16
35 DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD Generación de sistemas difusos para el control inteligente de procesos agroindustriales Juan Contreras Montes 1 , Yuliana Puerta Cruz 2 , Laura Martínez García 3 y Luís Murillo Fernández 4 RESUMEN: Se presenta una novedosa técnica que emplea lógica difusa para la obtención de modelos y controladores de procesos a partir de datos de entrada y salida. El aspecto más promisorio lo representa el equilibrio entre precisión e interpretabilidad del modelo difuso obtenido, así como la baja complejidad computacional que facilita la operación en línea para ajustes automáticos de parámetros del controlador ante cambios en la dinámica del proceso. Se presentan aplicaciones en modelamiento de procesos ampliamente conocidos, como el “Box-Jenkins Gas Furnace”, obteniendo uno de los mejores resultados obtenidos hasta la fecha, así como en la obtención de un controlador difuso que mejora el desempeño del controlador PID autotuning existente en un proceso de freimiento de una empresa procesadora de alimentos. Palabras claves: modelamiento de procesos, control de procesos, identificación difusa, controlador difuso, mínimos cuadrados. ABSTRACT: A novel technique that uses fuzzy logic for obtaining models and process controllers from input and output data is proposed. The most promissory aspect in this approach consists in achieving a great precision without sacrificing the fuzzy system interpretability which facilitates the online operation for automatic adjustments of controller parameters when a change in the dynamic of the process has occurred. The real-world applicability of the proposed approach is demonstrated by application to a classic benchmark in system modeling and identification (Box-Jenkins gas furnace) and to a temperature control of a food process. Keywords: process modeling, process control, fuzzy identification, fuzzy controller, least square method. RECIBIDO: 26/08/2010 - APROBADO: 31/05/2011 1 Juan Antonio Contreras Montes es especialista en Automatización Industrial y Doctor en Ciencias Técnicas (área control inteligente de procesos) y actúa como consultor tecnológico de la Cámara de Comercio de Cartagena. Desde 1990 está vinculado con la facultad de Ingeniería Naval de la Escuela Naval Almirante Padilla en Cartagena, Colombia, donde coordina las actividades de investigación y lidera el Grupo de Investigación en Control, Comunicaciones y Diseño Naval (categoría A de Colciencias). Así mismo actúa como asesor coordinador de las actividades investigativas del programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez, donde lidera el grupo de Investigación en Sistemas Neurodifusos (categoría B de Colciencias). E-mail: [email protected] 2 Yuliana Puerta Cruz es Ingeniera de Sistemas y candidata a Magíster en Ingeniería. Estuvo vinculada al programa Jóvenes Investigadores e Innovadores de Colciencias 2007-2008 y actualmente se desempeña como investigadora en el programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez. E-mail: [email protected] 3 Laura Martínez García es Ingeniera de Sistemas y candidata a Magíster en Ingeniería. Actualmente se desempeña como investigadora en el programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez. E-mail: [email protected] 4 Luís Murillo Fernández es especialista en Informática Industrial y candidato a Doctor en Ciencias Técnicas (área sistemas digitales). Actualmente está vinculado como ingeniero director de proyectos de automatización en Cotecmar. E-mail: [email protected]

Generación de sistemas difusos para el control … · difuso que mejora el desempeño del controlador PID autotuning existente en un proceso de freimiento de una empresa procesadora

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35

DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

Generación de sistemas difusos para el control inteligente de procesos agroindustrialesJuan Contreras Montes1, Yuliana Puerta Cruz2, Laura Martínez García3 y Luís Murillo Fernández4

RESUMEN: Se presenta una novedosa técnica que emplea lógica difusa para la obtención de modelos y controladores de procesos a partir de datos de entrada y salida. El aspecto más promisorio lo representa el equilibrio entre precisión e interpretabilidad del modelo difuso obtenido, así como la baja complejidad computacional que facilita la operación en línea para ajustes automáticos de parámetros del controlador ante cambios en la dinámica del proceso. Se presentan aplicaciones en modelamiento de procesos ampliamente conocidos, como el “Box-Jenkins Gas Furnace”, obteniendo uno de los mejores resultados obtenidos hasta la fecha, así como en la obtención de un controlador difuso que mejora el desempeño del controlador PID autotuning existente en un proceso de freimiento de una empresa procesadora de alimentos.Palabras claves: modelamiento de procesos, control de procesos, identificación difusa, controlador difuso, mínimos cuadrados.

