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14/03/22 Profra . Madeline Rodríguez 1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE NUEVA ESPARTA LICENCIATURA EN INFORMÁTICA Profra. Madeline Rodríguez e-mail: [email protected] [email protected] UNIDAD II: Generación de Números Aleatorios y Generación de Variables Aleatorias

generacion de numeros y variables pseudoaleatorias

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distintos metodos para generar numeros y variables pseudoaleatorias

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29/08/2012Profra . Madeline Rodrguez1

UNIVERSIDAD DE ORIENTENCLEO DE NUEVA ESPARTALICENCIATURA EN INFORMTICAProfra. Madeline Rodrguez e-mail: [email protected] [email protected] II: Generacin de Nmeros Aleatorios y Generacin de Variables Aleatorias29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez2UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasProcedimientos a la azar Mtodos MatemticosNmerosAleatoriosNmerosU (0,1)Tabla de nmeros aleatoriosXn+1=(aXn+c) mod m

Generadores de nmeros aleatorios:Pruebas de Aleatoriedad

29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez3UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasGeneradores de nmeros aleatorios (cont.):Tablas de nmeros aleatoriosTippet (1927): Universidad de Cambridge, 10.000 nmeros aleatorios de 4 dgitos basados en censosRoyo y Ferrer (1954): 250.000 resultados de la lotera nacional (INE)Rand Corporation (1954): 1 milln de nmeros aleatorios mediante el uso de mecanismos fsicos (ruleta electrnica, medicin de ruido electrnico...)Procedimientos a la azarRuido blanco producido por circuitos electrnicosRecuento de partculas emitidasLanzamiento de monedasRueda de la fortunaMtodos matemticosSe usa algoritmos para la generacin de nmeros aparentemente aleatorios (seudo-aleatorios), se inicia con una semilla y se generan los sucesores mediante una funcin

29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez4UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de generacin de nmeros seudo-aleatorios:Mtodo del cuadrado medio Mtodo del producto medio Mtodo del producto medio (variacin)2. Mtodos congruenciales Mtodo congruencial mixto Mtodo congruencial multiplicativoMtodo de registros desfasadosMtodo de Fibonacci RetardadosMtodo no linealesCombinacin de MtodosGeneradores Comerciales

[Semilla - Algoritmo - Validacin]

Paso 1: obtener la (s) semilla(s) y/o (valores iniciales)Paso 2: aplicacin del algoritmos recursivos Paso 3: validacin del conjunto de datos generados (prueba de aleatoriedad)29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez5UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodo del cuadrado medio. Fue propuesto inicialmente por Von Newman y Metrpolis en el ao 1946. El procedimiento para obtener una serie de nmeros seudo-aleatorios entre (0,1) con este tipo de generador es el siguiente:Seleccionar un nmero entero como la semilla X0 de k dgitos significativos.Elevar la semilla X0 al cuadrado, obteniendo a Y0Agregar a la izquierda tantos cero (0) necesarios para tomar de la parte central de Yn los k dgitos que conformarn el nuevo nmero entero Xn+1. Los nmeros seudo-aleatorios rn+1 se obtienen agregando el punto decimal a la izquierda de los Xn+1 .Los Xn+1 pasarn a ser la nueva semilla, respectivamente, con el n de repetir el proceso tantas veces como rn+1 se desee generar.Cuadro 1. Ejemplo 1 mtodo del cuadrado medionXnYn =Xn2Xn+1rn+10295870257020,702170204928049280,928292808611846110,611361103733217330,73329/08/2012Profra. Madeline Rodrguez6UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodo del cuadrado medio (cont) El problema con este mtodo es que tiende a degenerar rpidamente. Dependiendo del valor inicial el mtodo puede degenerar al cabo de 20 trminos.Por ejemplo, supngase que se quiere generar una serie de nmeros seudo-aleatorios de cuatro dgitos significativos y se tiene como semilla 3500, luego se tendr:

