · · · ,chamados de vetores, munido das operacoes soma + : V × V +
−→V e multiplicacao por
escalar . : R× V .−→V, tais que, para todos u, v, w de V e a e b reais tenha-se:
A1 (u + v) + w = u + (v + w)
A2 u+v=v+u
A3 Existe um elemento 0, chamado vetor nulo, em V tal que u + 0 = 0 + u = u
A4 Existe um elemento −u em V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0
M1 a.(u + v) = a.u + a.v
M2 (a + b).u = a.u + b.v
M3 (ab).u = a.(bu)
M4 1.u = u
90
7.1.1 Exemplos
1. O conjunto V = R2 = {(x, y)/x ∈ R, y ∈ R} munido das operacoes + e . usuais e
um espaco vetorial.
Prova:
(A1)((x1, y1) + (x2, y2)
)+ (x3, y3) = (x1, y1) +
((x2, y2) + (x3, y3)
)
(A2) (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
(A3) ∃ O = (0, 0) ∈ R2/(0, 0) + (x1, y1) = (x1, y1) + (0, 0) = (x1, y1)
(A4) ∃ − (x, y) ∈ R2/(x, y) +(− (x, y)
)= (0, 0)
(M1) a((x1, y1) + (x2, y2)
)= a(x1, y1) + a(x2, y2)
(M2) (a + b)(x1, y1) = a(x1, y1) + b(x1, y1)
(M3) (ab)(x1, y1) = a(b(x1, y1)
)
(M4) 1(x1, y1) = (x1, y1)
2. V = Rn = (x1, x2, x3, · · · , xn)
3. V = R2×2 = M(2, 2) ={
a b
c d
/a, b, c, d ∈ R
}
4. V = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n
5. V = Rm×n = M(m,n)
7.2 Subespacos vetoriais
7.2.1 Definicao
Dado um espaco vetorial V, um subconjunto nao vazio W sera um subespaco vetorial
de V se:
1. Para todo u, v ∈W tem-se u + v ∈W.
2. Para todo u ∈W e para todo a ∈ R tem-se au ∈W.
91
Observacoes:
• As condicoes da definicao acima dizem que o conjunto W e fechado em relacao as
operacoes + e . .
• O vetor nulo sempre pertence ao subespaco W.
• Todo espaco vetorial V admite dois subespacos triviais, que sao o proprio espaco e
aquele formado somente pelo vetor nulo.
7.2.2 Exemplos
1. W = {(x, y)/y = 2x} e um subespaco vetorial de V = R2. Prova:
(i) W ⊂ R2
(ii) W 6= ∅, pois existe (0, 0) ∈W.
(iii) Para todo u, v ∈W tem-se u + v ∈W.
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores genericos de W = {(x, y)/y = 2x}, ou seja,
y1 = 2x1 e y2 = 2x2
u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2))
Logo u + v pertence a W.
(iv) Para todo u ∈W e para todo a ∈ R. tem-se au ∈W.
Sejam u = (x1, y1) ∈W e a ∈ R.
au = a(x1, y1) = a(x1, 2x1) = (ax1, a(2x1
)) = (ax1, 2
(ax1
)) ∈W.
Como as quatro afirmacoes sao verificadas W e um subespaco vetorial de R2
2. W = {(x, y, z)/x + y + z = 0} e um subespaco vetorial de V = R3.
Prova:
(i) W ⊂ R3
(ii) W 6= ∅, pois existe (0, 0, 0) ∈W.
(iii) Para todo u, v ∈W tem-se u + v ∈W.
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores genericos deW = {(x, y, z)/x+y+z =
0}.u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
92
x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0
Logo u + v pertence a W.
(iv) Para todo u ∈W e para todo a ∈ R. tem-se au ∈W.
Sejam u = (x1, y1, z1) ∈W e a ∈ R.
au = a(x1, y1, z1) = (ax1, ay1, az1).
ax1 + ay1 + az1 = a(x1 + y1 + z1) = a0 = 0, logo au ∈W.
Como as quatro afirmacoes sao verificadas W e um subespaco vetorial de R3
3. Seja o espaco vetorial V = Rn×n = M(n, n). O conjunto das matrizes An,n triangu-
lares superior, e um subespaco vetorial de V.
4. O conjunto de todas as solucoes de um sistema de equacoes lineares homogeneo com
n incognitas e um subespaco vetorial de Rn×1 = M(n, 1).
Prova
Seja Ax = 0 um sistema linear de n incognitas e W o conjunto das solucoes de
Ax = 0.
(i) x ∈ Rn×1 = M(n, 1), pois e um vetor coluna.
(ii) W 6= ∅, pois existe x = [0 0 · · · 0]T ∈W.
(iii) Para todo u, v ∈W tem-se u + v ∈W.
Sejam u e v duas solucoes genericas de Ax = 0, isto e, Au = 0 e Av = 0.
Desejamos provar que u + v tambem e uma solucao, isto e u + v satisfaz Ax = 0
A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0
Logo u + v pertence a W.
(iv) Para todo u ∈W e para todo a ∈ R, tem-se au ∈W.
Sejam u uma solucao de Ax = 0 e a ∈ R.
A(au) = a(Au) = a0 = 0.
Logo au ∈W.
Como as quatro afirmacoes sao verificadas W e um subespaco vetorial de Rn×1
5. W = {(x, y)/y = x2} nao e um subespaco vetorial de V = R2.
Prova: Para provar que um conjunto nao e subespaco vetorial, basta exibir um
contra exemplo para uma das quatro afirmacoes, assim:
Tome u = (2, 4) ∈W e u = (3, 9) ∈W, mas, u + v = (5, 13) nao e um vetor de W.
Logo W nao e subespaco vetorial de R2.
93
6. O R2 nao e subespaco vetorial do R3.
Prova:
Tome por exemplo (0, 0) ∈ R2 mas (0, 0) nao pertence a R3, logo R2 * R3, assim
R2 nao e subespaco vetorial do R3.
7. W = {(x, y)/y = 2x− 3} nao e subespaco vetorial de R2.
8. W = {(x, y)/y ≥ 0} nao e subespaco vetorial do R2
7.2.3 Intersecao de subespacos
Teorema 7.1 Dados dois subespacos vetoriais W1 e W2 de um mesmo espaco vetorial V,
a intersecao W1 ∩W2 tambem e um subespaco vetorial de V.
Prova:
(i) Para todo u, v ∈W tem-se u + v ∈W.
Dados u e v pertencentes a W1 ∩W2 deve-se provar que u + v tambem e um vetor
de W1 ∩W2.
Se u ∈W1 ∩W2 entao u ∈W1 e u ∈W2.
Se v ∈W1 ∩W2 entao v ∈W1 e v ∈W2.
Como W1 e W2 sao subespacos vetoriais entao u + v pertence a W1 e a W2, logo
u + v ∈W1 ∩W2.
(ii) Para todo u ∈W e para todo a ∈ R tem-se au ∈W.
Dados u pertencente a W1 ∩W2 e a um escalar deve-se provar que au e um vetor
de W1 ∩W2.
Se u ∈W1 ∩W2 entao u ∈W1 e u ∈W2.
Como W1 e W2 sao subespacos vetoriais entao au pertence a W1 e a W2, logo
au ∈W1 ∩W2.
Exemplos:
1. Tome V = R3, W1 = {(x, y, z) ∈ R3/x− y = 0} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x− 2y = 0}v ∈W1 ∩W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x = y = 0} e um subespaco vetorial do R3.
94
2. Considere V = R3×3, W1 o subconjunto de V formado pelas matrizes triangulares
superiores e W2 o subconjunto de V formado pelas matrizes triangulares inferiores.
W1 ∩W2 e conjunto das matrizes diagonais, que e um subespaco vetorial de V =
R3×3.
3. Seja V = R2×2, W1 =
a b
0 0
e W2 =
a 0
c 0
.
W1 ∩W2 =
a 0
0 0
, que e um subespaco vetorial de V = R2×2. Justifique.
7.2.4 Soma de subespacos
Teorema 7.2 Dados dois subespacos vetoriais W1 e W2 de um mesmo espaco vetorial V,
a soma dos subespacos W1 e W2, dada por
W1 +W2 = {v ∈ V/v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2}
e um subespaco vetorial de V.
Prova:
7.3 Combinacao linear
Definicao:
Sejam V um espaco vetorial, v1, v2, v3, · · · , vn vetores de V e a1, a2, a3, · · · , an escalares.
Entao o vetor
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + · · ·+ anvn
e um vetor de V e e chamado de combinacao linear dos vetores v1, v2, v3, · · · , vn.
Exemplos:
1. Dado V = R3, escreva v = (1, 4, 5) como combinacao linear de v1 = (−1, 2, 1) e
v2 = (1, 1, 2).
95
2. Considere o espaco vetorial do polinomios de grau menor ou igual a 2, P2(x) =
{a0 +a1x+a2x2, ai ∈ R, i = 0, 1, 2}. Verifique se v = 1+x+x2 e combinacao linear
de v1 = x− x2 e v2 = −1− x2.
7.4 Subespaco gerado
Definicao:
Chama-se subespaco gerado pelos vetores v1, v2, v3, · · · , vn de um espaco vetorial V, de-
notado por [v1, v2, v3, · · · , vn] ou span{v1, v2, · · · , vn}
[v1, v2, v3, · · · , vn] = {v ∈ V/v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + · · ·+ anvn}.
Exemplos:
1. Verifique se o vetor (3, 3,−2) pertence ao espaco vetorial gerado pelos vetores v1 =
(2, 1, 1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (0,−1, 3).
2. Determine a relacao entre x,y e z para que o vetor v = (x, y, z) pertenca ao espaco
gerado por v1 = (1,−1, 1) e v2 = (2, 1, 0).
3. Verifique se o R2 e gerado pelos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1).
4. Forneca quatro vetores que gerem o espaco vetorial das matrizes de ordem 2× 2.
7.5 Dependencia linear
Definicao:
Dados um espaco vetorial V e os vetores v1, v2, v3, · · · , vn ∈ V. O conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn}sera linearmente independente (LI) se a equacao a1v1 + a2v2 + a3v3 + · · ·+ anvn = 0 im-
plicar em a1 = a2 = a3 = · · · = an = 0. Caso existir algum ai nao nulo o conjuto, ou os
vetores, serao chamados de linearmente dependentes (LD).
Exemplos:
96
1. Verifique se os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (1,−1) sao LI.
2. Verifique se os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1,−1, 2) e v3 = (1, 3, 4) sao LI.
3. Mostre que se os vetores u, v e w sao LI entao u + v, u + 2v − w e v + 3w tambem
sao LI.
Teorema 7.3 O conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn} e LD se e somente se um desses vetores for
combinacao linear dos demais vetores.
Prova:
(⇒)
Hipotese: {v1, v2, v3, · · · , vn} e LD.
Tese: vi e combinacao linear dos outros vetores.
Se {v1, v2, v3, · · · , vn} e LD entao em a1v1+a2v2+a3v3 · · ·+anvn = 0 existe um coeficiente
ai 6= 0, assim de a1v1 + a2v2 + a3v3 + · · · + aivi + · · · + anvn = 0 pode-se escrever vi =
−a1
ai
v1− a2
ai
v2−· · ·− an
ai
vn, isto e vi e combinacao linear de v1, v2, v3, · · · , vi−1, vi+1, · · · , vn
¤
(⇐)
Hipotese: vi e combinacao linear dos outros vetores.
Tese: {v1, v2, v3, · · · , vn} e LD.
Da hipotese escreve-se vi = a1v1 + a2v2 + a3v3 + · · ·+ ai−1vi−1 + ai+1vi+1 + · · ·+ anvn ou
ainda a1v1 +a2v2 +a3v3 + · · ·+ai−1vi−1−vi +ai+1vi+1 + · · ·+anvn = 0, como ai = −1 6= 0
os vetores sao LD.
¥
7.6 Base
Definicao:
Um conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn} de vetores de um espaco vetorial V sera uma base para
V se:
97
(i) {v1, v2, v3, · · · , vn} e LI.
(ii) {v1, v2, v3, · · · , vn} gera V.
Exemplos:
1. β = {(1, 0), (0, 1)} e uma base para V = R2
2. β = {(1,−3), (−1, 3)} nao e uma base para V = R2
3. β = {1+x+x2,−x+2x2, 1−x2} e uma base para o espaco vetorial dos polinomios
de grau menor ou igual a 2.
4. Forneca a base canonica para o R3.
5. Determine uma base para o subespaco do R4, intersecao dos subespacos W1 gerado
por pelo conjunto {(1, 2, 1, 2), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 1, 1)} e W2 gerado por
{(1, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 2), (2, 1, 1, 2)}.Seja v um vetor generico de intersecao W1 ∩W2.
Entao v e uma combinacao linear dos vetores de W1 e de W2, que se escreve:
v = a(1, 2, 1, 2) + b(1, 1, 2, 1) + c(2, 1, 1, 1)
v = d(1, 0, 1, 2) + e(1, 1, 1, 2) + f(2, 1, 1, 2)
Igualando vem:
a + b + 2c = d + e + 2f
2a + b + c = e + f
a + 2b + c = d + e + f
2a + b + c = 2d + 2e + 2f
Escalonando o sistema em funcao de a, b e c:
a + b + 2c = d + e + 2f
−b− 3c = −2d− e− 3f
b− c = −f
b + 3c = 2f
a + b + 2c = d + e + 2f
−b− 3c = −2d− e− 4f
−4c = −2d− e− 4f
0 = 2d + e + f ⇒ f = −2d− e
98
Voltando ao vetor v, vem:
v = d(1, 0, 1, 2) + e(1, 1, 1, 2) + f(2, 1, 1, 2) = d(1, 0, 1, 2) + e(1, 1, 1, 2) + (−2d −e)(2, 1, 1, 2)
v = d(1, 0, 1, 2) + e(1, 1, 1, 2) + d(−4,−2,−2,−4) + e(−2,−1,−1,−2)
v = d(1− 4, 0− 2, 1− 2, 2− 4) + e(1− 2, 1− 1, 1− 1, 2− 2)
v = d(−3,−2,−1,−2) + e(−1, 0, 0, 0)
Finalmente, tem-se que W1 ∩W2 e gerado por {(−3,−2,−1,−2), (−1, 0, 0, 0)}, ou
ainda β = {(−3,−2,−1,−2), (−1, 0, 0, 0)} e uma base para W1 ∩W2.
Teorema 7.4 Sejam {v1, v2, · · · , vn} vetores nao nulos que geram um espaco vetorial V.
Entao, pode-se extrair uma base a partir deste vetores.
Prova:
Hipotese: {v1, v2, · · · , vn} gera V.
Tese: Existe uma base formada a partir {v1, v2, · · · , vn}.Para que um conjunto β seja uma base para V e necessario que β gere V e que β seja LI.
Como β = {v1, v2, · · · , vn} ja gera V, deve-se somente mostrar que {v1, v2, · · · , vn} e LI.
Se β = {v1, v2, · · · , vn} for LI entao β e base e ja esta provado.
Se {β = v1, v2, · · · , vn} for LD entao existe uma combinacao linear entre estes vetores,
isto e, vn = a1v1 + a2v2 + · · ·+ an−1vn−1 e assim v1, v2, · · · , vn−1 continua gerando V.
Supondo, agora, que v1, v2, · · · , vn−1 seja LI entao v1, v2, · · · , vn−1 e base para V e o
teorema esta provado.
Caso v1, v2, · · · , vn−1 for LD existe uma combinacao linear entre eles, assim pode-se excluir
aquele vetor que e combinacao linear dos demais e, {v1, v2, · · · , vn−2} e base para V.
Seguindo este raciocınio por uma quantia finita de passos, chega-se a um subconjunto
{v1, v2, · · · , vr} de {v1, v2, · · · , vn}, com r ≤ n, que e LI e ainda gera V, ou seja, e uma
base. ¥
Teorema 7.5 Seja um espaco vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, · · · , vn.
Entao, qualquer conjunto com mais de n vetores e LD.
Prova:
Se v1, v2, · · · , vn gera V entao, pelo teorema 7.4 pode-se extrair uma base a partir destes
99
vetores. Seja β = {v1, v2, · · · , vr}, r ≤ n, esta base.
Seja agora {w1, w2, · · · , wm} um subconjunto qualquer de V com mais de n elementos,
m > n, entao:
w1 = a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1rvr
w2 = a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2rvr
· · ·wm = am1v1 + am2v2 + · · ·+ amrvr
(7.1)
Para provar que w1, w2, · · · , wm e LD deve-se mostrar que
b1w1 + b2w2 + · · ·+ bmwm = 0 (7.2)
implica em bi 6= 0, para algum i.
Substituindo 7.1 em 7.2 vem:
b1(a11v1+a12v2+· · ·+a1rvr)+b2(a21v1+a22v2+· · ·+a2rvr)+· · ·+bm(am1v1+am2v2+· · ·+amrvr) = 0
Reescrevendo, tem-se:
(a11b1+a21b2+· · ·+am1bm)v1+(a12b1+a22b2+· · ·+am2bm)v2+· · ·+(a1rb1+a2rb2+· · ·+amrbm)vr = 0
Como v1, v2, · · · , vr e LI entao:
a11b1 + a21b2 + · · ·+ am1bm = 0
a12b1 + a22b2 + · · ·+ am2bm = 0
· · ·a1rb1 + a2rb2 + · · ·+ amrbm = 0
que e um sistema
linear homogeneo de r equacoes com m incognitas b1, b2, · · · , bm e como r ≤ n < m o
sistema e possıvel e indeterminado, ou seja, existe um bi nao nulo, logo w1, w2, · · · , wm
sao LD. ¥
Teorema 7.6 Qualquer base de um espaco vetorial V tem sempre o mesmo numero de
elementos.
Prova:
Sejam β1 = {v1, v2, · · · , vn} e β2 = {w1, w2, · · · , wm} duas bases de V. Como β1 e base
100
gera V e β2 por ser base e LI, entao pelo teorema 7.5 m ≤ n e, por outro lado, se β2 gera
V e β1 e LI entao n ≤ m, logo m = n.
Definicao:
Dado um espaco vetorial V. Chama-se dimensao de V, denotado por dim(V), a quantidade
de vetores de uma base.
Exemplos:
1. Como a base canonica de V = R2 e β = {(1, 0), (0, 1)} entao dim(R2) = 2.
2. dim(R3) = 3
3. dim(P2(x)) = 3, porque a base canonica deste espaco e β = {1, x, x2}.
4. dim(M2×2) = 4
Teorema 7.7 Qualquer conjunto de vetores LI de um espaco vetorial V de dimensao finita
pode ser completado de modo a formar uma base.
Prova:
Seja {v1, v2, · · · , vr} um conjunto LI de V com dim(V) = n, assim pelo teorema 7.5 r ≤ n.
Se {v1, v2, · · · , vr} gerar V ja tem-se uma base e assim o teorema ja esta provado.
Caso {v1, v2, · · · , vr} nao gere V existe vr+1 ∈ V que nao e combinacao linear de {v1, v2, · · · , vr},logo {v1, v2, · · · , vr, vr+1} e LI.
Se β1 = {v1, v2, · · · , vr, vr+1} gerar V entao β1 e base para V.
Caso contrario existe vr+2 que nao pertence ao espaco gerado por {v1, v2, · · · , vr, vr+1} e
novamente β2 = {v1, v2, · · · , vr+2} e LI e se β2 gerar V sera base e a demonstracao estara
concluıda, caso contrario o procedimento usado deve ser realizado , continuadamente, ate
obter-se n vetores LI que gerem V.¥
Corolario 7.8 Qualquer conjunto de n vetores LI de um espaco vetorial V de dimensao
n sera uma base de V.
101
Prova:
Se este conjunto de n vetores nao formar uma base ele poderia ser completado ate ser
formada uma base, que teria mais de n vetores, absurdo pelo teorema 7.6.
Teorema 7.9 Se W1 e W2 sao subespacos vetoriais de um espaco vetorial V de dimensao
finita, entao dim(W1) ≤ dim(V), dim(W2) ≤ dim(V) e dim(W1 +W2) = dim(W1) +
dim(W2)− dim(W1 ∩W2)
Prova:
Observe que W1 ∩ W2 e um subespaco tanto de W1 quanto de W2. Supondo que
dim(W1) = m, dim(W2) = n e dim(W1 ∩W2) = r. Supondo ainda que {v1, v2, · · · , vr} e
uma base para W1 ∩W2. Pelo teorema 7.7, pode-se extender {vi} para uma base de W1
e para uma base de W2 que respectivamente sao:
{v1, · · · , vr, u1, · · · , um−r} e {v1, · · · , vr, w1, · · · , wn−r}.Seja β = {v1, · · · , vr, u1, · · · , um−r, w1, · · · , wn−r} que possui exatamente m + n − r ele-
mentos. Assim para que o teorema esteja provado basta mostrar que β e uma base para
W1 +W2. Como {vi, uj} gera W1 e {vi, wk} gera W2 a sua uniao {ui, vj, wk} ira gerar
W1 +W2, logo e necessario mostrar que β e LI.
Seja
a1v1 + · · ·+ arvr + b1u1 + · · ·+ bm−rum−r + c1w1 + · · ·+ cn−rwn−r = 0 (7.3)
em que ai, bj, ck sao escalares. Seja
v = a1v1 + · · ·+ arvr + b1u1 + · · ·+ bm−rum−r (7.4)
Por 7.3 tem-se tambem que
v = −c1w1 − · · · − cn−rwn−r (7.5)
Como [ui, vj] ⊂ W1 vem que v ∈ W1 e como [wk] ⊂ W2, v ∈ W2, por 7.5. Consequen-
temente, v ∈ W1 ∩ W2. Mas [vi] e uma base de W1 ∩ W2 e assim existem escalares
d1, d2, · · · , dr para os quais v = d1v1 + · · ·+ drvr. Assim por 7.5, vem
d1v1 + · · ·+ drvr + c1w1 + · · ·+ cn−rwn− r = 0 (7.6)
102
Mas {vi, wk} e uma base para W2 e assim e LI, logo pela equacao 7.6 tem-se c1 = · · · =
cn−r = 0, que substituindo em 7.3 resulta:
a1v1 + · · ·+ arvr + b1w1 + · · ·+ bm−rwm−r = 0
Mas {vi, uj} e uma base de W1, logo LI e, pela equacao acima tem-se
a1 = · · · = ar = b1 = · · · = bm−r = 0
Como a equacao 7.3 implica que os coeficientes ai, bj e ck sao todos nulos, tem-se que β
e LI. ¥
Soma direta
Definicao: Um espaco vetorial V e uma soma direta de seus subespacos W1 e W2,
denotado por V = W1 ⊕W2 se todo todo vetor v ∈ V puder ser escrito de modo unico
como v = w1 + w2, em que w1 ∈W1 e w2 ∈W2.
Teorema 7.10 O espaco vetorial V e a soma direta de seus subespacos W1 e W2 se e
somente se:
(i) V = W1 +W2
(ii) W1 ∩W2 = {0}
Prova:
⇒ Suponha V = W1 ⊕W2, assim v = w1 + w2, em que w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2, isto e
particularmente V = W1 +W2.
Supondo agora que v ∈W1 ∩W2, entao:
• v = v + 0 em que v ∈W1 e 0 ∈W2,
• v = 0 + v em que 0 ∈W1 e v ∈W2.
Consequentemente W1 ∩W2 = ∅, pelo fato de v = w1 + w2 ser e escrito de modo unico.
¤⇐ Supondo V = W1 +W2 e W1 ∩W2 = ∅. Seja v ∈ V e como V = W1 +W2, existem
w1 ∈W1 e w2 ∈W2, tais que v = w1 + w2. Deve-se mostrar que tal soma e unica e, para
isso, escreva v = w′1 + w′
2, entao
103
• v = w1 + w2 = w′1 + w′
2 e assim w1 − w′1 = w2 − w′
2
Mas w1 − w′1 ∈W1 e w2 − w′
2 ∈W2 mas W1 ∩W2 = ∅ logo:
• w1 − w′1 = 0 e w2 − w′
2 = 0
assim
• w1 = w′1 e w2 = w′
2
e a soma v = w1+w2 e unica. ¥
Exemplo:
Sejam W1 = {(x, y, z) ∈ R3/x+y−z = 0} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3/x−y = 0}, determine:
(i) Uma base para W1
(ii) dim(W1)
(iii) Uma base para W2
(iv) dim(W2)
(v) Uma base para W1 +W2
(vi) dim(W1 +W2)
(vii) dim(W1 ∩W2)
(viii) Uma base para W1 ∩W2
Solucao:
(i) Uma base para W1
Seja v = (x, y, z) ∈W1 entao x + y − z = 0, isto e, z = x + y assim v = (x, y, z) =
(x, y, x + y)
v = (x, 0, x) + (0, y, y)
v = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1), isto e, v e combinacao linear de (1, 0, 1) e de (0, 1, 1) que
sao LI (prove), assim β1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} e base para W1.
104
(ii) dim(W1) = 2
(iii) Uma base para W2
Seja v = (x, y, z) ∈W2 entao x− y = 0, isto e, x = y assim v = (x, y, z) = (x, x, z)
v = (x, x, 0) + (0, 0, z)
v = x(1, 1, 0) + z(0, 0, 1), isto e, v e combinacao linear de (1, 1, 0) e de (0, 0, 1) que
sao LI (prove), assim β2 = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e base para W2.
(iv) dim(W2) = 2
(v) Uma base para W1 +W2
W1 +W2 = {v ∈ V/v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2}Como v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2 entao v e uma combinacao linear de vetores
de W1 e de W2, isto e, e gerado por (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1).
agora, escalonando estes quatro vetores,
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 0 1
⇒
1 0 1
0 1 1
0 1 −1
0 0 1
⇒
1 0 1
0 1 1
0 0 −2
0 0 1
⇒
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
Logo β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
(vi) dim(W1 +W2) = 3, assim W1 +W2 = R3
(vii) dim(W1 ∩W2)
Pelo teorema 7.9 dim(W1 +W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩W2)
3 = 2 + 2− dim(W1 ∩W2), logo dim(W1 ∩W2) = 1
(viii) Uma base para W1 ∩W2
W1 ∩W2 = {(x, y, z)/x + y − z = 0 e x− y = 0}
Resolvendo o sistema
x + y − z = 0
x− y = 0, vem:
x = y =z
2W1 ∩W2 = {(z/2, z/2, z)} = {z(1/2, 1/2, 1)}Logo uma base para W1 ∩W2 e βinter = {(1, 1, 2)}.
Teorema 7.11 Dada uma base ordenada β = {v1, v2, · · · , vn} de um espaco vetorial V
entao todo vetor v ∈ V e escrito de forma unica como v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
105
Prova:
Como β e base entao v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, agora suponha que v possa ser escrito
como uma outra combinacao linear dos elementos de β, como v = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bnvn,
ai 6= bi,∀i.Igualando as duas combinacoes lineares, vem:
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bnvn
ou ainda
(a1 − b1)v1 + (a2 − b2)v2 + · · ·+ (an − bn)vn = 0
como β e base entao a1−b1 = a2−b2 = · · · = an−bn = 0, absurdo. ¥
Definicao:
Dados v ∈ V e β = {v1, v2, · · · , vn} uma base ordenada de um espaco vetorial V em
que v = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn. Os coeficientes v = a1, a2, · · · , an serao chamados de
coordenadas do vetor em relacao a base β e denotado por [v]β =
a1
...
an
. Exemplos:
1. Seja V = R2 e β = {(1, 0), (0, 1)} sua base canonica ordenada. Entao v = (2,−3)
pode ser escrito como (2,−3) = a(1, 0) + b(0, 1), em que a = 2 e b = −3, logo as
coordenadas de v em relacao a β sao [v]β =
2
−3
2. Seja β = {(3,−5), (−1, 1)} base ordenada do R2. Determine as coodenadas de
v = (−1,−1) em relacao a β.
(−1,−1) = a(3,−5) + b(−1, 1)
3a− b = −1
−5a + b = −1.
Logo a = 1 e b = 4 e assim [v]β =
1
4
.
3. Determine as coordenadas de p = 2 + 2x − x2 em relacao a base β = {2 − x +
x2,−1 + 3x− x2, 1− x2}.2 + 2x− x2 ≡ a(2− x + x2) + b(−1 + 3x− x2) + c(1− x2)
106
2a− b + c = 2
−a + 3b = 2
a− b− c = −1
.
Resolvendo o sistema vem [v]β =
1
1
1
.
7.7 Mudanca de base
Na secao anterior, foi visto e possıvel representar um vetor de um espaco vetorial V
por meio de suas coordenadas em relacao a uma base β. Agora, como num espaco vetorial
existem varias bases, nesta secao, sera mostrado como e possıvel relacionar as coordenadas
de um vetor em relacao a duas bases diferentes.
Sejam β = {u1, u2, · · · , un} e β′ = {w1, w2, · · · , wn} duas bases ordenadas de um
espaco vetorial V. Dado um vetor v ∈ V entao escreve-se:
v = x1u1 + x2u2 + · · ·+ xnun
v = y1w1 + y2w2 + · · ·+ ynwn
(7.7)
assim as coordenadas de v em relacao a base β e:
[v]β =
x1
x2
...
xn
e em relacao a β′ e:
[v]β′ =
y1
y2
...
yn
Como β = {u1, u2, · · · , un} e base de V entao cada um dos vetores wi de β′ e combinacao
107
linear dos vetores ui, assim:
w1 = a11u1 + a21u2 + · · ·+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + · · ·+ an2an
...
wn = a1nu1 + a2nu2 + · · ·+ annun
(7.8)
Substituindo 7.8 em 7.7 vem:
v = y1(a11u1 + a21u2 + · · ·+ an1un) + · · ·+ yn(a1nu1 + a2nu2 + · · ·+ annun)
v = (a11y1 + a12y2 + · · ·+ a1nyn)u1 + · · ·+ (an1y1 + an2y2 + · · ·+ annyn)un
Mas v = x1u1 + x2u2 + · · ·+ xnun e como as coordenadas de um vetor em relacao a uma
base sao unicas, vem:
x1 = a11y1 + a12y2 + · · ·+ a1nyn
x2 = a21y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn
...
xn = an1y1 + an2y2 + · · ·+ annyn
Em forma matricial
x1
x2
...
xn
=
a11 · · · a1n
......
...
an1 · · · ann
y1
y2
...
yn
ou resumidamente
[v]β = [I]β′
β [v]β′ ,
em que
[I]β′
β =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
...
an1 an2 · · · ann
e a matriz de mudanca da base β′ para a base β.
Exemplo: Sejam β = {(1, 2), (3, 5)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)} duas bases do R2. Determine
a matriz de mudanca da base β′ para a base β.
