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ENTROPIA - TODOS GABARITOS

GUIA DE ESTUDOS SOBRE ENTROPIA

GE 7.2) Teste sua compreenso!

GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas.

( F ) No zero absoluto a energia interna de um sistema nula.

Comentrio: No, a fsica quntica mostra que mesmo no zero absoluto h uma energia interna

mnima.

( V ) TdQdS = uma expresso quantitativa da 2 Lei da Termodinmica.

Comentrio: At agora a segunda lei havia sido expressa em termos de uma impossibilidade, Para

formul-la em termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia

relaciona-se com a probabilidade de um sistema estar numa dada configurao em funo do nmero

de possibilidades de configurao que esse sistema possa ter.

( F ) Quanto mais prximo de Zero Kelvin, mais fcil abaixar a temperatura de um sistema.

Comentrio: Pelo contrrio, se torna mais difcil abaixar a temperatura de um sistema medida que se

diminui a temperatura. Como mostra a 3 lei da termodinmica, impossvel atingir o zero absoluto

atravs de um nmero finito de processos cclicos.

( F ) A variao de entropia depende do caminho.

Comentrio: No, entropia uma varivel de estado, e portanto depende apenas do estado inicial e

final do sistema.

( V ) A variao de entropia em um processo cclico igual a zero.

Comentrio: Sim, a entropia s depende do estado final e inicial, portanto sua variao nula em um

ciclo, pois o estado inicial e final coincidem.

( F ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que 0=U nesta fonte.

Comentrio: Somente para gases ideias observamos que a energia interna depende apenas da

temperatura. Ou seja, a afirmao no pode ser generalizada.

( F ) A entropia nunca diminui em um processo reversvel.

Comentrio: A variao TOTAL de entropia durante qualquer processo reversvel igual a zero. Em

sistemas isolados a variao da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,

a entropia diminui durante um expanso isotrmica de uma gs ideal (processo reversvel).

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( F ) A entropia nunca diminui em um processo irreversvel.

Comentrio: A variao TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversvel positiva. Em

sistemas isolados a variao da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,

a entropia diminui durante uma compresso isovolumtrica de uma gs (processo reversvel).

( V ) A entropia do universo sempre aumenta.

Comentrio: A Variao TOTAL de entropia durante qualquer processo reversvel igual a zero. A

variao TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversvel positiva. Como todo processo

natural irreversvel a entropia TOTAL do universo sempre aumenta.

( V ) impossvel a ocorrncia espontnea de um processo onde a entropia diminui.

Comentrio: Como todo processo natural irreversvel, todo processo espontneo sempre ocorre no

sentido de aumento da entropia.

( V ) Em processos irreversveis as variaes positivas de entropia sempre superam as negativas.

Comentrio: Em processos irreversveis ocorrem tanto variaes positivas quanto negativas de

entropia, no entanto a variao TOTAL sempre positiva.

( V ) Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui.

Comentrio: Isso uma conseqncia da segunda lei da termodinmica. A transformao de energia

mecnica em calor um processo irreversvel, portanto a energia convertida em calor no fica

integralmente disponvel para a realizao de trabalho.

( F ) Entropia uma grandeza que pertence a cada partcula individualmente.

Comentrio: No faz sentido falar de entropia de uma partcula. Entropia relaciona-se com a

probabilidade de um sistema estar numa dada configurao em funo do nmero de possibilidades de

configurao que esse sistema possa ter.

( V ) Para um dado estado macroscpico podem haver vrios estados microscpicos correspondentes.

Comentrio: Sim, h vrias formas de configurao microscpicas que resultam na mesma

configurao macroscpica.

GE 7.2.2) Sobre a entropia de um sistema, no correto afirmar que:

a) Nunca pode ser negativa. b) Nunca pode diminuir.(X)

c) Pode variar em um sistema isolado. d) Sua variao independe do processo.

* ATENO: A entropia (S) de um sistema nunca pode ser negativa, no entanto a VARIAO DE

ENTROPIA ( S ) pode ser negativa, em um sistema isolado ou em um processo reversvel.

