Geo Planar 2

5/24/2018 Geo Planar 2

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I) Semelhana de tringulos.

Definio. Dois tringulos so semelhantes setm os ngulos dois a dois congruentese os lados correspondentes dois a doisproporcionais.

Definio mais "popular". Dois tringulos so semelhantes seum deles a reduo ou a ampliaodo outro.

A

BC

D

EF

ABC DEF~

A DB EC F

eAB AC BCDE DF EF

k= =

K - razo da semelhanaou

constante de proporcionalidade.

Importante - Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquerdois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferncias inscritas, raiosdas circunferncias circunscritas, permetros, etc.

II) Casos de semelhana. (Como reconhecer a semelhana de tringulos)

1) Caso AA (importantssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.

Dois tringulos so semelhantesse dois ngulos (AA) de um delesso congruentes a dois ngulos dooutro.

Dois tringulos so semelhantesse tm um ngulo congruente e osdois lados de um tringulo adjacen-tes ao ngulo so proporcionaisaos dois lados adjacentes ao ngu-lo do outro tringulo.

Dois tringulos so semelhantesse tm os trs lados dois a dois or-denadamente proporcionais.

a b

c

d e

f

a b cd e f

k= = =

a

c

d

f

a cd f

k= =

III) Como aplicar a semelhana de tringulos.

a) Reconhecer a semelhana atravs dos "casos de semelhana".

b) Desenhar os dois tringulos separados.c) Chamar de , e os trs ngulos de cada tringulo.d) Escolher um tringulo para ser o numerador da proporo.e) Montar uma proporo entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo tringulo nonumerador da proporo.

A

B C

D

12

4

x

=

semelhante

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)

Geometria planaAula 08

Semelhana de tringulos.

Exerccio 01 - Utilizando a tcnica de aplicao da semelhana de tringulos acima descrita, determine ovalor de x na figura abaixo.

Jeca 84


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I) Semelhana de tringulos.

Definio. Dois tringulos so semelhantes setm os ngulos dois a dois congruentese os lados correspondentes dois a doisproporcionais.

Definio mais "popular". Dois tringulos so semelhantes seum deles a reduo ou a ampliaodo outro.

A

BC

D

EF

ABC DEF~

A DB EC F

eAB AC BCDE DF EF

k= =

K - razo da semelhanaou

constante de proporcionalidade.

Importante - Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquerdois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferncias inscritas, raiosdas circunferncias circunscritas, permetros, etc.

II) Casos de semelhana. (Como reconhecer a semelhana de tringulos)

1) Caso AA (importantssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.

Dois tringulos so semelhantesse dois ngulos (AA) de um delesso congruentes a dois ngulos dooutro.

Dois tringulos so semelhantesse tm um ngulo congruente e osdois lados de um tringulo adjacen-tes ao ngulo so proporcionaisaos dois lados adjacentes ao ngu-lo do outro tringulo.

Dois tringulos so semelhantesse tm os trs lados dois a dois or-denadamente proporcionais.

a b

c

d e

f

a b cd e f

k= = =

a

c

d

f

a cd f

k= =

III) Como aplicar a semelhana de tringulos.

a) Reconhecer a semelhana atravs dos "casos de semelhana".

b) Desenhar os dois tringulos separados.c) Chamar de , e os trs ngulos de cada tringulo.d) Escolher um tringulo para ser o numerador da proporo.e) Montar uma proporo entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo tringulo nonumerador da proporo.

Exerccio 01 - Utilizando a tcnica de aplicao da semelhana de tringulos acima descrita, determine ovalor de x na figura abaixo.

A

B C

D

12

4

x

=

semelhante





Jeca 84

A

B Cx

16

4

x

Semelhana de tringulos

x4

16x=

2x = 64

Portanto x = 8 (resp)


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A

B C

D E

A

B

C

D

E

03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cme BE mede 10 cm e paralelo a CD. Determine amedida dos segmentos AE e CD.

AB C

D

E

04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendoque BE paralelo a CD e que o permetro do tringu-lo ACD mede 45 cm.

A B

CD

E

05) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BDinterceptam-se no ponto E. Determine a distnciaentre o ponto E e a base CD.

d

A B

CD

A

B C

D

E

07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BDmede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.

02) Na figura abaixo o segmento DE paralelo base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE.

06) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-seco dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa base AB do tringulo ABE.

Jeca 85


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A

B C

D E

02) Na figura abaixo o segmento DE paralelo base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE. A

B

C

D

E

03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cme BE mede 10 cm e paralelo a CD. Determine amedida dos segmentos AE e CD.

AB C

D

E

04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendoque BE paralelo a CD e que o permetro do tringu-lo ACD mede 45 cm.

A B

CD

E

05) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BDinterceptam-se no ponto E. Determine a distnciaentre o ponto E e a base CD.

d

A B

CD

06) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-seco dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa base AB do tringulo ABE.

A

B C

D

E

07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BDmede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.

Jeca 85

8

12

x y9

13

Semelhana de tringulosx9

y

138

12==

x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)

7

56

x

10

y

Semelhana de tringulos.7

12=

xx + 6

10y=

12x = 7x + 42

5x = 42

x = 42/5 cm

7y = 120

y = 120/7 cm

Respostas

5

37

Per = 45 cmACD





7AD

3CD

5AC

=PerABEPerACD

7 + 5 + 345

1545

13

= = = = =

5AC

= 13

AC = 15 cm

3CD

=13

CD = 9 cmRespostas

8 cm

18

12

12 - d

ABE ~ CDE

818

=12 - d

d

8d = 216 - 18d

26d = 216

d = 108/13 cm Resposta

8

18

12

d

8 =18 dd + 12 18d = 8d + 96d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta

8

4

x14 - x

x14 - x =

48

8x = 56 - 4x

12x = 56

x = 56/12 = 14/3 cm Resposta


5/145

P

A

B

C

xy

z5040

45

13) (ESPM) Um mastro vertical mantido nessa posi-o por 3 cabos esticados que partem da extremidadeP e so fixados no cho nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distnciasrespectivas desses pontos ao p do mastro, determineo valor de z em funo de x e y.

A

B C

DE

F

08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE um losangoinscrito no tringulo ABC. Determine a medida do ladodesse losango.

A

B C

D E

h

10) Na figura abaixo, o tringulo ADE tem base DE = xe altura h. Sabendo-se que o tringulo ABC tem baseBC = ye as bases BC e DE so paralelas, determine amedida da altura H do trapzio BCED em funo de x,y e h.

Hx

y

A

B CD E

FG

h=6

cm

11) Os quadrados representados na figura abaixo tmlados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.

9 cm 6 cm x

12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm eDE = 5 cm. Determine a medida de BC.

A

B C D

E

Jeca 86

09) Na figura abaixo, ABC um tringulo de altura 6cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.

(GeoJeca)


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P

A

B

C

xy

z5040

45

13) (ESPM) Um mastro vertical mantido nessa posi-o por 3 cabos esticados que partem da extremidadeP e so fixados no cho nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distnciasrespectivas desses pontos ao p do mastro, determineo valor de z em funo de x e y.

A

B C

DE

F

08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE um losangoinscrito no tringulo ABC. Determine a medida do ladodesse losango.

A

B C

D E

h

10) Na figura abaixo, o tringulo ADE tem base DE = xe altura h. Sabendo-se que o tringulo ABC tem baseBC = ye as bases BC e DE so paralelas, determine amedida da altura H do trapzio BCED em funo de x,y e h.

Hx

y

A

B CD E

FG

h=6

cm

11) Os quadrados representados na figura abaixo tmlados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.

9 cm 6 cm x

12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm eDE = 5 cm. Determine a medida de BC.

A

B C D

E

Jeca 86

8

12

x

x

x

x 12 - x

ABC ~ CDF

12 - x12

=x8

12x = 96 - 8x20x = 96x = 96/20 = 4,8 cm (resp)


baseBase

alturaAltura

=

xy

hh + H

=

xh + xH = yhxH = yh - xh

H = (yh - xh) / x (resp)

ou H = h(y - x) / x (resp)

8

x 20 - x

5


x5

820 - x= >

2x - 20x + 40 = 0

Resolvendo, tem-se

x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)

45

50

40

D

PDC isscelesDC = PD = z

ADP ~ BDP

z

xz

zy=

z = x . y (resp)

09) Na figura abaixo, ABC um tringulo de altura 6cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.

(GeoJeca)

x

x

12 cm

6 - x


x12

6 - x6=

6x = 72 - 12x

18x = 72

x = 4 cm Resposta

3

6

x6 - x


x6

= 6 - x3

3x = 36 - 6x

9x = 36

x = 4 cm

Per = 4.x = 16 cm Resposta


7/145

IV) Potncia de um ponto em relao a uma circunferncia.

