20 . ( Rotasi dalam ruang di komputer grafis ) . Apa efek akan matriks berikut memiliki dalam situasi yang dijelaskan dalam masalah . 19 ?

[1 0 00 cosθ −sinθ0 sinθ cosθ ] [cosφ 0 −sinφ

0 1 0sinφ 0 cosφ ] [cosω −simω 0

sinω cosω 00 0 1 ]

21 . ( Masalah menambah ) Kontraktor C1 , C2 , C3 tawaran untuk pekerjaan J1 , J2 , J3 sebagai mattrix biaya ( dalam 100 unit 000 dolar ) menunjukkan . Apa tugas meminimalkan total biaya ( a) di bawah kondisi tidak ? ( b ) Di bawah kondisi bahwa setiap kontraktor ditugaskan hanya untuk satu pekerjaan ?

J1 J2 J3

C1C2C3 [24 4 10

18 6 1216 8 8 ][ 40 28 20

34 26 1436 30 20 ]

Matriks biaya untuk masalah 21 Matrix A untuk masalah 22

22 . Jika pekerja Wj dapat melakukan pekerjaan Jk di jam aJK , seperti yang ditunjukkan oleh matriks A , dan masing-masing woeker harus melakukan satu pekerjaan saja. Yang tugas akan meminimalkan total waktu ?

23 . ( Markov proses ) Untuk proses markov dengan transisi matriks A = [ aJK ] , yang seluruh entrinya adalah a11 = a12 = 0,5 , a22 = 0,8 , dan awal negara [ 0.7 0.7 ] T , menghitung 3 negara berikutnya .

24 . Dalam proses produksi , biarkan N berarti " tidak ada masalah " dan T " masalah " . Biarkan probabilitas transisi dari satu hari ke hari menjadi 0,8 untuk N - N , maka 0.2 untuk N - T , dan 0.5 untuk T - N , maka 0,5 TT . Jika hari ini tidak ada masalah , apa kemungkinan masalah 2 hari setelah hari ini? 3 hari setelah hari ini ?

7.4 Sistem Linear Persamaan .

Gauss Eliminasi

Penggunaan praktis yang paling penting dari matriks adalah solusi sistem persamaan linear , yang sering muncul sebagai model dari berbagai masalah , misalnya , dalam rangka , jaringan listrik , arus lalu lintas , produksi dan konsumsi , penugasan pekerjaan untuk pekerja , pertumbuhan penduduk , statistik , metode numerik untuk persamaan diferensial ( chap.20 ) , dan banyak lainnya . Kita mulai di bagian ini dengan metode solusi penting, Gauss Eliminasi , dan mendiskusikan sifat-sifat umum dari solusi dalam bagian berikutnya .

1

Sistem linear . Sebuah sistem linear persamaan m n diketahui X1 , ......... , Xn .

a set adalah persamaan dalam bentuk

a11x1 + ……..+ a1nxn = b1

a21x1 + ……..+ a2nxn = b2

……………………………………

Am1x1 + ……..+ amnxn = bm

Dengan demikian , sistem dua persamaan dalam tiga diketahui adalah

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 contoh 5x1 + 2x2 - x3 = 4

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 x1 - 4x2 + 3x3 = 6

ajk diberi nomor , yang disebut koefisien dari sistem.

bi juga diberi nomor . Jika bi semua nol, maka ( 1 ) disebut sistem homogen .

Jika setidaknya satu bi tidak nol , maka ( 1 ) disebut system tidak homogen .

Suatu larutan ( 1 ) adalah Aset nomor X1 , ...... , Xn . bahwa statisfy semua persamaan m . Sebuah vektor solusi dari ( 1 ) adalah x vektor yang komponennya merupakan solusi dari ( 1 ) . Jika sistem ( 1 ) bersifat homogen , ia memiliki setidaknya solusi trivial X1 = 0 , ...... , Xn = 0

Koefisien Matrix , Ditambah Matrix

Dari definisi perkalian matriks kita melihat bahwa persamaan m ( 1 ) dapat ditulis sebagai persamaan vektor tunggal

