Secuencias de Aprendizaje de Geometra Analtica

Secuencias de Aprendizaje de Geometra Analtica

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA

SUBSECRETARA DE EDUCACIN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN TECNOLGICA AGROPECUARIA

BACHILLERATO TECNOLGICO AGROPECUARIO

Autores

Jos Ronaldo Caldern Estrada.

Adolfo Garca Leyva.

Mara del Refugio Gmez Velzquez.

Francisco Antonio Montao Quijada.

Wenceslao Quijano Galaviz.

Jos Juan Sols Granados.Junio de 2011.DIRECTORIOMtro. Alfonso Lujambio Irazbal

Secretario de Educacin Pblica

Lic. Miguel ngel Martnez Espinosa

Subsecretario de Educacin Media Superior

Ing. Ernesto Guajardo Maldonado

Director General de Educacin Tecnolgica Agropecuaria

Ing. Agustn Velsquez Servn

Director de Apoyo a la Operacin Desconcentrada DGETA

Prof. Sal Arellano Valadez

Director Tcnico de la DGETA

Lic. Mario Holgun Cebreros

Representante de la SEMS en Sonora

C. P. Francisco Guadalupe Mrquez Robles

Subdirector de la Coordinacin de Enlace

Operativo DGETA Sonora

PresentacinLa Direccin General de Educacin Tecnolgica Agropecuaria (DGETA) se ha conformado como un sistema integral de servicios educativos para el campo, que contribuye al desarrollo econmico y social de las regiones, mediante la formacin de tcnicos y profesionales en diferentes disciplinas agropecuarias y la atencin a la poblacin rural en diferentes demandas de capacitacin y asistencia tcnica.En nuestro Estado, la DGETA cuenta con diez planteles distribuidos a lo largo y ancho de su territorio, los que se ubican en comunidades rurales con el propsito de ofrecer una formacin integral, social, humanista y tecnolgica centrada en la persona, que consolide el conocimiento hacia el sector rural, fortalezca la pertenencia, fomente la mentalidad emprendedora y de liderazgo.1

Gracias al esfuerzo de personal docente adscrito a nuestros planteles, quienes vale decirlo, han tenido que enfrentarse a la tarea de desarrollar sus propias competencias docentes (PROFORDEMS), ha sido posible la culminacin de la presente obra editorial, diseada bajo el enfoque de competencias que exige la Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS), y que permitir con la participacin activa del estudiante, el logro de mejores niveles de dominio en cualquier actividad acadmica, social y profesional a que se dirija en su contexto, al movilizar sus conocimientos, habilidades y actitudes.Ponemos a disposicin de todos nuestros docentes y estudiantes esta obra editorial, con la firme conviccin de que al utilizarla, permita definir y consolidar el quehacer educativo, dispuestos siempre a la mejora continua con sus aportaciones.Consejo Tcnico Acadmico Estatal DGETA

Comit Estatal de Obra Editorial

1 http://www.dgeta.edu.mx

En el proceso de elaboracin de este material colaboraron los siguientes docentes:Nombre

Plantel

M.C. Mara del Refugio Gmez VelzquezCBTa No. 26

Ing. Jos Juan Sols GranadosCBTa No. 38

Ing. Jos Ronaldo Caldern EstradaCBTa No. 132

M.C. Adolfo Garca LeyvaCBTa No. 197

M.C. Francisco Antonio Montao QuijadaCBTa No. 197

Ing. Wenceslao Quijano GalavizCBTa No. 197

Edicin y Enfoque Pedaggico.

Comit Estatal de Obra Editorial

DGETA-Sonora

Responsables de Impresin

Q. B. Prcida Robles Ibarra.- Responsable del rea Tcnica DGETA- Sonora.

M. E. Jos Juan Len Torres.- Presidente del Consejo Tcnico Acadmico Estatal

Secuencias de Aprendizaje de Geometra AnalticaAcademia de Matemticas del Estado de Sonora IntroduccinEl presente material fue elaborado por docentes de distintos planteles de la DGETA en Sonora, enfocado en la educacin basada en competencias, del marco curricular comn, que marca la Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS), donde se busca la construccin de conocimientos, habilidades y actitudes en los estudiantes de bachillerato.Los contenidos de la asignatura de Geometra Analtica se abordan mediante el empleo de secuencias de aprendizaje, donde se lleva al estudiante de manera gradual a incorporar los nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, para lograr desempeos integrales en cualquier contexto, con un profundo sentido tico.Las secuencias didcticas estn desarrolladas en tres fases: apertura en las que se busca a traer los conocimientos previos del estudiante, a partir de una situacin problemtica real, tomada del contexto. Enseguida contina la etapa de desarrollo, donde el estudiante interioriza con los contenidos realizando anlisis y ejercicios de ellos; para finalizar, la etapa de cierre, donde incorpora sus nuevos conocimientos con los previos, evaluando integralmente los aprendizajes alcanzados. Se propone en cada actividad la participacin colaborativa de los estudiantes, en la bsqueda de su propia formacin integral, as como la retroalimentacin con el maestro-mediador.En la evaluacin, se propone medir de manera cuantitativa y cualitativa los logros alcanzados por los estudiantes, a travs de diversos instrumentos creados para tal fin, y que los resultados sirvan de plataforma para la retroalimentacin y establecimiento de procesos de mejora.

Al final, se dan a conocer las referencias bibliogrficas consultadas para el desarrollo de cada tema abordado, as como tambin, la sugerencia de sitios de Internet donde el estudiante podr ampliar los conocimientos relacionados al tema.Es de primordial importancia utilizar el presente material durante el curso, para analizarlo, evaluarlo, dar aportaciones, y sugerencias a esta obra, por parte de los docentes que imparten la asignatura de Geometra Analtica, en los diferentes planteles de la DGETA en Sonora, a fin de mejorar las ediciones que le procedan a esta.Academia de Matemticas del Estado de Sonora ndice de secuenciasGeometra Analtica

Bloque 1: Sistema de coordenadas rectangulares.

PginasSecuencia 1Sistema de coordenadas rectangulares.

8 a 18

Bloque 2: La recta.

PginasSecuencia 2La recta.

19 a 39

PginasSecuencia 3Relacin entre rectas.

40 a 48

PginasSecuencia 4 rea de polgonos

49 a 59

Bloque 3: Cnicas

PginasSecuencia 5La circunferencia.

61 a81

PginasSecuencia 6La parbola.

82 a 111

PginasSecuencia 7La elipse.

112 a 123

PginasSecuencia 8La hiprbola.

124 a 141

PginasReferenciasBibliogrficas

142 a 143

Bloque 1

En esta seccin aprenders a:

Identificar las caractersticas de un sistema de ejes coordenados. Localizar puntos a partir de sus coordenadas. Calcular distancias entre puntos dados en el plano cartesiano. Dividir un segmento en una razn dada.Para ello, necesitaras desarrollar tu competencia en los atributos:

Analizar las relaciones entre las variables que conforman las parejas ordenadas que determinan un lugar geomtrico. Argumentar la relacin inferida entre los elementos de conjuntos de parejas ordenadas para establecer un lugar geomtrico.

Cultivar relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. Construir e interpretar modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales para la comprensin el anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales: Proponer explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumentar la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemtico.Esto lo lograras si te lo propones realizando y reflexionando las actividades propuestas, as como tambin con la ayuda de tus compaeros de clase y facilitador para la aclaracin de dudas.

Secuencia 1: Sistema de coordenadas rectangulares

El deterioro del medio natural en el que vivimos es innegable; los asentamientos humanos, la proliferacin de ciudades, de la industria, la sobrepoblacin mundial, los patrones de consumo, incluso las polticas sobre la regularizacin del medio ambiente, lo afectan. Somos responsables directos de este deterioro y desde que nos encontramos en la tierra la hemos modificado para nuestro beneficio; todo lo obtenemos de ella: alimento, vestido, proteccin e incluso diversin.

Dentro de este uso desmesurado para nuestro beneficio, nos ha llegado la preocupacin de su agotamiento, pues aun cuando conocemos que mucho en la naturaleza tiene sus ciclos de recuperacin, tambin somos conscientes de que estamos sobrepasando esta capacidad y poniendo en peligro su existencia para las generaciones futuras. Por mencionar algunos ejemplos, en nuestro pas la generacin de residuos fue de 21,967.51 miles de toneladas para el ao de 1992, aumentando para el 2008 a 37,595.00 miles de toneladas (Secretaria de medio ambiente y recursos naturales, 2009). Este mismo compendio de estadsticas ambientales de la Secretaria de Medio Ambiente y Recursos Naturales en su edicin del 2009, apunta que para nuestro estado de Sonora, el incremento de generacin de residuos slidos fue de 561.13 a 832 miles de toneladas en 16 aos. Adems expone que contamos con municipios con tasas de crecimiento importantes en los aos anteriores (1992-2005 aprox.) y para los prximos aos en ciudades como Nogales, Hermosillo, Caborca, entre otras.

Residuos slidos urbanosMxico ocupa uno de los primeros lugares en la generacin de residuos slidos de Amrica Latina. La produccin per cpita vara de acuerdo con la zona geogrfica y con el grado de desarrollo. La generacin de residuos slidos urbanos contina aumentando. Mientras que en 2000 se producan 30.7 millones de toneladas, en 2009 aument a 38.3, lo que implica un incremento de casi un milln de toneladas por ao.

Del total de los residuos generados terminan en rellenos sanitarios, sitios controlados y sitios no controlados, es decir en tiraderos a cielo abierto, lo que representa un peligro para la salud pblica y el patrimonio ecolgico, pues contamina los mantos freticos mediante la filtracin de los lixiviados a travs de los suelos, ensucia los ros y lagos, valles y montaas y los campos de cultivo e impide el desarrollo de la vida en muchos ecosistemas.