ABSTRACT: A novel technique that uses fuzzy logic for obtaining models and process controllers from input and output data is proposed. The most promissory aspect in this approach consists in achieving a great precision without sacrificing the fuzzy system interpretability which facilitates the online operation for automatic adjustments of controller parameters when a change in the dynamic of the process has occurred. The real-world applicability of the proposed approach is demonstrated by application to a classic benchmark in system modeling and identification (Box-Jenkins gas furnace) and to a temperature control of a food process.Keywords: process modeling, process control, fuzzy identification, fuzzy controller, least square method.

RECIBIDO: 26/08/2010 - APROBADO: 31/05/2011

1 Juan Antonio Contreras Montes es especialista en Automatización Industrial y Doctor en Ciencias Técnicas (área control inteligente de procesos) y actúa como consultor tecnológico de la Cámara de Comercio de Cartagena. Desde 1990 está vinculado con la facultad de Ingeniería Naval de la Escuela Naval Almirante Padilla en Cartagena, Colombia, donde coordina las actividades de investigación y lidera el Grupo de Investigación en Control, Comunicaciones y Diseño Naval (categoría A de Colciencias). Así mismo actúa como asesor coordinador de las actividades investigativas del programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez, donde lidera el grupo de Investigación en Sistemas Neurodifusos (categoría B de Colciencias). E-mail: [email protected]

2 Yuliana Puerta Cruz es Ingeniera de Sistemas y candidata a Magíster en Ingeniería. Estuvo vinculada al programa Jóvenes Investigadores e Innovadores de Colciencias 2007-2008 y actualmente se desempeña como investigadora en el programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez. E-mail: [email protected]

3 Laura Martínez García es Ingeniera de Sistemas y candidata a Magíster en Ingeniería. Actualmente se desempeña como investigadora en el programa de Ingeniería de Sistemas de la Corporación Universitaria Rafael Núñez. E-mail: [email protected]

4 Luís Murillo Fernández es especialista en Informática Industrial y candidato a Doctor en Ciencias Técnicas (área sistemas digitales). Actualmente está vinculado como ingeniero director de proyectos de automatización en Cotecmar. E-mail: [email protected]

Page 2: Generación de sistemas difusos para el control … · difuso que mejora el desempeño del controlador PID autotuning existente en un proceso de freimiento de una empresa procesadora

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INTRODUCCIÓNLa actividad agroindustrial incluye procesos diversos, como: deshidratación, preservación, empaque, preparación previa de alimentos, como el precocido, entre otros, que requieren el apoyo de la tecnología para alcanzar los niveles de competitividad y productividad necesarios para sobresalir en una economía cada vez más globalizada. En Cartagena, Colombia, las pequeñas y medianas empresas que realizan actividades productivas relacionadas con la agroindustria manejan en algún grado las tecnologías de la información y la comunicación (TIC); sin embargo, es limitado el uso de tecnología para el modelamiento, control y/u optimización de sus procesos productivos.

Los procesos agroindustriales revisten cierto grado de complejidad debido a que manejan, por lo general, más de dos variables y a que tienen tendencias no lineales. Por esto, para lograr un control automático preciso que permita optimizar el proceso se debe acudir a técnicas no convencionales como la lógica difusa, una rama de la inteligencia artificial que ha logrado gran aceptación en el desarrollo de técnicas de modelamiento y control automático inteligente.

Los modelos difusos presentan una gran capacidad para describir los sistema reales de manera similar a como lo interpreta un operador humano. La construcción de modelos difusos involucra la selección y sintonización de varios parámetros como: forma y distribución de las funciones de pertenencia de las variables de entrada, base de reglas, operadores lógicos empleados, forma y distribución de los consecuentes, etc. El gran número de parámetros requeridos para obtener un modelo difuso ha dificultado el desarrollo de una técnica única de modelación, especialmente en el caso de identificación difusa a partir de datos experimentales de entrada y salida.