Ax = b

di mana koefisien matriks A = [ ajk ] adalah matriks m x n

A=[ a11a12 ⋯ a1na21a22 … a2n……….. .…… … ..am 1am 2 ⋯ amn

] dan x = [ x1..xn

] dan b = [b1..bn

] adalah kolom vektor . Kami berasumsi bahwa koefisien aJK tidak semua nol , sehingga a bukan matriks nol . Perhatikan bahwa x memiliki komponen n , di mana b memiliki komponen m . matriks

2

A=[ a11 . a1n b1. . . .. . . .

am 1 . amn bm]

disebut matriks yang diperbesar dari Sytem ( 1 ) . Kita melihat bahwa A diperoleh dengan menambah A dengan kolom b . matriks A menentukan sistem ( 1 ) benar , karena mengandung semua angka yang diberikan muncul dalam ( 1 ) .

Contoh 1

Interpretasi geometris , Keberadaan solusi

Jika m = n = 2 , kita memiliki dua persamaan dalam dua variabel X1 , X2

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Jika kita menafsirkan X1 , X2 sebagai koordinat di X1 , X2 pesawat , maka masing-masing dari dua persamaan merupakan garis lurus , dan ( X1 , X2 ) adalah solusi jika dan hanya jika titik P dengan koordinat X1 , X2 terletak pada kedua saluran . Oleh karena itu ada tiga kasus yang mungkin :

( a) Tidak ada solusi jika garis sejajar

( b ) Tepatnya satu solusi jika mereka berpotongan .

( c ) Jauh banyak solusi jika mereka bertepatan .

Misalnya

x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1

x + y = 0 x - y = 0 2 x +2 y = 2

kasus (a) kasus (b) kasus (c)

3

Jika sistem homogen . Kasus ( a) tidak dapat hapen , karena kemudian dua garis lurus melewati titik asal , yang koordinat 0.0 merupakan solusi trivial . pembaca dapat mempertimbangkan tiga persamaan dalam tiga diketahui sebagai representasi dari tiga pesawat dalam ruang dan mendiskusikan berbagai casses mungkin dengan cara yang sama .

Contoh sederhana kami menggambarkan bahwa sistem ( 1 ) tidak selalu memiliki solusi , dan masalah yang relevan sebagai berikut , Apakah sistem yang diberikan ( 1 ) punya solusi? Dalam kondisi apa apakah itu sudah tepat satu solusi ? Jika memiliki lebih dari satu solusi , bagaimana kita dapat mencirikan himpunan semua solusi ? Bagaimana kita bisa mendapatkan solusinya? Kami membahas pertanyaan terakhir pertama dan yang lainnya dalam bagian . 7.6

Gauss Eliminasi

The eliminasi Gauss adalah metode standar untuk memecahkan system.This linear adalah proses sistematis eliminasi , metode penting yang bekerja dalam praktek dan wajar terhadap waktu dan permintaan penyimpanan komputasi ( dua aspek kita akan membahas pada bagian .19.1 pada metode numerik ) . Kami pertama menjelaskan metode dengan beberapa contoh yang khas . Karena sistem linear sepenuhnya ditentukan oleh matriks augmented nya , penghapusan proses dapat dilakukan dengan hanya mempertimbangkan matriks . untuk melihat korespondensi ini , kita akan menulis sistem persamaan dan ditambah matriks berdampingan .

Contoh 2

Eliminasi Gauss . jaringan listrik

memecahkan sytem linear

x1 - x2 + x3 = 0-x1 + x2 - x3 = 0 10x2 + 25x3 = 9020x1 + 10x2 = 80

Derivasi dari sirkuit di fig.135 ( opsional ) . Ini adalah sistem untuk arus diketahui X1 = i1 , i2 = X2 , X3 = i3 dalam jaringan elctrical dalam gambar . 135 . Untuk mendapatkannya , kita label arus seperti yang ditunjukkan , memilih arah sewenang-wenang , jika acurrent akan keluar negatif , ini hanya akan berarti bahwa arus mengalir terhutang dengan arah panah kami . Arus masuk setiap baterai akan sama seperti saat meninggalkannya . Persamaan untuk hasil saat ini dari hukum Khirchhoff ini :

Undang-undang saat ini Khirchhoff ( KCL ) . Pada setiap acircuit pointof , jumlah arus pemasukan sama dengan jumlah arus yang mengalir keluar .

