Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014Prof: José Fco Valverde Calderón

Geodesia Física y Geofísica

I semestre, 2014

Ing. José Francisco Valverde CalderónEmail: [email protected]

Sitio web: www.jfvc.wordpress.com

mailto:[email protected]

http://www.jfvc.wordpress.com/

IntroducciónNota: el gráfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre

las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!!

Terreno

Geoide

Cuasi-Geoide

ElipsoideProf: José Fco Valverde Calderón

h HN HO

N

Para aprovechar las ventajas del

posicionamiento GNSS en las aplicaciones

prácticas, se requiere determinar el geoide

(cuasi-geoide), de forma que:

HO = h-NHN = h -

Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014


•Comúnmente un modelo geoidal muestran la separación entre el elipsoide de referencia y el geoide, es decir la ondulación del geoide

Introducción

Modelo EGG97 (Regional, Europa) Modelo GCG2011 (Nacional, Alemania)


Introducción

Tomado de: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/, 2014Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014Prof: José Fco Valverde Calderón

Introducción•Cuando se elabora un modelo geoidal, estos deben ser validados. Comúnmente esta validación se hace comparando con alturas conocidas

http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

•Métodos para el calculo de un modelo geoidal: 1.Métodos Astro-geodésicos: con base a observaciones astronómicas, se obtiene la desviación de la vertical2. Métodos gravimétricos: los cuales analizan la magnitud del vector de aceleración de la gravedad a través de la teoría del potencial; conduce a obtener de ondulaciones de geoide absolutas3.Aplicando métodos geométricos: se basan en la determinación de alturas elipsoidales h (GNSS), alturas ortométricas H (nivelación geométrica), con lo que se calcula el valor de N.4.Mediante métodos dinámicos u orbitales: los cuales analizan las desviaciones de las órbitas reales de los satélites artificiales (órbitas perturbadas) en relación con la orbita teórica o calculada5.Mediante altimetría satelital.6.Mediante mediciones satélite – satélite.

Prof: José Fco Valverde Calderón

Introducción


•La tarea fundamental de la geodesia es determinar la forma y el tamaño de la Tierra.•Para este fin, se analizan las observaciones efectuadas sobre esta.•Esto lleva a la formulación de un problema de valor limite o de frontera (según nuestro caso). •Este problema es determinar una función armónica (T=0), en el exterior de una superficie de frontera S (en este caso, el geoide).•En esta superficie S se conocen ciertos valores, como la deflexión de la vertical, números geopotenciales, anomalías de gravedad.•Estas cantidades son las observaciones de las cuales se dispone para el calculo del geoide (cuasi-geoide)•El potencial gravitacional verdadero V se determina a partir de diferentes tipos de observaciones del campo de gravedad:•Directas sobre la superficie terrestre (gravimetría terrestre, aérea)•Métodos dinámicos (análisis de las órbitas perturbadas de satélites)•Mediciones directas con satélites en el campo de gravedad (Goce)


Introducción


•V se representa comúnmente en un desarrollo armónico, el cual describe los componentes espectrales del potencial:•Las mediciones satelitales proveen de la onda larga. •Estas representan la influencia gravitacional de rasgos globales: achatamiento de la Tierra, cambios densidades, dorsales oceánicas•Mediciones terrestres regionales proveen de la onda media.•Representan los rasgos regionales, por ejemplo, cadenas montañosas. •Mediciones terrestres de alta densidad proveen longitudes de onda corta, entre 5-10 km, si se usa gravimetría aerotransportada •Representan los rasgos locales (relieve / topografia)


Introducción


•Potencial de gravedad real (W) es la suma del potencial gravitacional (V) y el potencial centrifugo ().•V es armónico fuera de las masas terrestres y dentro de estas satisface la ecuación de Poisson•Se definió el concepto de elipsoide normal, de potencial de gravedad normal (U) y la aceleración de la gravedad normal ()•Es mas simple estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo y determinando las diferencias de este en relación con el Geoide•A las pequeñas diferencias entre el potencial de gravedad real (W) y el potencial de gravedad normal (U) se le conoce como POTENCIAL ANÓMALO o POTENCIAL DE PERTURBACIÓN (T), de manera que:

T=W-U

Potencial anómalo de la Tierra

Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

•Considerando el vector de gravedad g en el punto P sobre el geoide y el vector de gravedad normal en el punto Q sobre el elipsoide normal, se define el vector de anomalía de gravedad de la siguiente forma:

•La diferencia de magnitud del vector de anomalía de gravedad se conoce como “anomalía de gravedad”.

