Geometr+¡a de ingenier+¡a

GEOMETRIA DE INGENIERÍA:1. Trazado de Rectas2. Construcciones Geométricas3. Tangencias4. Curvas Invertidas5. Elipse6. Parábola7. Hipérbola8. Envolvente o Involuta

9. Espiral de Arquímedes10. Hélice11. Hélice Cónica12. Cicloide13. Epicicloide14. Hipocicloide

Geometría de ingenieríaTRAZADO DE RECTAS

Dada la recta AB, por el punto P de ella, levantar una perpendicular.1. Con una abertura adecuada de compás y haciendo centro en P se traza un

arco que corta a AB en los puntos C y D.

2. Haciendo centro alternadamente sobre C y D con radio superior a la mitad de CD se trazan arcos que se cortan en E.

3. Uniendo E con P tendremos la perpendicular pedida.


Dada la recta AB y un punto P exterior, se pide bajar una perpendicular de P a AB.1. Con una abertura de compás superior a la perpendicular y haciendo

centro en P se traza un arco que corta a AB en los puntos C y D haciendo centro alternadamente en C y D se trazan los arcos hacia arriba y hacia abajo y de modo que se cortan en E y P.

2. Uniendo E con P, tendremos la perpendicular pedida.


Dada la recta AB se pide trazar una paralela a ella por el punto P1. Por el punto P bajamos una perpendicular por el método anterior determinando su longitud = X.

2. Por un punto como C, levantamos una perpendicular por el método 1 y le damos la longitud X, determinando el punto P’.

3. Uniendo P con P’ tendremos la paralela pedida


1. Haciendo centro en P y con abertura de compás X, trazamos un arco con abertura AB en C y se prolonga hacia arriba.

2. Haciendo centro en C y con la misma abertura de compás, tazamos otro arco que corta a AB en el punto D.

3. Con el centro en C y con radio DP trazamos un arco que corta a la prolongación del 1º en el punto P’, y uniendolo con P, tenemos la paralela pedida.

Dada la recta AB se pide trazar una paralela a ella por el punto P (otro método)


Dada la recta AB, se pide dividirla en un determinado número de partes iguales (ejem. 7 divisiones).

1. Por A se traza con una regla graduada una línea auxiliar AC donde se tomen 7 unidades y luego se divide en 7 partes iguales.

2. Se une 7 con B y con las escuadras se trazan paralelas por cada punto de la división de AC y obtendremos los puntos de división AB.


Dada la recta AB, dividirlas en partes proporcionales (ejemplo 3 divisiones proporcionales a 2, 3 y 4).

1. Por B se traza una perpendicular; luego se elige una regla graduada y se toma 9 unidades, ubicando el cero sobre A y luego se desplaza la regla hasta que la división 9 coincida con un punto de la perpendicular.

2. Sobre la escala se marca para la primera división, dos unidades; para la segunda tres; y para la tercera, cuatro unidades como en la figura.

3. Se levantan perpendiculares por las divisiones 2, 5, por 9 no, puesto que coincide con la ┴ bajada por B.

Geometría de ingenieríaCONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

Dada la longitud de los 3 lados de un triangulo, constrúyase éste.1. Trácese una recta de longitud igual a “c”, luego haciendo centro con el compás en uno de sus extremos y con abertura

igual a “b” se traza un arco.

2. Haciendo centro en el otro extremo y con longitud “a” se traza otro arco que corta al anterior, dándonos el vértice “c” del triángulo; los extremos de la línea AB son los otros dos vértices del triángulo.


Dada la hipotenusa y uno de sus catetos, construir un triángulo rectángulo.1. Tomamos AB como diámetro, localizamos su centro y trazamos una semicircunferencia R = L.

2. Con A como centro y R como radio = longitud dada de uno de los catetos; trazamos un arco que intercepta al semicírculo en C.

3. Uniendo ABC tendremos el triángulo rectángulo.


Dada el lado AB, construir un triángulo equilátero.1. Haciendo centro con el compás alternadamente

en A y B y con radio AB se trazan dos arcos que determinan el punto C.

2. Uniendo AC y BC tendremos el triángulo pedido.


Trazado de un triángulo, conociendo el lado AB y los ángulos de los extremos, por A 30º y por B 45º.1. Se traza una línea de referencia y sobre ella se ubican los puntos de AB, la línea debe ser lo suficientemente larga para facilitar

la medida de los ángulos con transportador.

2. Se coloca el transportador con su centro coincidiendo con A y su cero; y 180º con la línea de referencia y se marca el ángulo de 30º; lo mismo se hace por el punto B, determinándose el tercer vértice que unidos nos darán el triángulo pedido.


Construir un ángulo igual a otro dado. Se nos da el ángulo BAC y también la línea A’C’, y nos piden construir sobre ella el ángulo BAC.

1. Tomar con el compás un radio conveniente, y haciendo centro en A, trazar un arco que intercepte a los lados del ángulo en D y E.

2. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en A’, se traza un arco que nos da el punto E’ sobre A’C’ y se prolonga hacia arriba.

3. Con E’ como centro y con abertura de compás igual a ED se traza otro arco que corta al anterior y nos da el punto D’.

4. Se traza B’A’ pasando por D’ y obteniendo el ángulo B’A’C’ igual que al ángulo BAC.


Construcción de un ángulo por el método de las tangentes. Suponiendo que se nos da la línea AX y nos piden tazar por A un ángulo de 25º.1. Sobre AX se toma una distancia cualquiera, pero preferible igual a diez unidades, ubicando el punto C.

2. En una tabla de funciones naturales buscamos el valor de la tangente del ángulo de 25º y que es 0.46631.

10 cm


3. Por C se levanta una perpendicular, formando un triángulo rectángulo. Sabemos por trigonometría que el cateto opuesto BC es igual al cateto adyacente AC por la tangente de 25º en este ejemplo.

4. Multiplicamos al cateto adyacente 10 cm por la tangente de25º = 0.46631 y nos da 4.66 que es lo que medimos por la perpendicular levantada por C y determinando el punto B.

5. Unimos B con A y tenemos el ángulo pedido.

10 cm


Construcción de un ángulo por el método de la cuerda. Suponemos que se nos da una línea AX y se nos pide trazar por A un ángulo de 29º.1. Se toma sobre AX una medida igual a diez unidades y determinamos C.

2. Con el compás y haciendo centro en A, con abertura AC se taza un arco.

3. Se recurre a una tabla de cuerdas, en la que vemos que para un ángulo de 29º y radio igual a la unidad, corresponde un valor de 0.5008; como nosotros hemos tomado un radio de diez, lo multiplicamos por este número y tenemos la cuerda 5.008.

4. Hacemos centro en C y con abertura 5, trazamos un arco que nos da el pto. B al cortar al arco CB.

5. Uniendo B con A, tenemos el ángulo pedido.


Sea el ángulo BAC dividirlo en dos partes iguales.1. Se hace centro con el compás en A, y con un radio conveniente se traza un

arco que corta a los lados en a y b.

