Generari de segmente si cercuri: algoritmi cu doi pasimunteanu/cursuri/Curs_04_an3.pdfMarian Ioan MUNTEANU (UAIC) Curs 4: Algoritmul lui Wu 29 Octombrie 2012 3 / 18 Algoritmul lui

Generari de segmente si cercuri: algoritmi cu doipasi

Marian Ioan MUNTEANU

Al.I.Cuza University of Iasi, Romaniawebpage: http://www.math.uaic.ro/∼munteanu

29 Octombrie 2012

Marian Ioan MUNTEANU (UAIC) Curs 4: Algoritmul lui Wu 29 Octombrie 2012 1 / 18

Cuprins

1 Algoritmul lui Wu pentru segmente de dreapta

2 Algoritmul lui Wu – Rokne pentru cercuri


Algoritmul lui Wu

Ideea este de a reduce (ınjumatati) numarul de pasi.

In 1987 X. Wu propune un algoritm care sa ımbunatateasca algoritmul luiBresenham de rasterizare a segmentelor de dreapta.

Pentru pante m ıntre 0 si 1 vom distinge doua situatii

a : 0 < m < 12 si b : 1

2 < m < 1.

Daca ın cazul algoritmului lui Bresenham o variabila de decizie stabileacare pixel va fi ales, ın cazul prezentului algoritm se va decide carepattern format din doi pixeli va fi ales la pasul urmator.


Algoritmul lui Wu




a : 0 < m < 12 si b : 1

2 < m < 1.



Algoritmul lui Wu




a : 0 < m < 12 si b : 1

2 < m < 1.



Algoritmul lui Wu




a : 0 < m < 12 si b : 1

2 < m < 1.



Algoritmul lui Wu

a) pattern 1 sau (pattern 2 sau pattern 3)

b) pattern 4 sau (pattern 2 sau pattern 3)

Sa presupunem ca m ∈(0, 12

).

Astfel, daca la un moment dat am ales pixelul P(xP , yP), atunci pecoloana xP + 2 putem alege (xP + 2, yP) sau (xP + 2, yP + 1).Sa se arate!!!!!


Algoritmul lui Wu




).



Algoritmul lui Wu




).



Algoritmul lui Wu




).



Algoritmul lui Wu




).



Algoritmul lui Wu

I. Daca pixelul ales pe coloana xP + 2 este (xP + 2, yP), atunci sigur pecoloana xp + 1 pixelul ales va fi (xP + 1, yP).

Prin urmare avem pattern 1, adica situatia E − E (est-est).

Variabila de decizie (din algoritmul lui Bresenham) pe coloana xP + 2 este

d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(< 0).

Varibila (de decizie) intermediara este

d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a.


Algoritmul lui Wu




d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(< 0).


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a.


Algoritmul lui Wu




d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(< 0).


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a.


Algoritmul lui Wu




d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(< 0).


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a.


Algoritmul lui Wu




d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(< 0).


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a.


Algoritmul lui Wu

II. Daca pixelul ales pe coloana xP + 2 este (xP + 2, yP + 1), atunci avemuna din cele doua situatii: pattern 2 sau pattern 3.

• pentru pattern 2 (E − NE ) variabila de decizie este:

d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(> 0)

iar variabila intermediara

d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a < a.


Algoritmul lui Wu



d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(> 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a < a.


Algoritmul lui Wu



d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(> 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a < a.


Algoritmul lui Wu



d = F

(xP + 2, yP +

1

2

)= axP + byP + c + 2a +

b

2(> 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(< 0).

Avem d = d ′ + a < a.


Algoritmul lui Wu


• pentru pattern 3 (NE − E ) variabila de decizie este

d = F

(xP + 2, yP +

3

2

)= axP + byP + c + 2a + b +

b

2(< 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(> 0).

Avem d = d ′ + a + b > a + b.


Algoritmul lui Wu



d = F

(xP + 2, yP +

3

2

)= axP + byP + c + 2a + b +

b

2(< 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(> 0).

Avem d = d ′ + a + b > a + b.


Algoritmul lui Wu



d = F

(xP + 2, yP +

3

2

)= axP + byP + c + 2a + b +

b

2(< 0)


d ′ = F

(xP + 1, yP +

1

2

)= axP + bxP + c + a +

b

2(> 0).

Avem d = d ′ + a + b > a + b.


Algoritmul lui Wu

Astfel, daca notam D = axP + byP + c + 2a + b2 avem:

I. pentru pattern 1: D < 0

II. • pentru pattern 2: D > 0 si D < a

• pentru pattern 3: D = d − b > a > 0.

Aratati ca D < −b!


Algoritmul lui Wu







Algoritmul lui Wu







Algoritmul lui Wu







Algoritmul lui Wu

Sa vedem cresterile:

I. Dnew = F (xP + 4, yP + 12) = Dold + 2a

II. Dnew = F (xP + 4, yP + 32) = Dold + 2a + b.

Valoarea initiala a lui D este

Dstart = F

(x0 + 2, y0 +

1

2

)= 2a +

b

2.

Pentru a nu lucra cu fractii, se va multiplica totul cu 2:

Dstart = 4a + b si cresterile incr1 = 4a ; incr2 = 2(2a + b), iarcomparatia, ın cazul al II-lea, se va face cu 2a.


Algoritmul lui Wu





Dstart = F

(x0 + 2, y0 +

1

2

)= 2a +

b

2.




Algoritmul lui Wu





Dstart = F

(x0 + 2, y0 +

1

2

)= 2a +

b

2.




Algoritmul lui Wu





Dstart = F

(x0 + 2, y0 +

1

2

)= 2a +

b

2.




Algoritmul lui Wu





Dstart = F

(x0 + 2, y0 +

1

2

)= 2a +

b

2.




