GEOMETRİ

Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakıĢ açısı.

Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının

da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düĢünür Platon un açtığı kapıdan birlikte

geçelim.

‘’Geometri bilmeyen bu kapıdan giremez’’ diyen düĢünüre saygılarımızla.

Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan

baĢlayarak gezimize çıkacağız.

NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM ve UZAY Tanımsız Terim olarak alınacaktır. Terimlerin

tanımları yapılmayacak, ne anlamda kullanıldıkları sezginize ve hayal gücünüze

bırakılacaktır.

Hayal gücümüzü sınamaya aĢağıdaki örnekle baĢlayalım.

ġekildeki küpte;

Küp ün köĢeleri birer Nokta dır.

A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ Sekiz nokta.

Küp ün ayrıtları (kenarları) her iki uçtan sonsuza uzatılırsa birer Doğru dur.

AB, BC, CD, DA, AA’, BB’, CC’, DD’, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’ Oniki doğru.

Küp ün yüzleri her yönden sonsuza uzatılırsa birer Düzlem oluĢturur.

ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, DCC’D’, BCC’B’, ADD’A’ Altı düzlem.

Tanımsız terimleri biraz daha irdelersek,

Noktanın boyutunun olmadığını, Doğrunun bir boyutlu, Düzlemin iki boyutlu ve Düzlemin

de üç boyutlu olduğunu söyleyebiliriz.

Boyut kavramını açtığımızda;

Doğru üzerindeki bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı yeterlidir.

Sayı ekseni üzerindeki A noktasına karĢı gelen 2 sayısı, A nın baĢlangıç noktası O dan

2 birim uzaklıkta olduğunu, B noktasına karĢı gelen -3 sayısı, B nin baĢlangıç noktası

O dan (diğer tarafında) 3 birim uzaklıkta olduğunu gösterir.

A(2), B(-3) olarak gösterilir.

Düzlemdeki bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı ikilisi gerekir.

Düzlemde (R2 de) A noktasına karĢı gelen (2,3) gerçek sayı ikilisi, A nın x ekseninden3,

y ekseninden 2 birim uzakta olduğunu, B noktasına karĢı gelen (-2,4) gerçek sayı ikilisi,

B nin x ekseninden 4, y ekseninden (diğer tarafında) 2 birim uzaklıkta olduğunu gösterir.

A(2,3) ve B(-2,4) olarak gösterilir.

Uzayda bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı üçlüsü gerekir.

Uzayda (R3 de) A noktasına karĢı gelen (3,4,5) sıralı üçlüsü, A nın y0z düzleminden 3,

x0z düzleminden 4, x0y düzleminden 5 birim uzaklıkta olduğunu gösterir.

A(3,4,5) olarak gösterilir.

A noktasına karĢı gelen sayı (sayılar), noktanın koordinatlarıdır.

Doğruda bir sayı, düzlemde iki sayı, uzayda üç sayı kullanıldığından, doğru bir boyutlu,

düzlem iki boyutlu ve uzay üç boyutludur.

Bir baĢka deyimle;

Noktanın boyu, eni ve yüksekliğinden söz edilemeyeceğinden nokta boyutsuz.

Doğruda yalnızca uzunluktan söz edilebileceğinden doğru bir boyutlu.

Düzlemde uzunluk ve geniĢlikten söz edilebileceğinden düzlem iki boyutlu.

Uzayda uzunluk, geniĢlik ve yükseklikten söz edilebileceğinden uzay üç boyutludur.

‘’Verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri nedir?’’

Sorusunun yanıtı, Düzlemde veya Uzayda sorulmuĢ olmasına göre değiĢiktir.

Düzlemde (R2 de) verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik

yeri ÇEMBER.

Uzayda (R3 de) verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri

KÜREdir.

Yolculuğa baĢlamıĢ iken,

AB doğrusu üzerindeki A ve B noktalarının doğruyu kaç bölgeye ayırdığını,

E düzleminde alınan d ve l doğrularının düzlemi kaç bölgeye ayırdığını,

Uzayda alınan E ve F düzlemlerinin uzayı kaç bölgeye ayırdığını Ģimdilik soru olarak

bırakıp daha temel konulara dönelim.

Geometriyi anlayabilmek için öncelikle Ģekilleri ve sembolleri iyi okumak gerekir.

Örneğin; A ve B noktalarından geçip , C noktasından geçmeyen d doğrusu (A ve B

noktaları d doğrusu üzerinde, C noktası d doğrusunun dıĢında) Ģekil olarak;

Ve semboller ile A d , B d , C d biçiminde gösterilir.

Nasıl bazı terimleri tanımsız olarak aldıysak, bazı önermeleri de irdelemeden kabul

edeceğiz. Doğruluğunu ispatsız olarak kabulleneceğimiz bu önermelere Aksiyom adı

verilir. Hiç vakit kaybetmeden Aksiyomlarımızı sıralayıp Geometri yapımızı kuralım.

AKSİYOM: Farklı iki nokta bir ve yalnız bir doğru belirtir.

Bu demektir ki; farklı iki nokta verildiğinde bu noktalardan geçen bir doğru, bir doğru

verildiğinde üzerinde farklı iki nokta düĢünülmelidir.

‘’Herhangi üçü doğrusal olmayan (aynı doğru üzerinde bulunmayan) 5 farklı nokta kaç

doğru belirtir?’’ sorusunun yanıtı: C(5,2)=

=10

Analitik geometride: Ġki nokta verildiğinde, bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi,

doğru denklemi verildiğinde de, üzerindeki iki nokta (genellikle, eksenleri kestiği

noktalar) düĢünülmelidir.

SONUÇ: Farklı iki doğru en çok bir noktada kesiĢir.

Genelleme yapıldığında:

n tane farklı nokta (herhangi üçü doğrusal olmayan) C(n,2)=

doğru belirtir.

n tane farklı doğru en çok C(n,2) =

noktada kesiĢir.

Aynı düzlem içinde olup kesiĢmeyen doğrulara paralel doğrular denir.

Ġki doğrunun paralel olması için ortak noktalarının olmaması yetmez, aynı düzlem içinde

olmaları da gerekir.

d1E, d2E ve d1d2=Ø d1//d2

Farklı düzlemler içinde olup kesiĢmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.

d1E, d2F ve d1d2=Ø d1 ve d2 Aykırı doğrulardır.

Geometri ile sayılar arasındaki iliĢkilere baĢlamıĢ iken aĢağıdaki problemlerin çözümüne

de bir göz atalım. Bakalım altından ne gibi gerçekler çıkacak.

Bir demir çubuğu 2 dakikada kesebilen demirci, 12 m. uzunluğundaki demir çubuğu

3 parçaya kaç dakikada ayırır?

Bir kesim 2 dakika sürdüğüne göre, 3 kesim 3.2=6 dakika sürer diyenler yanılgıya

düĢecektir. Çünkü, çubuğu 3 parçaya ayırmak için iki kesim yapılacaktır.

Doğru yanıt 2.2=4 dakika olmalıdır.

100 metre uzunluğundaki bir yol kıyısına tek taraflı 5 metrede bir ağaç dikilecektir.

Yolun baĢına ve sonuna da ağaç dikileceğine göre kaç ağaç gerekir?

100:5=20 ağaç gerekir yanıtı yanlıĢ olacaktır. Evet, 5 er metrelik 20 aralık var ve her

aralık için bir ağaç dikilecektir fakat yolun baĢına da dikilecek ağacı unutmamak gerekir.

Bu yüzden 100:5=20 ve 20+1=21 ağaç gerekir yanıtı doğru yanıt olacaktır.

Yukarıdaki soruların çözümlerindeki mantık, doğru üzerindeki noktalar doğruyu kaç

parçaya ayırır sorusunun çözümünde gizlidir.

Doğru üzerinde herhangi bir nokta seçilmediğinde, doğru tek parçadır.

Seçilen nokta sayısı: 0 Parça sayısı: 1

Adım adım ilerlediğimizde,

Seçilen nokta sayısı: 1 Parça sayısı: 2

Seçilen nokta sayısı: 2 Parça sayısı: 3

...........

