300
Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет ГАБРИЭЛЕ ЛОЛЛИ Философия математики НАСЛЕДИЕ ДВАДЦАТОГО СТОЛЕТИЯ Перевод с итальянского А.Л. Сочкова при участии С.М. Антакова Под редакцией профессора, доктора физико-математических наук Я.Д. Сергеева Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета 2012

Gabriele Lolli Filosofia Matematiki

  • Upload
    kr

  • View
    113

  • Download
    10

Embed Size (px)

Citation preview

  • 1

    . ..

    .. ..

    , - ..

    2012

  • :

    2

    1 : 51 +B1 73

    . : / . . .. , .. , . . .. . . : - . .. , 2012. 299 .

    ISBN 978-88-15-08510-8 (.) ISBN 978-5-91326-211-0

    -

    , . , , , , , , , , , , , , . - , , . , , - , -. - , . , - , - .

    - , , 10 , - . . , , , -- , , - , .

    ISBN 978-88-15-08510-8 (.) ISBN 978-5-91326-211-0 +1

    , 2012 .. , . ; .. , .. , , 2012

    . .. , 2012

    73

  • 3

    GABRIELE LOLLI

    Filosofia della matematica

    LEREDIT DEL NOVECENTO

    IL MULINO

  • :

    4

  • 5

    .............................. 7 ................. 13 ..................................................................................... 35 : .............. 43

    1. ....................................... 47 2. ............................................................. 51 3. ..................................................... 63 4. ........................................................ 69 5. ................................................................ 75 6. ...................................................... 77 7. ................................................. 81 8. ............................................ 87

    : .............. 97

    1. ......................................................... 99 2. .............................................................. 105 3. .......................................................... 113 4. ................................................. 141 5. ........................................................ 147 6. ............................................................ 159 7. ......................................................... 173 8. .......................................................... 185 9. ................................................ 191 10. ................................................ 207 11. .................................................... 215 12. ................................................... 223 13. ......................................................... 235 14. ............................................. 257 15. ............. 269

    .............................................................................. 277 ........................................................................ 287

  • :

    6

  • 7

    . .. - - , 20 . - : - , - - . .. .

    - . , - , 1015 , . :

    1. .. : . . 2. .: URSS, 2010.

    2. . . . . . 2-, ., 2010.

    3. .., .. -: . : , 2007.

    4. . : . ./ .. ; . .. . . 2-, . .: , 2005.

    5. .. . . : , 2005.

    6. .. . : , 2002. 7. .. . .:

    -, 2001. 8. - : -

    / . . .. . : , 2001.

    9. . : -- : . . : , 2000.

  • :

    8

    10. . / .: . - . 2 . . 1. . . -. . . .: , 1998.

    11. . : . . .: , 1996.

    , , , . , , - , ( - ), . , .. , . , . , . -, . ., -, .

    , , - - , 10 - , . : - (1977); (1978); (1991); (1992); -: (2002); (2004); QED: (2005); - (19001930): (2011).

    - (. Scuola Normale Superiore) - , . l'cole Normale Suprieure , . 18 1810 - . - ( ), - , , .

  • 9

    , , . , nolens volens, , , ( ) , , , , -, , -, , , .. , , .

    , . XIX , , -, - . , . , , -, . , - - . - , - , , - - .

    - , . - , , -, , , , , , , , , -, . -, . , , , . , - , -

  • :

    10

    -, .

    , . . - , . -, . . - , - .

    , , , , , , - . , - , .

    , , - ( ), - . - , - , . , - , . - - . , - , - . , .

    , , , : ,

  • 11

    -. - - - , , XX .

    - , , , XX . ( ) - , , , .

    , () , , . , . - , -, , -- , - , , .

    - . ... .. ... .. . . , 2011 ., - . , - (.

  • :

    12

    http://www.theinfinitycomputer.com). , - , .

    , , . , - , ( ). , - ( , -, - ) .

    , , , , , . , - , - . - - . , ( - ) - : . , . . .

    - . .. .. .. - - . , - .

    .. ,

    ..-.., . .. , (),

    - -

  • 13

    fl

    2002 , -

    - , . , , .

    , , , - , , - . . APMP (Association for the Philosophy of Mathematical Practice1), -, (, ).

    [Mancosu 2008], , - , , . : , - , -, ; -, - ; , , -. -

    1 http://institucional.us.es/apmp/; (. . ).

  • :

    14

    -, [Mancosu 2008, . 5].

    , , ( 12 13 ). - . - . - . - , -, . - , , -, .

    , 2 , - . - - () 3, - , , , , . - , , - , -.

    2 . maverick (. ). 3 . [Mancosu 2008] [Giaquinto 2007].

    , , [Shapiro 2007].

  • 15

    - ; , - , , (- ), - (. [Todorov 1965]). , - , , -, , ; , , . , , , .

    ( 5 ) , . (Penelope Maddy), - . - [Franks 2009], , - , -, , .

    , , (2007). [Tieszen 1998], -, , [van Atten e Kennedy 2003], [Martin 2005], [Hauser 2006].

    - , .. .

    - , , - , . ,

  • :

    16

    .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , , , , , .

    , , , -, . , , , , , . .. .. ( ) . .. , .. , .. , .. . .. - (. feasibil-ity), - [snine-Volpine 1961].

    , , - , , , , - , - . , , - , -

  • 17

    , 4 .

    - . , - , , , - 1989 . , , , - , , , - - , . , , - , , , - , - .

    - 5. - 1917 - , .. (18801940), 1910 , . 6. - . , 1927 .. (18691947) , - . .. - , -

    4 - , , [Zi-novev 1973], , [Zinovev 1977].

    5 ., , [Cavaliere 1990]. 6 [Vasiliev 1924] 1924 .

  • :

    18

    , .. , , (S.C. Kleene, USA) . -- , , - , ( .. .. ). 1930 .. - , () - , , [Yanovskaya 1930]. .. - , .

    .. , , 7. , , - 8; . 1947 - [HilbertAckermann 1928], 1948 [Tarski 1937] - -. , - , - , 1959 1966 . , , . , , -, , - . ,

    7 . [Bazhanov 2001]. 8 , , ,

    . . [Dauben 1998].

  • 19

    , - , [Novikov 1959] .

    , , , - , , , , , 1950 -. , , . , , - .

    .. (19031979) 9. 10, , , , , ( )11, , - ( . (Emil L. Post) , , , ). - .

    9 , - , . [Anellis 1994].

    10 , , . , () - , ( - ) .

    11 , - , , - [Mendelson 1964], - .

  • :

    20

    , - , , - . - -, , , . - . 12 - [] - [Markov 1954a, p. 2].

    , , , -, - [Markov 1954a, cap. 1, sec. 3.5].

    , , , : -, - -, , , .

    - , - , , , -

    xA(x) xA(x) .

    . , - . , ( ), - .

    12 (. ).

  • 21

    . (E. Bishop) -, , . , , , - 13.

    , , - , -, . , , : . , . , . , . , . , . , . , . , . .

    , [Nagorny 1995] - , , - , - . , , , , - , , . - . , .

    , , , 1957 1968 - () . - .. (19621969) , , .. , , , - , .

    , -

    . , [] - 1968 , , , 14.

    13 .

    14 [Sossinsky 1992].

  • :

    22

    - . - - , 1968 , 99 , - -, , -. , -, 1968 . - , . - , - 15. - , , , .

    , , , . , . , , , .. - [Lermontov 1840, Introduzione].

    - , , - , - -. , - 16.

    (18821937) - 1904 , , (18371903), -

    15 . [Fuchs 1992]. 16 [Florenskij

    1995] [Florenskij 2007]. , . [Betti 2009].

  • 23

    - . - .. .. .. .

    -, , , , . , - . - , - - ( - ).

    -, , 17, - , . 1900 18:

    , ,

    . , , , . - , , [] , , , , - . [] -

    17 , , [Florenskij

    1995], . [Betti 2009]: - , . - - , , - .

