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CALCULO INTEGRAL
PORQUE ESTUDIAR CALCULO INTEGRAL
la integral definida es la herramienta para calcular y definir diversas magnitudes, como áreas, volúmenes, longitudes de trayectorias curvas, probabilidades, promedios, consumo de energía, pesos de diferentes objetos, fuerzas del agua contra las compuerta de una presa, por mencionar algunas.
TEMAS
Teorema fundamental del cálculo.
Métodos de integración e integral indefinida.
Aplicaciones de la integral.
Series.
En este tema: Teorema Fundamental del Cálculo,
estudiaremos las sumas de Riemann, herramienta útil para relacionar las integrales definidas con algunas aplicaciones,
estableceremos la relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial
aplicaremos los teoremas y propiedades de la integral para evaluar integrales definidas.
TEMA 1
SubtemasMedición aproximada de figuras amorfas.
Notación sumatoria.
Sumas de Riemann.
Definición de integral definida.
Teorema de existencia.
Propiedades de la integral definida.
Subtemas, continuación
Función primitiva.
Teorema del valor intermedio.
Teorema fundamental del cálculo.
Cálculo de integrales definidas básicas.
La integral, al igual que la derivada surge como un límite de las finas aproximaciones sucesivas a la cantidad de interés.
La idea detrás de la integral es que podemos calcular tales cantidades descomponiéndolas en partes pequeñas y luego sumando las contribuciones de cada parte.
Conforme el número de partes tiende a infinito, el límite da como resultado una integral definida.
Introducción Medición de área de figuras amorfas
Por equipos, determine el área aproximada de las dos figuras amorfas presentadas.
Proponga una cota superior y una inferior para ambas figuras.
2. Notación sumatoria
Presentaremos una notación conveniente para la suma de un gran número de términos.
Después de definir la notación y algunas de sus propiedades, veremos qué ocurre cuando el número de términos tiende a infinito.
Sumas finitas y la notación sigma
12 + 22 + 32 + 42 +52 + 62 + 72 +82 = k 2k=1
8
∑
f (1)+ f (2)+ f (3)+!+ f (100) = f (k)k=1
100
∑
Sumas finitas y la notación sigma
akk=1
n
∑ = a1 + a2 +!+ an−1 + an
índice k inicia en 1
valor final del índice k = n
símbolo de sumatoria
ak es una fórmula para el k-ésimo término
Expresar la suma término por término y obtener el valor numérico
kk=1
5
∑
−1( )k kk=1
3
∑
kk +1k=1
3
∑
k 2
k −1k=4
5
∑
La misma suma con indice, límite y expresión diferentes
2k +1( )k=0
4
∑ = 2 ⋅0+1( )+ 2 ⋅1+1( )+ 2 ⋅2+1( )+ 2 ⋅3+1( )+ 2 ⋅4+1( )= 1+ 3+5+ 7 + 9
2k −1( )k=1
3
∑ = 2 ⋅1−1( )+ 2 ⋅2−1( )+ 2 ⋅3−1( )+ 2 ⋅4−1( )+ 2 ⋅5−1( )= 1+ 3+5+ 7 + 9
2k + 7( )k=−3
1
∑ = 2(− 3)+ 7( )+ 2(− 2)+ 7( )+ 2(−1)+ 7( )+ 2 ⋅0+ 7( )+ 2 ⋅1+ 7( )= 1+ 3+5+ 7 + 9
Reglas algebraicas para sumas finitas
ak + bk( ) = akk=1
n
∑ + bkk=1
n
∑k=1
n
∑1. Regla de la suma
ak − bk( ) = akk=1
n
∑ − bkk=1
n
∑k=1
n
∑2. Regla de diferencia
c ⋅ak = c ⋅ akk=1
n
∑k=1
n
∑3. Regla del múltiplo constante
ck=1
n
∑ = n ⋅c4. Regla del valor constante
¿cuántos términos tiene una sumatoria?