2. Haciendo centro alternadamente sobre a y b, con radio conveniente se trazan dos arcos cuyo cruce determina el punto D.

3. Se une D con A y tenemos el ángulo BAC dividido en dos partes iguales.


Sea un ángulo recto en A; dividirlo en tres partes iguales1. Se hace centro con el compás en A y con un radio conveniente se traza un arco BC.

2. Con el mismo radio y haciendo centro alternadamente sobre B y C, se trazan dos arcos que cortan al primero en los puntos 1 y 2.

3. Se unen los puntos 1 y 2 con A, quedando dividido el ángulo recto en tres partes iguales.


Sea el polígono ABCDEF que nos piden trasladar a otra base con inclinación diferente. Método del calco.1. Valiéndonos de un papel transparente, calcamos el polígono.

2. Su base AF lo colocamos coincidiendo con la nueva base de inclinación diferente, marcando sobre ella los puntos A’F’.

3. Valiéndonos de un pequeño punzón marcamos el resto de los vértices del polígono: B’, C’, D’, E’.

4. Uniendo los vértices tenemos el polígono trasladado.


Trasladar el mismo polígono por el método de ángulos y vectores.1. Utilizando A como vértice, trazamos sobre el polígono dado los vectores: AC, AE y

AD; AB y AF son coincidentes con los lados del polígono.

2. Haciendo centro en A, trazamos un arco de radio conveniente: ab.

3. Sobre la nueva base situamos el pto. A’ y luego con el compás, el pto. F’ con abertura igual a AF.

4. Por A’ trazamos igualmente el arco a’b’, igual ab.


5. La ubicación del vector AB como la de los demás vectores, la hacemos por el método de traslación de ángulos.

6. Ubicados por traslación de ángulos todos los vectores, los vértices del polígono se ubican llevando con el compás las distancias aB, aC, aE, aD sobre el vector respectivo quedando señalados los vértices B’, C’, E’, D’.

7. Se unen los vértices correspondientes y se tiene el polígono pedido.


Dado el polígono ABCDEF situado sobre la base XX’, trasladarlo a la base X2,X3 de inclinación diferente, por el método de triangulación.

1. Dividimos el polígono dado en tres triángulos.

2. Con abertura de compás AF se ubica este lado sobre la nueva base, teniendo los puntos A’F’.

3. Con abertura de compás AB y centro en A’ se traza un arco que será cortado por otro que con abertura FB y centro en F’ se traza determinando el vértice B’.


4. Con abertura de compás BC y centro en B’ se traza un arco que será cortado por otro con abertura FC y centro en F’, quedando determinado el pto. C’.

5. Todos los demás vértices se van ubicando en la misma forma que los vértices B’C’.

6. Ubicados todos los vértices del polígono no queda más que unirlos, quedando el polígono trasladado, dado a la nueva base X2, X3.


1. Con las escuadras tazar una perpendicular al eje XX’, que perfectamente pase por B y de modo que tengamos el eje ortogonal YY’.

2. De cada vértice de la poligonal, bajar perpendiculares a los dos ejes ortogonales; la medida de cada una de éstas perpendiculares son las coordenadas de cada vértice. Sobre YY’ nos da los ptos. e, d, c además del vértice B y sobre XX’ los ptos. c’, e’, d’ y los vértices A y F.

Dado el polígono ABCDEF sobre la base XX’, trasladarlo a la nueva base X2,X3 por el método de coordenadas.


3. La traslación del polígono sobre la nueva base X2, X3 ubicado en primer término el punto Y2 por el que se levanta una perpendicular que es el eje ortogonal Y2,Y3; usando como centro de coordenadas el punto Y2, se traslada con abertura de compás todos los puntos marcados sobre cada uno de los ejes.

4. Los vértices B’, A’ y F’ se ubican directamente sobre los dos ejes de coordenadas; los demás ptos. se ubican por el cruce de las perpendiculares levantadas por el resto de ptos. situados en los ejes de coordenadas Y2, Y3 y X2, X3.


Uso de las diagonalesLas diagonales se utilizan también para traslado de polígonos con un procedimiento muy parecido al de triangulación; su uso es imprescindible en el levantamiento de planos de casas cuando sus habitaciones no tienen sus paredes perpendiculares entre sí, puesto que si no se miden las diagonales, no se podría obtener la verdadera forma de cada una de las habitaciones. En la fig. representamos un ejemplo de esta aplicación.


Dado el radio “R” de una circunferencia, trazar un cuadrado inscrito.1. Se trazan los ejes de simetría.

2. Se unen los extremos de los ejes que cortan a la circunferencia y tenemos construido el cuadrado. Si quisiéramos un cuadrado cuyos vértices no coincidan con los extremos de los ejes de simetría, podemos construirlo utilizando la escuadra de 45º, conforme se aprecia en la figura.


Dada la longitud del lado, construir un cuadrado utilizando compás.1. Se traza el lado AB, y se levanta por A una perpendicular.

2. Haciendo centro con el compás en A con abertura igual a AB = R, trazamos un arco que corta a la perpendicular y tenemos el punto C.

3. Haciendo centro en B y C, trazamos arcos con la misma abertura y tenemos el punto D que nos da el cuadrado pedido.


Dada una circunferencia de radio “R”, construir un pentágono inscrito.1. Trazar los ejes de simetría.

2. Bisecar el radio OD ubicando E.

3. Con E como centro y EA como radio trazar el arco AF.

4. Con A como centro y AF como radio, trazar el arco que corta a la circunferencia en G.

5. AG es el lado del pentágono, por lo tanto se ubicarán los vértices tazando arcos con el compás y que al cortar a la circunferencia nos dan los vértices del pentágono.


Dada una circunferencia de radio “R”, construir un hexágono inscrito.

Nota: en la figura se aprecia el trazado del hexágono con las dos posiciones de la escuadra de 30º x 60º

1. Se trazan los ejes de simetría.

2. Con la escuadra de 30º x 60º, apoyando su cateto menor sobre una regla “T” paralela al eje horizontal se ubican los puntos 3, 6, 2 y 5 que luego unido a los puntos 1 y 4 nos dan el hexágono pedido como se parecia en la figura. Puede también construirse el hexágono con la escuadra apoyada en su cateto mayor. También puede construirse el hexágono utilizando el compás con radio igual al de la circunferencia y centro en los extremos del eje horizontal ó vertical.


Dado el radio de una circunferencia, construir un polígono de cualquier número de lados (ejemplo 7 lados).

1. Trazada la circunferencia de radio dado, se trazan sus ejes.

2. Para la división se puede tomar el eje vertical ó el horizontal como base, en este caso dividimos el eje vertical en 7 partes iguales.

3. Haciendo centro alternadamente en los extremos del eje vertical y con radio igual al diámetro trazamos dos arcos que al cortarse originan en los costados los puntos E y F.


4. De E y F se trazan semirrectas que pasando por las divisiones pares (ó impares), corten a la circunferencia dándonos los puntos del polígono.

