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rodolfo196723
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GEOMETRA ANALTICA
C O N T E N I D O
Capitulo I lgebra Lineal
1.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
I.1.1 Sistema cartesiano para los espacios de dos y tres dimensiones.
I.1.2 Simetra de puntos .
I.1.3 Segmento dirigido.
I.1.4 Componentes escalares de un segmento dirigido sobre los ejes coordenados.
I.1.5 Vector de posicin .
I.1.6 Mdulo de un vector.
I.1.7 El vector como conjunto ordenado de n nmeros reales.
1.2 OPERACIONES CON VECTORES
I.2.1 Igualdad de vectores.
I.2.2 Adicin de vectores, propiedades.
I.2.3 Multiplicacin por un escalar.
I.2.4 Vector nulo y vectores unitarios.
I.2.5 Sustraccin de vectores.
I.2.6 Distancia entre dos puntos como el modulo de la diferencia de dos vectores.
1.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
I.3.1 Definicin y propiedades.
I.3.2 Ortogonalidad.
I.3.3 Componente vectorial y escalar de un vector sobre otro.
I.3.4 Angulo entre dos vectores.
I.3.5 Vectores unitarios i, j, k y forma trinmica de un vector.
I.3.6 ngulos y cosenos directores de un vector.
1.4 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
I.4.1 Definicin y propiedades.
I.4.2 Paralelismo.
I.4.3 rea de un paralelogramo.
I.4.4 Producto mixto. Propiedades.
I.4.5 Volumen de un paraleleppedo.
I.4.6 Doble producto vectorial.
Capitulo II La recta y el plano en el espacioII.1 LA RECTA
II.1.1 Ecuacin vectorial de la recta.
II.1.2 Ecuaciones paramtricas y en forma simtrica de la recta.
II.1.3 Distancia de un punto a una recta.
II.1.4 Angulo entre dos rectas.
II.1.5 Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia.
II.1.6 Distancia entre dos rectas.
II.1.7 Interseccin de dos rectas.
II.1.8 Familias de rectas.
II.2 EL PLANO II.2.1 Ecuacin vectorial del plano y ecuaciones paramtricas.
II.2.2 Vector normal y ecuacin normal del plano.
II.2.3 Ecuacin cartesiana del plano.
II.2.4 Distancia de un punto a un plano.
II.2.5 Angulo entre dos planos
II.2.6 Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia.
II.2.7 Distancia entre dos planos.
II.2.8 Interseccin de dos planos.
II.2.9 Planos proyectantes de una recta.
II.2.10 Familias de planos.
II.3 RELACIONES ENTRE PLANOS Y RECTA II.3.1 Angulo entre una recta y un plano.
II.3.2 Paralelismo y perpendicularidad de un plano y una recta.
II.3.3 Interseccin de un plano y una recta.
Capitulo III Ecuaciones paramtricas y ecuaciones en coordenadas
III.1 ECUACIONES DE CURVAS PLANAS III.1.1 Ecuaciones vectorial de una curva.
III.1.2 Ecuaciones paramtricas.
III.1.3 Intervalo paramtrico
III.1.4 Ecuacin cartesiana de una curva
III.1.5 Curvas cnicas.
III.1.6 Ecuaciones paramtricas y vectoriales de las cnicas
III.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES III.2.1 Sistema de referencia en coordenadas polares.
III.2.2 Transformacin de ecuaciones cartesianas a polares y viceversa.
III.2.3 Ecuaciones en coordenadas polares de la recta y las cnicas.
III.2.4 Discusiones paramtricas y vectoriales de las cnicas.
III.3 COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICAS
III.3.1 Sistema de referencia en coordenadas cilndricas y ecuaciones de transformacin.
III.3.2 Sistema de Referencia en coordenadas esfricas y ecuaciones de transformacin.
Bibliografa.
Capitulo I lgebra Lineal
La representacin de objetos geomtricos para el espacio de tres dimensiones, se simplifica grandemente si se utilizan las cantidades vectoriales (vectores) como apoyo para determinar las condiciones especiales que debern satisfacer los puntos que permanecen a dicho objeto.
Dado que la finalidad de estas notas, es el tratamiento de algunos elementos de la geometra analtica, desde un punto de vista vectorial; en los espacios de dos y tres dimensiones principalmente.
1.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
I.1.1 Sistema cartesiano para los espacios de dos y tres dimensiones. En un espacio de dos dimensiones, los puntos estn definidos por una pareja ordenada de nmeros reales; tienen dos coordenadas. Pueden representarse geomtricamente en un plano determinado por dos ejes perpendiculares llamados coordenadas, que se cortan en un origen comn. Por facilidad, se acostumbre a dibujar los ejes con direcciones horizontal y vertical, hacia la derecha y hacia arriba respectivamente; a dichos ejes se les denomina por lo general como ejes X y Y. A la distancia desde el eje Y a cualquier punto del plano, se llama la abscisa del punto. A la distancia desde el eje X a cualquier punto del plano se le llama ordenada del punto. Las dos distancias juntas son llamadas las coordenadas del punto y se representan por el smbolo (x, y).
La abscisa es positiva cuando el punto est a la derecha del eje Y, y negativa cuando est a la izquierda. La ordenada es positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X, y negativa cuando se localiza abajo. En esta forma a cada punto del plano, puede hacerse corresponder una pareja ordenada de valores (x, y), y a cada pareja ordenada de valores (x, y) puede hacerse corresponder un punto del plano.
Al sistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de dos dimensiones.
As por ejemplo, los puntos P(1, 3), Q(-2, 0), R (-1, -4) pueden representarse geomtricamente como se muestra en la figura 1.
En un espacio de tres dimensiones, los puntos estn definidos por una terna ordenada de nmeros reales; tienen tres coordenadas. En este caso suele utilizarse como sistema de referencia para la representacin geomtrica de un punto, el definido por tres ejes perpendiculares entre s (cada uno de ellos perpendicular a los otros dos), que se cortan en un origen comn. A este sistema se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de tres dimensiones. Los ejes se llaman coordenados y se designan normalmente con las letras X, Y y z. Los ejes X y Y se acostumbra dibujarlos en un plano horizontal y el eje z queda por lo tanto, vertical.
Si las direcciones positivas de los ejes coordenados corresponden a las mostradas en la figura 2 el sistema se le llama derecho. Un sistema izquierdo es el de la figura 3 en general es ms comn utilizar sistema coordenados derechos.
Los tres ejes definen tres planos llamados Planos Coordenados, que dividen al espacio tridimensional en ocho partes llamadas octantes. El plano XY contiene a los ejes X y Y, el plano XZ contiene a los ejes X y Z y el plano YZ contiene a los ejes Y y Z, figura 4.
Un punto cualquiera del espacio tridimensional queda definido si se conocen sus tres distancias dirigidas a los tres planos coordenados. La distancia del punto al plano YZ se le llama abscisa o coordenada X; su distancia a XZ se llama ordenada o coordenada Y; por ltimo, su distancia al plano XY se llama cota o coordenada Z. En esta situacin a cada punto del espacio puede hacerse corresponder una terna ordenada de valores (x, y, z), y a cada terna de ordenada de valores (x, y, z) puede hacerse corresponder un punto del espacio. As por ejemplo, la representacin geomtrica del punto P de coordenadas (2, 3, 3), puede hacerse como se muestra en la figura 5.
Para espacios de ms de tres dimensiones, los puntos no pueden representarse geomtricamente.
I.1.2 Simetra de puntos
Para establecer la simetra de puntos en el espacio de tres dimensiones, es necesario revisar algunos conceptos geomtricos.
DEFINICIN 1. Dos puntos P y P1 son simtricos con respecto a un tercero 0, si ste es un punto medio del segmento PP1
Fig. 6 Simetra con respecto a un punto
DEFINICIN 2. Dos puntos P y P1 son simtricos con respecto a una recta L, si sta es mediatriz del segmento PP1
Fig. 7 Simetra con respecto a una recta
DEFINICIN 3. Dos puntos P y P1 son simtricos con respecto a un plano , si ste es normal bisector del segmento PP1
Fig. 8 Simetra con respecto a un plano
Con base en la definicin uno, a todo punto P ( x, y, z ) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simtrico P1 (-x, -y, -z) con respecto al origen (figura 9)
Como consecuencia inmediata de la definicin dos, a todo punto P(x, y, z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simtrico P1(-x, -y, -z) con respecto al eje X (figura 10)
Los P (x, y, z) y P1(-x, -y, -z) son simtricos con respecto al eje x, pues este eje es mediatriz del segmento PP1. tambin el punto P (x, y, z) tiene sus simtricos respecto a los ejes Y y Z que son P2(-x, y, -z) y P3(-x, -y, z).
Asimismo, como consecuencia de la definicin tres a todo punto P (x, y, z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simtrico P1(x, y, -z) con respecto al plano coordenado XY (figura 11).
Los puntos P(x, y, z) y P1(x, y, -z) son simtricos con respecto al plano XY, pues este plano es normal bisector del segmento PP1. Adems el punto P (x, y, z) tiene sus simtricos respecto a los planos YZ y XZ que son P2 (x, -y, -z) y P3(x, -y, z) respectivamente.
Ejemplo 1
Dado el punto Q (-1, -4, 2) encontrar sus simtricos respecto al origen, ejes y planos del sistema de referencia.