Se puede observar que hemos llegado a una condicin degenerada. Por lo tanto, es necesario verificar siempre la serie de nmeros y protegerse contra este fenmeno.Cuadro 2. Ejemplo 2 mtodo del cuadrado medionXnYn =Xn2Xn+1rn+1035001225000025000,2500125000625000025000,250029/08/2012Profra. Madeline Rodrguez7UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodo del Producto MedioEste mtodo es muy similar al anterior ya que se tomar como nmero aleatorio siguiente de la serie, a los k dgitos centrales del resultado de una multiplicacin previa. Se requiere dos semillas.Seleccionar dos nmero entero como las semillas X0 y X1 de k dgitos significativos c/u.Obtener a Y0 = X0 * X1 .Agregar a la izquierda tantos cero (0) necesarios para tomar de la parte central de Yn los k dgitos que conformarn el nuevo nmero entero Xn+1. Los nmeros seudo-aleatorios rn+1 se obtienen agregando el punto decimal a la izquierda de los Xn+1 .Los Xn y Xn+1 pasarn a ser las nuevas semillas, respectivamente, con el n de repetir el proceso tantas veces como rn+1 se desee generar.Cuadro 3. Ejemplo 1 mtodo del producto medionXn-1XnXn * Xn-1 Xn+1rn+11519047243934390,4392047439206330630,0633439063276577650,76529/08/2012Profra. Madeline Rodrguez8UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodo del Producto Medio (cont.)Una modificacin para este mtodo consiste en utilizar un multiplicador constante y una, como se muestra a continuacin:Seleccionar un nmero entero como la semilla X0 y una constante a de k dgitos significativos c/u.Obtener a Y0 = a * X0 .Agregar a la izquierda tantos cero (0) necesarios para tomar de la parte central de Yn los k dgitos que conformarn el nuevo nmero entero Xn+1. Los nmeros seudo-aleatorios rn+1 se obtienen agregando el punto decimal a la izquierda de los Xn+1 .Los Xn+1 pasara a ser la nuevas semilla, respectivamente, con el n de repetir el proceso tantas veces como rn+1 se desee generarCuadro 4. Ejemplo 1 mtodo del producto medio (Variacin)nXn847XnXn+1rn+10005042354230,423142303582815820,582258204929549290,929392907868638680,86829/08/2012Profra. Madeline Rodrguez9UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos congruenciales lineales. Estos generadores fueron introducidos por Lehmer (1951). Ellos permiten generar el prximo Xn+1 a partir del ltimo Xn. Para el caso particular del generador congruencial mixto, la expresin recursiva es la siguiente:

Xn+1 = (a * Xn + c) mod m 0 Xn+1 m 1 donde,

a = el multiplicador (a > 0) m = el mdulo (m > a, m > c, m > X0 )c = constante aditiva (c > 0) X0 = la semilla (X0 > 0)

La utilizacin de la misma semilla llevar a la misma secuencia de Xn+1 (reproducibilidad y mutabilidad). Los Xn+1 representan los nmeros enteros en [0, m), es decir, m representa el nmero posible de valores diferentes que pueden ser generados. Los nmeros seudo-aleatorios que se obtienen sern de la forma:

rn+1 = Xn+1 / m 0 rn+1 1

La secuencia se repetir con perodo p m , por lo que el generador alcanza el perodo mximo si p es igual a m.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez10UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos congruenciales lineales (cont). El periodo depende de los valores asignados a los parmetros a, c, m y X0, es decir, se requiere seleccionar valores adecuados para estos parmetros con el fin de que el generador tenga periodo completo. Seleccin de aa debe ser un entero impar, no divisible por 3 o 5. Usualmente se selecciona a como 2k + 1 cuando se trabaja en sistema binario y 10k + 1 cuando se trabaja en sistema decimal, donde k 2. Seleccin de cc usualmente puede ser cualquier constante. Sin embargo, para asegurar buenos resultados, seleccione c de tal forma que c mod 8 = 5 para una computadora binaria o c mod 200 = 21 para una computadora decimal. Es decir, el valor de c debe ser entero impar primo a m, es decir, si y slo si, sumximo comn divisores igual a 1. Seleccin de mm debe ser el nmero entero ms grande que la computadora acepte. Seleccin de X0 Para el generador congruencial lineal mixto, el valor de la semilla X0 es irrelevante.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez11UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos congruenciales lineales (cont). La expresin recursiva que representa al generador congruencial multiplicativo es la siguiente:

