Gauss Legendre

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-"ESPE"

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

METODOS NÚMERICOS

NRC: 1518

Integracíon Númerica:Método de Gauss Legendre

Realizado por Bryan Chauca, Cristhian Guano, Pablo Nepas yJefferson Tambaco

Ing. Nancy Betancourth.

02 de Febrero del 2016

Sangolquí, Pichincha, Ecuador

CONTENIDO Gauss Legendre CONTENIDO

Contenido1 INTRODUCCÍON 2

2 TEORÍA 2

3 ALGORITMO 5

4 CÓDIGO MATLAB 6

5 EJEMPLOS NÚMERICOS 7

6 BILBIOGRAFÍA 11

Chauca, Guano, Nepas, Tambaco 1 Métodos Númericos

Gauss Legendre 2 TEORÍA

1 INTRODUCCÍONDentro de nuestro estudio de métodos de integración númerica encontramos la cuadratura deGauss o Método de Gauss-Legendre, es decir, a este método lo ubicamos como un método de co-eficientes indeterminados, pero para tener mas claro desarrollamos el presente documento dondemostramos la teoría, el algoritmo, ejemplos númericos y ademas le mostramos el código del pro-grama en Matlab para su comprobación

2 TEORÍAEs un método de integración numérica, el cual emplea espacios de intervalos de-siguales, a diferencia de los métodos trapecial y de Simpson que son de aplicacióninmediata, donde se lo utiliza para evaluar integrales definidas de funciones, pormedio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una apli-cación bastante interesante de los polinomios ortogonales.

Características

• Está basado en el método del trapecio, como una nueva forma de evaluar integrales en unintervalo cerrado.

• La diferencia con el método del trapecio es que en este se toma en cuenta el área del trapeciosoble la curva también, compensando el área bajo la misma que no se toma en cuanta en elmétodo del trapecio.

• A diferencia de los métodos anteriores, en este método los puntos de evaluación se seleccionande forma optima y no equiespaciados como en métodos anteriores.

Se basa en el método del trapecio para derivar una nueva forma de evaluar integrales en unintervalo cerrado [a, b]. En este caso, en vez de evaluar el área del trapecio que une los puntos(a, f(a)) y (b, f(b)), se consideran dos nuevos puntos (c y d) al interior del intervalo y se traza unasecante que pase por los nuevos puntos (c, f(c)) y (d, f(d)) y se proyecta de manera que se crucecon la proyección def(a) y f(b).

I =

∫a

f(x)dx

I =h

2(f(a) + f(b))

De esta manera el área faltante se compensa con el área que se incluye y que no está bajo lacurva.



El problema entonces consiste en hallar los puntos (c y d). Para hallarlos se busca entoncesuna nueva función, F (z) de manera que la proyección de la secante que une f(c) con f(d) paseexactamente por f(a) y por f(b) de esta manera, la integral se puede calcular como:

I = w1f (x1) + w2f (x2)

El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y doscoeficientes w1 y w2 de manera que la fórmula:

I =

∫ 1

−1f(x)dx ≈ w1f(x1) + w2f(x2)

sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0. Como hay quedeterminar cuatro números w1, w2, x1 y x2 en la expresión anterior se deben seleccionar cuatrocondiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficientecon exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lotanto, las cuatro condiciones de integración son:

f(x) = 1

∫ 1

−11dx = 2 = w1 + w2

f(x) = x

∫ 1

−1xdx = 0 = w1x1 + w2x2

f(x) = x2

∫ 1

−1x2dx =

2

3= w1x

21 + w2x

22

f(x) = x3

∫ 1

−1x3dx = 0 = w1x

31 + w2x

32

De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es:

w1 + w2 = 2

w1x1 + w2x2 = 0

w1x21 + w2x

22 =

2

3w1x

31 + w2x

32 = 0

La solución del sistema anterior está dada por:

w1 = w2 = 1

x1 = −1√3

x2 =1√3

Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadraturade Gauss - Legendre. En consecuencia, si f es continua en [−1; 1], resulta:∫ 1

−1f(x)dx ≈ G2(f) = f

(− 1√

3

)+ f

(1√3

)En general para n puntos se puede expresar la fórmula como:

I =

∫ b

a

f(x)dx =

∫ 1

−1f(x)dx

I = w1f (x1) + w2f (x2) + ...+ wnf (xn) =n∑

i=0

wif (xi)