Seçilen nokta sayısı: n Parça sayısı: n+1

Parça sayısı = C(n,0)+C(n,1) = n+1

Düzlem üzerine herhangi bir doğru çizilmediğinde, düzlem tek parçadır.

Çizilen doğru sayısı: 0 Parça sayısı: 1

Çizilen doğru sayısı: 1 Parça sayısı: 2

Çizilen doğru sayısı: 2 Parça sayısı: 3 veya 4

Çizilen doğru sayısı: 3 Parça sayısı: 4 veya 7

............

Çizilen doğru sayısı: n Parça sayısı: en az n+1, en çok

Parça sayısı (en çok)=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)=

AĢağıda düzlemde çizilen 4 doğrunun düzlemde ayırdığı parçalar araĢtırılmıĢtır.

d1//d2//d3 d1//d2 d1 d2 d3 ={A} d1 d2={A}

d3 d2={B}

d1 d3={C}

Çemberin, n tane keseni ile birlikte düzlemi kaç bölgeye ayırabileceğini ve n tane

düzlemin uzayı kaç bölgeye ayırabileceğini ve de benzer soruları ilerideki konularda

incelemek üzere tekrar doğruya dönelim.

AKSİYOM: Bir doğrunun noktaları ile gerçek sayılar arasında bire-bir bir eşleme

yapılabilir.

Doğru üzerindeki her noktaya bir gerçek sayı, her gerçek sayıya da doğru üzerinde bir

nokta karĢı gelir.

Sayılar ile birlikte bu doğruya Sayı Ekseni, sayı ekseni üzerindeki bir noktaya karĢı gelen

sayıya da bu noktanın Koordinatı denir. A(a) Ģeklinde gösterilir.

A(a) ve B(b) noktaları arasındaki uzaklık: |AB| = |a-b| dir.

Sayı ekseni ve Mutlak değerden söz etmiĢ iken birkaç noktaya değinmeden geçmeyelim.

| | gösterimi ; sayı ekseninde, baĢlangıç noktasından uzaklığı c

birim olan noktaların koordinatını verir.

| | A(-3) ve B(3) noktalarını gösterir.

gösterimi ; sayı ekseninde, baĢlangıç noktasından uzaklığı c

birimdenden az olan noktaların koordinatlarını verir.

| | A(-3) ve B(3) olmak üzere; [AB] noktalarını gösterir.

veya gösterimi; sayı ekseninde , baĢlangıç noktasından

uzaklığı c birimdenden fazla olan noktaların koordinatlarını verir.

| | A(-3) ve B(3) olmak üzere; d-[AB] noktalarını

(doğrunun, [AB] dıĢındaki noktaları) gösterir.

cxccx

cxcx cx

gösterimi ; sayı ekseninde, koordinatı a olan noktadan, uzaklığı b birim

olan noktaların koordinatlarını verir.

| | A(-1) ve B(5) noktalarını gösterir.

|x-2| ifadesinin alabileceği en küçük değer sıfır olup, x=2 olduğunda gerçekleĢir.

|x-2|+|x-7| ifadesinin alabileceği en küçük değer 5 olup, 2 < x < 7 olduğunda

gerçekleĢir.

Kapalı aralık.

Soldan kapalı aralık.

Açık aralık.

Sağdan kapalı aralık.

A, B, Cd ve |AB|+|BC|=|AC| ise B noktası, A ile C ‘’arasındadır’’ denir.

A(a), B(b), C(c) iken a < b < c ise B noktası, A ile C arasındadır.

Örneğin; sayı ekseninde koordinatları sırasıyla

olan

A, B, C noktalarından

eĢitsizliği gereği B noktası A ve C

arasındadır.

Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluĢan kümeye

[AB] doğru parçası denir.

[AB] = {C: |AC|+|CB|=|AB| }

[AB] doğru parçasının uzunluğu |AB| biçiminde gösterilir.

bax

babxax ,:

,: abxax b

babxax ,:

,: abxax b

Uzunlukları eĢit doğru parçalarına ‘’ eĢ doğru parçaları’’ denir.

|AB|=|CD| [AB] [CD]

UYARI: Eşlik ve Eşitlik kavramları birbirine karıştırılmamalıdır.

A(2), B(5), C(6) ve D(9) noktaları için;

|AB|=|2-5|=3 ve |CD|=|6-9|=3 |AB|=|CD|=3 [AB] [CD] dir.

Farklı noktalar kümesi olduklarından [AB] = [CD] yazılamaz. [AB] [CD] dir.

C[AB] için |AC|=|CB| ise C noktası [AB] nin orta noktasıdır.

x = 2

ba orta noktanın koordinatı.(Aritmetik orta)

[AB] doğru parçası ile, B noktası A ile C arasında olacak biçimde alınan bütün

C noktaları kümesinin birleĢimine [AB ıĢını denir.

[AB = {C: |AB|+|BC|=|AC|} [AB]

[AB ve [AD zıt ıĢınlardır.

‘’Tüm geometrik Ģekiller, elemanları noktalar olan kümelerdir’’ demiĢtik. Gelin bu

kümelerle birkaç iĢlem yapalım.

[AB [AD = d

[AB [AD = {A}

[AB [BD = [AB]

A noktası dıĢında [AB ıĢınının noktalarının kümesine ( [AB – {A} = ]AB )

]AB yarı doğrusu denir.

]AB = {C: |AB|+|BC|=|AC|} ]AB]

]AB ]AD = d-{A}

]AB ]AD = Ø

Biraz daha doğru parçası ile ilgilenirsek;

EK BİLGİ:

Bir doğru üzerinde A(a) ve B(b) gibi iki nokta verildiğinde:

kCB

CA , 1k olan C(x) noktası için

k

kbax

1 dır.

( k< 0 alınırsa C arada, k > 0 alınırsa C dıĢtadır. )

Verilen bir doğru parçasını,verilen bir oranda içten ve dıĢtan bölen iki noktaya,bu doğru

parçasını HARMONİK olarak böler denir.

Harmonik bölme yapan dört noktanın koordinatları arasında:

(a+b)(c+d) = 2(ab+cd) bağıntısı vardır.

Örneğin; gelecek bölümlerde ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz bir teorem:

‘’Üçgenin bir açısının iç ve dıĢ açı ortayları, karĢı kenarı harmonik olarak böler.’’

Bu kadar bilgi birikimini Ģimdi birkaç soruda kullanalım.

P her hangi bir nokta , OBAO 2 iken:

POkPBPA 2 ise k sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM:

|PA|=x ve |AB|=3y dersek;

|PB|=x+3y, |PO|=x+2y değerlerini

POkPBPA 2 eĢitliğinde yerlerine yazdığımızda

x+2(x+3y)=k(x+2y)

3x+6y=k(x+2y)

3(x+2y)=k(x+2y) eĢitliğinden k=3 bulunur.

Bir [AB] doğru parçasının orta noktasının aynı tarafında P ve Q noktaları alınıyor.

P noktası [AB] yi 3

2oranında,

Q noktası ise [AB] yi 4

3 oranında bölüyor.

2PQ ise AB değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:

P noktası [AB] yi 3

2oranında böldüğünden

3

2

PB

PA

| |

| | | |

| |

| |

|PA|=5

2|AB| dir.

Q noktası ise [AB] yi 4

3 oranında böldüğünden

4

3

QB

QA

| |

| | | |

| |

| |

|QA|=7

3|AB| dir.

|PQ|=|QA|-|PA|=7

3|AB|-

5

2|AB| =

35

1|AB|=2 |AB|=70 birimdir.

ADACAB5

1

3

1 ve 2CD ise;

[AB] ve [AD] nin orta noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

ÇÖZÜM:

|AB|=x dersek,

|AC|=3x ve |AD|=5x olur.

|AD|-|AC|=|CD|

|CD|=5x-3x =2x=2

[AB] nin orta noktası O1 , [AD] nin orta noktası O2 alınırsa;

|AO1|=

ve |AO2|=

|O1O2|=|AO2|-|AO1|=

|O1O2|=2 bulunur.