En 2009, residuos orgnicos como los restos de comida, de jardines y otros materiales similares representan poco ms del 52.4% del total de desechos urbanos. Mientras que otro tipo de residuos, entre los que se encuentran los residuos finos y los paales desechables, redujeron su participacin de 18% en 2000 a 12.1% en 2009. El papel y el cartn integran el 13.8% de los residuos; el vidrio representa el 5.8% y los metales el 3.4 %.

La generacin de residuos inorgnicos, como los plsticos, ha aumentado considerablemente en los ltimos ocho aos: mientras en el ao 2000 slo representaban el 4.4% de los residuos slidos urbanos, en 2009 han incrementado su participacin al 10.8 por ciento.

Los siguientes son los resultados en el incremento de produccin de residuos de slidos urbanos de 2000 a 2009 en millones de toneladas.

2000200120022003200420052006200720082009

30.731.532.233.034.635.436.136.937.638.3

Incluye productos de papel, textiles, plsticos, vidrios, metales, basura de comida, materiales orgnicos, paales desechables, otros.

Fuente: http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/20180/Introducci%C3%B3n.pdfhttp://www.inegi.org.mx/inegi/contenidos/espanol/prensa/contenidos/estadisticas/2010/ambiente10.asp?s=inegi&c=2761&ep=36A continuacin te invitamos a resolver el siguiente cuestionario. Al finalizar comparte tus respuestas con los compaeros de tu grupo compartiendo coincidencias y diferencias (anota todo aquello que te resulte interesante).1. Qu entiendes por medio ambiente?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Qu factores constituyen el medio ambiente?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Qu sucede en el medio ambiente cuando un factor es alterado?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. De qu forma puede el hombre influir para el deterioro o bien para mejorar el medio ambiente?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Qu propones para tener una mejor calidad de vida en tu comunidad?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Tendrn aplicacin los contenidos citados para lograr una mejor calidad del medio ambiente? En qu forma?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Realiza la siguiente actividad en equipo, desarrllenla y presntenla al resto del grupo, anoten coincidencias y diferencias con las opiniones del grupo (el mediador podr retomar el problema al final de la secuencia apoyados en los conocimientos adquiridos del tema a abordar en la misma).

Con los datos de la tabla anterior elabora una grafica que muestre la forma en cmo ha ido creciendo la produccin de residuos de slidos en Mxico.

Enseguida:

a) Describe el comportamiento de la grfica.

b) Que valor se puede esperar para finales del ao 2011 y 2012.

c) Cual es razn de crecimiento en la produccin de basura del periodo 2000-01 en relacin al periodo 2000-09.

d) Comenta tus observaciones con los compaeros, obtengan una conclusin y socialcenla al grupoEscribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1) Qu es un lugar geomtrico?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2) Cita la importancia que tiene el uso de un sistema coordenado rectangular en tu vida cotidiana?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

3) Qu uso le puedes encontrar a la formula de la distancia entre dos puntos dentro de un sistema de ejes coordenados?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) Cual es la diferencia entre una razn y una proporcin. Qu importancia tiene este concepto en tu vida diaria?

__________________________________________________________________________Comenta tus respuestas con tus compaeros de equipo.

Lee la siguiente informacin que tiene que ver con el tema de Sistema de coordenadas rectangulares.

Al menos en alguna ocasin habrs tenido la necesidad de explicarle a una persona el camino que puede seguir para llegar a un lugar determinado. Para ello, con seguridad tomas como referencia casas o edificios con algunas caractersticas especiales, adems de los posibles nombres de las calles por las que debe pasar esa persona. Lo que haces con ello es tratar de dar la ubicacin de un objeto tomando como referencia otro. Hoy en da existen satlites que permiten asignar coordenadas a puntos sobre nuestro espacio y que forman parte del llamado sistema de posicionamiento global (GPS), con lo que es posible la localizacin de puntos especficos de la superficie terrestre desde el espacio.

Puntos en el plano

Para localizar o determinar en donde esta un objeto es indispensable indicar a partir de qu punto nos referimos.

Ese punto se denomina punto de referencia, y con base en el podemos mencionar cun lejos o cerca est un objeto en relacin con otro: si esta al norte, al sur, a la izquierda o a la derecha.

Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano.

Un plano cartesiano est formado por dos lneas perpendiculares, llamadas ejes coordenados, cuyo punto de interseccin se denomina origen. A la lnea horizontal se le denomina eje x o de las abscisas, y a la lnea vertical, eje y o de las ordenadas. Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los cuales se enumeran, como se muestra en la figura 1.

Fig. 1

Teniendo a estos ejes as construidos, es perfectamente posible identificar a cualquier punto en el plano.

La localizacin de puntos en el plano le llamaremos trazado de puntos.

Por ejemplo, para trazar el punto (3,1), (fig. 1), procederemos de la siguiente manera:

Paso 1. Sealaremos primero el punto 3 sobre el eje x, que est a tres unidades a la derecha del origen.

Paso 2. A partir del 3, sobre una paralela al eje y, mediremos una unidad hacia arriba del eje x, obteniendo as el punto (3,1).

Distancia entre dos puntos

Sea P(x1, y1) y Q(x2, y2), dos puntos cualesquiera de un plano coordenado como el que se muestra en la siguiente figura.

Cmo determinar la distancia entre los puntos P y Q.

Sea R el punto de interseccin de la lnea recta que pasa por P y es paralela al eje X, con la lnea recta que pasa por Q y es paralela al eje Y.

De acuerdo con la figura, se observa que la distancia entre los puntos P y R, esta dada por:

Y que la distancia entre los puntos Q y P, est dada por:

Si se representa con d a la distancia entre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), aplicando el teorema de Pitgoras al triangulo rectngulo PRQ, que se muestra en la figura, se tiene que:

Formula que se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), dados en un plano coordenado.

En el siguiente ejemplo se desea determinar la distancia que existe entre el punto A y B. Analzalo:

Divisin de un segmento en una razn dada.

Como puede observarse, se han formado dos tringulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relacin:

, es decir:

De donde:

De manera similar:

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A (1, 1) y B (11, 6) en una razn tal que: De acuerdo a la relacin planteada, se pueden aplicar las frmulas obtenidas:

De manera similar para y:

Por lo que las coordenadas del punto buscado son P (5, 3).

Punto medio

El punto medio es un caso particular de la divisin de un segmento en una razn dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:

EjemploObtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, 2) y B (-5, 4).

Por lo que las coordenadas del punto medio son: (-1, 1).

Actividad 1En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes ejercicios que involucran a sistema de ejes coordenados.

Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas cartesiano y localiza los puntos siguientes:

A (-4, 2), B(1, 2), C(1, -2), D(3, 8), E(0, -4), F(-7, 2), G(2/3, 3/5) y H (0, -4/6).

Compara con tus compaeros la ubicacin de los puntos en el eje de coordenadas, si existen divergencias analcenlas y socialcenlas ante el grupo. De seguir las dudas comntenlas con el facilitador.

Actividad 2

Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas rectangular, localiza los puntos siguientes:

A(5, 7), B(4, 4), C(-4, 2) y D(-3, 6), enseguida une los puntos, que darn forma a un cuadriltero, determina la distancia que existe entre ellos y calcula finalmente su permetro.

Contrasta tu resultado con el de tus compaeros y socialzalo al grupo.

Actividad 3Consigue 4 popotes de 18 cm de largo. Divide el primer popote en dos partes iguales, corta el segundo en segmentos de 12 y 6 cm, y el tercero seccinalo en trozos de 2 y 16 cm. Contesta:

1. Cuntas veces es ms grande uno de los segmentos respecto al otro de cada popote?

________________________________________________________________________

2. Encuentra la razn que existe entre cada segmento con la longitud original.

________________________________________________________________________

Haz dos cortes en el cuarto popote, de tal manera que la relacin de los segmentos con la longitud original sea 1/3.

3. Cunto vale la razn entre dos segmentos?

________________________________________________________________________

Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razn tal que Una vez que sabes el procedimiento para encontrar el punto de divisin de un segmento en una razn dada, renete con tus compaeros y resuelve el siguiente:

Problema:

El frente del solar de una casa es de 15 m. Una persona desea colocar cuatro postes en el frente de su solar, de forma tal que estos se encuentren separados por distancias iguales.

Tomando esa medida a escala y colocndola sobre un eje de coordenadas de tal forma que sus extremos se hagan coincidir en puntos con coordenadas que contengan nmeros enteros, se observa que el primero de los postes queda ubicado en la posicin A (6, 9), mientras que el ltimo de ellos se ubica en el punto B(-3,-3).

Bajo esta distribucin, que coordenadas le correspondern a los postes que ocupen las posiciones C y D. Las longitudes en los ejes coordenados estn dadas en metros.

Actividad 4El grupo se organizara formando equipos de 6 estudiantes para elaborar un ensayo que nos permita determinar los volmenes de basura que se generan durante un ciclo escolar en el plantel.

Para ello, se contabilizaran los contenedores de basura del plantel y de manera aleatoria cada equipo en un da de la semana revisaran los contenedores seleccionados, para obtener informacin del tipo de residuos slidos que se generan diariamente en la comunidad escolar.

Estos sern separados y pesados por tipo de residuo, posteriormente determinaran y realizarn:

1. Graficar resultados y publicarlos al interior del plantel, para sensibilizarlos al respecto.2. Establecer la razn de crecimiento de produccin de basura generada el da lunes respecto de la generada a lo largo de la semana.

3. En base a tus resultados elabora un mensaje dirigido a la comunidad escolar, con la finalidad de entender el problema que representa la generacin de basura en el planeta tierra y como minimizar el efecto.

Actividad 5Grafica en una hoja de papel milimtrico un plano cartesiano que contenga los puntos A (-1, 3), B (7, -5) y C (3, -1). Mide con una escuadra las distancias de AB, BC y AC.

Realiza lo siguiente:

1. Cul es la longitud de las distancias?

Ahora aplica la formula de la distancia y compara resultados. Son parecidos?

Actividad 6Traza un eje de coordenadas en tu cuaderno y ubica los puntos citados en cada uno de los incisos y nelos por un segmento de recta.

Enseguida determina las coordenadas del punto P(x, y) que divida al segmento en la razn sealada:a) P1 (4,-2), P2 (-5, 3), r= 1/4

b) P1 (-1, 8), P2 (7, 10), r= 3/2

c) P1 (6,-5), P2 (0, 0), r= 2/15

d) P1 (4, 10), P2 (-4, 8), r= -2

e) P1 (0,-10), P2 (-10, 0), r= 2

Compara los resultados obtenidos con el resto de tus compaeros, en caso de existir divergencias analcenlas y comntenlas con el facilitador.

Actividad 7Encuentra el valor de las incgnitas que hace posible que el punto P cumpla con la relacin r.

a) P1 (-7, 4), P2 (x, y), P (5, 4), r= 1/2

b) P1 (x, 8), P2 (7, y), P (4, 7), r= 1

c) P1 (10, y), P2(x, -5), P (12,5), r= 8

Para cada uno de los ejercicios realiza su representacin grafica en tu cuaderno, compara los resultados obtenidos con el resto de tus compaeros, analcenlos y comntenlos con el facilitador.

Actividad 8De acuerdo con la grafica, asigna las coordenadas correspondientes en A y B y determina las coordenadas del punto medio.

RbricaLa evaluacin se orienta de acuerdo con los criterios y niveles de logro que siguen:

Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Aplicar la frmula de la distancia entre dos puntos.

Obtener las coordenadas para la divisin de un segmento en una razn dada.

AspectodeficienteRegularBuenoexcelente

Aplica la formula de la distancia entre dos puntos colocados en un plano cartesiano, utilizando de forma correcta el algebra y la aritmtica. No le es posible encontrar la distancia entre dos puntos localizados en un plano cartesiano, debido a que no usa la formula, el algebra y la aritmtica correctamente.Aplica correctamente la formula, pero su algebra y su aritmtica, son deficientes por lo que no llega al resultado correcto.Encuentra la distancia entre dos puntos correctamente en el 80 % de los casos, con el uso pertinente de la formula, el algebra y la aritmtica.Encuentra la distancia entre dos puntos correctamente en el 100 % de los casos, con el uso pertinente de la formula, el algebra y la aritmtica

Resuelve problemas geomtricos en los que se aplican las distancias entre dos puntos.Plantea incorrectamente todos los problemas geomtricos que se presentan.Plantea correctamente los problemas geomtricos, aunque solo llega al resultado correcto en los casos ms sencillos.Plantea correctamente los problemas geomtricos que se presentan y obtiene el resultado correcto 80 % de los casos.Plantea correctamente los problemas geomtricos que se presentan y obtiene el resultado correcto 100 % de los casos.

Encuentra las coordenadas de un punto P que divide a un segmento en una razn dada.No le es posible encontrar las coordenadas de un punto P que divide un segmento en una razn dada.Aplica bien la formula en todos los ejercicios, pero en mas de 50 % no utiliza de forma correcta las leyes del algebra y la aritmticaEncuentra las coordenadas de un punto P, que divide a una recta con una razn dada en 80 % de los casos, aplicando correctamente, las formulas el algebra y la aritmticaEncuentra las coordenadas de un punto P, que divide a una recta con una razn dada en 100 % de los casos, aplicando correctamente, las formulas el algebra y la aritmtica

Colabora con los miembros del equipo para obtener los productos correspondientes al bloque.No consigue trabajar en equipo ni logra obtener los productos de la secuencia.Trabaja en equipo, pero no da su opinin para obtener los productos de la secuencia.Trabaja en equipo y participa para obtener los productos de la secuencia.Trabaja en equipo y da su propia opinin para obtener los productos de la secuencia

Bloque 2 Secuencia 2: La recta

A continuacin se te presenta una lectura que tiene que ver con la toma de decisiones para resolver problemas. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

Toma de decisiones

Para tomar una decisin, no importa su naturaleza, es necesario conocer, comprender, analizar un problema, para as poder darle solucin; en algunos casos por ser tan simples y cotidianos, este proceso se realiza de forma implcita y se soluciona muy rpidamente, pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una mala o buena eleccin puede tener repercusiones en la vida y si es en un contexto laboral en el xito o fracaso de la organizacin, para lo cual es necesario realizar un proceso ms estructurado, que puede dar ms seguridad e informacin para resolver el problema. Las decisiones nos ataen a todos ya que gracias a ellas podemos tener una opinin crtica.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Toma_de_decisiones consulta da 2 de junio de 2011 a las 7:00 hrs

Evaluacin diagnstica

Un ingeniero en la Comunidad de Providencia, proyecta instalar una tubera recta, cuya longitud es de 25 metros con una pendiente tal que, por cada metro sobre el terreno horizontal la tubera ascienda 0.04 metros.

1. Cul seria la altura a la que se descargara el agua?

2. Haz una ilustracin grafica de la situacin.

3. Si la tubera tiene un ngulo de inclinacin con respecto a la horizontal, Cul es la tangente de dicho ngulo?

4. Si el ngulo de inclinacin del techo de una casa es de 10 Cul es su pendiente?

5. Qu es la pendiente de cualquier recta?

6. Dibuja cuatro rectas con diferentes ngulos de inclinacin y obtn su pendiente, utilizando una regla graduada en centmetros.

7. Dibuja 3 rectas cuyas pendientes sean y respectivamente.

8. En otro sistema de coordenadas, dibuja una recta que pase por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y obtn una ecuacin que exprese el valor de la pendiente.

Comenta tus respuestas con tus compaeros de equipo.

Ahora te invito a leer la siguiente informacin y resolver las actividades que se te presentan al final de cada una de ella.

El Teorema de Tales y la pendiente de una recta, inclinacin y pendiente.

Sea L una recta no paralela al eje x y A el punto donde L corta a este eje. Tmese un punto M del eje x a la derecha de A (con abscisa mayor que A) y un punto N de L que tenga segunda coordenada mayor que cero (estar por encima del eje x, en el primero o en el segundo cuadrante). El ngulo MAN (figuras 1 y 2) lo llamaremos la inclinacin de L.

Si una recta L es paralela al eje x, diremos que L tiene una inclinacin igual a cero. Ntese que 0 inclinacin < dos rectos (180).

Pendiente de una recta.

El Teorema de Tales interpretado en un sentido fsico nos indica que si estamos subiendo por una rampa recta, dados dos puntos arbitrarios P y Q de la rampa, la razn entre lo subido y lo avanzado cuando nos desplazamos de P a Q es siempre la misma (figura 3).

Figura 3

A esa constante se le denomina pendiente de la rampa y como puede apreciarse de la figura 3, es igual a la tangente del ngulo , el ngulo de inclinacin de la rampa.

De la misma forma, definimos la pendiente de una recta L (no perpendicular al eje x) como la tangente de su ngulo de inclinacin.

Las lneas perpendiculares al eje x no tienen pendiente, pues 90 no tiene tangente.

Calculo de la pendiente de una recta dados dos de sus puntos.

P = (x1, y1), Q = (x2, y2).

Tomando en cuenta lo que ocurre con la rampa expuesta con anterioridad, construimos un triangulo rectngulo PQR que tenga a PQ por hipotenusa y un cateto paralelo y otro perpendicular al eje x (figuras 4 y 5).

Estas igualdades en ambos casos, nos dan como resultado, que la pendiente se define matemticamente por el siguiente:

Valor del ngulo de inclinacin.

A partir de la ecuacin m = tg , despejando para el ngulo de inclinacin, tenemos:

Ejemplos:

1. Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).

Solucin: al graficar los puntos dados, tenemos:

Al sustituir los datos en la frmula de la pendiente, resulta:

Donde m=1/2 Para determinar el ngulo de inclinacin, utilizamos la ecuacin:

( = arc tg m ( = arc tg (1/2)= arc tg(0.5)

( = 26(33 54 Como la m es positiva, el ngulo ( es mayor de 0( pero menor que 90( .

2. Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que une a los puntos A(12,-5) y B(2,1). Solucin: Al graficar los puntos dados, tenemos:

Al sustituir los datos en la frmula de la pendiente, resulta:

Donde m = -3/5 Para determinar el ngulo de inclinacin, utilizamos la ecuacin:

( = arc tg m ( = arc tg (-3/5) = arc tg (-0.6)

( = 30(57 49

Como la m es negativa, el ngulo ( es mayor de 90( pero menor de 180(, por lo que el ngulo encontrado deber restarse a 180(, es decir:

( = 180( 30(5749= 149( 2 11

Actividad 1

En pareja, y de ser necesario, con el auxilio del maestro-facilitador, resuelve los siguientes ejercicios que involucran la inclinacin y pendiente de una recta.

En los ejercicios 1 a 6, calcular la pendiente de la recta a partir de su grafica

.

En los ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el punto dado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema de coordenadas.

En los ejercicios 9 a 14, dibujar el par de puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos.

En los ejercicios 15 a 18, utilizar el punto de la recta y su pendiente para determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hay mas de una respuesta correcta).

Pendientes de rectas paralelas

Por leyes de geometra elemental, se supone que si as rectas a y d que aparecen en la imagen siguiente (figura de abajo) son paralelas, entonces los ngulos de inclinacin de ambas son iguales (1 = 2). Aceptado lo anterior, resulta obvio que las pendientes de ambas rectas tambin son iguales entre s.

Lo anterior se simboliza: 1 = 2 y m1 = m2Donde m1, es la pendiente de la recta a, y m2 es la pendiente de su paralela, la recta d.