4

Hukum tegangan Khirchhoff (KVL ) . Dalam setiap lingkaran cloosed , jumlah semua tetes tegangan sama dengan gaya gerak listrik terkesan .

Node p memberikan persamaan pertama , simpul Q secobd itu , loop kanan ketiga , dan loop meninggalkan keempat , seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Solusi dengan metode Gauss . Sistem ini sangat sederhana bahwa kita chould hampir menyelesaikannya dengan pemeriksaan , ini bukan titik . Intinya adalah untuk melakukan penghapusan sistematis penghapusan Gauss yang akan bekerja secara umum , juga untuk sistem besar . adalah pengurangan untuk "bentuk segitiga " dari mana kita akan kemudian siap mendapatkan nilai-nilai yang tidak diketahui oleh " substitusi kembali " . kami menulis sistem dan matriks yang berdampingan

Fig.135. jaringan dalam contoh 2 dan persamaan untuk arus

Titik P : i1 – i2 + i3 = 0

Titik Q : - i1 + i2 - i3 = 0

Lingkaran kanan : 10x2 + 25x3 = 90

Lingkaran kiri : 20x1 + 10x2 = 80

5

Langkah pertama. Penghapusan x1

Hubungi persamaan pertama persamaan pivot danX -nya ! istilah poros dalam langkah ini , dan menggunakan persamaan ini untuk menghilangkan X1 ( menyingkirkan X1 ) dalam persamaan lainnya . Untuk ini , melakukan operasi ini :

Kurangi - 1 1 kali persamaan poros dari persamaan keduakurangi - 20 kali persamaan poros dari persamaan keempat.

Hal ini sesuai dengan baris operasi pada matriks yang diperbesar , yang kami menunjukkan di belakang matriks baru ( 3 ) . Hasilnya adalah

Langkah kedua . Penghapusan X2

Persamaan pertama, yang baru saja menjabat sebagai persamaan poros , tetap tak tersentuh . Kami ingin mengambil ( new! ) persamaan kedua sebagai persamaan poros berikutnya . Karena tidak mengandung istilah X2 ( diperlukan sebagai poros berikutnya ) pada kenyataannya, itu adalah 0 = 0 pertama kita harus mengubah urutan persamaan ( dan correspondingrows dari

6

matriks baru) untuk mendapatkan non zero pivot. Kami menempatkan persamaan kedua ( 0 = 0 ) pada akhir dan memindahkan persamaan ketiga dan keempat satu tempat up , ini disebut poros parsial . Kami mendapatkan

Untuk menghilangkan X2, lakukanKurangi 3 kali persamaan poros dari persamaan ketiga.hasilnya adalah

Untuk memanggil semua operasi " subtractions " daripada " subtractions " dan " tambahan " adalah lebih baik dari sudut pandang keseragaman algoritma numerik . Lihat juga bagian . 19.1 .

Berbeda dengan jumlah berputar , di mana juga urutan yang tidak diketahui adalah berputar changed.total hampir tidak digunakan dalam praktek .

7

Substitusi kembali . penentuan X3 , X2 , X1

bekerja mundur dari terakhir untuk persamaan pertama ini " segitiga " sistem ( 4 ) , sekarang kita dapat dengan mudah menemukan X3 , X2 dan kemudian X1 .

Ini adalah jawaban untuk masalah kita . Solusinya adalah unik .

A sysytem ( 1 ) disebut overdetermined jika memiliki lebih persamaan daripada tidak diketahui , seperti dalam contoh 2 , ditentukan jika m = n . seperti dalam contoh 1 , dan jika underdetermined ( 1 ) memiliki persamaan lebih sedikit daripada yang tidak diketahui . Sebuah sistem underdetermined selalu memiliki solusi , di mana seperti dalam dua kasus , solusi bahwa penghapusan Gauss berlaku untuk sistem apapun , tidak peduli apakah itu memiliki banyak solusi , solusi yang unik , atau ada solusi .

8

Contoh 3

Gauss Eliminasi untuk sysytem underdetermined

memecahkan linear dari tiga persamaan dalam empat yang tidak diketahui

Solusi , Seperti pada contoh sebelumnya, kita cirrcle pivot dan jangka box untuk dihilangkan .

