GE4 ΤΡΙΤΗ, 12 Μαΐου 2015, και ώρα 24:00 AΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ … · βολεύει) επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο, (επίσης όποιο

1

GE4 ΤΡΙΤΗ, 12 Μαΐου 2015, και ώρα 24:00

AΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25)

Η εταιρεία ΠΣ Α.Β.Ε.Ε. παράγει 2 ειδών πλαστικούς σωλήνες. Η κατασκευή τους διέρχεται από

τρεις φάσεις που απαιτούν κάποιο χρόνο σε ώρες: ανάμειξη μείγματος, επεξεργασία μείγματος,

συσκευασία τελικού προϊόντος. Στον Πίνακα που ακολουθεί, παρατίθενται οι χρονικές απαιτήσεις

για το κάθε είδος πλαστικού σωλήνα σε κάθε φάση καθώς επίσης και οι διαθέσιμες ώρες σε κάθε

μία από τις φάσεις της παραγωγής. Οι τιμές αναφέρονται στην κατασκευή 100 μέτρων σωλήνα.

ΠΑΡΑΓΩΓΗ

Παραγωγική φάση Τύπος 1 Τύπος 2 Διαθεσιμότητα

χρόνου

Ανάμειξη μείγματος 2 ώρες 1 ώρες 16 ώρες

Επεξεργασία 4 ώρες 6 ώρες 48 ώρες

Συσκευασία 2 ώρες 2 ώρες 18 ώρες

Η εταιρεία κερδίζει €34 από την πώληση 100 μέτρων σωλήνα τύπου 1 και €40 από την πώληση

100 μέτρων σωλήνα τύπου 2. Η διοίκηση επιθυμεί να προσδιορίσει το σχέδιο παραγωγής που

μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος, κάτω από τους περιορισμούς των διαθέσιμων πόρων (που είναι η

διαθεσιμότητα χρόνου σε κάθε φάση της παραγωγής).

1. Διατυπώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για τον προσδιορισμό του βέλτιστου

σχεδίου παραγωγής. Πόσα μέτρα σωλήνα τύπου 1 και πόσα μέτρα σωλήνα τύπου 2 πρέπει

να παραχθούν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, δοθέντων των περιορισμών; Η επίλυση

να γίνει με δύο τρόπους: (i) Γραφικά και (ii) με το Excel (όπου θα πρέπει να ετοιμάσετε τρία

φύλλα εργασίας: α) τα δεδομένα μετά την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (answer

report) και γ) την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report)). (10 μονάδες)

2. Σχολιάστε την κατανάλωση χρόνου στην ανάμειξη, στην επεξεργασία και στη συσκευασία

στη βέλτιστη λύση που προκύπτει και απαντήστε με σαφήνεια αν υπάρχουν περισσεύματα,

πόσα και σε ποιες φάσεις. (3 μονάδες)

3. Αν θεωρηθεί ότι οι διαθέσιμες ώρες στην επεξεργασία ή στην συσκευασία μεταβάλλονται

(είτε αυξάνονται είτε μειώνονται), αυτή η αλλαγή επηρεάζει τη βέλτιστη λύση; (3

μονάδες)

Για να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα χρησιμοποιήστε την αναφορά ευαισθησίας από το

Excel χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα.

4. Μια επιπλέον διαθέσιμη ώρα στην επεξεργασία αυξάνει ή μειώνει την τιμή της

αντικειμενικής συνάρτησης και αν ναι, πόσα ευρώ; (3 μονάδες)

5. Αν μπορούσατε να διαθέσετε μία επιπλέον ώρα στην παραγωγή, σε ποια από τις τρεις

φάσεις θα την διαθέτατε; Γιατί; (3 μονάδες)

2

6. Πόσο μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί το κέρδος του πλαστικού σωλήνα τύπου 2 από την

τρέχουσα τιμή των €40 χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα 1; (3

μονάδες)

ΛΥΣΗ

Ερώτημα 1 (10 μονάδες)

Τυποποίηση του Γραμμικού Προβλήματος

Έστω:

Χ1 = η ποσότητα, σωλήνα τύπου 1 που θα πρέπει να κατασκευαστούν την δοσμένη περίοδο.

Χ2 = η ποσότητα, σωλήνα τύπου 2 που θα πρέπει να κατασκευαστούν την δοσμένη περίοδο.

Επειδή τα δεδομένα του προβλήματος αφορούν στην παραγωγή 100 μέτρων σωλήνα, γι’ αυτό

συμφωνούμε τα Χ1, Χ2 να εκφράζουν εκατοντάδες μέτρα, π.χ., η τιμή Χ1=3 σημαίνει τρεις

εκατοντάδες, δηλαδή 300 μέτρα.

Το κέρδος από την παραγωγή Χ1 μέτρων σωλήνα τύπου 1 είναι ίσο με 34Χ1 ευρώ. Με όμοιο τρόπο,

το κέρδος από την παραγωγή Χ2 ποσότητας σωλήνα τύπου 2 είναι ίσο με 40Χ2 ευρώ. Επομένως, το

συνολικό κέρδος είναι ίσο με

Ζ = 34Χ1 + 40Χ2 ευρώ.

και αυτή είναι η αντικειμενική συνάρτηση (Α.Σ.) του προβλήματος την οποία ενδιαφερόμαστε να

μεγιστοποιήσουμε, δηλαδή να βρούμε το

Max Ζ = Max (34Χ1 + 40Χ2)

Για τις ώρες ανάμειξης ισχύει:

Ο αριθμός των ωρών ανάμειξης μείγματος που θα απαιτήσει η παραγωγή Χ1 (100-μέτρων) σωλήνα

τύπου 1 είναι ίσος με 2Χ1 (αφού μια εκατοντάδα απαιτεί 2 ώρες) ενώ για σωλήνα τύπου 2 είναι

ίσος με Χ2 (αφού μια εκατοντάδα απαιτεί 1 ώρα). Ο συνολικός αριθμός των ωρών ανάμειξης δεν

μπορεί να ξεπεράσει τις διαθέσιμες 16 ώρες, δηλαδή θα πρέπει να ικανοποιείται ο περιορισμός:

2Χ1 + Χ2 ≤ 16 (χρόνος για δημιουργία/ανάμειξη μείγματος)

Ο αριθμός των ωρών επεξεργασίας που θα απαιτήσει η παραγωγή Χ1 (100-μέτρων) σωλήνα τύπου

1 είναι ίσος με 4Χ1 ενώ για σωλήνα τύπου 2 είναι ίσος με 6Χ2. Ο συνολικός αριθμός των ωρών