(1, 0) = a(1, 2) + b(3, 5)
108
(1, 0) = (a + 3b, 2a + 5b)
Resolvendo o sistema tem-se a = −5 e b = 2
(0, 1) = c(1, 2) + d(3, 5)
(0, 1) = (c + 3d, 2c + 5d)
Resolvendo o sistema vem c = 3 e d = −1
Assim [I]β′
β =
−5 3
2 −1
Como complemento observe que para determinar as coordenadas do vetor v = (1, 1)
em relacao a base β, basta em [v]β′ = [I]ββ′ [v]β substituir [I]β′
β e [v]β′ , isto e:
[v]β =
−5 3
2 −1
1
1
[v]β =
−2
1
Veja que neste caso, o calculo das coordenadas de apenas um vetor, seria mais simples
resolver, diretamente, o sistema (1, 1) = a(1, 2) + b(3, 5).
Inversa da matriz de mudanca de base
Se, anteriormente, tivessemos escrito os vetores de β como combinacao linear dos
vetores de β′ chegariamos a
[v]β′ = [I]ββ′ [v]β (7.9)
em que [I]ββ′ e a matriz de mudanca de base da base β para a base β′.
Como os vetores de uma base sao LI, vem que [I]β′
β e inversıvel e assim multiplicando
ambos os membros de 7.9 por[[I]β
′β
]−1
, vem:
[v]β =[[I]β
′β
]−1
[v]β′
Logo:
[I]β′
β =[[I]ββ′
]−1
109
7.8 Exercıcios
1. Seja V o espaco vetorial de todas as matrizes 2 × 2 sobre o corpo real. Verifique
qual dos subconjuntos abaixo e subespaco vetorial de V:
a) W formado por todas as matrizes com determinante nulo.
b) W formado por todas as matrizes triangular superior.
c) W formado por todas as matrizes com a1,1 = 0.
d) W formado por todas as matrizes S tais que S2 = S.
2. Seja V o espaco vetorial de todas os polinomios a0 + a1x +2 x2 + · · ·+ anxn sobre o
corpo real. Verifique qual dos subconjuntos abaixo e subespaco vetorial de V:
a) W formado por todos os polinomios com coeficientes inteiros.
b) W formado por todos os polinomios de grau menor ou igual a 4.
c) W formado por todos os polinomios que passam pela origem.
d) W formado por todos os polinomios de expoentes pares.
3. Verificar se o R2 munido das operacoes nao usuais (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1−y2)
e α(x1, y1) = (αx1, y1) e um espaco vetorial.
4. Verifique se no espaco vetorial das funcoes reais de variaveis reais, o conjunto de
todas as funcoes f tais que f(x + 1) = f(x) + f(0) e um subespaco vetorial, sujeito
as operacoes usuais.
5. Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3/y = 2x, z = 3x} e um subespaco vetorial do R3.
6. Verifique se W = {(x, y) ∈ R2/y = x} e um subespaco vetorial do R3.
7. Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3/y = x, z = 1} e um subespaco vetorial do R3.
8. Verifique se W = {(x, y) ∈ R2/xy = 0} e um subespaco vetorial do R2.
9. Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3/x ≤ 0} e um subespaco vetorial do R3.
10. Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais da forma
a b
−b c
e um sube-
spaco vetorial do R2×2.
110
11. Escreva a matriz A =
3 1
1 −1
como combinacao linear das matrizes B =
1 1
1 0
, C =
0 0
1 1
e D =
0 2
0 −1
12. Determine a relacao existente entre a, b e c de modo que w = (a, b, c) pertenca ao
espaco gerado por u, v, onde u = (1,−3, 2) e v = (2,−1, 1).
13. Verifique se o vetor (1, 2, 3) pertence ao espaco gerado por {(0, 1, 5), (−3,−4, 1)}.
14. Mostre que os vetores (1, 2) e (2,−1) geram o R2.
15. Mostre que os vetores (1, 2, 1) e (2,−1, 0) e (3, 1, 1) nao geram o R3.
16. Determine o valor de k para que o conjunto A = {(1, k), (k, 4)} forme uma base
para o R2.
17. Complete o conjunto A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0)} de modo que forme uma base para o
espaco vetorial R3.
18. Verifique se o conjunto β =
2
3
2
,
1
1
−1
e uma base para o espaco gerado
por A =
1
2
3
,
5
8
7
,
3
4
1
19. Complete o conjunto A = {p1(x), p2(x), p3(x)}, de modo que este forme uma base
para o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a 3, sendo p1(x) =
x3 − x2 − 2x + 1, p2(x) = 2x3 + 3x2 − x− 1 e p1(x) = x3 − 2x− 3.
20. Determine uma base para o espaco vetorial das solucoes do sistema
x + 2y − z = 0
2x + 5y + 2z = 0
x + 4y + 7z = 0
x + 3y + 3z = 0
.
21. Determine um sistema de equacoes lineares no qual o conjunto solucao seja gerado
pelos vetores v1 = (−2, 1, 0, 0) e v2 = (1, 0, 1, 1).
111
22. Determine uma base para o subespaco intersecao dos subespacos vetoriais W1 e W2
gerados por
1 2
1 2
,
1 1
2 1
,
2 1
1 1
e
1 0
1 2
,
1 1
1 2
,
2 1
1 2
,
respectivamente.
23. Determine uma base para o subespaco soma W1+W2, onde W1 = span{(1, 2, 1), (0, 1, 1)}e W1 = span{(0, 2, 2), (−1, 1, 1)}.
24. Determine uma base para o subespaco vetorial do R4 que e gerado pelo conjunto
de vetores {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 2), (1,−1, 1,−1), (1, 4, 1, 4)}.
25. Ache dois vetores u, v de R3 tais que se w = (1,−1, 1), entao R3 = span{u, v, w}.
26. Classifique as seguintes afirmacoes como verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira
justifique, caso falsa de um contra-exemplo.
a) Se Z = {0} e o subespaco trivial, entao dimZ = 0, porque a base para esse
espaco e o conjunto vazio.
b) Seja L uma reta passando pela origem em R3, entao dimL = 1, porque uma
base para L consiste de um vetor nao nulo sobre L.
c) Se P e um plano passando pela origem em R3, entao dimP = 2 porque um
conjunto gerador mınimo para P deve conter 2 vetores de P .
d) dimR3 = 3 porque os tres vetores unitarios
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
, con-
stitui uma base para o R3.
e) dimRn = n porque os vetores unitarios {e1, e2, · · · , en} em Rn formam uma
base.
f) O conjunto {1, x, x2, · · · , xn} e uma base para o espaco vetorial dos polinomios
de grau menor ou igual a n.
g) W1 ⊆W1 +W2
27. Justifique porque podemos extrair uma base para um espaco vetorial V a partir de
um conjunto de vetores nao nulos que geram V.
112
28. Justifique porque se n vetores geram um espaco vetorial V qualquer conjunto com
mais de n vetores de V sao LI.
29. Sejam u = (2,−1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (2, 1, 3). Mostre que span{u + w, v−w} ⊆span{u, v, w}.
30. Qual a condicao para que W1 = W1 +W2?
113
Capıtulo 8
Transformacoes Lineares
8.1 Definicao e Teoremas
Definicao 8.1 Sejam U e V dois espacos vetoriais sobre um mesmo corpo F. Uma
transformacao linear T de U em V e uma aplicacao T : U→ V tal que, para todos vetores
u e v de U e todo escalar a do corpo F, tenha-se:
1. T(u+v)=T(u)+T(v)
2. T(au)=aT(u)
As condicoes da definicao 8.1 podem ser condensadas para
T (au + bv) = aT (u) + bT (v)
para todo b ∈ F.
Exemplo 1: T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x− y, 2x + y) e uma transformacao
linear do R2 no R2.
Prova:
(1) Deve-se mostrar que T (u + v) = T (u) + T (v) vale para todos u, v ∈ R2.
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores do R2.
T (u + v) = T((x1, y1) + (x2, y2)
)= T
((x1 + x2, y1 + y2)
)=
T (u + v) =((x1 + x2)− (y1 + y2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2))
)
114
T (u + v) = (x1 + x2 − y1 − y2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2)
T (u + v) = (x1 − y1 + x2 − y2, 2x1 + y1 + 2x2 + y2)
T (u + v) = (x1 − y1, 2x1 + y1) + (+x2 − y2, 2x2 + y2)
T (u + v) = T (u) + T (v)
(2) Deve-se mostrar que T (au) = aT (u) vale para todo u ∈ R2 e para todo a ∈ R.
Sejam u = (x1, y1) ∈ R2 e a ∈ R.
T (au) = T(a(x1, y1)
)= T (ax1, ay1)
T (au) = (ax1 − ay1, 2ax1 + ay1)
T (au) = a(x1 − y1, 2x1 + y1)
T (au) = aT (u)
Exemplo 2: Considere uma matriz Am×n sobre o corpo dos reais e X uma matriz
coluna n× 1, que podemos identificar como um vetor do Rn. A aplicacao T : Rn → Rm
dada por T (x) = Ax e uma transformacao linear.
Prova:
(1) Deve-se mostrar que T (u + v) = T (u) + T (v) vale para todos u, v ∈ Rn.
Sejam u e v vetores do Rn.
T (u + v) = A(u + v) = Au + Av = T (u) + T (v)
(2) Deve-se mostrar que T (au) = aT (u) vale para todo u ∈ Rn e para todo a ∈ R.
Sejam u ∈ Rn e a ∈ R.
T (au) = A(au) = a(Au) = aT (u)
Exemplo 3: Seja Pn(x) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a n e
T : Pn(x) → Pn(x) definida por T (p(x)) =dp(x)
dxe uma transformacao linear.
Prova:
(1) Tome u, v ∈ Pn(x) entao T (u + v) =d(u + v)
dx=
du
dx+
dv
dx= T (u) + T (v)
(2) Tome u ∈ Pn(x) e a ∈ R entao T (au) =d(au)
dx= a
du
dx= aT (u).
Exemplo 4: Seja V = C[0, 1] o espaco vetorial das funcoes contınuas no intervalo [0, 1]
e T : C[0, 1] → R definida por T (f(x)) =
∫ 1
0
f(x)dx. T e uma transformacao linear de
V = C[0, 1] em R.
Prova:
Exemplo 5: A simetria de eixo Ox definida por T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x,−y)
115
e linear.
Prova:
Exemplo 6: A rotacao no sentido anti-horario definida por T : R2 → R2 tal que
T (x, y) = (xcos(θ) − ysen(θ), xsen(θ) + ycos(θ)) e uma transformacao linear do R2 no
R2.
Prova:
Exemplo 7: A aplicacao T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x + y, y + 1) nao e linear.
Prova:
Exemplo 8: A aplicacao T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x2, y) nao e linear.
Prova:
Teorema 8.2 Se T : U→ V e linear, entao
T (a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn) = a1T (v1) + a2T (v2) + · · ·+ anT (vn) ,
para quaisquer vetores v1, v2, · · · , vn ∈ V e escalares a1, a2, · · · , an ∈ R.
Prova: Como T e linear escreve-se T (a1v1 + a2v2 + · · · + anvn) = T (a1v1) + T (a2v2) +
· · · + T (anvn) e agora, novamente pela linearidade de T , T (a1v1 + a2v2 + · · · + anvn) =
a1T (v1) + a2T (v2) + · · ·+ anT (vn).
¥
Teorema 8.3 Se T : U→ V e linear, entao
T (0) = 0 .
Prova:
Como T e linear entao T (au) = aT (u), para todo a ∈ R.
Fazendo a = 0 vem:
T (0u) = 0T (u) logo T (0) = 0.
¥
116
Teorema 8.4 Sejam U e V dois espacos vetoriais sobre um mesmo corpo F. Sejam
{u1, u2, · · · , un} uma base de U e v1, v2, · · · , vn vetores quaisquer de V. Entao existe uma
unica transformacao linear T : U → V tal que T (u1) = v1, T (u2) = v2, · · · , T (un) = vn.
E se u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun, T e dada por
T (u) = a1T (u1) + a2T (u2) + · · ·+ anT (un)
T (u) = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn
Prova:
Existem 3 ıtens para serem provados, que sao:
i) T e linear (Linearidade).
Para isto tome u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun, w = b1u1 + b2u2 + · · ·+ bnun vetores de U e
a ∈ R.
T (u + w) = T((a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun) + (b1u1 + b2u2 + · · ·+ bnun)
)
T (u + w) = T((a1 + b1)u1 + (a2 + b2)u2 + · · ·+ (an + bn)un
)
T (u + w) = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · ·+ (an + bn)vn
T (u + w) = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn + b1v1 + b2v2 + · · ·+ bnvn
T (u + w) = T (u) + T (w).
T (ku) = T (ka1u1 + ka2u2 + · · ·+ kanun)
T (ku) = ka1T (u1) + ka2T (u2) + · · ·+ kanT (un)
T (ku) = k(a1T (u1) + a2T (u2) + · · ·+ anT (un)
)
T (ku) = kT (u).
ii) T e unica (Unicidade).
Suponha que exista S : U→ V tal que S(ui) = vi.
Se u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun entao
S(u) = S(a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun) = a1S(u1) + a2S(u2) + · · ·+ anS(un) = a1v1 + a2v2 +
· · ·+ anvn =
= a1T (u1) + a2T (u2) + · · ·+ anT (un) = T (a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun) = T (u)
Como S(u) = T (u) para todo u ∈ U, S = T , logo T e unica.
iii) T (u) = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn (Existencia).
Imediato a partir do teorema 8.2.
¥
117
Exemplo 1: Qual a transformacao linear T : R2 → R3 tal que T (1, 0) = (1, 2, 1) e
T (0, 1) = (−2, 1, 3)
Solucao:
Tome v = (x, y) ∈ R2. Como β = {(1, 0), (0, 1)} a base canonica do R2 entao v = (x, y) =
x(1, 0) + y(0, 1).
T (v) = T(x(1, 0) + y(0, 1)
)
T (v) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1, 2, 1) + y(−2, 1, 3)
T (v) = (x− 2y, 2x + y, x + 3y)
Exemplo 2: Qual a transformacao linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e
T (0,−2) = (−2, 1, 3)
Solucao:
Tome v = (x, y) ∈ R2. Como β = {(1, 1), (0,−2)} e uma base do R2, entao:
(x, y) = a(1, 1) + b(0,−2).
x = a
y = a− 2b⇒
a = x
b = x−y2
⇒ (x, y) = x(1, 1) + x−y2
(0,−2)
Calculando T (v) = T (x, y)
T (v) = T (x, y) = T (x(1, 1)) + T (x−y2
(0,−2))
T (v) = T (x, y) = xT (1, 1) + x−y2
T (0,−2))
T (v) = T (x, y) = x(3, 2, 1) + x−y2
(−2, 1, 3)
T (v) = T (x, y) = (3x− x + y, 2x + x−y2
, x + 3x−y2
)
T (v) = T (x, y) = (2x + y, 5x−y2
, 5x−3y2
).
8.2 O espaco vetorial L(U,V)
Definicao 8.5 O conjunto L(U,V) e o conjunto formado por todas as transformacoes
lineares de U em V.
8.2.1 Operacoes em L(U,V)
Dados os espacos vetoriais U e V definidos sobre um mesmo corpo F, defini-se:
118
1. Adicao de transformacoes lineares:
Sejam S e T transformacoes lineares de U em V, entao :
(S + T )(v) = S(v) + T (v)
2. Multiplicacao de transformacao por um escalar:
Dada uma transformacao linear de U em V e a ∈ F, entao:
(aT )(v) = a.T (v)
Teorema 8.6 Com as operacoes + e . definidas anteriormente, o conjunto L(U,V) de
todas as transformacoes lineares de U em V torna-se um espaco vetorial.