Una de las primeras propuestas para diseño automático de sistemas difusos a partir de los datos es la denominada table look-up écheme (Wang et al, 1992). Sugeno et al (1993) propusieron una metodología para identificación de parámetros de modelos difusos empleando consecuentes tipo singletons, pero requiere de muchas reglas y presenta una pobre capacidad de descripción. Otros métodos importantes emplean el gradiente descendente, técnicas de agrupamiento o clustering y algoritmos evolutivos. Con excepción del último método todos requieren de un diseño previo de las funciones de pertenencia.

Los algoritmos de agrupamiento difuso representan la técnica más adecuada para la obtención de modelos difusos, siendo los métodos de Fuzzy C-Means (Bezdek, 1987) y de Guztafson (1979) los más empleados. Se han realizado diversas variaciones a estos algoritmos de agrupamiento (Nauck, 1995), (Sala, 2001) así como otras propuestas para identificación difusa a partir de datos experimentales (Diez et al, 2004), (Guillaume et al, 2004) consiguen una buena precisión pero sacrifican la interpretabilidad ya que presentan interpolación de más de dos funciones de pertenencia y, por lo general, la suma de los valores de pertenencia para un dato de entrada es muy superior a 1. Otras propuestas generan sistemas difusos de partición suma 1 pero con un elevado número de reglas (Chen et al, 2005), (Gaweda et al, 2003).

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37

DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

La metodología empleada en este trabajo para la obtención del modelo difuso a partir de datos de entrada y salida esta basada en el método del error de inferencia de Sala et al (2001) y es presentada en tres fases: en la primera, se emplea el error de inferencia para generar un sistema difuso interpretable y, además, detectar clases o agrupamientos posibles en los datos; en la segunda, mediante el empleo de mínimos cuadrados, para ajuste de consecuentes, y del gradiente descendiente, para ajuste de las funciones de pertenencia del antecedente, se optimiza el modelo; en la tercera, se emplea el método para la construcción de sistemas de control adaptativos.

ERROR DE INFERENCIAEn lógica difusa es común tratar con reglas del tipo “Si u es A, entonces y es B”, donde u y y representan dos variables numéricas, y A∈U y B∈Y, son dos conjuntos difusos de entrada y salida respectivamente, definidos en los universos U y Y. La regla mencionada es equivalente a la inecuación

[1] BA uu ≤u( ) ( )y

El error de inferencia ∈, concebido como la distancia conceptual al conjunto conclusión de la regla, está dado por

[2]

−≤

∈≈uuuuuu

BABA

BA

0u( )u( ) ( )y( )y

( )y( )yu( )

El método propuesto para crear un sistema difuso basado en reglas que se aproxime a una función de una entrada una salida, con un error de inferencia nulo, debe cumplir con la condición

[3] BA uu ( )y

en el caso de una regla del tipo “Si u es A, entonces y es B”. Si el sistema tiene n entrada se debe representar por una regla del tipo “Si u1 es A

1 , u

2 es A

2 , …, u

m es

Am, entonces y es B”, por lo cual el sistema generado deberá cumplir con la condición

[4] kBkmAkA2kA1 yuxuxuxu ∧∧∧(( ( ) ( ( ) ... ( ( )) ( )

donde ∧ representa una t-norma de la lógica difusa o un operador de agregación.

IDENTIFICACIÓN DIFUSA POR ERROR DE INFERENCIAA. Estructura Del Modelo Difuso

Buscando un equilibrio entre la aproximación numérica y la interpretabilidad del sistema difuso resultante se consideran los siguientes criterios para la selección de los parámetros.

1) Funciones de PertenenciaLa partición de los universos de las variables de entrada en el proceso de aprendizaje se hará con conjuntos triangulares normalizados con solapamiento específico de 0.5.

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38

Las funciones de pertenencia triangulares permiten la reconstrucción del valor lingüístico en el mismo valor numérico, luego de aplicar un método de defuzzyficación (Gaweda et al, 2003); además, el solapamiento en 0.5 asegura que los soportes de los conjuntos difusos sean diferentes.

Los conjuntos difusos generados para la variable de salida serán tipo singleton.

2) Distribución De Las Funciones De PertenenciaLos conjuntos difusos triangulares de las variables de entrada estarán distribuidos de manera simétrica en cada universo respectivo de manera tal que cada uno de los elementos de los universos de discurso de cada variable debe pertenecer, al menos, a un conjunto difuso.

3) OperadoresPara la combinación de los antecedentes de las reglas se emplearán operadores tipo promedio ponderado OWA (Ordered Weighted Averaging).

4) Método De InferenciaEl método de inferencia empleado está dado por

[5]

L

j

ij

ij

L

j

j

i

xm

xmy

xf ( )

1

1

donde

[6] nAA

(i)A

(i)j xuxuxuxm j

njj ( ) ( ).1

1 2( )(i)2 ( )(i)

es el grado de la salida de la j-ésima regla de un sistema difuso tipo Mamdani, es el valor del singleton correspondiente a la regla j. El denominador siempre arroja un valor igual a 1 cuando se trata de particiones suma 1, el cual es el caso del método de aproximación propuesto en este artículo.

B. Algoritmo de Identificación Difusa

El algoritmo para generación de sistemas difusos interpretables a partir de los datos se basa en la minimización del error de inferencia. Sólo requiere la definición previa de la forma de las funciones de pertenencia que conformarán la partición del antecedente y calcula el número y la distribución final de las funciones de pertenencia del antecedente, garantizando partición suma 1, así como las posiciones de los consecuentes, del tipo singleton.

Dado una colección de datos experimentales de entrada y salida {xk, y

k}, k =1, ...,

N, donde xk es el vector de entrada p-dimensional p

kkk xxx ,,, 21 y yk es el vector

unidimensional de salida.

1. Organización del conjunto de N pares de datos de entrada – salida { }Niyx ii ,...,2,1),( = , donde p

ix ℜ∈ son vectores de entrada y yi son escalares

de salida.

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39

DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

2. Determinación de los rangos de los universos de cada variable de acuerdo a los valores máximos y mínimos de los datos asociados [ ]+−

ii xx , , [ ]+− yy , .

3. Distribución de las funciones de pertenencia triangulares sobre cada universo.

Se tiene como condición general que el vértice con valor de pertenencia uno (valor modal) cae en el centro de la región cubierta por la función de pertenencia mientras que los otros dos vértices, con valor de pertenencia iguales a cero, caen en los centros de las dos regiones vecinas. Para poder aproximar eficientemente los extremos inferior y superior de una función representada por los datos es necesario que en la partición triangular las funciones de pertenencia que cubren el inicio y final del universo coincidan sus vértices con valor de pertenencia uno con sus vértices izquierdo y derecho respectivamente, como se aprecia en la fig. 1.

Fig. 1. Partición triangular suma 1

u(xi1.0

0.0x i x i x i- +

A2 A1 A A1 A2- - + +)

4. Cálculo de la posición de los valores modales de la(s) variable(s) de entrada, de acuerdo a

if

[7]

(i)kA xu (n)

k( ) 1

iyys (n)k

end

donde (n)kys corresponde a la proyección sobre el espacio de salida de la evaluación

del dato )(ix de la k-ésima variable de entrada en el n-ésimo conjunto de la partición correspondiente. El valor de la salida correspondiente a dicha proyección está dado por el valor de la i-ésima posición del vector de salida y.

5. Determinación de las reglas. Para esto se emplea un algoritmo de agrupamiento de

tipo jerárquico que empieza con un número de agrupamientos igual al número de conjuntos de cada variable de entrada multiplicado por el número de variables; es decir igual a n x k. El número de agrupamientos resultantes será igual al número de reglas L, y el valor de cada agrupamiento será el valor del singleton j

y asociado a la regla respectiva.

6. Validación del modelo, ó cálculo de la aproximación, empleando el método de

inferencia descrito por (5), donde jy es el valor del singleton correspondiente

a la regla j. El denominador siempre arroja un valor igual a 1 cuando se trata de particiones suma 1, el cual es el caso del método de aproximación propuesto.

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7. Ajuste de los parámetros, reubicando los singletons de salida, empleando el método de mínimos cuadrados. La ecuación (5) puede expresarse de la forma

[8] ∑

L

j

ij

ji xwyxf ( ) donde

[9]

ijL

j

ij

iji

j wxm

xmxw

Los valores de salida pueden representarse como EWY += θ , que en forma matricial está dada por

[10]

En

L

W

nL

nn

L

L

Y

L e

ee

y

yy

www

wwwwww

y

yy

θ

donde E es el error de aproximación, el cual debe ser minimizado. Empleando la norma del error cuadrático se tiene

[11] θθθ) WYW(YW(YE −− 2 ( ) )

La solución a este problema de mínimos cuadrados está dada por

[12]

θθ

W2W2YWE T−∂∂

0

De donde se obtiene

[13]

WYW)(W

WWWY TTT

T−1θ

Esta solución es válida si )( WWT es no singular; en caso contrario la estimación por mínimos cuadrados debe hacerse de manera recursiva.

8. Terminar si la medida del error cuadrático medio MSE es menor a una medida

previamente establecida. De otra manera, incrementar en 1 el número n de conjuntos de la variable de entrada y volver al paso 3.

Con el algoritmo descrito se consigue un modelo difuso interpretable con una buena precisión y sólo se requiere del ajuste de los parámetros del consecuente, que son tipo singleton, lo que disminuye el tiempo de entrenamiento. Es posible lograr una mayor aproximación (“ajuste fino”) si al finalizar el proceso mencionado se aplica el

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DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

método del gradiente descendiente para ajustar la ubicación de los valores modales de los conjuntos triangulares del antecedente, conservando la partición suma 1. El método propuesto permite hallar un sistema de reglas difusas interpretables con una buena precisión, como se verá más adelante cuando se presenten los resultados obtenidos en la solución de problemas clásicos. La proyección de los valores modales en el espacio de salida permite detectar agrupamientos o clases, con lo cual se puede reducir el número de reglas y el número de conjuntos del universo de entrada.

CONTROL ADAPTATIVO DIFUSO

El método más simple para diseñar el controlador de un proceso no lineal es el denominado control inverso, el cual puede ser aplicado a sistemas estables cuyo modelo inverso también sea estable.

La salida de un sistema de una entrada - una salida, sin retardo, se puede determinar a partir de

[14] (k)uk),xg(kyr 1) (

donde [ ])1(),...,1(),1(),...,()( uyrr nkukunkykykx −+−−+= es el vector de estados del sistemas, u(k)es la entrada actual y y(k + 1) es el valor futuro de la salida. El objetivo del control inverso es determinar la acción de control u(k) a partir del conocimiento del estado del sistema x(k) de tal manera que la salida del sistema en el instante inmediatamente posterior sea igual a la salida deseada yr(k+1).

[15] −1 (ky(k),xg(k)u r 1)

El empleo de partición triangular suma 1 y consecuentes tipo singleton facilita la inversión del modelo propuesto, ya que el mapeo multivariable presentado en [14] puede ser reducido a un mapeo univariable de la forma

[16] ug(ky xr 1) (k)

donde el subíndice x indica que gx es obtenida para un estado particular x.

Para explicar de manera más clara el cálculo del modelo inverso se presenta a continuación un ejercicio: un sistema difuso que considera los valores de salida, actual y(k) y salida anterior y(k - 1) y el valor actual u(k) de la entrada para predecir el valor posterior de la salida y(k + 1). La variable de entrada U y la de salida Y tienen N y M funciones de pertenencia respectivamente. Lo anterior implica que el estado del sistema estará dado por [ ])1(),()( −= kykykx rr

. Las reglas de un sistema difuso se pueden expresar de la forma

[17]

l

lll

eskyentoncesBeskuAeskyAeskySi

δ)1(,)(,)1(,)(

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Considerando que y(k) y y(k-1) forman el vector de estado x(k), la salida y(k+1) se calcula, para un sistema difuso general, a partir de

[18]

⋅⋅ L

lBX

L

llBX

(k))(uu(k))(xu

(k))(uu(k))(xu(ky

ll

llδ

1)

que puede ser simplificado a

[19]

