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Instituto Superior del Profesorado Dr. Joaqun V. GonzlezDepartamento Matemtica y Astronoma

UNIDAD I

La geometra estudia las relaciones que ligan directa o indirectamente los elementos (puntos,rectas, planos) constitutivos de las figuras geomtricas.

GRUPOS DE AXIOMAS RELACIONES DE ENLACE O INCIDENCIA: de estar en, pasar por. unir, etc.

RELACIONES DE ORDENACIN: estar entre, separar, preceder, seguir, etc.

RELACIONES DE IGUALDAD O CONGRUENCIA: igualdad de tringulos, etc.

RELACIONES DE PARALELISMO: si una recta corta a otra, corta a todas las //.

RELACIONES DE CONTINUIDAD: puntos de interseccin de recta y circunferencia, etc.

AXIOMAS DE INCIDENCIA O ENLACE

AX1.Existen infinitos entes llamados puntos cuyo conjunto llamaremos espacio. En el

espacio existen subconjuntos de infinitos puntos llamados planos mtricos y en cadaplano existen infinitos subconjuntos de infinitos puntos llamados rectas mtricas.

AX2.Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen. Al decir determinansignifica que existe y es nica dicha recta.

AX3.Tres puntos distintos no pertenecientes a una misma recta determinan un plano al quepertenecen.

AX4.Si dos puntos distintos pertenecen a un plano, la recta que determinan est incluida enl.

TEOREMA I :Si un punto no pertenece a una recta, ambos determinan un plano en el cual la

recta est incluida y el punto pertenece.H) a R T) a y R / R y a

D)Existencia: En R considero dos puntos tales que b y cR (por AX1)a R (por hiptesis) a, b y c determinan (por AX3)Tal que a yb pero b y c R R (por AX4)

Unicidad: Supongamos que existe / a y R b R y R b c R y R c

= (pues si no contradice AX4)

TEOREMA II: Dos rectas que tiene slo un punto en comn (se dice que se cortan)determinan un plano en el cual est incluidas.

H) A y B rectas / A B {o} T) A y B / A y B

D)Existencia: r A/ r o (AX1) ; q B /q oEntonces r, q y o (AX3) / q , r y o A

Bq

r

a , b y c (por AX3)

o

si o y r A (AX4)

si o y r B

Unicidad: Supongamos que / A y B entonces si A r y o

r, o, q = (AX3)B q

Lic: Ana Mara Conversano Pgina 1 de 6

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AXIOMAS DE ORDENACIN

Conjunto linealmente ordenado: decimos que un conjunto est linealmente ordenado,cuando es posible establecer entre sus elementos una relacin de orden total estricto

(arreflexiva .asimtrica .transitiva). La relacin de orden es preceder a b entre puntos.Decir que un conjunto est linealmente ordenado por la relacin de preceder quiere decir quetiene estructura de cadena o es una cadena.

p

Primero: si en un conjunto C linealmente ordenado existe un elemento p / p C y se verificaque x C x p p p x , se dice que p es el primer elemento.

Ultimo:si en un conjunto C linealmente ordenado existe un elemento u / u C y x C x u, x u, se dice que u es el ltimo elemento.p

Denso: un conjunto C linealmente ordenado tal que a y b C , x C / a x b , sedice que C es denso.

p p

AX1.La recta es un conjunto linealmente ordenado de punto que no tiene ni primer ni ltimopunto y es un conjunto denso.

Definiciones

Semirrecta: Es el conjunto de punto formado por un punto de una recta y todos los que lopreceden o bien un punto de una recta y todos los que le siguen. Consecuencia: Dado un puntoen una recta determina en ellas dos semirrectas; este punto se llama origen y las dossemirrectas se dice que son opuestas.

Segmento:Dados dos puntos de una recta a y b, denominamos segmento a la interseccin de

las dos semirrectas opuestas: abbaab =I y a y b reciben el nombre de extremos. Punto

interior: Se dice que un punto es interior a un segmento si pertenece al mismo y no a uno desus extremos.

Figura:Es cualquier conjunto de puntos.