    18 [Betti 2009] (. ); - , , http://www.hrono.info/biograf/florenski/1900fl.html (1900.10.05.24 (4-). .. . . . ).

  • :

    24

    . - , , , , .

    , - - . , -, -. , 1922 19, - , , . , . , , a + bi.

    , , , , - . , -, - , , , - , - .

    , - , . - , -- , , .. ,

    19 [Florenskij 2007, pp. 27889]. -.

  • 25

    . -, . - . [Florenskij 1932] -, .

    , , - . , . - , .. , - , , - - [] [] , , , , , .. , .

    , - , .

    -, . [] [] , , , , - , [] , , . - .. , - [] - - .

    , , , ,

  • :

    26

    . - (. (E. Gunter, 1623)), . (E. Wingate, 1627) (Seth Partridge, 1657), (Ritter) - , (Lalanne), (Exner) ( ), (C.V. Boys), (G.B. Grant) (R. Skutsch) ( XIX- XX- ) , (E. Stamm, 1863), (M. Deprez, 1871), (F. Guarducci, 1890), (A.B. Kempe, 1873) - , . (L. Torres y Quevedo, 1895) , , (H. Wehage, 1878) , (1878) . (A. Demaner), 1898 - , (G. Meslin), XIX XX . - , (A. Emch), 1901 - , (Weltman, 1884) (F. Lucas, 1888).

    1922 . . - , . . . , , - .

  • 27

    , , , , - , , . , , ; , , , .. - , , , , , , , - . , , ; , - , [] , - , - . , , - , .

    , -

    , , ; , , . , , , .. , , - , .

    , -

    , - ( ) . .

    . : , , ;

  • :

    28

    -.

    , - , , , , 20. - , , ?21

    , , , , , - , , , . , , . [Levi 2009], , , . , , (. 2). - 22 -.

    , ,

    20 . , , , , - . . 1995 (Leonard Adleman) , . . [Cipra 1996].

    21 , -, : , , .

    22 20.

  • 29

    [Uspenski 1961]. - [Kogan 1974] [Balk e Boltyanskii 1987].

    , , -

    (. 6). , A, B, C X, XA+XB+XC -, , AXB , AXC BXC 120, , A, B C, ( 1) :

    , -

    , . XA+XB+XC - , XA - , - . , , -

    , , , , 120 .

    , , -

    , , - .

    A X

    C

    B

  • :

    30

    . 23. - , -, .

    - , -, , : , ; ; ; - . , -, - .

    , , , , , , , - . , - , . , . , -. , -. , 1935 - , . , - , .

    23 , , -

    [Demidovic 1964].

  • 31

    [Anellis 1994] I.H. Anellis, recensione di [Cavaliere 1990], Modern Logic, 4 (1994), n. 2, pp. 210218.

    [Balk e Boltyanskii 1987] M.B. Balk e V.G. Boltyanskii, Geometriya mass (in russo), Bibliotechka Kvant, 61, Nauka, Mosca, 1987; .. , .. , . .: . . . .-. ., 1987. 160 . . .

    [Bazhanov 2001] V.A. Bazhanov, Restoration: S.A. Yanovskaia's Path in Logic. History and Philosophy of Logic, 22 (2001), n. 3, pp. 129133.

    [Betti 2009] R. Betti, La matematica come abitudine del pensiero. Le idee scientifiche di Pavel Florenskij. Centro Pristem Eleusi, Universit Bocconi, Milano, 2009.

    [Cavaliere 1990] F. Cavaliere, La logica formale in Unione Sovietica: Gli anni del dibattito, 19461965, La Nuova Italia, Firenze, 1990.

    [Cipra 1996] B. Cipra, Computer Science Discovers DNA, in P. Zorn (ed.), What's Happening in the Mathematical Sciences, vol. 3, AMS, Prov-idence, R. I., 1996, pp. 2737.

    [Dauben 1998] J. W. Dauben, Marx, Mao and Mathematics: The Pol-itics of Infinitesimals, in Documenta mathematica, Extra Vol. ICM III (1998), pp. 799809 (http://www.emis.de/journals/DMJDMV/xvo-licm/ICM.html).

    [Demidovic 1964] B. Demidovic (ed.), Problems in Mathematical Analysis, MIR, Mosca, 1964.

    [snine-Volpine 1961] A.S. snine-Volpine, Le programme ultraintuitionniste des fondements des mathmatiques, in Infinitistic Methods, Pergamon Press, Oxford, 1961, pp. 201223.

    [Florenskij 1932] P.A. Florenskij, Fizika na slube matematiki. Socialistieskaja rekonstrukcija i razvitie, 4 (1932), pp. 4363, [Florenskij 2007, pp. 290299]; .., , , 4 (1932). . .

    [Florenskij 1995] P.A. Florenskij, Lo spazio e il tempo nell'arte (a cura di N. Misler), Adelphi, Milano, 1995; ..,

  • :

    32

    -- . .: , 1993. . .

    [Florenskij 2007] P.A. Florenskij, Il simbolo e la forma, Bollati Boringhieri, Torino, 2007.

    [Franks 2009] C. Franks, The Autonomy of Mathematical Knowledge, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009.

    [Fuchs 1992] D.B. Fuchs, On Soviet mathematics of the 1950s and 1960s, in [Zdravkovska e Duren 1992, pp. 220222].

    [Giaquinto 2007] M. Giaquinto, Visual Thinking in Mathematics, Ox-ford, 2007.

    [Hauser 2006] K. Hauser, Gdel Program revisited. Part I, The Bul-letin of Symbolic Logic, 12 (2006), n. 4, pp. 529590.

    [HilbertAckermann 1928] D. Hilbert e W. Ackermann, Grundzge der theoretischen Logik, Springer, Berlin, 1928, 2 ed. rivista 1938; . ., . / . . ., . . .. . .: - . ., 1947. . .

    [Kogan 1974] B.Yu. Kogan, The Applications of Mechanics to Ge-ometry, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1974.

    [Lermontov 1840] M.J. Lermontov, Un eroe del nostro tempo (18381840), Garzanti, Milano, 1992; , , - .., , , 2011. . .

    [Levi 2009] M. Levi, The Mathematical Mechanic: using physical reasoning to solve problems, Princeton Univ. Press., Princeton, 2009.

    [Mancosu 2008] P. Mancosu (ed.), The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford, 2008.

    [Markov 1954] . Markov, Sulla continuit delle funzioni costruttive (in russo), Uspehi Math. Nauk, 9 (1954), pp. 226230; Ma- .., , . , 1954, .9, 3, . 226230. . .

    [Markov 1954a] . Markov, Teoria degli algoritmi (in russo), Trudy Matematiceskogo Instituta imeni V.A. Steklova, vol. 42, 1954; . - Theory of Algorithms, Israel Program for Scientific Translations, Jeru-salem, 1961; .., . ., .: -

  • 33

    , 1954. 376 . ( . .. . . 42). . .

    [Markov 1962] . Markov, Sulla matematica costruttiva (in russo), Tr. Mat. Inst. Steklov, 67 (1962), pp. 814; . On constructive Mathematics, AMS Translations, II Ser., 98 (1962), pp. 19; .. , - . .. . . 67, ., 1962. . .

    [Martin 2005] D.A. Martin, Gdel's conceptual realism, The Bulletin of Symbolic Logic, 11 (2005), n. 2, pp. 194207.

    [Mendelson 1964] E. Mendelson, Introduction to Mathematical Log-ic, Van Nostrand, New York, 1964.

    [Nagorny 1995] N.M. Nagorny, Andrei Markov and Mathematical Constructivism (1991), in [Prawitz 1995, pp. 467479].

    [Novikov 1959] P.S. Novikov, Elements of Mathematical Logic (1959), Oliver and Boyd, Edinburgh, 1964; .., . .: , 1959. . -.

    [Prawitz 1995] D. Prawitz, B. Skyrms, D. Westerstahl (eds.), Logic, Methodology and Philosophy of Science IX , North Holland, Amsterdam, 1995.