Dada uma circunferncia e um ponto P, P no pertencente a ,se A e B so os pontos de interseco entre e a reta secante a por P, define-se potncia de P em relao a o produto PA x PB.

Propriedade. Dados e P, a potncia de P em relao a constante,

qualquer que seja a reta AB secante a por P.

A

BP

Potncia = PA x PB

1 caso: O ponto P interior a . 2 caso: O ponto P exterior a .

A

BP

C

D

E

F

G

H

PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte

OP

O

T

AB

C

D

T ponto de tangncia

PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2

A

B

C

D

P

O

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, PB = 8e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.

AB

C

P

O

15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem circunferncia . Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.

A B

C

D

P

O

16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, AB = 8e CD = 5, determine a medida do segmento PD.

A

B

P O

17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem circunferncia de centro O. Determine a medida doraio da circunferncia sabendo que PA = 6, PB = 10 e

PO = 4.

Jeca 87


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IV) Potncia de um ponto em relao a uma circunferncia.

Dada uma circunferncia e um ponto P, P no pertencente a ,se A e B so os pontos de interseco entre e a reta secante a por P, define-se potncia de P em relao a o produto PA x PB.

Propriedade. Dados e P, a potncia de P em relao a constante,

qualquer que seja a reta AB secante a por P.

A

BP

Potncia = PA x PB

1 caso: O ponto P interior a . 2 caso: O ponto P exterior a .

A

BP

C

D

E

F

G

H

PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte

OP

O

T

AB

C

D

T ponto de tangncia

PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2

A

B

C

D

P

O

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, PB = 8e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.

AB

C

P

O

15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem circunferncia . Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.

A B

C

D

P

O

16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, AB = 8e CD = 5, determine a medida do segmento PD.

A

B

P O

17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem circunferncia de centro O. Determine a medida doraio da circunferncia sabendo que PA = 6, PB = 10 e

PO = 4.

Jeca 87

Potncia de ponto

PA . PC = PB . PD

6 . x = 8 . 12

x = 96/6 = 16 cm (resp)

6

8

12

x

C

D

6

10

4

R

PC = R - 4PD = R + 4

PotnciaPA x PB = PC x PD6 x 10 = (R - 4).(R + 4)

2 2R - 4 = 60

2R = 76

R = 2 19 uc (resp)

Potncia de ponto

2

PA . PB = PC

24.(4 + 12) = PC

2PC = 64

PC = 8 (Resp.)

6 8

5

xPotncia de ponto

PA x PB = PC x PD

6 . 14 = x.(x + 5)

2x + 5x - 84 = 0

Razes

x = -12 (no convm)

x = 7 cm Resposta


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A

B C

D

E

18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm.Determine a medida do segmento EC.

20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC

medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC a bissetriz do ngulo BCD. Determine a medida dosegmento CD.

A

B

C

D

21) No tringulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o

lado BC foi prolongado, como mostra a figura, at oponto P, formando-se o tringulo PAB, semelhante aotringulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.

A B

C

P

19) (UEL-PR) Aps um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiramescorar os muros utilizando duas barras metlicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros tmalturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura donvel do cho as duas barras se interceptam ?Despreze as espessuras das barras.

h3 m

9 m

Jeca 88


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A

B C

D

E

18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm.Determine a medida do segmento EC.

20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC

medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC a bissetriz do ngulo BCD. Determine a medida dosegmento CD.

A

B

C

D

21) No tringulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o

lado BC foi prolongado, como mostra a figura, at oponto P, formando-se o tringulo PAB, semelhante aotringulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.

A B

C

P

19) (UEL-PR) Aps um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiramescorar os muros utilizando duas barras metlicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros tmalturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura donvel do cho as duas barras se interceptam ?Despreze as espessuras das barras.

h3 m

9 m

Jeca 88

A

B C

E

D

C5

12

3

y

x

2 2 2Pitgoras y = 5 + 12

y = 13 cmSemelhana de tringulos

x = 39/5 cm (resp)

x13

=35

P

A B

P

A

Cx + 7

x

y y

6

8


x + 7y

yx

86

= =

y

8x

6= =4x3

8y = 6(x + 7)

8.(4x/3) = 6x + 42

32x = 18x + 126

x = 126/14 = 9 uc (resp)

A

B C

DE

x y

ABE ~ CDE BFE ~ BCD

39 = yx

F

xx + y

h3

== x + y12

x + y h3x=x + y = 12x9

=12x9h

3x

h = 9/4 = 2,25 m (resp)

8

10

7 x


x10

= 107

x = 100/7 cm (resp)


11/145

A B

P

Q

O

22) (Ibmec) Na figura, AB o dimetro da circunfern-cia de raio 10 cm e a reta PA tangente a essacircunferncia. Determine a medida do segmento BQ,sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.

A t

B

C

D E

24) (ITA-SP) Na figura, a reta t tangente

circunferncia no ponto A e paralela ao segmentoDE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida dosegmento BD ser:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-

rncia. Os segmentos EA e ED interceptam essacircunferncia nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferncia intercepta osegmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,GD = 3 e AG = 6, ento GF vale:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

23) (FUVEST-SP) Na figura, o tringulo ABC retngulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Alm disso, oponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence aocatero BC e o ponto F pertence hipotenusa AC, de talforma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,ento a rea do paralelogramo DECF vale

a)

b)

c)

d)

e)

632512558255625115

A

B C

D

E

F

Jeca 89


12/145

A B

P

Q

O

22) (Ibmec) Na figura, AB o dimetro da circunfern-cia de raio 10 cm e a reta PA tangente a essacircunferncia. Determine a medida do segmento BQ,sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.

A t

B

C

D E

24) (ITA-SP) Na figura, a reta t tangente

circunferncia no ponto A e paralela ao segmentoDE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida dosegmento BD ser:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-

rncia. Os segmentos EA e ED interceptam essacircunferncia nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferncia intercepta osegmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,GD = 3 e AG = 6, ento GF vale:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

23) (FUVEST-SP) Na figura, o tringulo ABC retngulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Alm disso, oponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence aocatero BC e o ponto F pertence hipotenusa AC, de talforma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,ento a rea do paralelogramo DECF vale

a)

b)

c)

d)

e)

632512558255625115

A

B C

D

E

F

Jeca 89

A B

P

Q

A B

x

x + 3

2 10

2 10


x + 3

2 10=

x2 10

2x + 3x - 40 = 0

x = -8 ou x = 5

x = 5 cm (resp)

6 5

7

P

Os ngulosPAB , ADE e BCA socongruentes e iguais a .

PAB e ADE so colaterais internosPAB = ngulo de segmentoBCA = ngulo inscrito


60 = 6x + 366x = 24x = 4 (resp)

612

=5

x + 6

x

A

D

B

C

E

F

G

5

74

3

6

x

y

Potncia de pontoEB.EA = EC.ED5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)y = 8

Potncia de pontoAG.GF = DG.GC6 . x = 3 . 8x = 4 Resposta d

4

3

5

3/2h

b3 - b


h

4

3 - b 3/2

5

=

3

=

h = 12/10

b = 21/10

S = b . h 1210

21= .10

=252100

S 6325= Resposta a


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01) Na figura abaixo, o segmento DE paralelo ao segmento BC. Provar que os tringulos ABC e ADE sosemelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.

A

B C

D E

12 cm

8 cm

x y9

cm

11cm

A

B

C D

E

02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes ecalcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.

A B

CD

E

8 cm

14 cm

d6cm

03) Na figura abaixo, o ponto E o ponto de interseco das diagonais do trapzio ABCD. Sendo AB = 8 cm,CD = 14 cm e tendo o trapzio 6 cm de altura, provar que os tringulos ABE e CDE so semelhantes edeterminar a distncia d entre o ponto E e a base maior CD.

3 cm

5 cm

x

4c

m

04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.



Geometria planaSemelhana de tringulos e

Potncia de ponto.Exerccios complementares da aula 08.

Jeca 90


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01) Na figura abaixo, o segmento DE paralelo ao segmento BC. Provar que os tringulos ABC e ADE sosemelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.

A

B C

D E

12 cm

8 cm

x y9

cm

11cm

A

B

C D

E

02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes ecalcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.

A B

CD

E

8 cm

14 cm

d6cm

03) Na figura abaixo, o ponto E o ponto de interseco das diagonais do trapzio ABCD. Sendo AB = 8 cm,CD = 14 cm e tendo o trapzio 6 cm de altura, provar que os tringulos ABE e CDE so semelhantes edeterminar a distncia d entre o ponto E e a base maior CD.

3 cm

5 cm

x

4c

m




Geometria planaSemelhana de tringulos e

Potncia de ponto.Exerccios complementares da aula 08.

Jeca 90


x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)

x9

y11

812

= =

D AEB ~ D CDE

6 - d bB

hH

=

=814

6 - dd

d = 42/11 cm (Resp.)

8

5

10

x

y

z

Pitgoras

2 2 2x = 8 + 10

2x = 64 + 100 = 164

x = 2 41 cm

Os tringulos ABC e DEC so semelhantes pelocaso AA.

85

= 10yxz=

8.y = 50

y = 50/8 = 25/4 cm

8.z = 5.x = 5 . 2 41

z = 5 41 /4 cm


35

=x

x + 4

5x = 3x + 122x = 12x = 6 cm Resposta


15/145

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os tringulos ABC, ABEe BCE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.

A B

CD

E3

cm

4 cm

A

B C

D

06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os tringulos ABC e BCD so semelhantes edeterminar a medida do segmento BC.

A B

CD

E

P

07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem circunferncia de centro C. Provar que os tringulosABP e DEP so semelhantes e que vale a relao AP x PE = DP x PB.

a

a

08) Na figura abaixo, ABC um tringulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os tringulos ABC e AGFso semelhantes e determinar a rea do quadrado DEFG inscrito no tringulo ABC.

A

B CD E

FG

h=8cm

A

Ex

09) Na figura abaixo, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar uma expresso quefornea t como funo de x , y e z.

B C Dy z

t

Jeca 91


16/145

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os tringulos ABC, ABEe BCE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.

A B

CD

E3

cm

4 cm

A

B C

D

06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os tringulos ABC e BCD so semelhantes edeterminar a medida do segmento BC.

A B

CD

E

P

07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem circunferncia de centro C. Provar que os tringulosABP e DEP so semelhantes e que vale a relao AP x PE = DP x PB.

a

a

08) Na figura abaixo, ABC um tringulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os tringulos ABC e AGFso semelhantes e determinar a rea do quadrado DEFG inscrito no tringulo ABC.

A

B CD E

FG

h=8cm

A

Ex

09) Na figura abaixo, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar uma expresso quefornea t como funo de x , y e z.

B C Dy z

t

Jeca 91

4 cm

2 2 2Pitgoras (AC) = 3 + 4 = 25 AC = 5 cm

Semelhana de tringulos.ADC ~ ABE

ADBE

=ACAB

DCAE

=

= =3

BE54

4AE

BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cmAE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)

A

B C

D

B C14

x

4

x

aa

bc

c

b 4

x

x

14=

2x = 4 . 14

x = 2 14 cm (Resp.)

C um vrtice comum aosdois tringulos.Os tringulos so semelhantespelo caso AA.

Os tringulos ABP e DEP so semelhantes pelo caso AA.

APDP

=PBPE

Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)

x

x

8 - x

Os tringulos AGF e ABC so semelhantes pelo caso AA.

x16

=8 - x

8

16 cm

128 - 16x = 8x

24x = 128x = 128/24 = 16/3 cm

2 2 2S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta

90-

90-

Os tringulos CDE e ABC so semelhantes pelo caso AA.

ty =

zx

t =y . z

xResposta


17/145

A

B C

D

E

10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ngulos ACB e ADE socongruentes, provar que os tringulos ABC e ADE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentosAE e CE.

A

B CD

E

11) Na figura abaixo, ABC um tringulo retngulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.Sendo AE igual a 1 cm, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar a medida dosegmento DE.

12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm so duas alturas de um tringulo ABC de lado AB = 6 cm,determinar a medida do lado AC desse tringulo.

13) O tringulo ABC da figura abaixo eqiltero de lado 10 cm e M o ponto mdio do lado AB. Sendo CD = 6cm, determinar a medida do segmento CN.

A

B C D

N

M

14) Considere a circunferncia circunscrita a um tringulo ABC. Seja AE umdimetro desta circunferncia e AD altura do tringulo. Sendo AB = 6 cm,

AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.h

A

B CD

E

O

Jeca 92


18/145

A

B C

D

E

10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ngulos ACB e ADE socongruentes, provar que os tringulos ABC e ADE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentosAE e CE.

A

B CD

E

11) Na figura abaixo, ABC um tringulo retngulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.Sendo AE igual a 1 cm, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar a medida dosegmento DE.

12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm so duas alturas de um tringulo ABC de lado AB = 6 cm,determinar a medida do lado AC desse tringulo.

13) O tringulo ABC da figura abaixo eqiltero de lado 10 cm e M o ponto mdio do lado AB. Sendo CD = 6cm, determinar a medida do segmento CN.

A

B CD

N

M

14) Considere a circunferncia circunscrita a um tringulo ABC. Seja AE umdimetro desta circunferncia e AD altura do tringulo. Sendo AB = 6 cm,

AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.h

A

B CD

E

O

Jeca 92

A

B C

A

D

E

12

8

9

5

ABAE

= ACAD

BCDE

=

= =12

AE9

AD85

AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm

AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)

P

5

5

5 5 6

11

6012060

120

Seja P ponto mdio de BC.

Ento MP // ACMP = AC/2 = 10/2 = 5 cmDBMP equiltero..Ento os ngulos MPD e NCD so congruentes.

Semelhana de tringulos MPD ~ NCD

NC = 30/11 cm (resp)

5 NC5

611

=

34

3x

Os tringulos so semelhantes pelo caso AA.

Pitgoras

2 2 2y = 3 + 4 = 25

y = 5

y


x3

=35

x = 9/5 cm Resposta

A

B C

E

F 45

6c

m

C

F

4

B

E

5

A

6c

m


x

x6

45

=

x = 24/5 cm Resposta

10

30

6Semelhana de tringulos. ABD ~ ACE

630

=h10

h = 2 cm Resposta

Observao - Os ngulos ABC e AEC socongruentes pois so ngulos inscritos nomesmo arco AC.


19/145

15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados tm lados 5 cme 8 cm.

12 cm

8 cm

8 cm

5 cm

x

x

xt y

16) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados t e y. Determinar a medida de x em funo de t ede y.

17) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.

A B

CD M

P

h

18) Na figura abaixo, ABCD um retngulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto mdio do lado CD,

provar que os tringulos ABP e MCP so semelhantes e determinar a altura h do tringulo MCP.

A M N B

PQ

C

4cm

19) No tringulo acutngulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essabase tambm mede 4 cm. MNPQ um retngulo cujos vrtices M e N pertencemao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o permetro desseretngulo.

20) O trapzio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cme altura igual a 6 cm. Sendo P a interseco dos prolongamentos dos lados noparalelos do trapzio, determine a distncia entre o ponto P e a base maior de

ABCD.A B

CD

Jeca 93


20/145

15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados tm lados 5 cme 8 cm.

12 cm

8 cm

8 cm

5 cm

x

x

xt y

16) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados t e y. Determinar a medida de x em funo de t ede y.

17) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.

A B

CD M

P

h

18) Na figura abaixo, ABCD um retngulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto mdio do lado CD,

provar que os tringulos ABP e MCP so semelhantes e determinar a altura h do tringulo MCP.

A M N B

PQ

C

4cm

19) No tringulo acutngulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essabase tambm mede 4 cm. MNPQ um retngulo cujos vrtices M e N pertencemao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o permetro desseretngulo.

20) O trapzio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cme altura igual a 6 cm. Sendo P a interseco dos prolongamentos dos lados noparalelos do trapzio, determine a distncia entre o ponto P e a base maior de

ABCD.A B

CD

Jeca 93

5

8 - 5 = 3


x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)

5

35

5x

=

yy

t - y

yx =

t - yy


2y = x.(t - y)

2x = y /(t - y) Resposta

4

8 - x x

x8

=

8

8 - x4


4x = 64 - 8x

12x = 64

x = 64/12 = 16/3 cm

Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta

9

x x

9 - h

2xOs tringulos ABP e MCP so semelhantes pelo caso AA.

2xx =

9 - hh

2h = 9 - h

3h = 9

h = 3 cm Resposta

4 cm

x

y

4 - xSemelhana de tringulos.y4 =

4 - x4

x + y = 4

Per = 2p = x + y + x + y

Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta

8

14

6

hSemelhana de tringulos.

hh + 6 =

814

14h = 8h + 48

6h = 48

h = 8 cm

d = h + 6

d = 8 + 6

d = 14 cm Resposta


21/145

21) Considere as trs circunferncias da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida dacorda BC em funo de R, sabendo que a reta r tangente circunferncia de centro O .3

AB

C

O O O1 2 3

r

22) Na figura abaixo, determine o valor de x.

x12

cm

14cm

10cm

15 cm

23) Na figura, ABCD um retngulo tal que a base o dobro da altura. Determinea medida do permetro desse retngulo.

12cm

16 cm

A B

CD

a

a

24) No tringulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.