5. Finalmente se unen todos los puntos y tendremos el polígono pedido. En la figura podemos apreciar que hemos hecho el ejercicio tomando las divisiones pares (línea continua) y también las impares (línea de trazos), dándonos en ambos casos el polígono y solo variando su posición.


Dada la longitud del lado AB construir un polígono regular de cualquier número de lados (ejemplo 8 lados).

Nota: Estamos poniendo 2 ejemplos; en el primero cuando queremos que el lado dado coincida con la línea de referencia y en el segundo cuando queremos que coincida con la línea de división.

1. Sobre la línea de referencia XX’ se localiza el lado AB conocido.

2. Como el polígono pedido es de 8 lados se divide 180º/8 = 22.5º.

3. Se coloca el transportador con su centro en A y su cero, 180º coincidiendo con XX’ y luego se marcan 8 ángulos de 22.5º c/u.


4. Se une A con todas éstas divisiones exceptuando la nº 1.

5. Haciendo centro con el compás en A y con radio AB se traza un arco que corta a la línea 2 y nos da el punto H; luego pasamos a B, y trazamos un arco que corta a la línea 7 y nos da el punto C; se sigue haciendo centro encada uno de éstos puntos y obteniendo nuevos, hasta completar los 8 vértices.

6. Se unen los vértices y tendremos el polígono pedido.


Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados A, B y C, que no están en línea recta.

1. Se unen A con B y B con C, trazando de este modo, dos cuerdas de la circunferencia.

2. Se trazan las mediatrices de AB y BC.

3. La intersección O de las mediatrices, es el centro de la circunferencia que une los dos puntos. OA, OB y OC, son los radios de la circunferencia.


Dada la circunferencia de centro desconocido , determinarlo.1. Se trazan dos cuerdas cualquiera: AB y CD.

2. Se trazan las mediatrices de las cuerdas.

3. La intersección de las mediatrices, es el centro de la circunferencia pedido.


Determinar la bisectriz de un ángulo, cuyo vértice es inaccesible. Sean las rectas r1 y r2 cuyo centro de intersección esta fuera del dibujo.

1. Se toman sobre cada recta dos puntos cualquiera como 1 y 2 y haciendo centro sobre ellos, se traza con el compás con radio conveniente, dos arcos iguales, determinándose sobre r1 los puntos P1, O1 y sobre r2, los puntos P2, O2.

2. Se traza la recta 1-2 que corta a las dos semicircunferencias en M y N, quedando dividida cada semicircunferencia en dos ángulos.

3. Se trazan las bisectrices de los ángulos P1M, O1M, P2N y O2N, originando dos puntos de intersección E y F.

4. Uniendo E con F, tendremos la bisectriz pedida.


Dividir el área de un triángulo en un número determinado de partes iguales. Sea el triángulo ABC, dividirlo en 3 áreas iguales.

1. Se escoge el lado al que deben tener frente las divisiones; la existencia de un camino es determinante para está selección.

2. Siendo AC el lado escogido, se encuentra su centro y se traza una semicircunferencia.

3. AC se divide en el mismo número de partes iguales como divisiones deseamos tener (3 divisiones en nuestro ejemplo).


4. Se levanta una perpendicular por cada división que corta a la semicircunferencia en 1’ y 2’.

5. Haciendo centro en A, pues queremos que las divisiones sean paralelas a CB, lado opuesto al vértice A, se trazan arcos con aberturas de compás A1’ y A2’ que cortan a AC y nos dan los puntos de división 1’’ y 2’’.

6. Se tazan líneas paralelas a CB que son divisorias de las 3 áreas iguales.


Dividir el área de un trapecio en determinado de áreas iguales.

Nota: el lado de trabajo no puede ser cualquiera como en el caso del triangulo. El vértice tiene que ser E y los lados pueden ser EA ó EB, no puede ser AB.

1. Se prolongan los lados del trapecio, ubicando el vértice E, quedando convertido en un triángulo.

2. Se escoge el lado de trabajo que puede ser EA ó EB y sus divisiones serán iguales puesto que el vértice de trabajo tiene que ser E.

3. Se determina el centro del lado escogido y se traza una semicircunferencia.


4. Este paso es el más importante. Se hace centro en E y con abertura EC se taza un arco que corta a la semicircunferencia en F (se está separando el trapecio).

5. Se baja una perpendicular de F a EA y ubicamos G.

6. GA se divide en el número de partes iguales como divisiones queremos tener.

7. Los pasos siguientes son los mismos que en la división del triángulo, teniendo presente que los arcos que determinan los puntos de división tienen como centro E y no G.

Geometría de ingenieríaTANGENCIAS

Trazar una línea tangente a una circunferencia por un punto de ella.1. Trazar la circunferencia de centro O y ubicar el punto P

sobre ella.

2. Trazar por P el radio de la circunferencia y luego por el mismo pto. una perpendicular a él.

3. La perpendicular trazada es la tangente pedida.


Trazar una línea o dos tangentes a una circunferencia por un punto exterior a ella.

1. Se traza la circunferencia de centro O y se ubica P.

2. Se une P con O y se ubica su centro O’.

3. Haciendo centro en O’ se traza una circunferencia auxiliar que corta a la circunferencia dada en los puntos T y T’.

4. Se une P con T y T’ y tenemos dos tangentes.


Trazar una línea tangente por un punto P de un arco que tiene su centro inaccesible.

1. Sea el arco AA’ y P el punto por el que se pide trazar la tangente.

2. Se une P con A’ por medio de una cuerda y se traza su mediatriz originando los puntos E y G.

3. Con radio PE y con centro en P se traza un arco que lo prolongamos exteriormente y que corte a la cuerda en H.

4. Con radio EH y con centro en E se traza un arco que corta el anterior prolongado en T.

5. Uniendo T con P tendremos la tangente pedida.


Trazar una línea o dos tangentes a dos circunferencias de radio dado. Pueden ser tangentes exteriores o interiores.

1. Se trazan las circunferencias de radio O y O’.

2. Se determina la diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas y por O se traza la circunferencia concéntrica de radio R’’=R-R’.

3. Se unen los centros de las dos circunferencias dadas y se determina su centro O’’, haciendo centro en él se traza otra circunferencia auxiliar y que nos interesa fijar los puntos a y a’ de la otra circunferencia auxiliar.


4. Se une O con a y a’ y se prolonga hasta cortar a la circunferencia de radio R dádonos los dos primeros ptos. de tangencia T y T’.

5. Con las escuadras se trazan dos paralelas a las líneas OT y OT’ y que pasa por O’ y que al cortar la otra circunferencia dada nos dan los otros dos ptos. de tangencia que unidos a los anteriores nos dan las tangentes pedidas.


Nota: La solución de tangentes interiores se distinguen de las exteriores en que en lugar de restar los radios de la circunferencia, se suman; que la circunferencia auxiliar de centro O’’ corta a la otra circunferencia auxiliar en a, a’ que unidos a O dan los puntos de tangencia T y T’.


