Upload
maf2612
View
8
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
gabarito prova de engenharia
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
CÁLCULO 1 e 2 – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 01/12/2013
CANDIDATO: _____________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta.
02 – A prova PODE ser feita a lápis.
03 – PROIBIDO o uso de calculadoras e similares.
04 – Duração: 2 HORAS.
1a Questão (10 pontos): Sabe-se que o ponto 7,2P é o ponto de maior ordenada do gráfico da
função definida por 182 bxaxxf . Nestas condições, o valor de 3f é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
SOLUÇÃO
Como a função é quadrática e possui um valor máximo, então 0a .
O ponto 7,2P é o vértice da parábola 182 bxaxxf .
Assim: 2
22
82
ab
a
bxV (1)
716
174
6447
4
47
47
222
a
b
a
ba
a
bac
ayV (2)
Substituindo (1) em (2): 274174
.16
12
aaa
a
Como 2
ab , então 1b .
Portanto, a função quadrática é: 182 2 xxxf
Para 3x , teremos: 5313.83.23 2 ff
2a Questão (10 pontos): Sabendo que a função baxxxxf 23 2 apresenta um máximo
relativo no ponto 6,1P , concluímos que o valor de ab 23 é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
SOLUÇÃO
Como a função possui máximo relativo no ponto 6,1P , então neste ponto devemos ter a
derivada igual a zero, ou seja, 01 f .
Como axxxf 43 2 , então 104301.41.32
aaa .
Como o ponto 6,1P pertence à curva, então devemos ter 61 f .
Assim: 61216 bb .
Portanto: 1623 ab
3a Questão (10 pontos): Se yxfz , ; xyexx
z xy 21
e yeyyf y 2ln,1 , quanto vale
1,1f ?
a) e b) 1e c) 2e d) 3e e) 4e
SOLUÇÃO
Temos:
dxxye
xyxfdx
x
zyxf xy 2
1,,
Calculando: yCxexyxf xy 2ln,
Para yCeyfx y 211ln,11
12ln102ln yyyCyCeyey yy
Portanto: 12lnln, 2 yyxexyxf xy
Logo: 21,1121ln11ln1,1 efef
4a Questão (10 pontos): O valor da integral
8
1 33 1. tt
dtI é:
a) 2 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
SOLUÇÃO
Fazendo: dxxxdtxtxtxt .2.1.31112232233 .
Para 21 xt
Para 38 xt
Assim:
3
2
3
2
2
2
22
.1.61.
.2.1.3dxxI
xx
dxxxI
Calculando: 223
.6
3
2
3
Ix
xI
5a Questão (10 pontos): Calculando o valor da integral 2
0
4
0
2 dxdyyx , obtemos:
a) 3
151 b)
3
152 c)
3
154 d)
3
155 e)
3
157
SOLUÇÃO
2
0
2
0
4
0
3
43
64
3dyyIdyxy
xI
3
1528
3
1282
3
642
0
2
IIyyI
6a Questão (10 pontos): Resolver a integral dxxxI 32.59
, usando o Método de
Integração Por Partes vduvuudv . .
SOLUÇÃO
Fazendo:
10
55
232
109 x
vdxxdv
dxduxu
.
Assim:
dxxx
xI 2.10
5
10
5.32
1010
.
C
xxxI
11
5.
10
2
10
5321110
C
xxxIC
xx
xI
11
1023322.
10
5
11
5232.
10
51010
.
Finalmente:
Cxx
I
110
4320.510
7a Questão (10 pontos): Calcular a área limitada pela parábola xy 42 e pela reta 42 xy .
SOLUÇÃO
A parábola xy 42 tem o vértice na origem e a concavidade voltada para a direita e a reta
42 xy é oblíqua aos eixos coordenados.
4
x
y
0
2
y
42 xy
*x
xy 42
4
2
Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , é conveniente escolher um
retângulo elementar da forma yx .* , onde parábolareta xxx * .
Por outro lado, para identificarmos os limites de integração, é necessário encontrar os pontos
de interseção da reta e da parábola.
Assim, obtivemos os pontos 2y e 4y .
Portanto: 4
2
*.dyxS , onde 4
22
2* yy
x
Logo: ..93
2
3
164814
122
4.
42
2
4
2
4
2
322
AuSy
yy
dyyy
S
8a Questão (10 pontos): Resolver a integral
dx
e
eeI
x
xx
4
2.2
, usando uma substituição de
variáveis conveniente.
SOLUÇÃO
Fazendo: dtdxete xx . .
Assim:
dt
tdt
t
tIdt
t
tI
4
2
44
2222
C
tarctgtIdt
tdt
t
tI
24ln
2
1
2
12
4
2
2
1 2
222
Como te x , então Ce
arctgeIx
x
24ln
2
1 2
9a Questão (10 pontos): Usando Frações Parciais, resolver a integral dx
xxI
4
83
.
SOLUÇÃO
dx
xxdx
xxI
4.
8
4
823
Por Frações Parciais: 44.
822
x
CBx
x
A
xx.
ACxxBAxCBxxA 48.48 22
Comparando:
284
0
20
AA
C
BBA
Assim:
CxxIdx
x
xdx
xI 4lnln2
4
22 2
2
10a Questão (10 pontos): Determinar os pontos de Máximo Relativo, Mínimo Relativo ou de Sela
da função 20123, 33 yxyxyxf
DADO: Hessiano: 2BACCB
BA , onde
Px
zA
2
2
;
Pxy
zB
2
; P
y
zC
2
2
.