Solucin :
I.1. 3 Segmento dirigido En ingeniera es frecuente encontrarse con cantidades que poseen magnitud y direccin; entre stas se tienen la fuerza, la velocidad, la aceleracin, el desplazamiento, etc. A este tipo de cantidades se les denomina cantidades vectoriales o vectores.
Cabe aclarar que existen muchos entes matemticos que tambin se definen como vectores, pero en este curso el concepto de vector lo restringiremos exclusivamente a las cantidades que poseen magnitud y direccin.
Para representar geomtricamente a un vector se utiliza el segmento dirigido, el cual es un segmento de recta entre dos puntos al que se le asigna un sentido de recorrido. Por ejemplo, en la figura 12 se muestra un segmento dirigido entre dos puntos P y Q; a este segmento dirigido se le designa como PQ, en donde la primera letra indica el punto inicial llamado origen y la segunda el punto final llamado extremo.
Es fcil ver que los segmentos dirigidos presentan las caractersticas de un vector a saber: direccin, dada por la direccin de la recta y el sentido de recorrido (la flecha) y magnitud, dada por la longitud del segmento.
En adelante, por lo general,, se usarn letras minsculas con una raya encima (testa) para designar a los vectores, por ejemplo: , b, c, etc.
A fin de describir los vectores desde un punto de vista analtico, es conveniente considerar que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin, es decir se establece que un vector no se altera si se mueve paralelamente a si mismo, figura 13.
Bajo la consideracin anterior, el origen de cualquier vector se puede hacer coincidir con el correspondiente de un sistema coordenado rectangular, con lo que es factible establecer una descripcin de un vector en forma exclusivamente numrica como se presenta a continuacin:
I.1.4 Componentes escalares de un segmento dirigido sobre los ejes coordenados Considrese un vector representado grficamente por un segmento dirigido cuyo punto inicial es el origen del sistema y con punto final A (a1, a2, a3), vase figura 14
A los tres nmeros reales a1, a2 y a3 se les denomina las componentes escalares del segmento dirigido sobre los ejes coordenados; y dado que representa grficamente al vector , se dice que estos nmeros son las componentes de dicho vector y en esta forma el vector se expresa como: = (a1, a2, a3), donde a1 es la componente X, a2 es la componente Y y a3 es la componente Z. Si se considera ahora a un vector b representado geomtricamente por el segmento dirigido RS, las coordenadas de R y S son respectivamente (r1, r2, r3) y (s1, s2, s3), entonces se dice que dicho vector tiene por componente a. b = (s1 r1, s2 r2, s3 y3). Como se puede observar en la figura 14, los vectores y b tienen la misma magnitud y direccin por lo que son iguales, y por otra parte de la misma figura se tiene que:
a1 = s1 r1, a2 = s2 r2, a3 = s3 r3 En esta forma se puede establecer que si dos vectores cualesquiera son iguales, tienen las mismas componentes; e inversamente, dos vectores con las mismas componentes son necesariamente iguales en magnitud y direccin. Asimismo se concluye que un vector queda completamente determinado especificando, en forma ordenada, los tres nmeros reales que constituyen sus componentes.
Una ecuacin vectorial = b, donde = (a1, a2, a3 ) y b = (b1, b2, b3), es una forma breve de representar las siguientes tres igualdades entre nmeros reales:
a1 - b1 , a2 b2, a3 b3 Para el caso de vectores definidos en el plano, stos tienen dos componentes. As por ejemplo en el vector c = (c1, c2); c1 es la primera componente o componente X y c2 es la segunda o componente Y, figura 15.
I.1.5 Vector de posicin
DEFINICIN. Sea el punto a en el espacio de tres dimensiones, cuyas coordenadas son (a1, a2, a3 ); se llama vector de posicin de este punto al representado por el segmento dirigido que va del origen del sistema a dicho punto.
Designado por al vector de posicin del punto A, sus componentes son: = = (a1- 0, a2 -0, a3 0) = (a1, a2, a3 ); entonces como se ve, las componentes del vector de posicin son siempre iguales a las coordenadas del punto, como se ilustra en la figura 16.
Entonces puede establecerse una relacin de correspondencia uno a uno entre el conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones, y el conjunto de vectores de posicin en el mismo espacio. Es decir a cada punto del espacio de tres dimensiones le corresponde uno y slo un vector de posicin, y viceversa. Esta misma situacin se presenta para los conjuntos de puntos y vectores de posicin en el plano. En general esta correspondencia existe, cualquiera que sea la dimensin del espacio en que se trabaje.
Es importante mencionar, que en el espacio de tres dimensiones, tanto los puntos como los vectores estn dados por una terna ordenada de nmeros reales. Sin embargo la terna de nmeros reales que representa a un punto determina la posicin del punto en el sistema de referencia. Por otra parte, la terna ordenada de nmeros reales que presenta un vector son sus componentes, es decir, las proyecciones dirigidas del vector sobre los ejes coordenados del sistema de referencia.
I.1.6 Mdulo de un vector El mdulo de un vector, es la magnitud del mismo. El smbolo || s utilizar para denotar el mdulo del vector .
Una forma simple de deducir la expresin par calcular el mdulo de un vector a partir de sus componentes, es como se muestra a continuacin. Para el caso de un vector definido en el espacio de tres dimensiones, vase la figura:
Se tiene:
Del tringulo rectngulo OMN aplicando el teorema de Pitgoras:
ON = OM2 + MN2 = a21 + a22 Del tringulo rectngulo OAN, por el teorema de Pitgoras:
|| = OA = ON2 + NA2 = a21 + a22 + a23 Por lo tanto, el mdulo del vector , es:
| | = a21 + a22 + a23 Para el caso de vectores definidos en el plano, como se observa de la figura 18 aplicando el teorema de Pitgoras, el mdulo del vector c es:
| c | = c21 + c22
Ejemplo 2
Determinar el mdulo de los siguientes vectores: = (1, -5), b = (-1, 6, -2), c = (9, 0, 0)
Solucin :
| | = (1)2 +( -5)2 = 26
| b | = (-1)2 + (6)2 + (-2)2 = 41
| c | = (9)2 + (0)2 + (0)2 = 9
Ejemplo 3
Demostrar que los puntos A(7, 5), B(2, 3), C(6, -7) son los vrtices de un tringulo rectngulo, figura 19.
Solucin :
Definiendo los siguientes vectores sobre los lados del tringulo:
= AB = B A = (2, 3) (7, 5) = (-5, -2)
b = BC = C B = (6, -7) (2, 3) = (4, -10)
c = CA = A B = (7, 5) (6, -7) = (1, 12) Los mdulos de estos vectores, o longitudes de los lados del tringulo, son:
| | = (-5)2 + (-2)2 = 29
| b | = (4)2 + (-10)2 = 116
| c | = (1)2 + (12)2 = 145
Como se cumple que:
( |c| )2 = ( |a| )2 + ( | b| )2 145 = 29 + 116
Entonces de acuerdo con el teorema de Pitgoras, es un tringulo rectngulo.
I. 1. 7 El vector como conjunto ordenado de n nmeros reales El concepto de vector, puede extenderse a espacios con ms de tres dimensiones, no as su representacin geomtrica. En el espacio de n dimensiones un vector se define como sigue:
DEFINICIN. Un vector en el espacio de n dimensiones se define como una n-ada de nmeros reales (a1, a2, .......an). Al i-simo nmero de este arreglo, se llama la i-sima componente del vector.
Al Conjunto de todos los vectores de n dimensiones se le llama espacio de n dimensiones o simplemente, espacio n. Obsrvese que la definicin dada es consistente con la descripcin geomtrica, mencionada previamente, para los vectores en los espacios de dos y tres dimensiones.
Asimismo el concepto de mdulo de un vector que es la longitud p magnitud del mismo, se puede hacer extensivo para vectores definidos en espacios mayores de tres dimensiones. En general el mdulo de un vector en el espacio de n dimensiones, ||, se obtiene como:
|| = a21 + a22, ...........a2n Por ejemplo supngase que tenemos un vector en el espacio de seis dimensiones.
= (2, -1, 3, 2, -2, 4)
El mdulo del vector est dado por la expresin:
|| = (2)2 + (-1)2 + (3)2 + (2)2 + (-2)2 + (4)2 =
= 4 + 1 + 9 + 4 + 4 +16 = 38
( || = 38
En espacios mayores de tres dimensiones, los vectores y sus caractersticas no tienen interpretacin geomtrica.
1.2 OPERACIONES CON VECTORES
En esta parte se tratarn solamente la suma de vectores y la multiplicacin de un vector por un escalar. En subtemas posteriores se analizarn las operaciones de productos entre vectores
I.2.1 Igualdad de vectores
DEFINICIN. Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones, = (a1, a2, ....an) y b = (b1, b2, .....bn), es igual a b si y slo si, sus componentes correspondientes son iguales; es decir, = b si slo si a1 = b1, a2 = b2,..., y an = bn
Esta definicin concuerda con el concepto de igualdad considerado previamente, y que dice que dos vectores son iguales si sus respectivos segmentos dirigidos tienen la misma magnitud y direccin.
Ejemplo 4
Verificar que los vectores y b son iguales, donde parte del punto A y llega a B y b parte de C y llega D; A (-1, 3, 4), B (4, 2, 6), C (1, -2, -6), D (6, -3, -4)
Solucin:
= AB = (4, 2, 6) (-1, 3, 4) = (5, -1, 2)
b = CD = (6, -3, -4) (1, -2, -6) = (5, -1, 2)
Como las componentes correspondientes de los vectores y b son iguales, entonces se satisface la definicin de igualdad entre vectores.
I.2.2 Adicin de vectores , propiedades
DEFINICIN. Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones, = (a1, a2, .........an) y b = (b1, b2, ......bn), la suma + b es el vector que se obtiene sumando sus componentes correspondientes. As se tiene:
+ b = (a1 + b1, a2 + b2,..., y an + bn )
Ntese que en esta definicin se llama suma al vector que resulta de aplicar la operacin de adicin entre los vectores y b; esto es que la adicin de vectores es la operacin descrita en la definicin, y la suma de vectores es el resultado de esta operacin.
Propiedades de la adicin de vectores.
1) Cerradura. Si y b son dos vectores del espacio de n dimensiones, entonces + b tambin es un vector del espacio de n dimensiones.
2) Asociatividad. Se cumple que: + (b + c) = ( + b) + c
3) Existencia del elemento idntico. Para la adicin de vectores existe un elemento idntico que es el vector cero. En este vector, designado por 0, todas sus componentes son iguales a cero. As 0 = (o, o, ....., o), y tiene la propiedad que:
+ 0 = 0 + = para todo vector
4) Existencia de los inversos. Si se tiene un vector , el negativo , es un vector tal que:
- = (-a1, -a2, .....-an) Entonces siempre se cumple que: + (-) = (-) + () = 0
O sea que para cada vector siempre existe su inverso , tal que al sumarlos, el resultado es el vector cero (elemento idntico).
5) Conmutatividad. Se cumple: + b = b +
La adicin de vectores en el espacio de tres dimensiones se puede interpretar geomtricamente, a partir del siguiente razonamiento.
Como es sabido el fenmeno de desplazamiento de un cuerpo se puede interpretar matemticamente a travs de vectores, en esta forma si un objeto se desplaza en una trayectoria recta desde un punto R a un punto S, el fenmeno queda representado por el vector RS. Si posteriormente el mismo objeto se mueve en lnea recta desde el punto S al punto T, el desplazamiento se representa por el vector ST, figura 20
Como se puede observar en la figura anterior, el desplazamiento total corresponde a que si se hubiera efectuado uno slo desde el punto R al punto T, es decir el desplazamiento representado por el vector RT. En otras palabras, la suma de los vectores RS y ST es el vector RT, por lo que se denomina al vector RT como resultante de los desplazamientos RS y ST. En la misma figura se observa que RT es una diagonal del paralelogramo definido por RS y ST.
A fin de verificar, en forma sencilla, la consistencia de los conceptos de suma de vectores desde los puntos de vista analtica y geomtrico, considrese el caso de la suma de dos vectores alojados en el plano XY, = (a1, a2, 0) y b = (b1, b2, 0), figura 21.
En la figura anterior se observa que la resultante de la suma d los vectores y b es el vector r. Asimismo, se tiene que las componentes del vector r, tambin alojado en el plano XY, son:
r = (a1 + b1, a2 + b2, 0) = (a1, a2, 0) + (b1, b2, 0) = + b
De donde se concluye que independientemente que se efecte la suma de vectores en forma geomtrica o analtica, se obtiene el mismo resultado.
I.2.3 Multiplicar por escalar
DEFINICIN. Si ( es un nmero real (llamado comnmente escalar) y = (a1, a2, ....an) es un vector en el espacio de n dimensiones, el producto ( es el vector obtenido multiplicando cada componente de por , es decir: = (a1, a2, ......an)
Es importante sealar que al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector del mismo espacio, es decir se cumple la propiedad de cerradura.
Propiedades de la multiplicacin por un escalar.
Se puede verificar fcilmente que s 1 y 2 son escalares y y b son vectores del mismo espacio, se cumplen las siguientes propiedades:
1) 1 ( + b) = 1 + 2b
2) (1 + 2 ) = 1 + 2
3) (1 + 2 ) = 1 (2 )
4) | | = || ||
5) 0 = 0, 1 = , (-1) = -, -0 = 0
Si el escalar es mayor que uno el resultado de la multiplicacin ser un vector con la misma direccin de , pero con mdulo mayor que el de .
Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno el resultado ser un vector con la misma direccin de , pero con mdulo menor.
Cuando el escalar es mayor que menos uno pero menor que cero se obtendr un vector paralelo al vector , pero con direccin opuesta y mdulo menor.
Finalmente si el escalar es menor que menos uno el resultado ser un vector paralelo al vector , pero con direccin opuesta y mdulo mayor.
Lo anterior lo podemos representar geomtricamente como se muestra en la figura 22.
Ejemplo 5
Dados los puntos A (2, -1) y B (0, -5, -4) y los vectores p = (2, 2, -1) y q = (-2, 0, 3), encontrar el vector: 3p 2q + 5BA + 3b - 2, siendo y b los vectores de posicin de los puntos A y B, respectivamente.
Solucin:
De acuerdo con la definicin de la multiplicacin de un vector por un escalar:
3p = 3(2, 2, -1) = (6, 6, -3)
2q = 2(-2, 0, 3) = (-4, 0, 6)
BA = (2, -1, 3) (0, -5, -4) = (2, 4, 7)
Por lo tanto:
5BA = 5(2, 4, 7) = (10, 20, 35)
3b = 3(0, -5, -4) = (0, -15, -12)
2 = 2(2, -1, 3) (4, -2, 6)
Entonces por la definicin de suma de vectores:
3p 2q + 5BA + 3b - 2 = (6, 6, -3) (-4, 0, 6) + (10, 20, 35) + (0, -15, -12) (4, -2, 6) =
(6 + 4 + 10 + 0 4, 6 0 + 20 15 + 2, -3 6 + 35 12 6) =
(16, 13, 8)
Ejemplo 6
Dados tres puntos colineales en el espacio de tres dimensiones, P1 (-2, 1, -3), P2 (1, 4, 0) y P3 (2, 5, 1). Determinar el escalar que cumpla con la siguiente condicin:
P1P2 =P1P3
Solucin:
Los segmentos dirigidos P1P2 y P1 P3 estn definidos por:
P1P2 = (1, 4, 0) (-2, 1, -3) = (3, 3, 3)
P1 P3 = (2, 5, 1) (-2, 1, -3) = (4, 4, 4)
La condicin que se busca es:
P1P2 = P1P3 (3, 3, 3) = (4, 4, 4)
Aplicando la definicin de producto de un vector por un escalar, se tiene:
(3, 3, 3) = (4, 4, 4)
Para que dos vectores sean iguales, es necesario que sus componentes sean iguales, es decir:
3 = 4, de donde: = 4/3
Ejemplo 7
Dado los vectores = (1, 3) y b = (4, 2), obtener + b grficamente.
Solucin:
Aplicando la ley del paralelogramo.
I.2.4 Vector nulo y vectores unitarios En el inciso I.2.2, para la tercera propiedad de la adicin de vectores, se mencion la existencia de un elemento idntico para la adicin de vectores, designado por 0, y que es un vector cuyas componentes son iguales a cero; esto es que 0 = (o, o, o, ....,o).
Este vector tiene mdulo cero, por lo que se le llama vector nulo; pero no se le asigna ninguna direccin particular.
Geomtricamente el vector nulo puede ser considerado como un segmento dirigido para el cual el origen y el extremo son coincidentes, es decir, son lo mismo punto. Se puede observar que todo vector diferente del vector nulo tiene un mdulo positivo, esto es, || > 0 si ( 0.
Vectores unitarios. Se dice que un vector es unitario cuando su modulo es igual a la unidad. Para cualquier vector ( 0, siempre es posible de terminar el vector unitario en su misma direccin.
Por ejemplo lo dado un vector en el espacio de tres dimensiones = (a1, a2, a3) el vector unitario en la misma direccin est dado por:
u = a1 , a2 , a3 = 1 (a1, a2, a3)
|| || || ||
u tiene la misma direccin de ya que:
u = 1 y 1 es un escalar mayor que cero.
|| ||
Por otra parte determinando el mdulo de |u| se tiene:
|u| = a1 2 , a2 2, a3 2
|| || ||
Pero:
a1 2 + a2 2 + a3 2 = a12 + a22 + a32 = a12 + a22 + a32
|| || || || || || ||
| |2 = 1 | |2Con lo que queda demostrado que:
| u | = a1 , a2 , a3
|| || ||
Es un vector unitario en la misma direccin de = (a1, a2, a3).
Ejemplo 8
Encontrar el vector unitario en la misma direccin del vector.
= (2, -3, 7)
Solucin:
|| = ( (2)2 + (-3)2 + (7)2 = ( 4 + 9 + 49 = ( 62
Por lo tanto el vector unitario es: u = 2 , 3 , 7 62 62 62
Ejemplo 9
Determinar un vector q, con la misma magnitud del vector p = 3 2b + c y en direccin opuesta a la resultante de los vectores d y , = (2, 1, -3), b = (-1, -1, 1), c = (3, -2, 4), d = (1, -2, 8) y = (2, -1, 3)
Solucin:
El vector p es: p = 3 2b + c = 3 (2, 1, -3) 2 (-1, -1, -1) + (3, -2, 4)
p = (11, 3, -3)
La magnitud de p es: | p | = ((11)2 + (3)2 + (-3)2 = (139
La resultante de d y es: d + = (1, -2, 8) + (2, -1, 3) = (3, -3, 11)
El vector unitario en la direccin de d y : | d + e | = (3)2 + (-3)2 + (11)2 = 139
(d + )u = 3 , -3 , 11 139 139 139
por lo tanto el vector unitario en la direccin opuesta es:
- (d + )u = - 3 , -3 , 11 139 139 139
y finalmente q = - | p | (d + ) u = 139 - 3 , 3 , - 11 139 139 139
q = (-3, 3, -11)
Ejemplo 10
Una partcula se mueve con una rapidez de 2m/seg. en la direccin del vector = (5, -3, 2). Determinar las componentes del vector velocidad, V.