GE 7.2.3) Em um processo de expanso livre de um gs ideal de um estado a para um estado b

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correto afirmar que:

a) a entropia e a energia interna no se alteram.

b) a variao da entropia a mesma que ocorreria em uma expanso reversvel, enquanto a

variao de energia interna nula. (X)

c) As variaes de energia interna e de entropia so positivas.

d) A variao de energia interna menor que zero e a variao de entropia maior que zero.

GE 7.2.4) A entropia pode diminuir:

a) Em um processo cclico;

b) Apenas em um sistema submetido a um processo idealizado, para o qual a segunda lei no vlida;

c) Dentro de um sistema isolado submetido a um processo irreversvel; (X)

d) Dentro de um sistema submetido a um processo reversvel. (X)

GE 7.2.5) No violaria a segunda lei da termodinmica, um processo de:

a) Compresso espontnea do ar em uma sala;

b) A gua dentro de um copo sobre a mesa comear a congelar espontaneamente;

c) Fluir calor da Terra para o Sol;

d) Uma lata de refrigerante entrar em equilbrio trmico com o gelo dentro de um recipiente. (X)

GE 7.3) Temperatura e a 3 Lei da Termodinmica

GE 7.3.1) A eficincia de um ciclo de Carnot no depende da natureza da substncia operante, isto :

( )CHH

CH TTfQ

QQ=

||||

( )CHH

C TTfQQ

=

1

Ou ( )

( )CHCHC

H TTFTTfQ

Q=

=

11||

Em 1848, William Thompson, mais tarde, Lord Kelvin, props que F(TH, TC) fosse igual a .C

H

As

quantidades so chamadas de temperaturas termodinmicas e seriam independentes de qualquer

substncia especfica. As temperaturas termodinmicas tm o mesmo significado que as

temperaturas T definidas pelos termmetros de gs volume constante baixas presses.

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a) Para o ciclo de Carnot usando um gs ideal,

como mostrado na figura ao lado, calcule HQ para 1 mol de gs em funo de VK, VL e TH.

L

KHKLH V

VnRTWQ ln==

b) Calcule CQ em funo de VN, VM e TC.

N

MC

M

NCMNC V

VnRTVVnRTWQ lnln ===

c) Com auxlio da equao 11 = iiff VTVT

prove que N

M

K

L

VV

VV

=

Como 11 = MCLH VTVT e 11 = NCKH VTVT

1

1

1

1

=

N

M

K

L

VV

VV

N

M

K

L

VV

VV

=

d) Mostre que C

H

C

H

C

H

TT

QQ

==

, ou seja, que

as temperaturas dos termmetros de gs a

volume constante baixas presses sejam as

mesmas que as temperaturas termodinmicas de

Kelvin.

0

5

H

C

H

C

TT

QQ

=

Portanto, como mostramos ser uma funo s das

temperaturas

( )H

CCH

C

H

TT

TTFQQ

==

||

Temos que

H

C

H

C

TT

=

ENUNCIADO DA 3. LEI DA TERMODINMICA: O zero absoluto de temperatura inatingvel em

qualquer sequncia finita de processos.

Em termos de entropia pode-se dizer que a entropia do estado de equilbrio de qualquer sistema tende

a zero quando a temperatura tende para o zero absoluto.

GE 7.3.2) Represente uma seqncia de ciclos de Carnot,

em um diagrama p x V e discuta o que aconteceria ao se

resfriar o sistema repetidamente. Como isto se relaciona

com a 3. Lei da Termodinmica.

Resp: Ao abaixar a temperatura a rea do ciclo vai ficando

cada vez menor. No limite verifica-se uma situao onde

seria retirado calor em um ciclo sem uma mudana de

temperatura.

GE 7.3.3) Represente uma seqncia de ciclos de Carnot,

em um diagrama T x S e discuta o que aconteceria, ao se

resfriar o sistema.

Resp: Cada rea corresponde ao calor Q retirado do

sistema. No limite de resfriamento teramos um processo

isotrmico sem uma correspondente diminuio da

entropia.

GE 7.3.4) Como os resultados dos dois itens anteriores levam 3. Lei da Termodinmica?

Resp: No possvel atingir o zero absoluto atravs de um nmero finito de processos

termodinmicos.