PBAP 4 , QBAQ 3 , 3AB olduğuna göre,

PQ kaç birimdir

ÇÖZÜM:

|AP|+|PB|=4|PB|+|PB|=5|PB|=|AB|=3 |PB|=

|AQ|+|QB|=3|QB|+|QB|=4|QB|=|AB|=3 |QB|=

|PQ|=|QB|-|PB|=20

3

5

3

4

3

birim bulunur.

|AB|=6 br. P[AB] olduğuna göre,

|AP|2+|PB|2 toplamının en küçük değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:

C noktası [AB] nin orta noktası olarak alındığında; |AC|=|CB|=3 olur.

|PC|=x dersek;

|AP|=3-x ve |PB|=x+3

|AP|2+|PB|2=(3-x)2+(3+x)2

toplamın en küçük değeri alması için x=0 olmalıdır.

|AP|2+|PB|2=32+32=9+9=18 bulunur.

Geometride bir adım daha atarak Düzlem kavramını incelemeye baĢlayabiliriz.

AKSİYOM: Doğrusal olmayan üç nokta bir ve yalnız bir düzlem belirtir.

SONUÇLAR:

Bir doğru ve dıĢındaki bir nokta, bir düzlem belirtir.

KesiĢen iki doğru, bir düzlem belirtir.

Paralel iki doğru, bir düzlem belirtir.

Bu önermelerden sonra, doğrusal olmayan üç nokta gördüğümüzde bir düzlem,

Bir düzlem verildiğinde de üzerinde doğrusal olmayan üç nokta düĢünülmelidir.

TEOREM:

Bir doğru içinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesit kümesi bir tek noktadan

oluĢur.

dE={A}

DİKKAT: Düzlemde çizilen doğru, düzlemin bir alt kümesidir.

DOĞRUNUN DÜZLEME PARALELLİĞİ:

Düzlem ile ortak noktası olmayan doğrular, düzleme paraleldir denir.

dE = Ø d//E

AKSİYOM: Kesişen farklı iki düzlemin arakesiti bir doğrudur.

E1 E2 = d

d E1 ve d E2

PARALEL İKİ DÜZLEM:

Ortak noktaları olmayan düzlemler bir birine paraleldir.

E1 E2 = Ø E1//E2

KONVEKS KÜMELER :

Kümeden alınan iki noktayı uç kabul eden doğru parçası kümenin bir alt kümesi ise

kümeye Konvekstir denir.

A,BK için; [AB]K ise K nokta kümesi konvekstir.

ÖRNEK:

KONU TARAMA TESTİ: 1

1. AĢağıdakilerden hangisi tanımsız terim değildir?

A) Nokta B) Doğru C) Düzlem D) Açı E) Uzay

2. AĢağıdaki geometrik Ģekillerden hangisi iki boyutludur?

A) Nokta B) Doğru C) Doğru parçası D) Üçgen E) IĢın

3. ‘’Bir düzlemin doğrusal olmayan en az a, uzayın düzlemsel olmayan en az b noktası

vardır.’’

Aksiyomunda a+b toplamı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. n kenarlı çokgeni taban kabul eden prizmada ayrıtların belirttiği kaç tane doğru

vardır?

A) n+2 B) 2n C) n2 D) 3n E) 4n

5. Herhangi üç düzlem uzayı en çok kaç bölgeye ayırır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

6. Bir çemberin iki tane keseni çemberle birlikte düzlemi en az kaç bölgeye ayırır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7. Sayı ekseni üzerindeki A, B, C noktalarının koordinatları sırasıyla

x-2, x+2, x-3 olduğuna göre, hangi nokta diğer ikisi arasındadır?

A) A B) B C) C D) A=B E) B=C

8. AĢağıdaki önermelerden hangisi yanlıĢtır?

A) A ve B konveks kümeleri için AB kümesi konvekstir.

B) A ve B konveks olmayan kümeleri için AB kümesi konveks olabilir.

C) Doğru parçası konvekstir.

D) Farklı üç noktadan en çok bir düzlem geçer.

E) Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer.

9. Farklı on nokta en çok kaç doğru belirtir?

A) 25 B) 36 C) 45 D) 49 E) 50

YANIT ANAHTARI:

1.D 2.D 3.D 4.D 5.D 6.E 7.A 8.D 9.C