Para lograr esto se hace entonces un cambio de variable de modo que si x = a z = −1 y six = b entonces z = 1. Lo cual se logra reemplazando:

x =b− a

2z +

a+ b

2(1)

dx =b− a

2dz (2)

de manera que:

I =

∫ b

a

f (x) dx =b− a

2

∫ 1

−1f

(b− a

2z +

a+ b

2

)dz

La cual puede calcularse como:

I =b− a

2

n−1∑i=0

wi ∗ f(b− a

2zi +

a+ b

2

)Los valores para wi y para zi se toman de la tabla siguiente, teniendo en cuenta el número depuntos a usar.

No. de puntos Factor de ponderación Argumento de la función2 w0 = 1 z0 = −0.577350269

w1 = 1 z1 = 0.577350269w0 = 0.5555556 z0 = −0.774596669

3 w1 = 0.8888889 z1 = 0w2 = 0.5555556 z2 = 0.774596669w0 = 0.34789548 z0 = −0.861136312

4 w1 = 0.6221452 z1 = −0.339981044w2 = 0.6521452 z2 = 0.339981044w3 = 0.3478548 z3 = 0.861136312w0 = 0.2369269 z0 = −0.906179846w1 = 0.4786287 z1 = −0.538469310

5 w2 = 0.5688889 z2 = 0.0w3 = 0.4786287 z3 = 0.538469310w4 = 0.2369269 z4 = 0.906179846w0 = 0.1713245 z0 = −0.932469514w1 = 0.3607616 z1 = −0.661209386

6 w2 = 0.4679139 z2 = −0.238619186w3 = 0.4679139 z3 = 0.238619186w4 = 0.3607616 z4 = 0.661209386w5 = 0.1713245 z5 = 0.932469514

http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausslegendre.cfm En esta páginapodrá calcular los puntos de gauss Legendre hasta n = 32.


http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausslegendre.cfm

Gauss Legendre 3 ALGORITMO

3 ALGORITMO

Algorithm 1 Metodo de Gauus LegendreData: f , a, b, nf : función a integrar;n: número de nodos;a: límite inferior(intervalo);b: límite superior(intervalo);Result: Aproximación_Integral=IInicialización de variables;suma = 0;Valores obtenidos de la Tabla;x = [−0.5773, 0.5773];w = [1, 1];Verificar el orden de los limites del intervalo;if a > b then

aux = b;b = a;a = aux;

elsea y b estan en el orden correcto;

endSentencia if que permite cambiar el intervalo [a, b] a [−1, 1];if a 6= −1 and b 6= 1 then

for i = 1, 2, ..., n dosuma = suma+ w(i) ∗ f((a+ b/2) + (((b− a)/2) ∗ x(i)));

endRespuesta: I = ((a+ b)/2) ∗ suma;

elsefor i=1,2,...,n do

suma = suma+ w(i) ∗ f(x(i));

endRespuesta: I = suma;

end


Gauss Legendre 4 CÓDIGO MATLAB

4 CÓDIGO MATLAB

function Gauss_Legendre(f,n,a,b)% Metodo de Gauus Legendre% la funcion resive con datos de entrada:% f: funcion a integrar --- n: numero de nodos de nodos,% a: limite inferior(intervalo) --- b: el limite superior(intervalo)% 0.2 + 25*x -200*x^2 + 675*x^3 -900*x^4 + 400*x^5

% Inicializacion de variablessuma=0;% Valores obtenidos de la Tablax=[ -0.5773, 0.5773];w=[ 1, 1];

fprintf(' Funcion a integrar : \n ');f% Verificar el orden de los limites del intervaloif a > b

aux=b;b=a;a=aux;

end

% Sentencia if que permite cambiar el intervalo [ a,b ] a [-1,1]if a \~= -1 && b~= 1

for i=1: nsuma= suma + w(i)* f((a+b/ 2)+ (((b-a)/2)* x(i)));

end% Imprimir respuestafprintf('Respuesta: \n');I=((b-a)/2)*suma

elsefor i=1: n

suma= suma + w(i)*f(x(i));end% Imprimir respuestafprintf('Respuesta: \n');I=suma

end


Gauss Legendre 5 EJEMPLOS NÚMERICOS

5 EJEMPLOS NÚMERICOS1. Fórmula de Gauus Legendre de dos puntos

Usando la ecuacíon I = c0 × f (x0) + c1 × f (x1) evalúe la integral de:

f (x) = 0.2 + 25x− 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5

entre los límites x = 0 y x = 0.8. (Nota:Valor real de la integral es: 1.640533)