Solucin:
El vector V est dado por V = 2 u = u = ( 5, -3, 2 ) = (5, -3, 2) = 5 , - 3 , 2
(5)2 + (-3)2 + (2)2 38 38 38 38
Por lo tanto:
V = 2 5 , - 3 , 2
38 38 38
V = 10 , - 6 , 4
38 38 38
I.2.5. Sustraccin de vectores
Definicin. La sustraccin de vectores b, se puede definir a partir de la adicin como:
b = + b = (a1 , a2,...., an ) + (-b1, - b2, ..., -bn )
b = (a1 b1, a2 b2,..., y an bn )
Al vector que resulta de la sustraccin de dos vectores se le conoce como la diferencia de los vectores y b.
La interpretacin geomtrica de la sustraccin de dos vectores y b se muestra en la figura 24 en donde, como se observa, los vectores y b se consideran con origen comn y la diferencia b es el vector que va del extremo de b al de . Es decir se hace la adicin b + ( b) = .
I.2.6 Distancia entre dos puntos como mdulo de la diferencia de dos vectores
Dado dos puntos en el espacio de tres dimensiones cuyas coordenadas son: A (a1 , a2, a3 ) y B (b1, b2, b3 ). Sus vectores de posicin son respectivamente, = (a1 , a2, a3 ) y b = (b1, b2, b3 ). El vector b es el que va del extremo de b al de y su mdulo | b| ser igual a la distancia entre A y B como se puede apreciarse en la figura 25
Es decir:
dAB = dBA = | b |
Desarrollando la expresin anterior:
dAB = (a1 b1)2 + (a2 b2)2 + (a3 b3)2 Como se observa esta expresin es la misma frmula que se obtiene a travs del teorema de Pitgoras.
Ejemplo 11
Demostrar que los puntos P (3, 0, 3), Q (-3, 0, -3) y R (-33, 0, 33) son vrtices de un tringulo equiltero.
Solucin:
dPQ = |p q|, p q = (3, 0, 3) (-3, 0, -3) = (6, 0, 6)
dPQ = 62 + 02 + 62 = 72
dPR = |p r|, p r = (3, 0, 3) (-33, 0, 33) = (3 + 33, 0, 3 3 3)
dPR = (3 + 33)2 + 02 + (3 3 3)2 = 9 + 183 + 27 + 0 +9 -183 + 27dPR = 72
dQR = |q r |, q r = (-3, 0, -3) (33, 0, 33) = (-3 + 33, 0, - 3 3 3)dQR = (-3 + 33)2 + 02 + (-3 3 3)2 = 9 18 3 + 27 + 9 + 183 + 27
dQR = 72
( d PQ = dPR = dQR con lo que el tringulo PQR es equiltero.
I.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
I.3.1 Definicin y propiedades
Definicin. El producto escalar de dos vectores en el espacio de n dimensiones = (a1 , a2,...., an ) y b = (b1, b2, ..., bn) denotado por b, que se lee punto b se define como:
n
b = akbk = a1b1 + a2b2 + ..... +anbn k =1
El resultado del producto escalar de dos vectores es precisamente un escalar (nmero real) y no un vector.
Al producto escalar tambin se le conoce como producto interno o producto punto.
Propiedades del producto escalar de dos vectores.
Dados los vectores , b , c, en el espacio de n dimensiones y el escalar , el producto escalar tiene las siguientes propiedades:
1) b = b (propiedad conmutativa)
2) (b + c) = b + c (propiedad distributiva respecto a la suma de vectores)
3) () b = ( b), R
4) > 0 si 0
Demostraciones:
Sean = (a1 , a2,...., an ) b = (b1, b2, ..., bn) y c = (c1, c2, ..., cn)
1) b = b
n
b = (a1 , a2,...., an ) (b1, b2, ..., bn) = akbk = a1b1 + a2b2 + ..... + anbn
k =1
Dado que la multiplicacin es conmutativa para los nmeros reales, tenemos que:
n
a1 b1 + a2b2 + ..... + an bn = b1 a1 + b2a2 + ..... + bn an) = = bkak = b a
k =1
( b = b (
2) (b + c) = b + c
Expresando los vectores en funciones de sus componentes:
(b + c) = (a1 , a2,...., an ) [(b1, b2, ..., bn) + (c1, c2, ..., cn)]
= (a1 , a2,...., an ) (b1 + c1, b2 + c2, ..., bn + cn) = a1 (b1 + c1 ) + a2 ( b2 + c2) + .... + an (bn + cn) =
= a1b1 + a1c1 + a2 b2 + a2 c2 + anbn + an cn = (a1b1 + a2 b2 +...+ anbn ) + (a1c1 + a2 c2 + ...+ an cn ) =
n n
= akbk + akck = ( b) + ( c)
k =1 k =1
( (b + c) = ( b) + ( c)
3) () b = ( b), R() b = [ (a1 , a2,...., an )] (b1, b2, ..., bn) = ( a1 , a2,...., an ) (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2 b2 + ... + anbn =
n = [a1b1 + a2 b2 + ... + anbn ] = ( akbk = ( b)
k =1
( () b = ( b)
4) > 0 si 0
n n = akak = (ak)2 = a12 , a22,...., an2
k =1 k =1
Dado que 0, al menos una de las componentes de es diferente de cero; por lo que:
n (ak)2 0 y como (ak)2 > 0 V R
k =1
Se tiene que :
n (ak)2 > 0
k =1
( > 0 si 0
Ejemplo 12
Sean los vectores = (2, 1, 1), b = (3, -1, -2) y c = (-1, 4, 5)
Encontrar:
a) b =
b) c
c) c
d) 3b 2c =
Solucin:
a) b = (2, 1, 1) (3, -1, -2) = 6 1 2 = 3
b) c = (2, 1, 1) (-1, 4, 5) = -2 + 4 + 5 = 7
c) c = (-1, 4, 5) (2, 1, 1) = -2 + 4 + 5 = 7
d) 3b 2c = 3(3, -1, -2) 2(-1, 4, 5) =
= (9, -3, -6) (-2, 8, 10) = 18 24 60 = 102
I.3.2 Ortogonalidad
Proposicin. Dos vectores y b son ortogonales si y slo si b = 0
Comprobacin:
Sean dos vectores y b, que forman los catetos de un tringulo rectngulo, como se observa en la figura 26.
Geomtricamente se puede establecer que y b son ortogonales si y slo si en el tringulo descrito se cumple que:
||2 + |b|2 = | + b|2 Sustituyendo a los vectores por sus componentes se tiene:
a12 + a22 + a32 + b12 + b22 +b32 = (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + (a3 + b3)2 Desarrollando los binomios:
a12 + a22 + a32 + b12 + b22 +b32 = a12 + 2a1b1 + b12 + a22 + 2a2b2 + b22 + a32 + a3b3 + b32 Cancelando trminos iguales en ambos miembros: 0 = 2a1b1 +2a2b2 +2a3b3 Es decir: 2a1b1 +2a2b2 +2a3b3 = 0
Dividiendo entre 2: a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
El primer miembro de la expresin anterior es precisamente b por lo que se puede escribir:
b = 0
Con lo que queda demostrada la proposicin.
En el caso de que los vectores o b ambos sean igual al 0, entonces necesariamente se cumple que b = 0. En esta situacin, como se mencion anteriormente, el vector 0 no tiene una direccin definida: sin embargo se ha adoptado por convencin que el vector nulo es ortogonal a todo vector.
Ejemplo 13
Determinar cules de los siguientes pares de vectores son ortogonales:
= (-2, 6, 4), b = (3, , 1)
= (2, -5, 1), b = (-3, 0, 6)
= (3, -1), b = (4, -12)
Solucin:
a) b = (-2, 6, 4) (3, , 1) = -6 + 3 + 4 = 1 0
( no existe ortogonalidad
b) b = (2, -5, 1) (-3, 0, 6) = -6 + 0 + 6 = 0
( ( b
c) b = (3, -1) (4, -12) = 12 + 12 = 24 0
( no existe ortogonalidad
Ejemplo 14
Encontrar el valor de m, de manera que los vectores = (3, 1, 2) y b = (-2, m, 1) sean ortogonales.
Solucin:
d = (3, 1, 2) (-2, m, 1) = - 6 + m + 2 = m 4
Para que y d sea ortogonales, se debe cumplir que: b = 0 de donde:
M 4 = 0 m = 4
Ejemplo 15
Demostrar que un ngulo inscrito en un semicrculo es recto.