SOLUÇÃO
dx
xxdx
xxI
4.
8
4
823
Por Frações Parciais: 44.
822
x
CBx
x
A
xx.
ACxxBAxCBxxA 48.48 22
Comparando:
284
0
20
AA
C
BBA
Assim:
CxxIdx
x
xdx
xI 4lnln2
4
22 2
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
GABARITO DE FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E
PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 01/12/2013
CANDIDATO: _____________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta. 02 – A prova PODE ser feita a lápis. 03 – PROIBIDO o uso de calculadoras e similares. 04 – Duração: 2 HORAS.
1a Questão: Duas esferas de aço descrevem um movimento retilíneo uniforme sobre uma mesa horizontal. A velocidade da esfera A é o dobro da velocidade da esfera B e ambas chegam à borda da mesa no instante t = 0. Considere que tA seja o instante em que a esfera A toca o solo e que tB seja o instante em que a esfera B toca o solo. Supondo que a massa das esferas seja igual e que a resistência do ar possa ser desprezada, é correto afirmar que:
a. tA = (1/4) tB. b. tA = (1/2) tB. c. tA = tB. d. tA = 2 tB. e. tA = 4 tB.
Solução: Alternativa (c). O movimento horizontal e o vertical são independentes. As duas esferas têm a mesma velocidade vertical (vy = 0) e começam a cair da mesma altura. Portanto ambas levarão o mesmo tempo para chegar ao solo.
2a Questão: Um automóvel percorre com velocidade escalar constante uma curva horizontal que tem a forma de um arco de circunferência. A força resultante sobre esse automóvel é devida:
a. à atração gravitacional que a Terra exerce sobre o automóvel. b. à reação normal que a pista exerce sobre o automóvel. c. ao atrito entre a pista e o automóvel. d. ao motor do automóvel. e. ao ar.
Solução: Alternativa (c). Como a velocidade escalar é constante, o movimento é circular e uniforme. Logo a aceleração do automóvel é a aceleração centrípeta. Como a curva é horizontal, a única força que tem um componente que aponta para o centro da trajetória é a força de atrito.
3a Questão: Um objeto puntiforme realiza um movimento retilíneo cujo gráfico posição versus tempo é mostrado na figura ao lado. Assinale a afirmativa correta:
a. O objeto se move com velocidade constante. b. O objeto está acelerando o tempo todo. c. O objeto está freando o tempo todo. d. O objeto está acelerando em uma parte do
movimento e freando em outra parte. e. O objeto se move com aceleração nula.
Solução: Alternativa (b). Em um gráfico posição versus tempo a velocidade em um ponto é numericamente igual ao valor da tangente à curva naquele ponto. No gráfico em questão pode ser visto que a magnitude da velocidade é zero no instante inicial e aumenta à medida que o tempo passa. Portanto o objeto está acelerando o tempo todo. 4a Questão: ANULADA (A pontuação referente a esta questão será atribuída a todos os candidatos que compareceram à prova). 5a Questão: No pêndulo cônico da questão anterior, o momento angular da esfera em relação ao ponto O é:
a. tangente à circunferência descrita pela esfera. b. paralelo ao eixo z. c. perpendicular ao eixo z. d. paralelo ao fio. e. perpendicular ao fio.
Solução: Alternativa (b). O momento angular L é dado pelo produto vetorial L = r x p (r é o vetor posição da esfera em um determinado instante e p é seu momento linear). Como r tem a direção radial e p = m v é tangente à circunferência, L será paralelo ao eixo z.
6a Questão: Um projétil de 100 g com uma velocidade de 500 m/s colide com um paralelepípedo maciço de 900 g, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Supondo que a velocidade do projétil imediatamente antes da colisão seja horizontal e que ele fique encravado no paralelepípedo, calcule a energia cinética do conjunto formado pelos dois corpos logo após a colisão. Solução:
7a Questão: A figura ao lado mostra dois blocos, A e B, ligados por um fio inextensível de massa desprezível que passa por uma roldana de massa 2,0 kg e raio 0,10 m. O sistema está inicialmente em repouso e o bloco B está apoiado no solo. Considerando mA = 3,0 kg e mB = 1,0 kg, quando o sistema é solto, o bloco A desce e o bloco B sobe. A partir dessas informações, calcule a aceleração angular da roldana enquanto o bloco A estiver descendo. Dados: g = 10 m/s2; Iroldana = (1/2) m r2.
Solução: 8a Questão: Uma partícula descreve um movimento unidimensional sob a ação de uma única força que é expressa no Sistema Internacional de unidades (SI) por F (x) = k x2. Nesta expressão, k = 6,00 N.m-2 é uma constante. Calcule o trabalho devido a essa força quando a partícula se desloca entre as posições x1 = 3,00 m e x2 = 5,00 m. Solução:
9a Questão: Uma plataforma gira sem atrito com velocidade angular de 6,0 rad/s. No centro dessa plataforma encontra-se uma pessoa de pé com os braços abertos segurando um par de halteres em cada mão. Nesta situação o momento de inércia do conjunto é de 12 kg m2, mas quando a pessoa encolhe os braços, o momento de inércia cai para 8,0 kg m2. Calcule a velocidade angular do conjunto após a pessoa ter encolhido os braços. Solução:
10a Questão: Uma partícula de 3,0 kg, inicialmente em repouso, está sujeita a uma única força F. Essa força varia em função do tempo como mostra a figura. A partir dessas informações, calcule a magnitude do impulso devido a essa força. Solução: