Gasdynamik idealer Gase X - 1 - uni- · PDF fileGasdynamik idealer Gase X - 1 1 Eindimensionale, isentrope Strömung / Lavaldüse (stationäre Strömung) const. w p = κ− ρ κ +

Gasdynamik idealer Gase X - 1

1 Eindimensionale, isentrope Strömung / Lavaldüse (stationäre Strömung)

.constpw=

ρ−κκ

+12

2

R

Rpρ−κ

κ=

1

Ausflußgleichung nach Saint Venant / Wantzel:

−

−=

−κ

κ

ρκκ

1

11

2RR

R

Ppp

w

ψ⋅ρ= RRpAm 2&

−

−κκ

=ψκ+κ

κ12

1 RR pp

pp

(Ausflußfunktion)

Kritisches Verhältnis:

41

15280

12

,, =κ

−κκ

=

+κ=

R

krit

pp

=

ρρ

κ

krit

R

=

−TT

krit

R

κκ 1

ψκ

κ

κκ

max =+

+−

22

1

11

Schallgeschwindigkeit / Machzahl:

κ−κ

κ−κ

∗

=

+κ=

ρκ=

1

2

1

22

21

RR

R ppa

ppapa

( )12

11 2

22

−−κ

−=

∗

∗

Ma

MaMa

R


fpRRρ

( )f aR ( )f a L ( )f wmax

a 2 =R

R

R

ppp

ρ

κ

κ−κ 1

2

1

RR

app κ

−κ

2

1

21

LR

app κ

−κ

+κ

2

1

21

maxwpp

R

κ−κ

−κ

aL2 = 2

1κ

κ ρ+pRR

21

2

κ +aR

aL2 κ

κ−+

11

2wmax

aR2 = κ

ρpRR

aR2 κ + 1

22aL

κ − 12

2wmax

wmax2 = 2

1κ

κ ρ−pRR

21

2

κ −aR

κκ

+−

11

2aLwmax

2

a p RT2 = =κρ

κ pp

TTR R R

=

=

−ρρ

κκ

κ 1

Ma2 Ma*2 aaR

TTR

ppR

ρρ R

Ma2 Ma2

)*(

*

12

11 2

2

−−κ

− Ma

Ma

−

−κ1

12 2

aaR

−

−κ1

12

TTR

−

−κ

κ−κ

11

21

ppR

−

ρ

ρ−κ

−κ

11

21

R

Ma*2

)( 1111 2

2

−+κ−κ

+ Ma

Ma Ma*2

−

−κ+κ

2

111

Raa

−

−κ+κ

RTT1

11

−

−κ+κ κ

−κ 1

111

Rpp

ρρ

−−κ+κ

−κ 1

111

R

aaR 2

211

1

Ma−κ+

2

111 *Ma

+κ−κ

−aaR

TTR

κ−κ

21

Rpp 2

1−κ

ρρ

R

TTR 2

211

1

Ma−κ+

2

111 *Ma

+κ−κ

− aaR

2 TTR

κ−κ

1

Rpp

1−κ

ρρ

R

ppR 12

211

1

−κκ

−κ

+ Ma

12

111

−κκ

+κ−κ

− *Ma1

2−κκ

Raa 1−κ

κ

RTT

ppR

κ

ρρ

R

Rρρ

11

2

211

1

−κ

−κ

+ Ma

11

2

111

−κ

+κ−κ

− *Ma

12−κ

Raa 1

1−κ

RTT κ

1

Rpp

ρρR


Bild X - 1: Zusammenhang der Zustands- und Gesschwindigkeitsgrößen bei isentroper, sta-tionärer, eindimensionaler Strömung (κ = 1,4)


Zustandsgrößen des idealen Gases (κ = 1,4):

Ma Ma* p / p0 ρ / ρ0 T / TR A* /A RR p/p

0,05 0,055 0,998 0,999 1,000 0,0860,10 0,109 0,993 0,995 0,998 0,1720,15 0,164 0,984 0,989 0,996 0,2560,20 0,218 0,972 0,980 0,992 0,3370,25 0,272 0,957 0,969 0,988 0,4160,30 0,326 0,939 0,956 0,982 0,4910,35 0,379 0,919 0,941 0,976 0,5620,40 0,431 0,896 0,924 0,969 0,6290,45 0,483 0,870 0,906 0,961 0,6900,50 0,535 0,843 0,885 0,952 0,7460,55 0,585 0,814 0,863 0,943 0,7970,60 0,635 0,784 0,840 0,933 0,8420,65 0,684 0,753 0,816 0,922 0,8810,70 0,732 0,721 0,792 0,911 0,9140,75 0,779 0,689 0,766 0,899 0,9410,80 0,825 0,656 0,740 0,887 0,9630,85 0,870 0,624 0,714 0,874 0,9800,90 0,915 0,591 0,687 0,861 0,9910,95 0,958 0,559 0,660 0,847 0,9981,00 1,000 0,528 0,634 0,833 1,000 1,000