8.3 Nucleo e Imagem
Definicao 8.7 Seja T ∈ L(U,V), chama-se nucleo de T , denotado por ker(T ), ao con-
junto de vetores u de U tais que T (u) = 0.
Definicao 8.8 Seja T ∈ L(U,V), chama-se imagem de T , denotado por Im(T ), ao con-
junto de vetores v de V que sao correspondencias de vetores de U, isto e, Im(T ) = {v ∈V/v = T (u)}.
Teorema 8.9 O nucleo de T ∈ L(U,V) e um subespaco vetorial de U.
Prova:
Inicialmente veja que ker(T ) ⊂ U e tambem ker(T ) 6= ∅, pois T (0) = 0.
(i) Sejam u e v vetores do nucleo de T , entao T (u) = 0 e T (v) = 0.
Como T e linear T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0, logo u + v pertence ao nucleo de
T .
(ii) Analogamente, se u ∈ ker(T ), a ∈ R e como T e linear T (au) = aT (u) = a0 = 0,
assim au ∈ ker(T ) e ker(T ) e subespaco vetorial de U.
¥
119
Teorema 8.10 A imagem de T ∈ L(U,V) e um subespaco vetorial de V.
Prova:
Inicialmente veja que Im(T ) ⊂ V e tambem Im(T ) 6= ∅, pois 0 ∈ Im(T ) pelo fato de
T (0) = 0.
(i) Sejam w1 e w2 vetores da imagem de T , entao existem u1 e u2 tais que T (u1) = w1 e
T (u2) = w2, Assim w1 + w2 = T (u1) + T (u2) = T (u1 + u2) o que implica que w1 + w2 ∈Im(T ).
(ii) Analogamente, se w1 ∈ Im(T ), a ∈ R e aw1 = aT (u1) = T (au1), isto e, aw1 ∈ Im(T )
e assim Im(T ) e subespaco vetorial de V.
¥
Definicao 8.11 Chama-se nulidade de uma transformacao linear, denotado por υ(T ), a
dimensao de sua imagem.
Definicao 8.12 Chama-se posto de uma transformacao linear, denotado por γ(T ), a
dimensao de seu nucleo.
Teorema 8.13 Seja T ∈ L(U,V), em que U possui dimensao finita, entao υ(T ) + γ(T ) =
dim(U).
Exemplo 1: Determine uma base para o nucleo e outra para a imagem de T ∈ L(R3)
definido por T (x, y, z) = (x + 2y− z, y + z, x + y− 2z). Determine, tambem υ(T ) e γ(T ).
Como Im(T ) = {v ∈ V/v = T (u)} entao
Im(T ) = {v ∈ V/v = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z)}v = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) = x(1, 0, 1) + y(2, 1, 1) + z(−1, 1,−2)
Entao Im(T ) e gerada por {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (−1, 1,−2)} e pelo teorema 7.4 do capıtulo
de espacos vetoriais, pode-se extrair uma base para Im(T ).
Escalonando,
1 0 1
2 1 1
−1 1 −2
→
1 0 1
0 1 −1
0 1 −1
→
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
Assim β = {(1, 0, 1), (0, 1,−1)} e uma base para Im(T ) e, a nulidade de T e υ(T ) = 2.
120
Como T (u) = 0 entao
(x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) = 0, isto e:
x + 2y − z = 0
y + z = 0
x + y − 2z = 0
e escalonando
1 2 −1
0 1 1
1 1 −2
→
1 2 −1
0 1 1
0 −1 −1
→
1 2 −1
0 1 1
0 0 0
→
x = 3z
y = −z
z ∈ R
logo u = (3,−1, 1)z entao o nucleo e gerado pelo vetor u = (3,−1, 1)
e β′ = {(3,−1, 1)} e uma base para ket(T ) e assim o posto do nucleo de T e γ(T ) = 1.
Exemplo 2: Idem para T (x, y, z) = (x, 2y, 0).
Como Im(T ) = {v ∈ V/v = T (u)} entao
Im(T ) = {v ∈ V/v = (x, 2y, 0)}v = (x, 2y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0)
e a imagem de T e gerada pelos vetores (1, 0, 0) e (0, 2, 0) que sao LI, logo, β = {(1, 0, 0), (0, 2, 0)}e uma base para im(T ).
Como T (u) = 0 entao
(x, 2y, 0) = 0, o que leva a x = 0 e y = 0 e,
β′ = {(0, 0, 1)} e uma base para ker(T ).
Exemplo 3: Determine uma transformacao linear T : R3 → R4 cuja imagem e gerada
pelos vetores u1 = (−1, 2, 1, 1) e u2 = (3, 1, 0,−1).
Considere a base canonica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do R3 e considere agora, por exem-
plo, T (1, 0, 0) = (−1, 2, 1, 1), T (0, 1, 0) = (3, 1, 0,−1) e T (0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0). Lembre
que T definida desta forma e unica.
Como β e a base canonica do R3, (x, y, z) = x(1, 0, 0)+ y(0, 1, 0)+ z(0, 0, 1) e T (x, y, z) =
x(−1, 2, 1, 1) + y(3, 1, 0,−1) + z(0, 0, 0, 0), pelo fato de T ser linear.
Finalmente, T (x, y, z) = (−x + 3y, 2x + y, x, x− y).
Exemplo 4: Determine uma transformacao T : R4 → R3 linear cujo nucleo e gerado
por u1 = (1, 0, 1, 2), u2 = (1, 1, 0,−1) e u3 = (2, 1, 0, 1).
Lembre que este exemplo ja foi visto no capıtulo sobre espacos vetoriais ”Determine um
sistema de equacoes lineares cuja solucao e gerada por um conjunto de vetores”. Assim,
considere uma combinacao linear deste 3 vetores:
121
(x, y, z, t) = a(1, 0, 1, 2) + b(1, 1, 0,−1) + c(2, 1, 0, 1)
a + b + 2c = x
b + c = y
a = z
2a− b + c = t
, escalonando:
a + b + 2c = x
b + c = y
b + 2c = x− z
−3b− 3c = −2x + t
→
a + b + 2c = x
b + c = y
c = x− y − z
0 = −2x + 3y + t
E a transformacao linear pedida e T : R4 → R3 tal que T (x, y, z, t) = (−2x + 3y + t, 0, 0)
Definicao 8.14 Dada T ∈ L(U,V), diremos que T e injetora se dados u, v ∈ U com
T (u) = T (v) tivermos u = v, ou equivalentemente, se para todos u 6= v ∈ U tivermos
T (u) 6= T (v).
Definicao 8.15 Dada T ∈ L(U,V), diremos que T e sobrejetora se Im(T ) = V.
Definicao 8.16 Dada T ∈ L(U,V), for injetora e sobrejetora diremos que T e um iso-
morfismo.
Teorema 8.17 Seja T ∈ L(U,V), entao ker(T ) = {0} se e somente se T e injetora.
Prova: (⇒)
Hipotese: ker(T ) = {0}.Tese: T e injetora.
Sejam u1 e u2 vetores de U tais que T (u1) = T (u2), logo T (u1)− T (u2) = 0 e ainda como
T e linear T (u1 − u2) = 0 logo u1 − u2 ∈ ker(T ).
Mas por hipotese o nucleo possui somente o vetor nulo, logo u1 − u2 = 0, isto e, u1 = u2
e assim T e injetora.
¤
(⇐)
Hipotese: T e injetora.
122
Tese: ker(T ) = 0.
Tome v ∈ ker(T ) o que implica que T (v) = 0.
E como pelo teorema 8.3 T (0) = 0 tem-se que v = 0, pelo fato de T ser injetora.
¥
Teorema 8.18 Seja T ∈ L(U,V), entao dim(ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Prova:
Seja β = {u1, u2, · · · , un} uma base para o nucleo de T e como por 8.9 e um subespaco
vetorial de U e pelo teorema 1.7 do capıtulo de espacos vetoriais β pode ser completado
de modo a obter uma base para U.
Considere agora β1 = {u1, u2, · · · , un, w1, w2, · · · , wm} esta base para U. Deve-se mostrar
que γ = {T (w1), T (w2), · · · , T (wm)} e uma base para o conjunto imagem de T .
Para mostrar que γ gera Im(T ), tome w ∈ Im(T ), assim existe u ∈ U tal que T (u) = w.
Como u ∈ U e β1 e base de U entao u = a1u1 + a2u2 + · · · + anun + b1w1 + · · · + bmwm.
Mas w = T (u) = T (a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun + b1w1 + · · ·+ bmwm)
w = T (u) = a1T (u1) + a2T (u2) + · · ·+ anT (un) + b1T (w1) + · · ·+ bmT (wm)
Como os vetores u1, · · · , un pertencem ao nucleo de T entao T (ui) = 0, i = 1, · · · , n,
assim,
w = T (u) = b1T (w1) + · · · + bmT (wm) o que diz que a imagem de T e gerada e gerada
pelos vetores T (w1), · · · , T (wm).
Agora, falta mostrar que γ = {T (w1), T (w2), · · · , T (wm)} e LI e, para isto considere a
combinacao linear
a1T (w1) + a2T (w2) + · · ·+ amT (wm) = 0, e como T e linear, escreve-se T (a1w1 + a2w2 +
· · ·+ amwm) = 0 logo a1w1 + a2w2 + · · ·+ amwm ∈ ker(T ).
Entao a1w1 + a2w2 + · · · + amwm pode ser escrito com combinacao linear da base β =
{u1, u2, · · · , un} de ker(T ), isto e, existem coeficientes b1, b2, · · · , bn tais que:
a1w1 + a2w2 + · · ·+ amwm = b1u1 + b2u2 + · · ·+ bnun e ainda
a1w1 + a2w2 + · · ·+ amwm − b1u1 − b2u2 − · · · − bnun = 0
Mas {w1, w2, · · · , wm, u1, u2, · · · , un} e uma base de U, logo os coeficientes ai e bj, i −1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n sao nulos e, γ = {T (w1), T (w2), · · · , T (wm)} e LI.
¥
123
Corolario 8.19 Se dim(U) = dim(V), entao T e injetora se e somente se T for sobreje-
tora.
Prova:
⇒ Se T e injetora pelo teorema 8.17 ker(T ) = {0}, assim, dim(ker(T )) = 0 e pelo
teorema 8.18 dim(im(T )) = dim(U), que por hipotese dim(im(T )) = dim(V ), logo T e
sobrejetora.
⇐Se T e sobrejetora entao dim(im(T )) = dim(V ), logo pela hipotese dim(im(T )) = dim(U)
e pelo teorema 8.18 vem que dim(ker(T )) = 0, assim ker(T ) = {0} e T e injetora.
¥
Corolario 8.20 Seja T ∈ L(U,V) injetora. Se dim(U) = dim(V), entao T leva base em
base.
Prova:
Seja β = {u1, u2, · · · , un} uma base para U.
O conjunto {T (u1), T (u2), · · · , T (un)}, T (ui) ∈ V, e LI pois, se b1T (u1) + b2T (u2) + · · ·+bnT (un) = 0 e, pelo fato de T ser linear tem-se T (b1u1) + T (b2u2) + · · · + T (bnun) = 0 e
ainda T (b1u1 + b2u2 + · · · + bnun) = 0 logo b1u1 + b2u2 + · · · + bnun = 0 entao, por {vi}ser LI vem que bi = 0.
Mas pela hipotese dim(U) = dim(V) entao dim(V) = n e T (ui) e LI.
Definicao 8.21 A transformacao linear T : U→ V, tal que T (u) = v, sera inversıvel se
for um isomorfismo e se possuir um operador inverso, isto e, se existir T−1 : V → U tal
que T−1(v) = u.
Exemplo. Seja T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x− 2y, z, x + y). prove que T e
um isomorfismo e determine T−1.
Solucao:
Utilizando o corolario 8.21, para provar que T e um isomorfismo basta mostrar que T e
injetora, isto e, ker(T ) = {0} ou ainda, (x− 2y, z, x + y) = (0, 0, 0).
124
Resolvendo o sistema homogeneo de equacoes lineares
x− 2y = 0
z = 0
x + y = 0
, vem x = y = z = 0,
logo T e um isomorfismo.
Para determinar T−1, basta lembrar que se:
T : U→ V
(x, y, z) → (x− 2y, z, x + y)⇒
T−1 : V→ U
(x− 2y, z, x + y) → (x, y, z),
entao basta fazer (x− 2y, z, x + y) = (u, v, w) e calcular x, y e z em funcao de u, v e w,
isto e, resolver o sistema:
x− 2y = u
z = v
x + y = w
e se obtem:
x = u+2w3
y = w−u3
z = v
assimT−1 : R3 → R3
(u, v, w) → (u+2w3
, w−u3
, v).
Resolva este exemplo novamente, aplicando o teorema 8.4 a partir da base canonica do
R3, resumidamente:
O conjunto imagem de T e Im(t) = {T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)} que pelo corolario
8.20 e uma base, confirme, entao escreva (x, y, z) como combinacao linear de Im(T ) para
obter T−1.
8.4 Transformacoes lineares e matrizes
Sabe-se que T : Rn → Rm dado por T (v) = Av e uma transformacao linear, em que
Am×n. Veremos a seguir que se T ∈ L(U,V) pode ser representado por uma matriz. Sendo
U e V sao espacos vetoriais de dimensao finita.
Sejam β = {u1, u2, · · · , un} e β′ = {v1, v2, · · · , vm} bases ordenadas para U e V,
respectivamente.
125
Se T : Rn → Rm escreve-se
T (u1) = a11v1 + a21v2 + · · ·+ am1vm
T (u2) = a12v1 + a22v2 + · · ·+ am2vm
...
T (un) = a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ amnvm
(8.1)
ou simplificadamente T (uj) =m∑
i=1
aijvi, j = 1, 2, · · · , n, e o teorema 8.4 garante que a
transformacao T esta perfeitamente definida pelos escalares aij.
A transposta da matriz dos coeficientes do sistema 8.1, denotada por [T ]β′
β e chamada
matriz representativa da transformacao T em relacao as bases β e β′.
[T ]β′
β =
a11 · · · a1n
... · · · ...
am1 · · · amn
= A
Exemplo 1: Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x + y − z, 3x− 2y + 4z). Sejam
β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)}. Determine [T ]β′
β .
Calculando a imagem dos vetores da base β.
T (1, 0, 0) = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)
T (0, 1, 0) = (1,−2) = 1(1, 0)− 2(0, 1)
T (0, 0, 1) = (−1, 4) = −1(1, 0) + 4(0, 1)
Assim [T ]β′
β =
2 1 −1
3 −2 4
Exemplo 2: Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x + y − z, 3x− 2y + 4z). Sejam
β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β′ = {(1, 3), (1, 4)}. Determine [T ]β′
β .
Veja que a transformacao linear e a mesma do exemplo anterior, mas as bases sao dife-
rentes, o que ira originar uma matriz diferente.
Calculando a imagem dos vetores da base β e ja escrevendo como combinacao linear dos
vetores de β′.