1 = 2 , son ngulos de inclinacin de las rectas.Pendiente de rectas perpendiculares

Tambin se ha demostrado que cuando se tienen dos rectas perpendiculares como las que se observan en la siguiente figura (fig. 7), la relacin que existe entre sus pendientes es:

donde,

m1, es la pendiente de la recta a, y m2, es

la pendiente de su perpendicularidad, la

recta d.

Ejemplos:

1. Determinar si la recta que pasa por los puntos (6, 0) y (0, 4) y la que pasa por (0, 2) y (3, 0) son paralelas.

Resolucin:

Sustituimos: Pendiente m de la recta que pasa por (6, 0) y (0, 4):

Pendiente m de la recta que pasa por (0, 2) y (3, 0):

2. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (2, 5), (-3, -2) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4, 1) con .

Resolucin:

Como , sustituimos

Actividad 2En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor-facilitador, resuelve los siguientes ejercicios que involucran problemas de aplicacin de los temas tratados.

1. En un torneo de saltos de esqu acutico, la rampa se eleva hasta una altura de 6 pies sobre una balsa de de 21 pies de largo, como se ilustra en la figura 8. La pendiente de la rampa de esqu es el cociente entre su altura (ascenso) y la longitud de su base (avance). Indicar el valor de su pendiente y su ngulo de inclinacin.

Figura 8.2. Al sobreponer el croquis del corte de un auditorio con una representacin del plano cartesiano, tal y como se muestra en la figura 9, se observa coincidencia entre puntos A (-10, 5), B (0, 12) y D (16, 4). Figura 9.

a) Cual es la pendiente y el ngulo de inclinacin de la parte AB del techo?

b) Cul es la pendiente y el ngulo de inclinacin de la parte BD del techo?

c) Para colocar un reflector, se quiere dejar a L como punto medio del segmento AB. Cules deben ser las coordenadas de dicho punto?

d) Para poner unas bocinas, se pretende ubicar al punto M en la tercera parte del segmento BD. Cuales deben ser las coordenadas de M?

e) Utilizando los ngulos de inclinacin de AB y de BD, y algunas propiedades de los tringulos, calcula el ngulo ABD formado entre las dos partes del techo.

Ecuacin de la recta que pasa por el origen.

Considrese la recta que pasa por el origen 0 y forma un ngulo de inclinacin con el eje x.

Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P1, P2, P3.

Como los tringulos OP1P1, OP2P2 y OP3P3 son semejantes; se tiene que:

Eso es ; es decir,

Ecuacin de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.

Ecuacin de la recta en forma simplificada o forma comn. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

Ejemplo 1. Determinar la ecuacin de la recta con pendiente 3 y ordenada al origen -2. Traza su grafica.

Resolucin: Sustituimos en

Si igualamos a cero queda:

Observa que el coeficiente de x es el valor de la pendiente y que el valor de b da la ordenada al origen. Con estos datos podrs trazar la grfica de la recta.

Ejemplo 2. Representa grficamente la ecuacin 4x + 2y + 3 = 0. Adems seala el valor de la pendiente y de la interseccin con el eje y.

Resolucin:

Ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente.

Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.

Esta es la ecuacin de la recta en su forma punto-pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.

Ejemplo 3. Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1, 3) cuya pendiente es .

Resolucin: Sustituimos en:

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

Ambas son la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado ser el mismo y representar la misma recta.

Ejemplo 4. Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-1, 4) y (-3, 5).

Resolucin: Sustituimos en

Ecuacin de la recta en forma simtrica.La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a, 0) y B(0,b).

Ordenando los miembros de la ecuacin, se obtiene:

Ejemplo 5. Determina la ecuacin de la recta cuyas intersecciones son (2, 0) con el eje x, y (0, 5) con el eje y. Traza su grafica.

Resolucin: Sustituimos en

Ecuacin general de la recta.La ecuacin general de la recta es de la siguiente forma: Ax + By + C = 0

A partir de la ecuacin anterior podemos analizar cuatro casos diferentes:

Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B(0, C ( 0; la ecuacin se reducir a By + C = 0, de la cual se obtiene que y = - C/B, que representa una recta paralela al eje x.

Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A(0, B=0, C ( 0; la ecuacin se reducir a Ax+ C=0, de la cual se obtiene que x = - C/A, que representa una recta paralela al eje y.

Caso 3. Ecuacin de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuacin se reducir a y = - x o x = - y, o bien y =|x|, que representa una lnea recta con pendiente de 45 que pasa por el origen como lo muestra la figura.

Caso 4. Ecuacin de una recta en cualquier posicin: Si A(1, B(1, C( 0; al despejar y la ecuacin general toma la forma

Reducindose as a la ecuacin de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sera m =-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra en la siguiente figura.

Transformacin de las diferentes formas de la ecuacin de una recta

1. Transformacin de las diferentes formas de la ecuacin de una recta a la forma general Ax + By + C = 0

Nota: Los ejemplos 1, 3, 4 y 5 que se desarrollaron anteriormente son muestra de cmo se transforman las diferentes ecuaciones a la forma general.

2. Transformacin de la forma general Ax + By + C = 0 de la ecuacin de una recta a la forma comn (pendiente ordenada al origen), a la forma simtrica y a la representacin grfica

A) De la forma general

Ejemplo. Convierte la ecuacin 3x + 2y + 4 = 0 a la forma comn.

.

Resolucin: 3x + 2y + 4 = 0

Despejamos y: 2y = -3x 4

B) De la forma general

Ejemplo. Transforma la ecuacin 2x 4y 6 = 0 a la forma simtrica.

Resolucin: Para determinar las intersecciones con los ejes, se procede de la siguiente forma:

Hacemos y = 0 despejamos x;

Hacemos x = 0 y despejamos

2x - 4(0) - 6 = 0

2x 6 = 0

x = 3

Para representar grficamente una ecuacin de una recta que esta en su forma general, podemos utilizar con facilidad cualquiera de las formas: comn o simtrica.

Ejemplo: Representa grficamente la ecuacin x + 2y 6 = 0

Resolucin empleando la forma comn:

x + 2y 6 = 0

2y = -x + 6

En donde:

El mismo problema resuelto mediante la forma simtrica.

Ejemplo: Representa grficamente la ecuacin x + 2y 6 = 0

Resolucin:

x + 2y 6 = 0

con x = 0 con y = 0

2y 6 = 0 x 6 = 0

2y = 6 x = 6

y = 3

De todo lo anterior se concluye:

a) En la ecuacin de la recta Ax + By + C = 0, los coeficientes A y B no pueden ser simultneamente iguales a cero, porque entonces no se tratara de la ecuacin de una recta.

b) Las constantes A, B y C son nmeros reales; las razones son las constantes arbitrarias o parmetros que definen la posicin de la recta; m es y la interseccin de la recta con el eje y es .

c) De las diferentes formas de la recta podemos pasar a la forma general, y de sta, a cualquiera que necesitemos.

Actividad 3

En pareja, resuelvan los siguientes ejercicios sobre ecuacin de la recta y. En caso de no poder resolverlos, pidan ayuda a su facilitador.

1. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

2. Encontrar la ecuacin de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita.

3. Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

4. Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:a) 2x + 3y - 4 =0

b) x - 2y + 1= 0

c) 3x - 2y -9 = 0

d) 4x + 6y - 8 = 0

e) 2x - 4y - 6 = 0

f) 2x + 3y + 9 = 0

5. Hallar la ecuacin de la recta r, que para por A(1, 5), y es paralela a la recta s = 2x + y + 2

6. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).7. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta x=5.

8. Calcular la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-1) y que es paralela a la recta de ecuacin 2 x + 4 y - 1 = 0.9. Sea y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifica que su ecuacin en su forma punto-pendiente es: 5y-x+18=0

10. Pasar a la forma general la ecuacin de la recta que interseca a los ejes coordenados en x = -2, y = 4.

11. Hallar la pendiente de la recta x -2y + 4 = 0

12. Pasar a la forma simtrica la ecuacin de la recta x y + 1 = 0

13. Graficar la ecuacin normal de la ecuacin 2x + 3y = 4

Coevaluacin

Escribe en tu cuaderno las respuestas a los siguientes planteamientos.

Un ingeniero proyecta instalar una tubera recta, cuya longitud es de 25 metros con una pendiente tal que, por cada metro sobre el terreno horizontal la tubera ascienda 0.04 metros.

1. Cul seria la altura a la que se descargara el agua?

2. Haz una ilustracin grafica de la situacin.

3. Si la tubera tiene un ngulo de inclinacin con respecto a la horizontal, Cunto vale la tangente de dicho ngulo?

4. Si el ngulo de inclinacin del techo de una casa es de 10 Cunto valdr su pendiente?

5. Qu cosa es la pendiente de cualquier recta?

6. Dibuja cuatro rectas con diferentes ngulos de inclinacin y obtn su pendiente, utilizando una regla graduada en centmetros.

7. Dibuja 3 rectas cuyas pendientes sean y respectivamente.

8. En otro sistema de coordenadas, dibuja una recta que pase por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y obtn una ecuacin que exprese el valor de la pendiente.

Resuelve el problema. En tus respuestas apyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y porque.

Comparte tus respuestas con las de tus compaeros.

Elaboren una estrategia a seguir con la aplicacin de las tcnicas aprendidas.

Autoevaluacin

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resulvelos aplicando las propiedades y teoremas aprendidos en el tema.

Ejercicios en equipo: 1-. Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuacin de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales.

Solucin: longitud total de las vigas 59.41m2-. Una compaa de seguros paga a un agricultor el doble de la cantidad invertida en el cultivo, si x es la cantidad invertida, e y, el pago por seguro; entonces:

1. Cul seria la relacin que existe entre ambos valores?

2. A que potencia estn elevadas la x y la y?

3. De que grado es la ecuacin?

4. Suponiendo que cuatro agricultores invirtieron 2 mil, 4 mil, 6 mil y 8 mil pesos respectivamente, Cul es el pago que recibieron en caso de siniestro?