1,05 1,041 0,498 0,608 0,819 0,998 1,0001,1 1,081 0,468 0,582 0,805 0,992 0,9991,2 1,158 0,412 0,531 0,776 0,970 0,9931,3 1,231 0,361 0,483 0,747 0,938 0,9791,4 1,300 0,314 0,437 0,718 0,897 0,9581,5 1,365 0,272 0,395 0,690 0,850 0,9301,6 1,425 0,235 0,356 0,661 0,800 0,8951,7 1,482 0,203 0,320 0,634 0,748 0,8561,8 1,536 0,174 0,287 0,607 0,695 0,8131,9 1,586 0,149 0,257 0,581 0,643 0,7672,0 1,633 0,128 0,230 0,556 0,593 0,7212,5 1,826 0,059 0,132 0,444 0,379 0,4993,0 1,964 0,027 0,076 0,357 0,236 0,3283,5 2,064 0,0131 0,0452 0,290 0,1473 0,21294,0 2,138 0,00659 0,02766 0,238 0,09329 0,138764,5 2,194 0,00346 0,01745 0,198 0,06038 0,091705 2,236 0,00189 0,01134 0,167 0,04000 0,061726 2,295 0,000633 0,00519 0,122 0,018804 0,0296517 2,333 0,000242 0,00261 0,093 0,009602 0,0153518 2,359 0,000102 0,00141 0,072 0,005260 0,0084889 2,377 0,0000474 0,0008150 0,058 0,0030563 0,004963910 2,390 0,0000236 0,0004948 0,048 0,0018659 0,003044820 2,434 0,000000209 0,0000169 0,0123 0,000065031 0,00010777∞ 2,4495 0 0 0 0 0


2 Umlenkung einer ebenen Überschallströmung / Prandtl – Meyer – Eckenumströmung (isen-trope, stationäre Strömung)

Bild X - 2: Eckumströmung mit Überschallgeschwindigkeit, Prandtl-Meyer-Strömung

( ) ( )[ ] π−−κ−κ−κ+κ

+

+κ−κ=ϑ 2

2 111112 *arccos

*arccos Ma

Ma

( )12

−π

=ϑ maxmax *Ma

Bild X - 3: Darstellung der Abhängig-keit Ma*(ϑ) durch eine Epizykloide

Bild X - 4: Die Strömung trennt sich von der Wand,wenn die Wand um mehr als ϑmax gegenüber derursprünglichen Richtung geneigt ist

Ma2 > Ma1

Ma2* > Ma1*Ma1 ≥ 1Ma1* ≥ 1

e1

e2

αMa,1

αMa,2

δ


0°

20°

40°

60°

80°

100°

120°

140°

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,434

Ma*

αM, ϑ

1 1,5 2 3 5 10 20Ma

αM ϑ

ϑmax = 129,317κ = 1,405

Bild X - 5: Prandtl-Meyer-Strömung: Abhängigkeit des Machschen Winkels αM und des örtli-chen Ablenkungswinkels δ von der Machzahl Ma bzw. von der kritischen Machzahl Ma*

αM, ϑ =f(Ma*), für κ = 1,405:

ϑ [°] 0 5 10 15 20 25 30 40 50 54 129,32αM [°] 90 72 65 60 56 53 50 48 46 44 3Ma* 1 1,200 1,323 1,428 1,522 1,609 1,690 1,836 1,964 2,011 2,437

Zustandsänderung:

1

22

211

2

1

2

1

2

1

111

111

−κκ

−κκ

κ

+κ−κ

−

+κ−κ

−=

=

ρρ

=*

*

Ma

Ma

TT

pp

11

22

21

2

1

1

2

111

111

−κ

+κ−κ

−

+κ−κ

−=

*

*

*

*

Ma

Ma

MaMa

ee


3. Eindimensionale, reibungsbehaftete Strömung / stationäre Rohrströmung

PR,0

Pn

1 2

Isotherme Zustandsänderung, Näherung:

ρλ−−=∆ 2

11

11 11 w

pdLppv für Ma < 0,3

Isotherme Zustandsänderung:

( )22

21 MaMaMa

dL

κ+κ

κ−=λ− ln

MaMa

pp

MaMa

MaMa

ww 1

1

1

111

==ρρ

= ;;

Adiabate Zustandsänderung:

−

+κ+

κ+κ

−

−

κ=λ− 11

121

21111

22 MaMadL ln

( )( ) 2

21

11 1212MaMa

MaMa

ww

−κ+−κ+

=

( )( ) 2

1

21

1 1212MaMa

MaMa

−κ+−κ+

=ρρ

( )( ) 2

211

1 1212MaMa

MaMa

pp

−κ+−κ+

=


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Ma

isotherm adiabatκ=1,1 κ=1,4κ=1,1κ=1,4

isotherm

adiabatκ=1,4 κ=1,1

κ=1,1κ=1,4

gldL

λ

Bild X - 6: Gastransport im Rohr kostanten Querschnittes, Machzahlverlauf

Wertetabelle: gldL

λ− = f(Ma)