T (1, 1, 1) = (2, 5) = 3(1, 3)− 1(1, 4)
T (1, 1, 0) = (3, 1) = 11(1, 3)− 8(1, 4)
T (1, 0, 0) = (2, 3) = 5(1, 3)− 3(1, 4)
126
Assim [T ]β′
β =
3 11 5
−1 −8 −3
Exemplo 3: Dadas as bases β = {(1, 1), (0, 1)} doR2 e β′ = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)}do R3. determine a transformacao linear T : R2 → R3 cuja matriz representativa e
[T ]β′
β =
0 2
−1 0
−1 3
.
T (1, 1) = 0(0, 3, 0)− 1(−1, 0, 0)− 1(0, 1, 1) = (1,−1,−1)
T (0, 1) = 2(0, 3, 0) + 0(−1, 0, 0) + 3(0, 1, 1) = (0, 9, 3)
para determinar T (x, y) deve-se escrever (x, y) como combinacao linear dos vetores de β,
isto e: (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
Calculando a imagem de (x, y)
T (x, y) = T (x(1, 1) + (y − x)(0, 1)) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1)
T (x, y) = x(1,−1,−1) + (y − x)(0, 9, 3)
T (x, y) = (x, 9y − 10x, 3y − 4x)
Teorema 8.22 Sejam U e V espacos vetoriais, β base de U, β′ base de V e T : U → V
linear. Entao para todo u ∈ U tem-se
[T (u)]β′ = [T ]ββ′ [u]β .
Teorema 8.23 Sejam T1 : V → W e T2 : W → U transformacoes lineares e α, β e γ
bases de V, W e U, respectivamente. Entao a transformacao composta de T1 com T2,
T2 ◦ T1 : V→ U e linear e dada por
[T2 ◦ T1]αγ = [T2]
βγ [T1]
αβ .
Exemplo: Sejam as transformacoes lineares pertencentes a L(R2,R2), dadas por S(x, y) =
(x, x + 2y) e T (x, y) = (y, 2x− y). Calcular:
a) ST
(ST )(x, y) = S(T (x, y)) = S(y, 2x− y) = (y, y + 4x− 2y) = (y, 4x− y)
b) TS
(TS)(x, y) = T (S(x, y)) = T (x, x + 2y) = (x + 2y, 2x− x− 2y) = (x + 2y, x− 2y)
127
c) S2
(SS)(x, y) = S(S(x, y)) = T (x, x + 2y) = (x, x + 2x + 4y) = (x, 3x + 4y)
d) T 2
(TT )(x, y) = T (T (x, y)) = T (y, 2x− y) = (2x− y, 2y− 2x+ y) = (2x− y,−2x+3y)
Exemplo: Sejam as transformacoes lineares T1 : R2 → R3 e T2 : R3 → R2 cujas
matrizes representativas sao [T1]αβ =
1 0
1 −1
0 1
e [T2]
βγ =
0 1 −1
0 0 0
, em relacao
as bases α = {(1, 0), (0, 2)}, β = {(13, 0,−3), (1, 1, 15), (2, 0, 5)} e γ = {(2, 0), (1, 1)}.
Determine a composta T2 ◦ T1 : R2 → R2.
[T2 ◦ T1]αγ =
0 1 −1
0 0 0
1 0
1 −1
0 1
=
1 −2
0 0
Escrevendo agora as coordenadas do vetor v = (x, y) em relacao a baes α. [(x, y)]α = x
y2
e utilizando o teorema 8.23, vem:
[(T2 ◦ T1)(x, y)]γ =
1 −2
0 0
x
y2
=
x− y
0
Finalmente, (T2 ◦ T1)(x, y) = (x− y)(2, 0) + 0(1, 1) = (2x− 2y, 0).
8.5 Exercıcios
1. Verifique se as seguintes transformacoes T sao lineares.
a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x− y, 2x + 3y)
b) T ;R3 →R tal que T (x, y, z) = x− y + z − 1
c) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (xy, yz)
d) T : R2 →R3 onde T (x, y) = (|x|, y, x− y)
2. Seja V o espaco vetorial das matrizes quadradas n×n sobre o corpo dos reais. Seja
M uma matriz arbitraria em V, seja tambem T : V → V definida por T (A) =
AM + MA, sendo A ∈ V. Mostre que T e linear.
128
3. Seja D2×2 uma matriz diagonal real. Mostre que a aplicacao dada por T (A) =
DA− AD, para A2×2 e um operador linear sobre R2×2.
4. Determine T (x, y) sendo T : R2 → R3 dada por T (1, 2) = (3,−1, 5), T (0, 1) =
(2, 1,−1).
5. Determine T (x, y, z) sendo T : R3 → R dada por T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1,−2) = 1 e
T (0, 0, 1) = −2.
6. Determine o operador linear T : R2×2 → R2×2 tal que T
( 1 0
0 1
)=
1 2
1 1
,
T
( 0 1
0 0
)=
1 0
1 0
, T
( 0 0
1 0
)=
1 0
0 1
e T
( 0 0
0 1
)=
0 0
1 −1
.
7. Para as seguintes transformacoes lineares determine uma base para o nucleo e uma
base para a imagem.
a) T : R3 → R3 onde T (x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z)
b) T : R3 →R2 onde T (x, y, z) = (x + y, y + z)
8. Dado o operador linear T : P2(x) → P2(x), tal que T (ax2 + bx + c) = (a + 2b)x + c,
verifique:
a) v = −4x2 + 2x− 2 pertence ao nucleo de T?
b) x2 + 2x + 1 e um vetor da imagem de T?
c) Determine uma base para ker(T ).
d) Determine uma base para Im(T ).
(e) T e injetora?
(f) T e sobrejetora?
9. Determine uma transformacao linear T : R3 → R3, cuja imagem seja gerada pelos
vetores (1, 2, 3) e (4, 5, 6).
10. Determine uma transformacao linear T : R4 → R3, cujo nucleo e gerado pelos
vetores (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1).
129
11. Mostre que cada um dos seguintes operadores T sobre o R3 e inversıvel e determine
T−1(x, y, z).
a) T (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z, z)
b) T (x, y, z) = (x + z, x− z, y)
12. Classifique as seguintes afirmacoes como verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira
justifique, caso falsa de um contra-exemplo.
a) Se T : U→ V e linear e β e uma base U entao {T (β)} e base para V.
b) T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2
c) Se a matriz representativa de T : U → V, com U e V de dimensao finita, e nao
singular entao ker(T ) = {0}.
d) Se a matriz representativa de T : U→ V, com U e V de dimensao finita, e nao
singular entao T e sobrejetora.
(e) dim(Im(T )) ≥ dim(V ), para T ∈ L(U,V).
(f) Se T ∈ L(U,V) e sobrejetora entao dim(V ) ≤ dim(U).
13. Para quais valores de m, o operador linear T (x, y, z) = (−x+y, x−2y−z, x+y+mz)
e inversıvel?
14. Determine a matriz representativa, da transformacao linear T (x, y) = (x + y, x− y)
sobre as bases canonicas.
15. Determine a matriz representativa, da transformacao linear T (x, y) = (x + y, x− y)
sobre as bases β = β′ = {(1, 2), (0,−1)}.
16. Determine a matriz representativa, da transformacao linear T (x, y, z, t) = (x− y +
z, 2x+z−t, x+y+t) sobre as bases β = {(1, 0, 0, 1), (1,−1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)}e β′ = {(−1, 1, 1), (1, 0,−2), (0, 1, 0)}.
17. Dado o operador linear T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 2) = (3,−1, 4), T (0,−1, 1) =
(1, 0, 1) e T (1, 1, 3) = (4,−3, 5). Determine uma base para a imagem de T e uma
base para o nucleo de T .
130
Capıtulo 9
Autovalores e autovetores
9.1 Definicao
Definicao 9.1 Dado T ∈ L(V,V), λ ∈ R sera um autovalor associado ao autovetor 1
v ∈ V, v 6= 0 se
T (v) = λv (9.1)
Geometricamente, esta definicao, diz que em relacao a transformacao dada por T : Rn →Rn, os autovetores somente terao uma mudanca em sua norma, isto e, T (v) possui a
mesma direcao de v. O autovalor λ tem a propriedade de esticar ou encolher o vetor v,
quando transformado por T , conforme pode ser visto na figura 9.1.
v
T(v)
Figura 9.1: interpretacao geometrica dos autovetores
1Os autovalores tambem, em geral, sao chamados de valores caracterısticos ou valores proprios e os
autovetores de vetores caracterısticos ou vetores proprios.
131
Exemplo 1: Determine os autovalores e autovetores do operador linear, reflexao em
torno do eixo Oy, T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (−x, y).
A determinacao dos autovalores e autovetores e feita pela resolucao da equacao T (v) = λv,
assim:
(−x, y) = λ(x, y) o que leva ao sistema
−x = λx
y = λy
⇒ x(1 + λ) = 0 ⇒x = 0
λ = −1
Substituindo λ = −1 na segunda equacao do sistema, vem, y = 0 e assim, λ1 = −1 e um
autovalor associado ao autovetor v1 = (x, 0), x 6= 0, ou somente v1 = (1, 0).
Da segunda equacao do sistema tem-se:
y = λy ⇒ y(1− λ)− 0 ⇒ y = 0
λ = 1
Substituindo λ = 1 na primeira equacao do sistema, vem, x = 0 e assim, λ2 = 1 e um
autovalor associado ao autovetor v2 = (0, y), y 6= 0, ou somente v2 = (0, 1).
Exemplo 2: Determine os autovalores e autovetores do operador linear T : R2 → R2
dado por T (x, y) = (x + y, 3y).
Usando a equacao T (v) = λv, tem-se:
(x + y, 3y) = λ(x, y) o que leva ao sistema
x + y = λx
3y = λy ⇒ y(3− λ) = 0 ⇒y = 0
λ = 3.
Voltando na primeira equacao do sistema com y = 0, vem:
x + 0 = λx ⇒ x(1− λ) = 0 que implica em
1. x = 0, nao e solucao pois um autovetor nao pode ser o vetor nulo.
2. λ = 1 leva em x ∈ R, logo λ1 = 1 e um autovalor associado ao autovetor v1 = (x, 0),
x 6= 0, ou somente v1 = (1, 0).
Voltando, agora, na primeira equacao do sistema com λ = 3, vem:
x + y = 3x ⇒ y = 2x, assim λ2 = 3 e um autovalor associado ao autovetor v2 = (x, 2x),
x 6= 0, ou v2 = (1, 2).
Exemplo 3: Determine os autovalores e autovetores do operador linear, rotacao de 90o
132
em torno da origem, T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (−y, x).
Aplicando a definicao de autovalores e autovetores T (v) = λv, vem:
(−y, x) = λ(x, y) o que leva ao sistema
−y = λx
x = λy⇒ x = λ(−λx) ⇒ x(1 + λ2) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0 .
Logo T nao possui autovalores e autovetores.
Teorema 9.2 Dado T ∈ L(V,V) e λ um autovalor associado ao autovetor v entao qual-
quer vetor w = αv tambem e um autovetor associado ao autovalor λ.
Prova:
Deve-se mostrar que T (w) = λw, assim,
T (w) = T (αv)
T (w) = αT (v), mas como v e um autovetor T (v) = λv, entao:
T (w) = α(λv)
T (w) = λ(αv)
T (w) = λ(w)
¥
9.2 Autovalores e autovetores de uma matriz
Definicao 9.3 Dada uma matriz quadrada An×n sobre um corpo F, diz-se que um escalar
λ ∈ F e um vetor xn×1 6= 0 satisfazendo a
Ax = λx (9.2)
, sao chamados autovalores e autovetores de A, respectivamente, e o par (λ, x) e chamado
de autopar para A. O conjunto de todos os autovalores, denotado por σ(A) e chamado de
espectro de A.
Teorema 9.4 Seja uma matriz quadrada An×n sobre um corpo F. Entao as seguintes
afirmacoes sao equivalentes:
133
(i) λ ∈ σ(A).
(ii) A− λI e singular. (nao inversıvel).
(iii) det(A− λI) = 0
Prova:
Se λ pertence ao espectro de A, σ(A), entao λ e um autovalor de A, ou seja,
Ax = λx
Ax− λx = 0
det(A− λI) = 0
que e um sistema linear homogeneo e como x 6= 0 este sistema deve ter solucoes nao nulas,
isto e, deve se possıvel e indeterminado que implica em A − λI singular. Se A − λI e
singular ja foi mostrado que det(A− λI) = 0.
¥
Exemplo 1: Determine os autovalores e autovetores da matriz A =
7 −4
5 −2
.
Utilizando o ıtem (iii) do teorema 10.4 det(A− λI) = 0,
p(λ) = det(A− λI) = det(
7 −4
5 −2
− λ
1 0
0 1
) = det
7− λ −4
5 −2− λ
= 0
p(λ) = λ2 − 5λ + 6 = 0 , entao λ1 = 2 e λ2 = 3 sao os autovalores de A.
Voltando com λ1 = 2 e λ2 = 3 em 9.2, ou equivalentemente, em (A − λI)x = 0 teremos
os autovetores de A.
Para λ1 = 2, 7− λ −4
5 −2− λ
x = 0
5 −4
5 −4
x
y
= 0 ⇒
5 −4
0 0
x
y
= 0 ⇒ 5x− 4y = 0
Entao v1 = (4y, 5y), y 6= 0 e um autovetor de A associado ao autovalor λ1 = 2, ou
v1 = (4, 5).
Agora para λ2 = 3, tem-se: 7− λ −4
5 −2− λ
x = 0
134
4 −4
5 −5
x
y
= 0 ⇒
4 −4
0 0
x
y
= 0 ⇒ 4x− 4y = 0
Entao v2 = (x, x), x 6= 0 e um autovetor de A associado ao autovalor λ2 = 3, ou v2 = (1, 1).
9.3 Polinomio caracterıstico
9.4 Definicao
Definicao 9.5 Dada uma matriz quadrada An×n, o polinomio p(λ) = det(A − λI) e
chamado polinomio caracterıstico de A.
Observacoes:
• O polinomio caracterıstico de An×n e p(λ) = det(A− λI).
• O grau de p(λ) e igual a n.
• A equacao caracterıstica de An×n e p(λ) = det(A− λI) = 0.
• Oa autovalores de A sao as solucoes da equacao caracterıstica, ou equivalentemente,
as raızes do polinomio caracterıstico.
• Se a matriz A e formada somente por numeros reais e possui um autovalor complexo
λ entao λ tambem e autovalor de A.
9.5 Diagonalizacao
Definicao 9.6 Diz-se que um operador linear T : V → V e diagonalizavel se puder ser
representado por uma matriz diagonal D.
Teorema 9.7 Autovetores associados a autovalores distintos sao linearmente independen-
tes.
135
Prova:
A prova sera feita por inducao sobre n. Se n = 1, entao v1 e LI, porque v1 6= 0.
Suponha n > 1 e
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0 , (9.3)
em que ai sao escalares.
Aplicando T na sentenca 9.3, vem:
T (a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn) = T (0)
a1T (v1) + a2T (v2) + · · ·+ anT (vn) = 0
Mas por hipotese T (vi) = λivi, logo
a1λ1v1 + a2λ2v2 + · · ·+ anλnvn = 0 (9.4)
Agora multiplicando 9.3 por λn, resulta
a1λnv1 + a2λnv2 + · · ·+ anλnvn = 0, que subtraido de 9.4, fornece:
a1(λ1 − λn)v1 + a2(λ2 − λn)v2 + · · ·+ an−1(λn−1 − λn)vn−1 = 0
Supondo, por inducao, que v1, v2, · · · , vn−1 sao LI, vem que os coeficientes a1(λ1−λn), a2(λ2−λn), · · · , an−1(λn−1 − λn) sao nulos.