επεξεργασίας δεν μπορεί να ξεπεράσει τις διαθέσιμες 48 ώρες, δηλαδή θα πρέπει να ικανοποιείται ο

περιορισμός:

4Χ1 + 6Χ2 ≤ 48 (χρόνος για επεξεργασία)

Με παρόμοιο τρόπο, επειδή ο συνολικός αριθμός των ωρών συσκευασίας δεν μπορεί να ξεπεράσει

τις διαθέσιμες 18 ώρες, πρέπει να ισχύει:

2Χ1 + 2Χ2 ≤ 18 (χρόνος για συσκευασία)

Συνοψίζοντας, το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το παραπάνω πρόβλημα είναι το

ακόλουθο:

Max (34Χ1 + 40Χ2)

3

με περιορισμούς:

2Χ1 + Χ2 ≤ 16 (1)

4Χ1 + 6Χ2 ≤ 48 (2)

2Χ1 + 2Χ2 ≤ 18 (3)

Χ1 ≥ 0, Χ2 ≥ 0 (4)

(i) ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Ο χώρος των εφικτών λύσεων προκύπτει από τον χώρο των κοινών λύσεων των ανισοτήτων (1)

έως (4). Η γραφική μέθοδος επίλυσης απαιτεί να βρεθεί ο χώρος των εφικτών λύσεων (εφικτή

περιοχή) και δίνεται στο παρακάτω Σχήμα 1:

Σχήμα 1: Γραφική μέθοδος επίλυσης

Αυτό γίνεται στα εξής βήματα.

Για κάθε μια από τις ευθείες 1 1 2

2 16x x ,2 1 2

4 6 48x x 3 1 2

2 2 18x x

που αντιστοιχούν στους περιορισμούς βρίσκουμε δυο σημεία από τα οποία περνούν και τις χαράσσουμε.

Για την πρώτη με, π.χ.

10x

βρίσκουμε

216x και έτσι έχουμε το σημείο (0,16) και ομοίως για

20x έχουμε

18x και έτσι έχουμε το σημείο (8,0). Το ίδιο κάνουμε για τις άλλες ευθείες και σε

ένα σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων τις κατασκευάζουμε. Κάθε τέτοια ευθεία χωρίζει το

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

ε: Σταθμική στο

z0=120

ε1:προετοιμασία

μείγματος

ε2:Επεξεργασια

μείγματος

ε3:Συσκευασία τελ.

προϊόντος

E

ε: Ισοσταθμική

στην θέση zmax

Β

0 1 2 0 34 40 120ή x x z

S: Εφικτή π

π περιοχή (-)

C

(+)

Α

D 2 1 2

4 6 48x x

1 1 22 16x x

3 1 22 2 18x x

4

επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα, τα οποία μας βοηθούν να βρούμε τον χώρο των εφικτών λύσεων

(εφικτή περιοχή), με την παρακάτω διαδικασία.

Η διαδικασία είναι απλούστατη και θα την δούμε για μια μόνο ανισότητα π.χ. την 1 2

2 16x x . Η

ευθεία 1 1 2

2 16x x χωρίζει το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα. Στο ένα από αυτά (όποιο μας

βολεύει) επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο, (επίσης όποιο μας βολεύει), αλλά έτσι ώστε να μπορούμε

εύκολα να δούμε σε ποιο από τα δυο ημιεπίπεδα της ε1 αυτό πέφτει-ανήκει. Το πιο σύνηθες είναι η

αρχή των αξόνων (0,0), εκτός αν η ευθεία ε1 περνά από την αρχή, οπότε πρέπει να

επιλέξουμε άλλο σημείο. Με τις συντεταγμένες αυτού του σημείου, εδώ επελέγη το (0,0),

δοκιμάζουμε στην ανισότητα 1 2

2 16x x , και βλέπουμε ότι την επαληθεύει 2 0 1 0 16 .

Κατά συνέπεια όλα τα σημεία του ημιεπιπέδου στα οποίο βρίσκεται το σημείο (0,0) σε σχέση με

την ευθεία επαληθεύουν την ανισότητα. Πάμε στο σχήμα, και με ένα βέλος πάνω στην ε1

επισημαίνουμε αυτό το ημιεπίπεδο, (η επισήμανση μπορεί να γίνει και με οποιοδήποτε άλλο

πρόσφορο τρόπο).

Ας δούμε τι θα συμβεί αν είχαμε επιλέξει το σημείο το σημείο (6,6). Με αυτό έχουμε

2 6 1 6 18 16 . Άρα κανένα από τα σημεία του ημιεπιπέδου στα οποίο βρίσκεται το σημείο

(6,6) δεν επαληθεύουν την ανισότητα. Πάμε στο Σχήμα 1, και με ένα βέλος πάνω στην ε1

επισημαίνουμε το άλλο ημιεπίπεδο, στο οποίο και θα επαληθεύεται η ανισότητα.

Αφού κάνουμε την ίδια δουλειά για όλες τις ανισότητες, παίρνουμε την τομή αυτών των

ημιεπιπέδων και του πρώτου τεταρτημορίου (τα σημεία του επιπέδου με 1 20, 0x x ), και

έτσι βρίσκουμε τον χώρο S, των εφικτών λύσεων (εφικτή περιοχή), που είναι το γραμμοσκιασμένο

φραγμένο κυρτό πολύγωνο ΑΒCDΕ. Τα παραπάνω έχουν αποτυπωθεί στο Σχήμα 1.

Όταν φτάσουμε σε αυτό το σημείο έχουμε δυο επιλογές για να ολοκληρώσουμε την λύση.

ΕΠΙΛΟΓΗ 1. Απoτίμηση της αντικειμενικής συνάρτησης (Α.Σ.) σε κάθε κορυφή του S.

1. Αυτή απαιτεί να βρούμε τις συντεταγμένες των πέντε κορυφών του πολύγωνου ΑΒCDΕ.

2. Να υπολογίσουμε τις τιμές της Α.Σ. σε κάθε κορυφή, να τις συγκρίνουμε και να δούμε ποια

δίνει το βέλτιστο, εδώ το max.

Ας βρούμε τις κορυφές του ΑΒCDΕ. Η κορυφή Α είναι η αρχή των αξόνων και επομένως οι

συντεταγμένες του είναι Α(0,0). Η κορυφή Β είναι τομή των ευθειών Χ1=0 και 4Χ1+6Χ2=48 και έχει

συντεταγμένες Β(0,8). Η κορυφή C είναι η τομή των ευθειών 4Χ1+6Χ2=48 και 2Χ1+2Χ2=18 και άρα

οι συντεταγμένες του είναι C(3,6). Η κορυφή D είναι η τομή των ευθειών 2Χ1+2Χ2=18 και

2Χ1+Χ2=16 έχει συντεταγμένες τις D(7,2). Η κορυφή Ε είναι τομή των ευθειών Χ2=0 και

2Χ1+Χ2=16 και έχει συντεταγμένες Ε(8,0). Εδώ οι συντεταγμένες δίδονται έτοιμες, όμως για να

δείτε τον όγκο της δουλειάς δοκιμάστε να επιλύσετε τα αντίστοιχα συστήματα.