Xn+1 = (a * Xn ) mod m 0 Xn+1 m 1

Donde los mejores resultados para una computadora binaria son:a = (8t) 3, donde t es cualquier entero.m= 2b, donde b >2 y que m sea aceptado por la computadora. Para este valor de m el periodo del generador es 2b -2 , es decir, m/4.x0= cualquier entero impar primo a m.

Los mejores resultados para una computadora decimal son:a = (200t) p, donde t es cualquier entero y p es cualquiera de los siguiente valores:. 3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 69,77, 83, 91.m= 10b, donde b 5 el periodo del generador es 5 * 10b -2 . Si b < 5, entonces el periodo del generador x0= cualquier entero impar no divisible por 3 o 5 y debe ser primo a m.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez12UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasCuadro 5. Ejemplo del mtodo congruencial mixtonXn(061*Xn + 421)(061*Xn + 421)mod 1000Rn=Xn/1000101110920920,011209260330330,092303324344340,0334434268958950,4345895550160160,895601613973970,0167397246386380,3978638393393390,6389339211001000,3391010065215210,10029/08/2012Profra. Madeline Rodrguez13UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasCuadro 6. Ejemplo del mtodo congruencial multiplicativonXn11*Xn(11*Xn)mod 128Rn=Xn/1281009990990,070209910890650,77330657150750,50840758250570,58650576271150,445611512651130,898711312430910,883809110011050,711910511550030,82010003330330,02329/08/2012Profra. Madeline Rodrguez14UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasCaractersticasLos nmeros seudo-aleatorios uniformes entre 0 y 1 son la base en los modelos de simulacin donde hay variables estocsticas, ya que stos son las herramientas para generar eventos de tipo probabilsticos. stos deben cumplir ciertas caractersticas para ser considerados como vlidos:Uniformemente distribuidos. Su media debe ser estadsticamente igual a . Su varianza debe ser estadsticamente igual a 1/12. Estadsticamente independientes.Su periodo o ciclo de vida debe ser largo. La serie debe ser repetible.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez15UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPruebas estadsticas o de aleatoriedad. Es importante vericar si los nmeros generados poseen las caractersticas mencionadas. La comprobacin de stas se realiza mediante ciertas pruebas estadsticas, que son las siguientes:Pruebadeforma. Seemplearenelcasoespeccode los nmeros seudo-aleatorios generados uniformemente entre 0 y 1, para realizar esta prueba se utiliza la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov Smirnov 2. De esta manera la hiptesis propuesta se resume como sigue:H0 : r1 U[0,1]H0 : r1 U[0,1]Prueba de medias. Consiste en vericar que los nmeros generados tengan una media estadsticamente igual a 1/2, de esta manera, se analiza la siguiente hiptesis:H0 : = H0 : Pruebadevarianza. Se verica si los nmeros generados tienen una varianzaestadsticamenteiguala 1/12 , del tal forma que la hiptesis queda expresada como:H0 : V(x) = 1/12H0 : V(x) 1/1229/08/2012Profra. Madeline Rodrguez16UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPruebas estadsticas (cont.)Pruebas de independencia. Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los nmeros generados son estadsticamente independientes entre s, esto es, que no dependen uno de otro. Para esto se propone la siguiente hiptesis:H0 : r1 independienteH0 : r1 dependientePara realizar esta prueba de hiptesis existen varios mtodos, puede seleccionarse cualquiera de la siguiente lista:Prueba de poker.Prueba de corridas arriba y abajo.Prueba de corridas arriba y abajo de la media.Prueba de la longitud de las corridas.Prueba de distancia.Prueba de series.Prueba de huecos.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez17UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPrueba de Bondad de AjusteEn la mayor parte de los sistemas, al analizar la informacin, sta se encuentra disponible en forma de series a travs del tiempo, como se muestra en la figura 2.

