Generalidades sobre conjuntos - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~ana.boero/BC0003/slides2-handout.pdf · (Adaptado do vestibular de 1998 da UFF) Um jogador de basquete

Generalidades sobre conjuntos Aula 4

Generalidades sobre conjuntos

Ana Carolina Boero

E-mail: [email protected]: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero

Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre

Ana Carolina Boero Bases Matematicas

http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero


Conjuntos e a nocao de pertinencia

Na teoria dos conjuntos, as nocoes de conjunto e pertinencia saoconsideradas primitivas.

Do ponto de vista ingenuo, um conjunto e uma colecao de objetos,denominados os seus elementos.

Dados um conjunto A e um objeto qualquer x , pergunta-se: x e umelemento de A?

• Em caso afirmativo, escrevemos x ∈ A (leia “x pertence a A”).

• Em caso negativo, escrevemos x 6∈ A (leia “x nao pertence a A”).



Caracterizacao de um conjunto por seus elementos

Dois conjuntos sao iguais se, e somente se, tem os mesmos elementos.

Observacao: A = B significa que ∀x(x ∈ A↔ x ∈ B) e verdadeira.

O conjunto que nao possui elemento algum e denominado vazio.

Notacao: ∅



Maneiras de representar um conjunto

Ha, essencialmente, duas maneiras de representar um conjunto:

• listando seus elementos;

• mediante uma propriedade comum e exclusiva de seus elementos.

Exemplos:

(a) {Uruguai,Brasil,Argentina} e “conjunto dos paıses sul-americanosque ja venceram uma Copa do Mundo” representam o mesmoconjunto;

(b) {0, 1}, {1, 0} e {0, 1, 0, 0, 0, 1, 1} representam o mesmo conjunto;

(c) {0, 1, 2, . . . , 512}, {0, 1, 2, . . .}, {. . . ,−1, 0, 1, 2, . . .};(d) {n : n = a3 + b3 para algum par a, b de inteiros positivos};(e) a mediatriz do segmento AB (isto e, a reta perpendicular ao

segmento AB levantada a partir de seu ponto medio) e o conjuntodos pontos do plano que sao equidistantes de A e B sao iguais.



Conjuntos unitarios

Seja x um objeto.

O conjunto que tem x como unico elemento e denominado unitario de x .

Notacao: {x}Exemplos:

(a) {0}, obtido a partir do objeto 0

(b) {{0}}, obtido a partir do objeto {0}(c) {∅}, obtido a partir do objeto ∅

Observem que:

• {{0}} 6= {0};• {∅} 6= ∅.



Subconjuntos

Sejam A e B conjuntos.

Dizemos que A e um subconjunto de B se todo elemento de A tambem eelemento de B.

Observacao: A ⊂ B significa que ∀x(x ∈ A→ x ∈ B) e verdadeira.

Notacao: A ⊂ B (leia “A esta contido em B”)

Notacao alternativa: B ⊃ A (leia “B contem A”)

Observacao: Escreveremos A 6⊂ B (leia “A nao esta contido em B”)para indicar que A nao e um subconjunto de B.



Subconjuntos

Exemplo:

A: conjunto dos multiplos de 4

B: conjunto dos numeros pares

A ⊂ B: Seja x ∈ A. Temos que x = 4n, para algum n inteiro.Logo, x = 2(2n) e, portanto, x e par.Assim, x ∈ B.

B 6⊂ A: 2 e par, mas 2 nao e multiplo de 4.



Propriedades da inclusao

A relacao “A ⊂ B” e chamada de relacao de inclusao.

Proposicao

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Valem:

(1) ∅ ⊂ A

(2) A ⊂ A

(3) A = B se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A

(4) se A ⊂ B e B ⊂ C , entao A ⊂ C

Observacao: Se A ⊂ B e A 6= B, dizemos que A e um subconjuntoproprio de B.



Exercıcio resolvido

SendoA = {1, 2}B = {{1}, {2}}C = {{1}, {1, 2}}D = {{1}, {2}, {1, 2}}

discuta a validade das seguintes sentencas matematicas:

A = B A ∈ C B ⊂ DA ⊂ B A ⊂ D B ∈ DA ⊂ C B ⊂ C A ∈ D

Solucao:F V VF F FF F V



Conjunto das partes

Seja A um conjunto.

O conjunto constituıdo de todos os subconjuntos de A e denominado oconjunto das partes (ou conjunto potencia) de A.

Notacao: P(A) (leia “partes de A”)

Exemplos:

(a) A = {1, 2}P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

(b) A = {a, b, c}P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},A}

Mais adiante, mostraremos que se um conjunto tem n elementos, entaoseu conjunto das partes tem 2n elementos.



