UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTACAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIA

RICARDO JAVIER MONCAYO ERASO

CONCEPTOS BSICOS DE GEODSIA

Presidente Prudente Dezembro 2011

UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTACAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIA

RICARDO JAVIER MONCAYO ERASO

CONCEPTOS BSICOS DE GEODSIARelatrio apresentado ao tpico especial Introduo ao Geodsia ministrada pelo professor Dr. Joo Carlos Chaves junto ao Programa de Ps-Graduao em Cincias Cartogrficas - PPGCC.

Presidente Prudente Dezembro 2011

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 A Terra ........................................................................................................................11 Figura 2 O Geide .................................................................................................................... 13 Figura 3 Rede Geodsica ........................................................................................................14 Figura 4 Experimento de Eratstenes 1 .................................................................................... 18 Figura 5 Experimento de Eratstenes 2 .................................................................................... 19 Figura 6 O mundo de Ptolomeo ............................................................................................... 20 Figura 7 Representao do mondo ..........................................................................................21 Figura 8 Representao de Triangulao ................................................................................ 24 Figura 9 O Elipsoide .................................................................................................................25 Figura 10 Instrumentos do Sculo XVIII ................................................................................... 26 Figura 11 Triangulao em Francia .......................................................................................... 27 Figura 12 Trabalhos Geodsicos do Sculo XIX ....................................................................... 29 Figura 13 A Geodsia no espao .............................................................................................. 32 Figura 14 Levantamento da informao no Sculo XXI.............................................................32 Figura 15 Funes da Geodsia. .............................................................................................. 45 Figura 16 Superfcies de Referencia. ........................................................................................ 50 Figura 17 Elementos do elipside ............................................................................................ 49 Figura 18 Elipse em coordenadas polares ............................................................................... 52 Figura 19 Superfcies mais representativas .............................................................................. 55 Figura 20 Medies em o Teluroide .......................................................................................... 56 Figura 21 Realizao do nvel do Cuasi geoide ..................................................................... 58 Figura 22 Sistema de Coordenadas Geogrficas ..................................................................... 58 Figura 23 Latitude e Longitude de um ponto ............................................................................ 61 Figura 24 Relao Geomtrica entre coordenadas Geodsicas e cartesianas ......................... 61 Figura 25 Dependncias do IUGG ........................................................................................... 63 Figura 26 Elementos da Elipse ................................................................................................ 66 Figura 27 Operaes na Elipse ................................................................................................. 67 Figura 28 Pontos da elipse ....................................................................................................... 68 Figura 29 Focos da elipse ........................................................................................................ 72 Figura 30 Parmetros da elipse ............................................................................................... 73 Figura 31 Geometria e figuras auxiliares ................................................................................... 74 Figura 32 Coordenadas Geodsicas ......................................................................................... 75

Figura 33 Latitude Geodsica .................................................................................................. 76 Figura 34 e 35 Posio de um ponto P sobre ele elipside de revoluo ................................. 76 Figura 36 Uma Interpretao Geomtrica para W e V............................................................... 78 Figura 37 Uma poro de um arco meridiano .......................................................................... 82 Figura 38 Curvatura o Radio Equatorial y Polar ........................................................................ 83 Figura 39 Raio de Curvatura em o Vertical Primrio ................................................................. 83 Figura 40 Derivao Geomtrica para N(A) .............................................................................. 84 Figura 41 Derivao Geomtrica para N (B) ............................................................................. 84 Figura 42 Linhas y crculos imaginrios .................................................................................... 88 Figura 43 Meridianos ............................................................................................................... 89 Figura 44 Sees Recprocas ................................................................................................... 90 Figura 45 Determinao da distancia OnA ................................................................................ 91 Figura 46 ngulo entre as recprocas normais ......................................................................... 91 Figura 47 Separao da seo normal ..................................................................................... 92 Figura 48 Separao Lineal ..................................................................................................... 93 Figura 49 Separao do azimute da Seo Normal ................................................................ 93 Figura 50 Arco Elptico de uma Seo Normal ......................................................................... 94 Figura 51 Correo azimutal em razo da altura geomtrica do Ponto Observado .................. 95 Figura 52 ngulo de inclinao ................................................................................................ 96 Figura 53 A curva geodsica .................................................................................................... 96 Figura 54 Mapeamento Topogrfico em SIRGAS2000 ........................................................... 102 Figura 55 Expanso da Rede Brasileira de Monitoramento Contnuo do Sistema GPS - RBMC ................................................................................................................................................ 102 Figura 56 Vetores de deslocamento horizontal de SAD69 para um referencial geocntrico. ... 103

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 MEDIDAS DOS ELIPSIDES DE REFERENCIA ................................................... 38 Tabela 2 - RELAES DA GEODSIA COM OUTRAS DISCIPLINAS .................................... 34 Tabela 3 - SUPERFICIES DE REFERNCIA ........................................................................... 49 Tabela 4 - FORMAS DA EXPRESIN DAS COORDENADAS .................................................. 62 Tabela 5 - PARMETROS DE ELIPSIDES DE REFERENCIA ............................................... 65

SUMARIO

1. INTRODUO .................................................................................................................8 2. DEFINIO E CLASSIFICAO .................................................................................. 102.1 Fins Prticos da Geodsia ................................................................................................. 13 2.2 Divises da Geodsia ........................................................................................................ 14

3. HISTORIA DA GEODSIA ............................................................................................ 163.1 Orgenes e Primeiros descobrimentos ............................................................................. 16 3.2 Idade Media e Renascimento ........................................................................................... 20 3.3 O Sculo XVIII .................................................................................................................... 24 3.4 O Sculo XIX ...................................................................................................................... 27 3.5 O Sculo XX ....................................................................................................................... 29 3.6 O Sculo XXI ...................................................................................................................... 32

4. RELAES DA GEODSIA COM OUTRAS DISCIPLINAS ......................................... 34 5. FUNES DA GEODSIA ............................................................................................ 455.1 Determinar as Posies Geodsicas ................................................................................ 46 5.2 Campo de Gravidade da Terra ......................................................................................... 46 5.3 Variaes Temporais do Campo de Gravidade ............................................................. 47 5.4 Determinar a Verdadeira Figura da Terra......................................................................... 47 5.5 Estudar as Variaes em as mars Terrestres ................................................................ 48 5.6 Determinar as Deformaes da Crosta Terrestre ............................................................ 48

6. SUPERFCIES DE REFERENCIA.................................................................................. 496.1 Superfcie Topogrfica ...................................................................................................... 50 6.2 O Elipside ........................................................................................................................ 51 6.3 Outras Superfcies ............................................................................................................ 56

7. COORDENADAS GEODSICAS ................................................................................... 607.1 Latitude Geodsica () ..................................................................................................... 60 7.2 Longitude Geodsica () ................................................................................................... 60 7.3 Altitude Geodsica o Elipsidica ...................................................................................... 61 7.4 Datum ................................................................................................................................ 62

8. SISTEMAS DE REFERNCIA EM GEODSIA.............................................................. 638.1 IUGG e a IAG .................................................................................................................... 63 8.2 Marcos de referencia ........................................................................................................ 64 8.3 ITRS(International Terrestrial Reference System) ........................................................... 64 8.4 Parmetros de Elipsides de Referencia ......................................................................... 65

9. GEOMETRA DO ELIPSIDE ........................................................................................ 669.1 A Elipse ............................................................................................................................. 66 9.2 Qu uma Superfcie Qudrica? ..................................................................................... 70 9.3 Excentricidade Angular ..................................................................................................... 71 9.4 Coordenadas Geodsicas ................................................................................................ 75 9.5 Latitude Reduzida ............................................................................................................. 76 9.6 Latitude Geocntrica ......................................................................................................... 76 9.7 Relaciones entre as Diferentes Latitudes ......................................................................... 79 9.8 Diferencia entre Latitude Geodsica e Latitude Geodntrica .......................................... 80 9.9 Raios de Curvatura em o Elipside .................................................................................. 80 9.10 Deduo Alternativa de (M) ............................................................................................. 82

10. LINHA GEODSICA ...................................................................................................... 8810.1 Linhas y Crculos imaginrios ......................................................................................... 88 10.2 Linhas Geodsicas do Elipside de Revoluo ............................................................. 89 10.3 Sees Normais Recprocas .......................................................................................... 90 10.4 A Curva Geodsica ......................................................................................................... 96 10.5 Teorema de Clairaut ....................................................................................................... 97

11. SISTEMA GEODSICO BRASILEIRO ........................................................................... 9911.1 Caracterizacin de SIRGAS 2000 ................................................................................ 101 11.2 Ventajas do novo sistema de Referencia ..................................................................... 103

12. CONCLUSO .............................................................................................................. 104

BIBLIOGRAFA ........................................................................................................................ 105

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INTRODUO O presente trabalho tem como finalidade conhecer aspectos referentes a la Geodsia, esta Cincia se encarga do estudo da forma da Terra y de suas dimenses para esto se vale de tcnicas terrestres que podem ser realizadas em a superficies o com ayuda de satlites (Triangulao GNSS u observaes estelares). Para llegar hasta este ponto a Geodsia a evolucionado junto com o Home desde sus inicios o ser humano a tenido a neesidade de conhecer aspectos de su entorno y regresar a os sitios ms favorables para suo desemvolvimento, para esto nostros antepasados devian indicar a suos companheros como llegar a um sitio de inters o home creativo desenhaba formas para indicar o camino correcto a seguir y marcaba com sinais a ruta correcta. Pero fueron os primeros navegantes os pioneros em encontrar metodologas ms sofisticadas que permitieran ubicarse em um momento y lugar, para ello utilizaron o sol durante o da e as estrelas em a noche eran as nicas sinais que os podan orientar. Comenza entonces a nacer uma cincia que a evolucionado como a astonoma que planta as primeiras solues ao concito de posio. Mas alla em o tempo se pudo comprobar a esfericidade da Terra y novedosos artefactos permitierom a estos pioneros definir sua posio y distancia de poblaes y costras. Pero adems os navegantes requeran mantener esa informao para ser consultada y medida constantemente esta necesidade hace que a Geodsia se apoie em otra cincia para logra suos obetivos ela es a Cartografa que a que representa a Terra sobre diferentes superficies. Pero as necesidades siguieron creciendo e o novo reto foi crear as condies necesarias para dar coordenadas a pontos em qualquer sitio sin a necesidade de recurrir ao astronoma, a soluo fue o crear uma figura geomtrica que permita transportar as coordenadas terrestres a partir de ngulos y distancias sobre a superficie, esta modelao permite que se cree o Geide que representa Terra com os mares em reposo e o elipside de revoluo. Estas dis figuras por si solas no realizan grandes aportes pelo que necesario utilizar expreses matemticas que permitan entender a geometra do elipside, aparecierom novos trminos que como datum y marcos de referncia que permitieron crear as redes geodsicas. Em os ltimos tempos com o advenimiento da era digital, informtica e satelital h permitido que h Geodsia tenha um grande impulso e suas medies y que suas aproximaes contengan errores de no ms de

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unos cuantos centmetros o metros, adems de realizar novedosas representaes da Terra permitiendo tener enfoques mais reales que hacen concer o planeta em sua verdadeira forma.