Solucin:
Para que el ngulo ABA' sea recto se debe cumplir que: c d = 0
De la figura 27 y de acuerdo a la sustraccin de vectores: c = b
y por lo mismo d = b (-) = b +
Por lo tanto: c d = ( b ) ( b + )
Por las propiedades del producto escalar de dos vectores:
c d = (b b) + (b ) ( b) ( )
c d = (b b) ( )
Pero: b b = b1b1 + b2b2 = (|b|)2 y = (||)2Sustituyendo : c d = ( |b| )2 ( || )2
Pero como de la figura se observa que los vectores y b tienen la misma magnitud, que es la correspondiente al radio de la circunferencia:
|b| = ||
Por lo que : c d = ( || )2 ( || )2 = 0
Con lo cual, queda demostrado que un ngulo inscrito en un semicrculo es recto.
I.3.3 Componente vectorial y componente escalar de un vector sobre otro
Sean dos vectores cualesquiera y b en un espacio de tres dimensiones. A partir de stos se pueden definir los siguientes elementos:
Un vector unitario bu en la direccin de b.
Un escalar tal que el vector bu es ortogonal a b.
La relacin geomtrica entre los elementos mencionados se presenta en la siguiente figura:
DEFINICIN. La componente vertical de un vector sobre otro vector b, la cual se simboliza Comp. Vec. b, es un vector bu en el cual bu es un vector unitario en la direccin de b, y es un escalar tal que bu es ortogonal a b.
Al escalar se le llama componente escalar de sobre b, la que se simboliza Comp.. Esc. b.
La componente vectorial de sobre b est dada por la expresin:
Comp. Vec. b = b b |b| |b|
El escalar , o sea la componente escalar de sobre b est dada por la expresin:
Comp. Esc. b = b |b|
Comprobacin:
El vector bu debe ser ortogonal a b por lo que se cumple que: ( bu) b = 0
Aplicando las propiedades del producto escalar se tiene: ( b ) (bu b) = 0
despejando a : = b_ bu b
pero: bu = b _
|b|
por lo que: = b _
1 ( b)
|b|
de donde: = b_ 1 |b|2
|b|
o sea: = Comp. Esc. b = b |b|
y dado que la componente vectorial de sobre b es igual a bu, se tiene finalmente:
= Comp. Vec. b = b b |b| |b|
con lo que se completa la comparacin.
Regresando a la figura 28, en el tringulo rectngulo se tiene que:
Cos = |b| ||
Sustituyendo el valor de se tiene: b |b|
Cos = |b|2 = b_ || |b|
de donde: b = || |b| cos ; 0 ( ( 180
Esto significa que el producto escalar de dos vectores diferentes del vector nulo, es igual al producto del mdulo de , por el modulo de b, por el coseno del ngulo entre y b. Los mdulos de y b son no negativos pero cos puede ser positivo, negativo o cero. Por lo tanto el producto escalar b es negativo nicamente cuando cos es negativo, es decir, nicamente cuando 90 < ( 180.
Tambin se debe notar que cuando y b son ortogonales ( = 90), se tiene que cos = 0 y por lo tanto b = 0. Esto coincide con la proposicin enunciada previamente acerca de la ortogonalidad de dos vectores.
Ejemplo 16
En cada uno de los casos siguientes calcular Comp. Esc. b y Comp. Vec. b
a) = (-5, 8), b = (1, 1)
b) = (1, 2, -3) b = (0, 0, 1)
Solucin:
a) Comp. Esc. b = b = (-5, 8) (1, 1) = -5 + 8 = 3 _
| b | 12 + 12 2 2
Comp. Vec. b = b b = 3 (1, 1) = 3 (1,1) = (3/2, 3/2)
| b | |b| 2 2 2
b) Comp. Esc. b = b = (1, 2, -3) (0, 0, 1) = 0 + 0 3 = - 3
| b | 02 + 02 + 12 1
Comp. Vec. b = b b = -3 (0, 0, 1) = -3 (0, 0, 1) = (0, 0, -3)
| b | |b| 1
Ejemplo 17
El ngulo entre los vectores y b es 120. Si || = 3 y |b| = 4 calcular:
a) b b) c) b b
Solucin:
a) b = || |b| cos = 3 x 4 cos 120 = (3) (4) (- ) = - 6
b) = || || cos = 3 x 3 cos 0 = (3) (3) (1) = 9
c) b b = |b| |b| cos = 4 x 4 cos 0 = (4) (4) (1) = 16
I.3.4 Angulo entre dos vectores En el inciso anterior se llego a determinar la expresin: b = || |b| cos ; 0 ( ( 180
En la cual el ngulo es el ngulo que forma los vectores y b al considerarlos en un origen comn, figura 29
Si se despeja de la expresin anterior a cos se tiene: cos = b _
|| |b|
Es decir que: = ang cos b _ || |b|
La expresin anterior nos permite calcular el ngulo que forman dos vectores al considerarlos en un origen comn.
Ejemplo 18
Calcular el ngulo que forman los vectores: = (3, 0, -1) y b = (6, -2, 0)
Solucin:
cos = b = ( 3, 0, -1 ) ( 6, -2, 0 ) = 18 = 18 = 18 = 9
|| |b| 32 + 02 + (-1)2 62 + (-2)2 + 02 10 40 400 20 10
= ang cos 9 10
I. 3. 5 Vectores unitarios i, j, k y forma trinmica de un vector En algunas ocasiones es conveniente expresar un vector = (a1, a2, a3) en trminos de los vectores unitarios i, j, k, que se muestran en la figura 30; estos vectores tiene la direccin de los ejes coordenados y su mdulo es igual a 1.
A los vectores unitarios no se acostumbra testarlos.
En trminos de sus componentes, los vectores unitarios quedan expresados como:
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Ahora bien, el vector = (a1, a2, a3) puede expresarse como: = (a1, a2, a3) = (a1, 0, 0) + (0,a2, 0) + (0, 0, a3)
= a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1) = a1i + a2j + a3k
Esta expresin define al vector en la llamada forma trinmica. As por ejemplo, la forma trinmica de los vectores p = (2,-1,0), q = (4, -10, 9) son respectivamente, p = 2i j, q = 4i 10j + 9k. De aqu en adelante se expresar indistintamente a un vector cualquiera r, como r = (r1, r2, r3) o bien r = r1i + r2j + r3k. Ambas notaciones son equivalentes.
I.3.6 ngulos y cosenos directores de un vector
Para describir la direccin de un vector = (a1, a2, a3) usualmente se hace considerando tres ngulos , y conforme a la siguiente:
DEFINICIN. Los ngulos directores de un vector , son los ngulos , y que respectivamente forma el vector con los vectores unitarios i, j y k.
Las expresiones para calcular los ngulos directores de un vector, se pueden obtener a partir de la expresin planteada en el inciso I.3.4 para el ngulo entre vectores, esto es:
= ang cos i o sea = ang cos a1
|| |i| ||
= ang cos j o sea = ang cos a2
|| |j| ||
= ang cos k o sea = ang cos a3
|| |k| ||
Frecuente mente es ms conveniente trabajar con los cosenos de estos ngulos; a dichos cosenos se les llama cosenos directores del vector , los cuales estn dados por las siguientes expresiones:
cos = a1 ; cos = a2 ; cos = a3 || || ||
Los cosenos directores de un vector no pueden ser arbitrarios; y su relacin se puede establecer como sigue:
cos2 = a12 ; cos2 = a22 ; cos2 = a3 2 . ||2 ||2 ||2
Sumando se tiene: cos2 + cos2 + cos2 = a12 + a22 + a3 2
||2 ||2 ||2
cos2 + cos2 + cos2 = a12 + a22 + a3 2 = ||2 ||2 ||2
de donde: cos2 + cos2 + cos2 = 1
Que es la expresin que relaciona a los cosenos directores del vector .
Ejemplo 19
Encontrar los ngulos y los cosenos directores de los siguientes vectores:
a) = (-6, 2, 3)
b) b = (3, 0, 0)
Solucin:
a) El mdulo del vector es: = (-6)2 + (2)2 + (3)2 = 7
Por lo tanto sus cosenos directores son: cos = -6 cos = 2 cos = 3 7 7 7
Y sus ngulos directores: = ang cos ( -6 ) = 149, = ang cos 2 = 7324( y ( = ang cos 3 = 6437( 7 7 7
=149, = 7324(, ( = 6437( b) El mdulo del vector b es |b| = (3)2 + 02 + 02 = 3
Por lo tanto sus cosenos directores son: cos = 3 = 1, cos = 0 = 0, cos = 0 = 0
3 7 3
Y sus ngulos directores: = ang cos ( 1 ) = 0, = ang cos ( 0 ) = 90 y ( = ang cos ( 0 ) = 90
= 0, = 90, ( = 90
Que donde se observa que el vector b es paralelo al vector i lo cual coincide con los valores de las componentes del vector, siendo la primera la nica diferente de 0.
Ejemplo 20
Hallar las componentes de un vector con mdulo igual a 3 y cuyos ngulos directores son iguales.
Solucin: = = ( 3 cos2 = 1, cos2 =
De donde: cos = ( 1 cos = cos
(3
Lo que indica que hay dos direcciones de vectores que satisfacen la condicin de que sus ngulos directores son iguales.
Tomando: cos = cos = cos = 1_ (3
Entonces las componentes del vector son:
a1 = || cos = 3 1 = (3
(3
a2 = || cos = 3 1 = (3
(3
a3 = || cos = 3 1 = (3
(3
De donde: = ( (3 (3 (3 )
I.4 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
I. 4. 1 Definicin y propiedades Otra operacin entre vectores es la conocida como producto vectorial o producto cruz. A diferencia del producto escalar, el producto vectorial slo se aplicable a parejas de vectores, por ejemplo y b, del espacio de tres dimensiones y se obtiene como resultado otro vector representado por x b, tambin del mismo espacio.