Dada la recta XX’ trazar una circunferencia de radio dado “R” tangente a ella y que pase por un punto exterior “P”.

Nota: Este problema presenta dos soluciones como se aprecia en la figura.

Haciendo centro en P con radio R se traza una circunferencia que es el segundo lugar geométrico (todas las circunferencias que se tracen haciendo centro en ella y con radio R pasarán por P pero solamente una será a su vez tangente a XX’, y tendra como centro el cruce O de los dos lugares geométricos.

1. Trazar un paralela a XX’ a una distancia igual al radio R dado (primer lugar geométrico por el que puede trazarse circunferencias de radio R tangentes a XX’).


Dada la recta XX’ se pide trazar un arco o circunferencia tangente a XX’ en un punto dado de ella Q y que además pase por un punto exterior P.

2. Se une PQ, que será la cuerda ó secante de la circunferencia de radio R, por lo tanto se traza su mediatriz que al cortar al diámetro de la circunferencia levantada por Q determinará el centro de la circunferencia de radio R y tangente a XX’ por Q. La mediatriz de PQ es el segundo lugar geométrico, pues haciendo centro sobre ella con radio cualquiera se pueden trazar circunferencias que pasen por P y Q; solo una de las que pasan tendra radio R.

1. Se levanta por Q una perpendicular la recta XX’ y que es el primer lugar geométrico (todo arco con centro en ésta perpendicular podrá ser tangentes a XX’ en Q).


Dada una recta AB y una circunferencia de radio dado R’, trazar otra de radio R que sea tangente a la primera y a la recta AB.

Nota: el punto de tangencia entre una circunferencia y una recta se halla uniendo el centro de una circunferencia con una perpendicular a la recta. Entre dos circunferencias el punto de tangencia se establece por la unión de sus centros.

1. Trazar el primer lugar geométrico o sea la paralela A’B’.

2. Trazar el segundo lugar geométrico sumando los radios de las dos circunferencias y haciendo centro en O’ trazamos un arco ó circunferencia que al cortar al primer lugar geométrico nos da el punto O, centro de la circunferencia de radio R que será tangente a la circunferencia de radio R’ y a la recta AB.


Dadas dos circunferencias de radio R y R’, trazar una tercera de radio R’’ que sea tangente a las dos anteriores: Método de los centros exteriores.

Nota: El radio R’’ en este caso debe ser mayor que la mitad de “a” (separación entre circunferencias).

Nota: Este caso tienen dos soluciones.

1. El primer lugar geométrico es una circunferencia ó arco de circunferencia de radio R’’’ = R + R’’ y cuyo centro es O. esto significa que todas las circunferencias de radio R’’ que tengan como centro este arco de radio R’’’, pasarán tangentes a la circunferencia de radio R.


2. El segundo lugar geométrico es otro arco de circunferencia de radio R’’’’ = R’ + R’’ y cuyo centro será O’, que significa que todas las circunferencias de radio R’’ que tengan como centro el arco de radio R’’’’ pasarán tangentes a la circunferencia de radio R’.

3. La intersección de ambos lugares geométricos dará el centro O’’ de la circunferencia solución de radio R’’ y que será tangente a ambas circunferencias dadas.


Dadas dos circunferencias de radio R y R’, trazar una tercera de radio R’’ que sea tangente a las dos anteriores: Método de los centros interiores.

1. La resta de los radios R’’-R nos da el radio R’’’ con el que se traza un arco haciendo centro en O (primer lugar geométrico) .

Nota: El radio R’’ en este caso debe ser mayor a la suma de los otros dos radios mas la mitad de la separación entre circunferencias).

Nota: Este caso tienen dos soluciones.


2. Se restan los radios R’’-R’ dándonos el radioo R’’’’ con el trazamos un arco con centro O’ (segundo lugar geométrico) .

3. La intersección de los arcos nos dan el centro O’’ de la circunferencia solución de radio R’’ que será tangente envolvente a las otras dos.


Dadas dos circunferencias de radio R y R’, trazar una tercera de radio R’’ que sea tangente a las dos anteriores: Caso combinado.

Geometría de ingenieríaCURVAS INVERTIDAS

Dadas las rectas AB y CD paralelas ó casi paralelas, enlazarlas con una curva invertida (perfil de gola).

Nota: en las 2 figuras presentamos: 1º cuando los lados son paralelos; 2º cuando se aproximan a serlo

1. Se levantan perpendiculares por B y por C, líneas que serán el primer lugar geométrico (todos los arcos círculos con centro en ellas y con radios que pasen por B y C, serán tangentes a las líneas AB y CD, pero solamente una pasará por E).


2. Se une B con C y sobre ella se ubicará el punto de tangencia ó cambio de dirección E (en los trazos de carreteras la ubicación de E depende de los obstáculos topográficos).

3. Se trazan las mediatrices de BE y EC que serán el 2º lugar geométrico (todos los arcos con centro n éstas mediatrices, pasarán por B y C, y, C y E pero solamente una será tangente a AB y CD respectivamente y pasará por E; sus centros serán O y O’ que son los cruces de los dos lugares geométricos).


Dadas las rectas AB y CD notablemente no paralelas, enlazarlas con una curva invertida.

1. Se levantan perpendiculares por B y C (1º lugar geométrico).

2. Por la perpendicular trazada por B, se determina el centro de un arco O que sea tangente a BA (en los trazos de carreteras la ubicación de este punto depende de los obstáculos del terreno).


3. Se prolonga DC hasta un punto que permita bajar una perpendicular que pase por O y prolongándolo corte al arco en E.

4. Se une E con C determinando el punto de tangencia F.

5. Se traza la mediatriz de FC (2º lugar geométrico) que corta a la perpendicular levantada por C (cruce de 2º lugar geométrico) en O’, y por lo tanto, centro del arco tangente a CD y el arco de centro O en el punto F.


Dadas las tres rectas enlazadas AB, BC, CD, unirlas por medio de una curva invertida que sea tangente a las tres.

Nota: en las dos figuras presentamos: 1º la ubicación de E exactamente al centro de BC; 2º por la presencia de obstáculos, cercano al vértice B.

1. Sobre BC se ubica E, punto de tangencia ó cambio de dirección (la ubicación de E, depende de la forma que queremos que tenga la curva; y en trazo de carreteras, depende de los obstáculos del terreno).

2. Haciendo centro con el compás alternadamente en B y C con radios BE y CE respectivamente, se trazan arcos que nos dan los puntos F y G.


3. Por F y G levantamos perpendiculares (1º lugar geométrico) a AB y CD.

4. Por E, levantamos una perpendicular a BC (2º lugar geométrico) que corta a las dos perpendiculares anteriores y nos da los centros de las curvas invertidas O y O’.

5. Haciendo centro en O y O’ con radios OF y O’G se trazan los dos arcos de la curva invertida.


Dado el arco AB, llevar sobre una recta su longitud aproximada.