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2. DEFINIO E CLASSIFICAO Etimologicamente a palavra Geodsia significa (Geo = terra; Daiem = dividir) de maneira literal significa Dividir a terra, a Real academia da lngua espanhola a define como Cincia matemtica que tem por objeto determinar a figura e magnitude do globo terrestre ou de grande parte dele, e construir os mapas correspondentes, (http://buscom.rae.es/draeI/, 2011), o autor do documento considera que a Geodsia intenta responder a pergunta, onde estou?. A Geodsia estuda a forma, dimenses e campo gravitacional da Terra em territrios extensos, integram conceitos de Topografia (distribuio do relevo), Geodsicos (distribuio das foras da gravidade), astronmicos (distribuio e movimento dos corpos celestes), a Geodsia tambm subministra um marco de referncia preciso para o controle e levantamentos nacionais topogrficos. Miguel J Sevilla Lerma docente da Universidade Complutense de Madrid amplia o conceito anteriormente empregado ao referir se que; a Geodsia uma cincia bsica, com uns fundamentos fsicos matemticos e com umas aplicaes prticas em amplos ramos do saber, como em Topografia, Cartografia, Fotogrametria, Navegao, engenharias de todo tipo sem esquecer os interesses para fins militares. A Geodsia deve fazer uso de outras cincias com as quais est intimamente ligada como so, a astronomia e a Geofsica. Os processos geodsicos buscam determinar as posies que se querem definir no globo Terrestre, portanto, para lograr determinar a posio destes pontos deve ter em conta a forma e as dimenses da Terra, a onde joga um papel fundamental, ele determina a figura da terra que este processo para realizar uma projeo prtica no referente a clculo de coordenadas de pontos e a resoluo de problemas geomtricos sobre sua superfcie. O problema da resoluo da superfcie da terra consiste no estudo das superfcies de equilbrio de uma hipottica massa fluida, sometida as aes gravitacionais e a um movimento de rotao (Figura1). Por uma parte haver que efetuar numericamente uma comprovao de que as formas tericas que se estabeleam sejam compatveis com a realidade, e por outra, a partir da observao, haver que calcular os parmetros que definam sua forma e suas dimenses. Os conceitos fsicos e geomtricos esto inter-relacionados; a teoria do potencial e as equaes integro diferenais, tem um papel principal.

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Figura1 A Terra (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). Em Geodsia a superfcie matemtica da Terra o Geoide, a palavra Geoide significa Forma da Terra e foi introduzida por Listing no ano de 1873. O geoide um esferoide tridimensional que constitui uma superfcie equipotencial imaginria que resulta de supor a superfcie dos oceanos em repouso e prolongada por baixo dos continentes e que seria a superfcie de equilbrio das massas ocenicas sometidas a ao gravitacional e a fora centrfuga ocasionada pela rotao e a translao do planeta, de maneira que a direo da gravidade perpendicular em todos os lugares. O geoide (figura 2) tem em conta as anomalias gravimtricas (devido distribuio das massas continentais e a densidade dos componentes da Terra) e o achatamento dos polos, por ele qual uma superfcie irregular com protuberncias e deprees. Portanto, e resumindo, podemos concluir que o Geoide ser o lugar geomtrico dos pontos que se encontram em equilbrio baixo a ao das seguintes causas: Foras de atrao gravitacional do resto dos pontos da superfcie do mesmo. Foras de atrao gravitacional dos astros do Sistema Solar. Fora centrfuga, devida ao movimento da rotao da Terra.

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Consideraes acerca do Geoide 1. A Terra est constituda por uma substncia que por suas propriedades parecida a um lquido viscoso. 2. A densidade da substncia no corpo da Terra aumenta desde a superfcie hacia o centro. 3. A estrutura interior da Terra a seguinte: A) A capa superior, chamada crosta terrestre, tem nos continentes uma espessura varivel entre 20Km e 70 Km. Miemtras que por baixo dos oceanos a espessura mdia da crosta terrestre chega a valores do 6Km. B) A capa seguinte, recebe o nome do manto ou envoltura da Terra e se calcula sua espessura em 2900Km C) A capa localizada por baixo do manto recebe o nome do ncleo da terra e se estende desde os 2900Km. Aos 5100Km. D) A regio mais interna da Terra recebe o nome de subncleo 4. As capas que se encontram debaixo da superfcie da Terra, a iguais profundidades tm iguais densidades, sem embargo as variaes das densidades no trnsito de uma capa a outra muito irregular e s vezes brusca. 5. Se enviar uma onda eletromagntica que viajara hacia o centro da Terra, a direo no seria o de uma linha reta, porque igual ao que ocorre na atmosfera, ao atravessar a onda distintas capas de distintas densidades, esta se quebraria aproximando se ao normal, tal como faz um raio visual em nossas observaes. Resultando uma linha curvada. 6. Na crosta da Terra, a densidade das rochas que a compem se diferenciam muito entre si, ao qual so a ampla variao de sua espessura e a falta ou excesso de concentrao das massas em alguns lugares, ao qual leva a concluso que a distribuio das massas na crosta terrestre no para nada homognea.

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7. A crosta terrestre, por sua estrutura se divide em: A) Continental: Com uma espessura meio de 40Km; por sua vez esta formada por trs capas: - Superior: Sedimentria. - Meia: Grandetica. - Inferior: Basltica. B) Ocenica: De espessura muito menor geralmente de constituio basltica. Por regra geral, quanto maior seja o relevo exterior (regio montanhosa) mais profunda ser a fronteira inferior da crosta terrestre. (http://terra.es/persoal6/aymajo/geodesia/geodesia.html, 2011).

Figura 2 O Geide (Charco, 2007). As mars: O estudo das mars da Terra ou variaes peridicas da vertical tambm objeto da Geodsia, cujas concluses a respeito so de sumo interesses para a astronomia e a geofsica. Estudam fundamentalmente as aes atrativas do Sol e a Lua sobre a Terra, a teoria do movimento destes astros bem conhecida. A observao do fenmeno consiste na medida dos desvios provocados na vertical fsica, em seus componentes vertical e horizontal (Ferrer, 1997). 2.1 Fins prticos da Geodsia Os fins prticos da Geodsia incluem a formao de cartas ou mapas, incluindo desde a carta topogrfica fundamental de um pas ou as cartas e mapas especiais para fins concretos. Nestes trabalhos a Geodsia deve proporcionar a infraestrutura geomtrica necessria e

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efetuar medies precisas de distncias, ngulos, altitudes, orientaes observaes saltitais, entre outros, A formulao matemtica se trata na teoria de Redes Geodsicas. Como exemplo destes trabalhos se podem mencionar as cartas hidrogrficas para a navegao, as cartas planimtricas de emprego em agrimensura ou catastro implicam, cada uma delas, uma Geodsia particular com mtodos apropriados. Tanto a medida geomtrica de emplazamiemto de radiofaros, torres de controles, antenas, como os apoios de base para construo de tneis, aquedutos, ou autopistas incumbem em parte a Geodsia. Tambm devemos incluir os estudos do meio ambiente, busca de recursos minrios e energticos, sobre tudo para fixar reas de explorao e zonas de prospeco para concesses. Nestas e outras necessidades civis fazem com que se desenvolvam mtodos precisos e se utilizem tanto tcnicas clssicas como os modernos satlites artificiais, a Geodsia tambm estuda as deformaes da crosta da Terra nestes estudos se controla movimentos da crosta terrestre e um sistema precursor de desastres naturais como em caso de terremotos ou erupes vulcnicas, a micro triangulao ajuda na fixao de posies relativas de pontos com precises de ordem da dcima de milmetro esta preciso necessria no controle de certas instalaes tais como fbricas de funcionamento automtico, centrais nucleares instalao de radiotelescpios e no estudo de deformao da presas (figura 3) (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998).

Figura3 Rede Geodsica (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). 2.2 Divises da Geodsia: Geodsia Esferoidal: Estuda a forma e dimenses da Terra e o emprego do elipsoide como superfcie da referncia e a representao desta sobre a esfera e sobre o plano. Permite

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realizar clculos das coordenadas geodsicas tendo como parmetros a Latitude, longitude e Azimut, (http://www.cuevadocivil.com/2010/11/geodesia.html, 2011). Geodsia Fsica: Est constituda por aquelas teorias e mtodos encaminhados a determinao do geoide, com dados dinmicos ou gravimtricos, mediante uma anlise do problema de contorno da teoria do potencial. Descreve os modos terrestres de comparao para o estabelecimento da figura da terra, calcula e utiliza fundamentalmente as anomalias gravimtricas. Tambm estuda o campo exterior da gravidade. Geodsia Dinmica: aquele ramo da Geodsia que baseada na teoria do potencial, trata das medidas da gravidade, do estudo do campo exterior e da obteno da forma da terra, os dados fundamentais so as medidas da gravidade efetuadas geralmente na superfcie, e as perturbaes observadas no movimento de um satlite artificial. Geralmente dividir se em gravimetria, teoria do campo e consequncias (Martn 1983). Astronomia Geodsica: aquela parte da Geodsia que tem por objeto a determinao das coordenadas geogrficas astronmicas, Latitude, Longitude, de pontos da superfcie terrestre e dos acimutes astronmicos e de suas direes na Terra. Estas determinaes se realizam por mtodos astronmicos de observao de estrelas em posies convenientes, utilizando-se principalmente mtodos de clculo de trigonometria esfrica e de lgebra matricial junto ao ajuste de observaes por mnimos quadrados. As principais aplicaes Geodsicas dos resultados obtidos so a determinao da figura da terra (geoide) e a compensao astro geodsica das redes. (http://digital.csic.es/handle/10261/25438, 2011). Geodsia Espacial ou Csmica: Este novo ramo da Geodsia trata principalmente com satlites artificiais cuja observao resulta mais cmoda e precisa que a tradicional. Aplica tcnicas tridimensionais e resolve todos os problemas da Geodsia tanto geomtricos como dinmicos. Nos clculos emprega frequentemente tcnicas de colocao por mnimos quadrados (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998).

