DR. JORGE ACUÑA

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS

“La simulación de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los números aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicación de esta herramienta”

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DR. JORGE ACUÑA

VARIABLES ALEATORIAS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO

PROCESO

TIEMPO

GENERADOR

DE

VARIABLES

ALEATORIAS

GENERADOR

DE NUMEROS

ALEATORIOS

PIDE TIEMPO DA DISTRIBUCION Y PARAMETROS

ENTREGA TIEMPO GENERADO

ENTREGA NUMERO GENERADO

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DR. JORGE ACUÑA

VARIABLES ALEATORIAS

PROCESO

TIEMPO=?

GENERADOR

DE

VARIABLES

ALEATORIAS

GENERADOR

DE

NUMEROS

ALEATORIOS

NORMAL CON MEDIA=4.3 Y DESVIACION=0.4 PIDE UN

NUMERO ALEATORIO

TIEMPO=4.324

ENTREGA 0.34555

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DR. JORGE ACUÑA

GENERADOR DE NUMEROS

ALEATORIOS

Los números aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo.

Es un proceso matemático-estadístico Existen varios algoritmos: ◦ Método del cuadrado medio ◦ Método congruencial lineal ◦ Método congruencial multiplicativo

Todos los métodos se basan en una semilla En la generación se debe poner especial cuidado al

período, que es el número de números que se pueden generar hasta que se repita la serie.

El número aleatorio es un valor entre 0 y 1 y se distribuyen uniformemente.

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DR. JORGE ACUÑA

METODO DEL CUADRADO

MEDIO

• Es uno de los primeros métodos. Consiste en:

1. Escoger una semilla arbitraria

2. Elevar la semilla al cuadrado

3. Escoger los dígitos medios del cuadrado como número aleatorio

4. Elevar esos dígitos al cuadrado

5. Repetir 3 y 4 hasta generar los números deseados sin que se repita la cadena o serie.

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DR. JORGE ACUÑA

METODO DEL CUADRADO

MEDIO EJEMPLO: Generar 4 números aleatorios con la semilla

5497. Ri : número aleatorio generado

1. Semilla= X0= 5497

2. X02

= 54972 = 30217009

3. X1 = 2170 R1 = 0.217

4. X12 = 21702 = 04708900

3. X2 = 7089 R2 = 0.7089

4. X22 = 70892 = 50253921

3. X3 = 2539 R3 = 0.2539

4. X32 = 25392 = 06446521

3. X4 = 4465 R4 = 0.4465

Estos son los

cuatro números

aleatorios

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DR. JORGE ACUÑA

• En Simulación se debe siempre muestrear de una distribución de probabilidad que representa la ocurrencia de los eventos.

• Estas distribuciones pueden ser teóricas o empíricas y ambas pueden ser continuas o discretas.

• Las distribuciones empíricas están representadas por distribuciones de frecuencias.

• En el caso de distribuciones teóricas existen varios métodos para generar las variables.

GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

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Técnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribución teórica: ◦ Transformada inversa (usada para generar variables

aleatorias distribuidas según Exponencial, Weibull y Triangular)

◦ Función acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empíricas)

◦ Transformación directa (usada para generar variables normalmente distribuidas)

◦ Método de convolución (usado para generar variables aleatorias distribuidas según ERLANG, POISSON y GAMMA)

GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

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PROCEDIMIENTO

1. Encontrar la función acumulada de la distribución respectiva.

2. Igualar esa función a R (número aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R

3. Resolver la anterior ecuación para x.

4. Establecer la función generadora

EJEMPLO

Encontrar la función generadora de la exponencial.

1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R

3. x = (-1/ ) ln(1-R) 4. xi = (-1/ ) ln(1-Ri)

METODO DE LA

TRANSFORMADA INVERSA

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DR. JORGE ACUÑA

EJEMPLO DE GENERADOR DE VARIABLES EXPONENCIALES

PROCESO

TIEMPO=?

xi = (-1/ )*

ln(1-Ri)

GENERADOR

DE NUMEROS

ALEATORIOS

EXPONENCIAL MEDIA=4.5 MINS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO

TIEMPO=1.91 MINS

ENTREGA 0.34555

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OTRAS FUNCIONES GENERADORAS

Distribución uniforme

xi = a +( b - a ) * Ri

Distribución Weibull

xi = * [ -ln (1 - Ri )] 1/

Distribución triangular

R1 = ALEATORIO 1

R2 = ALEATORIO 2

SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES

Triangular = A + (B - A) * R2 SINO

Triangular = C - (C - B) * R2

METODO DE LA

TRANSFORMADA INVERSA

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DISTRIBUCION NORMAL PROCEDIMIENTO A.