1º Método:

1. Se une el arco AB por medio de una cuerda S y se prolonga por A.

2. Se biseca la cuerda y haciendo centro en A se lleva sobre la prolongación de la recta, la mitad de la longitud de la cuerda S/2 interceptando el punto C.

3. Haciendo centro en C con radio S/2 + S (CB) se traza un arco que corta a la recta en D. AD es la longitud aproximada del arco AB.


Dado el arco AB, llevar sobre una recta su longitud aproximada.

2º Método:

1. La longitud del arco AB, se calcula dividirlo en 4, 5 ó más pequeños segmentos.

2. Con un compás (preferible de puntas duras) y comenzando de B, se va marcando las pequeñas divisiones; el último punto más próximo a A, (en la figura punto 4) se intercepta a la recta marcando el punto 1 y luego el 2, 3 y 4. A4 es la longitud aproximada del arco AB llevado sobre la recta.


Dada la recta AB tangente a una circunferencia, llevar su longitud aproximada sobre ella.

1. Dividir AB en cuatro partes iguales mediante una línea auxiliar.

2. Tomar como centro del compás la división más cercana de A a la que llamamos C, y con radio CB trazar un arco que corta a la circunferencia en D. CD es la longitud de arco correspondiente a la recta AB.


Dada una circunferencia de radio 7.5 mm., construir su longitud rectificada.

NOTA: DB es ligeramente mayor que la circunferencia verdadera en uan cantidad despreciable (error aproximado 1/21,800).

1. Trazada la circunferencia se trazan sus ejes de simetría.

2. Por A trazamos una tangente, cuya longitud debe ser igual a tres veces la longitud de su diámetro, su extremo es B.

3. Haciendo centro en E con radio igual al de la circunferencia, se traza un arco que corta a éste en C.

4. Por C trazamos una paralela al eje horizontal que corta al vertical en D.

5. Se une D con B y es la longitud rectificada de la circunferencia.

Geometría de ingenieríaELIPSE

LA ELIPSE

La elipse es una curva plana cerrada, generada matemáticamente por un punto que se mueve en forma tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante que a su vez es igual al eje mayor.

La elipse es después del circulo, la curva geométrica más usada, así por ejemplo en las perspectivas de cuerpos circulares, éstos aparecen como elipses y de ninguna manera como círculos.


Dados los ejes AB y CD, trazar una elipse por el método de los focos ó alejamientos.

1. Se ubican los focos F y F’ por el método ya mencionado; a la derecha de F se ubican varios puntos, su ubicación puede ser arbitratria pero mejor si los puntos más próximos a los focos se encuentran más cercanos entre sí.


2. Con abertura A4 haciendo centro con el compás en cada foco, trazamos arcos hacia arriba y hacia abajo del eje mayor; con abertura B4 y haciendo centro en los focos, trazamos nuevamente arcos hacia arriba y hacia abajo que al cortar a los primeros nos dan los cuatro primeros puntos de la elipse.

3. La operación se repite para los tres puntos restantes.

4. Con el pistolete se unen todos los puntos logrados, obteniendo la elipse pedida.


Dados los ejes: AB y CD, mayor y menor respectivamente, trazar una elipse por el método de los alfileres y el hilo, o, de las estacas y el cordel.

NOTA: Cuando la elipse se traza sobre un tablero de dibujo, los alfileres y el hilo reemplazan a las estacas y el cordel.

1. Se traza el eje mayor y por su centro el eje menor, ubicando una estaca en uno de los extremos del eje menor, punto C.

2. Haciendo centro en C, con abertura igual a la mitad del eje mayor se traza un arco que ubica a los dos focos; dos que deben quedar señalados con estacas.


3. Se amarra el cordel en la estaca F’.

4. Se suelta el cordel en C y luego con una estaca colocada por dentro del cordel templado se va deslizando y rayando la elipse.

Se puede apreciar y comprobar que en cada punto de la elipse, la suma de sus distancias a los dos focos es igual a una constante que es igual a la longitud del eje mayor.


Dados los ejes ó el rectángulo, construir una elipse por el método del rectángulo o paralelogramo.

Nota: En la figura se aprecia que son los extremos del eje menor los puntos clave para la construcción de la elipse por este método.

1. Si solo nos dan los ejes hay que construir primero el rectángulo; y si nos dan el rectángulo, hay que ubicar los ejes.

2. Se divide la mitad del eje mayor en un número cualquiera de partes iguales (ejemplo: 4 divisiones), y se numera de su extremo a su centro.

3. Se divide la mitad del lado izquierdo del rectángulo en el mismo número de partes iguales (4) y se numera del eje hacia arriba.


4. De C se une con líneas divergentes los puntos 3, 2 y 1 de las divisiones laterales.

5. Se D se unen con líneas divergentes los puntos 3, 2 y 1 colocados sobre el eje mayor. Los puntos de cruce de las líneas que unen los mismos números son los puntos de la elipse.

De la construcción de la primera figura deducimos que si las divisiones fueran pares, se puede hacer la división completa tanto del eje mayor como del lado del rectángulo.


Dados los dos ejes AB y CD, construir la elipse por el método aproximado de los cuatro centros.

Nota: Este método tiene la ventaja de que toda la elipse se puede trazar con compás.

1. Se une AC y con radio OA, se traza un arco que corta a la prolongación del eje menor en F, se centra en C con radio CF y se traza un arco que corta a AC en E (CE es la diferencia de los semiejes).


2. Se traza la mediatriz de AE que corta al eje mayor en G y al eje menor o su prolongación en H.

3. Haciendo centro en O, se ubica por simetría G’ y H’, teniendo ya los cuatro centros.

4. Haciendo centro alternadamente en G, G’ en H y H’, se trazan arcos que resultan tangentes y nos dan la elipse pedida.

Este método es bastante impreciso cuando la diferencia entre los radios es grande.


Dado el eje mayor y menor, construir una elipse por el método de las circunferencias concéntricas.

Nota: Como se aprecia en la figura, el método se simplifica si se marcan las divisiones en 2 cuadrantes y luego las líneas radiales se prolongan en los otros dos.

1. Se determina el centro de los ejes y se trazan las dos circunferencias concéntricas.

2. En uno de los cuadrantes se toman un número adecuado de puntos (ejemplo 6 div./cada 15º).


3. Se unen radialmente todos estos puntos con el centro O, proyectándolos hasta interceptar las circunferencias del cuadrante opuesto. Las rectas trazadas dan en la circunferencia igual número de puntos que los marcados en la circunferencia mayor.

4. Por los puntos de la circunferencia mayor se trazan paralelas al eje vertical y por los puntos de la circunferencia menor paralelas al eje horizontal; el cruce de ambas nos dan los puntos de la elipse.

5. Se unen todos los puntos con pistolete y tenemos la elipse.


Dado el diámetro de la tapa de un cilindro 30 mm., dibujar su elipse correspondiente.

1. Se dibuja el esqueleto de las perspectivas isométricas, que es un eje vertical y dos ejes inclinados a 30º con respecto a la horizontal.