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3. HISTORIA DA GEODSIA 3.1 Orgenes e Primeiros Descobrimentos O homem tem estado interessado pela terra, sobre a qual ele vive desde h muitos sculos. Durante muito tempo este interesse esteve limitado, naturalmente vizinhana imediata de seu lar; mais tarde alargou-se distncia dos locais de comrcio e, finalmente com o desenvolvimento dos meios de transporte, passou a interessar-se pelo mundo inteiro. Este interesses, desde os tempos remotos pelo mundo que o cercava, est evidenciado pela especulao sobre o tamanho, forma e composio da terra (Sevilla 1998). A Geodsia uma das cincias mais antiga cultivada pelo homem. E o objeto da Geodsia o estudo e determinao da forma da terra, de seu campo de gravidade, e de suas variaes temporais; constitui um apartado especialmente importante determinao de posies de pontos de sua superfcie e orientao da terra no espao. (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). Esses interesses, por determinar as medidas dos objetos e levar suas formas a modos matemticos comprovveis, levaram grandes sbios da antiguidade a estudar em primeira instncia as medidas da terra; os babilnios afirmavam que a terra era plana, flutuava no oceano e o centro do mundo era a cidade de Babilnia, as primeiras referncias gregas so mais poticas que cientficas, Homero (900 a. C). Em seus poemas heroicos resume todos os conhecimentos cosmogrficos geogrficos da poca e do povo helnico supe que a terra plana, limitada em todos os sentidos pelas guas dos oceanos, colocam em meio Grcia e em particular ao monte Olimpo correspondente a Tessalia. Nos confins do horizonte supem misteriosas colunas que servem para sustentar os cus; abaixo do cu a grande profundidade, situa o Trtaro, morada dos inimigos dos Dioses e fora dos confins da terra est o caos ou a imensidade. Isto no nem mais nem menos que interpretao da natureza por um espirito imaginrio brilhante. Tales de Mileto e Anaximandro disseram que a terra um disco plano, que flutua no infinito; a partir do ano 500 a. C Parmnides o primeiro homem que inicia com o conceito de que a terra redonda, Empdocles reafirma esta teoria; Plato disse que a terra redonda, mas impvida, Eudoxio de Gnido (409 356 a. C) da teoria da esfera de cristal para explicar o movimento dos planetas e estrelas; Aristteles em sua teoria aristotlica sustem 1) a terra esfrica por que tal a forma aparente de outros astros, tal tambm a forma que toma o corpo, como uma gota

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de gua, sometido s a presena de suas partes e tal a forma que nos revela a sombra terrestre nos eclipses de Lua, 2) As dimenses da terra no devem ser desmesuradas, posto que com a troca de lugar variam o aspecto e nmero das estrelas visveis, 3) A terra no deve mover se no espao, j que sua mobilidade hipottica no se reflexa em sua posio constante dos demais astros, a altura de um astro variava de igual forma a mesma hora em qualquer parte da terra. Esta teoria teve uma vigncia de sculos dado que era utilizada pela maior parte das religies. Ademais Aristteles o primeiro autor que fala da medida da terra, e cita a Eudoxio grande gemetra grego inventor do astrolbio que deduzido que a medida da terra era de uns 400.000 estdios de circunferncia; h muitas verses sobre o valor do estdio Baylly toma o valor de 166m para o estdio nutico, Dreyer o fixa em 157,5m, o estdio egpcio tinha 260m e o romano 185.15m; Euclides e Arquimedes avana em rea e ademais evoluam a circunferncia da terra (Cid, Ferrer 1997). Em contra das teorias aristotlicas aparece Aristarco de Samos (310 - 230 a.C) que eliminou as esferas e estabeleceu o sistema heliocntrico dentro de seu postulado afirma que As estrelas fixas e o sol se mantm imveis; que a terra gira ao redor do sol sobre uma circunferncia de crculo; que o sol permanece no centro do orbita; e que a esfera das estrelas fixas, que mantem aproximadamente o mesmo centro que o sol, to grande que o crculo sobre o qual ele supe que a terra gira, mantem tal proporo com a distncia das estrelas fixas como a que o centro da esfera mantem com a superfcie , a oposio de Aristteles e Cleantes (331 232 a. C) silenciaram estas teorias at os tempos do Coprnico. (http://www.slideshare.net/Ingessaerospace/sistemas-de-informacin-geogrfica-geodesia, 2011), (http://www.elagrimemsor.net/elearning/lecturas/HistoriaGeodesia.pdf, //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). O primeiro matemtico cujo procedimento da medida da terra conhecido foi Eraststenes de Syrea, ele nasceu em Syrea, frica septentrional, 275 A.C. ele era matemtico, astrnomo e gegrafo no ano de 236 A.C Ptolomeu III foi chamado para assumir o comando da biblioteca de Alexandria, Estudando os papiros da biblioteca encontrou que no forte localizado na fronteira sul do reino de Egito, na cidade de Syeme, prximo a primeira catarata do Nilo, ao meio dia de 21 de Jlio, se podia observar a gua no fundo dos poos e os postes verticais no davam sombra, (http://es.wikipedia.org/wiki/Cincias_de_la_Tierra, 2011). 2011), (http:

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Figura 4 Experimento de Eratstenes 1 (http://blogcelestia.albacete.org/?p=71(eras1.jpg)) Mtodo utilizado por Eraststenes: Eraststenes pensou que medindo a sombra de um obelisco em Alexandria, ao mesmo dia e na mesma hora em que em Siena, no projetava nenhuma sombra, e sabendo a distncia entre Alexandria e Siena poderia calcular se a circunferncia da terra, por casualidade Siena e Alexandria est praticamente no mesmo meridiano. Sim embargo Eraststenes tinha dois problemas; 1. Como saber a distncia exata entre Siena e Alexandria? 2. Como ele mediria a sombra no momento preciso em que os obeliscos no produziam qualquer sombra em Siena? Resposta 1 Distncia entre Siena e Alexandria. Eraststenes ordenou, e pagou os chefes das caravanas que medissem a distncia entre as duas cidades. Para ele deviam por escravos a contar as voltas da roda que deram os carros, deviam estender longas cadeias ao longo do caminho, logo se contavam os passos. A dificuldade que estamos falando de dois locais separados por mais de 700Km. Resposta 2 Medio da sombra. No dia, ele mediu a sombra de uma vara que, em forma perfeitamente vertical foi colocada nos jardins da biblioteca. Como saber quando a medida da sombra? A resposta fcil, ao meiodia (quando o sol est no seu ponto mais alto) medida a sombra vrias vezes. A menor sombra corresponde ao tempo que o sol est mais alto.

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Clculo Matemtico

Figura 5 Experimento de Eratstenes II(http://blogcelestia.albacete.org/?p=71(eras2.jpg))

tg =

=

= 0,1325

= arctg 0,1325 = 7,2 Dividindo-se a sombra da altura da vara ganhou um ngulo de 7.2 depois aplicou uma simples , regra de trs. Multiplicando-se 787,5 km X 360 e dividir o resultado por 7,2 calculando que a , circunferncia da terra medida 39.385 km. Erros Cometidos Os erros do Eraststenes foram muito sutis e quase inevitveis. Erro1. A distncia entre Asun e Alexandria de 729Km (4.628 estdios); de 787.5 km. Erro2. As cidades no esto no mesmo meridiano sino que diferem uns 3 de longitude. Erro3. A medida precisa do ngulo da sombra em Alexandria 7.08 .

(http://blogcelestia.albacete.org/?p=71, 2011). O mtodo utilizado por Eraststenes foi logo utilizado por Posidnio (135 51 a.C) que mediu o arco entre Rhodas e Alexandria substituindo o sol pela estrela Canopus, porm obteve o valor de uns 240.000 estdios. Neste momento tambm se conhecem trabalhos de grandes Mestres da antiguidade como Hiparco de Nicea inventor da trigonometria, Estrabn (55 25 d.C) e Plinio o velho (23 79 d.C) que estudam as mars. Ao final desta poca Claudio Tolomeo (100 170 d.C) quem transmite a posteridade nos 13 volumes do ALMAGISTO, toda a

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astronomia antiga. Seu sistema planetrio geocntrico e a descrio dos movimentos dos planetas, Claudio Ptolomeo construiu um mapa do mundo, e as posies terrestres as representava pela latitude e longitude, na figura 6 se pode aprear o mundo do Tolomeo, Com isto terminaria a primeira parte da historia da Geodsia (Geodsia Antiga). (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998), (Calero, 2003).

Figura 6 O mundo de Ptolomeo (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). 3.2 Idade Media e Renascimento: No perodo compreendido entre a cada do imprio romano e parte da idade media no se realizaram avanos, como outras cincias caiu na influncia da teologia. Em meados do sculo XIV com o auge das grandes expedies lideradas por Marco Polo, uma nova viso do mundo foi abrindo passo, elaborando-se novos mapas, os quais motivaram a Cristvo Colombo a embarcar se em busca do novo mundo. A expanso do conhecimento geogrfico deu lugar ao crescimento de uma nova profisso, a cartografia, disciplina estreitamente relacionada com a Geodsia. Evidncia clara em observaes, diversa melhora de dados experimentais, progressos tericos, e a apario de instrumentao tal como o telescpio, exerceram um efeito combinado para o desenvolvimento extraordinrio da Geodsia, em procura de liberar se dos argumentos teolgicos imperantes nesta poca (http://201.198.97.222/CI2412/GPS/1-Geodesia-Geralidades.pdf, 2011). A continuao se realiza uma descrio dos autores mais representativos da poca As ideias aristotlicas impregnaram a Idade Media na Europa, se admite a esfericidade da terra, mas quase todos os conceitos seguiam influenciados pela religio. Se suponha a terra coberta de gua exceto a parte habitada (ecumeme), nas antpodas era impossvel morar boca a baixo

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apesar destas teorias aparecem gemetras como Papus (400) que realiza um resumo dos conhecimentos matemticos que at ento haviam realizado. No ano 727 o monge budista chins I Hsing realiza a medida do arco de meridiano. Os aportes rabes se reduzem as expedies nas llanuras da Palmira e Zinja, cerca de Bagdad e ao Raqqah pelo califa Al-Mam n (786 - 833) o califa determinou a longitude do grau do meridiano obtendo segundo Dreyes, 119000 m para o grau da circunferncia terrestre, os mtodos utilizados para encontrar as medidas se reduziam a utilizao de procedimentos direitos a passos na maioria dos casos para a medida da amplitude angular do arco terrestre (http://www.docstoc.com/docs/22141679/Geodesia, 2011). Outros aportes interessantes so os do astrnomo Al-Battani (858-929), no ano 900 publica um tratado de geografia dando as posies das principais cidades, utilizam a trigonometria. Os astrnomos rabes Aboul Wefa e Bem Youmis recalculam as constantes astronmicas e Alhazem(966 - 1039) escreve um tratado de tica. Idrisi (1098 - 1166) realiza a grande compilao de Geografia Umiversal, Roger Bacom (1214-1294) cria a tica, estuda a refrao, trata a astronomia e a geografia e considera as mars terrestres como resultado da atrao lunar. (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). Cabe ressaltar que os ensinamentos de maestros como Eudoxio, Aristteles, Eraststenes, Hiparco e Tolomeo sobreviveram barbrie da inquisio graas aos rabes. Marco Polo introduz um novo elemento para a navegao bssola, a poca dos descobrimentos encabeada por Coln, Vasco da Gama, Magallanes el Cano resolve definitivamente o problema da terra como um corpo aislado no espao e plata a necessidade da determinao da longitude no mar, a necessidade de obter dados mais exatos levou a criar escolas de cartgrafos entre os que destacaram Amrico Vespcio e Gerhard Kaufman.