Como os autovalores λi sao distintos, λi−λn 6= 0, para i 6= n. Logo a1 = a2 = · · · = an =
0.
Levando este resultado em 9.3, vem que anvn = 0 e assim an = 0.
Provando, assim, que os vetores ui sao LI.
¥
Corolario 9.8 Seja V um espaco vetorial de dimensao n e T ∈ L(V,V) com n autova-
lores distintos, entao V possui uma base formada por autovetores.
Teorema 9.9 Se A e uma matriz diagonalizavel entao e semelhante 2 a uma matriz D,
com P−1AP = D, cujos elementos diagonais sao os autovalores de A, enquanto P e uma
matriz cuja colunas sao, respectivamente, os n autovetores LI.
2Uma A e semelhante uma matriz B se existir uma matriz P inversıvel tal que A = P−1BP e a
semelhanca goza das seguintes propriedades: A e semelhante a A, Se B e semelhante a A entao A e
semelhante a B e se A e semelhante a B e B e semelhante a C entao A e semelhante a C.
136
Teorema 9.10 Se A e uma matriz simetrica real entao existe uma matriz ortogonal P tal
que P−1AP = D e diagonal.
Definicao 9.11 Diz-se que um operador linear T : V→ V e diagonalizavel se V possuir
uma base de autovetores.
Exemplo 1: Mostre que a matriz A =
1 1
−2 4
e diagonalizavel e determine uma
matriz inversıvel P tal que P−1AP e diagonal.
Inicialmente deve-se determinar os autovalores e os autovetores de A.
det(A− λI) = 0
∣∣∣∣∣∣1− λ 1
−2 4− λ
∣∣∣∣∣∣= 0 ⇒ (1− λ)(4− λ) + 2 = 0 ⇒ λ2 − 5λ + 6 = 0 ⇒
λ1 = 2
λ2 = 3
Assim pelo teorema 9.8 tem-se que A e diagonalizavel.
Para λ1 = 2, 1− 2 1
−2 4− 2
x
y
= 0 ⇒
−1 1
−2 2
x
y
= 0 ⇒ x = y e,
v1 = (1, 1) e o autovetor associado ao autovalor λ1 = 2.
Para λ2 = 3, 1− 3 1
−2 4− 3
x
y
= 0 ⇒
−2 1
−2 1
x
y
= 0 ⇒ y = 2x e,
v1 = (1, 2) e o autovetor associado ao autovalor λ2 = 3.
Entao P =
1 1
1 2
e D =
2 0
0 3
e pelo teorema 9.9 vem que P−1AP = D.
Entenda este resultado como: O operador linear em relacao a base canonica e dado pela
matriz A =
1 1
−2 4
e em relacao a base de autovetores β = {(1, 1), (1, 2)} o operador
e representado pela matriz diagonal D =
2 0
0 3
.
137
Exemplo 2: Mostre que a matriz A =
0 0 0
0 1 0
1 0 1
e diagonalizavel e determine uma
matriz inversıvel P tal que P−1AP e diagonal.
Determinando os autovalores e os autovetores de A.∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0− λ 0 0
0 1− λ 0
1 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 ⇒ −λ(1− λ)2 = 0 ⇒
λ1 = 0
λ2 = λ3 = 1.
Para λ1 = 0,
0− 0 0 0
0 1− 0 0
1 0 1− 0
x
y
z
= 0 ⇒
0 0 0
0 1 0
1 0 1
x
y
z
= 0 ⇒
x = −z
y = 0
v1 = (−1, 0, 1) e o autovetor associado ao autovalor λ1 = 0.
Para λ2 = λ3 = 1,
0− 1 0 0
0 1− 1 0
1 0 1− 1
x
y
z
= 0 ⇒
−1 0 0
0 0 0
1 0 0
x
y
z
= 0 ⇒
x = 0
y, z ∈ Rv2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) sao autovetores LI associados ao autovalor λ2 = 1.
Exemplo 3: Mostre que a matriz P =
13
23
23
23
13
−23
23
−23
13
diagonaliza a matriz simetrica
A =
7 −2 0
−2 6 −2
0 −2 5
9.6 Exercıcios
1. Seja A uma matriz n× n e seja T : V → W uma transformacao linear cuja matriz
T em relacao as bases β e β′ de V e W, respectivamente, e A. Justifique porque as
138
seguintes afirmacoes sao equivalentes:
i. A e inversıvel;
ii. Ax = b tem uma unica solucao, para todo b ∈ Rn;
iii. Ax = 0 somente admite a solucao trivial;
iv. ker(T ) = {0};
v. T e injetiva;
vi. Im(T ) = W;
vii. T e sobrejetiva;
viii. T e inversıvel;
ix. 0 nao e autovalor de T ;
x. det(A) 6= 0.
2. Encontre todos os autovalores e autovetores de A =
1 4
2 3
e apos determine
uma matriz P tal que P−1AP e diagonal.
3. Verifique qual das matrizes seguintes pode ser diagonalizavel: A =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
e B =
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
.
4. Determine todos os autovalores e os autovetores do operador linear T : R3 → R3
dada por T (x, y, z) = (2x + y, y − z, 2y + 4z).
5. Dada a matriz B =
0 2
1 1
, determine B22.
6. Para cada uma das seguintes matrizes determine todos os autovalores e os autove-
tores:
139
a) A =
3 1 1
2 4 2
1 1 3
b) B =
1 2 2
1 2 −1
−1 1 4
c) C =
1 1 0
0 1 0
0 0 1
7. Justifique a sentenca: Os autovalores de uma matriz A sao iguais aos autovalores
da AT .
8. Utilize o Octave para calcular os autovalores e os autovetores das matrizes do
exercıcio 27 do capıtulo de matrizes.
(i) Verifique o teorema 9.10.
(ii) Verifique a proposicao: Se uma matriz e positiva definida seus autovalores sao positi-
vos.
9. Mostre para a matriz A =
a b
c d
que a soma dos autovalores e igual a traco de
A e o produto dos autovalores e igual ao determinante de A.
140
Capıtulo 10
Espacos com produto interno
10.1 Produto interno
Definicao 10.1 Seja V um espaco vetorial sobre um corpo F. Um produto interno sobre
V e uma aplicacao de V × V sobre o corpo F, isto e, cada par de vetores v1 e v2 de V e
associado a um escalar, denotado por < v1, v2 >, satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) 〈v1, v1〉 ≥ 0 e 〈v1, v1〉 = 0 se e so se v1 = 0
(ii) 〈av1, v2〉 = a〈v1, v2〉
(iii) 〈v1 + v2, v3〉 = 〈v1, v3〉+ 〈v2, v3〉
(iv) 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉
Definicao 10.2 Um espaco de dimensao finita com produto interno real e chamado de
espaco Euclidiano.
Exemplo 1: Em Rn existe um produto interno a que chamamos produto interno usual
ou canonico. E definido por 〈v1, v2〉 = x1y1+x2y2+· · ·+xnyn, em que v1 = (x1, x2, · · · , xn)
e v2 = (y1, y2, · · · , yn). Para o R3 este produto e conhecido por produto escalar.
Exemplo 2: Verifique que em R2 para v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) a aplicacao de
R2 ×R2 tal que 〈v1, v2〉 = x1x2 − y1x2 − x1y2 + 4y1y2 e um produto interno.
141
(i) 〈v1, v1〉 = 〈(x1, y1), (x1, y1)〉 ≥ 0
〈v1, v1〉 = x1x1 − x1y1 − x1y1 + 4y1y1
〈v1, v1〉 = x21 − 2x1y1 + 4y2
1
〈v1, v1〉 = (x1 − y1)2 + 3y2
1 ≥ 0
e 〈v1, v1〉 = (x1 − y1)2 + 3y2
1 = 0 se e so se x1 = y1 = 0
(ii) 〈av1, v2〉 = 〈a(x1, y1), (x2, y2)〉〈av1, v2〉 = 〈(ax1, ay1), (x2, y2)〉〈av1, v2〉 = ax1x2 − ay1x2 − ax1y2 + a4y1y2
〈av1, v2〉 = a(x1x2 − y1x2 − x1y2 + 4y1y2) = a〈v1, v2〉
(iii) 〈v1 + v2, v3〉 = 〈(x1, y1) + (x2, y2), (x3, y3)〉〈v1 + v2, v3〉 = 〈(x1 + x2, y1 + y2), (x3, y3)〉〈v1 + v2, v3〉 = (x1 + x2)x3 − (y1 + y2)x3 − (x1 + x2)y3 + 4(y1 + y2)y3
〈v1 + v2, v3〉 = x1x3 + x2x3 − y1x3 − y2x3 − x1y3 − x2y3 + 4y1y3 + 4y2y3
〈v1 + v2, v3〉 = (x1x3 − y1x3 − x1y3 + 4y1y3) + (x2x3 − y2x3 − x2y3 + 4y2y3)
〈v1 + v2, v3〉 = 〈(x1, y1), (x3, y3)〉+ 〈(x2, y2), (x3, y3)〉
(iv) 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉〈v1, v2〉 = x1x2 − y1x2 − x1y2 + 4y1y2
〈v1, v2〉 = x2x1 − x2y1 − y2x1 + 4y2y1
〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉
Exemplo 3: Seja V = Rn×n. Como Rn×n e isomorfo ao Rn2, e natural escrever o
produto interno canonico de V = Rn×n como:
〈A,B〉 =n∑
j,k
AjkBjk
Exemplo 4: Seja V = C[0, 1] o espaco vetorial de todas as funcoes contınuas, de variavel
real x, no intervalo [0, 1]. Mostre que 〈f(x), g(x)〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx e um produto interno.
Definicao 10.3 Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno 〈, 〉. Dois
vetores v1 e v2 de V serao chamados de ortogonais, em relacao a este produto vetorial, se
〈v1, v2〉 = 0 e sera denotado por v1 ⊥ v2
142
Propriedades:
1. 0 ⊥ v para todo v ∈ V.
2. Se v1 ⊥ v2 entao v2 ⊥ v1.
3. Se v1 ⊥ v2 para todo v2 ∈ V entao v1 = 0.
4. Se v1 ⊥ v3 e v2 ⊥ v3 entao (v1 + v2) ⊥ v3.
5. Se v1 ⊥ v2 e λ e um escalar entao v1 ⊥ λv2.
Exemplo 1. Mostre que, em relacao ao produto interno usual do R3 os vetores u =
(−1, 3, 2) e v = (1, 1,−1) sao ortogonais.
Para mostrar que dois vetores sao ortogonais basta provar que 〈u, v〉 = 0. Assim:
〈u, v〉 = 〈(−1, 3, 2), (1, 1,−1)〉〈u, v〉 = −1 + 3− 2 = 0
Teorema 10.4 Seja {v1, v2, · · · , vn} um conjunto de vetores nao nulos dois a dois or-
togonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0 para todo i 6= j. Entao {v1, v2, · · · , vn} e linearemente
independente.
Prova:
Considere a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.
Enao 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉 = 〈0, vi〉 = 0 e,
〈a1v1, vi〉+ 〈a2v2, vi〉+ · · ·+ 〈anvn, vi〉 = 0
a1〈v1, vi〉+ a2〈v2, vi〉+ · · ·+ an〈vn, vi〉 = 0
Mas, por hipotese, 〈vi, vj〉 = 0, i 6= j, entao
ai〈vi, vi〉 = 0, que pelo fato de vi nao ser o vetor nulo leva a ai = 0, para todo i, assim o
conjunto {v1, v2, · · · , vn} e LI.
¥
Definicao 10.5 Um conjunto β = {v1, v2, · · · , vn} de vetores de um espaco vetorial V
sera uma base ortogonal para V se β for base de V e 〈vi, vj〉 = 0 para todo i 6= j.
143
10.2 Coeficientes de Fourier
Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno 〈, 〉, β = {v1, v2, · · · , vn}uma base ortogonal para V e w ∈ V.
Como w ∈ V e β e base entao w = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn. Calculando o produto
interno de w com vi tem-se:
〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉 = a1〈v1, vi〉+ a2〈v2, vi〉+ · · ·+ ai〈vi, vi〉+ · · ·+ an〈vn, vi〉
〈w, vi〉 = ai〈vi, vi〉 e
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
Definicao 10.6 Os coeficientes ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉 sao chamados coeficientes de Fourier.
Exemplo 1: Seja V = R2 munido do produto interno canonico e seja tambem β =
{(1, 1), (−1, 1)} uma base ortogonal de V, verifique. Determine as coordenadas de v =
(−1, 5) em relacao a base β.
Lembre que estas coordenadas pode ser determinadas pela resolucao de (−1, 5) = a(1, 1)+
b(−1, 1), mas como β e ortogonal estas coordenadas podem ser determinadas pelos coefi-
cientes de Fourier ai =〈w, vi〉〈v1, vi〉 , assim,
a =〈(−1, 5), (1, 1)〉〈(1, 1), (1, 1)〉 =
−1 + 5
1 + 1= 2 e,
b =〈(−1, 5), (−1, 1)〉〈(−1, 1), (−1, 1)〉 =
1 + 5
1 + 1= 3 e,
(−1, 5) = 2(1, 1) + 3(−1, 1) ou [v]β =
2
3
.
10.3 Norma
Definicao 10.7 Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno 〈, 〉. Chama-se
norma de um vetor v ∈ V, em relacao a esse produto interno, denotado por ‖v‖, a
‖v‖ =√〈v, v〉 .
144
Exemplo 1: Determine ‖(1, 2)‖.‖(1, 2)‖ =
√〈(1, 2), (1, 2)〉
‖(1, 2)‖ =√
1 + 4
‖(1, 2)‖ =√
5
Exemplo 2: Determine ‖f(x)‖, sendo f(x) = 2x− 1.
‖f(x)‖ =√〈f(x), f(x)〉
‖f(x)‖ =√∫ 1
0f(x)f(x)dx
‖f(x)‖ =√∫ 1
0(2x− 1)(2x− 1)dx
‖f(x)‖ =√∫ 1
0(2x− 1)2dx
‖f(x)‖ =
√(2x− 1)3
6
∣∣∣1
0
‖f(x)‖ =
√1
3
Exemplo 3: Determine o valor de a para que ‖(−6, a, 3)‖ = 7.
‖(−6, a, 3)‖ =√
(−6)2 + a2 + 32 = 7
36 + a2 + 9 = 49
a = ±2
Propriedades:
Sejam V um espaco vetorial Euclidiano, v, w vetores de V e a ∈ R.
(i) ‖v‖ ≥ 0 e ‖v‖ = 0 se e so se v = 0.
(ii) ‖av‖ = |a|‖v‖.
(iii) |〈v, w〉| ≤ ‖v‖‖w‖ (Desigualdade de Schwarz).
(iv) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (Desigualdade triangular).
Definicao 10.8 Sejam v e w dois vetores de um espaco vetorial V munido de uma norma
‖.‖. Chama-se distancia 1 entre os vetores v e w, denotado por d(v, w), a:
d(v, w) = ‖v − w‖1A distancia e chamada de metrica induzida pela norma.
