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Euclides, en su libro Los Elementos, define una proporción basada en la división de un segmento en su "razón extrema y media".

La definición de Euclides es:

Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Libro IV, Definición 3)

Actualmente a esta razón la llamamos la sección áurea, la razón áurea o la divina proporción. Usualmente se denota por la letra griega phi, , la inicial del nombre del escultor Phidias.

La construcción de Euclides del pentágono regular depende de esta razón. Dos diagonales de un pentágono regular que se corten dividen una a la otra en la razón extrema y media.

Usando una tira de papel podemos hacer un nudo y obtener un pentágono y un pentagrama, emblema de la escuela pitagórica. Cada segmento del pentagrama y su siguiente en tamaño están en proporción áurea.

También encontramos la razón áurea en el dodecaedro y el icosaedro.

Un rectángulo se dice que es un rectángulo áureo si tiene sus lados en la proporción áurea. Si cortamos adecuadamente un rectángulo áureo en un cuadrado de lado el ancho del rectángulo y en un rectángulo entonces el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo.

Podemos deducir el valor de la proporción áurea.

El rectángulo grande y el pequeño son similares. Podemos escribir la proporción:

Obtenemos una ecuación de segundo grado:

La solución positiva de esta ecuación es la proporción áurea:

REFERENCIAS

Euclides, Los ElementosCoxeter - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195).

ENLACES

Rectángulo áureoUn rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

Rectángulo áureo y rotación dilatativaUn rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.

Espiral áureaLa espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

Rectángulo áureo y dos espirales equiangularesDos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.

Espiral equiangularEn una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Dilatación y giro de la espiral equiangularCualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

El dodecaedro regularUn octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.

El icosaedro y su volumenLos veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedroA partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): ZomeZome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): TensegrityTensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.

Proporción del papel estándar DIN AEl papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca PacioliLeonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca PacioliLeonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca PacioliLeonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula) para La Divina Proporción de Luca PacioliLeonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula)