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GEOMETRÍA ANALÍTICA: CONCEPTOS BÁSICOS Y ECUACIÓN DE LA RECTA

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA Es el estudio de la geometría aplicando el álgebra y los métodos del análisis matemático en un determinado sistema de coordenadas. Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir su gráfica o el lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación y; Dada una figura geométrica o la condición que deben cumplir su puntos (lugar geométrico) determinar su ecuación.

1.1. Sistema de coordenadas cartesianas en el plano (plano cartesiano) Este sistema consta de dos rectas dirigidas perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas (eje X y eje Y) y su punto de intersección, el origen. Estos ejes coordenados dividen al plano em cuatro regiones llamados cuadrantes.

1.2. Coordenadas de un punto en el plano cartesiano. Un punto del plano queda determinado por dos números reales llamados abscisa y ordenada del punto: dichos números son las distancias dirigidas del punto a los ejes. Reciprocamente a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.

1 2x r xx1 r+

=+

1 2y r yy1 r+

=+

Observación Las coordenadas del origen es (0; 0). Si un punto pertenece al eje x, su ordenada es igual a

cero:(x; 0). Si un punto pertenece al eje y, su abscisa es igual a

cero: (0; y). El sistema cartesiano establece una correspondencia

biunívoca entre un concepto geométrico como son los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes (1596-1650).

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Teorema. La distancia “d” entre dos puntos P(x1; y1) y Q(x2; y2) está dado por la fórmula:

Del triángulo PSQ por el teorema de Pitágoras obtenemos la distancia “d” entre P y Q.

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Teorema. Sean A(x1; y1) y B(x2; y2) los extremos del segmento AB , entonces las coordenadas (x; y) del punto

Q que divide a AB en la razón dada: AQ nrQB m

= = , son:

1 2mx nxxm n+

=+

1 2my nyym n+

=+

mA nBQm n+

=+

Observación las coordenadas (x; y) del punto Q también se pueden

calcular con las siguientes fórmulas.

1 2x r xx1 r+

=+

1 2y r yy1 r+

=+

3.1. Coordenadas del punto medio de un segmento

Corolario. Sea M(x; y) : Punto medio del segmento cuyos extremos son el punto P(x1; y1) y el punto Q(x2; y2), entonces:

1 2x xx

2+

= 1 2y yy2+

=

3.2. Baricentro de un triángulo Sean A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x2; y2), los vértices de un triángulo ABC; (x; y) las coordenadas de su baricentro entonces:

1 2 3x x xx3

+ += 1 2 3y y yy

3+ +

=

GEOMETRÍA

15 CIENCIAS

y

x

P x1: abscisa de P. y1: ordenada de P. (x1; y1): coordenadas de P.

A

B

(X ,y )1 1

(X ,y )2 2

Q(X,y)m

n

K

B

+

2CB

x 1

y 1

y

x

P

x 2

y 2 Q

S

d

x 2 x 1

y 2 y 1

( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −

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4. ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo puede calcularse dados las coordenadas de sus vértices.

x1 , y1

x2 , y2

x3 , y3

x1 , y1

5. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta. Se mide a partir del eje x, en sentido antihorario.

α: Inclinación de la recta L1

β: Inclinación de la recta L2

5.1. Pendiente de una recta Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación y se denota con la letra “m”. Ángulo comprendido entre 0º y 180º que forma la recta con la parte positiva del eje x.

Del gráfico anterior: Pendiente de L1: m1 m1 = Tanβ Pendiente de L2: m2 m2 = Tanα

Observación: como

1L90º m 0β > → < como

2L90º m 0α < → > Las rectas horizontales tienen una inclinación de 0º y

su pendiente es cero.

Las rectas verticales tienen una inclinación de 90º y no poseen pendientes.

5.2. Pendiente de una recta en función de las coordenadas de dos puntos

Teorema: Si 1 2P(x ,x ) y 2 2Q(x ,x ) son dos puntos

diferentes cualesquiera de una recta L, y mL su pendiente entonces:

2 1L

2 1

y ymx y

−=

−

Del triángulo rectángulo PSQ: Lm tan= θ ⇒ 2 1L

2 1

y ymx x

−=

−

6. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

6.1. Ángulo de dos rectas dirigidas Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al ángulo formado por los dos lados que se alejan del vértice y cuya medida es menor o igual que 180°. Teorema. Un ángulo especificado “θ” formado por dos rectas 1L y 2L de pendientes 1m y 2m está dado por la fórmula:

2 1

2 1

m mTanθ1 m m

−=

+

Donde: o m1: es la pendiente inicial ( a partir de 1L se mide el

ángulo “θ” en sentido antihorario) o m2 es la pendiente final.