Σημείωση. Σε αυτή την φάση αγνοείστε τις, κόκκινες διακεκομμένες γραμμές (ισοσταθμικές) του

Σχήματος. Θα τις χρειαστούμε αργότερα.

Στον παρακάτω Πίνακα δίδονται οι συντεταγμένες των κορυφών και οι αντίστοιχες τιμές της Α.Σ.

Κορυφή Συντεταγμένες Ολικό κέρδος

A (0,0) 34·0 + 40·8=320

5

B (0,8) 34·0 + 40·8=320

C (3,6) 34·3 + 40·6=342

D (7,2) 34·7 + 40·2=318

Ε (8,0) 34·8 + 40·0=272

Η βέλτιστη παραγωγή που μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος θα δίδεται από τις συντεταγμένες μιας

από τις κορυφές του εφικτού χώρου των λύσεων ABCDΕ (τουλάχιστον μιάς).

Το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι 3 (εκατοντάδες μέτρα) σωλήνα

τύπου 1 και 6 (εκατοντάδες μέτρα) σωλήνα τύπου 2. Το συνολικό κέρδος είναι ίσο με 342

χρηματικές μονάδες.

ΕΠΙΛΟΓΗ 2. Με χρήση της ισοσταθμικής

Επιλέγουμε μια τιμή και κατασκευάζουμε μια ευθεία της Α.Σ. Εδώ κατασκευάσαμε την

0 1 2 034 40 120x x z . Φροντίζουμε αυτή να έχει κοινά σημεία με τον χώρο S, αργότερα θα

δούμε τι κάνουμε αν δεν έχει.

Μετά επιλέγουμε στο επίπεδο ένα σημείο με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω για την

επίλυση των ανισοτήτων των περιορισμών. Εδώ για εκπαιδευτικούς λόγους επελέγη το σημείο

1 2( , ) (2,1)x x . Με αυτές τις συντεταγμένες υπολογίζουμε την τιμή της Α.Σ.

0

(2,1) 34 2 40 1 108 120z z z

και την συγκρίνουμε με το 0

120z . Αφού 0

(2,1)z z z λέμε ότι το σημείο ανήκει στο αρνητικό

ημιεπίπεδο της ε0. Πάμε στο σχήμα, εντοπίζουμε το σημείο 1 2

( , ) (2,1)x x και το ημιεπίπεδο στο

οποίο αυτό ανήκει και επισημαίνουμε το ημιεπίπεδο με την ετικέτα (-), και ταυτόχρονα

επισημαίνουμε το άλλο ημιεπίπεδο το οποίο είναι το θετικό ημιεπίπεδο με (+) . Προσοχή στον

εντοπισμό της θέσης του σημείου 1 2

( , ) (2,1)x x σε σχέση με την ευθεία

0 .

Σε αυτό το σημείο κοιτάζουμε τι πρόβλημα έχουμε, max ή min.

Μετακινούμε προοδευτικά την σταθμική 0 , από την αρχική της θέση προς το θετικό (+)

ημιεπίπεδο, κρατώντας την παράλληλα προς τον εαυτό της. Αν το πρόβλημα έχει λύση (όταν ο

χώρος των λύσεων είναι φραγμένος), αυτή η μετακίνηση θα την φέρει σε θέση που θα έχει ένα

μόνο κοινό σημείο με τον χώρο S, ή θα συμπέσει με μια από τις ευθείες που προσδιορίζουν τον S

(ορίζουν το σύνορο του S). Όταν συμβεί αυτό σταματάμε. Σε αυτή τη θέση η ισοσταθμική 0 θα

περνά οπωσδήποτε από μια κορυφή του S. Οι συντεταγμένες της κορυφής που θα εντοπισθεί με

αυτή την διαδικασία είναι η λύση του προβλήματος.

6

Στο πρόβλημα μας αυτό συμβαίνει στην κορυφή C, που προσδιορίζεται από την τομή των ευθειών

2 1 24 6 48x x

3 1 22 2 18x x

Η κορυφή αυτή δίδει την λύση στο πρόβλημα. Οι συντεταγμένες της βρίσκονται από την λύση του

αντιστοίχου συστήματος και είναι (3,6), όπως την δώσαμε παραπάνω.


Οι περιορισμοί (2) και (3) συμμετέχουν και καθορίζουν τη βέλτιστη λύση αφού αυτή καθορίζεται

από την τομή των αντίστοιχών τους ευθειών στη γραφική λύση. Για το λόγο αυτό είναι ενεργοί

δεσμευτικοί περιορισμοί. Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε και από τα αποτελέσματα του Excel

όπου οι περιθώριες (slack) ποσότητες είναι μηδενικές που σημαίνει ότι όλοι οι διαθέσιμοι πόροι των

περιορισμών αυτών εξαντλούνται στη βέλτιστη λύση (στον Πίνακα τους περιορισμούς (2) και (3)

τους βάλαμε πρώτους).

Άρα κάθε αύξηση ή μείωση των διαθεσίμων ωρών στους πόρους επεξεργασίας και συσκευασίας θα

οδηγήσει σε αλλαγή στις ποσότητες βέλτιστης παραγωγής και φυσικά στο μέγιστο κέρδος (δηλαδή

στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης).


Η σκιώδης τιμή του πόρου στον περιορισμό 2 «ώρες επεξεργασίας» είναι ίση με 3. Αυτό σημαίνει,

ότι αύξηση (μείωση) των διαθεσίμων ωρών στην επεξεργασία κατά 1 ώρα θα έχει ως συνέπεια την

αύξηση (μείωση) του μέγιστου κέρδους κατά 3 χρηματικές μονάδες (δεδομένου ότι η αύξηση αυτή

είναι μέσα στο εύρος ευαισθησίας (διάστημα εφικτότητας) που είναι το (48-8=40, 48+6=54). Αν οι

διαθέσιμες ώρες γίνουν 48+1=49, τότε το μέγιστο κέρδος θα αυξηθεί από 342 σε 342+3=345

χρηματικές μονάδες. Η σκιώδης τιμή και το εύρος ευαισθησίας (διάστημα εφικτότητας) μέσα στο

οποίο ισχύει, για τον πόρο «ώρες επεξεργασίας», επιβεβαιώνεται κι από το Excel, στον παρακάτω

Πίνακα της ανάλυσης ευαισθησίας ο οποίος δημιουργείται μετά την επίλυση.