2. En los lados inclinados se marca el diámetro 30 mm. y con la escuadra de 30º se completa el rombo (lados iguales).


3. Se trazan las diagonales y sus ejes de simetría. Los extremos de la diagonal menor son dos centros para el trazo de la elipse: C y D; los otros dos centros se ubican sobre la diagonal mayor, uniendo C con b y con b’, y que cortan al eje en los puntos o y o’ que son los otros dos centros.

4. Se hace centro en C y D alternadamente trazando los arcos bb’ y aa’ y con radio Cb=Cb’=Da=Da’.

5. Haciendo centro en o y o’, se trazan los arcos ab y a’b’ con radio oa=ob=o’b’=o’a’ quedando terminada la elipse pedida.


Dada una elipse y un punto P sobre ella se pide trazar una tangente por ese punto.

1. Se une P con los focos de la elipse y se prolonga uno de ellos, luego se traza la bisectriz del ángulo que es la tangente pedida.


Dada una elipse y un punto P fuera de ella trazar dos tangentes.1. Haciendo centro en P y con radio PF’ trazar un arco.

2. Con centro en F y con radio AB, trazar otro arco que corta al anterior en dos puntos: G y H.

3. Se une G y H con F, cortando a la elipse en los puntos I, J. Las líneas PI y PJ son las tangentes pedidas.


Dada el eje mayor AB, construir un óvalo.1. Trazar el eje mayor AB y dividirlo en cuatro partes iguales, marcando los puntos 1, 2 y 3.

2. Con centro en éstos puntos, trazar tres circunferencias que determinan a su vez las intersecciones 4, 5, 6 y 7.

3. Unir los puntos 4-2 y 5-3 prolongando su trayectoria hasta determinar los puntos c, d y la intersección C. Unir los puntos 6-2 y 7-3 prolongándolos hasta determinar a, b y la intersección D. Antes de construir el óvalo, trazar los arcos D3C y D2C haciendo centro en 2 y 3; si su cruce coincide con las líneas prolongadas, el proceso es correcto.

4. Se hace centro en C y D y se trazan dos arcos que unan los puntos a-b y c-d.


Dado el eje menor AB, construir un ovoide.

Nota: Como se puede apreciar, el ovoide se presta para representar cabezas de figuras humanas.

1. Se traza el eje del segmento AB y se determina su punto medio O, por él se traza una circunferencia de radio OA que corta al eje en O’.

2. Se trazan las semirrectas AO’ y BO’ prolongadas.

3. Haciendo centro en A y B, y con radio AB se trazan respectivamente los arcos B2 y A1.

4. Haciendo centro en O’ y con radio O’1, se traza el arco 1D2 que completa el ovoide pedido.

Geometría de ingenieríaPARÁBOLA

PARABOLAEs una curva plana, generada por un punto P en movimiento, que lo hace de forma tal que su distancia a un punto fijo denominado foco, y a una recta AB llamada directriz, son siempre iguales.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.- Los elementos de la parábola son: el eje, perpendicular a la directriz; el foco, situado sobre el eje; la recta que limita los brazos de la parábola se denomina base, luz ó ancho; y la distancia entre el vértice y la base se denomina flecha ó altura.


Dada la directriz “d” y el foco F, construir una parabola.

Nota: Se recomienda que los puntos más cercanos al foco se encuentren más próximos entre sí; puesto que van a servir para trazar la zona de mayor curvatura de la parábola.

1. Trazada la directriz “d”, por F se raza una perpendicularque será el eje OX, y luego se determina el vértice V de la parábola, que es el punto medio del segmento OF.

2. A partir del foco, se señalan sobre el eje varios puntos: 1, 2, 3, etc. y por los que se levantan perpendiculares a OX.


3. Con centro en F y radio OF se traza un arco que corta a la perpendicular levantada por F en los puntos A, A’.

4. Haciendo centro en F y con radio O1, se traza un arco que corta a la perpendicular levantada por 1 en los puntos B, B’; la operación se repite exactamente en los demás puntos.

5. Uniendo con el pistolete todos éstos puntos, tenemos la parábola pedida.

Nota: Los brazos de la parábola serán más abiertos cuanto mayor sea la separación entre el foco y la directriz.


Dado el vértice V, el eje VX y la base CD, construir una parábola por el método del paralelogramo.

1. Por V se levantan perpendiculares al eje y por C y D se trazan paralelas al eje VX ubicando AB, que son los otros dos vértices del paralelogramo.

2. Se divide AC y BD en un número cualquiera de partes iguales (ejemplo 6 divisiones), numerándolas de izquierda a derecha; se dividen igualmente VA y VB en el mismo número de partes iguales y se numeran del centro hacia arriba y hacia abajo.

3. Se une con el vértice V cada una de las divisiones de AC y BD.

4. Se trazan paralelas al eje por las divisiones de VA y VB hasta interceptar a las líneas de su mismo número que convergen en V, y que son los puntos de parábola y que se unirán con línea continua usando el pistolete.


Dada la base AB, su eje OX y su vértice D; construir una parábola por el método de las tangentes.

1. Con centro en D y abertura DO (flecha) se traslada ésta distancia sobre el eje y se ubica E.

2. Se une EA y EB y se les divide en un número cualquiera de partes iguales, numerándolas en forma invertida.

3. Se unen con líneas rectas los números iguales, y sus intersecciones determinan segmentos de recta.

4. Se traza la parábola tangente a cada segmento de recta en su centro.


Dados los puntos A y B (punto inicial y final) de la curva, unirla por emdio de una curva parabólica.

1. Se determina un punto cualquiera, tal como E y que su posición depende de la mayor o menor curvatura que queramos que tenga la curva.

2. Se une E, con A y con B.

3. Se divide EA y EB en un determinado número de partes iguales, numerándolas en sentido contrario.

4. Se unen con líneas rectas los puntos que tienen el mismo número, los cruces originan segmentos de recta.

5. Se traza la curva parabólica, tangente a cada segmento de recta y su centro.


Dado un punto P sobre la parábola trazar una tangente por ese punto a ella.1. Se une P con el foco, y se baja del mismo punto una

perpendicular a la directriz.

2. Se traza la bisectriz del ángulo formado, que será la tangente a la parábola por el punto P.

Geometría de ingenieríaHIPÉRBOLA

HIPÉRBOLAEs una curva plana de brazos abiertos y simétricos a un eje horizontal y vertical. Matemáticamente, es la curva generada por un punto en movimiento y que lo hace en forma tal, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos), es igual a una constante, que es igual al eje transverso de ella.

SEGMENTOS DE LA HIPÉRBOLA.- Los ejes, perpendiculares entre sí; los vértices A y B sobre el eje horizontal; los focos F y F’ tambien sobre el mismo, ambos simétricos al centro O; las asíntotas que son líneas rectas que pasan por el centro O y por el cruce entre las perpendiculares levantadas por A y B y la circunferencia que pasa por los focos; las asíntotas son líneas que se van acercando infinitamente a los brazos de la hipérbola conforme se alejan del centro,pero sin llegar a tocarse y nos sirven para controlar el trazo correcto de la hipérbola. Finalmente, mencionamos al eje transverso, que es la parte del eje horizontal comprendido entre los vértices A y B.