    [Shapiro 2007] S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philoso-phy of Mathematics and Logic, Oxford, 2007.

    [Sossinsky 1992] A.B. Sossinsky, In the other direction, in [Zdravkovska e Duren 1992, pp. 223243].

    [Tarski 1937] A. Tarski, Einfhrung in die mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik, Julius Springer, Vienna, 1937; . Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Science, 1941; . ., / . . ., . .. . .: - . ., 1948. . .

    [Tieszen 1998] R. Tieszen, Gdel's path from the incompleteness the-orems (1931) to phenomenology (1961), The Bulletin of Symbolic Logic, 4 (1998), n. 2, pp. 181203.

  • :

    34

    [Todorov 1965] T. Todorov (ed.), Thorie de la littrature, du Seuil, Paris, 1965; . I formalisti russi, Einaudi, Torino, 1968.

    [Uspenski 1961] V.A. Uspenski, Some Applications of Mechanics to Mathematics, Pergamon Press, New York, 1961.

    [van Atten e Kennedy 2003] M. van Atten, J. Kennedy, On the philo-sophical development of Kurt Gdel, The Bulletin of Symbolic Logic, 9 (2003), n. 4, pp. 425476.

    [Vasiliev 1924] N.A. Vasiliev, Logica immaginaria (1924), Nauka, Mosca, 1989 (in russo); .., -. .: , 1989. . .

    [Yanovskaya 1930] S. Yanovskaya, I compiti immediati dei Marxisti-matematici, Pod Znamenem Marksizma, 5, p. 8894 (in russo); - .., -, , 5, 1930, . 8894. . .

    [Zdravkovska e Duren 1992] S. Zdravkovska e P.L. Duren (eds.), Golden Years of Moscow Mathematics, History of Mathematics, vol. 6, AMS, Providence, R.I., 2 ed. 2007.

    [Zinov'ev 1973] A. Zinov'ev, Foundations of the Logical Theory of Scientific Knowledge (Complex Logic), Reidel, Dordrecht, 1973.

    [Zinov'ev 1977] A. Zinov'ev, Cime abissali , 2 voll., Adelphi, Milano, 1977, 1978; , , ., -, , 2010. . .

  • 35

    - , , , , , . - . , , , , 1. -, , , , . , - , , , . - , , - , . , , , , , , , 2. , , - , .

    . , , - . . - , , , , , ,

    1 . S. Feferman, H.M. Friedman, P. Maddy, J.R. Steel, Does mathematics need new axioms? The Bulletin of Symbolic Logic. 2000. V. 6. 4. . 401446.

    2 . de te loquitur (. ).

  • :

    36

    , . -, , - , , , , --, - . , , , .

    , --, - , , - . , -, , - , , , - . , - , - : , , , - 3.

    , , - -. , , . , , - . , -. , . -

    3 . A. Karmiloff-Smith, Beyond Modularity, Cambridge, Mass., The MIT Press, 1992.

  • 37

    ; , , , - , , , - , . , - - .

    , - , - . , , . -, - . , ( ) . - : 7+5=12, - I.32 4.

    , , . , , - . , , - . - , , , - , , . XX 5. , , -, . - , -, , ; - -

    4 180 . 5 . P. Odifreddi, La matematica del Novecento, Torino, Einaudi, 2000.

  • :

    38

    , - , .

    , , -, , , - . .

    - , , , , -. , , - . - , . - , , - -. , - - . , , , , -, , , - . , , - , , , , .

    , - . ,

  • 39

    , 6. , , . , , , , - , . , , - , , , , , - .

    , , . , -, , , -, , , , , , , , -, , , , . , , , , -. , , , , , . , - .

    6 -: S. Shapiro, Thinking about Mathematics, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000; M. Steiner, The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, Cam-bridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1998; J.R. Brown, Philosophy of Mathematics, New York, Routledge, 1999; M. Potter, Reasons Nearest Kin, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000 , . , Philosophia Mathematica, 1964 1993, - . e-mail fom-digest ; : http://www.math.psu.edu/simpson/fom/.

  • 41

    fl

  • :

    42

  • .

    43

    ,

    , , , 1, , , , - . , .

    , -, . - , , , , . , , -.

    , , , , , -, . - , , - , , . .

    1 , , . , , , - .

  • :

    44

    (, , , ). , , , -, 2. , , 3. , , , .

    , , -, , . , , -. , - , - , - , - , , ( , ) - . -, , , , , - , , , , , .

    , , , . , - , , - , , , , - .

    2 , ( ). , , , .

    3 W. Benjamin, Angelus Novus, Torino, Einaudi, 1962, p.76.

  • .

    45

    , -, , . , - , . , - , , - . , , - , , - , , , , - , . , -, - , , - .

    , , , , . - , - , - .

    , - , , , , . , , -. - . , , , -. , -, , - .

  • :

    46

    , , ( ) - , - .

  • 47

    1. , , , -

    , . .

    , , - , , , . , 1, - 2.

    . (1628)

    , , , - , , , , .

    .. (1902)

    - .

    1 -. , S. Shapiro M. Pot-ter, , Les philosophes et les mathema-tiques . E. Barbin M. Caveing, Paris, Ellipses, 1996.

    2 , , , , R.E. Moritz, Memorabilia Mathematica, Washington D.C., Mathemati-cal Association of America, 1914.

  • :

    48

    .. (1844)

    , , , , , , , , .

    . (1891)

    , - - , .

    . (. ., 9 .)

    , , , , . , , - .

    . (1902)

    - .

    .. (1910)

    - , , -, , , - ( ) -, .

    . (1901)

    - - - , - - .

    . (1850)

    , .

  • 49

    . (1898)

    - .

    (1901)

    . , - .

    .. (1881)

    [] ( ) , , .

    .. (1890)

    , , , .

    .. (1910)

    , ( ) . .

    , , , - . , , , - - . , , -.

  • :

    50

    , , , -, , . , , - , - , .

  • 51

    2.

    , , , , , , , . , -, , . - ? ? , dans le boudoir1, : -, , .

    , , , , , , , . , , , - . - .

    -, . , , , , -, , . -, . - , . - , , . , , , - , -

    1 (. . ).

  • :

    52

    , , , -, , , , .

    - . , , -, (), , .

    , . (-), . , , , 2, , , -. , , , - . , , - , , - , , , .

    , , , . , - () , - , .

    -, , .

    2 , , , - , .

    , , , , , - .

  • 53

    -. , - - ( , ), - - . , , , - ( ) , , , , - .

    , , - - ? ? - , - . , -, , -. , - , , , -, -, - . , , - ?

    , .

    , , 3. pilpul4. -

    3 . . . 4 pilpul ,

    . , - (. ).

  • :

    54

    , , , , . , , , , , , , , -.

    , , . . - , -, , , , . - . - , - .

    -, , - . . . , . - , . , , -, , , , , - . -- . - .

    , , , - . , , , -

  • 55

    . - , , ( . , ). , -, , , . , , , , - - ( -). , , , , - , - , , - .

    , , - , . -, , - ( , , ). . , , , - . , , , . - , . , , - , , . beautiful5 , , beauty6, , beautiful, beauty, -

    5 (. . ). 6 (. . ).

  • :

    56

    beauty-case7 - , , - . .

    , , . , , -, , , , , ; .

    , - . , , , , - . , , , , -, , - . , -. , , -, , . , - , , , , . , , ?

    , , , , . , -, . , , . , -

    7 (. . ).

  • 57

    . . , , - . , , . - . , , , , , , , -. , , , , , . - - . , - - ( - 8).

    - . - , 9. - . - -, -. , , , , -, . , , , , - (, ). , , , . -

    8 . C.G. Hempel, La formazione dei concetti e delle teorie nella scienza empirica (19521958), Milano, Feltrinelli, 1960.

    9 , .

  • :

    58

    , , , . - , - ( , , -, ).

    , , - , . , , , , - . , .

