Geoestatística · 2012-12-11 · IntroduçãoVariogramaModelos básicos de correlação espacialModelaçãoInterpolação espacial & Simulação Geoestatística Susana Barbosa Mestrado

Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação

Geoestatística

Susana Barbosa

Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013

Susana Barbosa: Análise de dados em Geociências Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013


Geoestatística

conjunto de técnicas matemáticas e numéricas paracaracterizar fenómenos espaciais contínuos

tendo em conta a correlação espacial entre as observações(observações de locais próximos tendem a ser mais semelhantes do que observaçõesde locais afastados)

Áreas de aplicação: minas, petróleo, hydrogeologia, hidrologia,meteorologia, oceanografia, geografia,...



Geoestatística






Geoestatística






Objectivos

I Estimação (interpolação óptima / kriging)conjunto discreto de observações −→ mapa

I Simulaçãoconjunto discreto de observações −→ vários mapas(avaliação da incerteza )



Exemplo



Exemplo



Geoestatística versus Interpolação



Geoestatística

I é uma ferramenta (não permite produzir bons resultados apartir de maus dados)

I não substitui senso comum, julgamento pessoal,...

I não é uma “black-box”

I análise exploratória é fundamental

“Geostatistics is an art, and as such, it is neither completely

automatable nor purely objective” [A. Journel]



Geoestatística

I é uma ferramenta (não permite produzir bons resultados apartir de maus dados)

I não substitui senso comum, julgamento pessoal,...

I não é uma “black-box”

I análise exploratória é fundamental

“Geostatistics is an art, and as such, it is neither completely

automatable nor purely objective” [A. Journel]



Notação

A - domínio espacial

S(x) - fenómeno espacial contínuo

xi - conjunto discreto de localizações i = 1, ...,n

Yi - valores observados

Yi = S(xi)



Estacionaridade

Um processo S(x) é estacionário de 2ª ordem se

E [S(x)] = µ

é constante ∀x

V [S(x)] = σ2

é constante ∀x

Cov [S(x),S(x ′)] = Cov(x − x ′)

só depende do vector diferença entre x e x ′



Isotropia

Um processo estacionário S(x) é isotrópico se

Cov [S(x),S(x ′)] = cov(||x − x ′||) = Cov(h)

só depende da distância entre x e x ′

Cov(h) = E [S(x)S(x + h)]



Correlação

A função de correlação entre dois quaisquer valores de S(x)em locais separados de uma distância u é dada por

ρ(h) = Cov(h)/Cov(0)⇔ ρ(h) = Cov(h)/σ2



Variograma

É uma alternativa à covariância / correlação para caracterizar adependência espacial

O variograma de um processo S(x) é definido como

2γ(x , x ′) = E [(S(x)− S(x ′)

) 2]

Notação:

2γ - variograma; γ - semi-variograma



Variograma (cont)

No caso de um processo estacionário, o variograma pode serrepresentado por uma função que só depende do vector diferençaentre os pontos

γ(x , x ′) = γ(x − x ′)

No caso de um processo estacionário e isotrópico, o variogramapode ser representado por uma função que só depende da distânciah = ||x − x ′||

γ(x , x ′) = γ(h)



Variograma (cont)

2γ(h) = E [(S(x + h)− S(x))2]

Propriedades do variograma

I γ(0) = 0

I γ(h) ≥ 0

I γ(h) = γ(−h)



Função de covariância e variograma

A função de covariância e o variograma são teóricamenteequivalentes

O variograma pode ser obtido a partir da função de covariância

γ(h) = Cov(0)− Cov(h)

Enquanto que em séries temporais é mais usada a covariância, emgeoestatística é mais comum usar o variograma, por representaruma classe de processos mais geral



Função de covariância e variograma



Interpretação do variograma



“Nugget effect”

Efeito nugget, γ(h = 0) 6= 0

Interpretação:

I erros de medição

I variabilidade a uma escala mais pequena do que a menordistância entre pontos na amostra

I combinação dos casos anteriores



Modelo de Matérn

ρ(h) =[2k−1Γ(k)

]−1(h/φ)kKk (h/φ)

Parâmetros:

φ > 0 (parâmetro de escala), k > 0 (parâmetro de forma)

Kk (função de Bessel de ordem k )



Modelo Exponencial

ρ(h) = exp(−h/φ)

Parâmetros: φ > 0 (parâmetro de escala)



Modelo Gaussiano

ρ(h) = exp(−(h/φ)2)




Modelo Esférico

ρ(h) =

{1− 1.5(h/φ) + 0.5(h/φ)3 , 0 ≤ h ≤ φ

0 , h > φ




Exemplo



Modelo Onda

ρ(h) = (φ/h)sin(h/φ)




Variograma

S(x) - fenómeno espacial contínuo num domínio espacial A

xi - conjunto discreto de localizações i = 1, ...,n

Yi - valores observados

O variograma é definido como

2γ(x , x ′) = E [(S(x)− S(x ′)