•A la diferencia de dirección se le conoce como “desviación de la vertical”.

Anomalías de gravedad


P Qg g

P Qg g


•Se puede también comparar los valores de la gravedad real y la gravedad normal en el mismo punto P (sobre el terreno).•A la diferencia de ambos se le denomina “vector de perturbación de gravedad”.

•La diferencia de magnitud es la “perturbación de gravedad”. •La diferencia en dirección es la desviación de la vertical.•Esto debido a que se utiliza el vector de gravedad normal, solo que determinada en puntos distintos.•Este vector tiene una importante aplicación en la determinación del geoide usando gravimetría aerotransportada

P Pg g

Vector de perturbación de gravedad


•La desviación de la vertical es la diferencia en la dirección entre el vector de gravedad real y el vector de gravedad normal.•Esta conformada por dos componentes: una componente norte-sur, denominada y una componente este-oeste denominada .•La dirección de la vertical esta definida directamente por las coordenadas geográficas latitud y longitud.

( ) cos

• Componentes de la desviación de la

vertical

Desviación de la vertical


Desviación de la vertical


Tomado de: http://kartoweb.itc.nl/geometrics/reference%20surfaces/refsurf.html


http://kartoweb.itc.nl/geometrics/reference%20surfaces/refsurf.html

http://kartoweb.itc.nl/geometrics/reference%20surfaces/refsurf.html

•La gravedad medida en la superficie física de la Tierra, no puede compararse con la gravedad normal sobre el elipsoide normal, es necesario reducir el valor de la gravedad g al geoide.

•Los objetivos de reducir gravedad son:•La determinación del geoide.•Interpolación y extrapolación de gravedad.•Investigaciones geofísicas.•Solo los dos primeros objetivos son de naturaleza geodésica, ya que el tercero es un objetivo netamente geofísico.

•Pero, la principal razón (como aplicación geodésica) es que para usar la integral de Stokes es necesario que las anomalías de gravedad representen valores limites en el geoide.

Reducciones de gravedad


•El principal objetivo de reducir la gravedad es debido a que se deben cumplir las condiciones de frontera:1. Que la gravedad g este referida al geoide (ver definición de g)2. Que no hayan masas fuera del geoide (T armónico fuera del geoide)3. Que el geoide encierre las masas terrestres.

•Debido a las abruptas variaciones en los valores de densidad (muchas veces esta no se conoce) se asume un valor de = 2.67 gr/cm3.

•Procedimiento para reducir la gravedad:•Eliminar las masas topográficas fuera del geoide o correrlas por debajo del nivel del mar.•Bajar la medición gravimétrica del terreno al geoide (de P’ a P)•Restaurar el terreno.




•Considerar el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro homogéneo de radio a y altura b en un punto P situado en el eje del cilindro a una altura c sobre la el cilindro (c b), según la siguiente figura:




•Considerando un elemento de volumen

•El potencial del cilindro es:

•Con

•Siendo equivalente la expresión:

dv dx dy dz s ds d dz

P

V V

k dm dvV k

l l



22l s c z

22

P

V

s ds d dzV k

s c z


•Siendo el resultado de la integral la siguiente expresión:

•La atracción vertical A es la derivada negativa de V con respecto a c

•Diferenciando con respecto a c se tiene:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

[ ( ) ( )

ln( ( ) ) ln( )]

PV k c b c c b a c b c a c

a c b a c b a c a c

VA

c

2 2 2 22 ( )A k b a c b a c Prof: José Fco Valverde Calderón



•En caso de que P este en la superficie del cilindro, c = b, por lo que:

•La atracción vertical A será:

•Si P esta dentro del cilindro, c < b, el plano z que pasa por P divide el cilindro en dos partes, como en la siguiente figura:

2 22 2 2 lnP

b a bV k b b a b a

a

2 22A k a b a b




•En este caso se calcula el potencial V como la contribución de estas dos partes: 1 2PV V V •El termino V1 esta es igual a la expresión para V cuando P esta sobre la superficie del cilindro (se reemplaza el termo b por c) y el termino V2 esta dado por la formula anterior, reemplazando b por el termino b-c.