6.2. Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas Sean 1L y 2L dos rectas de pendientes 1m y 2mrespectivamente, entonces se cumple: Corolario. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

1L // 2L ⇔ 1 2m m= Observación 1L y 2L son paralelas, el ángulo comprendido entre ellas

es de 0° cuando tienen la misma dirección, y de 180° cuando tienen direcciones opuestas. Por ende reemplazando esto en la fórmula se deduce la condición de paralelismo.

Rectas perpendiculares Corolario. Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a -1. También dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una las rectas es la recíproca y de signo contrario que la de la pendiente de la otra recta.

x 1

y 1

y

x

P

x 2

y 2 Q

S

L

x 2 x 1

y 2 y 1 O

P2(x2,y2) P1(x1,y1)

(+) (+)

n m

P3(x3,y3)

Y

X

A B CG3

+ +=

m nA

2−

=

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1 2 1 2L L m m 1⊥ ⇔ ⋅ = −

7. ECUACIÓN DE LA RECTA

7.1. Ecuación Punto – Pendiente Si se conoce las coordenadas de un punto de una recta L

y su pendiente, se puede hallar su ecuación.

= β

m tan : Pendiente de L

( )P x; y L∈

0

0

y ymx x−

=−

Se sabe que: ( )0 0y y m(x x ) x,y L⇒ − = − ∈

7.2. Ecuación Pendiente – Ordenada en el Origen Si se conoce, la pendiente de una recta L

: m tan= β y su ordenada al origen (su intersección con el eje Y) es b, se puede hallar su ecuación:

8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

EJERCICIOS DE CLASE

1. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(7; 4) y B(–1; –2).

A) 5x – 6y – 9 = 0 B) 2x – 7y + 1 = 0 C) 15x – 8y – 7 = 0 D) 4x + 3y – 15 = 0 E) 2x + 5y – 7 = 0

2. Tres vértices de un paralelogramo son A(–1; 4), B(1; –1) y C(6; 1). Si la ordenada del cuarto vértice D es 6, halle su abscisa.

A) 5 B) 4 C) 6 D) – 4 E) – 6

3. En la figura, A(1; 0), B(11; 8) y C(x; 0). Si M es punto

medio de AB y 5ME = 2EC, halle la suma de las coordenadas del baricentro del triángulo AMC.

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10 4. En la figura, m∠BCO = 45° y A(–1,3), halle tanB.

A) 1/2

B) 2

C) 3

D) 2/3

E) 1/3 5. Halle la ecuación de la recta que contiene al punto

P(2; 4) y forma con la recta 2x + 5y – 3 = 0 un ángulo de 45°.

A) 4x + 5y + 12 = 0 B) 7x – 2y – 6 = 0 C) 3x – 7y + 22 = 0 D) – 8x + 2y – 8 = 0 E) 3x – 2y – 10 = 0

6. Halle el valor de k tal que (2, k) sea equidistante de las rectas L1: x + y – 2 = 0 y L2: x – 7y + 2 = 0.

A) 2 B) 3 C)1/2 D) 2/3 E) 3/4 7. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto

de intersección de las rectas L1: 3x + y – 4 = 0 y L2: x – 3y + 17 = 0, tiene pendiente 2/3.

A) 2x + 5y – 26 = 0 B) 4x – 6y + 35 = 0 C) 4x – 6y + 37 = 0 D) 2x – 3y + 35 = 0 E) 3x – 5y + 18 = 0

y

x

(x ; y ) 0 0

Q L

A

y

x

b

N P

L

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8. Los vértices de un triángulo son A(0; 0), B(4; 2) y C(–2; 6). Halle la ecuación de la recta que contiene a C y al baricentro del triángulo ABC. A) 3x + 4y – 18 = 0 B) 5x – y + 16 = 0 C) 4x + 5y – 22 = 0 D) 5x + 4y – 14 = 0 E) x + y – 2 = 0

9. Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4; 8/3)

y por la intersección de las rectas L1: 3x – 4y – 2 = 0 y L2: 9x – 11y – 6 = 0. A) 12x – 15y – 8 = 0 B) 5x – 3y – 12 = 0 C) 7x – 6y – 12 = 0 D) 6x – 15y + 16 = 0 E) 2x + 3y – 8 = 0

10. En la figura, desde el punto M(–2; 3) se ha dirigido

hacia el eje X un rayo de luz con una inclinación de un ángulo α, se sabe que tgα = 3. El rayo se ha reflejado del eje X. Halle la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.

A) x – 8y + 5 = 0

B) 5x – y – 3 = 0

C) x + 3y – 9 = 0

D) 3x + y + 9 = 0

E) 2x + 3y – 8 = 0 11. Halle la distancia entre las rectas paralelas

L1: x + 2y + 4 = 0 y L2: 2x + 4y – 5 = 0, en centímetros.