Figura convexa: Se dice que una figura en convexa si y slo si, dados dos puntoscualesquiera de la figura, el segmento que determinan est incluido en la figura.Consecuencia: La interseccin de dos figuras convexas da como resultados otra figuraconvexa.

AX2. POSTULADO DE LA DIVISIN DEL PLANO: Toda recta incluida en un planodetermina en l tres subconjuntos que son la recta r y dos semiplanos abiertos S1y S2de modo

que:S1S2r = planoS1S2= S1R = S2R =

Definicin: S1R = semiplano cerrado de borde RS2R = semiplano cerrado de borde R

Corolario: Los semiplanos son figuras convexas.

Consecuencias: a S1 b S1 ab S1 a S2 b S2 ab S2 a S1 b S2 a S2 b S1 ab R


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AX3.POSTULADO DE LA DIVISIN DEL ESPACIO: Todo plano divide al espacio en tressubconjuntos: dos semiespacios abiertos y el plano.

E1E2= espacioE1E2=

E1= E2=

Definicin: E1= semiespacio cerrado de borde E2= semiespacio cerrado de borde

Corolario: Los semiespacios resultan figuras convexas.

Consecuencias: a E1 b E1 ab E1 a E2 b E2 ab E2 a E2 b E1 a E1 b E2 ab

DEFINICIONESSector angular:Dados tres puntos no alineados a, b y c se llama sector angular convexo aldeterminado por la interseccin del semiplano de borde ab que contiene al punto c y elsemiplano de borde bc que contiene al punto a.

abc= semipl( ab , c) semipl(bc , c) Consecuencias: b vrtice, ba y bc lados.

Sector angular cncavo:Dados tres puntos no alineados, se llama sector angular cncavo a

la unin de dos semiplanos: el de borde ab que no contiene a c y el de borde bc que no

contiene a a . abc cncavo = semipl(ab, no c ) semipl(bc , no a)

Sectores angulares adyacentes:Dados en un plano dos rectas A y B incidentes, se llamansectores angulares adyacentes a las intersecciones de uno de los semiplanos de borde B conlos dos semiplanos de borde A y viceversa. Consecuencias: - Dos sectores angularesadyacentes tienen un lado comn y los otros dos lados son semirrectas opuestas.- La unin dedos sectores angulares adyacentes da un sector angular llano.

Sectores angulares opuestos por el vrtice: Dados en un plano dos rectas A y B que secortan, se llaman sectores angulares opuestos por el vrtice a los obtenidos como interseccinde uno de los semiplanos de borde A con uno de los de borde B y sus respectivos opuestos.

Consecuencia: Los lados son semirrectas opuestas.

Sector de diedro convexo: Dados cuatro puntos a, b, c y d no coplanares, se llama sectordiedro convexo a la interseccin del semiespacio de borde abc que contiene a d y elsemiespacio de borde bcd que contiene a a.Sectdiedr(abc; d) = semipl(abc;d) semipl(bcd, a)

Caras

Arista: recta bc

a x

c

b

d xx

x

semipl (bc , a)

semipl (bc , d)


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a x

c

bd

x

x

x

Sector diedro llano: Es un semiespacio.

Sector de diedro cncavo:Dados cuatropuntos a, b, c y d no coplanares, se llama

sector de diedro cncavo a la unin de lossemiespacios de borde abc que nocontiene a d con el de borde bcd que nocontiene a a.

Sectores de diedros adyacentes: Es la interseccin de uno de los semiespacios de borde con los de borde o viceversa. Consecuencia: Tiene una cara en comn y las otras dos carasson semiplanos opuestos.

Sectores de diedros opuestos por la arista:Es la interseccin de un semiespacio de borde con un semiespacio de borde y los respectivos opuestos.

TEOREMA I: Si dos planos diferentes tienen un punto en comn, entonces determinan unarecta que pasa por el punto.

H) ; p y p T) R / p R

D)Existencia: En uno de los planos considero dos semirrectas tales que ambas estn incluidas

en un mismo plano y no estn opuestos. Entonces en , pa y pb estn en semiespacios

opuestos de borde . Entonces a y b {q}(por AX3) ( I )

Como pa y pb no opuestos p q p y q R / p R y q R

y q ab q ( II ) pero q por ( I )

Luego p y q R p y q / R P y q R p y q / R

Unicidad: Supongamos que existe R R / p R y R y R .