Esta informacin, tabulada en dicho formato no es de utilidad. As pues, para conocer el comportamiento, es necesario modificar la forma de presentacin de los datos y presentarlos como tablas de frecuencia, con la finalidad de realizar cualquiera de las siguientes pruebas: Prueba de 2.Prueba de Kolmogorov Smirnov.Estas prueba permite determinar si una serie de datos pertenece a cierta distribucin de probabilidad.

29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez18UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPrueba de Bondad de Ajuste. Prueba de la 2: permite averiguar si las frecuencias observadas difieren de las frecuencias esperadas de una distribucin determinada. Est diseada especialmente para trabajar con valores discretos y un cantidades grande de datos. La metodologa de la prueba 2 es la siguiente:Se colocan los n datos histricos en una tabla de frecuencia observada (F.O.) con m n intervalos. Se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo i ( FOi) como la cantidad de datos en cada intervalo de tamao T. Se calcula la media y la variancia de los datos. Se propone una distribucin de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1, graficando un histograma de frecuencia observada versus intervalos.Con la distribucin propuesta, se calcula la frecuencia esperada para cada uno de los intervalos( FEi).Se calcula el estimador C.Si C es menor o igual al valor correspondiente de la distribucin 2 con m k 1 grados de libertad (k = nmero de parmetros estimados de la distribucin) y a un nivel de confiabilidad de 1 , entonces se dice que la hiptesis propuesta se ajusta a la distribucin de probabilidad que sigue la informacin histrica. 29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez19UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPrueba de Bondad de Ajuste. Prueba de Kolmogorov Smirnov: si el objetivo es encontrar el tipo de distribucin de probabilidad de una serie de datos, es posible utilizar la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov, la cual comparndola con la de 2, es ms eficiente en varios aspectos ya que trabaja con la distribucin de probabilidad acumulada. La metodologa es la siguiente:Se colocan los n datos histricos en una tabla de frecuencia observada (F.O.) con m n intervalos. Se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo i (FOi) como la cantidad de datos en cada intervalo de tamao T. Se calcula la media y la variancia de los datos.Se propone una distribucin de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1, graficando un histograma de frecuencia observada versus intervalos.Se calcula la frecuencia observada acumulada (FOA) para cada intervalo.Se calcula la probabilidad observada acumulada (POA) para cada intervalo.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez20UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPrueba de Bondad de Ajuste. Prueba de Kolmogorov Smirnov: (cont.) Con la distribucin propuesta se calcula la probabilidad esperada (PE) para cada uno de los intervalos.Se calcula la el estimador de mxima diferencia DM.Se obtiene el correspondiente valor de la distribucin de Kolmogorov Smirnov (D) para n grados de libertad y a un nivel de confiabilidad de 1 de la tabla de dicha distribucin.El estimador DM se compara con el valor lmite Dn, 1 . Si el estimador DM es menor o igual al valor lmite, entonces se dice que la hiptesis propuesta se ajusta a la distribucin de probabilidad que sigue la informacin histrica. 29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez21UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de Montecarlo.Es unmtodo no determinsticoo estadstico numrico, propuesto por Stanislaw Ulamy John von Neumann en 1946, usado para aproximarexpresiones matemticascomplejas y costosas de evaluar con exactitud. El mtodo se llam as en referencia alCasino de Montecarlo(Principado de Mnaco) por ser la capital del juego de azar, al ser laruletaun generador simple de nmeros aleatorios.El uso de los mtodos de Montecarlo como herramienta de investigacin, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de labomba atmicadurante laSegunda Guerra MundialenEE. UU.En la actualidad es parte fundamental de losalgoritmosdeRaytracingpara la generacin de imgenes 3D.El mtodo de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemticos posibilitando la realizacin de experimentos con muestreos de nmeros seudo-aleatorios en una computadora. El mtodo es aplicable a cualquier tipo de problema, ya seaestocsticoodeterminista.En base a lo anterior se realiza la prediccin de escenarios numricos, lo cual es til en el proceso de toma de decisiones, formulacin de estrategias y planes de accin.