Si y obtenga los valores de n
∑k=1
ak = − 5m
∑k=1
bk = 6
a)
b)
c)
d)
n
∑k=1
3ak
n
∑k=1
bk
6n
∑k=1
2(ak + bk)n
∑k=1
(bk − 2ak)
Ejercicio
Algunas sumas importantes
kk=1
n
∑ =n n+1( )2
Los primeros n enteros
8
∑k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
= (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5) + (4)
= (9) + (9) + (9) + (9) = 4 ⋅ (9) =8 ⋅ 9
27
∑k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
= (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5)
= (8) + (8) + (8) + (4) = 3 ⋅ 8 + 4 = 24 + 4 = 28
=562
=7 ⋅ 8
2
Algunas sumas importantes
kk=1
n
∑ =n n+1( )2Los primeros n enteros
k 2k=1
n
∑ =n n+1( ) 2n+1( )
6= 2n
3 + 3n2 + n6
Los primeros n enteros al cuadrado
k 3k=1
n
∑ =n n+1( )2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2Los primeros n enteros
al cubo
Evaluar las sumas usando las propiedades y las fórmulas anteriores
a)
b)
c)
d)
10
∑k=1
k2
7
∑k=1
(−2k)
5
∑k=1
k(3k + 5)
36
∑k=9
k
EjerciciosLas sumas para estimar el área de una región plana
Iniciemos con el cálculo de una aproximación al área de la región que se encuentra entre la gráfica de y eje eje entre y
f(x) = − x2 + 5x x = 0 x = 2
Solución 1:Usaremos cinco rectángulos para realizar la aproximación.
El intervalo [0,2] lo dividimos en cinco intervalos, cada uno
de tamaño , de manera que los puntos terminales de
cada intervalo son con
2 − 05
=2525
i i = 1,2,3,4,5
Ahora podemos dibujar los cinco rectángulos, todos con base
2/5 y con altura f ( 25
i)
Las sumas para estimar el área de una región plana, cont.
El área de cada rectángulo es: 25
⋅ f ( 25
i)
Desarrollando tenemos: 5
∑k=1
(2 −8
125i2) =
16225
= 6.48
5
∑k=1
(−8
125i2 + 2) =
16225
= 16.48
La suma de las áreas de los cinco rectángulos:
5
∑k=1
f ( 25
i) ( 25 )
Solución 2:si consideramos los puntos iniciales en lugar de los puntos terminales de
cada intervalo, estos son con ó
con .
25
i i = 0,1,2,3,425
(i − 1) i = 1,2,3,4,5
El área de cada rectángulo es: 25
⋅ f ( 25
(i − 1))
Desarrollando tenemos: 5
∑k=1
(−2
125⋅ (4i2 − 8i − 121)) =
20225
= 8.08
La suma de las áreas de los cinco rectángulos:
5
∑k=1
f ( 25
(i − 1)) ( 25 )
Usamos la segunda opción ¿porqué?
Las sumas para estimar el área de una región plana, cont.
Solución 1:
Analicemos que resulta cuando el número de intervalos tiende a infinito.
El punto terminal de cada intervalo es ahora: 2n
i
Consideramos n intervalos de manera que cada uno es de ancho
2 − 0
n=
2n
La suma de las áreas de los n rectángulos:
n
∑i=1
f ( 2n
i) ( 2n ) =
n
∑i=1 [5 − ( 2
ni)
2
] ⋅2n
=n
∑i=1 ( 10
n−
8i2
n3 )La suma desarrollada:
223
−4n
−4
3n2
limn→∞ ( 22
3−
4n
−4
3n2 ) =223
Solución 2:
Analicemos que resulta cuando el número de intervalos tiende a infinito.
El punto terminal de cada intervalo es ahora: 2n
(i − 1)
Consideramos n intervalos de manera que cada uno es de ancho
2 − 0
n=
2n
La suma de las áreas de los n rectángulos:
n
∑i=1
f ( 2n
(i − 1)) ( 2n ) =
n
∑i=1 [5 − ( 2
n(i − 1))
2
] ⋅2n
=n
∑i=1 ( 10
n−
8i2
n3 )La suma desarrollada:
223
+4n
−4
3n2
limn→∞ ( 22
3+
4n
−4
3n2 ) =223
InvestigaciónHacer un resumen sobre las sumas superior e inferior (página 6). Incluir la solución de uno de los ejercicios del texto (1.1.33 a 36).
1.3 Sumas de RiemannEntenderemos que es una suma de Riemann y su interpretación geométrica.
Términos importantes:
- partición
- subintervalo
- norma de la partición
- partición regular
Sumas de RiemannConsideremos una región acotada por la gráfica de una función y el eje x en el intervalo [a,b].