DEFINICIN. Sean = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k dos vectores en el espacio de tres dimensiones . el producto vectorial x b, que se lee a cruz b, ( en ese orden) est definido por el vector:
x b = (a2b3 a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k
Una representacin ms fcil de recordar del producto vectorial x b es por medio de un determinante de tercer orden:
Aqu no se discutir ms sobre los determinantes, ya que el nico propsito es contar con un dispositivo til para escribir ciertas frmulas en forma resumida.
i j k
x b = a1 a2 a3 = (a2b3 a3b2)i + (a3b1 a1b3)j + (a1b2 a2b1)k
b1 b2 b3
En el producto vectorial x b si b, o ambos son iguales al vector 0 = (o, o, o) entonces:
x b = 0i + 0j + 0k = (o, o, o) = 0
Propiedades del producto vectorial.
Si es un escalar, y y b son dos vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces se cumple que:
1) x b = - ( b x ) (Anticonmutatividad)
2) x (b + c) = ( x b) + ( x c) (Ley distributiva izquierda)
Tambin se cumple una ley distributiva derecha:
(b + c) x = (b x ) + (c x )
3) ( x b) = () x b
Adems si = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) entonces:
( x b) = a1 (a2b3 a3b2) + a2 (a3b1 a1b3) + a3 (a1b2 a2b1) =
= a1a2b3 a1a3b2 + a2a3b1 a2a1b3 + a3a1b2 a3a2b1 = 0
Y tambin: b ( x b) = b1 (a2b3 a3b2) + b2 (a3b1 a1b3) + b3 (a1b2 a2b1) =
= b1a2b3 b1a3b2 + b2a3b1 b2a1b3 + b3a1b2 b3a2b1 = 0
Es decir que el vector x b es perpendicular tanto a como a b.
A continuacin se calcular el mdulo del vector x b.
De acuerdo con la definicin de mdulo de un vector, se tiene que:
| x b| = (a2b3 a3b2)2 + (a3b1 a1b3)2 + (a1b2 a2b1)2
= a22b32 + a32b22 2a2b3a3b2 + a32b12 + a12b3 2 2a3b1a1b3 + a12b22 + a22b1 2 2a1b2a2b1 =
= a12b22 + a12b3 2 + a22b12 + a22b32 + a32b12 + a32b22 2a1a2b1b2 2a1a3b1b3 2a2a3b2b3
Sumando y restando del radical a12b12, a22b22 y a32b32:
| x b| = a12b12 + a12b22 + a12b3 2 + a22b12 + a22b22 + a22b32 + a32b12 + a32b22 + a32b32 2a1a2b1b2 2a1a3b1b3 2a2a3b2b3
= (a12a22a32) (b12b22b32) (a12b12 + a2b22 + a32b3 2 + 2a1a2b1b2 + 2a1a3b1b3 + 2a2a3b2b3
| x b| = (a12a22a32) (b12b22b32) (a1b1 + a2b2 + a3b3 )2
Pero: ( || )2 = a12a22a32, ( |b| )2 = b12b22b32 y ( b)2 = (a1b1a2b2a3b3)2
Por lo que: | x b| = ( || )2 ( |b| )2 ( b)2
Como ( b)2 = || |b| cos , se tiene que: | x b| = ( || )2 ( |b| )2 ( || )2 ( |b| )2 cos2
| x b| = ( || )2 ( |b| )2 ( 1 cos2 ) = ( || )2 ( |b| )2 sen2
Por lo tanto: | x b| = || |b| sen2 ; 0 ( ( 180
Estas expresiones representan el mdulo del vector x b. En donde es el ngulo entre los vectores y b. Cuando o b son iguales a 0, el ngulo no tiene sentido, y en este caso el mdulo de x b es igual a cero.
INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL
Como ya se menciono previamente, x b es un vector perpendicular tanto a como a b y su mdulo es igual a || |b| sen . Entonces, aparentemente, hay dos segmentos dirigidos con la direccin opuesta que representa al vector x b. Sin embargo, la definicin presentada del producto vectorial, est basada en la regla de la mano derecha, que dice:
Cuando es girado hacia b de tal manera que los dedos de la mano derecha giran en la direccin de la rotacin, entonces el dedo pulgar indica la direccin del vector x b, figura 32.
Con esto, queda definido totalmente el vector x b desde el punto de vista geomtrico.
Ejemplo 21
Un vector c tiene como mdulo 52 y es perpendicular comn a los vectores = 4i 3j y b = -4i + 6j + k
Determinar sus componentes.
Solucin:
x b = i j k = - 3i 4j + 12k
4 -3 0
-4 6 1
Un vector unitario en la direccin de x b es: ( x b)u = x b _
| x b|
| x b| = (-3)2 + (-4)2 + (12)2 = 169 = 13
( x b) u = -3i 4j + 12k = _ 3 i _ 4 j + 12 k
13 13 13 13
y entonces:
c = -3 (52) i _ 4 (52) j + 12 (52) k
13 13 13
c = 12i 16 j + 48 k
La solucin tambin puede ser c = 12i + 16j 48k, ya que es perpendicular a y a b y su mdulo es 52.
Ejemplo 22
Calcular las componentes de un vector , tal que sea perpendicular a los vectores b = (1, 0, 2) y c = (0, 2, -2) y que d = 1, donde d = (0, 1, 1).
Solucin:
= || u
u = (b x c)u = b x c_ |b x c|
|b x c| = i j k = - 4 i + 2j + 2k
1 0 2
0 2 -2
|b x c| = (-4)2 + (2)2 + (2)2 = 24
u = _ 4 i + 2 j + 2 k
24 24 24
Por otra parte d = 1 || u d = 1
|| - 4 i + 2 j + 2 k (0i + j + k) = || 2 + 2 _ 24 24 24 24 24
|| = 24 , por lo tanto:
4
|| = 24 _ 4 i + 2 j + 2 k
4 24 24 24
= i + j + k
I. 4. 2 Paralelismo
La primera aplicacin del producto vectorial que se estudiar es la que se refiere al paralelismo entre vectores, para lo cual se plantea la siguiente condicin:
Dos vectores y b en un espacio tridimensional, diferentes del vector nulo, son paralelos si slo si su producto vectorial es igual a 0 o sea | x b| = 0
Esta afirmacin se basa en que si en la expresin | x b| = || |b| sen , los vectores y b no son nulos, para que | x b| resultante cero, la nica posibilidad es que sen sea igual a 0; o sea igual a 0 180. En ambos casos los vectores y b son paralelos, slo que cuando = 0 los vectores tienen la misma direccin, y cuando = 180 tienen la direccin opuesta.
De lo anterior tambin se deduce lo siguiente:
El producto vectorial de cualquier vector = (a1, a2, a3) por s mismo es igual a 0; x = 0
Ejemplo 23
Usando el producto vectorial, demostrar que los vectores: = 3i j 2k y b = 9i + 3j + 6k son paralelos.
Solucin:
Si | x b| = 0, los vectores y b son paralelos.
b x = i j k = 0i + 0j + 0k
3 -1 -2
-9 3 6
por lo tanto, y b son paralelos.
Ejemplo 24
Demostrar que si: + b + c = 0 entonces:
x b = b x c = c x
Solucin:
Por la propiedad de anticomutatividad del producto vectorial: x b = b x
Como: + b + c = 0
Entonces: = b c
Sustituyendo en el segundo miembro de la expresin anterior: x b = b x ( b c)
Por la ley distributiva izquierda: x b = ( b x b) + ( b x c)
Pero se tiene que: ( b) x ( b) = 0 y b x c = b x c
Por lo tanto sustituyendo se tiene que: x b = b x c
Por otro lado de: + b + c = 0
Entonces: b = c
Sustituyendo en: x b = b x
Se tiene que: x b = ( c) x = ( + c) x
Por la ley distributiva derecha: x b = ( x ) + (c x )
Pero se tiene que: x = 0
Por lo tanto: x b = c x
Con lo que queda demostrado que: x b = b x c = c x
I. 4. 3 rea de un paralelogramo
Por medio del producto vectorial, se puede calcular el rea de un paralelogramo, a partir del siguiente razonamiento:
Considrese un paralelogramo que aloja en dos de sus lados concurrentes a los vectores y b, tal como se muestra en la figura 34.
Se observa que la altura del paralelogramo est dada por |b| sen , en tanto que su base es igual a || |b| sen , que al relacionarla con la expresin | x b| = || |b| sen , se deduce que el mdulo del producto vectorial x b es igual al rea del paralelogramo en cuyos lados se alojan los vectores y b es decir:
rea del paralelogramo = | x b| = || |b| sen
Ejemplo 25
Calcular el rea del tringulo cuyos vrtices son: A = (1, -1, 2), B = (4, 5, -7) y C = (-1, 2, 1)
Solucin:
Haciendo: = AB = (4, 5, -7) (1, -1, 2) = ( 3, 6, -9)
b = AC = (-1, 2, 1) (1, -1, 2) = (-2, 3, 1)
Entonces:
x b = i j k = 21i + 21j + 21k
3 6 -9
-2 3 -1
De donde:
| x b | = 212 + 212 + 212 = 3(21)2 = 21 3
Como el rea del triangulo es igual a la mitad del rea del paralelogramo:
rea tringulo ABC = 21 3 unidades cuadradas.