Figura 7 Representao do mondo (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998).

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At o final do sculo XV no aparece na Europa novas ideias no terreno da Geodsia e astronomia; Nicols de Cusa (1401-1464) plantea a ideia do universo infinito, Leonardo da Vinci (1452-1519) sugere ideias sobre a isostasia e as mars da terra. O grande astrnomo desta poca Coprnico(1472-1543). Em 1543 Coprnico publica sua obra Nicolai Copernici Torinemsis, de revolutionibus orbium celestium libri VI, estabelecendo o sol como centro do universo (teoria heliocntrica), a teoria revolucionou o mundo e o pensamento da poca anclado em ideias aristotlicas; se formaram duras polmicas e se logro indiretamente que a ateno dos astrnomos e geodestas dirigiram se por este caminho, a Geodsia e a navegao se beneficiaram enormemente dos resultados que se obtiveram, esta teoria ajudou a que se dispusera de um melhor conhecimento das posies dos corpos celestes indispensveis para seus fins de posicionamento e orientao. A inveno do telescpio por parte do holands Janssen e o melhoramento realizado por Galileu deu a Geodsia um impulso impressionante ao permitir lhe cobrir distncias mais longas e ter uma melhor preciso em seus clculos, Galileu em seu momento realizou com este adianto os descobrimentos dos satlites de Jpiter, as fases dos planetas interiores, as montanhas e crateras da Lua, as estrelas da Via Lctea. Neper(1550-1617) inventa os logaritmos, Briggs em 1626 publicar a primeira tabela com 14 decimais, os que hoje conhecemos como logaritmos neperianos. A tabela dos logaritmos foi em seu momento, os computadores da poca permitiam realizar longos clculos matemticos, astronmicos e geodsicos com ajuda da tabela, os logaritmos e o telescpio deram a cincias como a Geodsia um grande impulso ao permitir lhe cobrir maiores distncias e realizar l de forma mais precisa ademais de poder realizar tediosas abordagens matemticas de forma mais fcil. (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998), (Calero, 2005), (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/A1.pdf). Desta poca se deve destacar tambm a Ticho Brahe(1546,1601) cujas observaes do Marte permitiram a Kepler (1571,1630) enunciar as primeiras leis sobre o movimento dos planetas. Tambm Kepler props um mtodo para determinar o raio da terra, consistia em medir a distncia entre dois pontos distantes sobre a superfcie da terra e os ngulos formados pela reta que os une com as verticais em ambos extremos (aplicao das leis de Kepler (http://usuarios.multimania.es/pefeco/kepler2/kepler2_indice.htm).

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Ticho Brahe tambm quem concebeu a ideia da triangulao e utilizou em 1578 no levantamento da isl da Hvem onde tinha um observatrio e na Unio Geodsica com a costa Danessa. Em 1616 o matemtico holands Willerbrord van Roijem Snell (1591 - 1616) usou uma rede de 33 tringulos para medir um arco meridiano entre Alkmaar e Bergem op Zoom (Holanda), os resultados numricos no foram bons, mas o mtodo usado foi se consolidando com tempo, outro trabalho interessante que se deve registrar o realizado por Descartes quem publica as leis da refrao. Em 1669 Jean Picard, foi o primeiro em utilizar o telescpio provisto do retculo para as medidas angulais, mediu uma rede de 13 tringulos ao norte de Paris obteve um valor para o grau de 57.000 toessas (1 toessa = 1949 mts). Seus dados foram posteriormente utilizados por Newton para provar suas teorias da atrao da terra. Em 1673 Christian Huyghems publica seu Horologium oscillatorium, onde estabelece a teoria mecnica completa do pndulo. Utiliza o pndulo para a regulao dos relgios de peas, inventando o escape. Com isto j se dispe na terra de um guarda tempos preciso. Os geodestas vo adquirindo um conjunto de ferramentas baseadas na ptica, a mecnica de preciso e a matemtica. Sobre estas trs grandes linhas se basear o progresso da instrumentao geodsica, at a incluso da eletrnica e os satlites artificiais entrando no sculo XX; em 1697 Sir Isaac Newton publica Principia mathematica Pfiosophiae Naturalis, e aporta a Geodsia com sua lei da gravitao universal as bases da mecnica celeste e a Geodsia dinmica, estabelece as frmulas sobre a atrao das esferas e outros corpos, deduz o valor do achatamento terrestre (1/231) na hiptese de uma terra homognea, da uma frmula da gravidade com a longitude (Calero, 2005), (Sevilla, 1998).

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Figura 8 Representao de Triangulao (Calero, 2005). 3.3 O Sculo XVIII Poderia iniciar a recopilacin histrica desta poca falando sobre a controvrsia suscitada pelos conceitos de Newton e os de Jaques Cassini, os resultados que Cassini obteve em 1718 contradiziam os dados do Newton originando se uma grande disputa entre os partidrios do Newton e Cassini, os primeiros asseguravam que a terra era um elipsoide achatado nos polos, os segundos, que era achatado no Equador: este conflito foi satirizado por Jonathan Swift em sua obra as Viagens de Gulliver. Para definir a disputa o reino da Frana envia duas expedies uma a Lapnia e outra a Equador. O objetivo da expedio era medir um arco do meridiano de um grau nas proximidades do Equador e do polo norte, os resultados obtidos do razo a Newton, da

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expedio se pode concluir que a terra um elipsoide achatado pelos polos do eixo de rotao. Agora o problema determinar as dimenses da terra obtendo valores numricos do semi eixo e do aplanamento do elipsoide terrestre. Depois destas grandes investigaes nasce uma nova figura Clairaut e sua teoria da figura da terra (1743), esta obra marca o comeo da chamada Geodsia Fsica, nela se deduz o valor do achatamento do elipsoide em funo das variaes relativas da gravidade. A variao da gravidade com a latitude e as condies do equilbrio das massas fluidas internas. Tendo presente em todos os casos a rotao da terra; o echo fundamental que marca o comeo de uma poca, a possibilidade de calcular o achatamento da terra usando medidas de gravidade. Os resultados so mais precisos que os que se obtm com o mtodo dos arcos e pem de manifesto a importncia de conhecer o campo gravitacional terrestre como via indispensvel para a determinao da forma da terra, outro trabalho interessante o de Maclaurin que estudando as mars demostra que o elipsoide da revoluo aplanado pode ser uma figura de equilbrio de uma massa fluida e homognea sometida a sua prpria gravitao e dotada de um movimento de rotao, tambm obtm a correspondente lei da gravidade (Martn 1983.

Figura 9 O Elipsoide (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). A equao = 1j no era suficiente para a determinao de um parmetro, o raio da terra

so necessrios dois parmetros que podem ser os dois semi eixos (a, b) do elipsoide, o bom semi eixo equatorial e o aplanamento. No sculo XVIII tambm se desenvolvem trabalhos na Rssia, e nos Estados Unidos da Amrica onde se iniciam grandes trabalhos de Geodsia, na Frana se define que se adota o sistema mtrico decimal. Ele mede queda definido em funo da longitude do meridiano terrestre; o desenvolvimento da matemtica complementa perfeitamente o desenvolvimento

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geodsico. Teorias como as de Euler permitem compreender o movimento dos corpos rgidos em particular as equaes da rotao, seus estudos se complementam com os de Monge e Meusnier e definem os elementos fundamentais das curvaturas de superfcie e as propriedades das linhas traadas sobre elas chegando a teoremas clssicos da teoria de superfcies de aplicao geodsica, Laplace publica em 1773 sua primeira memoria sobre mecnica celeste, em sua segunda memoria 1799 inclui a teoria matemtica das mars dando o desenvolvimento que hoje leva seu nome, ademais, estabelece as equaes hidrodinmicas de propagao das ondas de mar nos oceanos, Lagrandege publica sua primeira edio do Mechanique Analitique, e obtm as equaes do movimento do polo. Legemdre em 1787 publica sua memoria sobre observaes trigonomtricas onde aparece seu famoso teorema de resoluo plana dos tringulos esfricos. Os instrumentos geodsicos so aperfeioados e Borda com a ajuda do crculo repetidor realiza a unio geodsica Greemwich Paris. A partir deste momento a Geodsia clssica comea a estruturar se, a necessidades cartogrficas com fins militares, civis e de navegao, as invenes de novos instrumentos de observao e se aperfeioaram os teodolitos para a medida dos ngulos (Sevilla, 1998).