5. Representa en un sistema de coordenadas las situaciones mostradas en el punto anterior (4), nelas con una lnea. Representa cada situacin con un punto (x, y) donde x es la abscisa y y es la ordenada de cada punto.

6. La ecuacin de una recta expresa la relacin entre la _____________ y la _____________ de cada punto de ella.

7. Dibuja 5 puntos (x, y) donde el doble de la abscisa x, incrementado en 3 unidades, sea igual al valor de la ordenada y. nelos con una lnea; adems representa algebraicamente la relacin entre x e y.8. Las ecuaciones: x = 3

2x + y = 6

y = -4x 3

y = 4

y = 4x 1

Son estas de primer grado?, Representan rectas? Si o no y porque.

Secuencia 3: Relacin entre rectas.

A continuacin se te presenta una lectura que tiene que ver con alternativas para

mejorar la salud. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

El atletismo, una buena alternativa para los jvenes

Hacer deporte es una magnifica, divertida y estupenda forma de pasrselo bien, mantenerse activo y con salud. Los nios tienen muchas opciones entre las que escoger a la hora de hacer deporte, y pueden elegir entre si prefieren practicarlo solo para divertirse o tambin para competirLa actividad deportiva infantil convertida, en el mbito mundial en negocio, busca deportistas cada vez ms jvenes, sin prestar atencin a la calidad de vida del nio, ni a los intereses propios de su edad. Observo que desde edades muy tempranas se antepone ante todo los resultados, dejando a un lado a los valores que se tienen que aprender con la prctica deportivaAprender a competir, saber ganar, saber perder, es muy importante de cara a la formacin del nio, y ms en una sociedad cada vez ms competitiva, pero hasta cierto punto

Existen alternativas a los "deportes estrella" para que el deporte sea un escaln importantsimo en la educacin y en la adquisicin de buenos hbitos en edad tan importante y una de ella es el atletismo.

El atletismo tiene un gran competidor en los deportes de equipo, ya que stos ofrecen recompensas inmediatas (un gol, una canasta...), mientras que en el atletismo las satisfacciones son ms a largo plazo. Sin embargo, en este deporte se estimulan otros valores como la constancia, el espritu de sacrificio y la superacin personal. Adems, mientras en un partido siempre hay un equipo que gana y otro que pierde, en la prctica del atletismo es mucho ms importante la mejora de las propias marcas que la victoria sobre un rival.

Fuente: http://www.correliana.com/2010/05/el-atletismo-una-buena-alternativa-para_11.html: consulta da 2 de junio de 2011 a las 7:00 hrs

Evaluacin DiagnsticaA continuacin se te presenta un problema interesante con el cual aprenders a resolverlo durante la secuencia.

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1. Cmo resolveras el problema?

2. Qu idea tienes de cmo expresarlo?

3. Qu informacin ser necesaria para resolverlo?

4. Qu tendr que ver con la distancia entre rectas?

Comenta tus respuestas con tus compaeros de equipo.

Lee la siguiente informacin y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella.

Distancia entre recta y un punto

Consideraremos una recta L y un punto P(x1, y1) que no este en la recta. La distancia del punto P a la recta L se define como la distancia de P al punto L que este ms cercano a l. Si la forma general de la recta L es , entonces la forma pendiente ordenada al origen de l es:

.

Consideremos la recta que pasa por P(x , y) y es perpendicular a L.

Puesto que la pendiente de L es , la pendiente buscada es ; entonces, la forma pendiente- ordenada de L es:

Ahora encontramos el punto en que se cortan la recta L y la que acabamos de obtener; es decir, resolvemos el sistema:

Multiplicamos la primera ecuacin por B y la segunda por A

EMBED Equation.3

Sumndolas y despejando y, tenemos:

Sustituyendo el valor de la y en la primera ecuacin y despejando x tenemos:

As, el punto en el que se cortan las rectas es:

La distancia de P a la recta es la distancia de P a Q:

Es decir,

Como la distancia debe ser un nmero no negativo, el signo de la raz se escoge de manera que el cociente sea positivo. Este signo del radical nos indica si esta el punto por arriba o por debajo de la recta.

Si tomamos el radical con signo positivo significa que el punto esta por encima de la recta.

Si tomamos el radical con signo negativo significa que el punto esta por debajo de la recta.

Por ejemplo, si queremos determinar la distancia del punto p (-4,) a la recta x-2y -2 =0

Para determinar la distancia del punto a la recta, es la distancia de P al punto que este sobre la recta mas cercano a l.

Escribimos la ecuacin de la recta en la forma pendiente ordenada al origen:

Consideraremos la recta perpendicular a ella que pase por P (-4,):

Encontramos el punto donde se cortan las rectas

y

Para ello resolvemos el sistema:

Sumndolas y despejando x

Sustituimos el valor de x en la primera ecuacin y obtenemos el valor de y

El punto donde se cortan las dos rectas es Q.

La distancia del punto P a la recta es la distancia P a Q.

As que la distancia de P (-4,) a la recta x-2y-2=0 es de

Ejemplo 2.- encuentra la distancia entre el punto P (2,3) a la recta

Escribimos la ecuacin en su forma general:

Sustituimos las coordenadas de P(2,3) y los coeficientes de la ecuacin de la recta en la formula determinada:

Como el numerador quedo positivo el radical se tomo positivo para que el cociente sea positivo. Entonces, la distancia es de d=2/5.

Actividad 1

En equipo, resuelve los siguientes ejercicios aplicando la distancia de un punto a una recta.

Encuentra la distancia entre la recta y el punto dado.

1) P(-1,2)

2) P(1,5)

3) P(6,2)4) P(0,-3)

5) P(-2,4)

6) P(-2,4)

Distancia entre dos rectas paralelasPara encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la distancia de ah a la otra recta. Por ejemplo:

Encuentra la distancia entre las rectas 6x+2y-3=0 y 6x+2y+5=0

Observemos que los coeficientes x y y son iguales en ambas ecuaciones; entonces son rectas paralelas. Elegimos un punto al azar en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por ejemplo x=1, lo sustituimos en la ecuacin y encontramos el valor de y correspondiente.

6(1)+2y=3

2y = 3-6

Y=-3/2

As el punto P(1,) que pertenece a la primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda recta:

Por lo tanto, la distancia entre las rectas es de

Actividad 2

En equipo, determina la distancia entre las rectas que plantea cada ejercicio.

1) 6x+9y-9=0, 2x+3y+7=0

2) x+2y+2=0, 2x+4y-3=03) 5x+6y=20, 5x+6y=15

4) x+3y-5=0, 5x-15y+8=0

Coevaluacin

Te encuentras en la pista de atletismo en el punto (0, 0) y caminas por el carril central hasta llegar a otro punto, dicha distancia se representa por la ecuacin , as tambin vez que un compaero se encuentra en el punto (2,2). De que manera puedes determinar la distancia que existe entre tu compaero y t.

1. Cmo resolveras el problema?

2. Qu idea tienes de cmo expresarlo?

3. Qu informacin ser necesaria para resolverlo?

4. Qu tendr que ver con la distancia entre rectas?

Resuelve el problema. En tus respuestas apyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y porque.

Comparte tus respuestas con las de tus compaeros.

Elaboren una estrategia a seguir con la aplicacin de las tcnicas aprendidas.

Autoevaluacin Lee cuidadosamente los siguientes ejercicios-problemas y resulvelos aplicando lo aprendido. 1.- considera las rectas cuyas ecuaciones son y , y los puntos A y B . Calcula las distancias de A y B a cada una de las rectas. Que puedes decir acerca de la recta que pasa por los puntos A, B?

2.- Considera los puntos A(-1,3), B(2,6) y C(4,1). Calcula la distancia del punto A la recta que pasa por los puntos B, C.

3.-Una circunferencia tiene su centro en el punto (1, -1) y es tangente a la lnea recta cuya ecuacin es -15x + 3y -9 =0. Calcular la longitud del radio de la circunferencia.

4.- Un barco se mueve en el mar en la direccin de la lnea recta cuya ecuacin es:

X 3y 5=0

El viga observa un faro y por el radar se da cuenta de que el faro tiene coordenadas (3, 2). Si el barco sigue su trayectoria Cul ser la distancia mas corta entre el faro y el barco?

5.- Hallar la distancia de la recta 4y 5y + 10 = 0 al punto 2, -3).

6.- Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y +7 =0 al punto (1, 4)

7.- Los vrtices de un triangulo son A (-4, 1), B (-3, 3) y C (3, -3). Hallar la longitud de la altura del vrtice A, sobre el lado BC.

8.- Los vrtices de un triangulo son P (-2, 3), Q (5, 5) y R (4, -1). Hallar la longitud de la altura del vrtice C, sobre el lado AB.9.- Resuelve los siguientes ejercicios empleando lo aprendido. 1) 7x - 5y +1 = 0, 7x - 5y 1 = 0

2) x + 2y + 2 = 0, 2x + 4y - 3 = 03) -2x + 4y-3 = 0, -8x + 16y 2 = 0

4) 8 x + 3y - 5 = 0, 8x + 3y + 6 = 0

Secuencia 4: rea de polgonos

A continuacin se te presenta una lectura que tiene ver con la salud y el deporte. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

El deporte y los adolescentes

Cuando se asiste el entrenamiento deportivo de un nio en su pasaje a la adolescencia, es importante prestar atencin a su desarrollo psicomotriz. Los deportes -todos ellos- ayudan a este aprendizaje neuromotor y, por lo tanto, aquellos adolescentes que vienen realizando algunas disciplinas deportivas desde pequeos estn en mejores condiciones de asimilarlo. Lo ideal es que un individuo experimente diferentes deportes a fin de tener la mayor cantidad de experiencias motrices. En ese sentido, las horas que se dedican a la actividad fsica en los sistemas educativos deberan brindarle una formacin fsica bsica, que le ayude a organizar su esquema corporal.