A

B C

D E

16 cm

5 cm

9cm 11cm


x

6cm

5cm

7cm

a

a

26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A

B C

D

E

x

x

Jeca 94


22/145

21) Considere as trs circunferncias da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida dacorda BC em funo de R, sabendo que a reta r tangente circunferncia de centro O .3

A

BC

O O O1 2 3

r


x12

cm

14cm

10cm

15 cm

23) Na figura, ABCD um retngulo tal que a base o dobro da altura. Determinea medida do permetro desse retngulo.

12cm

16 cm

A B

CD

a

a

24) No tringulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.

A

B C

D E

16 cm

5 cm

9cm 11cm


x

6cm

5cm

7cm

a

a

26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A

B C

D

E

x

x

Jeca 94

R R R R R

RR

x


x = 3R / 52 2 2

Pitgoras R = y + (3R/5)2 2 2 2

y = R - 9R /25= 16R /25

BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta

3R5R

=xRy

1224

x 14

15

Semelhana de tringulosx

12 =1524

x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24

x = 15/2 cm Resposta

h

2h

12 - hSemelhana de tringulos

2h16

=12 - h

12

24h = 192 - 16h

40 h = 192

h = 192/40

Permetro = 2p = 6h

2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta

x y

Semelhana de tringulosx

x + 9y

=y + 11

516

=

16x = 5x + 45

11x = 45

x = 45/11 cm

16y = 5y + 55

11y = 55

y = 55/11 = 5 cm cm

Respostas

56

6+x

12


6 + x5

=126

36 + 6x = 606x = 24

x = 24/6 = 4

x = 4 cm Resposta

7

15

916

xy


x9 =

y16

715

=

x = 9 . 7 / 15

x = 21 / 5 cm

y = 16 . 7 / 15

y = 112 / 15 cm

Respostas


23/145

27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na soluo doexerccio.

A

B

C

DP

O

A

B

C

D

M

O

28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo M ponto mdio dosegmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada nasoluo do exerccio.

A

B C

D

P

O

29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cme BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.

A

C

B

P

D

30) Os pontos A e B pertencem circunferncia de centro C e raio 6 cm. A reta PD tangente circunfernciano ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.

AB

C

D

E

F

31) Os pontos B, D, E e F pertencem circunferncia de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,determine t em funo de x, y e z.

Jeca 95


24/145

27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na soluo doexerccio.

A

B

C

DP

O

A

B

C

D

M

O

28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo M ponto mdio dosegmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada nasoluo do exerccio.

A

B C

D

P

O

29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cme BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.

A

C

B

P

D

30) Os pontos A e B pertencem circunferncia de centro C e raio 6 cm. A reta PD tangente circunfernciano ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.

AB

C

D

E

F

31) Os pontos B, D, E e F pertencem circunferncia de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,determine t em funo de x, y e z.

Jeca 95

Potncia de ponto.

PA x PC = PB x PD

4 . 6 = PB . 8

PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)

4

6

8

Potncia de ponto.

AM x MC = BM x MD

9 . 4 = x . x2x = 36

x = 6 cm

BD = 2.x = 12 cm Resposta

x

x

9

4

Potncia de ponto.

PA x PD = PB x PC

5 . (5 + 9) = x . (x + 10)2x + 10x - 70 = 0

Razesx = - 95 - 5 (no convm)

x = ( 95 - 5) cm Resposta

5

9

10 x

Potncia de ponto.

2(PD) = PA x PB

2x = 17 . 5

x = 85 cm Resposta

6

x

5

6

xy

z

t

Potncia de ponto.

AD x AB = AF x AE

x.(x + y) = z.(z + t)

2x.(x + y) = z + z.t

2x.(x + y) - z = z.t

2t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta


25/145

Respostas dos exerccios da Aula 08.

01) 8

02) 6 cm e (26 / 3) cm

03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm

04) 15 cm e 9 cm

05) (108 / 13) cm

06) (48 / 5) cm

07) (14 / 3) cm

08) 24 / 5

09) 4 cm

10 ) h(y - x) / x

11) 16 cm

12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm

13) x . y

14) 16

15) 8

16) 7

17) 2 19

18) (39 / 5) cm

19) (9 / 4) m

20) (100 / 7) cm

21) 9

22) 5 cm

23) a

24) c

25) d

Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

Jeca

Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor

Jeca 96


26/145

Respostas dos exerccios complementares da Aula 08.

01) 6 cm e (22 / 3) cm

02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm

03) (42 / 11) cm

04) 6 cm

05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm

06) 2 14 cm

07) demonstrao - Utilizando ngulos inscritosprova-se que os tringulos so semelhantes.

208) (256 / 9) cm

09) y . z / x

10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm

11) (9 / 5) cm

12) (24 / 5) cm

13) (30 / 11) cm

14) 2 cm

15) (25 / 3) cm

2

16) y / (t - y)17) (64 / 3) cm

18) 3 cm

19) 8 cm

20) 14 cm

21) 8R / 5

22) (15 / 2) cm

23) (144 / 5) cm

24) (45 / 11) cm e 5 cm

25) 4 cm

26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm

27) 3 cm - potncia de ponto.


29) ( 95 - 5) cm - potncia de ponto.


231) [x(x + y) - z ] / z


Jeca


Jeca 97


27/145

I) Relaes mtricas no tringulo retngulo.

Teorema. Em todo tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa divide o tringulo original em doistringulos menores, que so semelhantes entresi e semelhantes ao tringulo original.

A

B CH

bc

a

m n

h

2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c

II) Teorema de PItgoras.

Em todo tringulo retngulo, o quadrado dahipotenusa igual soma dos quadrados doscatetos.

A

B C

bc

a

2 2 2a = b + c

A

B CH

III) Exerccios.

01) Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HCe AH.

A

B CH

02) Na figura abaixo, sabendo-seque BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e

AH.A

B CH

03) Na figura abaixo, sabendo-seque AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, ABe BC.




Relaes mtricas no tringulo retngulo.Teorema de Pitgoras.

Jeca 98


28/145

I) Relaes mtricas no tringulo retngulo.

Teorema. Em todo tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa divide o tringulo original em doistringulos menores, que so semelhantes entresi e semelhantes ao tringulo original.

A

B CH

bc

a

m n

h

2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c

II) Teorema de PItgoras.

Em todo tringulo retngulo, o quadrado dahipotenusa igual soma dos quadrados doscatetos.

A

B C

bc

a

2 2 2a = b + c

A

B CH

III) Exerccios.

01) Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HCe AH.

A

B CH

02) Na figura abaixo, sabendo-seque BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e

AH.A

B CH

03) Na figura abaixo, sabendo-seque AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, ABe BC.




Relaes mtricas no tringulo retngulo.Teorema de Pitgoras.

Jeca 98

5 9

m n

h

a2 2 2

a = b + c2 2

= 9 + 5 = 81 + 25 = 106a = BC = 106 cm

2c = a . m

25 = 106 . BHBH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm

2b = a . n

29 = 106 . HCHC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm

a . h = b . c 106 . h = 9 . 5h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm

3 9 cm

BC = 3 + 9 = 12 cm

2(AC) = 12 . 9 = 108

AC = 108 = 6 3 cm

2(AB) = 12 . 3 = 36

AB = 6 cm

2(AH) = 3 . 9 = 27

AH = 3 3 cm

2b = a . n

2

c = a . m

2h = m . n

3

5 cm

Pitgoras

2 2 25 = 3 + (HC)

HC = 4 cm

23 = 4 . BH

BH = 9/4 cm

2(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16

AB = 225/16 = 15/4 cm

BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm

2h = m . n

2c = a . m


29/145

06) Num retngulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo quePB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q demodo que DQ = 7. Qual a distncia entre os pontosP e Q ?

a) 83

b) 4 5

c) 78

d) 2 19

e) 89

05) Qual o permetro, em cm, de um losango cujasdiagonais medem 12 cm e 6 cm ?

a) 4 39

b) 12 5

c) 16 3

d) 8 13

e) 8 14

07) No retngulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm eBC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P talque PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um pontoQ tal que DQ = 2 cm. Qual , em cm, a distncia entreos pontos P e Q ?

A B

CD

a) 274

b) 269

c) 2 14

d) 5 10

e) 246

08) Qual o raio de uma circunferncia, se uma retasecante que dista 5 cm do centro da mesma,determina nessa circunferncia uma corda decomprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm

a

b

c

d

09) Na figura abaixo, medida de a, em funo de b,c, e d, :

2 2 2a) a = b + c + d

2 2 2b) a = b + c - d

2 2 2c) a = b - c - d

2 2 2d) a = d - b - c

2 2 2e) a = d - b + c

x13cm

10 cm

04) Determine o valor de x no tringulo retngulo abai-xo.