Figura 10 Instrumentos do Sculo XVIII (http: //www.iag.csic.es/museo/docs/historia_geodesia.pdf, 1998). Algumas das frmulas planteadas para medir a longitude de dois arcos de meridiano e a diferena de latitudes entre seus extremos. Se os representamos pela longitude do arco por 1, 1, 2, 2 as coordenadas dos extremos do arco, a geometria do elipsoide nos permite obter uma expresso que relaciona estas magnitudes. = f(a, , 1, 1, 2, 2) (Torroja, 1990)

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Se efetuar estas operaes em dois arcos de meridiano, teremos duas equaes: = f(a, , 1, 1, 2, 2) = f(a, , 1, 1, 2, 2) Apesar do avano no planteamiemto matemtico, porem existe um problema todos os valores que intervm nestas equaes tm sido determinados por observao direta e, portanto esto afetados pelos correspondentes erros. Isto levava a utilizar mais de dois arcos, e para a resoluo do correspondente sistema de n equaes com duas incgnitas se deve recorrer ao mtodo de mnimos quadrados. (http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADOAMATEMATICA_1994_00_00_12.pdf). 3.4 O Sculo XIX No inicio do sculo XIX Legemdre estabelece as condies que deve cumprir cada tringulo em uma rede geodsica onde a soma dos ngulos deve ser igual a 180, mas o excesso esfrico, tambm no inicio se realiza a primeira grande operao geodsica que foi a prolongao at Espanha do meridiano de Frana, neste trabalho interviro Domingo Arago e Juan Bautista Biot pela Frana e Jas Chaix e Jos Rodrguez e Gonzlez pela Espanha (figura 11), a esta grande expedio da Frana e Espanha se somam outras de importncia como o clculo do arco do Danubio em 1817 por parte de Struve e Tanner; Neste sculo se publicam os elipsoides de Walbek (Rusia), Everest (India), Airy (Grande Bretanha), Clark (Estados Unidos de Norte Amrica 1866 e 1880) (tabla 1), h um grande impulso no melhoramento instrumental onde Perrier, os irmos Brumer e Jaderin empregam crculos acimutales de observao de triangulao de primeira ordem e fios em suspeno para medidas de bases geodsicas.

Figura 11 Triangulao em Francia (Sevilla, 1998)

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MEDIDAS DOS ELIPSIDES DE REFERENCIA NOME DO ELIPSIDE Everest (1830) Airy (1830) Bessel (1840) Clark (1888) Hford (1909) SEMIEIXO 6377276 6376542 6377397 6378245 6378388 (Tabela - 1) Outro grande avano a publicao por parte de Federico Gauss do mtodo de mnimos quadrados, para validar seu mtodo calcula com ele a rede geodsica do reino de Hannover em 1821 cimentando desta forma a geometria diferencial de superfcies de uso obrigado em Geodsia geomtrica e dinmica. Outro magnfico aporte de Gauss a cincia a definio da superfcie matemtica da Terra superfcie equipotencial que posteriormente em 1872 Listing chamaria Geide. Grandes trabalhos so desenvolvidos nesta poca Jorge Gabriel Stokes em 1849 publica On the variation of gravity at the surfasse of the Earth, neste trabalho expem seu mtodo para determinao do Geide a partir de anomalias de gravidade; Poincare demonstra que o aplanamiemto terrestre tinha um limite; os trabalhos de Laplace so continuados por Lord Kelvin, onde introduz a anlise harmnica neste campo; Bessel melhora os trabalhos de Poincare e determina o primeiro valor confivel do aplanamento da Terra, Fourier representa seus mtodos de anlises harmnicas; Cartn inicia os fundamentos da moderna geometria diferencial e com a complementao dos trabalhos de Marussi definem os processos a seguir nos estudos de Geodsia tridimensional e gravimetria. Tambm se logram de integrar os trabalhos desenvolvidos por diversos cientficos na Europa, Amrica do Norte, ndia, Rssia e frica (Figura 12). (http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADOAMATEMATICA_1994_00_00_12.pdf). APLANAMIENTO 1/300.8 1/299.3 1/299.15 1/293.5 1/297.0

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Figura 12 Trabalhos Geodsicos do Sculo XIX (Sevilla 1998) Em 1888 Kustner observa as variaes peridicas da latitude de um observatrio determinada pelo mtodo de Talcott e o experimento Berln Waikiki de 1891 1892 demostra que o eixo de rotao da Terra no esta fixo na crosta. Esta comprovao permitiu a criao em1899 do Servio Internacional de Latitudes. Maxwell mede as ondas eletromagnticas, o francs Fizeau mede por primeira vez a luz em 1849, Michelso introduz em seus estudos geodsicos a utilizao das ondas eletromagnticas, o sueco Bergstrand inventa o geodmetro e Wadlei o telurometro.

3.5 O Sculo XX Em 1900 Helmert utilizando mtodo de nivelao astrogeodsica para a determinao do geide a partir da vertical. 1900 cria o Sistema Gravimtrico de Viena e em 1901 publica sua frmula de gravidade normal, paralelamente se desenvolvem medies das mars terrestres com pndulos horizontais, em 1903 Hecker realiza as primeiras observaes gravimtricas no mar; em 1904 Kumhnem e Furtwander medem a gravidade absoluta em Postdam e seu valor aceito para a poca como origem do sistema mundial. Segue a inovao nos elementos utilizados para os clculos e Eotvos desenvolve a balana de torsin que utilizada por Hford e Helmert em suas investigaes isostticas; em 1909 Hford publica seus resultados do Geide a = 6.378.388.000m; d = 635.6911.946; f = 297.000.000; A partir de 1918 e traz a criao do Comseil International of Resserches, se criou uma nova Umion Godsique et Gephysique Internationale, dividida em sete associaes dedicadas a: Geodesia, Sismologia, Meteorologia, Magnetismo e Eletricidade terrestre, Oceanografia fsica,

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Vulcanografia, e Hidrologia cientfica, criou uma unidade cientfica que replicava os trabalhos e validava os resultados obtidos, ademais de permitir a colaborao e complementao dos trabalhos. Em 1921 congresso Doodso calcula o potencial das mars, em 1923 desenvolvem se as medidas de gravidade com pndulos submarinos pelo geodesta holands Veming Meinesz, em 1924 se adota como elipsoide internacional o proposto por Hdford, Em 1928 VemingMeinnesz publica um livro com as formulas que levam seu nome e que permitem determinar os componentes da desviao da vertical a partir de medidas gravimtricas. Em 1935 Niclas Stiyko descobre as variaes estacionales da velocidade de rotao da Terra, Em 1936 estuda o problema de contorno da Geodsia Fsica por Molodemsky, Krassowsky e Michailov, em 1940 o Finlandes Weiko A Heiskanem publica seus estudos sobre o aplanamemto dos Elipsoides de dois e trs eixos, em 1943 Bergstrand inventa o geodmetro, primeira distemcionmetro com ondas da luz, em 1945 se publicam os trabalhos do Molodemsky e se efetuam as triangulaes em Shoran, Em 1948 se publica o primeiro mapa do geoide mundial por parte de Tanni (Martn, 1983). Em 1950 o japons Takeuchi resolve pela primeira vez numericamente o sistema de equaes diferenais que governam as deformaes elsticas de uma Terra no homognea, em 1954 o Sudafricano Wadlei inventa o Telurmetro, primeira distancimetro com micro-ondas, que comea a utilizar-se em 1957. Em 1957, em 4 de outubro se lana o primeira satlite artificial da Terra pelos russos o Sputnik1, o Sputnik2 foi lanado um ms depois e em fevereiro de 1958 se lana o satlite VanguardI por parte dos Estados Unidos, em 1958 comea a Geodsia a utilizar satlites com cmaras Baker-Numn e toma fotografias com fundo de estrelas, se estabelece o dado europeu ED50, aparece o geoide astrogeodsico de Bomford, o geoide gravimtrico de Heiskanem e a rede gravimtrica mundial de Woolard e Morelli. Em 1963 cria se o Internacional Polar Motion Service, com sede em Mizusawa, Em 1964 se lanam satlites Doppler Transit por os EEUU, entre 1966 1976 realiza se a primeira grande operao europeia de Geodsia por satlites denominada WEST (Western European Satelite Triangulation) participam 17 pases nesta investigao, em 1969 o Apolo XI deposita na Lua refletores laser e medem distncias desde os observatrios Mcdonald, tambm em 1969 se mede a primeira grande base por VLBI entre Hstack e Greembank. Nos anos 70s se utilizam cmaras balsticas em Geodsia por satlites, se aperfeioaram os equipamentos Doppler, nestes anos se termina e adapta a IGSN71, Rede Gravimtrica Internacional normalizada. Aparecem os sistemas do levantamento inercial, se aperfeioa o seguimento laser com novos dispositivos depositados na Lua pelas misses Apollo XIV e XV,

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se determina o WGS72 como sistema Geodsico mundial e se termina a fase II da retriangulao europeia RETRIG com o sistema ED-79 (Sevilla 1998). Nos anos 80s se desenvolve a gravimetria marinha e aerotransportada com precises de 1miligal, se aperfeioa o seguimento laser de satlites e da Lua, se estabelecem as primeiras redes geodsicas com VLBI para a definio do sistema de ordem zero. Lanam-se satlites geodsicos como os Navstar 6 a 13 de GPS, los Nova 1 a 3, o Oscar 30. O Bulgaria 1300, Meteor-3, Ajisai, Geo-IK y os ETALON 1 e 2. O primeiro satlite GPS do blque II foi lanado em fevereiro de 1989, comea se com a distribuio de receptores tcteis GPS de 10 fabricantes, se estabelecem os dados geodsicos norte americanos NADS-83 e NAVD-87, determina se e comea a usar o Sistema Geodsico Mundial WGS-84, se estabelece o Sistema Europeu ED87 e a Rede Europeia Unificada de Nivelao UELN-73. O objetivo dos trabalhos desta dcada so aumentar a preciso das determinaes geodsicas qualquer que seja a tcnica utilizada, se logra que os geides regionais logrem precises internas de 20cm, as tcnicas espaciais de posicionamento alcanam precises relativas de 1 centmetro e os parmetros de rotao da Terra se determinam com precises da milsima de segundo de arco. Nesta dcada quando praticamente todas as operaes geodsicas de relevo tem carcter internacional. Assim surgem projetos de diversa ndole que se desenvolvem em conjunto, entre eles podemos citar MERIT-COTES, WEDOC, WEGEMER-MEDLAS, ADOS, Crustal Dynamics, entre outros. Nos anos 90s continuam e melhoram os desenvolvimentos iniciados na dcada anterior e se representam resultados tangveis de grande preciso. Estabelecem-se as redes continentais por tcnicas GPS e as redes nacionais de ordem zero. A investigao se dirige ao controle da qualidade das redes GPS com o estudo da propagao de erros de todo tipo. Tambm se investiga o modo de foras no gravitacionais e os mtodos gravimtricos. Lanam-se novos satlites GPS do bloque II e se prepara o Bloque III, se lanam satlites laser como o LAGEOS2, ESTELA e GFZ-1, a novidade desta poca so os satlites meio ambientais de amplo espectro em 1991 se lana o ERS-1 da Agncia Europeia do Espao, em 1992 o TOPEX/Poseidn, misso conjunta de EEUU e Frana em 1995 se lana o ERS-2, estes satlites proporcionam a Geodsia medidas altimtricas com as quais se aperfeioam os modos de geopotencial, os geides marinos e a determinao precisa da SST, Superfcie Topogrfica do Mar (Histria_geodesia.pdf).