∑∑

⋅⋅

L

lll

L

lB

L

llBl

(k))(x(k))(uu

(k))(uu(k))(x(ky

l

l

δλ

δλ1)

donde ))(( kxlλ es el grado de activación normalizado de la parte del antecedente correspondiente al estado del sistema. El estado x(k) es conocido por lo que la última sumatoria de [19] puede ser realizada, conduciendo a

[20] ∑ ⋅

L

llB (uu(ky

lδ1)

(k)) *

donde

[21]

∑ ⋅L

llll (x δλδ*

(k))

Lo anteriormente expuesto resume la regla inicialmente planteada a la expresión [22] *)1(,)( ll eskyentoncesBeskuSi δ

Intercambiando el antecedente y el consecuente se obtiene las reglas del modelo inverso [23]

ll BeskuentonceseskySi )(,)1( *δ

La salida del controlador inverso estará dada por

[24] ∑ ⋅L

llb(k(yu(k)u

* 1))

donde b1 corresponde a los valores modales de B

1. Para calcular ))1((* +kyu

lδse debe

interpolar entre los singletons del consecuente, así:

[25]

0

−−

−−

−1

−1

ll

rl

ll

lrr

yy(yu

l δδδ

δδδ

δ 1 Ll * ) max , min

****** ,

Cuando en la interpolación interviene el conjunto del extremo izquierdo, ó derecho, el primer término, ó el segundo, afectado por el operador min será igual a cero.

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DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

En el caso del modelo propuesto en esta investigación, que contempla partición triangular suma 1 para el antecedente de las reglas y consecuentes tipo singleton, la obtención del modelo inverso difuso resulta relativamente sencilla mediante la metodología propuesta. A partir de la ecuación (8), y conociendo los valores de salida

( ))( ixf , se puede obtener la señal de entrada al modelo a partir de

[26] ij

L

j

ji xmyfx ∑

−1 (1

)

ó,

[27]

k

n

xuxu(xuyfx

nAAAL

j

j(i)k

jn

jj

−1

1

11(i)

2 (i)

2 ... (i)

1,2...,n,

Para un determinado valor de salida )(iy , el valor correspondiente a la entrada, para cada variable, puede determinarse también de la siguiente manera: Fig. 2. Obtención de los datos de entrada a partir de los datos de salida

.xmin xmax ymin ymax

A AAAA AA1 2 3 4 (n-2) (n-1) n

UA2

(i)(x )x

UA3

(i)(x )x

x x

...

δ δ δ δ δ δ δ1 2 3 4 (n-2) (n-1) n

...

-dy1 --- --- dy2-

y(i) (i)

• Se determina la posición de )(iy con respecto a la ubicación de los consecuentes

jδ más cercanos, como se muestra en la fig. 2.• Se calculan las distancias a los consecuentes más cercanos.• Se determinan las reglas que contienen los consecuentes involucrados.• Se determinan las funciones de pertenencia que hacen parte de las reglas

seleccionadas.• Se calcula el grado de pertenencia del dato de entrada en cada función de

pertenencia asociada a los consecuentes involucrados. Para el caso mostrado en la fig. 2, se tiene que:

[28]

dy1u

dy2)(dy1dy2(xu

A

(i)kA

2)

dy2)(dy1(x (i)k )

3

Dado que es partición suma 1, sólo es necesario calcular el grado de pertenencia en una de las funciones de pertenencia para obtener el valor de entrada buscado )(i

kx .

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RESULTADOSa. Horno De Gas De Box-Jenkins

Uno de los problemas clásicos en la modelación e identificación de sistemas es el horno de gas planteado por Emami (1998). El conjunto de datos está compuesto de 296 pares de datos de entrada-salida. Los datos de entrada corresponden a la rata de flujo de gas que va a ser quemado y los datos de salida a la concentración de dióxido de carbono. El objetivo es predecir la salida usando valores pasados de la entrada y la salida.