Jeca 99

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)


30/145

06) Num retngulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo quePB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q demodo que DQ = 7. Qual a distncia entre os pontosP e Q ?

a) 83

b) 4 5

c) 78

d) 2 19

e) 89

05) Qual o permetro, em cm, de um losango cujasdiagonais medem 12 cm e 6 cm ?

a) 4 39

b) 12 5

c) 16 3

d) 8 13

e) 8 14

07) No retngulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm eBC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P talque PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um pontoQ tal que DQ = 2 cm. Qual , em cm, a distncia entreos pontos P e Q ?

A B

CD

a) 274

b) 269

c) 2 14

d) 5 10

e) 246

08) Qual o raio de uma circunferncia, se uma retasecante que dista 5 cm do centro da mesma,determina nessa circunferncia uma corda decomprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm

a

b

c

d

09) Na figura abaixo, medida de a, em funo de b,c, e d, :

2 2 2a) a = b + c + d

2 2 2b) a = b + c - d

2 2 2c) a = b - c - d

2 2 2d) a = d - b - c

2 2 2e) a = d - b + c

x13cm

10 cm

04) Determine o valor de x no tringulo retngulo abai-xo.

Jeca 99

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Pitgoras2 2 2

13 = 10 + x

2x = 169 - 100 = 69

x = 69 cm (resp)

3

6 cm

x

Pitgoras

2 2 2x = 3 + 6

2x = 9 + 36 = 45

x = 45 = 3 5 cm

Permetro = 2p = 4 . x

2P = 12 5 cm Resposta b

A B

CD

3 12P

3 4 8

8 cm8 x

Q

Pitgoras2 2 2x = 8 + 42x = 64 + 16 = 80

x = 80 = 4 5 cm Resposta b

2

5

1

8

15 cm

x

Pitgoras2 2 2x = 5 + 152x = 25 + 225 = 250

x = 250 = 5 10 cm Resposta d

5

12cm

R

Pitgoras

2 2 2R = 5 + 12

2R = 25 + 144 = 169

R = 13 cm Resposta b

x

Pitgoras

2 2 2x = a + b

2 2 2 2 2 2d = x + c = a + b + c

2 2 2 2a = d - b - c

2 2 2a = d - b - c Resposta d


31/145

A B

CD

E

F

G

H

P1

11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGHtem lado a, e obtido atravs de uma rotao de 45do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,ento a mede:

a)

b)

c)

d)

e)

22 - 1

23 - 1

22 - 1

2

22

10) (FUVEST-SP) Um tringulo retngulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual adistncia AP ?

13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M o pontomdio da corda PQ da circunferncia e PQ = 8. Osegmento RM perpendicular a PQ e RMCalcule:a) o raio da circunferncia;b) a medida do ngulo POQ, onde O o centro dacircunferncia.

4 3=3

.

P

QR

M

O

A B

CD

d

d d

12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distncia d entre P e A sabendo que oponto P equidistante de A, de B e da reta CD.

P

8 cm

x

24 cmpresilha

parede

tubo

parafuso

15) (ESPM-MG) Um tubo de ao foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra afigura abaixo. A distncia x, da presilha at a parede,vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm

A

B

C D

E12cm

16 cm

14) A figura abaixo representa um retngulo e trs cir-cunferncias, sendo duas idnticas maiores e umamenor destacada. Determine o raio da circunfernciamenor, sabendo que A, B, C, D e E so pontos detangncia.

Jeca 100


32/145

A B

CD

E

F

G

H

P1

11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGHtem lado a, e obtido atravs de uma rotao de 45do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,ento a mede:

a)

b)

c)

d)

e)

22 - 1

23 - 1

22 - 1

2

22

10) (FUVEST-SP) Um tringulo retngulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual adistncia AP ?

13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M o pontomdio da corda PQ da circunferncia e PQ = 8. Osegmento RM perpendicular a PQ e RMCalcule:a) o raio da circunferncia;b) a medida do ngulo POQ, onde O o centro dacircunferncia.

4 3=3

.

P

QR

M

O

A B

CD

d

d d

12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distncia d entre P e A sabendo que oponto P equidistante de A, de B e da reta CD.

P

8 cm

x

24 cmpresilha

parede

tubo

parafuso

15) (ESPM-MG) Um tubo de ao foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra afigura abaixo. A distncia x, da presilha at a parede,vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm

A

B

C D

E12cm

16 cm

14) A figura abaixo representa um retngulo e trs cir-cunferncias, sendo duas idnticas maiores e umamenor destacada. Determine o raio da circunfernciamenor, sabendo que A, B, C, D e E so pontos detangncia.

Jeca 100

A

B

C

P

E

d

d

4

3

-d

3

2 2 2Pitgoras (BC) = 3 + 4BC = 5 cm


5d = 12 - 4d9d = 12d = 12/9 = 4/3

3 - d

5 =

d

4

RR - 8

12

Pitgoras

2 2 2R = (R - 8) + 12

Resolvendo, tem-se

R = 13 cm

x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c

1a

(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2

a 2 = 1 + a + 1

a 2 = a + 2

a 2 - a = 2

a = 22 - 1

Resposta e

16

8

16 - d

8

Pitgoras

2 2 2d = 8 + (16 - d)

2 2d = 64 + 256 - 32d + d

32d = 320

d = 10 cm Resposta

4

4

R

R -

Pitgoras

2 2 2R = 4 + (R - )

2 2

R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3R 3 = 8

R = 8 3 /3 cm Resposta

b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60

Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120 Resposta

4 33

4 33

4 33

a)

44 4 4

R

R+4 8 - R

Pitgoras

2 2 2(R + 4) = (8 - R) + 4

2 2R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16

24R = 64

R = 64/24 = 8/3 cm Resposta


33/145

16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos demadeira num caminho de largura 2,5 m, conforme afigura abaixo. Cada tronco um cilindro reto, cujo raioda base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros :

h

a)

b)

c)

d)

e)

1 + 7

7

2

31 +

1 + 73

1 + 74

74

1 +

2,5

C

A D E

B

O

17) Na figura abaixo, determine o raio da circunfernciasabendo que AC e AD tangenciam a circunferncianos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, eAE = 9 cm.

A

B C

O

18) Na figura, o tringulo issceles ABC est inscrito

na circunferncia de centro O. A base BC mede 6 cme AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferncia.

OP

T

A

19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferncia de

centro O, os pontos P, A e O esto alinhados e asdistncias PT e PA valem, respectivamente 15 cme 9 cm. Determine a medida do raio da circunferncia.

Jeca 101


34/145

16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos demadeira num caminho de largura 2,5 m, conforme afigura abaixo. Cada tronco um cilindro reto, cujo raioda base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros :

h

a)

b)

c)

d)

e)

1 + 7

7

2

31 +

1 + 73

1 + 74

74

1 +

2,5

C

A D E

B

O

17) Na figura abaixo, determine o raio da circunfernciasabendo que AC e AD tangenciam a circunferncianos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, eAE = 9 cm.

A

B C

O

18) Na figura, o tringulo issceles ABC est inscrito

na circunferncia de centro O. A base BC mede 6 cme AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferncia.

OP

T

A

19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferncia de

centro O, os pontos P, A e O esto alinhados e asdistncias PT e PA valem, respectivamente 15 cme 9 cm. Determine a medida do raio da circunferncia.

Jeca 101

1m

3/4 m

x

Pitgoras2 2 2

1 = x + (3/4)2x = 1 - 9/16 = 7/16

x = 7 / 4

h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp)

R

2

9

9 - R

R - 2

2Pitgoras

2 2 2R = (R - 2) + (9 - R)

2 2 2R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R

2R - 22R + 85 = 0

Razes

R = 17 cm (no convm porque maior que 9)

R = 5 cm Resposta

3

10

3 3

Pitgoras

2 2 2(3 10 ) = h + 3

290 = h + 9

2h = 81

h = 9 cm

Pitgoras

h

R

9 - R

2 2 2

R = 3 + (9 - R)2 2

R = 9 + 81 - 18R + R

18R = 90

R = 5 cm Resposta

15 cm

9

R

R

Pitgoras

2 2 2(R + 9) = R + 15

2 2R + 18R + 81 = R + 225

18R = 144

R = 8 cm Resposta


35/145

A

B CH

D

E

20) O tringulo ABC abaixo retngulo em A, temcatetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE temcentro no vrtice A e tangencia a hipotenusa BC noponto H. Determine a rea da regio sombreada nafigura. A

B CD

21) O tringulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BCque medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.Determine a medida da altura AD do tringulo ABC.

A B

CD

E

22) A figura abaixo representa um quadrado de lado

16 cm, um arco de circunferncia com centro em A eraio AB e uma circunferncia de centro em E, quetangencia o arco e os lados do quadrado. Determine amedida do raio da circunferncia.