Esto le ahorrar tiempo y esfuerzo al encarar una disciplina deportiva determinada.

Muchos se preguntan cul es el mejor deporte para que el adolescente se desarrolle sano. En realidad, ninguna disciplina es mala, aunque algunas parezcan ms riesgosas que otras, como el rugby u otros deportes de mucho contacto, por ejemplo. Otros, como la natacin, presentan a primera vista muchos menos riesgos. Pero todos tienen beneficios y el adolescente los elegir por otros motivos, que tienen ms que ver con su perfil psicolgico. Algunos optarn por los deportes solitarios como la natacin o el tenis, y otros preferirn compartir en los deportes colectivos como el volley-ball o el foot-ball. Si bien siempre se busca que el nio o el adolescente sociabilice con sus pares, no podemos obligarlo a elegir determinada disciplina.

Fuente: http://www.latinsalud.com/articulos/00238.asp: consulta realizada el da lunes 6de junio de 2011 a las 6:31 p.m.

Evaluacin Diagnstica

A continuacin se presentan algunos cuestionamientos, que ya revisaste en temas anteriores de Geometra Analtica, si no los resolvers con lo que aprendas durante la secuencia.

1.- Una cancha de ftbol se dibuja a escala, en un plano coordenado, como muestra la figura.

a) Proporciona las coordenadas de los puntos sealados.

b) Si la escala es 1:20, Cul es la longitud real del campo, medida en metros?

c) Calcular el permetro y el rea de la cancha.

2.- Identifica las siguientes coordenadas en un plano cartesiano.

A( 4, 6); B(-3 , 5 ); C( 2 , -5 ); D( 0 , -4 ); E( 6, 0 ); F( -4, -2 ).

3.- Calcula el rea total del siguiente polgono trazado en el sistema cartesiano. Utiliza mtodos ya vistos en geometra plana, identifica las coordenadas de cada vrtice.

4.- Conoces otro mtodo para obtener el rea de un polgono conociendo las coordenadas de sus vrtices? Cul? Explcalo! Si no te invito a que conozcas otras formas de calcular reas.

5.- Si tenemos un triangulo cualquiera que no sea triangulo rectngulo, definido por los puntos: A( x1, y1); B( x2, y2 ); y C( x3, y3 ) Podramos por los mtodos convencionales, conocidos por nosotros hasta ahora, determinar su rea?

6.- Comenta tus respuestas con tus compaeros de equipo. Primeramente vamos a encerrar la figura dentro de un rectngulo, el cual estara limitado en sus extremos por los vrtices del triangulo, de la forma siguiente:

De estos cuatro tringulos tres de ellos son tringulos rectngulos, a los cuales si pudiramos obtener su rea (refirindonos a los tringulos II, III y IV), asimismo del rectngulo tambin se podra obtener su rea, quedando estas de la siguiente manera:

Tringulo II, su rea =

Tringulo III, su rea=

Triangulo IV rea=

rea del rectngulo=

Al rea del rectngulo le retamos la suma de las reas de los tres tringulos rectngulos, nos queda el rea del triangulo deseada, haciendo estas operaciones y simplificando nos queda:

rea del rectngulo= 25 u2

EMBED Equation.3

Por lo tanto el rea del triangulo No. I = 9.5 u2

EMBED Equation.3 Este resultado se obtiene a travs del siguiente procedimiento:

rea del Tringulo I =

Ahora vamos a utilizar un procedimiento similar, utilizando determinantes, pero con las siguientes condiciones:

Los puntos se van a colocar dentro de un determinante de tal manera que queden ordenadas siguiendo el sentido opuesto a la direccin de las manecillas del reloj; se colocan todos los puntos, pero al final se repite el primer punto.

A = =(

A esta ecuacin se le conoce como regla de Sarrus.

Si la figura tiene ms de tres vrtices, estos se siguen colocando hacia abajo y al final se repite el primero de ellos.

Ejercicio resuelto: analiza bien el siguiente procedimiento y trabaja anlogamente los dems ejercicios propuestos ms adelante. (Observa cada una de las coordenadas de los vrtices y utiliza la regla de Sarrus)

A=

=

A=

=

EMBED Equation.3 Otro ejercicio resuelto, sea el siguiente polgono cuyas coordenadas son:

El rea se obtiene de la siguiente forma:

A =

A =

A =

Actividad 1Resuelve los siguientes ejercicios, compralos con tus compaeros y presenta tus resultados a tu profesor, si se te dificulta no dudes en pedir ayuda a tu facilitador.

1.- Obtn el rea de los siguientes polgonos.

2.- Cules de los siguientes conjuntos de puntos no es un polgono?

* A( 0, 4 ); B( 3, -2 ) C( -2, 8 )

* A( 10, 5 ); B( 3, 2 ); C( 6, -5 )

* A( -2, 3 ); B( -6, 1 ); C( -10, -1 )

* A( 6, 7 ); B( -8, -1 ); C( -2, -7 )

* A( -3, -2 ); B( 5, 2 ); C( 9, 4 )

Coevaluacin

Retomando los ejercicios del inicio de la secuencia.

1.- Identifica las siguientes coordenadas en un plano cartesiano.

A( 4, 6); B(-3 , 5 ); C( 2 , -5 ); D( 0 , -4 ); E( 6, 0 ); F( -4, -2 ).

2.- Calcula el rea total del siguiente polgono trazado en el sistema cartesiano. Utiliza mtodos ya vistos en geometra plana, identifica las coordenadas de cada vrtice.

3.- Conoces otro mtodo para obtener el rea de un polgono conociendo las coordenadas de sus vrtices? Cul? Explcamelo!. Si no te invito a que conozcas otras formas de calcular reas.

4.- Si tenemos un triangulo cualquiera que no sea triangulo rectngulo, definido por los puntos: A( x1, y1); B( x2, y2 ); y C( x3, y3 ) Podramos por los mtodos convencionales, conocidos por nosotros hasta ahora, determinar su rea?Resuelve el problema. En tus respuestas apyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y porque.

Comparte tus respuestas con las de tus compaeros.

Elaboren una estrategia a seguir con la aplicacin de las tcnicas aprendidas.

AutoevaluacinLee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resulvelos aplicando las propiedades y teoremas aprendidos en el tema.

1. Una recta pasa por el punto A (-6, 7) y forma con los ejes coordenados un tringulo de rea igual a 10.5. Hallar la ecuacin.

2. Una recta pasa por el punto A (2, 4/3) y forma con los ejes coordenados un tringulo de permetro igual a 12. Hallar su ecuacin. Comprubese el resultado por otro mtodo.

3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuacin de la recta si forma con los ejes coordenados un tringulo de rea 12.

Bloque 3Resuelve y grfica las cnicas

En esta seccin aprenders la aplicacin, importancia de los contenidos de:

Emplear la ecuacin y grfica de la circunferencia en situaciones reales. Utilizar las diversas formas de la ecuacin y grfica de la parbola. Resolver problemas que involucren el uso de la ecuacin de la elipse. Demostrar las distintas formas de la ecuacin de la hiprbola y su respectiva grficaPara ello, necesitaras desarrollar tu competencia en los atributos:

Analiza crticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. Reconocer la actividad fsica como un medio para su desarrollo fsico, mental y social.

Cultivar relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. Construir e interpretar modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales para la comprensin el anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales: Proponer explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumentar la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemtico.Esto lo lograras si te lo propones realizando y reflexionando las actividades propuestas, as tambin con ayuda de tus compaeros de clase y facilitador para la aclaracin de dudas.

Secuencia 5: La circunferencia

En esta secuencia abordars temas de inters para resolver problemas, empleando como herramienta matemtica la ecuacin de la circunferencia; que te permitirn contar con informacin matemtica relevante para la toma de decisiones en la solucin del problema. Adems podrs analizar su grafica a fin de explicar lo que est ocurriendo en dicha situacin. Ten presente que el propsito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas a travs de su ecuacin y grfica mediante mtodos de solucin precisos.

A continuacin se te presenta una nota periodstica, te invitamos a leerla prestndole la atencin debida y tomando nota de todo aquello que consideres importante o te sea inters (recuerda que en actividades posteriores podrs usar todas tus anotaciones)."La Tierra es nuestro hogar y el hogar de todos los seres vivos.La Tierra misma est viva.Somos partes de un universo en evolucin.Somos miembros de una comunidad de vida interdependientecon una magnificente diversidad de formas de vida y culturas.Nos sentimos humildes ante la belleza de la Tierray compartimos una reverencia por la vida y las fuentes de nuestro ser..."CARTA DE LA TIERRAEl 22 de Abril se conmemora el DA DE LA TIERRA iniciativa que desde 1990 se internacionaliz para dar paso a una celebracin global del medio ambiente y de nuestro compromiso con su proteccin. Este planeta azul es la nica casa que tenemos y pese a que la tratamos tan mal sigue dndonos lo mejor de si cada da...si eso no es amor que alguien me explique que es. Pequeo Pez invita a tomarse unos minutos para pensar en nuestro planeta y planificar conscientemente qu puedo hacer hoy da para devolver la mano a la madre naturaleza. En Chile la Conama apenas est realizando un concurso fotogrfico...nada ms! una clara seal de como esta la conciencia ecolgica por casa: solo para la foto. En otras partes del mundo la gente sale a la calle a protestar por el derecho de vivir en un planeta limpio...pero para reclamar hay que empezar por lo propio: cunta basura separo y dispongo para reciclar? Cuntas bolsas de basura trato de no usar para no causar mas dao con el plstico que demora 500 aos en degradarse? Cunto dejo de subirme al auto para caminar un poco ms? Cuntas luces apago por conciencia de no gastar ms energa de la que necesito? Cuntas hojas de papel ocupo por ambos lados como borrador para disminuir el uso del papel? Reclamar y exigir a nuestras autoridades lo que necesitamos (aire limpio, agua limpia, energa limpia) es bueno, pero tanto ms bueno es hacer algo propio...aunque sea pequeo...Un acto pequeo vale mucho mas que no hacer nada. Use su creatividad compromtase con algo! hgale un regalito a su planeta. http://www.earthcharterinaction.org/contenido/

A continuacin te invitamos a resolver el siguiente cuestionario. Al finalizar comparte tus respuestas con los compaeros de tu grupo compartiendo coincidencias y diferencias (anota todo aquello que te resulte interesante).