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$E$11 Επεξεργασία 48 3 48 6 8

$E$13 Συσκευασία 18 11 18 2 2

7

$E$15 Ανάμειξη Μείγματος 12 0 16 1E+30 4


Αν μπορούσαμε να διαθέσουμε μία επιπλέον ώρα στην παραγωγή τότε θα διαλέγαμε εκείνο τον

πόρο με την μεγαλύτερη σκιώδη τιμή δηλαδή θα πρέπει να την διαθέσουμε στην διαδικασία

συσκευασίας που έχει την μεγαλύτερη σκιώδη τιμή ίση με 11. Αυτό σημαίνει ότι αύξηση των

διαθεσίμων ωρών στην συσκευασία κατά 1 ώρα θα έχει ως συνέπεια την αύξηση του μέγιστου

κέρδους κατά 11 χρηματικές μονάδες.


Για τον πλαστικό σωλήνα τύπου 2, στην ανάλυση ευαισθησίας στο Excel αναφέρεται επιτρεπτή

αύξηση και μείωση τιμής κέρδους ίση με 11 και 6 χρηματικές μονάδες, αντίστοιχα. Άρα αν το

κέρδος κυμανθεί εντός του διαστήματος (40-6, 40+11 ) = (34, 51) τότε η βέλτιστη λύση (3, 6)

δεν αλλάζει.

Variable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$E4 Μεταβλητή απόφασης Χ1 3 0 34 6 7,3333333

$F4 Μεταβλητή απόφασης Χ2 6 0 40 11 6

ΑΣΚΗΣΗ 2 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20)

Μια εταιρεία τεχνικού ελέγχου οχημάτων (ΚΤΕΟ) σχεδιάζει να λειτουργήσει ένα νέο κέντρο στα

προάστια της πόλης και πρέπει να αποφασίσει πόσους διαδρόμους ελέγχου θα εγκαταστήσει. Κάθε

διάδρομος λειτουργεί ανεξάρτητα από τους υπόλοιπους και εξυπηρετεί ένα όχημα κάθε φορά. Τα

αυτοκίνητα φθάνουν για έλεγχο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson και ο μέσος ρυθμός αφίξεων

εκτιμάται ότι θα είναι 8 αυτοκίνητα την ώρα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός οχήματος (έλεγχος και

έκδοση πιστοποιητικών συνολικά) ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 15 λεπτά. Τα

αυτοκίνητα που έρχονται και δεν βρίσκουν άμεσα κάποιον άδειο διάδρομο περιμένουν σε μια κοινή

ουρά, με σειρά προτεραιότητας βάσει του χρόνου άφιξης: First-Come-First-Served (First In, First

Out).

Το κόστος λειτουργίας κάθε διαδρόμου για την εταιρεία είναι 50 ευρώ την ώρα (περιλαμβάνει

μισθοδοσία προσωπικού, συντήρηση και αποσβέσεις εξοπλισμού, κ.λπ.). Επίσης, το κόστος

παραμονής κάθε αυτοκινήτου στο χώρο της εταιρείας (είτε περιμένοντας στην ουρά είτε υπό

έλεγχο στο διάδρομο ελέγχου και έκδοσης πιστοποιητικών), εκτιμάται σε 10 ευρώ ανά ώρα.

1. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαδρόμων ελέγχου που απαιτούνται για να λειτουργήσει

αυτό το σύστημα, δηλαδή να φτάσει σε κατάσταση ισορροπίας; Δικαιολογήστε την

απάντησή σας. (3 μονάδες)

2. Η εταιρεία θεωρεί εφικτό να εγκαταστήσει έως 5 διαδρόμους στο κέντρο που σχεδιάζει. Για

κάθε εφικτό σενάριο υπολογίστε τα εξής: (α) την πιθανότητα ότι ένα αυτοκίνητο θα

περιμένει στην ουρά, (β) τον μέσο χρόνο παραμονής ενός αυτοκινήτου στην ουρά, (γ) τον

μέσο χρόνο παραμονής ενός αυτοκινήτου στο σύστημα, δηλαδή στο κέντρο ελέγχου

8

συνολικά, (δ) τον μέσο αριθμό αυτοκινήτων στο σύστημα, δηλαδή στο κέντρο ελέγχου, και

(ε) το μέσο συνολικό ωριαίο κόστος του συστήματος. (12 μονάδες)

3. Δημιουργήστε έναν συγκεντρωτικό πίνακα με τα αποτελέσματα του προηγούμενου

ερωτήματος για κάθε σενάριο. Η εταιρεία, θέλει να προωθήσει τις υπηρεσίες της με το

διαφημιστικό μήνυμα ότι από τα αυτοκίνητα που έρχονται στο δικό της ΚΤΕΟ, το ποσοστό

που περιμένει στην ουρά δεν ξεπερνά το 20%. Από τα σενάρια που ικανοποιούν αυτό το

στόχο ποιο προτείνετε για υλοποίηση; (5 μονάδες)

Χρησιμοποιήστε ως μονάδα μέτρησης του χρόνου την μία ώρα και διατηρήστε

κλάσματα ή τουλάχιστον 4 δεκαδικά ψηφία στους υπολογισμούς σας.

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για ένα σύστημα ουράς τύπου Μ/Μ/s. Ο ρυθμός αφίξεων είναι ίσος με λ=8/ώρα. Για τον

ρυθμό εξυπηρέτησης έχουμε ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη είναι ίσος με 15 λεπτά

= 1/4 ώρες, επομένως ο ρυθμός εξυπηρέτησης ανά διάδρομο είναι ίσος με μ=4/ώρα.

1. Για να είναι το σύστημα ευσταθές, δηλαδή να λειτουργεί σε κατάσταση ισορροπίας και να

μην δημιουργούνται ουρές άπειρου μήκους, θα πρέπει ο συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης

να είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό αφίξεων, δηλαδή 4 8 2s s s .

Επομένως, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις διάδρομοι για την ομαλή λειτουργία του

συστήματος, και δεδομένου ότι μπορούν να εγκατασταθούν μέχρι πέντε διάδρομοι, τα

εφικτά σενάρια είναι για s=3, 4, 5.

