GEOMETRIA 01

ANGULODEFINICION

Se llama ángulo a la figura formada por dos rayos que tienen el mismo punto de origen y sus lados no deben ser colineales

ElementosLados: Vértice: O

Notación

AOB ,AOB

m AOB = º : Medida del ángulo AOB es igual a º

Angulos CongruentesDos o más ángulos son congruentes si tienen igual medida.

AOB

Bisectriz de un Angulo:Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes.

B

: Bisectriz de AOB

mAOX = mXOB =

AOX XOB

Clasificación de los AngulosLos ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.

I. SEGÚN SU MEDIDA

Oº<< 90º

2. Angulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º

Av. Juan Pablo II Nº 355 Teléfono: 044 637495

GEOMETRIA

90º << 180º

3. Angulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90º.

= 90º

II. SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS

1. Angulos Adyacentes. Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los ángulos se encuentran a uno y otro lado del lado común.

AOB, BOC, COD y AOD son ángulos adyacentes alrededor de un punto

2. Ángulos Opuestos por el VérticeSon dos ángulos en donde los lados de uno son los rayos opuestos del otro.Es decir, se determinan al trazar dos rectas secantes, dichos ángulos con congruentes (tienen la misma medida).

=

III.SEGUN SUS CARACTERÍSTICAS1. Angulos Adyacentes Complementarios

Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º.

AOB y BOC son ángulos adyacentes complementarios

+ = 90º

2. Ángulos ComplementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 90º.

+ = 90º

Nota 1. Complemento de un ángulo es lo que le falta a este ángulo para medir 90º.

COMPLEMENTO DE = 90º - =

Nota 2:1º <> 60´ , 1´ <>60”90º <> 89º60´ <> 89º59´60”

3. Ángulos Adyacentes SuplementariosSon dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 180º.

AOB y BOC son ángulos adyacentes suplementarios.


GEOMETRIA + = 180º

4. Angulos SuplementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 180º

+ = 180º

Nota 3. Suplemento de la medida de un ángulo es lo que le falta para medir 180º.

SUPLEMENTO DE = 180º - = Nota 4:

180º <> 179º60´<>179º59´60”

Nota 5:Cuando la palabra suplemento se repite un número par de veces, el resultado es el mismo valor del ángulo y si el número es impar, el resultado es su suplemento.

Sup del Sup .........Sup de =

ro. veces par

Sup del Sup .........Sup de = 180º-

ro. veces impar

TEOREMA. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto.

PRACITCA

1. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB = 2BC = 3CD. Si AD = 220. Calcular BC.

A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 90

2. Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C, tales que “M” y “N” son puntos medios de

AB y BC respectivamente. Si 3MN = 2MC y AB – BN = 2, calcular AC.

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

3. Sean los puntos consecutivos y colineales F, A, N, I; siendo “N” punto medio de Al . Calcular

2 2

2 2FA Fl

AN FN

A) 1 B) 0,5 C) 2D) 1,5 E) 3

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que:

AB. CD = BC. AD y 6

1

AD

1

AB

1

Hallar AC

A) 6 B) 12 C) 18 D) 3 E) 1,5

5. Los puntos A, M, B y N se ubican consecutivamente en una recta. Hallar AB si:

BN

AN

MB

AM y

5

1

AN

1

AM

1

A) 8 B) 6 C) 4D) 10 E) 9

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo AB = 3 y CD = 6. Si “M” es el punto medio de BC y BM.MD = 7 calcular AM.

A) 2 B) 5 C) 3,5 D) 4 E) 6

7. Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, O M y B de modo que AO = OB. Calcular el valor de la

siguiente expresiónAM MBOM

A) 1/2 B) 1 C) 3,2D) 2 E) 5/2


GEOMETRIA

8. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo CD = 3AB y AD + 3BC = 60. Calcular AC.

A) 45 B) 30 C) 15D) 10 E) 20

9. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AB×CD=AD×BC y

32

AD1

AB1

. Hallar “AC”:

A) 1,5 B) 2/3 C) 1/3 D) 6 E) 810. Si un ángulo se le resta su complemento resulta

igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo.

A) 135º B) 70º C) 80ºD) 60º E) 90º

11. Calcular el suplemento de la suma de dos ángulo, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150º.

A) 60º B) 30º C) 90ºD) 120º E) 150º

12. Dos ángulos adyacentes y suplementarios se diferencian en 24º. Halle la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del menor ángulo.A) 41,5° B) 49° C) 34° D) 39° E) 36,5°

13. Considere los ángulos adyacentes AOB y BOC. Si la diferencia de las medidas de los ángulos AOC y AOB es 24º, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y AOC.