PROCEDIMIENTO B.

1. Generar R1 y R2

Vi=2Ri-1 para i=1,2

W=V12+V2

2

2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino:

Z1=V1*y Z2=V2*y

X1=Z1* +

X2=Z2* +

*612

1i

iRX

w

wy

)ln(2

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EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO

A. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de

proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3.

X1=S1* + = 0.2*0.3+5= 5.24

X2=S2* + = -0.6*0.3+5= 4.82

6.064.56

2.062.66

12

1

2

12

1

1

i

i

i

i

RS

RS

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DR. JORGE ACUÑA

EJEMPLO DE

PROCEDIMIENTO B. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya

media es 5 y su desviación estándar es 0.3. 1. R1=0.6 y R2 =0.3

V1=2(0.6) -1= 0.2 V2=2(0.3) -1=- 0.4 W=0.22+(-0.4)2=0.2

2. W<1 Z1=V1*y =0.2*4.012=0.8 Z2=V2*y=-0.4*4.012=-1.6 X1=Z1* + = 0.8*0.3+5= 5.24 X2=Z2* + = -1.6*0.3+5= 4.52

012.42.0

)2.0ln(2)ln(2

w

wy

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EJEMPLO 2 DE

PROCEDIMIENTO B. Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye

normalmente con media es 2.35 minutos y desviación estándar es 0.23 minutos.

# R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2

1 0.760177467 0.04974372 0.52035493 -0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1)

2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06

3 0.107204119 0.32589551 -0.78559176 -0.34820899 0.73840392 0.9063139 -0.71199273 -0.31558665 2.19 2.28

4 0.744025954 0.20457119 0.48805191 -0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504 -0.79543622 2.50 2.17

5 0.888466886 0.30798921 0.77693377 -0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464 -0.33525156 2.51 2.27

6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42

7 0.123304795 0.68341085 -0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691 -0.75609275 0.36813746 2.18 2.43

8 0.656965005 0.07457283 0.31393001 -0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208 -0.58649423 2.40 2.22

9 0.551837621 0.00516526 0.10367524 -0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646 -0.13962216 2.35 2.32

10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37

11 0.666282809 0.21796188 0.33256562 -0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465 -1.12105462 2.50 2.09

12 0.819078493 0.20853019 0.63815699 -0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848 -0.51506031 2.48 2.23

13 0.293377603 0.30383294 -0.41324479 -0.39233413 0.32469733 2.63223846 -1.08775884 -1.03271698 2.10 2.11

14 0.088355424 0.32108534 -0.82328915 -0.35782931 0.80584684 0.73194157 -0.60259955 -0.26191015 2.21 2.29

15 0.097035419 0.77361042 -0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026 -0.26776211 0.1818088 2.29 2.39

16 0.109395645 0.40379788 -0.78120871 -0.19240423 0.64730644 1.15923757 -0.90560649 -0.22304222 2.14 2.30

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En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria.

EJEMPLO: Para una distribución de probabilidad variable continua

Li Ls Xk nk fk Fk

5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250

14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125

24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875

34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375

44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1

DISTRIBUCIONES EMPIRICAS

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DR. JORGE ACUÑA

Xk Fk R(# aleatorio)

10.0 0.1250 0.0000 0.1250

19.9 0.3125 0.1251 0.3125

29.8 0.6875 0.3126 0.6875

39.7 0.9375 0.6876 0.9375

49.6 1 0.9376 0.9999

Así, si por ejemplo, si se tiene un número aleatorio generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a Xk o sea 29.8.