2
I. 4. 4 Producto mixto, propiedades
DEFINICIN. Dados tres vectores cualesquiera = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3), se llama producto mixto de los tres vectores , b, c, al escalar (b x c).
Ntese que al calcular el producto mixto, primero se debe efectuar el producto b x c, ya que si se asocia ( b) x c la expresin no tiene significado alguno, dado que b es un escalar y el producto vectorial est definido para dos vectores.
El producto mixto, denominado tambin como triple producto escalar, puede expresarse en trminos de un determinante de tercer orden. En efecto:
b x c = (a1, a2, a3) (b2c3 b3c2, b3c1 b1c3, b1c2 b2c1)
b2 b3 b1 b3 b1 b2 b x c = a1 a2 + a3
c2 c3 c1 c3 c1 c2 b x c = a1 a2 a3
b1 b2 b3 c1 c2 c3
Mediante el clculo directo se puede demostrar que: b x c = b c x = c x b
En efecto, si en el determinante se intercambian dos veces sus renglones se obtiene el mismo resultado; tambin se obtiene igual resultado al intercambiar dos veces ms los renglones para calcular c x b. Esto significa que el resultado del producto mixto no se altera al cambiar cclicamente el orden de los vectores.
Ahora bien, como el producto escalar es conmutativo, se puede escribir: b x c = b c x
Cambiando cclicamente el orden de los vectores: b x c = c x b = x c b
Por lo que se tiene que: b x c = x b c
Es decir, en el producto mixto se pueden intercambiar el punto y la cruz, sin que se altere el resultado. Por esta razn, en ocasiones se utiliza la notacin [ b c] para indicar el producto mixto de los vectores , b, c, o sea:
[ b c ] = b x c = x b c
I. 4. 5 Volumen de un paraleleppedo Considrese tres vectores cualesquiera , b, c, alojados en tres aristas concurrentes de un paraleleppedo, como se muestra en la figura 35.
Como ya se vio el rea del paralelogramo en cuyos lados concurrentes se alojan los vectores y b, es igual a | x b |. Por otro lado la altura del paraleleppedo de la figura 35 es | c | cos (, donde ( es el ngulo entre c y x b.
En la figura cos ( es positivo porque 0 ( ( < 90.
Entonces el volumen del paraleleppedo est dado por:
Volumen = rea de la base x altura = | x b | | c | cos ( Pero como se vio en el inciso I.3.1 que el producto escalar entre dos vectores, es igual al producto de sus mdulos multiplicado por el coseno del ngulo que forma, se tiene que:
Volumen = ( x b) c = b x c =[ b c ]
En otras palabras, el resultado del producto mixto [ b c ] es igual al volumen del paraleleppedo en tres de cuyas aristas concurrentes se alojan los vectores , b, c. Cuando el ngulo entre x b y c denominado ( es tal que 90 < ( ( 180, el producto [ b c ] es el negativo del volumen del paraleleppedo.
La interpretacin geomtrica anterior conduce a la conclusin de que la condicin necesaria y suficiente para que tres vectores, llevados a un origen comn, estn en un mismo plano es que su producto mixto sea igual a cero.
Ejemplo 26
Dados los puntos A (-1, 1, 2), B (0, 2, 3), C (1, 1, 1) y D (-1, 3, 3,), si tres de las aristas de un paraleleppedo son AB, AC, y AD, encontrar su volumen.
Solucin:
Haciendo: = AB = (0, 2, 3) (-1, 1, 2) = (1, 1, 1)
b = AC = (1, 1, 1) (-1, 1, 2) = (2, 0, -1)
c = AD = (-1, 3, 3) (-1, 1, 2 ) = (0, 2, 1)
Por lo tanto: V = b x c = 1 1 1 = 0 + 4 + 0 0 2 + 2 = 4
2 0 -1
0 2 1
V = 4 unidades cbicas.
Ejemplo 27
Calcular el volumen del prisma triangular , en tres de cuyas aristas concurrentes se alojan los vectores = 2i + j, b = 3i 2j + k y c = 2i + 3j 4k
Solucin:
El volumen del prima triangular es igual a la mitad del volumen del paraleleppedo que tiene las mismas aristas concurrentes, por lo que se puede escribir:
V = ( b x c ) = 2 1 0 = ( 16 + 2 + 0 0 + 12 6 ) = 12
3 -2 1
2 3 -4
V = 12 unidades cbicas.
Ejemplo 28
Calcular el volumen del tetraedro de vrtices A (1, 1, 0), B (3, 2, -1), C (-2, 1, 1) y D (2, -1, 0)
Solucin:
Como el volumen del tetraedro cuyas aristas concurrentes son AB, AC y AD, es igual a la sexta parte del volumen del paraleleppedo que tiene las mismas aristas, haciendo:
= AB = (3, 2, -1) (1, 1, 0) = (2, 1, -1)
b = AC = (2, 1, 1) (1, 1, 0) = (-3, 0, -1)
c = AD = (2, -1, 0) (1, 1, 0) = (1, -2, 0)
Por lo tanto: V = 1/6 ( b x c ) = 1/6 2 1 -1 = 1/6 ( 0 + 1 6 0 0 + 4 ) = - 1/6
-3 0 1
1 -2 0
V = 1/6 unidades cbicas.
Ejemplo 29
Demostrar que los puntos A (2, 1, 3), B (3, -5, -1), C (-6, 7, -9) y D (-2, 4, -3) son coplanares.
Solucin:
Haciendo: = AB = (3, -5, -1) (2, 1, 3) = (1, -6, -4)
b = AC = (-6, 7, -9) (2, 1, 3) = (-8, 6, -12)
c = AD = (-2, 4, -3) (2, 1, 3) = (-4, 3, -6)
Por lo tanto: b x c = 1 -6 -4 = 36 288 + 96 96 + 288 + 36 = 0
-8 6 -12
-4 3 -6
Por lo tanto los puntos A, B, C y D son coplanares.
I. 4. 6 Doble producto vectorial
Considerando los vectores = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3). Se puede formar el producto x (b x c). Es importante hacer notar que el resultado, en general, no es el mismo que si se considera el producto ( x b) x c.
Calculando el doble producto vectorial: x (b x c), se tiene: b x c = (b2c3 b3c2) i + (b3c1 b1c3) j + (b1c2 b2c1) k
Entonces: i j k
x (b x c) = a1 a2 a3
b2c3 b3c2 b3c1 b1c3 b1c2 b2c1
Desarrollando:
x (b x c) = [a2(b1c2 b2c1) a3(b3c1 b1c3)] i + [a3 (b2c3 b3c2) a1(b1c2 b2c1 )] j + [a1(b3c1 b1c3 ) a2(b2c3 b3c2)] k
x (b x c) = (a2b1c2 a2b2c1 a3b3c1 a3b1c3) i + (a3b2c3 a3b3c2 a1b1c2 a1b2c1 ) j + (a1b3c1 a1b1c3 a2b2c3 a2b3c2) k
Sumando y restando a la primera componente a1b1c1, a la segunda a2b2c2 y a la tercera a3b3c3:
x (b x c) = (a1b1c1 + a2b1c2 a2b2c1 a3b3c1 + a3b1c3 a1b1c1) i
+ (a2b2c2 + a3b2c3 a3b3c2 a1b1c2 + a1b2c1 a2b2c2) j
+ (a3b3c3+ a1b3c1 a1b1c3 a2b2c3 + a2b3c2 a3b3c3) k
Factorizando como se muestra a continuacin:
x (b x c) = [(a1c1 + a2c2 + a3c3)b1 (a1b1 + a2b2 + a3b3)c1] i
+ [(a1c1 + a2c2 + a3c3)b2 (a1b1 + a2b2 + a3b3)c2)] j
+ [(a1c1 + a2c2 + a3c3)b3 (a1b1 + a2b2 + a3b3)c3)] k
Reacomodando trminos: x (b x c) = (a1c1 + a2c2 + a3c3) (b1i + b2j + b3k) (a1b1 + a2b2 + a3b3) (c1i + c2j + c2k)
O bien: x (b x c) = ( c)b ( b) c
De manera similar se puede demostrar que: ( x b) x c = ( c)b (b c)
Ejemplo 30
Si = (2, 1, 3), b = (1, 0, -2) y c = (3, 2, 1)
Calcular: a) x (b x c) y b) ( x b) x c
Solucin: a) x (b x c) = ( c)b ( b) c
c = (2, 1, 3) (3, 2, 1) = 6 + 2 + 3 = 11.
( c) b = 11(1, 0, -2) = (11, 0, -22)
b = (2, 1, 3) (1, 0, -2) = 2 + 0 6 = -4
( b) c = -4 (3, 2, 1) = (-12, -8, -4)
Por lo tanto: x (b x c) = (11, 0, -22) (-12, -8, -4) = (23, 8, -18)
x (b x c) = (23, 8, -18)
b) ( x b) x c = ( c)b (b c)
( c)b = (11, 0, -22)
b c = (1, 0, -2) (3, 2, 1) = 3 + 0 2 = 1
(b c) = 1(2, 1, 3) =(2, 1, 3)
Por lo tanto: ( x b) x c = (11, 0, -22) (2, 1, 3) = (9, -1, -25)
( x b) x c = (9, -1, -25)
Capitulo II La recta y el plano en el espacio En el captulo anterior, se estudiaron los aspectos bsicos del lgebra vectorial, es decir desde el concepto de vector, hasta las operaciones que se pueden efectuar con los vectores.