2. Για καθένα από τα σενάρια s=3,4,5 διαδρόμων, υπολογίζουμε τα ζητούμενα μεγέθη ως

εξής:

(α) Σενάριο s=3

Υπολογίζουμε την πιθανότητα P0:

0 0 1 2 3

1

0

1 1 10,1111

92 2 2 2 3 4

0! 1! 2! 3! 3 4 8

! !

n s

s

n

P

s

n s s

Η πιθανότητα ένα αυτοκίνητο να αναγκαστεί να περιμένει στην ουρά είναι ίση με

0 1 21

0

0

1 2 2 2 5 41 1 1 0, 4444 44, 44%

! 9 0! 1! 2! 9 9

n

s

w

n

P Pn

Ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στην ουρά είναι ίσος με

3

02 2

2 8 4 1 80,8889

9 9( 1)!( ) 2! 3 4 8

s

qL P

s s

αυτοκίνητα.

9

Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός αυτοκινήτου στην ουρά είναι ίσος με

819 0,1111ώρες = 6,67 λεπτά

8 9

q

q

LW

.

Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός αυτοκινήτου στο σύστημα είναι ίσος με

1 1 1 13

0,3611ώρες = 21,67 λεπτά9 4 36

qW W

.

Ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα είναι ίσος με

13 26

8 2,88936 9

L W .

Το μέσο συνολικό ωριαίο κόστος είναι ίσο με

50 3 10 2,889 178,89ευρώ/ώραs w

TC c s c L .

Τα αποτελέσματα αυτά επαληθεύονται μέσω του λογισμικού WinQSB παρακάτω:

(β) Σενάριο s=4


10

0 0 1 2 3 4

1

0

1 1 30,1304

232 2 2 2 2 4 4

0! 1! 2! 3! 4! 4 4 8

! !

n s

s

n

P

s

n s s


0 1 2 31

0

0

3 2 2 2 2 19 41 1 1 0,1739 17,39%

! 23 0! 1! 2! 3! 23 23

n

s

w

n

P Pn


4

02 2

2 8 4 3 40,1739

23 23( 1)!( ) 3! 4 4 8

s

qL P

s s



4123 0,02174ώρες = 1,3 λεπτά

8 46

q

q

LW

.


1 1 1 25

0,2717ώρες = 16,3 λεπτά46 4 92

qW W

.


25 50

8 2,173992 23

L W .


50 4 10 2,1739 221,74ευρώ/ώραs w

TC c s c L .


11

(γ) Σενάριο s=5


0 0 1 2 3 4 5

1

0

1 1 90,1343

672 2 2 2 2 2 5 4

0! 1! 2! 3! 4! 5! 5 4 8

! !

n s

s

n

P

s

n s s


0 1 2 3 41

0

0

9 2 2 2 2 2 63 41 1 1 0,0597 5,97%

! 67 0! 1! 2! 3! 4! 67 67

n

s

w

n

P Pn


5

02 2

2 8 4 9 80,0398

67 201( 1)!( ) 4! 5 4 8

s

qL P

s s



81201 0,00498ώρες = 0,3 λεπτά

8 201

q

q

LW

.


12

1 1 1 205

0,2550ώρες = 15,3 λεπτά201 4 804

qW W

.


205 410

8 2,0398804 201

L W .


50 5 10 2,04 270, 4ευρώ/ώραs w

TC c s c L .


13

3. Συγκεντρωτικά, τα αποτελέσματα για τα τρία εφικτά σενάρια παρουσιάζονται στον

παρακάτω πίνακα:

Αριθμός

Διαδρόμων

(s)

Πιθανότητα

Αναμονής

(Pw)

Μέσος Χρόνος

αναμονής

(Wq, λεπτά)

Μέσος Χρόνος

Παραμονής στο

σύστημα

(W, λεπτά)

Μέσος

Αριθμός

οχημάτων στο

σύστημα

(L)

Μέσο

Συνολικό

Ωριαίο

Κόστος

(TC, ευρώ)

3 44,44% 6,67 21,67 2,889 178,89

4 17,39% 1,3 16,3 2,174 221,74

5 5,97% 0,3 15,3 2,040 270,40

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι για να ικανοποιηθεί ο στόχος, που απαιτεί η πιθανότητα

να αναγκαστεί ένα όχημα να περιμένει στην ουρά να είναι μικρότερη από 20%, τα επιτρεπτά

σενάρια είναι εκείνα που ενσωματώνουν 4 ή 5 διαδρόμους. Από αυτά, το σενάριο με 4 διαδρόμους

έχει το μικρότερο αναμενόμενο συνολικό ωριαίο κόστος που ανέρχεται σε 221,74 ευρώ και

επομένως αυτό προτείνεται.


Στις επερχόμενες εκλογές μιας χώρας, οι ψηφοφόροι θα πρέπει να επιλέξουν μεταξύ δύο υποψηφίων: Α και Β. Τα κύρια θέματα τα οποία απασχολούν το εκλογικό σώμα είναι η οικονομία (Ο), το περιβάλλον (Π), η εκπαίδευση (Ε), και το σύστημα υγείας (Υ). Ο κάθε υποψήφιος σχεδιάζει την προεκλογική του εκστρατεία και θα πρέπει να επιλέξει ένα θέμα στο οποίο θα εστιάσει. Με βάση τις εντυπώσεις που έχει το εκλογικό σώμα από τον πρότερο πολιτικό βίο των υποψηφίων, αλλά και από δημοσκοπήσεις, τα επιτελεία των υποψηφίων γνωρίζουν ότι ανάλογα με το θέμα στο οποίο θα εστιάσει την εκστρατεία του ο κάθε ένας τους, θα αποσπάσει διαφορετικό ποσοστό των συνολικών ψήφων. Ο παρακάτω Πίνακας πληρωμών δείχνει το ποσοστό (%) ψήφων το οποίο θα λάβει ο υποψήφιος Α, ανάλογα με το θέμα στο οποίο αυτός θα εστιάσει την προεκλογική του εκστρατεία, σε συνδυασμό με το θέμα στο οποίο θα εστιάσει ο αντίπαλός του. O Β θα λάβει το υπόλοιπο ποσοστό των ψήφων. Για τους σκοπούς αυτής της άσκησης υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν άκυρα/λευκά ψηφοδέλτια.

B

A

Ο Π Ε Υ

Ο 60 52 55 65

Π 50 75 70 45

Ε 55 30 30 50

Υ 40 30 35 55

14

Ερώτημα 1

Χωρίς να διαγράψετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον

Πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε αν υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές (3

μονάδες)

Ερώτημα 2

Να βρείτε και να διαγράψετε τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές και να γράψετε τον νέο

Πίνακα πληρωμών που προκύπτει. (2 μονάδες)

Ερώτημα 3

Στον Πίνακα πληρωμών του προηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε τη μεικτή στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο κάθε υποψήφιος και την αναμενόμενη τιμή του παιγνίου στο σημείο ισορροπίας. (15 μονάδες)

ΛΥΣΗ


Επειδή το ποσοστό ψήφων που λαμβάνει ο πολιτικός Α είναι το υπόλοιπο (ως προς το 100) αυτού που λαμβάνει ο πολιτικός Β, πρόκειται για παίγνιο σταθερού αθροίσματος με πίνακα 4x4.