Uniao

Sejam A e B conjuntos.

O conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B edenominado a uniao de A e B.

Notacao: A ∪ B (leia “A uniao B”)

Observacao: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.



Interseccao

A interseccao de A e B e o conjunto dos objetos que sao ao mesmotempo elementos de A e de B.

Notacao: A ∩ B (leia “A interseccao B”)

Observacoes:

• A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.• Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B sao disjuntos.



Propriedades da uniao e interseccao

Proposicao

Sejam A, B e C conjuntos. Valem:

(1) A ∪ ∅ = AA ∩ ∅ = ∅

(2) A ∪ A = AA ∩ A = A

(3) A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

(4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

Observacao: De (3) e (4) decorre que tanto a uniao quanto ainterseccao de dois ou mais conjuntos podem ser feitas em qualquerordem.



Outras propriedades da uniao e interseccao

Proposicao

Sejam A, B, C e D conjuntos. Valem:

(1) A ∪ B = A se, e somente se, B ⊂ AA ∩ B = A se, e somente se, A ⊂ B

(2) se A ⊂ C e B ⊂ D, entao A ∪ B ⊂ C ∪ Dse A ⊂ C e B ⊂ D, entao A ∩ B ⊂ C ∩ D

(3) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )



Diferenca

A diferenca A− B (leia “A menos B”) e o conjunto dos elementos de Aque nao pertencem a B.

Observacao: A− B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}.



Complementar

Considere fixado um conjunto universo U.

O complementar de um conjunto A (em relacao a U) e a diferenca U −A.

Notacao: Ac



Propriedades do complementar

Proposicao

Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Valem:

(1) A ∪ Ac = UA ∩ Ac = ∅

(2) (Ac)c = A

(3) A ⊂ B se, e somente se, Bc ⊂ Ac

(4) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc



Exercıcio resolvido

Considere N o universo desta discussao. Sendo A = {x ∈ N : x ≤ 10},B = {x ∈ N : x > 5} e C = {1, 5, 10, 11}, determine:

(a) A ∪ B

(b) A ∩ C

(c) (A ∩ B) ∪ C

(d) P(B ∩ C )

(e) B − A

(f) A ∩ C c

(g) (B ∪ C )c

(h) (Ac)c

Solucao:

(a) N(b) {1, 5, 10}(c) {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}(d) {∅, {10}, {11}, {10, 11}}

(e) {x ∈ N : x > 10}(f) {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}(g) {0, 2, 3, 4}(h) A



Par ordenado

Um par nada mais e que um conjunto formado por dois elementos. Porexemplo, {0, 1} = {1, 0} e um par. As vezes, e necessario distinguir doispares pela ordem de seus elementos.

(Adaptado do vestibular de 1998 da UFF) Um jogador de basquete fezo seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse umarremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 aoclube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu aquantia de R$80,00. Quantos arremessos ele acertou e quantos ele errou?

Solucao: Denotando por x a quantidade de arremessos que o jogadoracertou e por y a quantidade de arremessos que ele errou, temos:{

x + y = 2010x − 5y = 80

Observe que x = 12 e y = 8 e solucao, enquanto x = 8 e y = 12 nao e.Portanto, {12, 8} nao pode representar a solucao deste sistema!



Par ordenado

Dados um objeto a e um objeto b, existe um terceiro objeto (a, b) com aseguinte propriedade:

(a, b) = (c , d) se, e somente se, a = c e b = d .

O objeto (a, b) e denominado o par ordenado com primeiro elemento a esegundo elemento b.

Exemplo:

A partir dos objetos 0 e 1, obtemos os pares ordenados:

• (0, 1), cujo primeiro elemento e 0 e cujo segundo elemento e 1;

• (1, 0), cujo primeiro elemento e 1 e cujo segundo elemento e 0.

Observacao: {0, 1} = {1, 0}, mas (0, 1) 6= (1, 0).



Produto cartesiano

Sejam A e B conjuntos nao vazios.

O produto cartesiano de A por B e definido como o conjunto de todos ospares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B.

Notacao: A× B (leia “A cartesiano B”)

Exemplo:

Sendo A = {1, 2} e B = {a, b, c}, temos:

(a) A× B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}(b) B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c , 1), (c , 2)}

Observacoes:

• A× B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B};• se A ou B forem vazios, colocamos A× B = ∅;• A× A e comumente denotado por A2.



Propriedades do produto cartesiano

Proposicao

Sejam A, B, C e D conjuntos. Valem:

(1) se A ⊂ C e B ⊂ D, entao A× B ⊂ C × D

(2) A× (B ∪ C ) = (A× B) ∪ (A× C )

(3) A× (B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A× C )

(4) A× (B − C ) = (A× B)− (A× C )


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