Gauss Seidel

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  • Alonso Ramrez Manzanares Mtodos Numricos 03.09.2012

    Mtodos iterativos de solucin de SEL

    Mtodo de Gauss-Seidel

    MAT-251Dr. Alonso Ramrez ManzanaresDepto. de MatemticasUniv. de Guanajuatoe-mail: alram@cimat.mxweb: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/

    Dr. Joaqun Pea AcevedoCIMAT A.C.e-mail: joaquin@cimat.mx

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    Descomposicin de Jacobi En el mtodo de Jacobi, descomponamos la matriz como

    2

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    Frmula iterativa de Gauss-Seidel

    Teniendo la siguiente frmula para el calculo iterativo de cada xi :

    Pero, ntese que cuando calculamos una incgnita , de hecho ya calculamos antes todas las x1,...,xi-1, por lo que podemos acelerar la convergencia usando:

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    Ejemplo del mtodo de Gauss-Seidel

    Veamos un ejemplo para solucin de este SEL con solucin exacta

    el cul d origen a las siguientes frmulas iterativas:

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    Ejemplo del mtodo de Gauss-Seidel

    Si utilizamos x(0) = (0,0,0,0)T e iteramos obtenemos

    para la condicin de paro:

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    Gauss-Seidel vs. Jacobi (ambos con la misma condicin de paro)

    Jacobi

    Gauss-Seidel

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    Algoritmo (1 de 2)

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    Algoritmo (2 de 2)

    Detalles de implementacin?

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    Forma matricial del mtodo de Gauss-Seidel

    Tomamos la ecuacin iterativa

    y multiplicamos todo por aii y agrupamos los trminos asociados a la misma iteracin:

    Quedando el conjunto de todas las ecuaciones i=1,...,n como

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    Forma matricial del mtodo de Gauss-Seidel

    Este sistema de ecuaciones

    genera la frmula matricial iterativa

    partiendo de que la matriz fu descompuesta como A = D - L - U

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    Forma matricial del mtodo de Gauss-Seidel

    Dada la frmula iterativa

    si existe, entonces usamos y

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    Cundo fuciona esto?

    Dado que usamos , debemos de invertir D-L, y su determinante es a11*a22*...*ann.

    Por lo tanto necesitamos que aii sea diferente de cero.

    En el ejemplo mostrado, se sugiere que el metdo de Gauss-Seidel es superior al de Jacobi, esto sucede la mayora de las veces, pero hay casos donde el mtodo de Jacobi converge y el mtodo de Gauss-Seidel no. Ntese que en el mtodo de Jacobi su matriz asociada era Tj = D-1(L+U).

    Podemos decir que si la matriz A es estrictamente diagonal dominante, entonces para cualquier vector b y cualquier estimacin inicial x(0) los 2 mtodos convergen a la solucin nica del sistema Ax=b.

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    Vector de residuo

    Sea x~ una aproximacin de la solucin real x del sistema, entonces hay un vector residual r = b- Ax~.

    Lo que se hace en los mtodos de GS y Jacobi es generar una sucesin de aproximaciones tal que r converja rpidamente a cero.

    Definimos como el vector residual del mtodo de GS correspondiente al vector solucin xi(k) aproximado, que esta definido por:

    La m-sima componente de ri(k) es:

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    Vector de residuo

    De

    En particular la i-sima componente de ri(k) es

    y por lo tanto

    y el paso de GS es:

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    Vector de residuo

    De

    En particular la i-sima componente de ri(k) es

    y por lo tanto

    y el paso de GS es:

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    Vector de residuo

    por lo tanto

    se puede escribir como

    o sea

    Ntese entonces, que el paso de GS escoge xi(k) en funcin del residuo.

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    Deduccin de relajacin

    Analicemos ahora para la siguiente entrada del vector residual

    asociado al vector

    pero en GS

    por lo tanto el paso GS hace lo cual puede no ser muy correcto (agresivo ya que no intenta hacer todo el vector r cero sino solo una entrada).

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    Deduccin de relajacin

    Analicemos ahora para la siguiente entrada del vector residual

    asociado al vector

    pero en GS

    por lo tanto el paso GS hace lo cual puede no ser muy correcto (agresivo ya que no intenta hacer todo el vector r cero sino solo una entrada).

    Ahora corre hasta i y no i-1

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    Deduccin de relajacin

    Analicemos ahora para la siguiente entrada del vector residual

    asociado al vector

    pero en GS

    por lo tanto el paso GS hace lo cual puede no ser muy correcto (agresivo ya que no intenta hacer todo el vector r cero sino solo una entrada).

    Ahora corre hasta i y no i-1

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    Deduccin de relajacin

    Analicemos ahora para la siguiente entrada del vector residual

    asociado al vector

    pero en GS

    por lo tanto el paso GS hace lo cual puede no ser muy correcto (agresivo ya que no intenta hacer todo el vector r cero sino solo una entrada).

    Ahora corre hasta i y no i-1

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    Deduccin de relajacin

    Por lo tanto no usamos el paso tal cual,

    sino que lo relajamos

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    El metodo SOR (Succesive Over Relaxation)

    En este mtodo de relajacin usamos un peso w

    con w = 1 tenemos el mtodo de Gauss-Seidel, cuando 0 < w < 1 tenemos sub-relajacin (algunas veces es mejor para sistemas que no convergen con GS) y si w > 1 tenemos sobre-relajacin (la cal se usa para acelerar la convergencia de sistemas que si convergen con GS). Hay teora que sugiere

    1< w < 2 en los casos de sobre relajacin.

    TAREA, ESCRIBIR EL SISTEMA MATRICIAL DEL MTODO SOR.

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    Pequeo ejemplo:

    El SEL con solucin exacta