Actividad 1.- Cuestionario de reflexin de la nota periodstica.

1. Sabias que existe millones de personas en el mundo que buscan tener contacto con gente de otros pases a travs de redes sociales digitales? Cules a tu juicio pueden ser aquellas redes sociales digitales mas visitadas y cul es el promedio de visitas que una sola persona puede hacer en el mes?

_________________________________________________________________________

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2. Cules son las razones porque las personas buscan compaa?

_________________________________________________________________________

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3. Investiga que beneficio tiene el convivir con la familia y que otros lazos se pueden mejorar, cules son las caractersticas que deben cumplir una familia modelo y qu pases se acercan a ello.

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4. Comparte en clase tus respuestas, anota todo aquello que te resulte interesante y cmo puedes mejorar tus lazos familiares con toda esta informacin. Presenta a tu facilitador un escrito no mayor de dos cuartillas, escrito en computadora, con portada de identificacin (puedes enviarlo a travs de correo electrnico o impreso segn se te indique).

A continuacin se te presenta un problema interesante, en compaa de tus compaeros de equipo resulvelo y presntalo al resto del grupo, anota coincidencias y diferencias con las opiniones del grupo (el facilitador podr retomar el problema al final de la secuencia apoyados en los conocimientos adquiridos del tema a abordar en la misma).

Fig. 1

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1) Cul crees que sea la diferencia entre la circunferencia y la tierra?

__________________________________________________________________________

2) Qu figuras geomtricas se forman en nuestro universo?

__________________________________________________________________________

3) Qu diferencias crees que haya entre el dimetro de una circunferencia de una pelota y de la tierra?

___________________________________________________________________________

4) Escribe 5 ejemplos donde crees que se encuentre la circunferencia en nuestro universo

___________________________________________________________________________

Comenta tus respuestas con tus compaeros de equipo.

Lee la siguiente informacin que tiene que ver con el tema de la circunferencia. Subraya o encierra en un valo aquello que consideres de relevancia.

Propiedades de la circunferencia

Definicin de la circunferencia

Geomtricamente, la circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto fijo interior llamado centro; se denomina radio a los segmentos que unen al centro con cualquier punto de la curva.

Analticamente, se representa por una ecuacin de segundo grado con dos variables; sin embargo, no toda ecuacin de segundo grado da lugar a una circunferencia queda perfectamente determinada si se conoce su centro y la longitud de su radio

Determinacin de la grafica:

Para determinar la grafica y la ecuacin algebraicamente que representa a una circunferencia, es suficiente conocer su centro y su radio. Por ejemplo

La representacin geomtrica y su definicin, nos conducen a la expresin algebraica que le corresponde.

As tambin al punto C se le llama centro y se le pueden asignar las coordenadas C) (h, k) que corresponden a la abscisa y ordenada.

El punto P (x, y) es un punto cualesquiera en la circunferencia.

El segmento que une al centro C (h, k) con el punto P (x, y) se le llama radio que es laq distancia que los separa.

As mismo definidas las coordenadas del centro y del punto, se sustituyen en la formula de la distancia entre dos puntos.

P) (x, y); C) (h, k)

dPC =

r2 =

EMBED Equation.3 Donde:

(forma ordinaria circunferencia)

Obteniendo una ecuacin de segundo grado con dos variables, en la cual se requiere conocer su centro y su radio para determinar su ecuacin conocida como:

Ecuaciones

Forma ordinaria de la circunferencia

Ejemplo 1: Determina la ecuacin de la circunferencia con centro C) (1, 2) y radio R = 3

Solucin: Se sustituyen los datos en la forma ordinaria y tenemos:

Se desarrollan los binomios y obtenemos:

9=

Al pasar todo a un solo lado y ordenarlo, nos queda:

Ejemplo 2: Determinar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C) (5, 3) y radio

Solucin: Al sustituir los datos en la forma ordinaria tenemos:

Otra forma mas sencilla es cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, c) (h, k) son: C) ( 0, 0) se obtiene una forma mas sencilla:

(Forma cannica de la circunferencia)

Forma cannica de la circunferencia

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la circunferencia con centro C) (0,0) y radio r = 2

Forma general de la ecuacin de la circunferencia

La ecuacin de la circunferencia en su forma ordinaria es:

Al desarrollar los binomios cuadrticos a del primer miembro, obtenemos:

Al ordenar trminos e igualar a cero la ecuacin, tenemos:

Si establecemos las siguientes igualdades: y

Tenemos:

La ecuacin resultante se denomina forma general de la ecuacin de la circunferencia.

Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuacin.

Para conocer los elementos de una circunferencia dada la ecuacin general necesitamos pasar de la forma general a la forma ordinaria, desarrollando los siguientes pasos:

1) Ordenar los trminos de la forma general, agrupando variables iguales

2) Completar trinomios cuadrados perfectos, agregando: a ambos lados de la igualdad.

3) Transformar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

Quedando expresada en forma ordinaria: Centro) Radio=

Todo nmero real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero, por lo que la forma ordinaria expresada como: o bien como

Representa a la ecuacin de una circunferencia solo si el miembro del lado derecho, que representa al radio, es mayor que cero. En caso que el radio sea igual a cero, la ecuacin representa un punto de coordenada (h, k), cuando el radio es menor que cero no representa ningn punto real.

Ejemplo 1: Transformacin de la ecuacin de la circunferencia de la forma ordinaria a la forma general.

Una circunferencia tiene su centro en el punto C) (-2, 1) y es tangente a la recta Determinar su ecuacin en las formas ordinarias y general.

Solucin: Para que la circunferencia quede perfectamente determinada es necesario conocer su radio, el cual se calcula con la formula de la distancia de una recta a un punto y resulta:

=

Al sustituir los datos dados y los calculados en la forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia, tenemos:

Al transformar la ecuacin de la circunferencia de su forma ordinaria a la forma general resulta

(forma general de la ecuacin de la circunferencia)

Ejemplo 2: Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuacin

Se aplica la formula del centro y del radio:

Centro) = C = C (-2, 3)

Radio= = = = 4Determinacin de la ecuacin de la circunferencia a partir de tres condiciones

Analizando la forma ordinaria y general de la ecuacin de la circunferencia notaras que hay tres valores independientes: h, k y r en la primera y D, E y F en la segunda ecuacin. Esto significa que, toda circunferencia, puede plantearse analticamente en cualquiera de las formas mencionadas, solo se requiere encontrar el valor de las tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes.

Geomtricamente, el trazo de la circunferencia requiere tambin de tres condiciones independientemente para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser de tres punto, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un tringulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc. El objetivo ser plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1: Determinar la ecuacin, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres punto A (-2, 2), B (4,1) y C (1, -6)

Solucin:

Como los tres puntos dados estn sobre la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuacin general donde se deben las constantes D, E Y F.Con base en lo anterior al sustituir los puntos siguientes en la ecuacin anterior queda:

Para A(-2, 2) queda: -2D+2E+F =0 Ecuacin 1

Para B (4, 1) queda: 4D+ E+ F = -17 Ecuacin 2

Para C (1, -6) queda: D-6E+F = -37 Ecuacin 3

Obteniendo tres ecuaciones simultaneas, que al resolver este sistema con uno de los mtodos ya estudiados en curso de algebra, nos quedan los siguientes resultados:

E = 49/15 F = -148/9 D = -43/45

Al sustituir los valores de D, E y F en la ecuacin general de la circunferencia, resulta:

Al transformar la ecuacin general de la circunferencia a su forma ordinaria tenemos:

Se divide toda la ecuacin por 45, resulta:

Al ordenar los trminos

Completamos los binomios, al sumar lo mismo en ambos miembros de la ecuacin

Ecuacin ordinaria de la circunferencia

Las coordenadas del centro de la circunferencia son C su r =

Condiciones geomtricas y analticas.

Relacin entre la circunferencia y la recta

La geometra plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tienen en un solo punto en comn en dicha curva. En general, la definicin no es aplicable para todas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente corta a la curva en uno o mas puntos distintos.

Sea la ecuacin de una curva plana cualquiera .Sean dos puntos distintos cualesquiera de la curva, de tal manera que el arco de la curva que los une sea continuo, es decir, el P2 se puede aproximar a P1 permaneciendo siempre sobre la curva.

Sea una recta secante que pasa por P1 y P2 de la curva, en donde P1 es el punto fijo y P2 es el punto que se mueve sobre la curva hacia P1 y a medida que el punto mvil se acerca al punto fijo, la recta secante gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al punto fijo; en general, tiende a una posicin lmite representada por la recta P1 T que se define como la tangente a la curva en el punto P1 que particularmente se denomina punto de tangencial pendiente de la curva f(x, y)=0 en el punto P1 se define como la pendiente de la tangente a la curva en P1.Tangente a una circunferencia

Esta queda perfectamente determinada si se conoce su pendiente y el punto de tangencia o algn otro de sus puntos.

As mismo se consideran los siguientes casos:

a) Ecuacin de la tangente a una circunferencia dada en un punto de tangencia.

b) Ecuacin de la tangente cuando tienen una pendiente dada.

c) Cuando pasas por un punto exterior dado.