Ακόμη πρέπει να σημειώσουμε ότι αυτό το παίγνιο γίνεται κάτω από την παρακάτω βασική παραδοχή, που διέπει τα παίγνια δυο παικτών σταθερού αθροίσματος.

Ο κάθε παίκτης επιλέγει την στρατηγική που θα του φέρει το καλύτερο αποτέλεσμα (την καλύτερη αμοιβή) δοθέντος ότι ο αντίπαλός του ξέρει την επιλεγείσα στρατηγική του.

Αυτή η παραδοχή αναγκάζει τον παίκτη Α να επιλέξει την στρατηγική με το γνωστό ως maximin κριτήριο, και τον παίκτη Β με το γνωστό ως minimax κριτήριο.

Ο Α επιθυμεί να μεγιστοποιήσει το ποσοστό των ψήφων του, είναι όπως λέμε ο μεγιστοποιών παίκτης ενώ ο Β να ελαχιστοποιήσει τις απώλειές του, είναι όπως λέμε ο ελαχιστοποιών παίκτης, που σημαίνει ότι προσπαθεί να κρατήσει το ποσοστό του Α όσο είναι δυνατόν χαμηλότερο.

Βρίσκουμε το ελάχιστο σε κάθε γραμμή, Row min, και το μέγιστο, Column max, σε κάθε στήλη, και τα σημειώνουμε στον πίνακα.

Όπως βλέπουμε στον παρακάτω Πίνακα, η maximin τιμή του Α είναι ίση με 52 (τομή των στρατηγικών Ο του Α και Π του Β) και η minimax τιμή του Β είναι ίση με 60 (τομή των στρατηγικών Ο του Α και Ο του Β). Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax στον Πίνακα πληρωμών του παίκτη Α, δεν προσδιορίζει αμιγείς στρατηγικές, γεγονός που σημαίνει ότι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές.

B

A

Ο Π Ε Υ Row min

Maximin

Ο 60 52 55 65 52 52

Π 50 75 70 45 45

Ε 55 30 30 50 30

Υ 40 30 35 55 30

15

Column max

60 75 70 65

Minimax 60 60≠52


Παρατηρούμε ότι για τον παίκτη Α, οι στρατηγικές Ε και Υ είναι υποδεέστερες της στρατηγικής Ο αφού οδηγούν σε χειρότερο αποτέλεσμα για τον Α ανεξαρτήτως της στρατηγικής που θα επιλέξει ο Β. Συνεπώς ο Α δεν πρόκειται ποτέ να τις χρησιμοποιήσει, οπότε οι δύο τελευταίες σειρές του Πίνακα πληρωμών μπορούν να διαγραφούν. Ο Πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο Πίνακα.

B

A

Ο Π Ε Υ

Ο 60 52 55 65

Π 50 75 70 45

Εξετάζοντας τον Πίνακα που προέκυψε, επιβεβαιώνουμε (συγκρίνοντας ανά ζεύγη τις στρατηγικές του Β, αλλά και του Α) ότι δεν υπάρχουν (άλλες) υποδεέστερες στρατηγικές.

Μετά τις διαγραφές καταλήγουμε σε ένα παίγνιο 2x4. Τέτοια παίγνια, και γενικότερα παίγνια 2xn και nx2 μπορούν να αναλυθούν με την γραφική μέθοδο.


Από το προηγούμενο ερώτημα, έχουμε πλέον έναν Πίνακα πληρωμών 2x4. Γνωρίζουμε ήδη ότι δεν

υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών

στρατηγικών. Έστω x η πιθανότητα ο πολιτικός Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Ο, οπότε (1-x)

είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Π (x [0,1]). Για τον πολιτικό Β, έστω y1 η

πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Ο, y2 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Π,

y3 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Ε και y4 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη

στρατηγική Υ (y1+y2+y3+y4=1 και y1, y2, y3, y4 μη-αρνητικά). Τέτοιες στρατηγικές λέγονται

μεικτές στρατηγικές.

B

A

Ο y1

Π y2

Ε y3

Υ y4

Ο x 60 52 55 65

Π 1-x 50 75 70 45

Θα εφαρμόσουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης για να βρούμε το σημείο ισορροπίας με μεικτές στρατηγικές.

Για τον παίκτη Α (ο οποίος έχει 2 στρατηγικές) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αναμενόμενες πληρωμές ανάλογα με το ποια στρατηγική επιλέγει ο Β:

V(Α, Ο) = 60x + 50(1-x) = 50 + 10x

V(Α, Π) = 52x + 75(1-x) = 75 - 23x

16

V(Α, Ε) = 55x + 70(1-x) = 70 - 15x

V(Α, Υ) = 65x + 45(1-x) = 45 + 20x

Πρόκειται για τέσσερις ευθείες τις οποίες σχεδιάζουμε υπολογίζοντας τα σημεία στα οποία τέμνουν τους άξονες x=0 και x=1 και ενώνοντας τα στη συνέχεια.

x=0 x=1

V(A, Ο) 50 60

V(A, Π) 75 52

V(A, Ε) 70 55

V(A, Υ) 45 65

Χαράζουμε τον οριζόντιο άξονα που απεικονίζει τις τιμές της πιθανότητας x και δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης στα σημεία x=0 και x=1. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Οι δύο κατακόρυφοι άξονες αντιπροσωπεύουν τις στρατηγικές του παίκτη Α. Μετά κατασκευάζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της στρατηγικής Ο είτε της στρατηγικής Π. Σημειώνουμε τα σημεία για κάθε ευθεία και τα ενώνουμε (π.χ. για την πρώτη γραμμή σημειώνουμε τα σημεία (50,0) και (60,1) και τα ενώνουμε).

O Α επιδιώκει μεγιστοποίηση του αποτελέσματος οπότε επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Ακολουθώντας την τεθλασμένη που ορίζεται από το κατώτατο σημείο μεταξύ των τεσσάρων ευθειών βλέπουμε ότι το σημείο maximin βρίσκεται στο σημείο τομής μεταξύ των ευθειών που αντιστοιχούν στις στρατηγικές Ο και Π.