Langkah pertama. Penghapusan X1 dari persamaan kedua dan ketiga dengan mengurangkan

0.6/0.3 = 0.2 kali persamaan pertama dari persamaan kedua .

1.2/3.0 = 0,4 kali firstequqtion dari persamaan ketiga .

Hal ini memberikan sistem baru persamaan

9

dan kami lingkaran poros yang akan digunakan pada langkah berikutnya

Langkah kedua . Penghapusan X2 dari persamaan ketiga ( 60 dengan mengurangkan

-1.1/1.1 = -1 Kali persamaan kedua dari persamaan ketiga

Hal ini memberikan

Substution kembali. Dari persamaan kedua. X2 = 1 - X3 + X4. Dari ini dan persamaan pertama, X1

= 2 - X4. Sejak X3 dan X4 tetap sewenang-wenang, kita memiliki tak terhingga banyaknya solusi, jika kita memilih nilai X3 dan nilai X4, maka nilai-nilai yang sesuai X1 dan X2 secara unik ditentukan.

Contoh 4

Eliminasi Gauss Jika solusi yang unik ada

memecahkan system

10

Langkah pertama. Penghapusan X21 dari persamaan kedua dan ketiga memberikan

Langkah kedua . Penghapusan x2 dari persamaan ketiga memberikan

Pergantian kembali . Bermula wiyh persamaan terakhir . kita memperoleh berturut-turut X3 = 2 , X2 = -1 , X1 = 1 . Kita melihat bahwa sistem tersebut memiliki solusi unik .

Contoh 5

Eliminasi Gauss Jika tidak ada solusi ada

Apa yang akan terjadi jika kita menerapkan eliminasi Gauss untuk sysytem linear yang tidak memiliki solusi ? Jawabannya adalah bahwa dalam hal ini metode yang akan menunjukkan fakta ini dengan memproduksi kontradiksi .

11

Penghapusan langkah pertama. Dari X1 dari persamaan kedua dan ketiga dengan mengurangkan

2/3 kali persamaan pertama dari persamaan kedua .

6/3 = 2 kali persamaan pertama dari persamaan ketiga .

Hal ini memberikan

Langkah Kedua . Penghapusan X2 dari persamaan ketiga memberikan

12

ini menunjukkan bahwa sistem tidak memiliki solusi .

Bentuk sistem dan matriks pada langkah terakhir dari eliminasi Gauss disebut bentuk eselon . Jadi dalam Contoh 5 bentuk eselon matriks koefisien dan matriks yang diperbesar adalah

[3 2 1

0−13

13

0 0 0]∧[3 2 1 3

0−13

13

−2

0 0 0 12]

Pada akhir penghapusan Gauss ( sebelum substitusi kembali ) sistem berkurang akan memiliki bentuk .

a11x1 + a12x2 + ………………+ a1nxn = b1

c22x2 + ………………+ c2nxn = b2*

……

krrxr + ………………+ krnxn = br

0 = br+1

……

0 = bm

13

Dimana r ≤ m (dan a11 ≠ 0, C22 ≠ 0, ...., Krr ≠ 0). Dari melihat bahwa sehubungan dengan solusi dari sistem ini (8), ada tiga kasus yang mungkin:

(A) Tidak ada solusi jika r < m dan salah satu numbera br +1, ...., bm tidak nol. ini diilustrasikan dengan contoh 5, di mana r = 2 < m = 3 dan br +1 = b3 = 12.

(B) Tepatnya satu solusi jika r = n dan br +1, ...., bm, jika ada, adalah nol. Solusi ini diperoleh dengan memecahkan persamaan n dari (8) atau xn, maka (n-1) persamaan th untuk xn-1. dan seterusnya sampai baris. lihat Contoh 2, di mana r = n = 3 dan m = 4.

(C) Jauh banyak solusi jika r < n dan br +1, ...., bm, jika ada, adalah nol. Kemudian salah satu dari solusi tersebut diperoleh dengan memilih nilai-nilai pada kesenangan untuk diketahui xr +1, ...., xn, memecahkan persamaan r untuk xr, maka (r-1) th persamaan untuk tahun-1, dan seterusnya.Contoh 3 menggambarkan kasus ini.