Ejemplo 1 Determinar la ecuacin de la recta tangente trazada del punto A (11,4) a la circunferencia Solucin: Al aplicar la ecuacin punto pendiente de la recta, se tiene que la ecuacin de la familia que pasador el punto dado A (11, 4), es:

En la ecuacin m representa la pendiente de la recta, por determinar al despejar con respecto a y, tenemos:

Al sustituir esta igualdad en la ecuacin de la circunferencia, resulta:

Esta ultima ecuacin esta escrita en la forma ; si se aplica la condicin de tangencia, debemos comprobar que es decir:

Al simplificar tenemos y al multiplicar por (-1), tenemos:

Al factorizar:

Las ecuaciones de la tangente son:

Para para

Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A (11,4) a la circunferencia son: y

Actividad 1.- En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes ejercicios que involucran introduccin y las ecuaciones de la circunferencia.

Resuelve los siguientes ejercicios de la ecuacin de la circunferencia

1. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia; si la ecuacin dada representa una circunferencia, hallar su centro y su radio; trazar grafica correspondiente

a)

b)

EMBED Equation.3 c)

2. Escribe la ecuacin de la circunferencia:

a) Con centro C (6,-4) y radio 5 unidades

b) Con centro C (-1, -5) y radio - 2/3

3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4

b) (x + )2 + (y - )2 = 3

c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0

d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.

e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625

4. Escribe en forma cannica la ecuacin de la circunferencia

x2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0

5. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos

a) (3,0); (-1,6); (-2,-4).

b) (1,-4); (4,5); (3,-2).

6. Determina las ecuaciones de la tangente y de la normal a la circunferencia en el punto indicado

a) en el punto A (4,1)

b) en el punto A (-1, 6)

c) en el punto A (6, 3)

Para darnos cuenta de nuestro avance actitudinal, te presentamos un instrumento en el que podrs evaluar el comportamiento de tus compaeros en la actividad en grupo de esta secuencia. Es muy importante ser muy objetivos, por lo que te pedimos ser veraz con lo que indiques, ya que ser de gran ayuda para tus compaeros. Al trmino de ste, entrgalo los resultados a tu maestro-facilitador, el les indicar la manera de procesar esta informacin.

Instrucciones.- Los enunciados siguientes son descripciones de comportamientos que durante el trabajo en equipo pudieron manifestar tus compaeros, en 6 habilidades actitudinales. Lee cada descripcin y escribe los nombres de los estudiantes de tu equipo que mejor la cumplan. Tus elecciones sern confidenciales. Considera lo siguiente:1. Anota el nombre completo de tus compaeros en la lista, asegrate del nmero que le corresponda a cada uno de ellos.

2. De cada pregunta, pon una X al nmero que corresponda el o los compaeros que participaron contigo en las actividades en equipo de esta secuencia, que cumplan con la condicin de cada pregunta. Es importante que consideres solo aquel o aquellos compaero(s) que cumplen con ese rasgo.

3. Un mismo compaero puede cumplir con ms de una descripcin, por lo que puedes repetir el nmero en todas las preguntas (rasgos) que consideres.

4. Puedes anotar cualesquier observacin o aclaracin que tengas en cada pregunta.

Lista de compaeros:

No.Nombre compaero participante

Apellido PaternoApellido MaternoNombre(s)

1

2

3

4

5

Evaluacin:

No.PreguntasEvaluacin

Integrantes Observaciones

12345

Habilidad: Capacidad de aprender por cuenta propia

1Quin busca continuamente el conocimiento por sus propios medios en diversas fuentes de informacin?

2Quin tiene hbitos de estudio que implican disciplina, concentracin, responsabilidad, bsqueda de informacin y verdadero deseo de aprender?

3Quin reconoce que la responsabilidad de aprender es algo personal y no responsabiliza a nadie de no haber aprendido algo?

Habilidad: Capacidad de anlisis, sntesis y evaluacin

1Quin continuamente estructura la informacin importante de un problema, de tal forma que facilite la comprensin de la situacin problemtica?

2Quin frecuentemente detecta las ideas bsicas de una situacin problemtica, genera soluciones correctas y elige las ms convenientes?

3Quin frecuentemente formula juicios crticos sobre las soluciones que se proponen para determinado problema?

Habilidad: Pensamiento crtico

1Quin analiza con frecuencia la informacin desde diversos puntos de vista?

2Quin identifica continuamente las ventajas y las desventajas de una decisin?

3Quin detecta con frecuencia las reas de mejora en un determinado procedimiento?

Habilidad: Creatividad

1Quin continuamente genera ideas originales o soluciones nuevas?

2Quin es original e imaginativo?

3Quin con frecuencia promueve un ambiente de innovacin?

4Quin respeta las ideas creativas de otras personas?

Habilidad: Trabajo en equipo

1Quin repetidamente muestra buenas habilidades de comunicacin que le permitan saber hacer peticiones, ofrecimientos y reclamos, as como escuchar, negociar y responsabilizarse de sus promesas?

2Quin respeta las aportaciones de los dems miembros de su grupo, aun cuando vayan en contra de las aportaciones propias?

3Quin antepone los objetivos del grupo a los objetivos personales?

4Quin con frecuencia reconoce las diferentes habilidades de cada uno de los miembros del grupo y las aprovecha para lograr el mejor resultado?

5Quin es responsable del producto final del trabajo del grupo?

Habilidad: Valores

1Quin acepta cuando se equivoca, reconoce y afronta sus errores, y se responsabiliza de las consecuencias?

2Quin reconoce los logros de sus compaeros?

3Quin es puntual en la entrega de las actividades?

4Quin cumple con las fechas lmite para terminar las tareas que se comprometi a llevar a cabo?

Para que puedas evaluar lo aprendido, te recomendamos que realices las siguientes formas de evaluacin; al trmino pide a tu facilitador y tus compaeros te ayuden a comparar tus resultados.

Autoevaluacin

Contesta las preguntas despus de leer lo siguiente:

Un intrpido explorador. Decide medir la circunferencia de la tierra dando la vuelta al mundo cargado con una cuerda. Como prev que por el camino se encontrara algunos obstculos. No sabe pero al cabo de mucho tiempo consigue dar la vuelta al mundo con su cuerda. Pero justo 6m antes del final descubre que se ha terminado la cuerda, quizs porque la extendi a 1 m del suelo y decide colocarla al nivel del suelo. Por lo que la incgnita ser, si conseguir finalmente su hazaa o existirn otros mtodos para resolverlo.

1) Cul crees que sea la diferencia entre la circunferencia y la tierra?

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2) Qu figuras geomtricas se forman en nuestro universo?

__________________________________________________________________________

3) Qu diferencias crees que haya entre el dimetro de una circunferencia de una pelota y de la tierra?

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4) Escribe 5 ejemplos donde crees que se encuentre la circunferencia en nuestro universo

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Coevaluacin

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resulvelos aplicando las ecuaciones de la circunferencia.

1.- En el siguiente sistema coordenado se muestra un impulsor de banda y polea. Si el radio de la polea menor es 2.1 pulgadas y el radio de la polea mayor es de 4.2 pulgadas; determina la ecuacin de cada polea.

2.- Determina la longitud de la tangente trazada del punto A (6, 4) a la circunferencia:

Secuencia 6: La parbola

En esta secuencia abordars temas de inters para resolver problemas, empleando como herramienta las ecuaciones de la parbola; las cuales te permitirn contar con informacin relevante para la toma de decisiones en la solucin del problema. Adems podrs emplear graficas, mapas, diagramas o textos que te ayuden en la representacin matemtica.

Ten presente que el propsito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas de la parbola mediante el empleo de sus elementos, ecuaciones, condiciones geomtricas y analticas a travs de aplicaciones reales de la vida real

A continuacin se te presenta un texto informativos que tiene que ver con el mal uso de la tecnologa Te invitamos a que la leas prestndole la atencin debida y tomando nota de todo aquello que consideres importante o te sea interesante.

El Mal uso de las Nuevas Tecnologas Repercute en el Rendimiento Escolar.

Mara Jess HernndezEl mal uso entre jvenes y adolescentes de Internet, los videojuegos o el mvil, est incrementando los problemas en cuanto a rendimiento escolar y agresividad, dando paso a la aparicin de lo que los expertos denominan nuevas adicciones vinculadas a los avances tecnolgicos.Elisardo Becoa Iglesias, profesor del Departamento de Psicologa Clnica y Psicobiologa de la Universidad de Santiago de Compostela, expuso la pasada semana en el XIII Congreso nacional de la Sociedad Espaola de Toxicomanas, celebrado en la capital grancanaria, un estudio sobre las nuevas adicciones y las posibilidades de prevencin, donde se recoge que la deteccin de problemas a nivel de manejo de nios y adolescentes en casa cuando utilizan muchas horas en Internet o con los videojuegos. "En los estudios que hemos presentado hay una relacin de los factores del riesgo de las drogas legales e ilegales con el tema de la adiccin a las nuevas tecnologas, es decir que el patrn de comportamiento es muy semejante" y destac que "si una persona es impulsiva, hay mayor riesgo de fumar, beber alcohol, consumir cocana y tambin estamos encontrando que hay mayor riesgo de utilizar Internet ms tiempo o el mvil porque, al final, hablamos de adicciones, un trmino que abarca a todas".Segn el especialista, se considera una adiccin cuando el individuo organiza su vida en funcin de Internet y vive por y para ello. "Podemos hablar de algunos criterios, que son cuando utiliza Internet por lo menos cinco horas ms all de lo que es necesario, cuando duerme menos de cinco horas por culpa de Internet, cuando no tiene que utilizarlo por cuestiones de trabajo ni por ningn otro motivo. Ah es donde veramos que hay un problema real".Los primeros datos sobre estas adicciones que comienzan a emerger hablan de una prevalencia que oscila entre el 1 y el 10%. "No obsta