A) 11

20 B) 12

20 C) 13

20

D) 1420

E) 1520

12. La recta L pasa por la intersección de las rectas

L1: 2x – y – 2 = 0 y L2: x + y = 0 y por la intersección de las rectas L3: 2x + y + 1 = 0 y L4: x – 4y – 13 = 0. Halle la ecuación de dicha recta. A) 3x + 5y + 12 = 0 B) 2x + 8y – 3 = 0 C) y + 7x – 5 = 0 D) y + 7x – 4 = 0 E) x + y – 3 = 0

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Dado los puntos A(m – 1; n + 2) y B(2; 3). Si el punto

Q divide al segmento en la proporción AQ/BQ=1/2, siendo Q(–1; –2), halle m + n. A) – 2 B) – 4 C) – 6 D) – 10 E) – 8

2. La pendiente de una recta es –2 y pasa por el punto P(2; 7) y los puntos A y B. Si la abscisa de A es 4 y la ordenada de B es –1, halle la suma de las coordenadas de A y B. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

3. En el triángulo de vértices A(1; 1), B(–3; 2) y C(–1; –4), halle las coordenadas del ortocentro.

A) 3 8;10 7

B) 2 8;11 11

C) 3 5;7 7

D) 4 7;9 9

E) 11 7;10 10

4. En la figura, AB = BC, CH = 2 m y AO = 2 m. Halle

la ecuación de la recta que pasa por A y C. A) x – 2y + 2 2 = 0

B) x – y + 2 3 = 0

C) 2 x – y + 22= 0

D) 3x – 2y + 2 = 0

E) 2x – y + 1 = 0 5. En la figura, C(4; 0), T(7; 0), L1 y L2 son rectas

perpendiculares. Si ABCO es un cuadrado, N, T son puntos de tangencia y P es centro de la circunferencia, halle la ecuación de la recta L2.

A) 3x – y – 18 = 0

B) 2x – y – 10 = 0

C) x – 3y – 16 = 0

D) 3x – y + 10 = 0

E) 3x + y – 20 = 0 6. En la figura, C, D, F son puntos de tangencia y O1 es

centro. Si L1: 3x – 4y + 6 = 0, halle la ecuación de la recta L. A) 4x + 5y – 6 = 0

B) 4x + 3y – 7 = 0

C) 3x + 4y – 5 = 0

D) x + 4y – 6 = 0

E) 2x + 5y – 7 = 0

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7. En la figura, D(3; 6), AB = BC y BM = 3AM. Halle la ecuación de la recta L.

A) 2x – y + 15 = 0

B) 3x – 2y + 12 = 0

C) 5x – 2y + 10 = 0

D) 4x – 5y – 8 = 0

E) 4x – 3y – 16 = 0 8. Una recta L1: 3x + y – 6 = 0 determina con los ejes

coordenados una región triangular de área A1. Si L2 // L1 y determina con los ejes coordenados una región triangular de área A2 tal que A1 = 4A2, halle la ecuación de la recta L2. A) 3x + y + 3 = 0 B) 3x + y – 2 = 0 C) x + 3y – 1 = 0 D) x + 3y – 3 = 0 E) 6x + 2y – 3 = 0

9. En la figura, L1: x – 8 = 0 y L2: y – 6 = 0. Halle el área

(en cm2) del círculo inscrito en el triángulo ABC. A) 2π

B) 3π

C) 4π

D) 8π

E) 9π 10. En la figura, H es ortocentro del triángulo ABC. Si la

ecuación de la recta L es 3x – 4y + 48 = 0, halle las coordenadas del punto H. A) (– 8, 12)

B) (– 9, 12)

C) (– 8, 10)

D) (– 7, 12)

E) (– 6, 13)

11. Halle una de las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto P(2, –1) y que forman, cada una un ángulo de 45° con la recta L : 2x – 3y + 7 = 0. A) 5x + y – 11 = 0 B) x + y – 3 = 0 C) x + 5y – 3 = 0 D) x + 5y + 3 = 0 E) 5x – y – 10 = 0

12. En la figura, C es punto medio del diámetro OU y EC//OB. Si U(12, 5) y mOA = mAB, halle la ecuación de la recta que pasa por A y E.

A) 2x + y + 3 = 0 B) x – y – 3 = 0 C) x – y + 3 = 0 D) x – 2y + 6 = 0 E) x + 2y + 1 = 0

13. Halle el área (en u2) de la región triangular cuyos

vértices son A(– 3, 3), B(5, 5) y C(2, –4). A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35

14. Halle una de las ecuaciones de las rectas de

pendiente –3/4 que forman con los ejes coordenados una región triangular cuya área es 24 cm2. A) 3x + 4y – 20 = 0 B) 3x + 4y – 24 = 0 C) 3x + 4y + 5 = 0 D) 3x + 4y – 10 = 0 E) 4x + 3y – 24 = 0