GEOMETRI ANALITIK fileMahasiswa dapat menentukan persamaan garis 4. ... Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non ... pada gambar disamping

GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT

sofyan mahfudy-IAIN Mataram 1

Sasaran kuliah hari ini

1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien

2. Mahasiswa dapat menentukan gradient suatu garis

3. Mahasiswa dapat menentukan persamaan garis

4. Mahasiswa dapat mensketsa suatu garis

5. Mahasiswa dapat menentukan sudut antara dua garis


Mengingat kembali

Dalam geometri aksiomatik/Euclide konsep garis merupakan salah satu unsur yang “tak terdefinisikan” dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada suatu postulat yang berbunyi sebagai berikut:

“Melalui dua buah titik yang berbeda terdapat tepat satu dan hanya satu garis lurus”

“Melalui sebuah titik di luar garis yang diberikan ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut”

Dua postulat di atas akan digunakan dalam menganalisis secara aljabar karakteristik suatu garis dan menyatakannya dalam bentuk persamaan.


Sudut Inklinasi

Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non-negatif terkecil yang terbentuk antara garis itu dengan sumbu-x dengan arah berlawanan jarum jam

Sudut inklinasi dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0o

Kita gunakan simbol θ untuk menyatakan sudut inklinasi. Sudut inklinasi sebuah garis selalu kurang dari 180°atau π radian dan setiap garis mempunyai sudut inklinasi. Jadi untuk sembarang garis berlaku

0° ≤ θ < 180°, atau 0 ≤ θ <π


Sudut Inklinasi


Kemiringan (slope) atau Gradien

Definisi: kemiringan/slope (dinotasikan m) dari suatu garis adalah “nilai tangen dari sudut inklinasinya”. Oleh karenanya m = tan



Garis dengan sudut inklinasi = 90 (vertikal), sebab tangen 90 tidak ada/tidak terdefinisi.

Jadi garis vertikal mempunyai sudut inklinasi 90 tetapi tidak mempunyai kemiringan. Kadang-kadang dikatakan bahwa kemiringan garis vertikal adalah “tak hingga” atau lambang “”



Terlepas dari ketiadaan kemiringan garis vertikal, ada suatu hubungan yang sederhana antara kemiringan dengan pasangan koordinat titik pada suatu garis.

Kemiringan suatu garis dapat dinyatakan dalam bentuk dari koordinat sembarang dua titik pada garis itu, misalnya melalui titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) seperti pada gambar disamping



Maka kemiringan (m) garis yang melalui titik P1 dan titik P2 diberikan oleh:

m = tan = =

di mana x1 x2

12

12

xx

yy

21

21

xx

yy


Latihan

Tentukan kemiringan (m) dari garis yang melalui titik-titik berikut:

a. A (2,4) dan B (−4,2)

b. P (−5, −7) dan Q (9,−1)

c. C (7,8) dan (−2,8)

d. S (−2,5) dan T (−2,7)


Persamaan Garis

Pandanglah suatu garis yang melalui titik tetap P1(x1, y1) dan mempunyai kemiringan m. (perhatikan gambar). Jika diambil sembarang titik P(x, y) untuk x berbeda dengan x1 maka dengan rumus kemiringan garis P1P adalah

m = 1

1

xx

yy


Persamaan Garis

Kemiringan garis akan sama dengan m jika dan hanya jika titik P berada pada garis yang diberikan. Jadi, jika P(x, y) berada pada garis yang diberikan maka harus dipenuhi kesamaan

m = 1

1

xx

yy


Persamaan Garis

Jika dilakukan penyederhanaan bentuk pembagian diperoleh persamaan garis sebagai berikut:

∴ y – y1 = m(x – x1)


Latihan

Tentukan persamaan garis jika diberikan:

a. m = −2 dan melalui titik (−3, −2)

b. m = −23

dan melalui titik (5,−2)

c. m = 25

dan melalui titik (0,0)

d. Melalui titik P (2,−5) dan Q (−1,3)


Tambahan: Mensketsa Garis

Untuk mensketsa suatu garis, maka paling tidak dibutuhkan dua titik pada garis tersebut. Dengan dua titik tersebut, maka dengan mudah kita dapat mensketsa garis yang dimaksud.

Oleh karena itu cara mensketsanya adalah:

a. Menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y

b. Atau jika garis tersebut melalui titik O(0,0), maka tentukan titik yang lain


Latihan

Sketsalah soal pada Latihan sebelumnya, yaitu pada soal: a, b, c, dan d


Sudut antara Dua Garis

Dua garis yang berpotongan, l1 dan l2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan :

“Sudut antara garis l1 dan l2 dilambangkan dengan (l1, l2) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang diperlukan untuk memutar garis l1 dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l2”

Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:



Dua garis yang berpotongan, l1 dan l2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan :





Dua garis yang berpotongan, l1 dan l2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan:





Dari gambar disamping (l1, l2) =

Perhatikan bahwa posisi , l1 dan l2

berbeda



Suatu rumus sederhana untuk tangen sudut antara dua garis dapat diturunkan dalam bentuk kemiringan dari kedua garis pembentuk sudut tersebut. Misalkan garis l1 dan l2 berturut-turut mempunyai sudut inklinasi 1 dan 2 dan kemiringan m1 dan m2. Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh garis l1 dan l2 seperti pada gambar di samping



Diperoleh sudut Antara 2 garis sebagai berikut (coba Anda tunjukkan)

atau

dengan θ = (l1, l2)


Latihan

1. Jika garis 𝑘: −2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 dan 𝑙: 𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0, maka tentukanlah besar sudut antara garis 𝑘 dan 𝑙

2. Diketahui garis 𝑔: 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 dan garis ℎ: 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0. Jika 𝜃 = ∠ 𝑔, ℎ , maka carilah nilai sin 𝜃

3. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui (2, 6) dan (4, -1) dan garis yang melalui (5, 2) dan (0, 3)

4. Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga yang mempunyai titik-titik sudut dengan koordinat A (–4, 2), B (12, –2), dan C (8, 6)


Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus

Dua garis yang mempunyai kemiringan m1 dan m2 adalah saling sejajar jika m1 = m2 atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal)

Dua garis yang mempunyai kemiringan m1 dan m2 adalah saling tegak

lurus jika m1 = −1

m2

Coba Anda buktikan keduanya


Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus

Dua garis yang mempunyai kemiringan m1 dan m2 adalah saling sejajar jika m1 = m2 atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal)

Dua garis yang mempunyai kemiringan m1 dan m2 adalah saling tegak

lurus jika m1 = −1

m2

Coba Anda tunjukkan bagaimana mendapatkan keduanya


Latihan

1. Diketahui sebuah garis yang melalui (a, 5) dan (4, 3) sejajar dengan garis yang mempunyai kemiringan . Tentukan nilai a

2. Tentukan persamaan garis yang melalui (1,-2) dan sejajar garis 𝑘: − 4𝑥 + 𝑦 + 8 = 0

3. Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,3) dan tegak lurus garis 𝑙: 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 𝑔: 𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 dan ℎ: −2𝑥 + 4𝑦 + 10 = 0 dan tegak lurus terhadap garis 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0


Persamaan umum garis

Persamaan sebarang garis lurus adalah berderajad satu dalam koordinat tegak lurus x dan y (kartesius). Sebaliknya akan ditunjukkan bahwa sebarang persamaan berderajad satu dalam x dan y menyatakan sebuah garis lurus. (Hal ini merupakan jawaban mengapa sebuah persamaan derajad satu disebut persamaan linier).

Persamaan umum derajad satu dalam x dan y adalah

Ax + By + C = 0

A, B, dan C adalah bilangan tetap dan A dan B tidak keduanya nol


Persamaan umum garis

Jika ada dua buah persamaan garis A1x + B1y + C1 = 0 dan A2x + B2y + C2 = 0 Apabila:

A1

A2≠

B1

B2 , maka kedua garis berpotongan

A1

A2=

B1

B2≠

C1

C2 , maka kedua garis sejajar

A1

A2=

B1

B2=

C1

C2 , maka kedua garis berimpit


Persamaan garis bentuk normal

Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang p yang tegak lurus atau normal dari titik asal ke garis tersebut, dan sudut yaitu sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis normalnya yang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. (lihat gambar)


Persamaan garis bentuk normal

Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjang normalnya p dan besar sudut normalnya adalah

x cos + y sin – p = 0

Diskusikan bagaimana diperoleh persamaan bentuk normal tersebut


Documents

GEOMETRI ANALITIK fileMahasiswa dapat menentukan persamaan garis 4. ... Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non ... pada gambar disamping