Dados los focos F y F’, y el eje transverso AB, construir una hipérbola.

Nota: La mayor o menor separación entre los focos y los vértices de una hipérbola, determinan la mayor o menor abertura de sus brazos; quiere decir que si queremos trazar una hipérbola de brazos muy cerrados, la separación entre los focos y los vértices será muy pequeña. Hacemos presente igualmente, que la separación de los cuatro cruces de un punto de las asíntotas debe ser igual.

1. Se trazan dos ejes perpendiculares entre sí; sobre el eje horizontal, ubicamos los vértices y focos con los datos proporcionados.

2. Con centro O y radio OF, trazamos una circunferencia, la cual pasa por los dos focos; por A y B, levantamos dos perpendiculares que cortan a la circunferencia en cuatro puntos que unidos con el centro y prolongados, constituyen las asíntotas.


3. Al costado de cualquiera de los focos y hacia fuera, se marcan un número cualquiera de puntos a distancias arbitrarias, pero recomendando que su separación sea menor a los puntos más próximos al foco (ejemplo: 1, 2, 3 y 4).

4. Determinamos la abertura de compás 1B y haciendo centro en ambos focos, trazamos arcos hacia arriba y hacia abajo del eje; a la abertura inicial le agregamos la longitud del eje transverso y nuevamente haciendo centro en los focos trazamos arcos que cortan a los anteriores y nos dan los primeros cuatro puntos de la hipérbola.

5. Para cada uno de los puntos, se repite exactamente el mismo procedimiento.

6. Los puntos así determinados, finalmente se unen con el pistolete.


Dadas las asíntotas OA y OB y un punto P, construir una hipérbola equilátera.

Nota: Esta hipérbola es de interés práctico para representar las presiones variables de un gas al ir variando el volumen, ya que la presión varía en forma inversa en relación con el volumen, es decir, es constante la relación presión – volumen.

1. Se trazan las asíntotas OA y OB, perpendiculares entre sí y se ubica el punto P, según los datos dados.

2. Por P se trazan dos paralelas, una a OA, DD’ y la otra a OB, CC’.


3. Sobre CC’ sa trazan varios puntos arbitrarios o mejor equidistantes: 1, 2, 3, 4 y 5.

4. Cada uno de estos puntos se unen convergentemente en O y los que no cortan a la paralela DD’ se prolongan para que lo hagan y de modo que sobre DD’ tenemos los puntos 1’, 2’, 3’, 4’ y 5’.

5. Por los puntos 1, 2,3, 4 y 5, trazamos paralelas a OA y por los otros puntos 1’, 2’, 3’, 4’ y 5’ se tazan paralelas a OB; el cruce de ambas nos dan los puntos de la hipérbola.

6. Con el pistolete se unen todos los puntos de cruce y tendremos la hipérbola pedida.

Geometría de ingenieríaENVOLVENTE O INVOLUTA

ENVOLVENTE O INVOLUTAEs una curva espiral descrita por un punto de una cuerda tirante, que se supone se desarrolla de un polígono regular o de una circunferencia.

El procedimiento de construcción de la ENVOLVENTE es el mismo para cualquiera de los polígonos, variando únicamente en el mayor o menor número de puntos según su número de lados; nosotros vamos a tomar como ejemplo en la descripción teórica al cuadrado, hacemos presente igualmente que el sentido en que se avanza en el trazo de la curva, puede ser en sentido horario o antihorario, dependiendo de la forma en que queremos que tenga la curva trazada; de ahí que en el ejemplo presentado, presentamos el trazo hecho en los dos sentidos, uno con línea continua y el otro con línea de trazos.


Dado un polígono regular (lados y ángulos iguales) construir su envolvente.1. Se dibuja en primer término el polígono y se señalan sus vértices en sentido horario o antihorario.

2. Se prolongan todos los lados del polígono e dirección de los vértices, en la que vamos a centrar el compás. Para el caso del cuadrado se prolongan los lados CD, BC, AB y DA.

3. Se hace centro en D y con abertura de compás igual a la longitud del lado del polígono, se traza el primer arco que empieza en A y termina en E en la que corta a la prolongación del lado CD.


4. Se hace centro en el siguiente vértice C y con radio CE igual a dos veces la longitud del lado, se traza el segundo arco que empieza en E y termina en F, que es el punto n que corta a la prolongación del lado BC.

5. Se hace centro en B y con radio BF igual a tres veces la longitud del lado, se traza un arco que empieza en F y termina en G, en la que corta a la prolongación del lado AB.

6. Se hace centro en A y con radio AG igual a cuatro veces la longitud del lado, se traza un arco que empieza en G y termina en H, punto en la que corta a la prolongación del lado DA y con la cual hemos trazado una vuelta completa, habiendo hecho centro en cada uno de sus vértices y pudiendo repetir la operación una o más veces, según la amplitud de curva requerida.


Dada una circunferencia, trazar su envolvente. Dividir la circunferencia en ocho parte iguales.

1. Trazada la circunferencia, se divide en un determinado número de partes iguales (ejemplo ocho) y se numeran.

2. Por cada punto de división se tazan líneas tangentes a la circunferencia.3. Se centra el compás en la división 1 y con radio 1-8 se traza un arco hasta interceptar la tangente trazada por el punto 1, ubicando el punto 1’.

4. Se hace centro en 2 y con radio 2-1’ se traza un arco hasta interceptar la tangente trazada por el punto 2, ubicando el punto 2’.

Se hace centro en el punto 3 y con radio 3-2’ se traza un arco hasta interceptar la tangente trazada por el punto 3, ubicando el punto 3’.

Los demás puntos se trazan exactamente por el mismo procedimiento, hasta llegar al punto de partida.

Geometría de ingenieríaESPIRAL DE ARQUÍMEDES

ESPIRAL DE ARQUIMEDESEs una curva que gira alrededor de un punto. Matemáticamente, es un lugar geométrico de las posiciones de un punto que se mueve uniformemente sobre una recta, mientras ésta gira con movimiento también uniforme alrededor de uno de sus puntos

Geometría de ingeniería

Dado el paso ON, construir una Espiral de Arquímedes.1. Se traza una circunferencia de radio ON y se divide ésta y el paso en un

determinado número de partes iguales. (ejemplo doce); se numera en sentido horario las divisiones de la circunferencia , y del centro hacia fuera las divisiones del paso.

2. Con centro en O y radio O1 se traza el arco 1A. A es el segundo punto de la espiral puesto que el primero es el centro O.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES


3. Con centro en O y radio O2 se traza un arco hasta cortar la línea O2’ y nos da el punto B, que es el tercer punto de la espiral.