Solución:Para el caso de dos puntos usamos los valores de c0, c1, x0 y x1 de la tabla siendo estos:c0 = 1.0, c1 = 1.0x0 =

−1√3≈ −0.577350269 y x1 =

1√3≈ 0.577350269

Teniendo entonces:I = 1.0× f

(−1√3

)+ 1.0× f

(1√3

)(3)

Ahora debemos realizar un cambio de variable para que los límites sean de -1 a +1.

Para ello, sustituimos a = 0 y b = 0.8 en la ecuación x =(b+ a) + (b− a)xd

2

y en su derivada con la ecuación dx =

(b− a

2

)dxd

Obteniendo asi: x = 0.4 + 0.4xd y dx = 0.4dxd

Ahora sustituimos en la ecuación original:

∫ 0.8

0

f (x) dx =

∫ 1

−1

[0.2 + 25 (0.4 + 0.4xd)− 200 (0.4 + 0.4xd)

2 + 675 (0.4 + 0.4xd)3

−900 (0.4 + 0.4xd)4 + 400 (0.4 + 0.4xd)

5] 0.4dxd

Obteniendo asi nuestro nuevo f(x) que usaremos para evaluarlos en x0 y x1.

f (x) = 0.4[0.2 + 25 (0.4 + 0.4xd)− 200 (0.4 + 0.4xd)

2 + 675 (0.4 + 0.4xd)3 − 900 (0.4 + 0.4xd)

4

+400 (0.4 + 0.4xd)5]

Así evaluando tenemos:

f (x0) = f(−1√3

)≈ 0.516741

f (x1) = f(

1√3

)≈ 1.305837

Reemplazando estos valores en (1) obtenemos la aproximación de la integral:

I = 1.0× (0.516741) + 1.0× (1.305837)

I = 1.822578



2. Fórmula de Gauus Legendre de tres puntos

Use la fórmula de tres puntos para estimar la integral de la función:

f (x) = 0.2 + 25x− 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5

entre los límites x = 0 y x = 0.8. (Nota:Valor real de la integral es: 1.640533)

Solución:Para el caso de tres puntos tenemos la siguiente fórmula:

I = c0 × f (x0) + c1 × f (x1) + c2 × f (x2)

Y utilizamos los valores de c0, c1, c2, x0, x1 y x2 de la tabla siendo estos:c0 = 0.555556, c1 = 0.888889 y c2 = 0.555556x0 = −0.774597, x1 = 0.0 y x2 = 0.774597

I = 0.555556× f (−0.774597) + 0.888889× f (0.0) + 0.555556× f (0.774597) (4)

De igual manera tenemos que hacer un cambio de variable para que los límites sean de -1 a+1, obteniendo asi x = 0.4 + 0.4xd y dx = 0.4dxd

Y de la misma manera que el ejemplo anterior reemplazamos los valores de x0, x1 y x2 en elnuevo f (x)∫ 0.8

0

f (x) dx =

∫ 1

−1

[0.2 + 25 (0.4 + 0.4xd)− 200 (0.4 + 0.4xd)

2 + 675 (0.4 + 0.4xd)3

−900 (0.4 + 0.4xd)4 + 400 (0.4 + 0.4xd)

5] 0.4dxd


f (x0) = f (−0.774597) ≈ 0.506342

f (x1) = f (0.0) ≈ 0.9824

f (x2) = f (0.774597) ≈ 0.874777


I = 0.555556× (0.506342) + 0.888889× (0.9824) + 0.555556× (0.874777)I = 0.281301 + 0.873245 + 0.485988

I = 1.640534

Observación:Como sabemos la precisión de este método es de grado 2n+1, es decir en el anterior ejemploteniamos precisión de grado 3 (n=1) pero trabajamos con un polinomio de grado 5 por loque no nos resultó un valor exacto mientras que en este ejemplo tenemos una precisión degrado 5 (n=2), donde aquí si hallamos el valor exacto de la integral.



3. Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss Legendre, condos, tres y cuatro puntos. ∫ 3

0

ex sinx

1 + x2dx

(Nota: El valor real de la integral es: 2.881637 )

(a) Con dos puntosSolución:En este caso usamos los valores de c0, c1, x0 y x1 de la tabla siendo estos:c0 = 1.0, c1 = 1.0x0 =

−1√3≈ −0.577350269 y x1 =

1√3≈ 0.577350269

Teniendo entonces:I = 1.0× f

(−1√3

)+ 1.0× f

(1√3

)(5)

Ahora debemos realizar un cambio de variable para que los límites sean de -1 a +1.

Para ello, sustituimos a = 0 y b = 3 en la ecuación x =(b+ a) + (b− a)xd

2

y en su derivada con la ecuación dx =

(b− a

2

)dxd

Obteniendo asi: x = 1.5 + 1.5xd y dx = 1.5dxd

Ahora sustituimos en la ecuación original:

∫ 3

0

ex sinx

1 + x2dx =

∫ 1

−1

e(1.5+1.5xd) sin (1.5 + 1.5xd)

1 + (1.5 + 1.5xd)2 × 1.5dxd

Obteniendo asi nuestro nuevo f(x) que usaremos para evaluarlos en x0 y x1.

f (x) = 1.5 · e(1.5+1.5xd) sin (1.5 + 1.5xd)

1 + (1.5 + 1.5xd)2


f (x0) = f(−1√3

)≈ 1.194753

f (x1) = f(

1√3

)≈ 1.695895


I = 1.0× (1.194753) + 1.0× (1.695895)

I = 2.890648

Con un error aproximado de 0.31%.



(b) Con tres puntosSolución:Para el caso de tres puntos tenemos la siguiente fórmula:

I = c0 × f (x0) + c1 × f (x1) + c2 × f (x2)

En este caso usamos los valores de c0, c1, c2, x0, x1 y x2 de la tabla siendo estos:c0 = 0.555556, c1 = 0.888889 y c2 = 0.555556x0 = −0.774597, x1 = 0.0 y x2 = 0.774597

I = 0.555556× f (−0.774597) + 0.888889× f (0.0) + 0.555556× f (0.774597) (6)

De igual manera tenemos que hacer un cambio de variable para que los límites sean de-1 a +1, obteniendo asi x = 1.5 + 1.5xd y dx = 1.5dxd

Y de la misma manera reemplazamos los valores de x0, x1 y x2 en el nuevo f (x)

f (x) = 1.5 · e(1.5+1.5xd) sin (1.5 + 1.5xd)

1 + (1.5 + 1.5xd)2


f (x0) = f (−0.774597) ≈ 0.626131

f (x1) = f (0.0) ≈ 2.063290

f (x2) = f (0.774597) ≈ 1.226316


I = 0.555556× (0.626131) + 0.888889× (2.063290) + 0.555556× (1.226316)I = 0.347851 + 1.834036 + 0.681287

I = 2.863174


(c) Con cuatro puntosSolución:Para el caso de cuatro puntos tenemos la siguiente fórmula:

I = c0 × f (x0) + c1 × f (x1) + c2 × f (x2) + c3 × f (x3) (7)

En este caso usamos los valores de c0, c1, c2, c3, x0, x1, x2 y x3 de la tabla siendo estos:c0 = 0.3478548, c1 = 0.6521452, c2 = 0.6521452 y c3 = 0.3478548x0 = −0.861136, x1 = −0.339981, x2 = 0.339981 y x3 = 0.861136 Al hacer el cambiode variable para que los límites sean de -1 a +1, obteniendo asi x = 1.5 + 1.5xd ydx = 1.5dxd

Y de la misma manera reemplazamos los valores de x0, x1, x2 y x3 en el nuevo f (x)

f (x) = 1.5 · e(1.5+1.5xd) sin (1.5 + 1.5xd)

1 + (1.5 + 1.5xd)2


Gauss Legendre 6 BILBIOGRAFÍA


f (x0) = f (−0.861136) ≈ 0.366137

f (x1) = f (−0.339981) ≈ 1.704447

f (x2) = f (0.339981) ≈ 2.010386

f (x3) = f (0.861136) ≈ 0.953625


I = 0.3478548× (0.366137) + 0.6521452× (1.704447) + 0.6521452× (2.010386)

+0.3478548× (0.953625)

I = 0.127363 + 1.111547 + 1.311064 + 0.331723

I = 2.881697


6 BILBIOGRAFÍA


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