    - , . , , , , - , - , , .

    , , , -. - . - . (no class theory) , . , , , - . .

    10 , - , .. , - . 5 5 1 5 ( -

    10 R. Carnap, Die logische Syntax der Sprache, Wien, Springer, 1934; . . The Logical Syntax of Language, London, Routledge&Kegan Paul, 1937.

  • 59

    , ), 5 . - . , , , , , 11 5 . - , , , - - . -, .

    . . , , . , - - .

    , , . , , , - , , , , . - , , , , , ,

    11 5 - , , -, ; -, (. ).

    , . - , , , .. , . , , . , , 5, , IIIII V , (. . ).

  • :

    60

    . , , . - , - , . (, , , - ).

    ( ) , - . - . , -, . , , , , , - - ( - ). - 12.

    -, . . . . -, , , . - , , , ,

    12 ( . ) , -.

  • 61

    , , ( , ante rem in re, ). , , . , , - - . , , .

    . -, -, . -.

    , : -. -, , - , . -, , , - - - -. - , .. -, -.

    , , ( ) - . , - - .

  • :

    62

    . , - ( , -) , . , . , - , . , - .

  • 63

    3.

    , , , , -, , , . , - - . , -, -, , , - .

    , -, . ( , ) - , , - . , , .

    , , , . , -, , , . . , -, , , - ( . , , , ). , -, , - , .

  • :

    64

    .

    - , - .

    1:

    - , , , , , - -,

    -

    , , , , , , -, . - . . , - .

    . , , .

    , .

    , , . - , - , . , - , -

    1 W. Whewell, The Philosophy of Inductive Sciences, London, 1858, Part 1, Bk.2, ch.4, 8.

  • 65

    , - , . . , - , , .

    - , () - (), . - , .

    -, : Erkenntnistheorie , teoria della conoscenza gnoseologia , gnosologie 2. -3, , 1854 ., .. (F.J. Ferrier), Erkenntnistheorie - . (Karl L. Reinhold) 1789 . - , - . , - , . . , , : , ; -, , . -, , , - .

    2 (. ).

    3 . N. Abbagnano, Dizionario di filosofia, Torino, Utet, 1961; Dizionario di filosofia, . A. Biraghi, Milano, Comunit, 1957.

  • :

    66

    -, . - - 4 , - . - , , -. , - , - - . . , , , , . , , - . - , -, . - , , , , , . , -, 5.

    4 . . P. Rossi, Filosofia, 4 voll., Torino, Utet, 1995; 3, , 5 : , (, . 109185), , .

    5 , - , , , , -, , . , . (A. Campanile) - : , . , , , . . A. Campanile, Giovinotti, non esageri-amo (1929), Milano, Rcs Libri, 2001, p.187.

  • 67

    , - (. belief), (- , - ) -. , , -, , - , . , , , . , , -. , , -, . - , .

    , , - . :

    ,

    ?6,

    , - , , - , . - , - . - , , .

    : . - , - , .

    6 . M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford, Claren-don, 1997.

  • :

    68

    -: , - , , , - , , , . , - - : - ; - , , . - . , - , -. , .

  • 69

    4. -

    , , , , - -, , - , ( -), , ( -). , , , , , -1. , 2 - , .

    , , , (-) . . - -, . -

    1 - , , , , . , , . .

    2 , , (Lalande A., Vocabulaire technique et critique de la philosophie, fasc.121, P., 19021912; 11 ed., P., 1972 . ).

  • :

    70

    , , - . - . , , , - .

    , , -, . - , , - , , , . - . , , . , , , , , -, , , , , - , , .

    , , - , ,

    [] - , - 3.

    ,

    , , , , . , ,

    3 . N.D. Goodman, Mathematics as an objective science, in Amer. Math.

    Monthly. 1979. V. 86. 7. . 540551.

  • 71

    , - , . , - , , -, .

    , , -

    , , - , -, , , - , , , .

    , - , , , . - , , 4 - . - , , - , , .

    , , . , .

    ? - , , , , , (, , ), , , , - - -

    4 (David Bloor), - G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, Bologna, Il Mulino, 1998.

  • :

    72

    , , . - .

    , , . , , .

    , . , , , , , ( ) . 5. , , . - , -. - . , , - , .

    , .

    , , -

    (.. (G.H. Hardy)). , ,

    , - ( .. (J.H. Conway)).

    5 , -

    , , . - -, S.J. Wagner, Logicism, in Proof and Knowledge in Mathematics, . M. Detlefsen, London, Routledge&Kegan Paul, 1992, pp. 65109. , , , - , .

  • 73

    , . , . , , , .

    , - . , , . - : , ..

    , , - , . - . (Mark Steiner)6:

    ( ) , -

    - ,

    . (Morris Kline)7:

    . , , , .

    ,

    , , . , -

    , , , -. - , . , () ,

    6 . M. Steiner, Mathematical Knowledge, Ithaca, Cornell Univ. Press, 1975. 7 . M. Kline, Mathematics in Western Culture, Oxford, Oxford Univ.

    Press, 1953.

  • :

    74

    . , 2+2=4 (, 2 2) -, 2, 4 +. - , - - -8, - .

    8 , , -

    , . , , . - , -. , , , -, , , , .

  • 75

    5.

    ,

    -, , , - . -, , , - , . 1. , ( , , -2), 3.

    - (- , - , ----). : a-priori a-posteriori. 4. , a-priori, - . , -, , . . , , , 5. ,

    1 . E. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, in Communications on Pure and Applied Mathematics, 13, 1960, pp. 114.

    2 , 818. 3 , 523. 4 . New Essays on the A-priori, . C. Peacocke

    P. Boghossian, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000. 5 , 1.

  • :

    76

    , , - . , , , , - . a-posteriori, . a-priori.

    - , a-priori, -, 6, , , - , .

    -, . - , , , ? , , - . ( -) .

    - , , , , - . , , - . - , - . - , . , . , . , -, .

    6 , 1415.

  • 77

    6. ,

    ?, , ? ? , . - ? ? , , , , -, , - - . , , -. - , , - . - , ? , -1 , , , , - . , , , .

    -, , , , , . , - , -. , , ? , , , - , - , , ( ) - ()?.

    , , ,

    1 un dio fabbro, - () (. ).

  • :

    78

    . - -, , . . - , -, , - 2.

    , , , , , -, - - ? ? ? , -, , - - .

    - . , . , . 70, :

    , -

    . , - , .

    . ,

    , , -, .

    2 . S.P. Stich, From Folk Psychology to Cognitive Science, Cambridge, Mass., The MIT Press, 1983; . Dalla psicologia del senso comune alla scienza cognitiva, Bologna, Il Mulino, 1994.

  • 79

    , , .

    , , . , , . , , . , - , . . , , , , , , , . , - , . , . . - . . , . , . - . . . , , .

    , - . . , , , - . . -, , - , -, -, .

  • :

    80

    , , , . , , - - ( ), , . (, ) ( -), .. .

    , , , , - . , , , , , , , , . (explaining away), - , , -.

    , , , - . , - , , , , . , - .

    , . , - -, 1970- 3.

    3 . -

    (R. Hersh), .

  • 81

    7. , -

    , , ( , 1). , - . , - , , , -, , , , . , , . , , , . 2, , , .

    . - , -, -, , . ,

    1 R. Hersh, Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, in Advances in Mathematics, 31, 1979, pp. 3150, New Directions in the Philosophy of Mathematics, . T. Tymoczko, Princeton, Princeton Univ. Press, 1998, pp. 928. . P.J. Davis, R. Hersh, The Mathematical Experi-ence, Basel, Birkuser, 1981; . Lesperienza matematica, Milano, Comunita, 1986 R. Hersh, What is Mathematics, Really, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997; . Cosa e davvero la matematica, Milano, Baldini&Castoldi, 2001.

    2 C. Ferdinand Gonseth, Les Mathematiques et la realite, Paris, A. Blanchard, 1936.

  • :

    82

    , .