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GE 7.4) Variao de entropia em processos reversveis e irreversveis

GE 7.4.1) Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30 para 17C. Responda:

a) A variao de entropia na sala positiva?

b) Isso viola a 2 Lei? Explique.

Resp:

a) A variao da entropia negativa, pois foi retirada uma certa quantidade de calor da parte quente

(dentro da sala) e entregue para a vizinhana (lado externo).

b) Este fato no viola a 2 lei porque a vizinhana tem uma variao positiva de entropia, sendo essa

maior que a variao de entropia no interior da sala.

GE 7.4.2) Em um dia mido, o vapor dgua se condensa em uma superfcie fria. Durante a

condensao como varia a entropia da gua? Explique com base na segunda lei da Termodinmica.

Resp: A entropia da gua diminui e da vizinhana aumenta, pois a mesma quantidade de calor que sai

do vapor cedido superfcie fria. Considerando a variao total temos um aumento de entropia, como

prev a segunda lei.

GE 7.4.3) Existe alguma variao de entropia em movimentos puramente mecnicos?

Resp: A variao de entropia ocorre apenas quando existir transferncia de calor.

GE 7.5) Variao de Entropia

GE 7.5.1) Qual a variao sofrida por 1,0 kg de gua ao se transformar em vapor a 100 C a uma

presso de 1 atm.

Resp: Encontre o valor de Q pela expresso VmLQ = j que se trata de um processo de vaporizao.

! =!"# ""#$!!%& $ ' "# (%( )=""#$"$ Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, pode-se calcular a variao de entropia envolvida no

processo:

!! ="#=!!"#$$%& %

&'&&=#(%""$%& % )&

GE 7.5.2) Um amostra de 1 kg de cobre, a 100C, colocada num calormetro com 4 litros de gua a

0 C. A capacidade calorfica do calormetro desprezvel. Calcule a variao da entropia:

a) do cobre;

b) da gua;

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c) do universo.

Resp: Calcule a temperatura final do sistema:

recebidocedido QQ = 1!0,386 100"T( ) = 4! 4,190 T" 0( )#T = 2,26C = 275, 4K

Cobre

i

Fcobrecobrecobre T

TcmS ln=

KJS

S

cobre

cobre

/1173734,275ln386,0

=

=

gua

i

Faguaaguaagua T

TcmS ln=

KJS

S

agua

agua

/13715,2734,275ln)190,4(4

=

=

Universo (Processo irreversvel)

cobreaguauniverso SSS +=

0/20117137

>

==

+=

universo

universo

cobreaguauniverso

SKJS

SSS

GE 7.5.3) Se 500J de calor so transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda:

a) Qual a variao de entropia do universo?

b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em trabalho?

Resp: A entropia do Universo a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria

KJS

TQ

TQS

SSS

universo

CHuniverso

CHuniverso

/417,03001

4001500 =

+=

+

=

+=

b) Calcule a eficincia da mquina usando

25,04003001

1

==

=

e

TTeH

C

Por fim, calcule o trabalho usando a expresso: HeQW =

W = 0,25 500( ) =125 J

GE 7.5.4) Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200 J de outra fonte a 400 K.

Retorna, ento, ao estado inicial, efetuando 100J de trabalho e descarregando 400 J de calor em um

reservatrio na temperatura T.

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a) Qual a variao da entropia do sistema em um ciclo completo?

b) Se o ciclo for reversvel, qual a temperatura T?

Resp:

a) A entropia uma funo de estado, portanto ela ser sempre nula em um processo cclico

b) O calculo de TC pode ser feito lembrando que a variao da entropia do Universo a soma das

variaes de entropia nas trs fontes.

KTT

TQ

TQ

TQS

SSSS

C

C

CHHuniverso

CHHuniverso

267

400400200

3003000

21

21

=

++=

++=

++=

GE 7.5.5) Calcule a variao de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de gua

a 100 C e a 1 atm so introduzidos em um calormetro de capacidade calorfica desprezvel contendo

150 g de gua e 150 g de gelo a 0C.