) 2]



Variograma empírico

O estimador (clássico) do variograma é dado por

γ(h) =1

2Nh

Nh∑i=1

[Y (x(i+h))−Y (xi)]2

onde Nh é o número de observações separadas de um lag espacial h



Exemplo



Exemplo



Exemplo



Exemplo



Variograma empírico

Outro estimador do variograma (módulo) é dado por

γ(h) =

[1

Nh

∑Nhi=1 |Y (x(i+h))−Y (xi)|1/2

]4

0.914 + 0.988Nh



Exemplo



Exemplo



Estimação



Estimação



Estratégias de estimação

I “Olho”

I Mínimos quadrados (OLS, WLS)

I Máxima verosimilhança (ML, REML)



Exemplo



Exemplo



Exemplo



Exemplo



Exemplo



Estimação paramétrica



Exemplosigmasq phi21489.78 17.00









Anisotropia



Variogramas direccionais



Interpolação espacial

S(x) - fenómeno espacial continuo

xi - conjunto discreto de localizações, i = 1, ...,n

Yi = S(xi) - valores observados

Objectivo:

prever S(x0) [S num ponto arbitrário x0 não amostrado]



Média

Sem correlação espacial

M = 1n∑n

i=1 S(xi)

(mesmo peso para todas as observações = 1/n)

Com correlação espacial

M =∑n

i=1 wiS(xi)

(pesos wi a reflectir a correlação espacial)



Kriging (ordinário)

S(x0) =∑n

i=1 wiS(xi) =∑n

i=1 wiYi

Os pesos wi são a solução do sistema∑n

i=1 wiγ(xj − xi) = γ(xj − x0) ∀j

∑ni=1 wi = 1

Variância: σ2 =∑n

j=1 wjγ(xj − x0)



Kriging

Kriging é um método de previsão espacial computacionalmenteintensivo (não é o método mais rápido para fazer interpolaçãoespacial e gerar um mapa), mas

I integra o conhecimento obtido na análise da estrutura decorrelação espacial (variograma)

I a interpolação é exacta (a solução num ponto amostrado éo valor observado)

I fornece uma estimativa do erro associado à previsão(variância kriging)



Validação cruzada

O processo de validação cruzada consiste em

I retirar uma observação Yj da amostra

I estimar S(xj) via kriging

I calcular a diferença entre o valor estimado e o observadoYj − S(xj)



Validação cruzada

A média dos erros de validação cruzada dá uma indicação doenviezamento da estimativa

ε =1n

n∑j=1

(Yj − S(xj)

)ε ∼ 0 - sem enviezamento

ε < 0 - sobre-estimação

ε > 0 - sub-estimação



Validação cruzada

O erro médio quadrado de validação cruzada standardizado dáuma indicação da adequação do modelo

1n

n∑j=1

(Yj − S(xj)

)2

σ2 ' 1



Exemplo



Exemplo



ExemploKriging, modelo Matern



ExemploKriging, modelo Gaussiano



Exemplo

Validação cruzada

# Modelo MaternMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.errors -42.9 -15.7 1.3 1.6 13.4 73.5std.errors -1.2 -0.5 0.05 0.02 0.43 2.1

# Modelo GaussianoMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.errors -1571 -56.6 7.0 -32.5 66.5 2229std.errors -7559 -1833 25.5 5.5 2148 6819



Exemplo

Validação cruzada



Exemplo

Validação cruzada



Previsão espacial

I Interpolação espacial (interpolação óptima, kriging)observações + modelo de correlação espacial (variograma)→ kriging→ 1 mapa + incerteza (variância)

I Simulaçãoobservações + modelo de correlação espacial (variograma)→ simulação→vários mapas(incerteza dada pelas diferenças entre os vários mapas)



Simulação geoestatística gaussiana

I Simulação conditional

respeita os valores das observações

I Simulação não condicional

não respeita os valores das observações

Hipóteses: S(x) é um processo gaussiano estacionário, demédia µ, variancia σ2 e covariância C(u) = Cov [S(x),S(x ′)],u = ||x − x ′|| (distribuição gaussiana multivariada)



Simulação condicional

I respeita os valores das observações (a menos que omodelo de correlação espacial tenha τ 6= 0)

I replica a média, variância e covariância (semi-variograma)das observações, em média (muitas realizações)

I as superfícies simuladas são semelhantes às resultantesde kriging, mas com mais variabilidade espacial



Simulação não condicional

I não respeita os valores das observações

I replica a média, variância e covariância (semi-variograma)das observações, em média (muitas realizações)

I a estrutura espacial das superfícies simuladas ésemelhante à obtida por kriging, mas as áreas de valoreselevados/baixos não são necessáriamente as mesmasdas observações



Exemplo - simulação condicional



Exemplo - simulação condicional



Exemplo - simulação não condicional








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