    , , , . . ( , ) -. , , , , - . , , - , , . , . . , .

    3 , , - . , . -, , , . , . , - , , , , . -, . -, , (, , - ). ,

    3 - I (. ).

  • 83

    - . , , , , - 4.

    , , , , - . -, ( -, , ). - , - , , - : -. , - ( -) . , , - , , . , .

    . - . , , ,

    4 , . , , , - - : , - E. Nelson, Predicative Arithmetic, Princeton, Princeton Univ. Press, 1986; , ; , ; -; , ., , Meta-mathematical Investigations of Intuitionistic Arithmetic and Analysis, . A.S. Troelstra, Berlin, Springer, 1973 ..; , , - . M. Steiner, Mathematical Knowledge.

  • :

    84

    .

    - , - , , - , , , . - , - , .

    , , , - , , , - .

    , , - , , , . , , - , , , -. . , - , , , , , , -.

    , , , -5. -, , , - . , -

    5 . . T. Tymoczko, New Directions, p. 4.

  • 85

    , , - . , ( ) , .

    , (-) . , , - . - . - , , , , . , - . , - , , - .

  • :

    86

  • 87

    8.

    - . . - ( ). - , - , , 1. - , 2.

    , , - . - , , - -, , - . , - ? , , , , , . , , , . , , , .

    1 , rigore () - rigor mortis ( ): Rigor mortis - (rigore), (. ).

    2 , .

  • :

    88

    , - , - , : , - , , . 3, . , , , . , -, - , .

    - - , , - , 4. .

    , , , , 5. -, , -, . , -. . , , , - . -

    3 C., , L. Brunschvicg, Les etapes de la philosophie mathe-matique (1912), Paris, A. Blanchard, 1981 F. Gonseth, Les Mathematiques et la realite, ., Les Fondements des mathematiques (1926), Paris, A. Blanchard, 1974.

    4 . G. Lolli, Capire la matematica, Bologna, Il Mulino, 1996.

    5 , , , - H. Meschkowski, Wandlungen des mathematischen Denkens, Braunschweig, Vieweg, 1956; . Mutamenti nel pensiero matematico, Torino, Boringhieri, 1963 ( - . ).

  • 89

    6. , , -. , , , . , - , , , , , , , , 7. , -, .

    , -, , - , , , , - . -. , -, , . - , , , . , , - - , - .

    , , -. , , , , , - . . ,

    6 S. Battaglia, Grande dizionario della lingua italiana, Torino, Utet ( .. , . . ).

    7 S. Feferman et al., Does mathematics need new axioms?, .

  • :

    90

    , , .

    , - , - . , . , - .

    , - . , , - - -. , , , - ( , ). - ( ), .

    , , , - pattern8.

    - , -. , - , , - - . , - .

    , - , , 9.

    8 S. Mac Lane, Mathematics: Form and Function, Berlin, Springer, 1986; M.D. Resnik, Mathematics as a Sience of Patterns, ; Pattern (.) , , , , , .. - . . .

    9 J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with no Object, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997.

  • 91

    , , , . -, - 10.

    - ( - ) , , . , , , - , a-posteriori , -, .

    XIX XX - , -11. , , , .

    , , - - , . , , (- , , - ), -. -, . , , - . , . - , , , , - .

    10 J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with no Object, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997.

    11 . G. Lolli, La matematica: i linguaggi e gli oggetti, Scienza e Filosofia. Saggi in onore di Ludovico Geymonat, . . C. Mangione, Milano, Garzanti, 1985, pp. 213240.

  • :

    92

    , , . , - , , () . - . - . - . - . -. -. -, , ? , ? , , , . - , , -, , .

    , - . - , , - , , , , , , . , , -. , - , - ( ). , - , , , - . . -, - , , . , , , , , - .

  • 93

    , , , , ? , , . - , , , . , , , . - -, -12. -, , , -, .

    , , , , , . , ,

    , ,

    , . [] . , , . - , . - , - 13

    12 R.L. Wilder, Mathematics as a Cultural System, Oxford, Pergamon Press, 1981. 13 S. Mac Lane, Mathematics: Form and Function, ., p. 407.

  • :

    94

    , , , , - , , , .

    , - . -, , , , -, , . , . , , -, , , , . -, - . -, , , , , -, , , () , - . , , , .

    , - . , , -, - - . - , , , . , -. , - , - , . .

  • :

    96

  • 97

    , -

    , , - . , , , - . -, .

    , , , - , . , - - . , , . .

    - , . - . - , - - . - , , , , , -, , (, , - ).

    , , , . , , , - , -

  • :

    98

    . , , - , . , - . - ,

  • 99

    1.

    , - , , 1 , , - , - , - - , , , -. , , . - ( ).

    - , , , - , -, -, . - (, ), . , - , , , . - . , , , , ,

    1 N. Goodman, W.V. Quine, Steps towards a constructive nominalism, Jour-nal of Symbolic Logic, 12, 1947, pp. 105122; . Verso un nominal-ismo costruttivo, in La filosofia della matematica, . C. Cellucci, Bari, Laterza, 1967, pp. 269298. Nelson Goodman, . Nicholas D. Goodman.

  • :

    100

    , . - , .

    , , , . , , - , , , - , , . , , , . , - , , , - 2.

    , , - , , . , , , - - , , . token3, type4, .

    , . - , . - , -, -, - ( , , --), -

    2 H.H. Fields, Science without Numbers, Oxford, Blackwell, 1980, C. Chihara, Constructibility and Mathematical Existence, Oxford, Oxford Univ. Press, 1990.

    3 . , , , . (. . ).

    4 , , , . (. . ).

  • 101

    . , ( - ). , -, , , - . , . , , , , (types), -5, , , , - .

    , - , - , , .

    , , , , , , , - . (1925) , , , . -, , - , , - , - 6. , , - , , , , .

    5 , ,

    (Philip J. Davis). 6 : -

    , , () (. ).

  • :

    102

    . . - 7:

    , : , , .

    , , .

    - , , , - . , ( -) . -, , , - , , , , - . , 8. , - ( - ).

    , - , , - .

    7 A. Robinson, Formalism 64, in Logic, Methodology and Philosophy of Sci-ence (Proc. Intern. Congress, Jerusalem 1964), Amsterdam, North Holland, 1965, pp. 228246.

    8 H.H. Fields, Science without Numbers, ., - , . S. Shapiro, Talking about Mathematics, . J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with No Object, .

  • 103

    - . , - , , . , -, , , , , , . , , .

    , , - , , , . , , , 9. 10 . - , , .

    , , , - . , , - , , . , - ( ), .

    9 W.O. Quine, Set Theory and its Logic, Cambridge, Mass., The Belknap Press, 1963.

    10 K. Gdel, Russells Mathematical Logic, in The Philosophy of Bertrand Russell, . P.A. Schilpp, Evanston, Ill., The Library of Living Philosophers (New York, The Tudor Publishing Company), 1944, pp. 125163, Philosophy of Mathematics, . P. Benacerraf, H. Putnam, Oxford, Black-well, 1964, pp. 211232, K. Gdel, Collected Works, vol. II, . S. Feferman et al., Oxford, Oxford Univ. Press, 1990, pp. 119141; . La logica matematica di Russell, in C. Cellucci, La filosofia della matematica, ., pp. 81112.

  • :

    104

    , , ( ). , , , ; - . , - , - -, 11. , , , : - - , 12.

    -. -, . . 13, , :

    , . , , , , . , , . , , , - . - (, , , ) , , - . , , .

    , , , - .

    11 J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with No Object, . 12 P.J. Cohen, Comments on the Foundations of Set Theory, in Axiomatic Set

    Theory, . D. Scott, vol. I, Providence, R.I., AMS, 1971, pp. 915. 13 E. Giusti, Ipotesi sulla natura degli enti matematici, Torino, Bollati

    Boringhieri, 1999, p. 75.

  • 105

    2. , , ,

    , , - , , , . , , - , - , .

