Exerccios:

COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III

3 SRIE MATEMTICA II PROF WALTER TADEU

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LISTA DE PIRMIDES - GABARITO 1 Uma pirmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a rea total.Soluo. Observando os elementos na figura, temos:

i) Volume:

ii) rea total:

2 Calcular a rea da base, rea lateral, rea total e o volume da pirmide quadrangular regular de aptema 5cm e aptema da base 2cm.

Soluo. Se o aptema da base mede 2cm, ento a aresta da base mede 4cm. Observando os elementos na figura, temos:

i) reas:

ii) Volume:

3 Calcule o volume de uma pirmide hexagonal regular de rea da base e aptema 13m.

Soluo. A rea da base o sxtuplo da rea de um tringulo eqiltero com lado de mesma medida da aresta do hexgono. Temos:

O aptema do hexgono a altura do tringulo eqiltero. A altura da pirmide calculada com a relao de Pitgoras no tringulo retngulo de hipotenusa 13m.

4 Uma pirmide triangular regular tem 5cm de altura e o aptema da base mede 4cm. Calcule o volume da pirmide.

Soluo. A base um tringulo eqiltero cujo aptema mede a tera parte da altura (o centro da circunferncia circunscrita o baricentro do tringulo). Temos:

O volume vale:

5 Considere uma pirmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2cm de aresta. Calcule:

a) a rea lateral da pirmide; b) a rea total da pirmide;

c) a razo entre o volume da pirmide e do cubo;

d) a razo entre as reas totais da pirmide e do cubo.

Soluo. Observando a figura e seus elementos, temos:

a) b)

c) d)

6 Um prisma de base pentagonal possui 360m3 de volume. Qual o volume de uma pirmide com mesma base e mesma altura?Soluo. O volume do prisma o triplo do volume da pirmide:

7- Numa pirmide regular de base triangular, a aresta da base mede e a altura mede 4cm. Calcule o aptema da base, o aptema da pirmide e a aresta lateral.Soluo. O aptema da base a medida da distncia do baricentro do tringulo at a aresta. Vale a tera parte da altura do tringulo eqiltero.i) ii)

iii)

8 Uma pirmide e um prisma tm a mesma base. A altura da pirmide vale o sxtuplo da altura do prisma. Sendo V1 o volume da pirmide e V2 o volume do prisma, mostre que V1 = 2V2.

Soluo. Expressando as medidas indicadas e estabelecendo as relaes, temos:

9 A base de uma pirmide regular de altura 3r um hexgono regular inscrito numa circunferncia de raio r. Calcule o volume dessa pirmide.Soluo. O lado do hexgono inscrito possui a mesma medida do raio. A rea o sxtuplo da rea do tringulo eqiltero.

10 Calcule o volume de uma pirmide triangular regular de aresta lateral igual a 13cm e cuja base est inscrita num crculo de rea .Soluo. O tringulo inscrito eqiltero, pois a pirmide regular. A altura H da pirmide intersecta a base no baricentro do tringulo distante 2/3 da altura h em relao ao vrtice. Calculando os elementos da pirmide, temos:i)

ii)

ii)

11 (VUNESP) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir tm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vrtices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a do volume do outro slido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a:

a)

b)

c) d)

e)

Soluo. Todas as arestas possuem medida AB que tambm a medida da altura do prisma. Calculando os volumes do prisma e tetraedro, temos:

i)

ii)

iii)

iii)

12 (VUNESP) A figura a seguir mostra uma pirmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que as arestas da base. Pelo ponto mdio M da altura OQ, traa-se o segmento MN perpendicular aresta OA. Se a expressa a medida de MN, determine o volume da pirmide em funo de a.

Soluo. Os tringulos ONM e OAQ so semelhantes. Temos:

O volume da pirmide vale:

13 (VUNESP) Na figura, os planos ( e ( so perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C, e D com A e D em r, so os vrtices de um quadrado e P o ponto de interseo das diagonais do quadrado. Seja Q, em (, o ponto sobre o qual cairia P se o plano ( girasse de 90 em torno de r, no sentido indicado na figura, at coincidir com (. Se AB = , calcule o volume do tetraedro APDQ.