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3.6 O Sculo XXI

Figura 13 A Geodsia no espao (Charco 2007) No ano 2003 na resoluo da IUGG (XXIII Assembleia Geral) em Sapporo Japo se estabelece a Vigilncia da Terra com Radar de abertura Sinttica Reconhecendo que: A tecnologia INSAR oferece uma viso nica dos deslocamentos na superfcie que produzem os terremotos, vulces, as extraes de gua, mostram indicadores de variao natural e antropognicas de interesses social e cientfico, recomenda se o acesso aberto a dados INSAR e. A integrao de observaes INSAR com outras tcnicas de observao geodsica.

Trabalha-se em projetos para a Deteco de deformaes

Figura 14 Levantamento da informao no Sculo XXI (Charco 2007)

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O SAR o Radar de abertura Sinttica um sensor embarcado em um satlite capaz de tomar imagens de alta resoluo da superfcie terrestre a frequncias de micro-ondas, a interferometria radar (INSAR) combina pares de imagens de radar da mesma zona obtidas em fechas diferentes e desde orbitas ligeiramente separadas, dando lugar a uma imagem conhecida como interferograma ou padro de interferncia.

Funes utilizadas para o clculo do patron. de interferncia (Charco 2007)

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4. RELAES DA GEODSIA COM OUTRAS DISCIPLINAS Nome da Cincia Topografia A topografia uma cincia que estuda o A topografia conjuntamente com a Levantamento topogrfico conjunto de procedimentos para determinar Geodsia tem por objeto realizar todas o processo de medir, as posies relativas dos pontos sobre a as medies que determinam a posio calcular e desenhar para superfcie da Terra e em baixo da mesma, relativa dos pontos terrestres e realizar determinar mediante a combinao das a posio medidas os clculos dessas medies e utilizar relativa dos pontos que da terra. Definio da Cincia Complementao com a Geodsia Trabalhos Prticos

segundo os trs elementos do espao: os resultados para realizar planos e conformam uma extenso distncia, elevao e direo. A topografia mapas. explica os procedimentos e operaes do trabalho de campo, os mtodos de clculo o processamento dos dados e a representao do terreno em um plano o debuxo topogrfico a escala. Cartografia uma cincia tcnica, arte que trata da A Geodsia apoja a cartografia em Representao em representao da Terra sobre um mapa. Ao proporcionar lhe pontos de controle, mapas a escala nos que ser a Terra um corpo quase esfrico atravs destes se podem confeccionar se mostram diferentes (geide) se deve trabalhar com um sistema mapas ou cartas com maior exatido a variveis que sejam de de projees para passar a esfera a um diferentes escalas. plano a este problema se chama a quadratura do crculo, a topografia ademais representa os contornos, as superfcies e fcil leitura e ubiquao. (http://www.cielosur.com/topografia.php)

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os ngulos, e se encarrega de representar a informao sobre um mapa a escala. Atualmente para realizar as representaes cartogrficas chamados SIG. Fotogrametri a A sociedade americana da fotogrametria e A sensores remotos (ASPRS), define Geodsia permite que o voo Ortofotografia: a a fotogramtrico obtenha as coordenadas composio de vrias se utilizam softwares

fotogrametria como a arte, a cincia e a exatas dos objetos que se intentam fotografias perfeitamente tecnologia de obter informao confiveis verificar em uma foto, ademais nos referenciadas onde dos objetos fsicos e seu entorno mediante processos de restituio fotogrfica qualquer ponto sobre o o processo de expor, medir e interpretar ajuda a gerar a cartografia e os mapas terreno tem uma projeo tanto imagens fotogrficas como outras que tem uma escala e um sistema de ortigonal, isto permite obtidas de diversos padres de energia coordenadas georefernciadas. eletromagntica e outros fenmenos. Navegao A Navegao uma cincia que ensina a conduzir seguramente uma nave desde um ponto a outro, e a determinar sua posio em qualquer momento com razovel exatido. A navegao pode qualificar se como: Navegao Costeira, A situao se obtm com relao a pontos notveis de costa, realizar medidas reais sobra fotografia. Com a ajuda da triangulao e de Cartas de navegao equipes especiais como so o sonar e o marinas e submarinas, radar podem se realizar traados exatos posicionamento de naves dos mapas da costa assim como em alto em mar aberto. mar atravs de sistemas de localizao e com ajuda dos satlites de navegao consegue se a posio exata de uma embarcao no mar.

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como faris, molas, pontas, acidentes geogrficos, entre outros, miemtras se navegue em cercanias da costa. Navegao por estima obtm se a posio da nave, a partir do um ponto de situao conhecido, e os rumos e distncias navegadas. Navegao astronmica, A posio da nave se obtm mediante a observao de corpos celestes, tais como o Sol, a Lua, os Planetas e Estrelas. Navegao Eletrnica, a posio da nave se obtm mediante equipes eletrnicos tais como o radar, e o satlite. Se encarga de representar a informao sobre um mapa a escala. (http://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3% B3n_mar%C3%ADtima)

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Geoinformti ca

a integrao de cincias como a Entre Informtica, mtodos aquisio, e as telecomunicaes, que permitam

as

duas

cincias

se As funes

bsicas e

a complementam e ao ser a informtica mais habituais de um SIG a Geodsia faa uso das redes de visualizao, consulta e de dados

Geografia, e as cincias da Terra para criar uma cincia transversal permite que a so o armazenamento, tcnicas armazenamento, comunicao e das bases de dados para anlises

processamento, anlises, representao e poder realizar consultas sobre registros espaciais. Os SIG so distribuio de informao espacial. ingressados a os softwares e realizar utilizados na tomada de consultas informao. em tempo real sobre a decises em ordenao territorial ou para a dos superfcies, e tomadas os a das no modelizao processos ambientais. Catastro O catastro uma ferramenta para Permite determinar as coordenadas Clculo de inventariar, os bens pblicos e privados, exatas dos pontos que so colocado volumes, urbanos e rurais do pas, em seus aspectos como limites permitindo desta forma representao fsicos, jurdico e valorativo, com fins do realizar de forma precisa a ubiquao do medidas sustentvel, propriedade. (http://www.geoeduca.com.ve/mysite3/docu/ catastro.pdf, 2011). Navegao e Anteriormente com ajuda atravs de uma correta constar dentro das escrituras pblicas planos, de

ordenamento territorial e desenvolvimento prdio e definir seus limites que devem campo mediante perfis e trabalhos se da identificao, delimitao e ubiquao da realizados no processo catastro dentro consideram topografia. de Cartas areas de

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aviao Civil

triangulao e atualmente com a ajuda navegao, determinao dos sistemas GPS permite determinar a de rotas seguras de posio de uma aeronave em qualquer deslocamento e momento, ademais de permitir lhe fazer localizao em tempo real as viagens mais seguras nos processos dos voos. de aterrissagem e despegue da A Ecologia nos permite compreender os hbitos e interao dos seres vivos com seu entorno e a adaptabilidade que estes tm quando as condies do meio mudam. A Geodsia georefernciar permitiria as aeronave.

Ecologia

A ecologia o ramo das cincias que se ocupa de estudar as interaes entre os organismos vivos, seu entorno, as variveis fsico qumicas que esto presentes no nicho ecolgico e as interaes que o homem tem com ele.

localizar as colnias e espcies que moram em uma determinada regio. Geografia A geografia a cincia que estuda os A Geografia descreve e analisa as A geografia estuda a elementos fsicos, biolgicos e humanos varries sua condio de lugar de residncia do terrestre. especiais nos fenmenos distribuio do homem na se h explica a diversidade que que ocorrem e influem no planeta Terra, em fsicos e humanos sobre a superfcie superfcie terrestre, Tradicionalmente

39

homem. Etimologicamente a Geografia considerado seu objeto a descrio da se adverte em sua GEO = Terra; GRAFEIN = Descrever. (http://www.escolar.com/avanzado/geografi a001.htm, 2011). Terra em seus diversos aspectos o distribuio e em suas condies, considerada como planeta formas da vida, (geografia astronmica). (http://www.portalcincia.net/geolo.html, 2011) relacionando as com outros diversos fatores geogrficos. Isto nos leva a inquerir a ao recproca que exercem as influncias naturais e as foras humanas. (Krebs, 1931). Hidrografia A hidrografia um ramo da Geografia que se ocupa do conhecimento e descrio das guas existentes sobre a superfcie da Terra. Para seu melhor estudo geralmente se divide em dois ramos continental e martima, (Gandarias, 1956). A Geodsia estes ajuda acidentes a posicionar Proporciona geogrficos, navegao em a forma que como pontos seu de aos que forma e so os destes nos relevo, areia, claramente os pontos mais crticos j navegantes as cartas de sejam magnticos o de identificao de mars, representam estes fenmenos e acidentes sero fidedigna navegao. os

cartografados dentro das cartas de contorno da costa, tanto pontos visveis submarinos, ltimos mostra bancos

40

arrecifes, ademais

entre

outros, as

representa

correntes dominantes e a declinao magntica e sua variao anual, (Gandarias, 1956). GeofsicaA Geofsica a cincia que estuda os campos fsicos vinculados a nosso planeta. dizer, que estuda a Terra mediante mtodos da fsica, de carcter indireto, a fim do conhecer sua evoluo e caractersticas atuais; e tambm como ferramenta de prospeco de recursos. A Geofsica da utiliza os mtodos do fsicos campo

A Geodsia, a Geofsica e a Astronomia A

Geofsica

recopila

so cincias que se complementam informao, a processa e estudando grande parte de fenmenos interpreta, na aquisio fsicos que afetam a Terra, entre as mais de em que a geofsica os informao se importantes podemos destacar a forma realizam medies fsicas estudos em campo. O engenheiro entrega sobre fsicos no de os que definir de realizados sobre as aes atrativas do Geofsico, Sol e a Lua sobre a Terra, a observao informes deste fenmeno permite que se possam fenmenos medir as desviaes provocadas na ocorrem vertical fsica em seus componentes ademais vertical e horizontal. claramente

(variao

gravidade,

eletromagntico, de impedncias acsticas, entre outros) para determinar as estruturas e litologias que se encontram embaixo da terra e as quais no se tem acesso direito. (http://animalderuta.wordpress.com/2011/01

planeta

dentro

/14/%C2%BFque-estuda-um-geofisico/,

mapas e cartas de Os estudos da Geodesia Dinmica navegao a ubiquao tambm necessitam da complementao exata, campos de cincias como a Geofsica e a gravimtricos e trajetrias

41

2011)