Resp: Calcule as transferncias de energia que ocorrem no calormetro:

1) Calor necessrio para derreter 150g de gelo:

FmLQ = Q1 = 0,150kg 334!103J / kg.K( ) = 50,1kJ

2) Calor liberado pelo vapor na liquefao e o calor que reduz a temperatura de 10g de gua de 100C

para 0C

TmcmLQ V +=

Q2 = (10!10"3) 2.257!103( )+ 10!10"3 ! 4190!100#$ %&= 26, 76kJ

Se KTQQ final 27312 ==

Encontre a massa de gelo que derrete com o calor fornecido a ela:

gkgmmLQ F 2,800802,05,33375,26

====

Pode-se calcular agora as variaes de entropia

Gelo Vapor Universo

9

KJS

KJQS

g

g

/98

/75,262732

=

==

f

iaguaagualVvaporvapor T

TcmTLmS ln/ +=

KJSS

vapor

vapor

/74

732,0ln84,41373/22750

=

+=

vaporgelouniverso SSS +=

0/24

>

=

universo

universo

SKJS

Processo irreversvel

GE 7.5.6) Construa o grfico T x S de acordo com os grficos p x V

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GE 7.6) VISO MICROSCPICA DA ENTROPIA

Suponha que duas moedas sejam lanadas num jogo de cara e coroa. Qual a probabilidade de

que ambas exibam cara? S h uma configurao possvel para que isso ocorra (veja tabela). O

mesmo vale para se obter ambas com coroa. No entanto existem duas maneiras distintas de se obter

uma cara e uma coroa. Existem ao todo 4 possibilidades de configurao, em duas delas o sistema

exibe 1 cara e 1 coroa, portanto esse deve ser o resultado mais provvel.

Configurao microscpica do

sistema 2 moedas

Possibilidades microscpicas

N de possibilidades microscpicas para um

mesmo estado

macroscpico

2 caras

1 cara e 1 coroa

2 coroas

1

2

1

Siga o mesmo raciocnio para 3 moedas:

Configurao microscpica

do sistema 3 moedas Possibilidades microscpicas

N de possibilidades

microscpicas para um

mesmo estado macroscpico

11

3 caras

2 caras e 1 coroa

1 cara e 2 coroas

3 coroas

1

3

3

1

GE 7.6.1) Qual o resultado mais provvel ao lanar 3 moedas?

Resp: Pela tabela acima, vemos que existem 3 possibilidades de se obter 2 caras e 3 possibilidade de

se obter 2 coroas. Essas duas configuraes so as que tem a maior probabilidade de ocorrer quando

se lana 3 moedas.

GE 7.6.2) Em um jogo com seu colega, no qual fossem lanadas quatro moedas, voc apostaria em:

a) todas exibindo cara b) todas exibindo coroa

c) 1 cara e 3 coroas d) 2 coroas e 2 caras

Qual a razo da sua escolha?

Resp: Por que existe mais chance de ocorrer a configurao d quando se tem 2 caras e duas coroas,

comparado com as demais possibilidades.

GE 7.6.3) Repita o mesmo procedimento das figura acima, mas agora considerando 4 moedas. Sua

resposta se confirma?

Resp: A resposta se confirma j que h seis configuraes possveis para se obter 2 caras e duas

coroas e para as demais configuraes o nmero de possibilidades menor (4 ou 1)

Configurao microscpica do sistema 4 moedas

Possibilidades microscpicas

N de possibilidades

microscpicas para um mesmo estado macroscpico

todas exibindo cara

1

12

trs caras e uma coroa

4

Duas caras e duas coroas

6

Uma cara e trs coroas

4

Quatro coroas

1

GE 7.6.4) Em um novo jogo seu colega lana 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe

diz que obteve 4 caras, facilmente voc pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu

colega lhe dissesse que a configurao de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como est a

moeda azul? Voc poderia responder com certeza a essa pergunta?

Resp: Quando as moedas caem todas exibindo cara evidente a configurao de cada moeda

individualmente. Isso no ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul pode estar entre

as duas que caram exibindo cara ou entre as duas que caram exibindo coroa; no h como afirmar

com certeza a posio de nenhuma das moedas individualmente.

GE 7.6.5) Se um determinado nmero de molculas confinados num cilindro se expandem em uma

sala, o nmero de posies onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui?