Partición a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 = b
es el ancho del subintervalo Δxi[xi−1, xi]
La suma de Riemann se definen
∑i=1
f(ci)Δxi
Donde es cualquier punto en el subintervalo
ciΔxi
EjemploFunción f(x) = 2x3 + 3x2 − 5
Partición S = {−3, − 1, 0, 2, 3, 5}
Puntos intermedios c = {−2, − 0.5, 1, 2.5, 4}Valores f en puntos intermedios
Ancho de subintervalos Δx = {2, 1, 2, 1, 2}
f(−1) = 3.57
f(1.5) = 1.45
f(3) = − 0.39
f(5) = − 2.25
f(6.5) = − 2.41
Suma de Riemann5
∑i=1
f(ci)Δxi =9816
EjercicioFunción f(x) = 0.03x3 − 0.2x2 − 0.8x + 3
Partición S = {−1, 1, 5, 3, 5, 6.5, 8}Puntos intermedios c = {−1, 1, 5, 3, 5, 6.5}
Valores f en puntos intermedios
Ancho de subintervalos Δx = {2.5, 1.5, 2, 1.5, 1.5}
f(−1) = 3.57
f(1.5) = 1.45
f(3) = − 0.39
f(5) = − 2.25
f(6.5) = − 2.41
Suma de Riemann5
∑i=1
f(ci)Δxi = 3.33
Investigar
- Concepto de norma de una partición
- Concepto de partición regular
Ejercicio adicional
Función en [0,1]f(x) = 1 − x2
Partición regular de 8 intervalos
Puntos intermedios, el inicio de cada subintervalo
Ancho de subintervalos Δx =
4. La integral definida
Comprender que la integral definida proviene de una suma de Riemann.
Calcular integrales definidas por medio de la definición.
Aplicar las propiedades de la integral definida en el cálculo de integrales.
Definición de integral definida
Se dice que un número es la integral definida de f en [a,b], donde es el límite de las sumas de Riemann
LL
si el límite existe para toda partición de norma y cualquier elección de ∥Δ∥ ci
lim∥Δ∥→0
n
∑i=1
f(ci)Δxi
∫b
af(x)dx = lim
∥Δ∥→0
n
∑i=1
f(ci)Δxi
Ejemplo, cálculo de integral definida por la definición
Evaluar la integral ∫1
−22x dx
Solución:Por conveniencia, elegir una partición regular de n subintervalos
Δxi = Δx =1 − (−2)
n=
3n
y como punto intermedio de los subintervalos, el punto terminal de cada uno de ellos
ci = a + Δx ⋅ i = − 2 +3n
i
f(ci) = 2 ⋅ ci = 2 (−2 +3n
i)∫1
−22x dx = lim
∥Δx∥→0
n
∑i=1
f(ci)Δxi
Δxi =3n
Ejemplo, cálculo de integral definida por la definición, cont
Primero calcularemos la sumatoria.
n
∑i=1
f(ci)Δxi =n
∑i=1
f(ci)Δx =n
∑i=1
2 (−2 +3n
i) ( 3n ) =
=6n
n
∑i=1
(−2 +3n
i) =6n (−2
n
∑i=1
+3n
n
∑i=1
i)=
6n [−2 ⋅ n +
3n ( n(n + 1)
2 )] = − 12 + 9 +9n
y ahora el límite, ya que la partición es regular, equivale a ∥Δx∥ → 0 n → ∞
limn→∞
n
∑i=1
f(ci)Δxi = limn→∞ (−12 + 9 +
9n ) = − 3
Ejercicio, cálculo de integral definida por la definición
Evaluar la integral ∫1
0(1 − x2) dx
5. Integrabilidad de funciones
f (x)dxa
b
∫
Si una función f es continua en el intervalo [a,b], o sí tiene a lo más un número finito de discontinuidades de salto en el intervalo, entonces la integral definida
existe y f es integrable en [a,b]
Teorema de existencia
Video sobre teorema de existencia
https://www.youtube.com/watch?v=tC_zf2fXNOE
Importante
- Una integral definida es un número. - Una integral indefinida es una familia de
funciones. - Si la función es continua en [a,b] o ….,
entonces es integrable. - Si la función es integrable, no necesariamente
es continua. - ¿Bajo que condiciones la integral definida
corresponde al área de una región?
La variable de integración
f (x)dxa
b
∫
El valor de la integral definida en un intervalo particular depende de la función, y no de la letra que se elija para representar la variable independiente.
f (t)dta
b
∫ f (u)dua
b
∫La variable de integración es una variable muda y representa números reales en el intervalo [a,b]
6. Propiedades1. Orden de integración: f (x)dx
a
b
∫ = − f (x)dxb
a
∫2. Intervalo de longitud cero: f (x)dx
a
a
∫ = 0
3. Múltiplo constante: c ⋅ f (x)dxa
b
∫ = c ⋅ f (x)dxa
b
∫4. Suma y diferencia:
f (x)± g(x)( )dxa
b
∫ = f (x)dxb
a
∫ ± g(x)dxb
a
∫
Propiedades, cont.
5. Aditividad:
f (x)dxa
b
∫ + f (x)dxb
c
∫ = f (x)dxa
c
∫
7. Dominación:
⇒ f (x)dxa
b
∫ ≥ g(x)dxa
b
∫f (x) ≥ g(x) en [a,b]
6. Desigualdad máx-min: Investigar