GABARITO COMENTADO – PROVA BRANCA ?· GABARITO COMENTADO – PROVA BRANCA MATEMÁTICA 01. Considere-se…

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  • GABARITO COMENTADO PROVA BRANCA

    MATEMTICA

    01. Considere-se o conjunto universo U, formado por uma turma de clculo da Escola de Formao de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e composta por alunos e alunas. So dados os subconjuntos de U: A: conjunto formado pelos alunos; e B: conjunto formado por todos os alunos e alunas aprovados.

    Pode-se concluir que ( )BUC A B a quantidade de a) alunos aprovados. b) alunos reprovados. c) todos os alunos e alunas aprovados. d) alunas aprovadas. e) alunas reprovadas. Soluo: B: Todos os alunos e alunas aprovados BUC : Todos os alunos e alunas reprovados.

    A : Conjunto formado pelos alunosA B : Conjunto dos alunos reprovados

    B : todos os alunos e alunas aprovados

    Logo, ( )BUC A B : todas as alunas reprovadas. OBS: Nesta questo o enunciado teria ficado mais claro substituindo-se alunos por alunos do sexo masculino. Opo: E 02. O lucro obtido pela venda de cada pea de roupa x 10, sendo x o preo da venda e 10 o preo do cisto. A quantidade vendida por ms igual a 70 x. O lucro mensal mximo obtido com a venda do produto : a) 1200 reais. b) 1000 reais. c) 900 reais. d) 800 reais. e) 600 reais. Soluo: O enunciado no faz meno unidade monetria na qual o lucro medido. Desta maneira, a questo inconsistente, pois a varivel x representa duas grandezas de natureza dimensional distinta (lucro medido em unidades monetrias, e quantidade vendida adimensional). Observando as opes, acreditamos que a inteno da banca era de que o lucro fosse de "x-10 reais", ao invs de "x-10". Sob esta interpretao, a soluo seria: O lucro total igual ao produto do preo de venda de cada pea pelo nmero de peas vendidas por ms.

    Assim: ( ) ( ) 2TotalL x 10 . 70 x x 80x 700= = + O lucro mximo pode ser calculado a partir do y do vrtice, e vale:

    Lmax = 4a

    =

    280 4.( 1).( 700)900

    4( 1)

    =

    Lmax = 900 Reais Opo: C

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    03. Em radioatividade, na funo ( ) t0A t A e= , temos que:

    I. A a quantidade da substncia radioativa ainda existente, no instante t; II. a constante de desintegrao e > 0; III. A0 a amostra inicial no instante t0; e IV. t o tempo.

    De acordo com as informaes acima, o grfico que melhor representa a funo y(t) = Ln(A(t)) : a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    Soluo:

    ( )

    ( )

    to

    to o

    y t ln A .e

    y t lnA lne t lnA

    =

    = + = +

    Logo, y(t) uma funo do primeiro grau, em t e decrescente ( )0 > , ento o grfico que melhor representa funo o da alternativa E. Opo: E

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    04. Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contm um lquido at um certo nvel. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nvel do lquido aumenta 2 cm. Sabendo-se que o

    raio do cilindro mede 3 2 , Conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Soluo: O volume deslocado no cilindro o volume correspondente ao da esfera. Seja R, o raio da

    base do cilindro, e r o raio da esfera. Ento, temos que, 2 34

    R .h r3

    = , portanto,

    2 34.(3 2) .2 . r r 3 cm3

    = = .

    Opo: B

    05. Um professor escreveu no quadro-negro uma equao do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equao e achou as razes 3 e 2.Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as razes 1 e 4. A diferena positiva entre as razes da equao correta : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Soluo: Seja ao coeficiente da equao do segundo grau, onde a 0 .

    1 aluno: ( ) ( )+ + = + +2a. x 3 x 2 ax 5ax 6a , onde o termo independente est errado.

    2 aluno: ( ) ( ) 2a. x 1 x 4 ax 5ax 4a = + , onde o termo do 1 grau est errado.

    Logo, a equao correta 2 1 2 1 2ax 5ax 4a 0 x 1 ou x 4 x x 3+ + = = = =

    Opo: C

    06. Se ( )0x

    f xx 1

    =+ e n 1 0 nf f of+ = para n = 0, 1, 2,... ento ( )nf x vale:

    a) x

    x n+ b)

    ( )n 1 xx 1

    +

    + c)

    nx

    x 1+ d)

    ( )x

    n 1 x 1+ + e)

    x

    nx 1+

    Soluo:

    Se 0x

    f (x)x 1

    =+ e n 1 0 nf f f , para n 0,1,2,...+ = =

    += = = = =++ +

    ++ +

    += = = =++ +

    ++ +

    01 0 0

    0

    12 0 1

    1

    xf (x) xx 1para n 1, f (x) f (f (x)) e

    x nx 1f (x) 1 2x 1

    nx 1 nx 1

    xf (x) x2x 1f (x) f (f (x)) ;

    x 2x 1f (x) 1 3x 1

    2x 1 2x 1

    Afirmamos ento que nx

    f (x)(n 1)x 1

    =+ +

    . O que pode ser provado por induo.