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Resp: O nmero de posies aumenta, j que ela tem mais espao para percorrer. A princpio uma

molcula poderia ser encontrada com certeza dentro do cilindro, em alguma posio daquele pequeno

espao. Aps a expanso ela poder estar em qualquer posio dentro de todo o espao da sala.

GE 7.6.6) Aumenta-se a temperatura de um certo gs confinado em um mbolo. Como isso interfere na

distribuio de velocidades das molculas? O que se pode afirmar sobre o nmero de posies

possveis que as molculas podem ocupar dentro do mbolo antes e depois do aquecimento?

Resp: O aumento de temperatura, como j foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do

sistema. Assim, tendo maior energia interna um maior nmero de molculas poder ocupar as

posies possveis e disponveis para o gs dentro do mbolo depois do aquecimento.

GE 7.6.7) Seja w o nmero de estados microscpicos possveis para um dado estado macroscpico.

Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscpico dada por wkS ln= . Onde k a constante de Boltzmann. Como entropia uma varivel de estado (ou seja, em qualquer processo a

variao da entropia o que interessa) podemos dizer que

12 SSS =

12 lnln wkwkS =

1

2lnwwkS =

Considere que n moles de um gs esto temperatura T confinados em uma caixa termicamente

isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em

um dos compartimentos foi feito vcuo. A seguir quebramos a parede e o gs se expande e preenche

completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variao de entropia nesse processo de

expanso livre, usando a definio microscpica da entropia dada acima.

Resp:

No h trabalho realizado, no h variao da energia interna, contudo as molculas tem 2 vezes mais

espao para se mover.

AnNN = o nmero total de molculas, assim , o nmero total de molculas cresce de N2 , ou seja

12 2 wwN=

2ln2ln

2lnln1

1

1

2

NkSkS

wwk

wwkS

N

N

=

=

==

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Como AnNN = e ANRk = , obtemos

( ) 2ln2ln nRNRnNS

AA =

= Este resultado o mesmo que seria obtido se o clculo fosse feito

atravs da expresso: TQS =

Todos os diretos reservados. Departamento de Fsica da UFMG

GABARITO DOS EXERCCIOS DE FIXAO

GE 7.7) EXERCCIOS DE FIXAO

GE 7.7.1) Calcule a variao de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 kg de gua a 20,0 C com 2,00 kg de gua a 80,0 C

Resp: Clculo da Temperatura de equilbrio TE

( ) ( )KTKkgJkgQ Ecedido 353.419000,2

= ( ) ( )Erecebido TKKkg

JkgQ

= 293.419000,1

Q cedido = Q recebido KTE 333=

Quando ocorre variao de temperatura, o clculo de variao da entropia imaginando-se um processo reversvel que ocorra entre os dois estados. Ou seja,

===2

1

2

1

2

1 1

2lnt

t

t

t

t

t TTmc

TdTmc

TmcdT

TdQS

( ) )353333)(ln.4190)(00,2(20 KK

KkgJkgS Cagua =

( ) KJS Cagua /48820 =

( ) )293333)(ln.4190)(00,1(80 KK

KkgJkgS Cagua =

( ) KJS Cagua /53680 =

15

( ) KJS Total /48488536 ==

GE 7.7.2) Em um processo reversvel trs moles de um gs ideal so comprimidos isotermicamente a 20,0 C. Durante a compresso um trabalho de 1850 J realizado sobre o gs. Qual a variao de entropia do gs?

Resp: Para uma expanso isotrmica, T = 0, U = 0 e Q = W. A variao de entropia dada por

./31,615,293

1850 KJKJ

TQ

==

GE 7.7.3) Um gs ideal sofre uma dilatao isotrmica reversvel a 132 C. A entropia do gs aumenta de 46,2 J/K. Qual o calor absorvido?

Resp: TQS =

JKKJQ 711,18)405(2,46 ==

kJQ 7,18=

GE 7.7.4) Um mistura de 1,78 kg de gua e 262 g de gelo a 0 C levada, por processo reversvel, para um estado final de equilbrio a 0C onde a razo das massas de gelo/gua : 1:1

a) Calcule a variao de entropia do sistema durante o processo.

b) O sistema retorna ao primeiro estado de equilbrio por processo irreversvel (Utilizando um bico de Bunsen, por exemplo). Calcule a variao de entropia durante este processo.

c) Mostre que sua resposta consistente com a segunda lei da termodinmica.