    , , , , , , . - , , ( ), , - . - , , (IV .): , - 1.

    2: , , , -

    , , , , ,

    1 Proclo, Commento al primo libro degli Elementi di Euclide, . M. Timpanaro Cardini, Pisa, Giardini, 1978.

    2 R. Descartes, Mditations mtaphysiques (1641, 1647); . Meditazioni metafisiche, Bari, Laterza, 1986, p. 60; . . - 2 .: . . . . 2 / ., . . .. . .: , 1994. . 52. . .

  • :

    106

    , , , , , .

    -

    . - , , .

    , , . - . - , - . , . - , , , (- , ), . - .

    , , . (Penelope Maddy)3, , , , , - , . (Plentiful4 Platonism), , - , , .

    . - -5, -

    3 P. Maddy, How to be a naturalist about mathematics, in Truth in Mathe-matics, . H.G. Dales G. Oliveri, Oxford, Oxford Univ. Press, 1998, pp. 161180.

    4 , , (. . ). 5 - , -

    , , , .

  • 107

    6 - , .. ZFC , , , , , , ZFC , , . - , , . , , , -: .

    . - () . , . -, -. , , ( - ) .

    , -, -, , . - . , , . , , (, , ) , , , , - , , - , - . , -

    6 , .

  • :

    108

    , - , . , , . - .

    , , -. , -, . , -, . , , - , 7. , , , . - , , - , . , , , , .

    - - , -.

    , - . - , , ?

    -, , , , 8.

    7 , M. Steiner, Mathematical Knowledge, . 8 , -

    .

  • 109

    -9 .

    . - . -, , , - , , - . , - ( ) - - -10. , . 11,

    , , , -, , , - , , , , 1 2 [-] . , , - , .. , , - . -, , . .

    ,

    , . . . (Michael Resnik)12, - : 1) ,

    9 . L. Geymonat, Storia e filosofia dellAnalisi infinitesimale, Torino, F.lli Bocca, 1948.

    10 , , , - , - .

    11 J. Dieudonn, Les methods axiomatiques modernes et les fondements des mathmatiques, in Les grands courants de la pense mathmatique, . F. Le Lionnais (1948), 2 ed., Paris, A. Blanchard, 1962, pp. 543555.

    12 M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, .

  • :

    110

    , ; 2) , -, ( ) ; 3) - , , - . , , .

    - , , -. -. , - , - . -, , -, , - .

    , , -, . (Michael Dummett), 13:

    ( - )

    , 1) 2) , , - - , , , -, , , . , , -, , ( -). , , . - .

    ,

    , .

    13 . H. Putnam, What is mathematical Truth, in Philosophical Papers, 2 voll., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1975, T. Tymoczko, New Directions, ., p. 57; . Che cosa la verit matematica, in H. Putnam, Matematica, materia e metodo, Milano, Adelphi, 1993, pp. 8098.

  • 111

    , - , .

    . . . - , , - -, , , , . , , - ( , ). , , , -, .

    , , , - . , - , , . - ? , - , , , -? , , , , - . , - .

    - , - , -, , - . - . , -, -, . , - ( ) ,

  • :

    112

    , 14.

    , -15, -, , (), , -. , ( ) -, , , -. , , . -, - . , , . -, , , .

    - Memento Tarski16.

    14 ,

    , - .

    15 , -, . M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, ., cap. 2.

    16 , Memento mori (. . ).

  • 113

    3. -

    , , , 1. , - , . (Roger Penrose) . (Alain Connes)2.

    , , , . : , .

    - , -3, , 4:

    ,

    . , , - , , - , , , .

    1 , .

    ( ) , , .

    2 R. Penrose, The Emperors New Mind, Oxford, Oxford Univ. Press, 1989; . La nuova mente dellimperatore, Milano, Adelphi, 1990 Shadows of the Mind, Oxford, Oxford Univ. Press, 1994; . Ombre sulla mente, Mila-no, Mondadori, 1998; J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, Paris, Odile Jacob, 1989; . Materia e pensiero, Torino, Bollati Boringhieri, 1991.

    3 , Paul Bernays, Sur le Platonism dans les mathmatiques, in LEnseignement Mathmatique, 34, 19351936, pp. 5269.

    4 Ch. Hermite (1894) in Corrspondance dHermite et Stieltjes, Paris, Gauthier-Villars, 1905, t. II, p. 398.

  • :

    114

    5:

    ,

    , , , .

    . -

    , , - . , , - , , , , . - . - , , . -, .. , , , , , () . .

    , , -, ? !

    .

    . - , , . . , .

    , - , - . , , (),

    5 M. Steiner, Mathematical Knowledge, ., p. 87.

  • 115

    -. . , - . - , . , , , - . , , .

    , . - , , - , . - , , , , .

    , - , , -. . . . , -, contra , , , -.

    , : , , , , - , , .

    , , , 6:

    6 G.H. Hardy, A Mathematicians Apology, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1941, pp. 6364.

  • :

    116

    , , , , -.

    7: .

    , , , , - . - .

    , ,

    , , . , , - 8:

    -

    , , , , , .

    , , , -. - , - , - , , , .

    ,

    , -. , , - , , , ,

    7 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 20. 8 K. Gdel, Russells Mathematical Logic, . -

    , , , , - .

  • 117

    , , , , .

    , , . -9. - , - , . , , - , , , - 10:

    ,

    , - , .

    ,

    , , () . , , , , , - - . , :

    . -

    .

    9 P. Benacerraf, Mathematical truth, in Journal of Philosophy, 70, 1973, pp. 661680, P. Benacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathemat-ics, 2 ed., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1983, pp. 403420. - , , . P. Benacerraf, What Mathematical Truth could not be I, in The Philosophy of Mathematics Today, . M. Schirn, Oxford, Clarendon Press, 1998, pp. 3375.

    10 A. Dresden, Some philosophical aspects of mathematics, in Bulletin AMS, 3, 1928, pp. 438452.

  • :

    118

    , . -

    . res cogitans res extensa . : , res extensa, , , ; , , , , , , , , , - , .

    , , , -. - . , -, , -, - , - . - ( ).

    .

    , , . , , , . , , - , , , , .

    .-. (J.-P. Changeux) [ -

    ] . .

  • 119

    , -

    . ,

    -. -, 11

    , -12. , - , , , . , , (-) .

    , , , , , , , - - , , 13. . - , 14.

    11 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., pp. 3234. 12 Ch. Parsons, Mathematical intuition, in Proceed. Aristotelian Society, 80,

    19791980, pp. 145168, The Philosophy of Mathematics, . W.D. Hart, Oxford, Oxford Univ. Press, 1996, pp. 95113.

    13 M. Steiner, Mathematical Knowledge, ., ch. 4. 14 K. Gdel, What is Cantors continuum problem?, in Amer. Math. Month-

    ly, 54, 1947, pp. 515525, P. Be-nacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathematics, ., pp. 258273 - K. Gdel, Collected Works, vol. II, ., pp. 254270; . Che cos il problema del continuo di Cantor?, in C. Cellucci, La filosofia della matematica, ., pp. 113136.

  • :

    120

    , , , , , ( , - ).

    , - ; , . , , , , , , , , , - , , . - , . , , --

    , -, . -, , , , - - , . . , , , , ( - ) , , , , , , , , - . , , -, , . , , , - - , - , . , , , -, .

    - ,

    , , -

  • 121

    , , - . , - - , (. theory ladeness) 15.

    , , . , - - . , - , . , - :

    , -

    ( , , ) - . - , , , , - .

    , , , , , , , - , ( ), - . , - .

    , , -

    , . , , . -

    15 (W. Sellars, N.R. Hanson) . G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, .

  • :

    122

    , , -, . , , . , , [ - ] , .

    - . - 16, :

    ,

    . , , ? , - . , - . . , .

    , , .

    - , , - , .

    - , , petitio principii17. - , , - . - . - , , . , , . , , . - , ,

    16 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 28. 17 , ,

    (. . ).