29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez22UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de Montecarlo (cont.).Tomar una muestra aleatoria de tamao n de una variable de inters.Clasificar los n datos de la muestra en intervalos. El nmero de intervalos y su amplitud quedan a juicio del analista.Ordenar los datos en una tabla de distribucin de frecuencias. Se debe calcular: la frecuencia relativa simple y acumulada.Generar un nmero seudo-aleatorio (que se encuentra entre 0 y 1) representa la probabilidad de que la variable tome un determinado valor en el futuro. El nmero aleatorio, debe ser ubicado en el intervalo de frecuencia relativa acumulada que lo contenga.Luego, el nmero contenido en el intervalo de frecuencia relativa acumulada es el valor estimado de la variable.Es posible confeccionar un histograma de frecuencias para observar una grfica de la distribucin de la variable. De esta forma se obtienen los posibles valores que puede adoptar la variable con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia.La simulacin deber ser aplicada a cada variable relevante, a fin de estimar sus comportamientos en el futuro.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez23UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de Montecarlo. Ejemplo 1:Se desea reproducir, mediante el uso de variable aleatoria en un proceso de simulacin, la tirada sucesiva de una moneda. A continuacin se tiene:Probabilidad de que la variable tome una valor particular.CARA = 0,500CRUZ = 0,500A partir de la funcin de probabilidad de densidad f(t) se calcula la funcin acumulada F(t). F(t) = 1,000Intervalos para cada posible valor que tome la variable.CARA = 0,000 al 0,499CRUZ = 0,500 al 0,999Obtener los ri, requeridos, a partir de un generador. ri = 0,385 Se incluye el ri en el intervalo correspondiente y determinar el valor de la variable. CARA.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez24UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de Montecarlo. Ejemplo 2:Suponga que en una cafetera en donde cualquier periodo de Diez minutos, los clientes requieren servicio con la siguiente probabilidad:Cuadro 7. Nmero de clientes/pclientes/periodof(x)0 0.4001 0.2502 0.2003 0.150Se desea generar una experiencia artificial para cinco periodos. Utilizar el mtodo del cuadrado medio para la generacin de los nmeros seudo-aleatorios que se necesiten en la simulacin, tomando como semilla X0 = 039.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez25UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de generacin de variables aleatorias. Partiendo de un generador de muestras de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas U(0,1), interesa generar muestras de otra variables aleatorias, X, con funcin de distribucin de probabilidad F(x) y funcin de densidad de probabilidad f(x).Existen diversos mtodos de generacin y la decisin sobre cul usar para una distribucin concreta estar condicionada por las siguientes caractersticas: ExactitudEficienciaComplejidad RobustezNmero constante de muestras