En este captulo se representa la aplicacin del lgebra vectorial para la definicin de la recta y el plano en el espacio de tres dimensiones, as como las relaciones entre rectas y planos.
II.1 LA RECTA
II.1.1 Ecuacin vectorial de la recta.
La primera aplicacin del lgebra vectorial en este tema, ser para el estudio de la recta en el espacio de tres dimensiones.
Sea un punto dado P0 (x0, y0, z0) y sea = (a, b, c) un vector dado tal que ( 0.
DEFINICIN. Una recta es el conjunto de puntos P (x, y, z) tales que el vector de posicin p de cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posicin p0 del punto p0 ms un vector paralelo al vector .
Si el vector p p0 es paralelo a , entonces por la condicin de paralelismo entre vectores, existe un escalar t IR tal que p p0 = t. Figura. II.1
Si p p0 = t
Entonces: p = p0 + t
Considerando que p0 y estn fijos y que el escalar t, al que se llamar parmetro, puede tomar todos los valores de IR; entonces se dice que la recta que contiene a p0 y es paralela al vector , es el conjunto de todos los puntos p para los cuales sus respectivos vectores de posicin p satisfacen la expresin P = P0 + t. Esta expresin es una ecuacin paramtrica vectorial o simplemente una ecuacin vectorial de la recta L; figura II.1.
La condicin para que un punto p permanezca a la recta L, est dada por: P ( P0 pertenece a L si y slo si p p0 es paralelo a .
El vector = (a, b, c) determina la direccin de la recta por lo que sus componentes a, b, c se les llama nmeros directores de la recta. Cualquier vector paralelo a determinara tambin la direccin de la recta y podra utilizarse en lugar de . Al vector se le llama vector director de la recta L.
Dado que para dos vectores paralelos sus componentes son proporcionales es decir = (a, b, c) es paralelo a v = (c, d, e) si y slo si a = c, b= d, c = e en donde IR. Se concluye que cualquier terna de nmeros proporcionales a , b, c tambin pueden utilizarse como nmeros directores de la recta.
Ejemplo 2.1
A) Hallar la ecuacin vectorial de la recta que contiene el punto Po (2, -1, 2) y cuyos vector director es = (3, 1, -2).
B) Obtener dos conjuntos de nmeros reales que sean nmeros directores de esta recta.
Solucin:
A) P = (2, 1, 2) + t (3, 1, 2)
P = (2 + 3t, 1 + t, 2 2t)
B) Nmeros directores dados [3, 1, 2] otros nmeros directores [1, , ] [6, 2, 4]Ejemplo 2.2
Determinar si el punto P1 (3, 7, 7) pertenece a la recta cuya ecuacin vectorial es P = (5 t, 1 + 3t, 3 +2t).
Solucin:
El vector de posicin de P1 = (3, 7, 7) el cual debe satisfacer la ecuacin de la recta ( 3, 7, 7) = (5 t, 1 + 3t, 3 +2t)
Por la condicin de igualdad entre vectores se tiene: 3 = 5 t; 7 = 1 + 3t; 7 = 3 + 2t
Las tres condiciones se cumplen para t = 2 entonces p1 satisface la ecuacin vectorial de la recta. ( P1 pertenece a la recta
ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA QUE CONTIENE A DOS PUNTOS DADOS
Uno de los postulados de la geometra eucldea establece que:
Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta, y slo una. El cual tiene como consecuencia al corolario. Dos puntos determina una recta.
Supngase que a partir de los puntos fijos Po (x0, y0, z0) y P1 (x1, y1 z1), se quiere determinar la ecuacin vectorial de la recta que contiene a ambos puntos. Figura II.2.
Se debe obtener una ecuacin de la forma: p = p0 + tu
Para este caso el vector de posicin P0 ya est definido; falta por definir al vector que determine la direccin de la recta L, para lo cual se puede tomar al vector P1 P0 como vector , en donde P1 y P0 son los correspondientes vectores de posicin de los puntos P1 y P0 respectivamente.
Bajo estas condiciones la ecuacin queda: P = P0 + t (P1 P0)
La expresin anterior es la vectorial de la recta que contiene a los puntos P1 y P0. En esta ecuacin el valor t = 0 corresponde al punto P0, y el valor T = 1 corresponde al punto P1 ; cuando t toma todos los valores en el intervalo [0, 1] , el punto p describe al segmento de recta que une P0 y P1. Para valores de t menores que cero o mayores que uno, se obtienen los dems puntos de la recta.
Ejemplo 2.3
Determinar la ecuacin vectorial de la recta que contiene a los puntos P0 (2, 1, 1) y P1 (0, 1, 2 ).
Solucin: P = P0 + t (P1 P0)
P = (2, 1, 1) + t [(0, 1, 2 ) (2, 1, 1)]
P = (2, 1, 1) + t (2, 2, 3)
P = (2 2t, 1 + 2t , 1 3t)
II. 1.2 Ecuaciones paramtricas y en forma simtrica de la recta
Sea P = P0 + t
La ecuacin vectorial de una recta que contiene al punto Po (x0, y0, z0) y cuyo vector director es = (a, b, c) y sean P y P0 los vectores de posicin de los puntos P (x, y, z) y P0 respectivamente.
Si en la ecuacin se sustituyen los vectores por sus respectivas componentes, se tiene:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (a, b, c) = (xo, yo, zo) + (ta, tb, tc) = (xo + ta, yo + tb, zo + tc)
De donde: x = (xo + ta, yo + tb, zo + tc)
Por igualdad de vectores se tiene que: x = xo + ta, y = yo + tb, z = zo + tc)
Estas ecuaciones son las llamadas ecuaciones paramtricas de la recta que contiene al punto Po y cuyo vector director es .
La recta es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x, y, z) se determinan respectivamente por las ecuaciones paramtricas cuando t toma todos los valores reales.
Ahora bien, si ninguna de las componentes a, b, c es cero, se puede despejar a t de las ecuaciones paramtricas, obteniendo:
t = x xo, t = y yo, t = z zo.
a b c
Igualndolas se obtienen las ecuaciones:
t = x xo = y yo = z zo.
a b c
Que son las ecuaciones en forma simtrica de la recta que contiene a P0 y que es paralela a
Si una o dos de las componentes de son nulas, se presentan casos particulares en estas ecuaciones.
Por ejemplo si a = 0 entonces = (0, b, c), las ecuaciones simtricas son:
x = xo, y yo = z zo.
b c
Dado que el vector es paralelo al plano YZ entonces la recta tambin es paralela al plano Yz.
Si a = b = 0 entonces = (0, 0, c) las ecuaciones se reducen a:
x = xo, y = yo, z IR El vector es paralelo al eje z por lo que la recta es paralela al eje z y en consecuencia es perpendicular al plano XY.
ECUACIONES PARAMTRICAS Y EN FORMA SIMTRICA DE LA RECTA QUE CONTIENE A DOS PUNTOS DADOS.
Sea: P = P0 + t (P1 P0)
La ecuacin vectorial de la recta que contiene a los puntos P0 (xo, yo, zo) y P1 (x1, y1, z1) y sean P, P0 y P1 los vectores de posicin de los puntos P(x, y, z), P0 y P1 respectivamente.
Si en la ecuacin vectorial sustituimos los vectores por sus respectivas componentes, nos queda:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t [(x1, y1, z1) (xo, yo, zo)] = (xo, yo, zo) + t (x1 x0, y1 yo, z1 zo) =
= (xo + t (x1 x0), yo + t (y1 yo), zo + t (z1 zo))
Por igualdad de vectores se tiene:
x = xo + t (x1 x0), y = yo + t (y1 yo), z = zo + t (y1 yo)
que son las ecuaciones paramtricas de la recta que tiene a los puntos P0 y P1.
Si x1 ( x0, y1 (yo, y z1 ( zo, se puede despejar a t de las ecuaciones paramtricas:
t = x1 x0, t = y1 yo, t = z1 zo.
x1 x0 y1 yo z1 zo.
Igualando: x1 x0 = y1 yo = z1 zo. x1 x0 y1 yo z1 zo.
Estas ecuaciones, son las ecuaciones en forma simtrica de la recta que contiene a los puntos P0 y P1.
Ejemplo 2. 4
Sea una recta que contiene al punto P0 (1, 2, 3) y es paralela al vector = 2i 4j + 3k
a) Determinar la ecuacin vectorial de la recta.
b) Hallar sus ecuaciones paramtricas.
c) Hallar sus ecuaciones en forma simtrica.
Solucin: a) P = (1, 2, 3) + t (2, - 4, 3) = (1, 2, 3) + (2t, -4t, 3t) = (1 + 2t,2 4t, 3 + 3t)
(p = ( 1 + 2t, 2 4t, 3 + 3t) vectorial
b) (x, y, z) = ( 1 + 2t, 2 4t, 3 + 3t)
( x = 1 + 2t, y = 2 4t, z = 3 + 3t paramtricas
c) Despejando a t: t = x 1; t = y 2; t = z 3.
2 - 4 3
( x 1; = y 2; = z 3 forma simtrica
2 - 4 3
Ejemplo 2. 5
Determinar las ecuaciones en forma simtrica de la recta que contiene al punto P0 (-5, 0, 3) y es paralela al vector = 3j + 5k
Solucin:
Las ecuaciones son de la forma: x x0, = y yo, = z zo.