Resp: necessrio encontrar o fluxo de calor do processo:

mLQ F=

( ) kJkgxKgJxQ 506,25310759)10334( 33 ==

KJ

KkJ

TQS 928

273506,253

=

==

A entropia nesse caso negativa, por ser um processo reversvel, no qual retira-se calor do sistema.

(b) A variao da entropia s depende dos estados inicial e final, portanto ao retornar ao estado de equilbrio por processo irreversvel a entropia aumenta de 928J

(c) A entropia primeiramente sofre uma variao negativa na mistura em questo, atravs de um processo reversvel. importante lembrar que a variao total da energia positiva, porque a

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vizinhana tambm sofre uma variao de entropia. E variao final positiva.

O segundo processo irreversvel, portanto a variao da entropia positiva.

GE 7.7.5) Um cubo de gelo de 12,6 g a -10,0 C colocado em um lago cuja temperatura +15,0 C. Calcule a mudana de entropia do sistema quando o gelo alcanar o equilbrio trmico com o lago (sugesto: o gelo afetar a temperatura do lago?)

Resp: claro que um cubo de gelo no vai mudar a temperatura do lago inteiro. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua temperatura final elevada at 15C. As variaes de entropia correspondentes so:

KJKkgJkgTdTmcS

f

i

T

Tgelo /99,0263

273ln)./2100)(0126,0( ===

( )( ) KJK

kgJkgTmLS Fgelo /37,15273

/3330000126,0===

KJKJkgTdTmcS

f

i

T

Taguaagua /82,2273

288ln)/4190)(0126,0( ===

KJS guagelo /2,1982,237,1599,0 =++=

O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equilbrio :

( ) ( )( ) ( )( )[ ] JKkgKJkgKJKkgKJkgQlago 3,110915/4190/419010/21000126,0 =++=

A variao de entropia do lago vai ser:

KJKJSlago /85,32885,1109

==

A variao da entropia do sistema ser KJSSS lagoaguagelo /35,1585,32,19 ==+= +

Todos os diretos reservados. Departamento de Fsica da UFMG

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GABARITO DOS PROBLEMAS

GE 7.8) PROBLEMAS

GE 7.8.1) Um mol de um gs ideal monoatmico obrigado a completar o ciclo mostrado na figura.

a) Qual o trabalho efetuado sobre o gs na dilatao de a at c pelo caminho abc?

b) Qual a variao da energia interna e a entropia ao passar de b para c?

c) Qual a variao de energia interna e entropia em um ciclo completo?

D suas respostas em termos da presso p0 e do volume V0 no ponto a do diagrama.

Resp: (a) No caminho abc s h realizao de trabalho no processo isobrico ab. Wab igual rea do grfico sob o segmento de reta ab

003 VpVpWab ==

(b) No processo isovolumtrico bc, as temperaturas, inicial e final so:

RVpTa 00=

aab TVVTT 44

0

0 ==

( )( )a

ac Tp

pTT 824

0

0 ==

Para a variao da energia interna vem,

( ) aav RTTRTnCU 64823)0,1( =

==

E para variao de entropia, tem-se:

18

==c

b

T

T b

cvvbc TTnC

TdTnCS ln

2ln23 RSbc =

(c) A variao da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variaes associadas aos processos ab e ca e somando-as ao j conhecido valor da variao no processo bc:

( ) ( ) 0000 2914

230,1 Vp

RVpRTnCU vab =

==

( ) ( ) 0000 22181

230,1 Vp

RVpRTnCU vca =

==

GE 7.8.2) Um mol de um gs monoatmico ideal passa por dois processos diferentes, de um estado inicial cuja presso p0 e volume V0 para um estado final de presso 2p0 e volume 2V0.

(I) O gs se dilata isotermicamente at que o volume dobre e ento a presso aumentada, a volume constante, at atingir o estado final.