OA

B

C D

E

23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem

circunferncia de centro O. Os pontos A, O, C e Desto alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferncia, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e

AE = 15 cm.

Jeca 102


36/145

A

B CH

D

E

20) O tringulo ABC abaixo retngulo em A, temcatetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE temcentro no vrtice A e tangencia a hipotenusa BC noponto H. Determine a rea da regio sombreada nafigura. A

B CD

21) O tringulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BCque medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.Determine a medida da altura AD do tringulo ABC.

A B

CD

E

22) A figura abaixo representa um quadrado de lado

16 cm, um arco de circunferncia com centro em A eraio AB e uma circunferncia de centro em E, quetangencia o arco e os lados do quadrado. Determine amedida do raio da circunferncia.

OA

B

C D

E

23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem

circunferncia de centro O. Os pontos A, O, C e Desto alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferncia, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e

AE = 15 cm.

Jeca 102

12 16h

a

2 2 2Pitgoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400

a = 20 cm

20 . h = 16 . 12

h = 192 / 20 = 48 / 5 cm

mas h = raio do setor circular

2S = S - S = 12 . 16 / 2 - . (48/5) / 4Tring Setor

2S = (96 - 576/25) cm (resp)

a . h = b . c

r x

r

16

AC = diagonalAC = 16 2

EC = diagonalEC = r 2

AC = 16 + r + r 2

16 2 = 16 + r + r 2

2r = 16( 2 - 1)

r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)

5 7

10

h

x 10 - x

Pitgoras

2 2 2 2 25 = h + x h + x = 25

2 2 27 = h + (10 - x)

2 249 = h + 100 - 20x + x

2 249 = (h + x ) - 20x + 100

49 = 25 - 20x + 100

20x = 125 - 49 = 76

x = 76/20 = 19/5

2 2h + (19/5) = 25

2h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25

h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta

98c

m

7

R R

xPitgoras

2 2 215 = 9 + x

2x = 225 - 81 = 144

x = 12 cm


2R15

=8

12

2R = 120/12 = 10

R = 5 cm Resposta


37/145

01) No tringulo retngulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.

h

m n

6cm

8cm

a

A

B C

02) No tringulo retngulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.

x

y zt

3 cm9 cm

03) Na figura, ABC um tringulo retngulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.

A

B

C

xy

zt

04) Determine o valor de x nos tringulos retngulos abaixo.a)

x

7cm

9 cm

13cm

12 cm

xx12

cm

9 cm

b) c)



Geometria planaRelaes mtricas num tringulo retngulo.

Teorema de Pitgoras.Exerccios complementares da aula 09.

Jeca 103


38/145

01) No tringulo retngulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.

h

m n

6cm

8cm

a

A

B C

02) No tringulo retngulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.

x

y zt

3 cm9 cm

03) Na figura, ABC um tringulo retngulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.

A

B

C

xy

zt

04) Determine o valor de x nos tringulos retngulos abaixo.a)

x

7cm

9 cm

13cm

12 cm

xx12

cm

9 cm

b) c)



Geometria planaRelaes mtricas num tringulo retngulo.

Teorema de Pitgoras.Exerccios complementares da aula 09.

Jeca 103

2 2 2a = b + c

2 2= 8 + 6 = 100

a = 10 cm (resp)

2b = a . n

2c = a . m

a . h = b . c

28 = 10 . nn = 64/10 = 32/5 cm (resp)

26 = 10 . mm = 36/10 = 18/5 cm (resp)

10 . h = 8 . 6h = 48/10 = 24/5 cm (resp)

x = 9 + 3 = 12 cm

2y = 9 . 3 = 27

y = 3 3 cm

2h = m . n

Pitgoras

2 2 2t = y + 9 = 27 + 81 = 108

t = 108 = 6 3 cm

2z = 12 . 3 = 36

z = 6 cm

2 2 2a = b + c

2b = a . n

9

12

Pitgoras

2 2 2x = 9 + 12 = 225

x = 15 cm

2

9 = 15 . yy = 81 / 15 = 27/5 cm

2 2 2a = b + c

2b = a . n

2c = a . m

a . h = b . c

212 = 15 . z

z = 144 / 15 = 48 / 5 cm

15 . t = 9 . 12

t = 108 / 15 = 36 / 5 cm

Pitgoras

2 2 2

x = 7 + 92

x = 49 + 81 = 130

x = 130 cm Resposta

Pitgoras

2 2 213 = x + 12

2x = 169 - 144 = 25

x = 5 cm Resposta

Pitgoras

2 2 212 = x + 9

2x = 144 - 81 = 63

x = 3 7 cm Resposta


39/145

05) No tringulo retngulo abaixo, determinar x em funo de y e z.

xy

z

06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.

da a

a

a

07) Determinar a altura de um tringulo eqiltero de lado a.

a

a ah

08) Determine x, y e z na figura abaixo.

1cm

1cm1cm

1cmx

y

z

09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.

x

y 10

146

10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retngulo ABCD, um losango AICJ com vrtice I sobreo lado AB do retngulo e vrtice J sobre o lado CD. Se as dimenses dos lados do retngulo so AB = 25 cm eBC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.

Jeca 104


40/145

05) No tringulo retngulo abaixo, determinar x em funo de y e z.

xy

z

06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.

da a

a

a

07) Determinar a altura de um tringulo eqiltero de lado a.

a

a ah

08) Determine x, y e z na figura abaixo.

1cm

1cm1cm

1cmx

y

z

09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.

x

y 10

146

10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retngulo ABCD, um losango AICJ com vrtice I sobreo lado AB do retngulo e vrtice J sobre o lado CD. Se as dimenses dos lados do retngulo so AB = 25 cm eBC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.

Jeca 104

2 2 2y = x + z

2 2 2x = y - z

2 2x = y - z (resp)

A B

CD

I

J

x

x

x

x25 - x

1515

Pitgoras

2 2 2x = 15 + (25 - x)

Resolvendo, tem-se

x = 17 cm (Resposta)

Pitgoras

2 2 2 2d = a + a = 2a

2d = 2a

d = a 2 Resposta

a/2

Pitgoras

2 2 2a = h + (a/2)

2 2 2h = a - (a/2)

2 2h = 3.a /4

h = a 3 /2 Resposta

Pitgoras

2 2 2x = 1 + 1 = 2

x = 2

2 2 2y = x + 1 = 2 + 1 = 3

y = 3

2 2 2z = y + 1 = 3 + 1 = 4

z = 4 = 2 Respostas

Pitgoras

2 2 26 = x + y

2 2x + y = 36

2 2 214 = x + (y + 10)

2 2196 = x + y + 20y + 100

196 = + 20y + 100

20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 32

x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta

36


41/145

11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o tringulo ABC eqiltero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se

AD uma altura do tringulo ABC e M o ponto mdiode AD, calcule a medida de CM em centmetros.

A

B CD

M

13) (Fuvest) No quadriltero ABCD da figura abaixo, E um ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE me-de 60 e os ngulos EBC e BCD so retos. Sabe-setambm que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine amedida de AD.

A

B C

D

E

60

3

3

1

14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D so os pontosmdios dos lados de um quadrado de permetro 4.Determine o raio da circunferncia inscrita noquadrado ABCD.

A

B

C

D

16) A figura abaixo representa um quadrado de lado ke duas circunferncias interiores tangentes entre si etangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferncia menor em funo de k.

15) No trapzio retngulo ABCD da figura abaixo,determine a medida da diagonal AC sabendo-se queAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.

A B

CD

A

BC D

12) Na figura abaixo, o ponto A o ponto de tangnciada reta AB com a circunferncia de centro C. Sendo

AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,determine a medida do raio da circunferncia.

Jeca 105


42/145

11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o tringulo ABC eqiltero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se

AD uma altura do tringulo ABC e M o ponto mdiode AD, calcule a medida de CM em centmetros.

A

B CD

M

13) (Fuvest) No quadriltero ABCD da figura abaixo, E um ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE me-de 60 e os ngulos EBC e BCD so retos. Sabe-setambm que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine amedida de AD.

A

B C

D

E

60

3

3

1

14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D so os pontosmdios dos lados de um quadrado de permetro 4.Determine o raio da circunferncia inscrita noquadrado ABCD.

A

B

C

D

16) A figura abaixo representa um quadrado de lado ke duas circunferncias interiores tangentes entre si etangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferncia menor em funo de k.

15) No trapzio retngulo ABCD da figura abaixo,determine a medida da diagonal AC sabendo-se queAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.

A B

CD

A

BC D

12) Na figura abaixo, o ponto A o ponto de tangnciada reta AB com a circunferncia de centro C. Sendo

AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,determine a medida do raio da circunferncia.