Συνεπώς, από την πλευρά του ο Β απορρίπτει τις στρατηγικές Ε και Υ αφού αυτές δε συμμετέχουν στον καθορισμό του maximin σημείου (αντίστοιχα, αν ο Α επιλέξει την πιθανότητα x που

17

αντιστοιχεί στο σημείο τομής της μπλε και κόκκινης ευθείας στο παραπάνω σχήμα, ο Β δε θα πρέπει ποτέ να επιλέξει Ε ή Υ αφού αυτό θα του αποφέρει χειρότερο αποτέλεσμα από ό,τι με την Ο ή Π). Οπότε, διαγράφοντας τις Ε και Υ για τον Β, ο Πίνακας πληρωμών γίνεται 2×2:

B

A

Ο y1

Π y2=1-y1

Ο x 60 52

Π 1-x 50 75

Για την εύρεση της άριστης μεικτής στρατηγικής του παίκτη Α (maximin σημείο) βρίσκουμε το σημείο τομής ως εξής:

V(Α, Ο) = V(Α, Π) 50 + 10x = 75 - 23x 33x=25 x=25/33.

Άρα, η μεικτή στρατηγική για τον Α είναι η (25/33, 8/33, 0, 0).

Η αναμενόμενη τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, O) ή V(A, Π) δηλαδή V = 60(25/33) + 50(8/33) = 52(25/33) + 75(8/33)=57,5757 (που είναι το αναμενόμενο ποσοστό ψήφων του πολιτικού Α).

Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, Ο) = V(B, Π) δηλαδή 60y1 + 52(1-y1) = 50y1 + 75(1-y1) που

δίνει y1 = 23/33 και y2 = 1-y = 10/33.

Συνεπώς, η μεικτή στρατηγική του Β θα είναι (23/33, 10/33, 0, 0).

Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, Ο) είτε στο V(B, Π) θα προκύψει

αναμενόμενη τιμή του παιγνίου ίση με V =57,5757 (που είναι η αναμενόμενη ζημία για τον πολιτικό

Β, δηλαδή ισοδύναμα, το αναμενόμενο ποσοστό ψήφων του πολιτικού Α).

Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (25/33, 8/33, 0, 0)

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (23/33, 10/33, 0, 0)

Αναμενόμενη τιμή του παιγνίου V = 57,5757

Το φυσικό νόημα της αναμενόμενης τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές

φορές η αναμέτρηση με τους ίδιους όρους, το αναμενόμενο ποσοστό ψήφων του πολιτικού Α

ανέρχεται σε 57,58% περίπου και το αναμενόμενο ποσοστό ψήφων του πολιτικού Β ανέρχεται σε

100% - 57,58% δηλαδή περίπου 42,42%.

18


Εταιρεία ταχυμεταφορών αναλαμβάνει τη μεταφορά δεμάτων χρησιμοποιώντας το δίκτυο

υποκαταστημάτων που διαθέτει. Το δίκτυο αυτό παρουσιάζεται στο παρακάτω Σχήμα, όπου οι

κόμβοι 1-8 αναπαριστούν τα υποκαταστήματα της εταιρίας ενώ οι ακμές τις δυνατές διαδρομές

μεταξύ των υποκαταστημάτων. Οι τιμές πάνω στις ακμές δηλώνουν το κόστος μεταφοράς ενός

δέματος για την εταιρεία.

Η εταιρεία θέλει να στείλει ένα δέμα από το υποκατάστημα 1, στο υποκατάστημα 8, ακολουθώντας

τη διαδρομή που έχει το χαμηλότερο κόστος μεταφοράς. Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική

της δικτυωτής ανάλυσης για να υπολογίσετε αυτή τη βέλτιστη διαδρομή.

Το δίκτυο υποκαταστημάτων εταιρείας ταχυμεταφορών

ΛΥΣΗ (Βαθμολογία περίπου 3 μονάδες ανά Πίνακα/επανάληψη)

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης/οικονομικότερης διαδρομής όπου

πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη/οικονομικότερη διαδρομή από τον κόμβο 1, που είναι η

αφετηρία, προς ένα συγκεκριμένο κόμβο (τον κόμβο 8), οπότε το κριτήριο τερματισμού θα είναι «ο

προορισμός να γίνει μόνιμος»

Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της συντομότερης διαδρομής.

Στα επόμενα σχήματα και σε κάθε επανάληψη, οι κόμβοι που γίνονται μόνιμοι θα έχουν

κόκκινο χρώμα.

Πρώτος μόνιμος κόμβος καθίσταται η αφετηρία 1 με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Το αρχικό σύνολο των μονίμων κόμβων είναι το Λ={1}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

19

Σχήμα 1: 1η επανάληψη

Πίνακας 1 – 1η επανάληψη

Ακμή άμεσα

συνδεδεμένου

κόμβου

Προσωρινό

κόστος

διαδρομής

Μόνιμος

κόμβος

Συνολικό κόστος

συντομότερης

διαδρομής

1-2 14

1-3 12 3 12

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3}

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 3 με ελάχιστο κόστος 12, οπότε το σύνολο

των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:



Ακμή άμεσα Προσωρινό Μόνιμος Συνολικό κόστος

20


κόμβου

κόστος

διαδρομής

κόμβος συντομότερης

διαδρομής

1-2 14 2 14

3-2 18 (δεν έχουμε

βελτίωση)

3-4 21

3-6 17

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3, 2}

Δηλαδή, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2, οπότε το σύνολο των μονίμων

κόμβων γίνεται Λ={1, 3, 2}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:



Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

κόστος

διαδρομής

Μόνιμος

κόμβος



διαδρομής

3-4 21

3-6 17 6 17


βελτίωση)

2-5 22

21


βελτίωση)

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3, 2, 6}


κόμβων γίνεται Λ={1, 3, 2, 6}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:



Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

κόστος

διαδρομής

Μόνιμος

κόμβος



διαδρομής

3-4 21 4 21

2-5 22


βελτίωση)

6-8 27

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3, 2, 6, 4}


κόμβων γίνεται Λ={1, 3, 2, 6, 4}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

22



Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

κόστος

διαδρομής

Μόνιμος

κόμβος



διαδρομής

2-5 22 5 22

6-8 27


βελτίωση)

4-7 27


βελτίωση)

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3, 2, 6, 4, 5}


κόμβων γίνεται Λ={1, 3, 2, 6, 4, 5}. Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

23



Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

κόστος

διαδρομής

Μόνιμος

κόμβος



διαδρομής

6-8 27

4-7 27

5-8 26 (έχουμε

βελτίωση) 8 26

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3, 2, 6, 4, 5, 8}

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 8, οπότε ο αλγόριθμος τερματίζει και το

μήκος της συντομότερης διαδρομής από τον κόμβο 1 στον κόμβο 8 είναι 26 χρηματικές μονάδες.

Το Σχήμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:


24

Η βέλτιστη διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί, εντοπίζεται ιχνηλατώντας το δίκτυο

οπισθοδρομικά, ξεκινώντας από τον τελευταίο πίνακα και καταλήγοντας στον αρχικό και είναι ο

ακόλουθη: 8-5-2-1. Δηλαδή, είναι η διαδρομή 1-2-5-8 με μήκος (κόστος) 26.

Τα συνοπτικά αποτελέσματα της εφαρμογής της μεθόδου δίνονται στον παρακάτω Πίνακα ο οποίος

περιέχει για κάθε κόμβο που εξετάσαμε κατά τη διαδικασία, τον άμεσα προηγούμενο κόμβο, μέσω

του οποίου επιτυγχάνεται η συντομότερη/οικονομικότερη διαδρομή από την αφετηρία, τη βέλτιστη

διαδρομή από την αφετηρία και το κόστος της συντομότερης/οικονομικότερης διαδρομής από τον

αρχικό κόμβο.

Κόμβος

Άμεσα

προηγούμενος

καλύτερος κόμβος

Βέλτιστη Διαδρομή

Κόστος

συντομότερης/

οικονομικότερης

διαδρομής

1 - - -

2 1 1-2 14

3 1 1-3 12

4 3 1-3-4 21

5 2 1-2-5 22

6 3 1-3-6 17

7 Δεν έγινε μόνιμος - -

8 5 1-2-5-8 26

Σημειώστε, ότι για κάθε κόμβο που έγινε μόνιμος κατά τη διαδικασία, έχει πρακτικά βρεθεί και γι

αυτόν η άριστη διαδρομή (και το αντίστοιχο κόστος φυσικά). Για τον κόμβο 7 αυτό δεν έγινε,

επειδή δεν χρειάστηκε να μονιμοποιηθεί πριν τον προορισμό, που ήταν ο κόμβος 8. Αν βέβαια το

ζητούμενο ήταν να βρεθεί η άριστη διαδρομή από τον κόμβο 1 προς κάθε άλλο πιθανό προορισμό,

θα είχαμε συνεχίσει μέχρι να μονιμοποιηθεί και ο κόμβος 7 (δεν ήταν όμως αυτό το ζητούμενο).

ΑΣΚΗΣΗ 5 [15 ΜΟΝΑΔΕΣ]

Η διοίκηση γνωστού τραπεζικού οργανισμού σχεδιάζει την αναβάθμιση της ταχύτητας του δικτύου

υπολογιστών του με την εγκατάσταση ιδιόκτητου δικτύου οπτικών ινών που θα συνδέει (άμεσα ή

έμμεσα) όλα τα υποκαταστήματα του οργανισμού τόσο μεταξύ τους, όσο και με την κεντρική

διοίκηση στην έδρα του.

Το δίκτυο υποκαταστημάτων του οργανισμού απεικονίζεται στο παρακάτω Σχήμα (Α είναι η έδρα

του οργανισμού). Κάθε υποκατάστημα συνδέεται είτε απευθείας (άμεσα), είτε μέσω άλλου

υποκαταστήματος (έμμεσα) με την κεντρική διοίκηση αλλά και με οποιοδήποτε άλλο

25

υποκατάστημα. Οι ακμές παριστάνουν τις δυνατές συνδέσεις οπτικών ινών που μπορούν να

υλοποιηθούν ώστε να συνδεθούν τα υποκαταστήματα μεταξύ τους και με την κεντρική διοίκηση.

Οι αριθμοί σε κάθε ακμή εκφράζουν το μήκος σε χιλιόμετρα της οπτικής ίνας που απαιτείται για τη

σύνδεση των υποκαταστημάτων που βρίσκονται στα άκρα της εν λόγω ακμής.

Χρησιμοποιήστε κατάλληλη τεχνική δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση του

οργανισμού να υλοποιήσει το δίκτυο οπτικών ινών που θα είναι σε θέση να δια-συνδέσει όλα τα

υποκαταστήματα και την κεντρική διοίκηση, με το μικρότερο συνολικό μήκος.

Το δίκτυο υποκαταστημάτων του οργανισμού

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου καθώς όλοι οι κόμβοι πρέπει

να επικοινωνούν μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα, με το ελάχιστο συνολικό μήκος.

1η επανάληψη

Επιλέγουμε αυθαίρετα τον κόμβο Α για να ξεκινήσουμε. Ο κόμβος αυτός εισέρχεται πρώτος στο σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων, C={A}. Συνδέουμε με τον κόμβο Α τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος C, μέσω της ακμής A-C με μήκος 3. Οι κόμβοι {A, C} είναι συνδεδεμένοι.


2η επανάληψη

Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C} είναι ο κόμβος Ε με την ακμή C-E μήκους 3. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι { A, C, E}.

26


3η Επανάληψη

Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E} είναι ο κόμβος I με την ακμή E-I μήκους 2. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I}.



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I} είναι ο κόμβος H με την ακμή I-H μήκους 3. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H}.


27


Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H} είναι ο κόμβος G με την ακμή H-G μήκους 2. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G}.



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H, G} είναι ο κόμβος D με την ακμή G-D μήκους 3. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G, D}.



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H, G, D} είναι ο κόμβος F με την ακμή D-F μήκους 3. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G, D, F}.

28



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H, G, D, F} είναι ο κόμβος J με την ακμή E-J μήκους 4 (εναλλακτικά θα μπορούσαμε να συνδέσουμε τον κόμβο Β με την ακμή Α-Β μήκους 4). Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G, D, F, J}.



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H, G, D, F, J} είναι ο κόμβος K με την ακμή J-K μήκους 2. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G, D, F, J, K}.

29



Ο πιο κοντινός στους κόμβους {A, C, E, I, H, G, D, F, J, Κ} είναι ο κόμβος B με την ακμή A-B μήκους 4. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {A, C, E, I, H, G, D, F, J, K, Β}.


Εφόσον έχουν εισέλθει όλοι οι κόμβοι στο σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων η διαδικασία ολοκληρώθηκε.

Ακμές ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου

Ακμή A-C C–E E–I I–H H–G G–D D-F E–J J–K A-B Μήκος 3 3 2 3 2 3 3 4 2 4

Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 29 χιλιόμετρα και αντιστοιχεί στο ελάχιστο συνολικό μήκος του δικτύου οπτικών ινών που απαιτείται ώστε να επικοινωνούν άμεσα ή έμμεσα

30

όλοι οι κόμβοι μεταξύ τους. Στο παρακάτω Σχήμα 11 παρουσιάζεται το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου.

Σχήμα 11: Το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο

Documents

GE4 ΤΡΙΤΗ, 12 Μαΐου 2015, και ώρα 24:00 AΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ … · βολεύει) επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο, (επίσης όποιο