R

p

x

xb

aq

r

Si p R y p R y R R R R un plano en el que estn incluidas = absurdo por hiptesis R !.

TEOREMA II:Si en un plano una semirrecta OA tiene su origen perteneciente a una recta r

incluida en , la semirrecta est, o bien incluida en r o en uno y slo uno de lossemiplanos de borde r.

H) plano o R , R T) oa1 o oa2 o oaR

D) Supongamos p oa / p R oaR (por AX dos puntos )

Supongamos que p oa y p 1 y q oa / q 2

pq es tal que p o p q o q o p ABS. (def. semirr)p p p

R

1

a2

oLuego la nica posibilidad es que oa1 o oa2

Definicin:p interior al sector angular p a sus lados.


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TEOREMA III: Toda semirrecta interior a un sector angular convexo corta a todo segmentocon sus extremos pertenecientes uno a cada lado del sector angular.

H) convexo,aob op interior. T) ab op

D) Consideremos el punto b sobre la semirrecta opuesta ob , ob opuesta a 'ob .El segmento 'ab = 'ab ab' . Consideremos 'op opuesta a op .

La recta 'pp = 'op op , luego )'()''('' opopababppab = .

Aplicando distributiva: ])''[(]')''[('' opababopababppab =

)])'('[)]')'('['' opababopababppab =

Luego 'ab y 'pp no tienen puntos comunes, lo que nos explica que a y b pertenezcan a un

mismo semiplano respecto de 'pp , pero b pertenece al mismo semiplano 'pp que no contienea b. b semipl( 'pp , no b) a semipl( 'pp , b) De acuerdo al AX2, ab corta 'pp recta

borde y como acb es convexo, op 'pp op corta a ab en q.Corolarios: 1) Toda recta interior a un ngulo convexo determina dos ngulos con los lados

del mismo que tiene en comn a dicha semirrecta.

2) Todo ngulo convexo puede considerarse como conjunto formado por loslados y todas las semirrectas interiores.

DEFINICIONES

Haz de rectas o haz de rayos: Dado un punto o, se llama haz de rayos al conjunto de todaslas rectas incluidas en que pasen por o.

o

: plano sostno : centro del haz

Tringulo:Dados tres puntos no alineados, se llama tringulo abc a la interseccin

semipl(ab , c) semipl(bc , a) semipl(ac , b). Elementos: lados, ngulos interiores,ngulos exteriores.

Polgono convexo:Dados n puntos coplanares con n 3 (n finito), no alineados de a tres enun determinado orden. Si trazamos los semiplanos de borde tal que la recta determinada pordos puntos contenga a los puntos restantes, la interseccin de los mismos da un polgonoconvexo. Los puntos se llaman vrtices, los segmentos que tienen por extremo a todo par devrtices consecutivos se denominan lados y los segmentos que tienen por extremos a pares devrtices no consecutivos, diagonales. Elementos: Contorno abc (figura formada por todos los

puntos pertenecientes a sus lados), sectores angulares externos y sectores angulares internos.

Sector angular poliedro: Dadas tres o ms semirrectas en un nmero finito con origencomn v, no coplanares de a tres, en un determinado origen de modo que el plano

determinado por dos consecutivas cualesquiera deje a todas las dems en un mismosubespacio, se llama sector angular poliedro a la interseccin de dichos semiespacios.


Dos caras consecutivas forman un sector diedro interior .Si el nmero de aristas es tres,entonces es sector de diedro.

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v

xd

c

v: vrticex

e

vavc, : aristasb

avb , bvc : caras (sectores angulares)a

Poligonal: Es el conjunto de varios segmentos ordenados k, l ,m etc. de modo tal que elextremo de uno coincide con el del otro (no alineados).

m f

nl

Poligonal abiertae

q

Poligonal cerrada: dem anterior, pero el extremo del primer segmento coincide con elvrtice del ltimo.

Poligonal simple:Poligonal cerrada con un nico punto comn exterior.

Poligonal no simple:Poligonal cerrada con ms de un punto comn.

Poligonal simple Poligonal no simple

m

nn

p

m

l

k l

e


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