4. De modo análogo se procede para los puntos 3, 4, 5, etc., determinando los puntos C, D, F, etc. de la espiral.

5. Con la ayuda de una plantilla para curvas, se une con línea continua todos los puntos que determinan la espiral.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES


HÉLICEEs una curva del espacio engendrada por un punto que se desplaza a lo largo de una recta directriz, mientras ésta gira uniformemente alrededor de otra central llamada eje; si las dos rectas son paralelas resulta una hélice cilíndrica, y si una esta inclinada con respecto a la otra, la hélice es cónica. Como ejemplo de hélice cilíndrica tenemos la rosca de los pernos y tuercas; y como ejemplo de la cónica, tenemos los tornillos. En la figura se aprecia los dos ejemplos de aplicación.

HÉLICE


Trazar una hélice cilíndrica, dado su diámetro y su paso (paso es la altura de una vuelta completa en la rosca).

1. La vista horizontal es un círculo, se divide en un determinado número de partes iguales. En el ejemplo lo hemos dividido en doce partes iguales y las hemos numerado en sentido horario.

HELICE

2. En la vista frontal se marca la altura correspondiente a un paso y se divide también en el mismo número de partes que se ha dividido el círculo.

3. Por las divisiones del círculo se trazan líneas perpendiculares al eje horizontal y se prolongan hacia la vista frontal hasta interceptar la línea horizontal del mismo número y siendo éstos los puntos de la hélice.

4. Se unen con el pistolete todos éstos puntos de intercepción, teniendo presente que la mitad de ellos deben ser con línea continua pues corresponden a la parte visible y la otra mitad debe ser con línea de trazos, pues representa la parte posterior que es invisible.


Trazar la hélice cónica de un tornillo cuyo diámetro de su base es igual a 20 mm., su altura de la parte roscada 40mm. Y el paso igual a 20mm.

1. Con las medidas dadas se dibuja la vista frontal y la horizontal del tornillo; la primera es un círculo de 20 mm. de diámetro y la segunda es un triángulo isósceles cuya generatriz es igual a 40mm. y que se divide en dos partes iguales, puesto que el paso es igual a 20 mm.

2. Se divide el círculo de la vista horizontal en un determinado número de partes iguales; para nuestro ejemplo, hemos hecho doce divisiones y las hemos numerado en sentido horario.

HELICE CÓNICA


3. Se divide el paso de la vista frontal en el mismo número de partes iguales en que se ha dividido la vista horizontal (12).

4. Por las divisiones de la vista horizontal, se levantan perpendiculares al eje horizontal, pero solamente hasta la base de la vista frontal puesto que de aquí se unen en forma convergente en el vértice del cono que representa la punta del tornillo.

5. Se marcan los puntos de cruce entre las líneas convergentes y las divisiones horizontales del paso, los que luego se unirán con el pistolete; la mitad con línea continua (parte visible) y la otra mitad con línea de trazo, pues representa la parte posterior (oculta) del cilindro.

HELICE CÓNICA


CICLOIDEEs una curva generada por el movimiento de un punto situado sobre una circunferencia que rueda sobre una línea recta sin resbalar, estando ambas situadas sobre un mismo plano.

CICLOIDE


Dada una circunferencia y una línea recta tangente a ella, trazar el cicloide. A la circunferencia le vamos a denominar simplemente: rueda, y a la línea recta tangente: línea de rodadura

1. Se divide la rueda en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo doce.

2. La longitud de uno de los doce arcos en que se ha dividido la rueda, se lleva a una línea recta en forma aproximada por el método ya estudiando.

3. Tomando esta longitud, se marcan en la línea de rodadura doce divisiones iguales.

4. Por las divisiones de la rueda de trazan líneas paralelas a la línea de rodadura que para el caso de nuestro ejemplo son en número de seis.

CICLOIDE


5. Por cada una de las doce divisiones de la línea de rodadura se levantan perpendiculares, y que al cortar a la línea paralela que coincide con el eje horizontal de la rueda, determinan doce centros.

6. Con abertura de compás igual al radio de la rueda y haciendo centro en cada uno de los doce puntos determinados en la operación anterior, se determinan los puntos del cicloide en los cruces de éstos arcos con las líneas paralelas a la línea de rodadura y que señalan las posiciones sucesivas de la rueda en su movimiento de traslación y rotación.

7. Se unen con el pistolete los puntos determinados y tendremos trazada la llamada curva CICLOIDE.

CICLOIDE


EPICICLOIDE

EPI, significa sobre. Por lo tanto es una curva generada por un punto de una circunferencia que gira sin resbalar sobre otra circunferencia.

EPICICLOIDE


Dada una circunferencia rodante de radio dado a la que llamamos rueda y otra también de radio dado a la que denominamos superficie de rodadura; trazar un epicicloide.

1. Se traza en primer término la circunferencia de rodadura; para nuestro ejemplo 5 cm., y por el eje vertical se traza la circunferencia rodante ó rueda de 1cm. de radio, tangente al arco de rodadura.

2. Se divide la rueda en un número cualquiera de partes iguales, para nuestro ejemplo ocho, se marcan sobre la superficie de rodadura ocho divisiones iguales, igual a la longitud de cada uno de los arcos en que ha quedado dividida la circunferencia, pudiendo hacerse a uno y otro lado de la circunferencia como el ejemplo ó hacia un lado.

EPICICLOIDE


3. Con el compás y con centro en la circunferencia de rodadura, se trazan arcos paralelos por las divisiones de la rueda y el centro de la misma, resultando para el ejemplo cinco arcos.

EPICICLOIDE

4. Se trazan líneas divergentes del centro de la circunferencia de rodadura, uniéndolas con las divisiones hechas sobre la superficie de rodadura y prolongándolas hasta cruzar el arco trazado por el centro de la rueda (arco eje), quedando ubicados los ocho centros.

5. Con abertura de compás igual al radio de la rueda, se comienzan a trazar los arcos, que al cortar los arcos paralelos nos van a determinar los puntos del EPICICLOIDE.

6. Con el pistolete, se unen todos los puntos de cruce y tendremos el EPICICLOIDE.


HIPOCICLOIDEHIPO, significa dentro. Por lo tanto es la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre la superficie interna de otro arco ó circunferencia al que se le denomina: superficie de rodadura.

Todo el procedimiento es igual a la construcción del epicicloide; aprovechando la misma figura, trazamos la rueda y la dividimos en ocho partes iguales; ya no es necesario hacer la marcación de ocho divisiones en la superficie de rodadura, puesto que ya está hecha; se trazan sí, los arcos que pasan por las divisiones de la rueda, teniendo especial cuidado en el arco eje que es el que pasa por el centro de la rueda y sobre la cual quedan los ochos centros que permitirán trazar el HIPOCICLOIDE, mediante el trazado de los arcos de radio igual a la rueda y que al cortar a los arcos paralelos nos dan como en el caso anterior los puntos del HIPOCICLOIDE.

HIPOCICLOIDE

Geometría de ingenieríaHIPOCICLOIDE

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