Algunos de los mtodos ms utilizados se exponen a continuacin:Transformada Inversa Convolucin Composicin Aceptacin y Rechazo Directo 29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez26UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de Transformada Inversa. Utiliza la funcin de distribucin de la variable de la que se quiere generar muestras. Dada U, secuencia de nmeros seudo-aleatorios con distribucin uniforme en el intervalo [0,1] y dada F(x), la funcin de distribucin de la otra variable aleatoria que se quiere generar, las muestras se obtendrn mediante las siguientes relacin:X = F -1 (U)Por tanto, una condicin mnima para la aplicacin de este mtodo es conocer la forma explcita de F-1. Esto ocurre para muchas distribuciones, como la exponencial, uniforme, weibull, Cauchy, entre otras. Aunque la dificultad de este mtodo radica en que algunas casos es complicado encontrar la transformada inversa o en otros la condicin no es suficiente, como en el caso de la beta que es tericamente posible pero muy costoso.29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez27UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPara distribucin exponencial. Se puede utilizar para la generacin de una variable aleatoria X cuya distribucin es exponencial de media 1/. As, dada la funcin de densidad: f(x) = e-x x 0La funcin de distribucin de probabilidad es:F(x) = 1 - e-x x 0Se tiene a partir de una muestra u de nmero aleatorio U(0,1): u = 1 - e-x xexp = - 1/ln(1 u) xexp = - 1/ln(u) donde u = 1 u es una muestra de nmero seudo-aleatorio U(0,1).29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez28UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPara distribucin uniforme. Se puede utilizar para la generacin de una variable aleatoria X cuya distribucin es uniforme entre a y b. As, dada la funcin de densidad: f(x) = 1/(b a) a x bLa funcin de distribucin de probabilidad es:F(x) = (x a)/(b a) a x bSe tiene a partir de una muestra u de nmero aleatorio U(0,1): u = (x a)/(b a ) xuni = a + (b a)udonde u es una muestra de nmero aleatorio U(0,1).29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez29UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasMtodos de convolucin. Se aplica cuando la variable aleatoria a generar X se puede descomponer como la suma de n variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, es decir:X = Y1 + Y2 ++ YkSea f(x) la funcin de densidad de X y f(y) la funcin de densidad de las variables Yk. Para generar la variable aleatoria X se siguen los siguientes pasos:1.- Generar una muestra de cada variable aleatoria Y1 + Y2 ++ Yk independientemente e idnticamente distribuidas con funcin de con funcin de distribucin de probabilidad F(y).2.- Generar una muestra de x de X como suma de las muestras obtenidas en el paso anterior: x = y1 + y2 ++ yk.

29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez30UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasPara distribucin erlang. Se puede utilizar para la generacin de una variable aleatoria X cuya distribucin es erlang con media 1/. La variable aleatoria X puede expresarse como una suma de k variables exponenciales independientes, idnticamente distribuidas y de media 1/k:

X = Y1 + Y2 ++ Yk

Dado que cada una de las variables Y, sigue una distribucin exponencial, esto es Y = - 1/lnu. x = - 1/lnu1 + - 1/lnu2 ++ - 1/lnuientonces la variable aleatoria X puede expresarse:x = -1/klnui xerl = -1/k lnuii=1ki=1k29/08/2012Profra. Madeline Rodrguez31UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasResumen de las distribuciones para generar variables aleatoria continuaFuncin de densidadMtodoExpresinDescripcinUniformeTransformada inversaxuni = a + (b a)ua: limite inferiorb: limite superiorExponencialTransformada inversaxexp = -1/ lnu1/: media exponencialErlangConvolucin1/: valor esperadok: parmetro de formaWeibullTransformada inversaxwei = + (-lnu)1/: parmetro de localizacin: parmetro de escala: parmetro de formaNormalConvolucinxnor = + (ui 6): media normal : desviacin estndarK

i=1xerl = -1/k lnui12

i=129/08/2012Profra. Madeline Rodrguez32UNIDAD II: Generacin de nmeros aleatorios y generacin de variables aleatoriasResumen de las distribuciones para generar variables aleatoria discretaFuncin de densidadMtodoExpresinDescripcinBernoulliTransformada inversaSi 0 ui < 1 p Xber = 0Si 1 p ui < 1 Xber = 1 p: probabilidad de ocurrencia del evento Y = 11 p: probabilidad de ocurrencia del evento y = 0BinomialConvolucinXbin= Xberip: probabilidad de xito de la distribucin binomial que se involucra al generar los bernoulliN: nmero del evento mximo de la distribucin binomial

n

i=1