•La atracción vertical es:

2 2 2 2 2 2

2 22 22 2

( ) ( ) ( )

( )ln ln

P

c b c c a c b c a b c

V k b c a b cc a ba a

a a

2 2 2 22 2 ( )A k c b a c a b c



•La suma es entonces:


•El propósito de la reducción de la placa de Bouguer es la eliminación de las masas topográficas, es decir, las masas que están sobre el geoide•Para ello, se considera una placa, llamada “PLACA DE BOUGUER”

• PLACA DE BOUGUER•Suponer que el área alrededor de la estación gravimétrica P es totalmente plana y horizontal.•Suponer que las masas entre en geoide y la superficie terrestre tienen una densidad constante.•Se obtiene la atracción de la placa de Bouguer, haciendo que a tienda al en la ecuación que permite calcular la atracción vertical cuando P esta sobre el cilindro.

Reducción de Bouguer


•Al evaluar la expresión resultante, se obtiene la atracción de la placa de Bouguer de radio infinito. •Considerando la densidad como = 2.67 gr/cm3, se tiene:

•La eliminación de la topografía equivale entonces a restar el efecto de la atracción de la placa de Bouguer a la gravedad observada. A esta se le llama “Reducción incompleta de Bouguer”.•Para completar la reducción, se debe aplicar la reducción de aire libre, que lleva la estación del terreno al geoide.


Reducción de Bouguer

0,1119 BA H mGal

2BA k H


•Si g es observado en la superficie de la Tierra, el valor g0 referido al geoide es obtenido mediante una expansión en serie de Taylor:

0 ....g

g g HH

Reducción de aire libre

•Donde H es la altura entre P’ que es la estación gravimétrica en el terreno y P que es el punto en el geoide.•Suponiendo que no hay masas sobre el geoide y despreciando términos de grado superior a uno, se tiene:

•Para una reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide, se necesita conocer el gradiente vertical de la gravedad (g/H).

0g g F gF H

H


•Al término F se le conoce como “REDUCCION DE AIRE LIBRE” al geoide•Considerar que asumir la no existencia de masas sobre el geoide se interpreta como que tales masas han sido matemáticamente removidas, por lo que esta reducción es en efecto realizada en “aire libre”



Terreno

Geoide

Elipsoide

P’ → g’

P → g

Q →

•Resumen del concepto de la reducción de Bouguer y la corrección de aire Libre

•Bouguer → remover la atracción de las masas sobre el geoide

•Aire Libre → llevar la gravedad real de P’ a P


•Si se efectúa un proceso en el cual se eliminan las masas topográficas y se aplica la reducción de aire libre, esta se conoce como la “Reducción Completa de Bouguer”. •El resultado es la gravedad de Bouguer sobre el geoide:

•Donde g es la gravedad medida, F es la reducción de aire libre y AB es la reducción de la placa de Bouguer

B Bg g A F



Gravedad medida en el terreno gMenos la atracción de la placa de Bouguer -0,1119HMas la reducción de aire libre +0,3086H

Gravedad de Bouguer en el Geoide gB = g + 0,1967HGeodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

•Como ya se tiene el valor de la gravedad en el geoide, se obtiene el valor de la anomalía de gravedad al restar el valor de gB y el valor de la gravedad normal:

Anomalías de Bouguer

•Sin embargo, el uso de la reducción de la placa de Bouguer trae un inconveniente: al considerar el terreno plano, habrán desviaciones entre la topografía real y la placa de Bouguer

•El considerar esto es lo que se conoce como “CORRECCIÓN DE TERRENO”

Bg g




•Si a la gravedad observada se le suma la reducción de aire libre, se tiene:

•Se tiene la siguiente anomalía de gravedad

•A esta se le conoce como “ANOMALIA DE AIRE LIBRE”. La anomalía de aire libre refiere el valor de gravedad al nivel del mar.



AL ALg g


Corrección de Terreno


•Para mejorar la reducción de Bouguer, debido a la no eliminación de masa existente o a la eliminación de masa inexistente, se aplica la “CORRECCIÓN DE TERRENO”:



•En A se elimina la masa excedente m que atrae hacia arriba, haciendo que el valor de la gravedad aumente en P (este excedente de masa provoca el aumento en la gravedad).•En el punto B se compensa el déficit de masa -m, haciendo que la gravedad aumente nuevamente en P.•Para una masa excedente (m), h hp, c=0.•Para un déficit de masa (-m), h < hp, por lo que b = c = hp – h.•Para aplicar la corrección de terreno se tiene:

•Se define la anomalía de gravedad de Bouguer refinada como:

2

3

1

2t

Area

h hpA k dxdy

l

2

3

1

2 t

h hpA k x y

l

2B tg g k H A F



Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012


Mapa de anomalías de Bouguer, derivadas del modelo EGM08Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualization


Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012


Mapa de anomalías de Aire Libre, derivadas del modelo EGM08Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualization


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