(II) Ele comprimido isotermicamente at que sua presso dobre e ento seu volume aumentado a presso constante at o estado final. Represente os dois processos num diagrama pV. Calcule, para cada processo, em termos de p0 e V0:

a) O calor absorvido pelo gs em cada parte do processo. b) O trabalho realizado sobre o gs em cada parte do processo c) A variao de energia interna do gs d) A variao de entropia do gs

Resp: (I) Expanso Isotrmica 0=U WQ =

(a) e (b) 2lnln pVVV

RTWQi

f ===

Processo isovolumtrico: W=0 QU =

( )afv TTRTCQ == 23

;RpVTa = af TR

pVT 44 ==

( ) pVRpVRQ

2914

23

==

19

(c) pVQU29

==

(d) 2ln2ln1 RTpV

TQS ===

===f

a

T

Tv RRTdTCS 2ln34ln

23

2

( ) 2ln42ln3121 RRSSSI =+=+=

(II) Compresso Isotrmica 0=U WQ =

V

VRTWQ 2ln==

2lnpVWQ ==

( )bfp TTRTCQ == 25

;2

21RpVVp

RTb =

= bf TRpVT 44 ==

( ) pVRpVRQ

21514

25

==

( ) pVVVpVpW 35,022 ===

(c) pVpVWQU29

26

215

=

==

(d) 2ln3 RS =

2ln54ln25

4 RRTdTCS

f

b

T

TP ===

20

( ) 2ln42ln5143 RRSSSII =+=+=

Sendo a entropia uma varivel de estado, confirma-se que III SS = , portanto independente do caminho.

GE 7.8.3) Diagrama TS

a) Faa um grfico do ciclo de Carnot indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperaturaentropia ou diagrama TS

b) Mostre que a rea embaixo da curva que representa o processo reversvel no diagrama TS representa o calor absorvido pelo sistema.

Resp:

===f

i

TdSQTdSdQTdQdS

Para bc e da dS=0 logo 0== dabc QQ , portanto adiabtico.

Para ab

( ) ==2

1

1211

S

Sab SSTdSTQ que a rea do grfico

Para cd

( ) ==1

22122

S

Scd SSTdSTQ que a rea do grfico.

Para o ciclo completo:

( ) == STTTdsQtotal 21

i) c) Utilize o diagrama TS para deduzir a eficincia trmica do ciclo de Carnot.

ii) iii) Resp:

( )STSTT

QQ

QQQ

QQQ

QWe T

ab

cdab

==

=

==

1

21

11

21

1

1

21TTe =

21

GE 7.8.4) Ciclo de Stirling

O ciclo de Stirling semelhante ao ciclo de Otto exceto quando a compresso e a expanso do gs ocorrem isotermicamente e no adiabaticamente como no caso do ciclo Otto. O ciclo de Stirling usado em uma mquina de combusto externa, ou seja, a mquina na qual o gs no interior do cilindro no usado no processo de combusto. O calor fornecido continuamente pelo fluido combustvel no exterior do cilindro em vez de ser oriundo de uma exploso no interior do cilindro como no ciclo Otto. Por esta razo, as mquinas que funcionam com o ciclo de Stirling so mais silenciosas do que as mquinas que funcionam com o ciclo Otto, uma vez que no existe vlvula de admisso nem vlvula de exausto (a principal fonte de rudo do motor. Embora pequenas mquinas de Stirling possam ser usadas em diversas aplicaes, o uso do ciclo de Stirling em um automvel no teve xito porque o motor maior, mais pesado e mais caro do que o motor convencional do automvel. No ciclo, o fluido de trabalho realiza os seguintes processo.

iv) i ) Compresso isotrmica temperatura T1 do estado inicial a at o estado b, com uma razo de compresso r.

v) vi) ii) Aquecimento a volume constante at o estado c com

temperatura T2 vii) viii) iii) Expanso isotrmica temperatura T2 at o estado d ix) x) iv) Resfriamento a volume constante retornando para o

estado inicial a

Suponha que o fluido de trabalho seja n moles de um gs ideal (para o qual Cv no depende da temperatura).