Algoritmul ın C

Algoritmul pentru panta m ∈ (0, 1/2):

int dy = y1 − y0;int dx = x1 − x0;int d = 4 ∗ dy − dx;int incr1 = 4 ∗ dy;int incr2 = 2 ∗ (2∗dy − dx);int u = 2 ∗ dy;int x = x0, y = y0;putpixel(x, y, color);


Algoritmul ın C

while (x<x1){

if (d<0) { /* se alege E-E */d += incr1;x++; putpixel(x, y, color); x++; putpixel(x, y, color);}

else {if (d<u) { /* se alege E-NE */

x++; putpixel(x, y, color); x++; y++; putpixel(x, y, color);}

else { /* se alege NE-E */x++; y++; putpixel(x, y, color); x++; putpixel(x, y, color);}

d += incr2;} /* end else */} /* end while */


Algoritmul lui Wu pentru cercuri

Vom descrie ın continuare un algoritm cu doi pasi pentru rasterizareacercurilor.

Vom considera cercul cu centrul ın origine x2 + y2 = R2 si, la fel ca ıncapitolul precedent, vom analiza doar al doilea octant, anume portiuneadin primul cadran caracterizata de relatia x ≤ y .

Fie urmatoarele 4 sabloane:

pattern 1 = E − E,

pattern 2 = E − SE,

pattern 3 = SE − E,

pattern 4 = SE − SE.


Algoritmul lui Wu pentru cercuri

Vom descrie ın continuare un algoritm cu doi pasi pentru rasterizareacercurilor.

Vom considera cercul cu centrul ın origine x2 + y2 = R2 si, la fel ca ıncapitolul precedent, vom analiza doar al doilea octant, anume portiuneadin primul cadran caracterizata de relatia x ≤ y .

Fie urmatoarele 4 sabloane:

pattern 1 = E − E,

pattern 2 = E − SE,

pattern 3 = SE − E,

pattern 4 = SE − SE.


Algoritmul lui Wu – Rokne pentru cercuri

Fie d variabila de decizie (pentru xP + 2, unde P este un punct ales la unmoment dat) si d ′ variabila de decizie intermediara (i.e. pentru xP + 1).

Atunci◦ pattern 1 ⇐⇒ d ′ < 0 si d < 0◦ pattern 2 ⇐⇒ d ′ < 0 si d > 0◦ pattern 3 ⇐⇒ d ′ > 0 si d < 0◦ pattern 4 ⇐⇒ d ′ > 0 si d > 0.

Daca notamD = x2P + 4xP + y2P − yP + 4− R2

avem mai ıntai ca D + 14 < 0 ⇐⇒ D < 0 (deoarece D ∈ Z) si ın aceasta

situatie se va alege pattern 1.

















Variabila intermediara este

d ′ = D − 2xP − 3 +1

4

iar pentru d avem:

◦ pentru pattern 2: d = D + 14

◦ pentru pattern 3 si 4: d = D − 2yP + 2 + 14 .




d ′ = D − 2xP − 3 +1

4

iar pentru d avem:






d ′ = D − 2xP − 3 +1

4

iar pentru d avem:





Astfel:

• pentru pattern 2: D < 2xP + 3− 14 ⇐⇒ D < 2xP + 3

D + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 0

• pentru pattern 3: D > 2xP + 3− 14 ⇐⇒ D ≥ 2xP + 3

D − 2yP + 2 + 14 < 0 ⇐⇒ D < 2yP − 2


D − 2yP + 2 + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 2yP − 2.



Astfel:


D + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 0


D − 2yP + 2 + 14 < 0 ⇐⇒ D < 2yP − 2


D − 2yP + 2 + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 2yP − 2.



Astfel:


D + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 0


D − 2yP + 2 + 14 < 0 ⇐⇒ D < 2yP − 2


D − 2yP + 2 + 14 > 0 ⇐⇒ D ≥ 2yP − 2.



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Notam: u = 2xP + 3 si v = 2yP − 2.

Rezulta:

D :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→ D < 0 ⇐⇒ pattern 1

−→ D ≥ 0 :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→ D < u ⇐⇒ pattern 2

−→ D ≥ u :

∣∣∣∣∣∣−→ D < v ⇐⇒ pattern 3

−→ D ≥ v ⇐⇒ pattern 4 .



Cresterile:

? pattern 1: D+ = delta1, u+ = 4,unde delta1 = 4xP + 12

? pattern 2(3): D+ = delta2, u+ = 4, v− = 2,unde delta2 = 4xP − 2yP + 14

? pattern 4: D+ = delta4, u+ = 4, v− = 4,unde delta4 = 4xP − 4yP + 18.

Asa cum ne asteptam (cercul fiind dat de o functie polinomiala de gradulal doilea), cresterile la primul pas depind de punctul curent. Prin urmarevom calcula diferentele de ordinul al doilea.



Cresterile:







Cresterile:







Cresterile:







Astfel:

� pentru pattern 1: delta1+ = 8, delta2+ = 8, delta4+ = 8

� pentru pattern 2 (3): delta1+ = 8, delta2+ = 10, delta4+ = 12

� pentru pattern 4: delta1+ = 8, delta 2+ = 12, delta 4+ = 16.

Valorile initiale se calculeaza pentru punctul (0,R) si astfel:

Dstart = 4− R, ustart = 3, vstart = 2R − 2

delta1start = 12, delta2start = 14− 2R, delta4start = 18− 4R.



Astfel:









Astfel:









Astfel:









Astfel:








Documents

Generari de segmente si cercuri: algoritmi cu doi pasimunteanu/cursuri/Curs_04_an3.pdfMarian Ioan MUNTEANU (UAIC) Curs 4: Algoritmul lui Wu 29 Octombrie 2012 3 / 18 Algoritmul lui