  • 123

    , .

    -. , , . , - .

    . , -, :

    , , ,

    , , , , , -18.

    , ,

    , - .

    , , , , . , - (. unassailable truths), 19:

    , ,

    ( -, - ). .

    - , , . - , , -

    18 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 34. 19 R. Penrose, Shadows of the Mind, ., p. 103.

  • :

    124

    , - .

    , -

    , , - , , , , , 20.

    ,

    , , , , -. .

    , , , - , -, . - , , , , , , - . , - - .

    , . , - . . , , : . -, , -. , , - .

    20 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, .

  • 125

    -. , , , .

    . ?21 [ ] ?22 , , ?

    - , ?

    , , -, , , , , , , , - , , . , . , , - , , -, , . - . , , . -, , .

    , , -, , , - , , , . , - , , , , .

    , , , , -

    21 , (), - , , - -, , .

    22 M. Steiner, Mathematical Knowledge, .

  • :

    126

    ? , - 23,

    , ,

    , - , . , , , , - . , , , - , - .

    , - , -, , . , - 24.

    , -

    , . , . , . , , - . , , - - . , . , , - . , , , .

    23 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 34. 24 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, .

    . , , .

  • 127

    , , , -, . , - .

    ,

    , .

    - , -, . , - .

    . . politically correct, - . , , , . , - ( , , - , , , -, ).

    , , , , , -, , .

    - . , , , , ( , - ), , , , . . , , , - . - !

  • :

    128

    , , , . , , , , . , -, .

    , , , - , , . . - , . , , , , . . , , , .

    , - , , -, , 25:

    . -. , , , .

    . , , - , , - . - ? , - , , -

    25 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 20.

  • 129

    , , -?

    , , . , -. , , -, , - , - . , , , , , . , , - , , , , -, , , , . , , - ?

    , - , - . , - , , (, ) - . -26:

    , -

    . , , . , , -

    26 J.-P. Changeux, A. Connes, Matire penser, ., p. 23.

  • :

    130

    . , .

    ,

    , - . , , - (Poincar), , , - . , , , , ( ), , , , . , , , - . , , , n - ||||| n . , - , , .

    , , , , . - . . .

    , - . , , , , - - , - - , . - . , , ?

    , -

  • 131

    , - ( - , - , ). , , , - . , - , - , -, -, . , , -, - , , - , , . , , -, , , - . , - , -, , - , - .

    , , , , , .

    , , , , , - , , - . , -, , , -

  • :

    132

    , , , - , - - . , - , , , - , , . () .

    , , - , - , , , . - , - .

    27. , , - , . , , . , , , , , 28. , -, . , - , - ( , - , - -, , , -

    27 . G. Lolli, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il Mulino, 1991.

    28 . . S. Shapiro, Foundations without Foundationalism. A Case for Second-Order Logic, Oxford, Oxford Univ. Press, 1991.

  • 133

    . 29 -). , , , , , - - . , . . - .

    , , . , , , , . , , , - , , -, -, , , . , - .

    - . , - . , -, , -. , , , - , , , - . - , , -- , . ,

    29 G. Lolli, Da Zermelo a Zermelo, in Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, Bologna, Il Mulino, 1985, cap.VII.

  • :

    134

    . , , , -, , -.

    - , , - , , - . , , - , , , - . 30 :

    , -

    , , , , , , , - , , . , - - , , , , , , . .

    , , ,

    . - , . -, , , .

    , , , , wishful thinking, , , , ( ). - , - . , , , -

    30 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, .

  • 135

    , . . . -, , , , . - - , , , .

    , , - -. , () -. , , - . , , , - . , , - , , , - . - - , , , . - ? , , - - . , , - - , . -, , - . - .

    , - , - , - , , , , , . , , . -, ?

  • :

    136

    , , , .

    . , - , , -. , , , - .

    , . . , , , , - .

    . , . , , - 2 = 2, . . , , , , . , , - . , ( ), - .

    , , , . . , , , , , , , . 31.

    31 G. Lolli, Visione e logica nella dimostrazione, in Lettera Matematica Pristem, 1995, n. 18, dossier pp. XXX.

  • 137

    . , , - , . . , , - , . , , - , , , , . -, , 2 = 2. , 2 -, , -. , , , , , - -, , , - ( ). , .

    , , , , . -, , . - , -, . , ? , , - . : ?

  • :

    138

    , . (William Tait) , - 32. - , - .

    , , , - , , , . , - , . - . , - , . , - . , - , , , , - 33. , , , - - . , , .

    , - , , , , , , , - . , . . , - . , ,

    32 W.W. Tait, Truth and proof: the platonism of mathematics (1986), in W.D. Hart, The philosophy of mathematics, ., pp. 142167.

    33 , , . (Richard Hamming).

  • 139

    - . - . , , , , . , , - . ? - , , , - ( ).

    -34. , . -- , - . , , , - , - , . - , . , , , - . - , , , -, , .

    , , , . . - - , , -,

    34 . S. Dehaene, The Number Sense, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997; . Il pallino della matematica, Milano, Mondadori, 2000; . - . 6 G. Lolli, La mente, il cervello, la matematica, in Bolletino UMI, 3-A, 2000, n. 2, pp. 126.

  • :

    140

    , - , - . , , - . - . , , , , , - 35. , , . , , - -36.

    35 M. Velman, Understanding Consciousness, London, Routledge, 2000. 36 G.M. Edelman, G. Tononi, Consciousness How Matter becomes Imagi-

    nation, London, Penguin Books, 2000. - .

  • 141

    4. , , -

    , , , , . - , . (18591938). , . . , . . -1. , , , , - . , , , , 2.

    . . , . - Das Kontinuum, 1918, . - - 3. ,

    1 , , . (O. Becker) . (F. Kaufmann). , , O. Becker, Mathematische Existenz. Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phnomene, in Jahrbuch fr Philosophie und phnomenologische Forshung, 8, 1927, pp. 439809 Beitrge zur phnomenologische Begrndung der Geometrie und ihrer phy-sikalischen Anwendungen, ibidem, 6, 1923, pp. 385560; F. Kaufmann, Das Un-endliche in der Mathematik und seine Ausschaltung, Wien, Franz Deuticke, 1930.

    2 R. Tieszen, Gdels path from the incompleteness theorems (1931) to phenom-enology (1961), in The Bulletin of Symbolic Logic, 4, 1998, n. 2, pp. 181203.

    3 D. van Dalen, Four letters of E. Husserl to H. Weyl, in Husserl Studies, 1, 1984, pp. 112.

  • :

    142

    , , -, .

    - - 4.

    :

    , , , - -, -, - ; -;

    - ; - ;

    ; , ;

    , ; , -, ; , , ; ,

    - , - ;

    - ; - ; , , -, , ;

    , ; , - , , , , .

    4 G.-C. Rota, Discrete Thoughts, Basel, Birkhuser, 1986; . Pensieri discreti, Milano, Garzanti, 1993, cap. 12, 13, 20.

  • 143

    . - , - , . , , , . , , , ( , , , , ), , , , - . - , , , - . , -, , 5.

    , , -, , , . , , .

    , , , .

    , , , - . - . , -. - : - , -

    5 R. Tieszen, Gdels path, .

  • :

    144

    , - ; , ; ; - .

    . , , , . , ( , -, ) , , . , --, - () . , , .

    , , , - , - , , , - , [] , , , , , 6.

    , , , - . ,

    6 . R. Tieszen, Gdels path, .

  • 145

    . , , .

    .-. , . . , ( , - ) , - . - .

    Fundierung7 - 8. - . . -, , . - , - . , , .

    , Fundierung - - . , -, . - (. pattern recognition) - . , , - . , , , - . , ( )

    7 , , (. . -).

    8 E. Husserl, Logische Untersuchungen, Halle, M. Niemeyer, 1922; . Ricerche logiche, . G. Piana, Milano, Il Saggiatore, 1988.

  • :

    146

    . - Fundierung -, . , -, , . , , , - , .