Jeca 105

8 8

4 4

2 2 2(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48

AD = 48 = 4 3 cm

DM = AD/2 = 2 3 cm2 2 2

(CM) = (DM) + (CD)2 2 2

(CM) = (2 3 ) + 42

(CM) = 12 + 16 = 28

CM = 28 = 2 7 cm (resp)

tg = 3 /1 = 3

= 60

Pitgoras

2 2 2y = ( 3 ) + 1 = 4

y = 2

O tringulo ADB retngulo

2 2 2x = ( 3 ) + 2

Portanto x = 7 (Resposta)

= 30

x

y

10cm

6

R

RPitgoras

2 2 2(R + 6) = R + 10

2 2R + 12R + 36 = R + 100

12R = 64

R = 64/12 = 16/3 cm Resposta

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

2R

2R

Pitgoras

2 2 2(2R) = (1/2) + (1/2)

24R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

2R = 1/8R = 1/8

R = 1 / 2 2

R = 2 /4 Resposta

6 cm

5cm

6 4

h

Pitgoras

2 2 25 = 4 + h h = 3 cm

2 2 2(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45

AC = 45 = 3 5 cm Resposta

r

r2

r

r

k/2O

A

E

E

A

OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)

k/2

k 2

2 =

k

2+ r 2r + k( 2 - 1)

2r(1 + 2 )

=

r =k(3 - 2 2 )

2Resposta


43/145

17) As bases de um trapzio issceles circunscrito aum crculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura dessetrapzio.

8 cm

2 cm

h

18) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distnciaentre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,sendo P e Q pontos de tangncia.

A

A

B

B

P

P

Q

Q

19) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distnciaentre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos detangncia, calcule a distncia PQ.

20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.Calcule o raio da circunferncia da figura, sendo Tponto de tangncia.

O

T

22) Na figura abaixo, as quatro circunferncias sotangentes entre si. Sendo C o centro da circunfernciamaior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,determine o raio da circunferncia menor.

A BC

D


x

6

8

12

Jeca 106


44/145

17) As bases de um trapzio issceles circunscrito aum crculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura dessetrapzio.

8 cm

2 cm

h

18) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distnciaentre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,sendo P e Q pontos de tangncia.

A

A

B

B

P

P

Q

Q

19) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distnciaentre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos detangncia, calcule a distncia PQ.

20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.Calcule o raio da circunferncia da figura, sendo Tponto de tangncia.

O

T

22) Na figura abaixo, as quatro circunferncias sotangentes entre si. Sendo C o centro da circunfernciamaior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,determine o raio da circunferncia menor.

A BC

D


x

6

8

12

Jeca 106

4

1

3

2 2 25 = 3 + h

2h = 25 - 9 = 16

h = 4 cm (resp)

32

9cm

5

2

2d

d

Pitgoras

2 2 29 = 7 + d

2d = 81 - 49 = 32

d = 4 2 cm (Resposta)

y

Pitgoras

2 2 2 2 26 = x + y x + y = 36

2 2 212 = y + (x + 8)

2 2144 = y + x + 16x + 64

144 = 36 + 16x + 64

16x = 144 - 100

x = 44/16 = 11/4 Resposta

>

53 3

13cm

x

x

Pitgoras

2 2 213 = 5 + x

2x = 169 - 25 = 144

x = 12 cm Resposta

4 4

R 8 - R

R

Pitgoras

2 2 2R = 4 + (8 - R)

2 2R = 16 + 64 - 16R + R

16R = 80

R = 5 cm Resposta

2 2

2

R

R

4 - R

Pitgoras

2 2 2(2 + R) = 2 + (4 - R)

2 24 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R

12R = 16

R = 16/12 = 4/3 Resposta


45/145

10c

m

3 cm 3 cm

A

BD

C

23) Na figura abaixo, determine AB e AD.

20 cm

24) (Jeca) Na figura, esto representados doiscrculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si etangentes aos lados do retngulo ABCD. Determine amedida do lado AD do retngulo.

A B

CD

27) Uma circunferncia de raio 3 cm inscrita numtringulo issceles. Sabendo-se que a altura dotringulo 8 cm, determinar as medidas dos ladosdesse tringulo e o seu permetro.

25) Duas circunferncias de raios 6 cm e 8 cm sotangentes externamente. Determine a medida de umsegmento AB, sendo A e B os pontos de tangncia dareta AB com as circunferncias. 8cm

y

7cm

x

26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.

A B

86

x

A B

C

D

E

6 62

28) Na circunferncia de centro C, AD = DB = 6 cm eED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.

h

A

B C

Jeca 107


46/145

10c

m

3 cm 3 cm

A

BD

C

23) Na figura abaixo, determine AB e AD.

20 cm

24) (Jeca) Na figura, esto representados doiscrculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si etangentes aos lados do retngulo ABCD. Determine amedida do lado AD do retngulo.

A B

CD

27) Uma circunferncia de raio 3 cm inscrita numtringulo issceles. Sabendo-se que a altura dotringulo 8 cm, determinar as medidas dos ladosdesse tringulo e o seu permetro.

25) Duas circunferncias de raios 6 cm e 8 cm sotangentes externamente. Determine a medida de umsegmento AB, sendo A e B os pontos de tangncia dareta AB com as circunferncias. 8cm

y

7cm

x

26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.

A B

86

x

A B

C

D

E

6 62

28) Na circunferncia de centro C, AD = DB = 6 cm eED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.

h

A

B C

Jeca 107

2 2 210 = 6 + y

2y = 100 - 36 = 64y = 8 cm

2 2 2x = 3 + 8

2x = 9 + 64 = 73

x = 73 cm (resp)

xy

8

x

5

8+5=13

8 5y

8 + y + 5 = 20y = 20 - 13 = 7

Pitgoras2 2 2

13 = 7 + x2

x = 169 - 49 = 120x = 120 = 2 30

AD = 8 + x + 5

AD = (13 + 2 30 ) cm (resp)

142x

Pitgoras

2 2 214 = 2 + x

2x = 196 - 2 = 192

x = 8 3 cm

Resposta

Pitgoras

2 2 2(x + y) = 7 + 8 = 113

x + y = 113 cm

Relaes mtricas no tringulo retngulo.

2c = a . m

2b = a . n

27 = 113 . x

x = 49 . 113 / 113 cm

28 = 113 . y

y = 64 . 113 / 113 cm

Respostas

3

5

3

xPitgoras

2 2 25 = 3 + x

x = 4 cm

y


3y

x8=

3y

48

=

y = 6 cm

Pitgoras

2 2 2

(AB) = 6 + 8 AB = 10 cmAB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm

Permetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas

RR - 2

Pitgoras2 2 2

R = (R - 2) + 6

2 2R = R - 4R + 4 + 36

4R = 40

R = 10 cm

CD = R - 2 = 10 - 2

CD = 8 cm Resposta


47/145

30) A figura abaixo representa 4 circunferncias deraio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunfernciamenor tangente s quatro maiores. Determinar o raioda circunferncia menor.

29) No tringulo ABC abaixo, determine a altura h.

h

A

B C

5cm

2 13cm

9 cm

A B

CD E

F

31) O retngulo ABCD da figura abaixo tem lados AB =40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar amedida do segmento BF.

33) Na figura abaixo, as circunferncias tm raio 10cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, sotangentes entre si e tangentes ao quadrado que tembase na reta AB. Determine a medida do lado dessequadrado.

A B

34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel comdimenses 6 x 8 dobrada de modo que dois vrticesdiagonalmente opostos coincidam. Determine ocomprimento do vinco (dobra).

6

8

32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma deum quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seusvrtices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-ade maneira que o vrtice D fique sobre o lado AB (figu-ra 2). Seja D esta nova posio do vrtice D e x a dis-tncia de A a D.

figura 1 figura 2

A B

CD

A BDx

Determine a funo que expressa a rea do tringulosombreado em funo de x.

(Fazer a resoluo em outro espao)

Jeca 108


48/145

30) A figura abaixo representa 4 circunferncias deraio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunfernciamenor tangente s quatro maiores. Determinar o raioda circunferncia menor.

29) No tringulo ABC abaixo, determine a altura h.

h

A

B C

5cm

2 13cm

9 cm

A B

CD E

F

31) O retngulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cme BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medidado segmento BF.

33) Na figura abaixo, as circunferncias tm raio 10cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, sotangentes entre si e tangentes ao quadrado que tembase na reta AB. Determine a medida do lado dessequadrado.

A B

34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel comdimenses 6 x 8 dobrada de modo que dois vrticesdiagonalmente opostos coincidam. Determine ocomprimento do vinco (dobra).