145
10.3.1 Angulo entre vetores
Definicao 10.9 Dados dois vetores u, v de um espaco Euclidiano V. O angulo θ entre u
e v e tal que:
cos(θ) =|〈u, v〉|‖u‖‖v‖
Exemplo 1. Determine o angulo entre os vetores u = (1,−2, 1) e v = (2, 1, 1).
cos(θ) =|〈u, v〉|‖u‖‖v‖
cos(θ) =|〈(1,−2, 1), (2, 1, 1)〉|‖(1,−2, 1)‖‖(2, 1, 1)‖
cos(θ) =2− 2 + 1√
6√
6
cos(θ) =1
6⇒ θ = arccos
1
6
Exemplo 2. Determine o angulo entre os vetores u =
1 0
2 −2
e v =
0 −1
2 2
.
cos(θ) =|〈u, v〉|‖u‖‖v‖
cos(θ) =1.0 + 0.(−1) + 2.2 + (−2).2√1 + 0 + 4 + 4
√0 + 1 + 4 + 4
= 0
θ = π/2
Definicao 10.10 Dizemos que um vetor v de um espaco vetorial Euclidiano V esta nor-
malizado se ‖v‖ = 1.
Definicao 10.11 Seja V um espaco vetorial Euclidiano. Uma base β = {v1, v2, · · · , vn}de V sera chamada de base ortonormal se β for ortogonal e cada vetor vi ∈ β for unitario,
isto e:
|〈vi, vj〉| =
0, se i 6= j
1, se i = j
Exemplo 1. A base canonica β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, em relacao ao produto
interno usual, e uma base ortonormal.
Exemplo 2. Normalize a base do R2 β = {(3, 4), (12,−5)}.‖(3, 4)‖ =
√9 + 16 = 5
‖(12,−5)‖ =√
144 + 25 = 13
146
β′ = {1
5(3, 4),
1
13(12,−5)}
β′ = {(35,4
5), (
12
13,−5
13)}
Exemplo 3. Determine as coordenadas do vetor v = (1, 1, 1) em relacao a base orto-
normal β = {(0, 1, 0), (−35, 0, 4
5), (4
5, 0, 3
5)}.
v = a(0, 1, 0) + b(−35, 04
5) + c(4
5, 0, 3
5)
Utilizando os coeficientes de Fourier, vem:
a =〈(1, 1, 1), (0, 1, 0)〉〈(0, 1, 0), (0, 1, 0)〉 = 1
b =〈(1, 1, 1), (−3
5, 0, 4
5)〉
〈(−35, 0, 4
5), (−3
5, 0, 4
5)〉 =
1/5
1=
1
5
c =〈(1, 1, 1), (4
5, 0, 3
5)〉
〈(45, 0, 3
5), (4
5, 0, 3
5)〉 =
7/5
1=
7
5
Assim, [v]β = (1, 1/5, 7/5)
10.4 Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Dada uma base β = {v1, v2, · · · , vn} de um espaco vetorial Euclidiano V, desejamos
determinar, a partir de β, uma base β′ = {v′1, v′2, · · · , v′n} que seja ortogonal.
Consideremos inicialmente, por exemplo, v′1 = v1. Desejamos determinar a partir do
vetor v2 um vetor v′2 que seja ortogonal a v′1.
Figura 10.1: Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Observe a partir da figura 10.1 que v2 = v′2+cv1, em que cv1 = cv′1, isto e, v′2 = v2−cv′1
e como 〈v′2, v′1〉 = 0 entao
〈(v2 − cv′1), v′1〉 = 0
147
〈v2, v′1〉 − 〈cv′1, v′1〉 = 0
〈v2, v′1〉 − c〈v′1, v′1〉 = 0
c =〈v2, v
′1〉
〈v′1, v′1〉e
v′2 = v2 − 〈v2, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
Generalizando este procedimento, vem:
v′1 = v1
v′2 = v2 − 〈v2, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′3 = v3 − 〈v3, v′2〉
〈v′2, v′2〉v′2 −
〈v3, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
...
v′n = vn −〈vn, v′n−1〉〈v′n−1, v
′n−1〉
v′n−1 − · · · −〈vn, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1
Exemplo 1. Determine a partir de β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} uma base ortonor-
mal para o R3 munido do produto interno usual.
No processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt escolha v′1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1)
e v3 = (0, 0, 1), assim:
v′2 = v2 − 〈v2, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′2 = (0, 1, 1)− 〈(0, 1, 1), (1, 1, 1)〉〈(1, 1, 1), (1, 1, 1)〉(1, 1, 1)
v′2 = (0, 1, 1)− 0 + 1 + 1
1 + 1 + 1(1, 1, 1)
v′2 = (0, 1, 1)−(
2
3,2
3,2
3
)
v′2 = (−2/3, 1/3, 1/3)
v′3 = v3 − 〈v3, v′2〉
〈v′2, v′2〉v′2 −
〈v3, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′3 = (0, 0, 1)−〈(0, 0, 1),
(−2
3,1
3,1
3
)〉
〈(−2
3,1
3,1
3
),
(−2
3,1
3,1
3
)〉
(−2
3,1
3,1
3
)− 〈(0, 0, 1), (1, 1, 1)〉〈(1, 1, 1), (1, 1, 1)〉(1, 1, 1)
148
v′3 = (0, 0, 1)− 1/3
6/9
(−2
3,1
3,1
3
)− 1
3(1, 1, 1)
v′3 = (0, 0, 1)− (−1/3, 1/6, 1/6)− (1/3, 1/3, 1/3)
v′3 = (0,−1/2, 1/2)
e β′ = {(1, 1, 1), (−2/3, 1/3, 1/3), (0,−1/2, 1/2)} e uma base ortogonal para R3.
Agora para obter uma base ortonormal deve-se normalizar cada um dos vetores de β′.
v′′1 =v′1‖v′1‖
=(1, 1, 1)
‖(1, 1, 1)‖ =(1, 1, 1)√
3= (
√3/3,
√3/3,
√3/3)
v′′2 =v′2‖v′2‖
=(−2/3, 1/3, 1/3)
‖(−2/3, 1/3, 1/3)‖ =(−2/3, 1/3, 1/3)√
6/3= (−2/
√6, 1/
√6, 1/
√6)
v′′3 =v′3‖v′3‖
=(0,−1/2, 1/2)
‖(0,−1/2, 1/2)‖ =(0,−1/2, 1/2)
1/√
2= (0,−
√2/2,
√2/2)
e β′′ = {(√3/3,√
3/3,√
3/3), (−2/√
6, 1/√
6, 1/√
6), (0,−√2/2,√
2/2)} e uma base
ortonormal para R3.
Exemplo 2. Considere o espaco Euclidiano dos polinomios de grau menor ou igual a 2,
P2(x), munido do produto interno 〈f(x), g(x)〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx e a base β = {1, x, x2}de P2(x). Ortogonalize β.
No processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt tome v′1 = 1, v2 = x e v3 = x2.
v′2 = v2 − 〈v2, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′2 = x− 〈x, 1〉〈1, 1〉1
v′2 = x−∫ 1
01 · xdx∫ 1
01 · 1dx
1
v′2 = x− x2/2|10x|10
1
v′2 = x− 1/2
v′3 = x2 − 〈x2, (x− 1/2)〉〈(x− 1/2), (x− 1/2)〉 (x− 1/2)− 〈x2, 1〉
〈1, 1〉 1
v′3 = x2 −∫ 1
0x2(x− 1/2)dx∫ 1
0(x− 1/2) · (x− 1/2)dx
(x− 1/2)−∫ 1
0x2 · 1dx∫ 1
01 · 1dx
1
149
v′3 = x2 −∫ 1
0(x3 − x2/2)dx∫ 1
0(x− 1/2)2dx
(x− 1/2)−∫ 1
0x2dx∫ 1
0dx
1
v′3 = x2 − x4/4− x3/6|10(x− 1/2)3/3|10
(x− 1/2)− x3/3|10x|10
1
v′3 = x2 − 1 · (x− 1/2)− 1
3· 1
v′3 = x2 − x + 1/6
e β′ = {1, x − 1/2, x2 − x + 1/6} e uma base ortogonal para P2(x). (Confirme o
resultado.)
Exemplo 3. Utilizando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt, determine o
vetor projecao ortogonal do vetor v = (a, b, c, d), sobre o sub-espaco W ⊆ R4 gerado pelos
vetores v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0) e v3 = (1, 1, 1,−1).
Inicialmente, deve-se determinar uma base ortogonal a partir de v1, v2 e v3.
v′1 = v1 = (1, 0, 0, 0)
v′2 = v2 − 〈v2, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′2 = (0, 1, 1, 0)− 〈(0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)〉〈(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0)〉(1, 0, 0, 0) = (0, 1, 1, 0)
v′3 = v3 − 〈v3, v′2〉
〈v′2, v′2〉v′2 −
〈v3, v′1〉
〈v′1, v′1〉v′1
v′3 = (1, 1, 1,−1)− 1
1(1, 0, 0, 0)− 2
2(0, 1, 1, 0) = (0, 0, 0,−1)
Assim o vetor projecao de v = (a, b, c, d) sera:
proj(v) =〈v, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1 +〈v, v′2〉〈v′2, v′2〉
v′2 +〈v, v′3〉〈v′3, v′3〉
v′3
proj(v) =a
1(1, 0, 0, 0) +
b + c
2(0, 1, 1, 0) +
−d
1(0, 0, 0,−1)
proj(v) = (a,b + c
2,b + c
2, d)
150
10.5 Complemento ortogonal
Definicao 10.12 Considere um espaco vetorial Euclidiano V e S um subconjunto nao
vazio de V, nao obrigatoriamente um subespaco vetorial de V. Chama-se complemento
ortogonal de S, denotado por S⊥, ao conjunto:
S⊥ = {v ∈ V/〈v, s〉 = 0,∀s ∈ S} .
Propriedades:
• S⊥ e um subespaco vetorial de V, independente de S ser subespaco de V ou nao.
• S ∩ S⊥ = {0}
• Se S for um subespaco vetorial de V entao S ⊕ S⊥ = V.
• Se v ∈ S⊥ entao v e ortogonal aos vetores de uma base de S.
• S ⊆ S⊥⊥
• Se S1 ⊆ S2 entao S⊥2 ⊆ S⊥1
Exemplo 1. Considere oR3 munido do produto interno canonico e S = span{(1, 1, 2), (0, 1, 1)}.Determine S⊥.
S⊥ = {v ∈ V/〈v, s〉 = 0,∀s ∈ S}
Seja v ∈ S⊥ entao 〈v, s〉 = 0 para todo vetor s de S.
Como S e gerado por {(1, 1, 2), (0, 1, 1)} que e LI, entao {(1, 1, 2), (0, 1, 1)} e uma base
para S e entao 〈v, (1, 1, 2)〉 = 0 e 〈v, (0, 1, 1)〉 = 0, que para V = (x, y, z) vem:
x + y + 2z = 0
y + z = 0 ⇒ y = −z⇒ x = −z
e v = (−z,−z, z) logo,
S⊥ = span{(−1,−1, 1)}.
151
10.6 Exercıcios
1. Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno 〈, 〉. Mostre que 〈0, v〉 = 0
para todo v ∈ V.
2. Seja 〈, 〉 o produto interno usual do R2. Determine o vetor w tal que 〈w, u〉 = −1 e
〈w, v〉 = 3 sendo u = (1, 2) e v = (−1, 1).
3. Seja V = C[0, 1] munido do produto interno 〈f(x), g(x)〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx. Calcule
〈f(x), g(x)〉 para f(x) = x2 − 2 e g(x) = 2x + 1.
4. Determine a para que os vetores f(x) = x − 1 e g(x) = x + a de C[0, 1] sejam
ortogonais.
5. Sejam A e B duas matrizes do espaco R2×2 munido do produto interno 〈A, B〉 =
tr(BT A). Determine d(A,B), sendo A =
1 0
2 1
e B =
1 −1
0 2
.
6. Seja T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y,−z). Determine uma base
ortonormal para o complemento ortogonal do nucleo de T .
7. Calcule a distancia entre os vetores u = (1, 3, 5, 7) e v = (4,−2, 8, 1) utilizando a
norma usual do R4
8. Calcule a distancia entre os vetores u = t + 2 e v = 3t − 2 utilizando o produto
interno 〈u, v〉 =
∫ 1
0
u(t)v(t)dt.
9. Calcule o angulo entre os vetores:
(a) u = (1,−3, 2) e v = (2, 1, 5)
(b) u = (1, 3,−5, 4) e v = (2,−3, 4, 1)
(c) f(t) = 2t− 1 e g(t) = t2, com a norma da integral
(d) A =
2 1
3 −1
e B =
0 −1
2 3
com o produto interno 〈A,B〉 = tr(BT A).
10. Utilize Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal a partir
de:
(a) β = {(1, 1, 1), (−1, 0,−1), (−1, 2, 3)}
152
(b) β = {(1, 0, 1, 1), (0, 1,−1, 1), (0, 0, 1, 2)}
(c) β = {1, sen(t)}, em que 〈f(t), g(t)〉 =∫ π/2
0f(t).g(t)dt.
11. Determine uma base ortonormal para o espaco solucao do sistema homogeneo
x + y − z = 0
2x + y + 2z = 0.
12. Utilize os coeficientes de Fourier para determinar as coordenadas de v = (2, 3) em
a base ortonormal β = {(1/√2, 1/√
2), (−1/√
2, 1/√
2)}.
13. Idem para v = (2,−3, 1) e β = {(1/√5, 0, 2/√
5), (−2/√
5, 0, 1/√
5), (0, 1, 0)}.
14. Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaco
W = span{(2,−1, 0, 1, 2), (1, 3, 1,−2,−4), (3, 2, 1,−1,−2), (7, 7, 3,−4,−8),
(1,−4,−1,−1,−2)}.
15. Seja V = R2×2 o espaco vetorial das matrizes reais de ordem 2 por 2, munido do
produto interno 〈A,B〉 = tr(BT .A). Determine o vetor projecao de v =
1 2
1 −3
sobre o vetor w =
0 −1
1 2
.
16. Seja V = P2(t), o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a 2, munido
do produto 〈f(t), g(t)〉 =
∫ 1
0
f(t).g(t)dt. Determine uma base para o subespaco
vetorial W ortogonal ao vetor h(t) = 2t + 1.
153
Capıtulo 11
Conicas e quadricas
11.1 Conicas
Definicao 11.1 Dado um sistema de coordenadas cartesianas xOy, uma conica e o con-
junto de todos os pontos P (x, y) que verificam a equacao quadratica, do 2o grau com duas
variaveis,
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 .
Geometricamente as conicas sao obtidas atraves da intersecao de um plano com uma
superfıcie conica circular, conforme a figura 11.1.
Figura 11.1: Conicas
154
11.1.1 Parabola
Definicao 11.2 Parabola e o lugar geometrico dos pontos P (x, y) de um plano que equi-
distam de uma reta d, chamada diretriz, e de um ponto F , chamado foco.
Figura 11.2: Parabola
Equacoes da parabola
1. O eixo de simetria e paralelo ao eixo Ox
(y − yo)2 = 2p(x− xo)
2. O eixo de simetria e paralelo ao eixo Oy
(x− xo)2 = 2p(y − yo)
11.1.2 Elipse
Definicao 11.3 Elipse e o lugar geometrico dos pontos P (x, y) de um plano cuja soma
das distancias a dois pontos fixos dados F1 e F2, chamados focos da elipse, e uma constante
2a, em que 2a > d(F1, F2).
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
155
Elementos da elipse:
• A1, A2, B1, B2 sao os vertices.
• F1, F2 sao os focos e segmento F1F2 de comprimento 2c e a distancia focal.
• O e centro, o ponto medio do segmento F1F2.
• O segmento A1A2 tem medida 2a e e chamado de eixo maior.
• O segmento B1B2 tem medida 2b e e chamado de eixo menor.