Soluo. O segmento AD aresta e possui a mesma medida de AB. Os segmentos AP e PD medem a metade da diagonal do quadrado e APD retngulo e issceles. A altura h do tetraedro vale a metade do lado do quadrado. Temos:

14 (VUNESP) A figura representa uma pirmide com vrtice num ponto E. A base um retngulo ABCD e a face EAB um tringulo retngulo com o ngulo reto no vrtice A. A pirmide apresenta-se cortada por um plano paralelo base, na altura H. Esse plano divide a pirmide em dois slidos: uma pirmide EA'B'C'D' e um tronco de pirmide de altura H. Sabendo-se que H = 4cm, AB = 6cm, BC = 3cm e a altura h = AE = 6cm, determine:

a) o volume da pirmide EA'B'C'D';Soluo. Considerando h a altura da pirmide menor EABCD temos que h = h H = 6 4 = 2cm. Aplicando a propriedade da razo entre as reas, temos:

i)

ii)

b) o volume do tronco de pirmide.

Soluo. O volume do tronco a diferena entre os volumes das pirmides maior e menor.

15 (UNICAMP) Dado um cubo de aresta L, qual o volume do octaedro cujos vrtices so os centros das faces do cubo?

Soluo. O volume do octaedro o dobro do volume da pirmide quadrangular regular de aresta da base a.

16 (UNICAMP) A figura mostrada um cubo cuja aresta mede 2cm.

a) Calcule o volume da pirmide ABCD1Soluo. A aresta AD1 a altura da pirmide.

b) Calcule a distncia do vrtice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1.

Soluo. O volume da pirmide de base BCD1 e altura d possui o mesmo valor da pirmide ABCD1. O lado D1C do tringulo a diagonal do quadrado. Temos:

17 (FUVEST) A base de uma pirmide regular um quadrado ABCD de lado 6cm e diagonais AC e BD. A distncia de seu vrtice E ao plano que contm a base 4cm.a) Determine o volume do tetraedro ABDE.Soluo. A figura sombreada possui rea da base metade da rea do quadrado. Seu volume vale:

b) Determine a distncia do ponto B ao plano que contm a face ADE.

Soluo. A face ADE possui base 6 (lado do quadrado) e altura g, aptema da pirmide. A distncia d pedida a altura da pirmide com base ADE e mesmo volume que ABDE.

18 (FUVEST) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paraleleppedo reto de altura 8m e base quadrada de lado 6m. Apoiada na base encontra-se uma pirmide slida reta de altura 8m e base quadrada com lado 6m. O espao interior caixa e exterior pirmide preenchido com gua, at uma altura h, a partir da base (h(8). Determine o volume da gua para um valor arbitrrio de h, O ( h ( 8.

Soluo. Supondo que a caixa est cheia at uma altura h, observamos que o volume de gua a diferena entre o volume total da caixa e o da parte vazia fora da pirmide. Temos:Vgua = volume abaixo do plano em vermelho fora do tronco.VT = volume exterior pirmide maior.VVazio = volume acima do plano em vermelho fora da pirmide menor.

VG = volume da pirmide maior.

VM = volume da pirmide menor.

19 (FUVEST) Na figura abaixo, ABCD um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos mdios de AB e CD, respectivamente. Ento, o valor de EF :

Soluo. No tetraedro regular todas as faces so tringulos eqilteros. O segmento FB a altura da face BCD. O segmento EB vale a metade da aresta do tetraedro. Temos:

20 (FUVEST) A figura adiante representa uma pirmide de base triangular ABC e vrtice V. Sabe-se que ABC e ABV so tringulos eqilteros de lado L e que E o ponto mdio do segmento AB. Se a medida do ngulo VC 60, ento o volume da pirmide :

Soluo. A rea da base ser a do tringulo eqiltero ABC. A altura g da face AVB a do tringulo eqiltero. Os elmentos H, g e x da pirmide sero calculados pelas razes trigonomtricas.

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