6

8

32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma deum quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seusvrtices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-ade maneira que o vrtice D fique sobre o lado AB (figu-ra 2). Seja D esta nova posio do vrtice D e x a dis-tncia de A a D.

figura 1 figura 2

A B

CD

A BDx

Determine a funo que expressa a rea do tringulosombreado em funo de x.

(Fazer a resoluo em outro espao)

Jeca 108

x 9 - x

2 2 2

x + h = 5 = 252 2 2 2 2

(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x

2 252 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 8118x = 54x = 3

2 23 + h = 25

2h = 25 - 9 = 16h = 4 cm (resp)

90-

6

y

x

8 - 2y

8-y 6

yy

8 - yA B

CD

E

F

G

6

Os tringulos AEF e ADG so congruentes pelo caso A.L.A.

2 2 2Pitgoras (8 - y) = 6 + y

y = 7/4

O tringulo FGH retngulo

Pitgoras

2 2 2x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4

x = FG = 15/2 Resposta

yH

8

8

8 8

8

8

2r

Diagonal do quadrado delado 16 cmd = 16 2 cm

Mas d = 8 + 2r + 8 d = 16 + 2r

Ento 16 2 = 16 + 2r

2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)

r = 8( 2 - 1) cm Resposta

x x

10 10 - x

10 - (x/2)

Pitgoras

2 2 210 = (10 - x) + [10 - (x/2)]

2

x - 24x + 80 = 0Razes

x = -20 (no convm pois maior que o raio)

x = 4 cm Resposta

x/2

Resoluo na prxima pgina

Pitgoras

2 2 2(BD) = (AB) + (BC)

2 2 3(BD) = 40 + 30

2(BD) = 2 500

BD = 50 cm


ABF ~ DEF

x

50-x

1030

40

4030

x50 - x=

2 000 - 40 x = 30 x

2 000 = 70 x

x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta


49/145

Jeca 109

figura 2

A BDx

y

21

-y

21

21-y

Pitgoras

2 2 2(21 - y) = y + x

2 2 2441 - 42y + y = y + x

2-42y = x - 441

242y = 441 - x

2y = (441 - x ) / 42

rea do tringuloS = b . h /2 = x . y /2

S =

x .2

(441 - x )42

2=

3441x - x

84


50/145

Respostas dos exerccios da Aula 09.

01)106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm

e (45 106 / 106) cm

02)

12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm

03)4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm

04) 69 cm

05) b

06) b

07) d

08) b09) d

10) 4 / 3

11) e

12) 10 cm

13)a) 8 3 / 3b) 120

14) (8 / 3) cm

15) c

16) e

17) 5 cm

18) 5 cm

19) 8 cm

220) (96 - (576/ 25)) cm

21) (2 66 / 5) cm

22) 16(3 - 2 2 ) cm

23) 5 cm


Jeca


Jeca 110


51/145


01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm

02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm

03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm

04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm

2 205) x = y - z

06) d = a 2

07) h

08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm

09) x = 3 3 y = 3

10) x = 17 cm

11) CM = 2 7 cm

12) r = 16 / 3 cm

13) AD = 7

14) r = 2 / 4

15) x = 3 5 cm

16) r

17) h = 4 cm

18) d = 12 cm

19) d = 4 2 cm

20) R = 5 cm

a 32

=

=k(3 - 2 2 )

2

31) BF = 200 / 7 cm

32) A

33) x = 4 cm

34) d = 15 / 2

=3

-x + 441x84

21) x = 11 / 4

22) r = 4 / 3

23) AB = 8 cm AD = 73 cm

24) AD = (13 + 2 30 ) cm

25) AB = 8 3

26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm

27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perm = 32 cm

28) CD = 8 cm

29) h = 4 cm

30) r = 8( 2 - 1 ) cm


Jeca


Jeca 111

2cm


01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm

02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm

03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm

04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm

2 205) x = y - z

06) d = a 2

07) h

08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm

09) x = 3 3 y = 3

10) x = 17 cm

11) CM = 2 7 cm

12) r = 16 / 3 cm

13) AD = 7

14) r = 2 / 4

15) x = 3 5 cm

16) r

17) h = 4 cm

18) d = 12 cm

19) d = 4 2 cm

20) R = 5 cm

a 32

=

=k(3 - 2 2 )

2

31) BF = 200 / 7 cm

32) A

33) x = 4 cm

34) d = 15 / 2

=3

-x + 441x84

21) x = 11 / 4

22) r = 4 / 3

23) AB = 8 cm AD = 73 cm

24) AD = (13 + 2 30 ) cm

25) AB = 8 3

26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm

27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perm = 32 cm

28) CD = 8 cm

29) h = 4 cm

30) r = 8( 2 - 1 ) cm


Jeca


Jeca 111

2cm


52/145

I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.

Em todo tringulo, a razo entre a medida de umlado e o seno do ngulo oposto constante e vale odobro do raio da circunferncia circunscrita aotringulo.

Em todo tringulo, a medida de qualquer ladodepende das medidas dos outros dois lados e dongulo entre eles.

a

sen A

=b

sen B

c

sen C

2R=

A

B C

RO

Lei dos senos

= 2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos

Lei dos cossenos

xa

b

III) Propriedades dos tringulos.

1) Em todo tringulo, ao maior ladoope-se o maior ngulo e ao menorlado ope-se o menor ngulo.

2) Condio de existncia de umtringulo. Em todo tringulo, a medida dequalquer lado menor que a somae maior que a diferena das medi-das dos outros dois lados.

3) Natureza de um tringulo. Quanto natureza um tringulopode ser:a) tringulo retngulo;b) tringulo obtusngulo;c) tringulo acutngulo.

Reconhecimento da natureza deum tringulo.

Seja a o maior lado de um trin-gulo de lados a, b e c.

2 2 2- Se a = b + c tringulo

retngulo.2 2 2

- Se a > b + c tringulo obtusngulo.

2 2 2- Se a < b + c tringulo

acutngulo.

b - c < a < b + c

Condio de existncia.

onde a, b e c so as medidasdos lados do tringulo.

a

b

c

a < b < c < <


sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b

sen 2a = 2 . sen a . cos a

2 2cos 2a = cos a - sen a

IV) Pr-requisitos de trigonometria. (Podero ser usados em exerccios mais complexos deste captulo)

Exerccios.

01) Dados trs segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um trin-gulo com esses segmentos. Se for possvel, determinar a natureza desse tringulo.




Relaes mtricas num tringulo qualquer.

Jeca 112

a

bc


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I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.

Em todo tringulo, a razo entre a medida de umlado e o seno do ngulo oposto constante e vale odobro do raio da circunferncia circunscrita aotringulo.

Em todo tringulo, a medida de qualquer ladodepende das medidas dos outros dois lados e dongulo entre eles.

a

sen A

=b

sen B

c

sen C

2R=

A

B C

RO

Lei dos senos

= 2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos

Lei dos cossenos

xa

b

III) Propriedades dos tringulos.

1) Em todo tringulo, ao maior ladoope-se o maior ngulo e ao menorlado ope-se o menor ngulo.

2) Condio de existncia de umtringulo. Em todo tringulo, a medida dequalquer lado menor que a somae maior que a diferena das medi-das dos outros dois lados.

3) Natureza de um tringulo. Quanto natureza um tringulopode ser:a) tringulo retngulo;b) tringulo obtusngulo;c) tringulo acutngulo.

Reconhecimento da natureza deum tringulo.

Seja a o maior lado de um trin-gulo de lados a, b e c.

2 2 2- Se a = b + c tringulo

retngulo.2 2 2

- Se a > b + c tringulo obtusngulo.

2 2 2- Se a < b + c tringulo

acutngulo.

b - c < a < b + c

Condio de existncia.


a

b

c

a < b < c < <


sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b

sen 2a = 2 . sen a . cos a

2 2cos 2a = cos a - sen a

IV) Pr-requisitos de trigonometria. (Podero ser usados em exerccios mais complexos deste captulo)

Exerccios.

01) Dados trs segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um trin-gulo com esses segmentos. Se for possvel, determinar a natureza desse tringulo.




Relaes mtricas num tringulo qualquer.

Jeca 112

a

bc

Existncia|b - c| < a < b + c|12 - 8| < 15 < 12 + 84 < 15 < 20 VerdadeiroEsse tringulo existe.

Natureza2 2

a = 15 = 2252 2 2 2

b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208225 > 208

2 2 2

a > b + cEsse tringulo obtusngulo.


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02) Dadas as medidas de trs segmentos, verificar se possvel construir um tringulo com esses segmentos edeterminar a natureza desse tringulo, se o mesmo existir.

a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.

c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.

e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.

h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.

Existncia Natureza Existncia Natureza




Jeca 113


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02) Dadas as medidas de trs segmentos, verificar se possvel construir um tringulo com esses segmentos edeterminar a natureza desse tringulo, se o mesmo existir.

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