DISTRIBUCIONES

EMPIRICAS

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EJEMPLO DE GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

A: Determine un intervalo de confianza del

95% para el tiempo de proceso de 40

partes cuya función densidad de

probabilidad es:

B. Muestre los efectos en la media, desviación

e intervalo que tiene el incremento en el

tamaño de la muestra.

0)4(

32)(

3xpara

xxf

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FUNCION ACUMULADA

F(x)

SOLUCION:

A.

016

168

)4(

16

)4(

16

2

3232)(

4

)4(

32)()(

0)4(

32)(

2

2

2

0

2

3

0

3

0

3

Rxx

Rx

xuduuxF

dxdu

xu

dxx

dxxfxF

xparax

xf

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GENERACION

DE LA

VARIABLE

ALEATORIA x

x2+8x+(16-16/R)

# Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x

1 0,51 -15,11 1,58 -9,58 1,58

2 0,86 -2,54 0,31 -8,31 0,31

3 0,96 -0,73 0,09 -8,09 0,09

4 0,88 -2,09 0,25 -8,25 0,25

5 0,38 -25,96 2,48 -10,48 2,48

6 0,33 -32,55 2,97 -10,97 2,97

7 0,46 -18,58 1,88 -9,88 1,88

8 0,75 -5,25 0,61 -8,61 0,61

9 0,23 -52,36 4,27 -12,27 4,27

10 0,81 -3,66 0,43 -8,43 0,43

11 0,88 -2,12 0,26 -8,26 0,26

12 0,28 -41,49 3,58 -11,58 3,58

13 0,32 -34,39 3,10 -11,10 3,10

14 0,75 -5,47 0,63 -8,63 0,63

15 0,76 -5,05 0,59 -8,59 0,59

17 0,43 -21,29 2,11 -10,11 2,11

18 0,43 -21,33 2,11 -10,11 2,11

19 0,55 -13,09 1,39 -9,39 1,39

20 0,18 -72,89 5,43 -13,43 5,43

21 0,81 -3,81 0,45 -8,45 0,45

22 0,17 -77,77 5,68 -13,68 5,68

23 0,96 -0,67 0,08 -8,08 0,08

24 0,35 -30,23 2,80 -10,80 2,80

25 0,34 -31,42 2,89 -10,89 2,89

26 0,87 -2,39 0,29 -8,29 0,29

27 0,99 -0,16 0,02 -8,02 0,02

28 0,25 -48,55 4,03 -12,03 4,03

29 0,52 -14,57 1,53 -9,53 1,53

30 0,92 -1,30 0,16 -8,16 0,16

31 0,65 -8,73 0,97 -8,97 0,97

32 0,76 -4,99 0,58 -8,58 0,58

33 0,31 -35,61 3,18 -11,18 3,18

34 0,62 -9,63 1,06 -9,06 1,06

35 0,94 -1,02 0,13 -8,13 0,13

36 0,77 -4,87 0,57 -8,57 0,57

37 0,89 -1,98 0,24 -8,24 0,24

38 0,55 -13,24 1,41 -9,41 1,41

39 0,38 -26,42 2,51 -10,51 2,51

40 0,39 -25,54 2,44 -10,44 2,44

PROMEDIO 1,67

DESVIACION 1,534

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RESPUESTA A LA PARTE

A.

El intervalo de confianza del 95% para el tiempo

de proceso de 40 partes es:

95.0}058.2282.1{

058.240

534.1*96,167.1

'

282.140

534.1*96,167.1

'

95.0}{

025.0

025.0

P

nzxLs

nzxLi

LsLiP

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DR. JORGE ACUÑA

RESPUESTA A LA PARTE

B. n t Z xbarra sigma LIC LSC

10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55

30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43

50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11

100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27

200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30

300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37

400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28

500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29

600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26

700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17

800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10

900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06

1000 1,96 1,92 2,08 1,79 2,05

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS PROMEDIOS GRAFICO DE PROMEDIOS

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAÑO DE MUESTRA

PR

OM

ED

IO

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LAS DESVIACIONES ESTANDAR GRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAÑO DE MUESTRA

DE

SV

IAC

ION

ES

TA

ND

AR

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GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA GRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA

0,300,550,801,051,301,551,802,052,302,55

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAÑO DE LA MUESTRA

LIM

ITE

S D

E C

ON

FIA

NZ

A