Operasi baris elementer

Untuk membenarkan penghapusan Gauss sebagai metode untuk memecahkan sistem linear. pertama kami memperkenalkan dua konsep terkait.

Operasi dasar persamaan

Interchange dari dua persamaan Perkalian dari persamaan dengan konstanta taknol Penambahan kelipatan konstan dari satu persamaan ke persamaan yang lain

Untuk ini sesuai berikut

Operasi baris elementer untuk matriks

Interchange dari dua baris Perkalian suatu baris dengan konstanta taknol Penambahan kelipatan konstan dari satu baris ke baris anothere.

The eliminasi Gauss terdiri dari penggunaan ketiga operasi ini (untuk mendapatkan nol) dan yang pertama (dalam berputar)

Sekarang memanggil sistem S1 baris linier setara dengan sistem linear S2 jika S1 dapat diperoleh dari S2 oleh (finitely banyak) operasi baris elementer. Jelas, sistem yang dihasilkan oleh eliminasi Gauss pada akhir ekivalen baris dengan sistem yang asli harus dipecahkan. maka pembenaran yang diinginkan dari eliminasi Gauss sebagai metode solusi sekarang mengikuti dari teorema berikutnya, yang berarti bahwa penghapusan Gauss memberikan semua solusi dari sistem asli.

14

Teorema 1

(Baris - setara system)

Baris - sistem linear equivqlent memiliki set yang sama dari solusi.

Bukti. pertukaran dua persamaan tidak mengubah himpunan solusi. Baik melakukan perkalian dari persamaan oleh (nol) konstan c, karena perkalian dari persamaan baru dengan 1 / c menghasilkan persamaan asli. Demikian pula untuk penambahan untuk persamaan E1 ke persamaan E2 karena dengan menambahkan - E1 (persamaan diperoleh dari E1 dengan mengalikan E 1 oleh -1) persamaan yang dihasilkan dari penambahan kita kembali persamaan asli.

Ini membenarkan penghapusan Gauss. Aspek numerik itu dibahas dalam bagian 19.1 (yang independen dari bagian lain pada metode numerik) dan varian populer itu (Doolittle, Crout, dan Cholesky itu metode) dalam bagian 19.2.

Masalah set 7.4

Memecahkan sistem linear berikut dengan eliminasi Gauss.

1. 2x + 3y = 4 2. 3x + 2y = -17 3. –x +2y = 4

3x + 2y =-4 10x + y = 0 3x + 4y = 38

Dalam penghapusan Gauss kita berkata "pengurangan kelipatan konstan" (bukan "Selain itu)”. sebagai lebih sugestive dalam mendapatkan nol, tentu saja, ini adalah bahasa materi belaka.

4. x + 2y – 8z = 0 5. 3x – y + z = -2 6. 7x – y – 2z = 0

2x – 3y + 5z = 0 x + 5y + 2z = 6 9x – y – 3z = 0

3x + 2y – 12z = 0 2x + 3y + z = 0 2x + 4y – 7z = 0

7. x + y + z = -1 8. 5x + 3y = 22 9. –4 y + 3z = 13

4y + 6z = 6 -4x + 7y = 20 x –2 y + z = 3

y + z = 1 9x - 2y = 15 3x + 5y = 11

10. 7x - 4y - z = -6 11. x - 3y + 2z = 2 12. 3 x - 3y - 7z = -4

16x + 2y + z = 3 5x - 15y + 7z = 10 x – y + 2z = 3

15

13. 3w - 6x - y - z = 0 14. 4w + 3x - 9y + z = 1

-w - 2x + 5y – 3z = 0 -w + 2x - 13y + 3z = 3

2w - 4x + 3y – z = 3 3w - x + 8y - 2z = -2

15. w + x + y = 6 16. w - x + 3y - 3z = 3

-3w - 17x + y + 2z = 2 -5w + 2x - 5y + 4z = -5

4w - 17x + 8y - 5z = 2 -3w - 4x + 7y - 2z = 7

- 5x - 2y + z = 2 2w + 3x + y - 11z = 1

Model jaringan listrik

Menggunakan hukum Khirchhoff (lihat Contoh 2), menemukan arus dalam jaringan berikut.

16