Varios autores han trabajado este problema con diferente número de valores pasados de entrada y salida. Kim et al (2008) emplean, en la ecuación de regresión, las variables u(k-1), u(k-2), u(k-3), y(k-1), y(k-2) y y(k-3), mientras que Joo (2002) emplea en la ecuación de regresión sólo las variables y(t-1) y u(t-4), logrando un error RMS de 0.390 en la identificación. Fig. 3. Funciones de pertenencia para el ejemplo de modelación del horno Box-Jenkins

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10u(k-4)

y(k-1)35 40 45 50 55 60 65 70

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45

DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

Con las variables propuestas por Paiva et al (2004) se aplicó el método propuesto y se obtuvo la partición mostrada en la fig. 3 y el resultado mostrado en la fig. 4. Los singletons del consecuente se ajustaron por mínimos cuadrados en el proceso de entrenamiento y luego se ajustaron los valores modales de los conjuntos difusos empleando gradiente descendiente. La tabla I presenta la base de reglas del modelo difuso y la tabla II muestra una comparación con los resultados obtenidos con otros métodos.

Fig. 4. Desempeño del modelo difuso del horno de gas de Box-Jenkins

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

0 50 100 150 200 250 300

Los conjuntos de salida son del tipo singleton con ubicaciones en 44.78 y 65.3.

Tabla I. Descripción lingüística del sistema difuso

Regla u(k-4) ∧ y(k -1) ⇒

y(k) 1 A B 44.78

2 B A 65.30

El modelo difuso obtenido tiene un buen desempeño con un bajo número de parámetros y una adecuada interpretabilidad en el sentido de que un operador humano tendrá un claro significado de las reglas.

Tabla II. Comparación de resultados de varios métodosal problema del horno de gas de Box-Jenkins

Modelo MSE Reglas Parámetros

*Modelo SI de Kim et al (1998) [20]

*Modelo de Gaweda y Zurada (2003)[18]

*Modelo propuesto

*Modelo Sugeno Wang y Langari (1995) 21

*Modelo ARMA. Box Jenkins (1976) 17

0.048

0.055

0.066

0.066

0.202

2

2

2

2

N/A N/A

N/A

110

38

6

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46

b. Control adaptivo difuso

Se empleó el método de identificación difusa para modelar un blancher. Se introducen pedazos de plátano (o brócoli) en el blancher para el proceso de pre-freimiento. Debido a las condiciones de producción de la empresa procesadora de alimentos, no fue permitido aplicar al sistema señales de entrada que exciten el sistema en todo el rango de frecuencias requeridas para un proceso de identificación. Por lo tanto se procedió a utilizar los datos del proceso en una operación normal, el cual es regulado por medio de un control PID tipo con autosintonía.

Fig. 5. Control de Temperatura en el blancher

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 500 1000 1500 2000 2500

100

Tiempo (segundos)

* *

*

*

*

**

**

**

*

* ** *

***

**

*

*

*

****

****

**

***

***

***

*

*

*

*

**

**

****

*

Temperatura real del agua C (---), Apertura válvula de vapor %(**), Temperatura deseada del agua ( )

Fig. 6. Partición Difusa de las variable de entrada: a) u(k), b) y(k-1) y c) y(k-7)

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a) u(k)

0

0.5

1

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

b) y(k-1)

0

0.5

1

40 50 60 70 80 90c) y(k-7)

La fig. 5 muestra el control de temperatura en el blancher mientras pedazos de plátano están siendo pre-cocidos. Se observan variaciones abruptas de la válvula de inyección de vapor y cambios en el Set-Point. Estos cambios en el Set-Point son necesarios para evitar que el controlador PID aplique inyecciones de vapor muy altas

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DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

y disminuir así el choque termal y el de alto nivel del ruido que serían causados y que afecta el bienestar de los trabajadores.

La apertura de la válvula u(k) (salida del controlador y el valor pasado de la temperatura en el blancher, y(k-1) fue usada como entrada para construir el modelo difuso. El valor actual de la temperatura y(k) era considerado como la salida del sistema. Los resultados obtenidos se muestran en la fig. 6.

La base de reglas obtenidas es:

[29]

δδδδ

→−1)∧−7)→→−1)→−7)∧

(ky(ky(k)u(ky

(ky(k)u2 1 1

2

3

422

1

1

donde el vector de singletons (consecuentes), después de ajustado esta dado por:

[30] −δ 84.69 31.31 81.20 97.62

En la fig. 7 se muestra una comparación entre las salidas reales y las salidas del modelo difuso (MSE = 0.1006).