Ma isotherm adiabatκ = 1,4 κ = 1,1 κ = 1,4 κ = 1,1

1,8 0,73250 0,55147 0,24189 0,396891,7 0,64489 0,47113 0,20780 0,336231,6 0,55550 0,39043 0,17236 0,274901,5 0,46486 0,31028 0,13605 0,213831,4 0,37385 0,23208 0,09974 0,154421,3 0,28386 0,15796 0,06483 0,098851,2 0,19715 0,09127 0,03364 0,050501,1 0,11741 0,03725 0,00994 0,014681,0 0,05076 0,00440 0 00,9 0,00759 0,00692 0,01451 0,020780,8 0,00626 0,06948 0,07229 0,101870,7 0,08085 0,23725 0,20814 0,288740,6 0,29895 0,59891 0,49082 0,670490,5 0,80732 1,34538 1,06906 1,438710,4 1,96818 2,94455 2,30849 3,062410,35 3,06773 4,41682 3,45245 4,548600,3 4,86503 6,78837 5,29925 6,935710,25 7,99245 10,86818 8,48341 11,033400,2 13,97474 18,60371 14,53327 18,790280,175 19,17415 25,29397 19,77242 25,493140,15 27,28826 35,70511 27,93197 35,918670,125 40,89187 53,11825 41,58884 53,348710,1 66,15987 85,39923 66,92156 85,65025


4. Verdichtungsstoß (plötzliche, adiabate Zustandsänderung)4.1 Senkrechter Verdichtungsstoß

Ma > 1 aM < 1 1aMMa =⋅ ∗∗

2Maˆww

aMMa ∗

∗

∗

=ρρ

==

( )( )1Ma2Ma12aM 2

22

−κ−κ−κ+

=

2Ma1

12

11

ww

+κ+

+κ−κ

=

( )1Ma1

21pp 2 −

+κκ

+=

Bild X - 7: HUGONIOT – Kurve und Isentrope für Luft (κ = 1,4)

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

ρρ

pp

HUGONIOT -Kurve

Isentrope

Asymptote


4.2 Schräger Verdichtungsstoß

α2

α1δ

w2

w1

Ma > 1

1=⋅ *n

*n aMMa

),Ma(f δ=α1

( ) 21

122

1 22212Ma

Maα+κ+

−α⋅⋅

α=δ

cossin

tantan

Ma*=1

Ma*=w/a*

Ma*=w/a*

Man*=wn/an*

wn/a*

wt/a*

Man*=wn/an*

α2

δ

0 P

Q

P‘‘

P

Stoßpolare

90°-αM

α1

Bild X - 8: Stoßpolare des schrägen Verdichtungsstoßes


Bild X - 9: BUSEMANN Stoßpolarendiagramm (κ = 1,4)


Bild X - 10: Gesamtdruckverluste für verschiedene zweidimensionale Triebwerkseinläufe


5. Zustandsdiagramm ( h = f(s) ) des wärmedichten Systems

Isentrope Zustandsänderung:

∆s = 0

Adiabate Zustandsänderung:

( )∆sc

TTv

= − −ln ln1 1

1κρρ

( )= − −κ κln lnTT

pp1 1

1

= −ln lnpp1 1

κρρ

Drosselung / Drosselfaktor:

pP

eR

R

sR

,1

=−

∆

Fanno-Linien (ρw = const.):

( )s sc

hh

hh

wwv R R

−= −

−+

−+

− −∗

− −

∗ ∗ln ln ln1 21

11

1

1 12

κκ

κ

κκκ

κρ

ρ

Rayleigh-Linien (p + ρw2 = const.):

( ) ( )s sc

hh

hh

p wp wv R

R−=

+−

−+

−

− −++

∗ −−

∗ ∗ ∗ln ln lnκ κ κ

κκκ κ

κ κρρ

21

1 21

1 11

12

2


0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2(s-s0)/cv

h/hR

0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0,051

pR/pR,0

M

0

0,5

1

0,1

2

2,5

3

4

56

ρw/ρ*w* = 0,05

0,10,2

0,30,40,50,60,70,8

0,9

p2/pR,1 = 0,1

0,2

Bild X - 11: s-h-Diagramm für adiabate Zustandsänderung (FANNO-Diagramm)

0,830,840,850,860,870,880,890,900,910,920,930,940,950,960,970,980,991,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1∆s/cV

h/hR

M

0

0,9

1

0,20,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,1

0,9 0,6 0,4 0,3 0,2 0,11pR/pR,0

0,50,70,8

ρ w/ρ∗ w* = 0,1

0,2

0,90,8 0,7 0,6

0,5

0,4

0,3

Bild X - 12: s-h-Diagramm für adiabate Zustandsänderung (FANNO-Diagramm) - Ausschnitt

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