Astronomia gravimtricos

elas da

permitem Terra

ter e

uma que as

descrevam

os

compreenso mais exata dos campos fenmenos. perturbaes que pode ter sobre os astros e objetos que se encontram no espao. Astronomia A Astronomia o estudo de todos os Astronomia e Geodsia se encargam de A astronomia h realizado objetos celestes. o estudo de quase todas estudar o campo de gravidade da Terra, contribuies as propriedades do Universo, desde realizam medies extraterrestres que importantes at as permitem determinar galxias, o estrelas, maiores planetas e cometas, estruturas muito cincia,

movimento mas a critrio dos autos os atravs do estudo das corpos como tamanho, temperatura composio origem e evoluo. celestes, tais

cosmolgicas

e solidrio da galxia com respeito a as mais importantes so; determinam

fenmenos atravs de todo o espectro outras

eletromagntico e mais. o estudo de todo movimentos do sistema solar dentro da propriedades fsicas dos o que h existido, o que existe e existir, galxia, entre outros estudos relevantes. desde o efeito dos menores tomos, at a apario do universo nas escalas maiores. mentos/FundamentosF_texto.pdf. (http://www.01.ign.es/ign/resources/acer http://astro.ft.uam.es/Docemcia/PUMA/Docu caDe/aig/A1.pdf). luminosidade, massa, e podem

precisar seguramente sua Geologia A Geologia a cincia que se ocupa do Com a ajuda da Geodsia h dado Determina a estrutura

estudo da Terra, de sua constituio e resposta a vrios enigmas como a idade geral da Terra, estuda a estrutura, dos agentes e processos que da Terra, a fonte da emergia para os composio tanto fsico

42

vem modificando continuamente desde sua movimentos de translao e rotao, qumica emprego dos materiais terrestres que exclusivas nas que se geram alguns Calcula planeta. a

como

sua

formao e da localizao explorao e campos gravimtricos e circunstncias distribuio no planeta. representam utilidade para o homem. A materiais. Geologia rene mltiplas disciplinas que (http://www.estrucplan.com.ar/produccio aplicadas adequadamente a um idntico nes/entrega.asp?identrega=368). objeto, contribuem a lograr uma viso unitria da Terra. (http://www.cinciaexplicada.com/2010/05/g eologia-definicion.html). Determina as melhores zonas para realizar a explorao de minerais ou petrleo. Com prpria sismologia uma que subdiviso a o estuda idade do

processo de ruptura das rochas, responsveis pela liberao ssmicas. de ondas

Matemtica

As matemticas uma cincia que partindo A Geodsia se vale das matemticas Frmulas de axiomas e seguindo o raciocnio lgico, para poder plantear e

comprovveis,

demostrar demonstrvel, axiomas e

43

estuda

as

propriedades entre os

e

relaes axiomas

e

frmulas a

que

permitam algoritmos. dos

quantitativas

entes

abstratos compreender

inter-relao

(nmeros, figuras geomtricas, smbolos). diferentes fenmenos que incidem em Mediante as matemticas conhecemos as nosso planeta permite realizar medies quantidades, as estruturas, o espao e as comprovveis e que podemos utilizar em mudanas. Os matemticos buscam fenmenos similares que encontremos j padres, formulam novas conjecturas e seja naTerra ou em exoplanetas intentam alcanar a verdade matemtica mediante rigorosas dedues. Estas lhes permitem estabelecer axiomas e as definies apropriadas para este fim. (http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1 ticas). Fsica A fsica intenta responder algumas Com a Geodsia funcionam permite os realizar A fsica permite realizar de ou diferentes modos a escalas perguntas fundamentais; Como funcionam abordagens fsicas e matemticas de experimentao as coisas? Assim podemos dizer que a como

fsica uma cincia que estuda as fenmenos ligados com a gravidade em simulados dos fenmenos propriedades medveis da matria. nosso planeta, permite que os modos que ocorrem em nosso matemticos dos cientficos tenham redor. Permite que um entorno de ao uma

Outra definio seria que uma cincia que validade real e uma argumentao tenhamos estuda os componentes da matria e suas terica sustentvel. interaes mutuas. Explicando as propriedades da matria em conjunto e o nosso

conhecimento maior de explicarmos

44

estudo do mais grande ao mais pequeno, utilizando mtodos de minimizao.

forma real a forma em que nosso cosmos se rege.

Tabela - 2

45 5. FUNES DA GEODSIA

Figura 15 Funes da Geodsia. (http://www.cdlmadrid.org/cdl/htdocs/universidaddeotono/unioto/matematicas/geodesia volcanica.pdf, 2011) Os sistemas de referncia geodsicos definem a forma e dimenso da Terra assim como a origem e orientao dos sistemas de coordenadas. Os sistemas de referncia geodsicos podem em base a dois modos matemticos: o esfrico o elipsidico, os quais so obtidos com os parmetros fsicos, medidos sobre a superfcie terrestre, tais como a acelerao da gravidade. Os sistemas globais de coordenadas nos permitem definir as posies sobre a superfcie terrestre. Os parmetros que comumente se utilizam so a latitude, a longitude e a altura. O primeiro meridiano o Equador so os planos que definem a latitude e a longitude. Tendo em conta os conceitos anteriores se pode dizer que a Geodsia tem como principais funes de determinar as posies geodsicas, estudar o campo de gravidade da terra, Observar e documentar de maneira acertada as variaes

46 temporais do campo de gravidade, determinar a verdadeira figura da Terra, estudar as variaes nas mars terrestres, determinar as deformaes da crosta terrestre. 5.1 Determinar as posies geodsicas A Geodsia nos permite determinar com grande preciso a posio de um ponto (latitude, longitude), sobre uma superfcie matemtica denominada elipsoide que podem ser WGA-1984, Internacional, Clarke 1866 e Bessel. Deve ter se em conta que cada elipside tem um ponto fundamental o Datum, ponto pode ser ubicado de maneira individual ou como parte de uma Rede Geodsica que cobre uma determinada regio, as posies do ponto podem ser absolutas (com relao a um sistema de coordenadas) ou relativa (com relao a outros pontos) (Chaves, 2005). (http://sisbib.ummsm.edu.pe/bibvirtualdata/tesis/ingemie/godoy_oe/cap02.pdf, 2011). 5.2 Campo de gravidade da Terra O verdadeiro estudo da figura da Terra consiste em determinar magnitudes geodsicas, que se caracterizam por suas desviaes desta com respeito superfcie estabelecida pelo elipsoide terrestre. Neste ponto essencial o estudo do campo da gravidade terrestre, devido tanto a sua influncia na forma da terra, como a influncia que exerce nas medidas que se levam a cabo da mesma um exemplo claro disto so os satlites artificiais. Como se h exposto ao largo deste documento a fora de gravidade fundamental na Geodsia e o estudo das diferentes foras que atuam sobre um corpo assim como determinar as oscilaes que se tem em diferentes pontos da Terra permitem compreender de melhor forma as interaes entre os elementos. As foras que atuam sobre um corpo em repouso que se encontra em um ponto fixo sobre a terra so: A fora gravitacional terrestre. A fora centrfuga devida da rotao da terra A fora de atrao de outros corpos celestes como so o Sol e a Lua. A fora de atrao da atmosfera terrestre.

A fora da gravidade se caracteriza por ser funo da posio e do tempo e se expressa na frmula = Onde , se obtm de multiplicar a acelerao da gravidade pela massa do corpo m.

47 Para a representao do campo de gravidade, normalmente se considera a Terra como um slido rgido que gira com velocidade de rotao , constante sobre um eixo invarivel. Em um sistema da coordenadas geocntrico, a origem se situa no centro de gravidade da terra e se faze coincidir o eixo (z) com o eixo meio da rotao. O eixo (x) est contido no plano do meridiano de Greemwich e o eixo (y) se escoge de tal maneira que esta no plano do Equador e seja perpendicular aos eixos x, y, z. Em um ponto da superfcie terrestre, ele campo da gravidade vendr dado por a

suma do campo gravitatorio m mais a acelerao centrfuga c: (tpicos, 2011). 5.3 Variaes temporais do campo de gravidade As variaes mais significativas so o movimento das placas da crosta terrestre e as variaes induzidas pelas mars terrestres. O modo que se utiliza para o movimento de placas tectnicas NNR-NUVEL1A e para as mars terrestres definido pelo IERS em 1996 ou posteriores. (http://ecalero.tripod.com/sitebuildercomtemt/sitebuilderfiles/wgs-84.pdf, 2011). Nos ltimos anos h adquirido grande relevncia a vigilncia dos vulces, j que se deve ter em conta que cada erupo vulcnica vem precedida de cmbios geofsicos e/o geolgicos, as variaes de gravidade que se representam nestes fenmenos so associadas mudana de massa e densidade. So normalmente pequenas, tipicamente de ordem de 10 a 100gal. (http://www.cdlmadrid.org/cdl/htdocs/umiversidaddeotono/umioto/matematicas/geodesi avolcanica.pdf). 5.4 Determinar a verdadeira figura da terra Consiste no estudo das superfcies de equilbrio de uma hipottica massa fluida, sometida as aes gravitacionais e a um movimento da rotao. Tendo em conta estes parmetros deve se efetuar numericamente uma comprovao de que as formas tericas que se estabeleam sejam compatveis com a realidade, a partir desta observao se realizaram os clculos que definam sua forma e suas dimenses. Para poder determinar estes aspectos se faz necessrio utilizar conceitos fsicos e geomtricos que se interacionam para entregar os resultados; se faz uso da teoria potencial e as equaes integro diferenais para realizar as operaes que valido os dados obtidos.

48 5.5 Estudar as variaes em as mars terrestres O estudo das mars terrestres ou variaes peridicas da vertical objeto de estudo da Geodsia, estes estudos so de sumo interesse para a Astronomia e a Geofsica. Estudam-se fundamentalmente as aes atrativas do sol e a Lua sobre a Terra. O processo consiste na medida das desviaes provocadas na vertical fsica, em seus componentes vertical e horizontal (Sevilla, 1998). 5.6 Determinar as deformaes da crosta terrestre Com a ajuda de instrumentos eletrnicos de alta preciso pode detectar os movimentos da crosta terrestre permitindo desta forma estudos e projees de desastres naturais como terremotos e erupes vulcnicas (Charco 2007).