Fig. 7. Temperatura en el blancher.

40

50

70

80

90

60

100

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo (segundos)

Tem

per

atur

a C

Temp. real del agua ( )Temp. obtenida por el modelo difuso ( )

A partir del modelo difuso obtenido se obtiene el modelo inverso. Un modelo de referencia fue definido como:

[31] kTry −0.002− 90 55e ; k 0,1,2,...,n

Considerando una temperatura inicial en el de 35 ºC y un ajuste de tiempo cerrado a 2500 segundos para reducir el ruido causado para el choque termal. Un tiempo de 30 segundos fue tomado como ejemplo:

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De la base de reglas

[32] TTT (ky(k(yu(ky(ky(k)(uW −7)−1)−7))

δδδδθ

2 1 1 1(k) 2 2 −1))

1 2 3 4

Yr es el modelo de referencia y puede ser expresado como:

[33] θθθ WWWYr 1 1 2 2 3 3

donde

[34]

TT (ky(kyW −−1 1 1) 2 1) δδθ ; 1 2 4T

TT yyW −−2 1 (k 7) 2 (k 7) ; Tδδθ 2 1 4

TT u(k)uW 3 1 2 (k) Tδδθ ;3 3 1

Los vectores y1(k-1)T, y

2(k-1)T, y

1(k-7)T, y

2(k-7)T, u

1(k)T y u

2(k)T contienen los grados de

pertenencia de las particiones de cada variable: y(k-1), y(k-7) y u(k) respectivamente. Los primeros cuatro vectores y Yr son conocidos. El objetivo es encontrar la señal de entrada que produce el Yr. Se obtiene de:

[35] θθθ WWYW r −3 3 1 1 2 2

La fig. 8 muestra la señal de entrada calculada para generar el modelo de referencia y las entradas reales las cuales fueron ajustadas en línea.

Fig. 8. Señal de control

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 500 1000 1500 2000 2500

100

Tiempo (segundos)

Ap

ertu

ra d

e va

lvul

a d

e in

yecc

ión

de

vap

or

en %

Señal de control con adaptación de parámetros ( )Señal de control sin adaptación de parámetros ( )

La entrada generada por el modelo inverso es una “Entrada Suave”, que no produce aperturas abruptas de la válvula. La fig. 9 muestra que la salida real del esta mucho más cerrada al modelo de referencia.

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DESARROLLO REGIONAL Y COMPETITIVIDAD

Fig. 9. Proceso de Salida

40

50

60

70

80

90

0 500 1000 1500 2000 2500Tiempo (segundos)

Tem

per

atur

a C

30

Temperatura dada por el modelo de referencia ( )Temperatura real ( )

CONCLUSIONESSe presenta un método basado en la minimización del error de inferencia para la identificación de sistemas a partir de los datos mediante modelos difusos interpretables con ajuste de parámetros consecuentes, tipo singleton, mediante mínimos cuadrados y ajuste de las funciones de pertenencia del antecedente mediante gradiente descendiente. El método de identificación difusa presentado presenta una alta precisión sin sacrificar la interpretabilidad como ocurre con la mayoría de los métodos existentes. Los consecuentes son ajustados empleando el método de mínimos cuadrados. El proceso de entrenamiento inicia con dos funciones de pertenencia por cada variable de entrada y luego, en cada iteración, se incrementan en 1 hasta alcanzar una medida de error previamente establecida ó hasta que el número de funciones de pertenencia alcance el valor de 9 por cada variable de entrada.

El aspecto más promisorio en la propuesta lo representa el equilibrio entre precisión e interpretabilidad del modelo y/o controlador difuso obtenido, uno de los mayores retos de los investigadores en este campo, así como la baja complejidad computacional que facilita la operación en línea para ajustes automáticos de parámetros del controlador ante cambios en la dinámica del proceso.

El controlador difuso mejora considerablemente las condiciones de operación de la válvula de inyección de vapor, y por ende su vida útil, manteniendo las condiciones de temperatura requeridas dentro del blancher durante el proceso. Además, mantiene las condiciones térmicas exigidas dentro de la cámara para un adecuado cocimiento.

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