A) 16° B) 12° C) 10°D) 14° E) 18°

14. Se presentan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOB y COD son complementarios. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD.

A) 40º B) 30º C) 45º D) 70º E) 50º

15. La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 1º a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo.

A) 95º B) 105º C) 135º D) 140º E) 150º

16. El suplemento del complemento de un ángulo que mide q y el complemento de 3q suman 130º. Hallar el complemento de q.

A) 25º B) 30º C) 60º D) 65º E) 66

17. Dados dos ángulos adyacentes A O B y B O C,

siendo B O C = A O B + 30º, OX es bisectriz

de A O B; OY es bisectriz de B O C; OZuuur

es

bisectriz de X O Y, entonces el valor de B O Z,

es:

A) 15º B) 7º30’ C) 8º 15’D) 9º 30’ E) 10º

18 Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común están situados a una misma región del lado común. Si el valor de su razón aritmética es un ángulo agudo, el máximo valor entero que forman sus bisectrices, es:

A) 44º B) 45º C) 46º D) 47º E) 48º

19. Si el ángulo AOB es agudo, calcular el mayor valor

entero de “x”.

A) 57 B) 58C) 59D) 60E) 61


O

AB

2xº 30 º

GEOMETRIA20. Si el ángulo PRQ es obtuso, calcular el mínimo

valor entero de “x”.A) 9B) 10C) 11D) 12E) 13

21 Calcular la medida de un ángulo si su complemento es igual a la mitad de dicha medida.

A) 60 B) 30 C) 45D) 15 E) 36

22. Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

A) 100 B) 80 C) 20D) 180 E) 13

23. En la figura adjunta, L1 // L2 . Si: a + b =224°. Halla el valor de “x”.

A) 12° B) 13° C) 14°D) 15° E) 16°

24. Calcule "x", si : .

L 1

L 2º

º

3xº

2xº

º

A) 18° B) 9° C) 27°

D) 30° E) 20°

25. Calcule "xº", si : a+ b = 50° y .

L 1

L 2

120º x

80 º

b

a

º

º

º

A) 40° B) 50° C) 70°D) 60° E) 6

26. Según el gráfico

21 L//L . Calcula “x”.

A) 18° B) 36° C) 35° D) 20° E) 40°

27. Calcule : "xº", si : .


P Q

R

3xº 60 º

1L

2L

ab

10 + x

8 + x

x

L1

L2

3x

GEOMETRIA

L 1

L 2

xº

2xº

2xº

A) 80° B) 18° C) 70° D) 20° E) 75°

28. Si : , calcule "x".

L 1

L 2xº

120 º

A) 10° B) 20° C) 25° D) 30° E) 45°

29 En la figura, . Halle la medida del ángulo

.

A) 145°B) 115°C) 144°D) 135°E) 120°

30. En la figura, . Calcule el valor de .

A) 30°B) 20°C) 10°D) 35°E) 15°

31. Se tienen los ángulos consecutivos BOA ,

COB . Se traza OD bisectriz de BOA . Halla la

medida del DOC ; si: COA + COB =

160°.

A) 70° B) 80° C) 90°D) 100° E) 110°

32. Se tienen los BOA , COB , DOC . OM y

ON , bisecan BOA y DOC , respectivamente.

Halla la medida del NOM , si: COA = 140° y

DOB = 80°.

A) 100° B) 110° C) 120°D) 130° E) 140°

33. Si los 3/2 del complemento de un ángulo “” es igual al suplemento del complemento del mismo ángulo. Halla “”.

A) 16° B) 17° C) 18°D) 19° E) 20°

34. El suplemento del complemento de un ángulo es igual a 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento de dicho ángulo. Halla el ángulo.

A) 41° B) 43° C) 44°D) 45° E) 46°

35. Halla la medida de un ángulo, tal que el triple de su complemento sea igual a su suplemento de su mitad.

A) 34° B) 35° C) 36°D) 37° E) 38°


GEOMETRIA

PROBLEMAS ESPECIALES

1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, N, R.

Si:(AM) (AR) = 3(MN) (NB) ym n 1NR Am AN

.

Calcular m +n + l.

A) 16 B) 8 C) 12D) 14 E) 18

2. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico .

L 1

L 2

xº

83 º

A) 90° B) 85° C) 87° D) 88° E) 86°

3. Del gráfico, calcule el valor de cuando "x" toma su mínimo valor entero par. Si : .

L 1

L 2

x

x

x-

º

º

A) 34° B) 32° C) 28° D) 29° E) 30°

4. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero.

xº -yº

2yº+ xº5xº

A) 8° B) 3° C) 4°D) 5° E) 6°


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