A aplicacao do teorema de Pitagoras no triangulo de vertices O, F1 e B2 conduz a
relacao
a2 = b2 + c2
A relacao e =c
ae a excentricidade da elipse.
Figura 11.3: Elipse
Equacao da elipse
1. Os eixos sao paralelos ao eixo coordenados
(x− xo)2
a2+
(y − yo)2
b2= 1
11.1.3 Hiperbole
Definicao 11.4 Hiperbole e o lugar geometrico dos pontos P (x, y) de um plano cujo
modulo da diferenca de suas distancias a dois pontos fixos dados F1 e F2, chamados focos
156
da hiperbole, e uma constante 2a, em que 2a < d(F1, F2).
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
Figura 11.4: Hiperbole
Equacoes da hiperbole
1. Os eixos sao paralelos ao eixos coordenados.
(x− xo)2
a2− (y − yo)
2
b2= 1
Exercıcios: Identifique cada uma das seguintes conicas:
1. 2x2 − 5y2 − 7 = 0
2x2 − 5y2 = 72x2
7− 5y2
7= 1
x2
(√7/2
)2 −y2
(√7/5
)2 = 1 ⇒ Representa uma hiperbole.
2. x2 + y2 − 6x− 2y + 8 = 0
x2 − 6x + 9 + y2 − 2y + 4− 2 = 0
(x− 3)2 + (y− 1)2 = 2 ⇒ Representa uma circunferencia de raio√
2 e centro (3, 1).
3. 2x2 + 2y2 + 4xy + 4√
2 x + 12√
2 y − 8 = 0
1o Escrevendo a equacao em forma matricial.(
x y)
a b
b c
x
y
= ax2 + 2bxy + cy2
157
Assim,
a = 2
b = 2
c = 2
Logo.(
x y)
2 2
2 2
x
y
+
(4√
2 12√
2)
x
y
− 8 = 0
2o Determinacao dos autovalores e autovetores da matriz
2 2
2 2
v1 = (−1√
2,
1√2) e o autovetor associado ao autovalor λ1 = 0.
v2 = (1√2,
1√2) e o autovetor associado ao autovalor λ2 = 4.
Assim(
x y)
2 2
2 2
x
y
na base canonica se reduz a
(x1 y1
) 0 0
0 4
x1
y1
em relacao a base de autovetores.
3o Determinacao da matriz mudanca de coordenadas da base de autovetores para a
base canonica. x
y
=
(I
)autovetores
canonica
x1
y1
x
y
=
−1/
√2 1/
√2
1/√
2 1/√
2
autovetores
canonica
x1
y1
4o Reescrever a equacao dada na base de autovetores.(
x1 y1
) 0 0
0 4
x1
y1
+
(4√
2 12√
2)
−1/
√2 1/
√2
1/√
2 1/√
2
x1
y1
−8 =
0
Efetuando as operacoes anteriores, vem:
y21 + 2x1 + 4y1 − 2 = 0
ou ainda
(y1 + 2)2 + 2(x1 − 3) = 0
Que representa uma parabola de vertice (3,−2) em relacao ao sistema de eixos
formados pelos autovetores, cujo grafico esta representado na figura 11.5.
158
Figura 11.5:
11.2 Quadricas
Definicao 11.5 Uma quadrica em R3 e o conjunto de todos os pontos P (x, y) que veri-
ficam a equacao quadratica, do 2o grau com tres variaveis,
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 .
11.2.1 Elipsoide
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
Figura 11.6: Elipsoide
11.2.2 Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
159
Figura 11.7: Hiperboloide de uma folha
11.2.3 Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Figura 11.8: Hiperboloide de duas folhas
160
11.2.4 Paraboloide elıptico
x2
a2+
y2
b2= cz
Figura 11.9: Paraboloide elıptico
11.2.5 Paraboloide hiperbolico
−x2
a2+
y2
b2= cz
Figura 11.10: Paraboloide hiperbolico
11.2.6 Cone elıptico
x2
a2+
y2
b2= z2
161
11.2.7 Cilindro elıptico
x2
a2+
y2
b2= 1
11.2.8 Cilindro hiperbolico
x2
a2− y2
b2= 1
11.2.9 Cilindro parabolico
y = ax2
Figura 11.11: Cilindro parabolico
162
Exemplo 1. Classifique e esboce o grafico da quadrica x2 + y2 − 2x− 4y + 2z + 5 = 0.
a) Fazendo uma translacao para eliminar os termos lineares.
(x− 1)2 + (y − 2)2 + 2z = 0 =⇒ Paraboloide circular.
Exemplo 2. Classifique e esboce o grafico da quadrica −x2 + 2yz + z − y = 100.
a) Escrevendo a equacao em forma matricial:
(x y z
)
a b c
b d e
c e f
x
y
z
+
(0 −1 1
)
x
y
z
= 100
Mas,(
x y z)
a b c
b d e
c e f
x
y
z
= ax2 + dy2 + fz2 + 2bxy + 2cxz + 2eyz
Logo a = −1, b = c = d = f = 0 e e = 1, assim:
(x y z
)
−1 0 0
0 0 1
0 1 0
x
y
z
+
(0 −1 1
)
x
y
z
= 100
b) Determinando uma base ortonormal de autovetores.
β = {v1, v2, v3}, em que v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0,1√2,−1√
2) sao autovetores normalizados
associados ao autovalor λ1 = −1 e v3 = (0,1√2,
1√2) e autovetor de norma igual a 1
associado ao autovalor λ2 = 1.
c) Determinando a matriz mudanca de base.
x
y
z
can
=(
I)autov
can
x1
y1
z1
autov
=⇒ I =
1 0 0
01√2
1√2
0−1√
2
1√2
d) Reescrevendo a equacao em relacao a base (referencial) de autovetores.
(x1 y1 z1
)
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
x1
y1
z1
+
(0 −1 1
)
1 0 0
01√2
1√2
0−1√
2
1√2
x1
y1
z1
=
100
e) Voltar da forma matricial para a forma quadratica.
−x21 − y2
1 + z21 −
−2√2y1 = 100
f) Efetuando uma translacao para eliminar o termo linear.
163
−x21 − (y1 +
1√2)2 + z2
1 =199
2
e ainda−x2
1(√199/2
)2 −(y1 +
1√2)2
(√199/2
)2 +z21(√
199/2)2 = 1
A equacao representa um hiperboloide de duas folhas.
11.3 Exercıcios
Esboce o grafico e classifique as seguintes quadricas:
1. x2 − 9y2 + z2 = 9
2. −9x2 − 16y2 + z2 = 144
3.x2
16− y2
9+
z2
4= 0
4. z = x2 + 2y2
5. 2x2 + 3y2 + 4z2 = 12
6. 5x2 + y2 − 11z2 − 16yz − 10x− 22z − 16y − 6 = 0
164
Capıtulo 12
Respostas
Capıtulo 1.
1. a) A =
0 −1 −2
3 2 1
b) B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
c) C =
2
3
4
d) D =(
1 −2 −3 −4)
2. a) DT =
1
−2
−3
−4
b) IT =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
d) ET =
2 0 0
−1 4 −1
3. x = 3, y = 4, z = 7
4. x = −6, y = 9
5. y = 8, x = 7 ou x = −7
6. a) A + B =
−1 10 9
−9 11 −1
7 13 3
b) C − A =
5 −11 −5
9 −12 8
2 −9 2
c) 3A− 2B + 4C =
40 −37 34
9 11 −20
57 −26 −7
7. Veja que a matriz deve possuir a diagonal
principal nula.
8. a) A−AT =
0 b− d c− g
d− b 0 f − h
g − c h− f 0
b) A + AT =
2a b + d c + g
b + d 2e f + h
c + g f + h 2i
9. X =
0 5/3
1/3 −1
10. X =
11/5 0
44/5 22/5
Y =
−7/3 −10/3
−38/3 −19/3
165
11. A ∗ AT =
14 −12 9
−12 11 −8
9 −8 6
12. (AB)T =
−1 9 −4
−1 −17 8
−52 −65 38
13.
a)V b)V c)V
d)F e)V f)F
g)F h)V i)V
j)V k)V l)V
14. N =
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
15. X = PCQ
16. f(A) =
19 −2
−3 17
17. a) Uma estacao nao transmite para
si mesma.
b) B = A2 =
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1
c) A estacao 1 transmite para a estacao j de
dois modos distintos utilizando uma estacao
como intermediaria. d) Uma retransmissao
com uma estacao intermediaria.
18. a) A2 =
0.59 0.28 0.13
0.44 0.39 0.17
0.48 0.36 0.16
b) Recompra.
19. a) An =
1 0
0 2n
b) Bn =
1 0 0
0 (−1)n 0
0 0 3n
c) Rn =
cos(2n−1x) −sen(2n−1x)
sen(2n−1x) cos(2n−1x)
20. a) A =
1 −2
3 1
b) Nao existe A.
21. A =
x 0
−x 0
, x ∈ R
22. Sejam A = [aij] e B = [bij].
a) tr(A + B) =i=n∑i=1
(aii + bii) =
=i=n∑i=1
aii +i=n∑i=1
bii = tr(A) + tr(B)
b) Imediata.
c) AT A = [cik] =
j=n∑j=1
(a′ijajk) =
= tr(AT A) =i=n∑i=1
(j=n∑j=1
(a′ijaji)
)=
=i=n∑i=1
(j=n∑j=1
(ajiaji)
)=
=i=n∑i=1
(j=n∑j=1
(a2ji)
)≥ 0
23. O traco sera n vezes o elemento da
diagonal principal.
166
24. Multiplicando ambos os membros da
igualdade a ser verificada, vem:
In = (In + A + A2 + A3)(In − A)
In = In + A + A2 + A3 −A−A2 −A3 −A4
Como A4 = tem-se a verificacao da afirmacao.
25. A =
2n 0
0 3n
26. A sequencia parece estar conver-
gindo para
1, 0000 0, 7500
0 0
.
27. A e C sao matrizes positiva definida
e B nao e positiva definida.
28. Basta mostrar que SST = ST S = I
29. Basta multiplicar o primeiro elemento
da setima linha da matriz A pelo primeiro
da quarta coluna de B, mais o segundo pelo
segundo a assim por diante ate o decimo se-
gundo.
30. Verifique usando o octave
31. Sejam A =
1 1
0 1
e X =
x y
z t
. Efetuando AX = XA,
vem:
x = x + z ⇒ z = 0
x + y = y + t ⇒ x = t
z = z
z + t = t ⇒ z = 0
assim X =
t y
0 t
, t, y ∈ R
32. Substitua X na igualdade AX = 2X
e efetue as operacoes.
33. Seja X =
a b
c 1
tal que X2 = 0
Assim,
a2 + bc = 0
ab + b = 0 ⇒ b = 0 ou a = −1
ac + c2 = 0 ⇒ c = 0 ou c = −a = 1
bc + 1 = 0 ⇒ b = −1
logo X =
−1 −1
1 1
.
34. Resolvendo o sistema vem:
X = 12(B + C) e
Y = 12(2A + B − C)
Substituindo A, B e C vem:
X =
1/2 −1
1/2 1/2
9/2 7/2
e Y =
5/2 −1
1/2 5/2
1/2 13/2
35. Sejam A, B e AB simetricas, assim
A = AT , B = BT e AB = (AB)T , mas
(AB)T = BT AT = BA, logo
AB = BA.
36. Divida as matrizes em 4 blocos cada
e
multiplique em blocos obtendo
BA =
1 −15 0 0 0 0
5 6 0 0 0 0
0 0 0 3 8 −15
0 0 0 0 −5 9
167
37. BA =
−2a −2b −2c
a b c
38.
39. Mostre que AB = I
40. m = 9, n = 5
41. a) A−1 =1
2
−3 −4 5
3 2 −3
−1 0 1
b) B e nao inversıvel
c) C−1 =
13/76 −9/76 3/76 31/76
3/76 33/76 −11/76 13/76
2/19 3/19 −1/19 −4/19
−3/38 5/38 11/38 −13/38
d) D−1 =
0 −1 1
1 0 −1
−1 1 1
e) E e nao inversıvel
f) F−1 =1
34
−7 + 11i 20− 12i 6 + 10i −23− 27i
20− 12i −28 + 10i 12− 14i 22i + 48i
6 + 10i 12− 14i −10 + 6i −24− 6i
−23− 27i 22 + 48i −24i− 6i 109− 45i
g) G−1 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
1 −1 1 0
−1 1 −1 1
h) H−1 =
1/a 0 0 0
0 1/b 0 0
0 −1/bc 1/c 0
0 0 0 1/d
i) I−1 =1
2
cos(θ) sen(θ)
−sen(θ cos(θ
j) I−1 =1
2
12(ex + e−x) 1
2(−ex + e−x)
12(−ex + e−x) 1
2(ex + e−x)
42.
43.
a)V b)F c)V
d)V e)F f)V
g)V h)F i)V
j)F k)F l)F
m)F n)V o)V
48. X = A2 ∗ (A(T ))−1 =
.
−80 59 −30
−39 31 −15
−318 233 −119
Capıtulo 2.
2. 0
3.a. 1
3.b. 3
5.a. -12
5.b. 12+8i
5.c. 4
6. ±1
7. λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
Capıtulo 3.
168
1.
a)
x = 2
y = −1
z = 3
b)
x = −5− 2t
y = 2 + 3t
z = 3 + 2t
t ∈ R
c) incompatıvel d)
x = 0
y = 0
z = 0
e)
x = −t
y = t
z = −t
t ∈ R
f)
x = −2t
y = t
t ∈ R
3.
x = 2
y = −1
z = 3
4. Sistema incompatıvel.
6. d) Sistema possıvel e indeterminado
se a = 2 e b = −1 ou se a = b = −1; sistema
impossıvel se a = 2 e b 6= −1 ou a = −1 e
b 6= −1; sistema possıvel e determinado se
a 6= −1 e a 6= 2 .
f) Se a = 4 e b = 8 ou b = −2, ou a = −1
e b = −2 ou b = 1/2 indeterminado. Se Se
a = 4 e b 6= 8 ou b 6= −2, ou a = −1 e
b 6= −2 ou b 6= 1/2 impossıvel. Se a 6= 4 e
a 6= −1 determinado.
Capıtulo 4.
Capıtulo 5.
Capıtulo 6.
1.a) E linear.
1.b) Nao e linear.
1.c) Nao e linear.
1.d) Nao e linear.
3. (i) Sejam u, v ∈ R2×2
T (u + v) = D(u + v)− (u + v)D
T (u + v) = Du + Dv − uD − vD
T (u + v) = Du− uD + Dv − vD
T (u + v) = T (u) + T (v).
(ii) Sejam u ∈ R2×2 e a ∈ RT (au) = D(au)− (au)D
T (au) = a(Du)− a(uD)
T (au) = a(Du− uD) = aT (u).
7.a) Im(T ) = spam{(1, 0, 1), (2, 1, 0)},ker(T ) = spam{(−2, 1, 1)}
7.b) Im(T ) = spam{(1, 0), (0, 1)}, ker(T ) =
spam{(1,−1, 1)}
Capıtulo 7.
5. B22 =
−2 + 222 2 + 223
1 + 222 −1 + 223
.
6. a) λ1 = 2, v1 = (1,−1, 0), v2 =
(1, 0,−1), λ2 = 6, v3 = (1, 2, 1)
b) λ1 = 3, v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1),
λ2 = 1, v3 = (2,−1, 1)
c)λ1 = 1, v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1)
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