49 6. SUPERFICIES DE REFERNCIA Superficie Terrestre Teluroide Definio Releve o Tipo da superfcie Real Esferopotencial topografia da terra Lugar geomtrico dos pontos que cumplen que ele potencial normal igual a potencial do ponto U = W p de la superfcie em a al Real, por em os do da de Esferopotencial Normal, anomalia de altura Esferopotencial de U = W0 Elipsoidal Equipotencial (o de nvel ) Wc = W W Ortomtrica (y geopotencial) Equipotencial W0 Ortomtrica (y geopotencial) terrestre, normal elipside. Geide Superficie materializada os calma Cogeoide mares sim U = Wp Normal, anomalia da altura. Potencial Gravitatorio Wp Geomtrica Altitud

efeitos da marea Resultado redeucciones gravidade Cuasigeoide Resultado situar a anomalia de altura sobre ele elipside Elipside Superficie geomtrica revoluo Tabela 3 (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf) efeito indireto das

50

Devido complexidade da superfcie da Terra que no guarda um padro uniforme e a desigual distribuio da crosta terrestre tanto continental como ocenica, de guas e massas atmosfricas, se utilizam 4 superfcies para representar elas so: Superfcie topogrfica, A Esfera, O Elipsoide o Esferoide e o Geoide (figura 16).

(Figura 15, dados para ter em cuenta.pdf)

Figura 16 Superfcies de Referencia (http://www.colegiochubut.org.ar/agrimensores) 6.1 Superfcie Topogrfica a superfcie tangvel a partir da qual se realizam as medies. Sua representao complicada devido a que se encontra em constante transformao, a percepo que o homem a temido da Terra passam por acreditar totalmente plana, cubica e a percepo atual acertada que disse que a Terra um objeto esfrico no perfeito, devido a essa imperfeio se h usado a cincia para que determine modos fsicos e geomtricos com os quais esto mais prximo da realidade (Chafe, 2009). 6.2 O Elipside

uma superfcie matemtica apta para realizar clculos geodsicos, Esta figura trata de representar a terra em sua totalidade. Por este motivo se trabalha com um elipsoide

51 da revoluo ligeiramente aplanado, este se denomina elipsoide terrestre, Newton foi o primeiro em propor o elipsoide como referncia para realizar as medidas sobre a terra, depois vrios cientficos realizaram seus clculos e aperfeioaram paulatinamente suas medidas hoje em dia se utiliza como o mais prximo a forma da Terra o elipsoide internacional o de Hford (Longitude do eixo maior = 6.378.388, Achatamento = 298.247) (Figura 17), este elipsoide h sido aperfeioado com posteridade graas a determinaes obtidas mediante satlites artificiais, estabelecendo se um com parmetros muito parecidos, que se adotaram internacionalmente em 1964, pela Unio Astronmica Internacional, em Hamburgo. Os parmetros foram os seguintes. a = 6.378.160,00 = Semieixo menor = Radio Polar = b Semieixo maior = Radio ecuatorial = a Achatamiento = f = Excentricidade = e = 2da Excentricidade = e = ,.

Figura 17 Elementos do elipside (http://www.colegiochubut.org.ar/agrimensores)

52 Outras operaes com ele Elipsoide: A) Equao polar com o polo em um foco da elipse. Seja O centro de simetria da elipse. Origem do sistema cartesiano cujos eixos so eixos da elipse.

a = longitude OA do semieje maior b = longitude OB do semieje menor F y F = os focos. P (x, y) = un punto genrico de la elipse. r1 = distancia PF r2 = distancia PF

Figura 18 Elipse em coordenadas polares (Calero, 2005) Verificao r1 + r2 = 2a r2 r1 = r22 - r21 = r2 - r1 = 2 x r2 = x+a x (x + c) (x - c) = 4cx r22 - r21 = (r2 - r1) (r2 + r1) = (r2 - r1)2a = 4cx

r1 = a -

Se considera o foco como polo, e o eixo AO como eixo polar. r1 = cos = x c cos = r1 Llamando; e = r1 = r r= x a + a = - (a = = = yp= x) + a -

53 B) Equao cartesiana da elipse Tendo em conta que r1 = a x; y por outra parte r21 = (x - c)2 + y2; eliminando r1 x2 + y2

Resulta (a - ) x2 + y2, como b2 = a2 c2 entonces b2 = + =1

C) Afinidade entre a elipse y sua circunferncia principal Consideremos a circunferncia do centro ele origem y radio (a) x2 + y2 = a2

Esta circunferncia se denomina circunferncia principal da elipse

+

=1

Se considera a transformao afim x* = x y* = y

Si o ponto (x, y) pertenece da circunferencia principal, entonces el punto (x*, y*) pertenece da elipse. Na circunferncia; y = Na elipse; Geide: y=

Podemos definir o Geide como a superfcie equipotencial do campo gravitacional terrestre que em mdia, coincide com o nvel mdio dos oceanos em mar aberto. Para poder obter l, se ter em conta parmetros tais como a superfcie media do mar, ele o leaje, as mars, as correntes e a rotao terrestre (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf). Etimologicamente Geide significa forma da Terra. E a forma geomtrica (superfcie matemtica) mais parecida a Geide (superfcie fsica) o elipsoide da revoluo. Disto, o Geide seria um elipside de revoluo se:

54 A densidade fora uniforme. No existira o relieve. A rotao foi se constante. No existiram campos gravitacionais exteriores (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/A1.pdf). O geide uma superfcie que conserva o potencial gravitacional constante e a direo da gravidade perpendicular. Esta propriedade permite que os objetos ticos que esto devidamente posicionados sua vertical coincida com a direo da gravidade e, assim, fique perpendicular ao geide. O ngulo entre a perpendicular ao geide (fio de prumo) e a perpendicular ao elipside definido como sendo a deflexo ou desvio da vertical (Burka 1974). A forma do Geide pode determinar se mediante: Medidas gravimtricas: medindo a magnitude da intensidade da gravidade em numerosos pontos da superfcie terrestre. Estas medies devem ser corrigidas para eliminar as anomalias locais devido a variaes da densidade. Medies astronmicas: Se baseiam em medir a vertical do lugar e ver suas variaes, esta variao se relaciona com sua forma (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/A1.pdf). Recapitulando digamos que o Geide se materializa como nvel meio do mar obtido a partir do promediar series de registros mareogrficos ao largo de um perodo de uns 19 anos. Ademais devem se ter em conta os movimentos Terra Lua Sol, ciclos de repetio de fases luares, ciclos de repetio dos eclipses, os ciclos repetem com uma cadencia de entre 18 e 19 anos. Para tanto de relevncia para calcular as ondulaes do geide devido a massas perturbadoras este processo se faz atravs da formula do Burns que se descreve a continuao (Introcaso, 2006). Se por simplicidade se considera que o modo de referncia uma esfera (raio constante) e irrotacional (velocidade angular nula), as equipotencialidades em P (ponto lumi-solares correspondentes a movimento dos nodos da orbita luar estes ciclos mais ou menos se

55 sobre a superfcie) e em Q (ponto elevado, por exemplo, em N =20m) tenham os seguintes valores. Vp = Vq = (O desenvolvimento em serie converge sempre e quando < 1, questo que est

garantida, pois a ondulao do Geide muito menor que o raio da Terra). Logo: Vq

Siendo : gravidade da Terra Por lo tanto a diferencia de potencial T es: Deve se considerar agora que T produzida pela presena da massa de um jcimiemto subsuperficial. Devido a ele, a equipotencialidade Vp se elevar uma quantidade N que pode ser calculada em frmulas anteriores, esta expresso a frmula de BURNS frmula de BURNS (Introcaso, 2006), (figura 19 http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf). 6.3 Outras superfcies:

Figura 19 Superfcies mais representativas (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf) Teluroide A determinao do Geoide mediante a frmula integral de Stokes possui duas srias limitaes:

56 1. No devem ter massas por cima do Geide. 2. A medida da gravidade tomada na superfcie terrestre deve ser reduzida a Geide. Isto requer que para resolver corretamente o primeiro ponto necessitamos conhecer as densidades das massas topogrficas, e para resolver corretamente o segundo ponto devemos conhecer o valor da variao da gravidade com a altura ao longo da linha vertical entre a superfcie topogrfica e o Geide, o qual leva a um problema j que no se conhecem as densidades das massas topogrficas ao largo dessa linha vertical (http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf) . Com tudo isto o mtodo clssico para a determinao do Geide se encontra com o grave problema de que no se tem um bom conhecimento das massas por cima do Geide. Para solucionar este problema, o cientfico Russo M.S Molodemsky, introduz uma nova superfcie auxiliar chamada Teluroide para determinar a figura da terra. O Teluroide se define como a superfcie formada por aqueles pontos (Q) que possuem o mesmo potencial normal que o do geopotencial nos diferentes pontos (P) da superfcie da Terra (Figura 19).

Figura 20 Medies em o Teluroide (Introcazo, 2006) A distancia desde P a Q se le chama anomalia do altura y a valor

57 gP = gP

Q

A anterior frmula se denomina anomalia ao ar-livre. A altitude normal H* se pode obter a partir de medidas de nivelao e gravidade (nmero geopotenciais). Para trabalhar com este tipo de teorias se faz necessrio ter em conta duas quantidades situadas em cenrios diferentes: uma delas no cenrio planteado pela teoria de Stokes-Helmert e outra no cenrio planteado pela teoria de Molodemsky. No cenrio de Stokes-Helmert esta quantidade definida como: g g = 0.3086

E no cenrio de Molodemsky: = 0.3086

De forma geral no se comete um erro final superior aos 1-2 cm na determinao da ondulao do Geide se considera que *HH , pelo que, apesar de plantear se dos cenrios completamente diferentes, as anomalias de gravidade representam o mesmo valor numrico em ambos os casos, como se pode observar nos dois modos matemticos as quantidades referidas a Po y Qo como as quantidades referidas em P e Q cumprem os mesmos princpios, para tanto graas ao teorema de Burns se teria: P= http://www.01.ign.es/ign/resources/acercaDe/aig/D.pdf Onde agora TP (Potencial Perturbador), se refere superfcie da Terra em lugar de ao Geide, dizer, se h trasladado o problema do contorno planteado do Geide a superfcie topogrfica, antes a fronteira ou contorno era o Geide e ali se resolvia o problema e agora o problema se plantea sobre e prprio contorno topogrfico e ali onde se resolve. No obstante, o teluroide no uma superfcie do nvel, e a cada ponto P da superfcie terrestre lhe corresponde uma superfcie equipotencial W = WP diferente. Portanto, a relao entre g ondulao do Geide. Finalmente, se deve ter em conta que tambm se podem representar graficamente as anomalias de altitude e por cima do elipside, desta forma se obter uma superfcie prxima ao Geide que Molodemsky chamou de cuasigeoide. y consideravelmente mais complicada que para a

58 Cuasigeoide Superfcie no pote