35
GEOMETRI ANALITIK RUANG Matematika 2 By. Retno Anggraini

Geometri Analitik Ruang1 140414025737 Phpapp01 2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

semoga bermanfaat

Citation preview

  • GEOMETRI ANALITIK RUANGMatematika 2By. Retno Anggraini

  • Geometri analitik ruangJarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah : OP2 = ( x2 + y2 + z2 )Jika OP = r maka : r 2 = ( x2 + y2 + z2 )

  • SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAHJika a,b,g, masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka : x = r cos a cos a = x/r y = r cos b atau cos b = y/r z = r cos g cos g = z/rDimana a,b,g disebut sudut sudut arah OPcos a cos b cos g disebut cosinus arah OPDan cos 2a + cos2b + cos 2g = 1

  • BILANGAN ARAH GARIScos a : cos b : cos g = a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garisJika diketahui a,b,c maka

    cos a = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos b = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos g = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2Dimana tanda penyebut + atau tergantung kuadran.

  • JARAK DARI DUA TITIKJarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah :

    d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2Bilangan arah dari garis P1P2 adalah

    (x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1)Cosinus arah dari garis P1P2 adalah

    cos a = (x2-x1)/d, cos b = (y2-y1)/d, cos g = (z2-z1)/d

  • TITIKJika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka :

    X = (x1 + qx2) / (1+q) Y= (y1 + qy2) / (1+q) Z = (z1 + qz2) / (1+q)Koordinat titik tengah T dari grs P1P2

    T = [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 , (z1 +z2)/2]

  • SUDUT ANTARA DUA GARISDidefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui.Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, q sudut antara grs itu maka :

    Cos q = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 Dimana :

    r1 2 = ( x12 + y12 + z12 ) r2 2 = ( x22 + y22 + z22 )

  • Karena X1 = r cos a1 X2 = r cos a2 maka cos q = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2Jika dua grs //, maka : a1= a2 b1= b2 g1= g2Jika dua garis tegak lurus maka : cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2 = 0

  • Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka : cos q = a1a2 + b1b2 + c1c2 [(a12+ b12 +c12 )1/2 x (a22+ b22 +c22) 1/2 ]

    Jika dua grs //, maka : a1/a2 = b1/b2=c1/c2 Jika dua garis tegak lurus maka : a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

  • BIDANG DATARBentuk Umum

    Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol

    Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah :

    A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0

  • GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATARSyarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah

    a/A = b/B = c/CPersamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1) tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah :

    a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

  • DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUSDua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0

    - // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 - Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah :

    d = Ax1 + By1 + Cz1 + D (A2 + B2 + C2 )1/2

  • Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ; x/a + y/b + z/c = 1Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+ B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :

    cos q = A1A2 + B1B2 + C1C2 (A12+B12+C12 )1/2 (A22+B22+C22 )1/2

  • TITIK POTONG TIGA BIDANG DATARa1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah

    x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana : a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3

    a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3

  • Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah : (A1x+ B1y+C1z+D1) + l(A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana l parameterGaris dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang (A1x+ B1y+C1z+D1) = 0(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah

    B1 C1 C1 A1 A1 B1 : : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2

  • PERSAMAAN GRS LURUS DLM RUANGJk sudut arah garis g adalah a,b,g; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh :

    x-x1 = t cosa ; y-y1 = t cosb ; z-z1 = t cos gJika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka persamaan garis ini dapat ditulis sbb :

    x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P

  • BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN GARIS LURUSPersamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn sudut sudut arah a,b,g adalah ;

    x x1 = y y1 = z z1 cos a cos b cos g

    Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk :

    x x1 = y y1 = z z1 a b c

  • Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :

    x = x1 , y y1 = z z1 (tgk lrs sb x) b c y = y1 , x x1 = z z1 (tgk lrs sb y) a c z = z1 , x - x1 = y y1 (tgk lrs sb z) a b

  • PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI DUA TITIKPers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah :

    x x1 = y1 y2 = z z1 b b bArah arah relatif garis dan bidang datar

    Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka :1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 02. g V jika : A/a = B/b = C/c

  • BOLAPersamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R.Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R.Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2 adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C)

    Jari jari R = ( A2+ B2 +C2 D )1/2Jika R = 0 bola menjadi bola titikJika A2+ B2 +C2 D > 0 adalah bola sejati Jika A2+ B2 +C2 D < 0 adalah bola khayal Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang

  • PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG DAN BIDANG KUTUBJika Pers bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka :

    1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =02. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

  • Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2 - Untuk persamaan bola : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

    - Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola : x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola

  • Bidang kuasa dr dua bola BI = 0 dan BII = 0 BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0 BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0 Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalah BI - BII = 0 atau2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik titik yang kuasanya sama terhadap bola BI dan BII

  • Garis kuasa dan titik kuasaJk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu

    Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak melalui 2 titik yang sama maka BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu

  • TABUNG DAN KERUCUTBidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah

    Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

  • BIDANG PUTARANBdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs (lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu.Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y2+ z2 ) = 0

  • 1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi :

    ( x2+ y2 )/a + z/b = 1 ATAU (x2+ y2)/ a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida putaran

  • 4. Jk ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 + z2 /b2 = 1 atau x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalah sebuah elipsoida putaran5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1atau x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun satu.

  • 6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= -1atau - (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun dua.7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi : (x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2 Ialah sebuah tabung silinder

  • BIDANG DERAJAT DUAElipsoida x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 12. Parabola Eliptik x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2) z2

  • -Perpotongan dgn bid z = k > 0 x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips

    - Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabolaPersamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)

  • 3. Hiperbola daun satu x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 z1z/c2 = 1

  • Hiperbola daun duax2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y2/b2 + z2/c2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1 berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0

    - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 z1z/c2 = 1

  • 5. Parabolaida hiperbolik x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2 berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola

    - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)

  • SELAMAT BELAJARGOOD LUCK