a) Calcule Q, W, e U para os processos a b, b c, c d, d a,

b) no inicio do ciclo de Stirling, os calores transferidos nos processos b c, d a no envolvem fontes de calor externas, porm usam a regenerao: a mesma substncia que transfere calor do gs dentro do cilindro no processo b c tambm absorve calor de volta do gs no processo d a. Portanto os calores transferidos Q b c e Q d a no desempenham papel na determinao da eficincia da mquina. Explique esta ltima afirmao comparando as expresses de Q b c e Q d a obtidas na parte 9 (a)

c) Calcule a eficincia de um ciclo de Stirling em termos de temperaturas T1 e T2.

d) Como ele se compara com as eficincias de um ciclo de Carnot operando entre estas mesmas temperaturas? (Historicamente o ciclo de Stirling foi deduzido antes do ciclo de Carnot)

e) Este resultado viola a segunda lei da termodinmica? Explique.

e) Usando um diagrama T x S relacione a eficincia do ciclo de Stirling com a eficincia do ciclo de Carnot.

Resp:

Processos U Q W

ab 0 ( )rnRT ln1 ( )rnRT ln1

bc ( )12 TTnCV ( )12 TTnCV 0

22

cd 0 ( )rnRT ln2 ( )rnRT ln2

da ( )12 TTnCV ( )12 TTnCV 0

Para ab e cd Processos Isotrmicos

WQU == 0

=== VdVnRTpdVWQ

( )rnRTWQrnRTWQ

VV

nRTWQi

F

lnln

ln

1

==

==

==

Para bc e da isovolumtricos

UQW == 0

( )iFV TTnCQU ==

b) Sendo as transformaes so isovolumtricas, o trabalho nulo. Ou seja o calor absorvido todo convertido em energia interna.

c) e d)

Resp:

Processo a-b - Isotrmico

rnRTQab ln1=

rnRTWab ln1=

0= abU

Processo b- c Isovolumtrico

( )12 TTnCQ Vbc =

0=bcW

( )12 TTnCU Vbc =

Processo c-d - Isotrmico

23

rnRTQcd ln2=

rnRTWcd ln2=

0= cdU

Processo d-a Isovolumtrico

( )12 TTnCQ Vda =

0=daW

( )12 TTnCU Vda =

bcda QQ = Logo eles no entram no clculo da eficincia, por causa da regenerao.

rnRTrnRTrnRT

QWWWW

QWe

cd

dacdbcab

H ln0ln0ln

1

21

=++=

+++==

( )1

21

lnln

TTT

rnRrnRe

=

( )1

21

TTTe =

1

21TTe = Eficincia exatamente igual de Carnot

e) No viola a segunda lei, afinal a eficincia de Stirling no supera a eficincias de Carnot nos mesmos extremos de temperatura

f) WdQdU =

TQS = . Substituindo Q nesta expresso tem-se:

TdTnC

TpdVdS V==

+= TdTnC

VdVnRS V

i

FV

i

F

TTnC

VVnRS lnln +=

24

Nos processos bc e da o volume constante, logo o primeiro termo da expresso acima igual a zero

i

FV T

TnCS ln=

Isolando T, temos;

( )0

0 lnTT

nCSTS

V

=

VnCSS

eTT 0

0

=

( ) VnCSS

eTST0

0

=

A dependncia da temperatura em relao a entropia exponencial.

GE 7.8.5)

a) Qual dos seguintes processos gasta mais energia:

(1) Um corpo se move inicialmente com 500J de energia cintica e desacelerado at repouso pelo atrito quando a temperatura da atmosfera de 300K.

(2) 1 kJ de calor transferido de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300k

b) Qual a variao de entropia do universo em cada um dos processos?

Resp:

(a) Processo (1) Toda a energia mecnica perdida, portanto o gasto de energia de 500J

Processo (2) Imagine uma mquina trmica funcionando no ciclo de Carnot, nesse caso

JkJQTTW HH

Cutil 2501*25,01 ==

=

O gasto de energia 1000 250 = 750J.

O processo (1) gasta mais energia mecnica, o processo (2) gasta mais energia total.

b) KJTQS /67,11 =

=

KJTT

QSHC

/833,0112 =

=

21 SS > .

25