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    Vamos supor que vlido para n-1, ou seja, n 1x

    f (x)nx 1

    =+. Como n 0 n 1f (x) f f = , segue

    que n 0 n 1

    xxnx 1f (x) f (f (x)) c.q.d

    x nx 1 (n 1)x 1

    nx 1 nx 1

    += = =

    + + ++

    + +

    Opo: D

    07. O conjunto soluo da inequao ( ) ( )

    210

    3 2

    3log x

    40

    x 1 1 x

    +

    +

    :

    a) 1 1

    1, ,1 1,2 2

    b) 1 1 2

    1, ,1 ,2 2 3

    c) 1 1

    1, ,1 1,2 2

    +

    d) 1 1 2

    1, ,1 1,2 2 3

    e) 1 1 2

    1, ,1 1,2 2 3

    Soluo:

    ( ) ( )

    210

    3 2

    3log x

    40

    x 1 1 x

    +

    +

    Seja 2103

    f(x) log x4

    = +

    . Ento 2103 1 1

    f(x) 0 log x 0 x ou x4 2 2

    = + = = =

    210 10

    3 1 1f(x) 0 log x log 1 x ou x

    4 2 2

    > + > > <

    210 10

    3 1 1f(x) 0 log x log 1 x

    4 2 2

    < + < < > = +

    < < .

    Seja ( )2

    h(x) 1 x 0= > , para x 1 , portanto:

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    1 1S 1; ;1 1;

    2 2

    = +

    Opo: A

    08. Considere a sequncia cujo termo dado por 3 n 4 nna 4 i4 = + , *n N . Se i a unidade

    imaginria, o mdulo da soma dos infinitos termos dessa sequncia :

    a) 2 7

    3 b)

    ( )22 73

    c) ( )32 173

    d) ( )42 173

    e) ( )62 173

    Soluo:

    A sequncia na uma P.G de razo 1

    4.

    Logo, 3 n 4 nnn 1 n 1 n 1

    a 4 i 4

    = = =

    = +

    2 3 6 8 12 6

    n 2 2n 1

    4 i.4 4 4 2 (1 16) 2 17a

    1 33 31

    4

    =

    + + += = = =

    Opo: E

    09. Os nmeros inteiros de 1 ao 500 so escritos na disposio abaixo

    1 2 3 4 5

    6 7 8 9 10

    11 12 13 14 15

    ... ... ... ... ...

    A escrita se repete, na mesma disposio, a cada vez que se atinge o valor 500. O nmero escrito na quarta coluna da 134 linha a) 158 b) 159 c) 160 d) 169 e) 170

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    Soluo: Na 4 coluna temos inteiros da forma 5k+4, k = 0, 1, 2, 3 ... Nmero de linhas de 1 at 500: 500 5 100 = linhas Portanto, o inteiro da 134 linha o mesmo da 34 linha da 1 disposio. Logo, N = 5k + 4 e para k = 33 , N = 169. Opo: D

    10. O valor do x 0

    x a alim

    x

    +

    :

    a) 1

    a b) a c)

    1

    2 a d) 2 a e) 0

    Soluo:

    ( ) ( )( )x 0 x 0 x 0

    x a a . x a ax a a 1 1lim lim lim

    x x a a 2 ax. x a a

    + + + + = = = + + + +

    Opo: C

    11. De todos os empregados de uma empresa de navegao, 31% optaram por um plano de assistncia odontolgica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Maca e a outra em Pira. Sabe-se que 50% dos empregados trabalham na matriz, 20% dos empregados trabalham na filial Maca, 30% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistncia odontolgica e que 35% dos empregados da filial de Maca tambm fizeram tal opo. Qual , ento, a porcentagem dos empregados da filial de Pira que optaram pelo Plano? a) 40% b) 35% c) 30% d) 25% e) 15% Soluo: Supondo que a empresa tem x funcionrios: 1) 50% trabalham na matriz e 30% optaram pelo plano 0,3.(0,5x)= 0,15x Optaram 2) 20% trabalham em Maca e 35% optaram pelo plano 0,2.(0,35x)= 0,07x Optaram

    3) 30% trabalham em Pira e k optaram pelo plano k.(0,3x)= 0,3xk Como 31% dos Funcionrios da empresa optaram pelo plano ento: 0,15x + 0,07x+0,3kx = 0,31x 0,3k = 0,09 K = 0,3 ento 30% dos funcionrios da filial de Pira optaram pelo plano Opo: C

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    12. Em uma industria fabricado um produto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietrio anuncio a venda desse produto ao preo de x reais, para que pudesse, ainda que dando ao comprador um desconto de 10% sobre o preo anunciado, obter um lucro de 40% sobre o preo unitrio de custo. Nessas condies, o valor de x a) 14 reais. b) 12 reais. c) 10 reais. d) 8 reais. e) 6 reais.

    Soluo: Preo de custo da unidade =R$ 9,00 Preo de custo com lucro de 40% = 1,4 . 9 = R$ 12,6

    Como o preo do produto de x reais, com desconto de 10% passa a ser de 0,9.x reais. Este valor corresponde ao lucro de 40% sobre o preo de custo, portanto: 12,6 0,9x x 14 reais= =

    Opo: A

    13. Se o menor ngulo formado pelas retas tangentes circunferncia x2 + y2 = 9 nos

    pontos 3 2 3 2 3 3 3

    P , e Q ,2 2 2 2

    = =

    ento o valor de , em radianos

    a) 12

    b)

    6

    c)

    4

    d)

    5

    12

    e)

    7

    12

    Soluo:

    Na figura, podemos observar o quadriltero POQR, onde os ngulos oPOQ PRQ 180+ = .

    Sejam e tal que o3 3

    32tg 303 32

    = = = e o3 2

    2tg 1 453 2

    2

    = = = .

    Podemos ver que o o5

    POQ 105 PRQ 7512

    = = = .

    Opo: D

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    14. A rea entre o grfico de y 3x 2 3= + e a reta y=3, em unidades de rea vale:

    a) 6 b) 3 c) 1,5 d) 2 e) 0,5 Soluo: I. Grfico