    , , -. , , -. , , , , , - 9. , , , , , - . -, , -. , , : , , , , 10.

    , , , , - , . -. , . , , .

    9 G.-C. Rota, Pensieri discreti, ., p. 108. -

    J.-P. Sartre, Che cos la letteratura, Milano, Il Saggiatore, 1963. 10 G.-C. Rota, Pensieri discreti, ., cap. 13, Husserl e la riforma della logica.

  • 147

    5. -

    , .

    -1:

    , , , -

    (, ) , , , , . , , -, - ( , , ), - . -, . - , , , -, .

    . -

    , . , -

    , 2. , 3,

    1 K. Gdel, What is Cantors continuum problem?, .; - , . 120.

    2 . G. Lolli, Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, . Dagli insiemi ai numeri, ., P. I; , .

    3 P. Maddy, How to be a naturalist about mathematics, . P. Maddy, Naturalism in Mathematics, Oxford, Clarendon Press, 1997.

  • :

    148

    - , , , . , - , , , , -

    ? , - . - : - , , , . , -, , , - , ( - - ). , , , , .

    -

    , - , - , -. - . : , - , , - -, - 4.

    , . . .

    4 W.O. Quine, Five milestones of empiricism (1975), in Theories and Things, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1981, pp. 6272.

  • 149

    , , , (, , 5, - ), , . , , : . , ( , ) , ( , - ). , - - , .

    , , . , - , - , . - , , -. , . a posteriori, .

    V=L. , . , - , . - , L. L , , - (- -, -). -

    5 Introduzione al naturalismo filosofico contemporaneo, . E. Agazzi, N. Vassallo, Milano, Angeli, 1998.

  • :

    150

    , - . -, , . - . . , - , . , , , XVIII , - . . , , , , , XIX .

    -, , , , , . , , , - V=L, - , , . V=L . V=L. - .

    , V=L, , , . , - -, . . - , , . ,

  • 151

    V=L , - .

    -, , . , , . , - , . V=L .

    , , , - , , - (- ) , . , , , , , , -. - , , , , -, . , , , . , , , .

    , . (Donald A. Martin), -, , - V=L, -, , , . - , , . -

  • :

    152

    ( , ). , . -, , , - - .

    , - , V=L. -, , - - , .

    - . , - 6, , , , - , , , .

    , -, , . , - , - , , -, , - 7. , , , , , , - . , , -

    6 . G. Lolli, Definability before and after Gdel, in Changing Images in Mathematics, . U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, London, Routledge, 2001, pp. 207221 G. Lolli, Da Zermelo a Zermelo, .

    7 . G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, .

  • 153

    , , , , .

    , , -, , , . - , - , .

    , , -, , , , . - , , , ( )8.

    ,

    - , , . , - , Z, 9. -, ! - - , .

    8 H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, Prinseton Univ. Press, 1949; . Filosofia della matematica e delle scienze naturali, Torino, Boringhieri, 1967, p. 289. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Mnchen, Leibniz Verlag, 1926.

    9 Z ; -, [. ].

  • :

    154

    , . (George Polya) 1918 10. , , ( -) , - (). 1940 , , , , , , .

    , , , - , - . .

    ( - - ) . -, , (. seamless web), . - . , - - - . . , - . - , . , , - -

    10 Hao Wang, From Mathematics to Philosophy, New York, Humanities Press, 1974.

  • 155

    , . , , , , , , . - , , , , - , .

    11 . , -, . - . , , - , . - , , , , , - .

    . , , - . . - , , , , . - . , , , , , , . - , , , , , - .

    , , - , , , , . -

    11 H. Putnam, Philosophy of Logic, New York, Harper Torchbooks, 1971. Philosophia Mathematica, 5, 1997, n. 3, .

  • :

    156

    , - . , , - , , , , . , - , , . -, .

    , , , - . - , , , - , . - .

    , , , , . , , , . , , , , . ( , ), .

    - . , , , . , , , , -

  • 157

    , , - , -, , , 12.

    , , , . , - , , - , , , 13. , . , , , - ( , - ), 14. . (D.O. Hebb) - , 15, , , . , , - .

    12 M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, . 13 P. Maddy, Realism in Mathematics, Oxford, Oxford Univ. Press, 1990. 14 P. Maddy, Perception and mathematical intuition, in The Philosophical

    Review, 89, 1980, pp. 163196, W.D. Hart, The Philosophy of Mathematics, ., pp. 114141.

    15 D.O. Hebb, The Organization of Behavior: A Neuropsychological Ap-proach, New York, Wiley, 1949; . Lorganizzazione del comporta-mento. Una teoria neuropsicologica, Milano, Angeli, 1975.

  • :

    158

    , -, , . , , - . (Philip Kitcher)16. -, , , , : - , ; - - , , , -. , -, . , , - , , , -- , , , . , .

    16 Ph. Kitcher, Mathematical naturalism, in History and Philosophy of Mod-

    ern Mathematics, . W. Aspray, Ph. Kitcher, Minneapolis, University of Minnesota Press, 1988, pp. 293325.

  • 159

    6.

    , - , . , , - . , , , , , .

    , - . - , - , - , 1 -, ( , , . ).

    , . , -, . -, , .

    1 G. Frege, Begriffsschrift, Halle, Nebert, 1879; . Ideografia, in G. Frege, Logica e aritmetica, . C. Mangione, Torino, Boringhieri, 1965, pp. 103206; : , . , - (). - , . -.

  • :

    160

    - , , -, , . , . , . (18311916), , , , , .

    , , , 2:

    , -

    , . , , - , , , . (, ) , , - , , , . , - , :

    - , , .

    , , ,

    2 R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen (1887), ed. ingl. in R. Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, New York, Open Court, 1901, New York, Dover, 1963; . - Che cosa sono e a che cosa servono i numeri?, in R. Dedekind, Scritti sui fon-damenti della matematica, Napoli, Bibliopolis, 1982, pp. 79128.

    : : . . -: . , 1905.

  • 161

    . , . , , - , , . .

    , - , , , . -. , , .

    3:

    , -, , , , - , - , . - , .

    -, , , . - -, . - ; -, 4.

    3 Stetigkeit und Irrationale Zahlen (1872), in Essays, ., pp. 127; .

    Continuit e numeri irrazionali, in R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica, ., pp. 6378; . . , , , , 1923 ( . ).

    4 . , . -

  • :

    162

    , . , - . , , , , , , - .

    . , - , - . - , , , , , - ; -, , . , , , .

    - , , - ( ), -. - . - , -5 , - 6. , - ?

    5 G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, ., cap. 4.

    6 , , (H. Keferstein), - . J. Van Heijenoort, From Frege to Gdel, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1967, pp. 98103.

  • 163

    , , . - , , . , , , - , , . [ , 59 . ] , , - , . , - , , , . , , , , , , , , , , , , , . , - , - , - , , - . , , ( ) .

    , , , , , . , . - . , , , , - . - , , , . , , , -

  • :

    164

    . - . , , , - .

    , , - , . ( - , -), , , , - .

    1893 , - , , , - , Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 7. - , -. , , , , , , , - , , 79 () . , - .

    - , - , , , -, - , -. -, . -

    7 G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, Kbner, 1884; . I fondamenti dellaritmetica, in Logica e aritmetica, ., pp. 211349.

  • 165

    , . , , .. . -, , -, , . 79 , - , , -, .

    , , , , , , , . , , , , -. , .

    - , , . , -, 8.

    , . - , . , , , , - -. , , . ( ) , , , -, , -

    8 . , , . 72, 5.

  • :

    166

    . , , .

    -, , - , . - . - , , -, . - , . , .

    . , -, . -, , . , , - , . , - , , , . - , , , . - , - , , , , , , .

    , .

  • 167

    , . , , , , -, . - - , , - , -, - , , , - , .

    . , , 9. . , .

    , , . - , , -. , - , - ? , . . , S , s , s' - , s , . , - . , - . - -

    9 H. Weyl, Das