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Geometria Analitica e Algebra Linear Para Iniciantes
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UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA
1
Sumario
1 Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares 10
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Alguns tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Operacoes usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Adicao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Subtracao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Propriedades da Adicao e do Produto por Escalar . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Operacoes nao usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 O traco de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Matrizes Invertveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Sugestao de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 A funcao Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . 28
1.8.2 Calculo do determinante por triangularizacao . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansao em cofatores . . . . . . . . . . . 31
1.8.4 Calculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3 . . . . . . . 33
1.9 Calculo da Matriz Inversa usando Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
1.10 Calculo da Matriz Inversa usando Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.1 Um Metodo para Inverter Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11 Sugestao de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Exerccios de Fixacao (Lista 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.13 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13.1 Operacoes Elementares sobre as equacoes de um Sistema . . . . . . . . . . 41
1.13.2 Operacoes Elementares sobre as linhas da matriz ampliada . . . . . . . . . 42
1.14 Eliminacao Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.14.1 Classificacao de um Sistema Linear quanto a` Solucao . . . . . . . . . . . . 44
1.14.2 O Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.14.3 O Metodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.15 Exerccios de Fixacao ( Lista 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Vetores 43
2.1 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Produto por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Angulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais 50
3.1 Vetores Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Vetores Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Produto de Vetores 57
4.1 Calculo da norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Distancia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Produto interno euclidiano ou produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Produto interno em termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4.3.3 Condicao de ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.4 Estudo da Projecao Ortogonal usando Produto Escalar . . . . . . . . . . . 61
4.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto vetorial de dois Vetores . . 65
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto misto . . . . . . . . . . . 68
4.6 Exerccios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Aplicacao de Vetores ao Estudo da Reta e do Plano 69
5.1 Equacoes da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Condicao para que tres pontos estejam em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Equacoes Reduzidas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Angulo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7 Condicao de Paralelismo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8 Condicao de Ortogonalidade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9 Condicao de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.10 Posicao Relativa de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.11 Intersecao de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.12 Distancia de Um Ponto a Uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.13 Distancia Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.14 O Estudo do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.15 Determinacao de um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.16 Equacoes Parametricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.17 Angulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.18 Angulo de uma reta com um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
5.19 Intersecao de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.20 Distancia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.21 Distancia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.22 Distancia de uma Reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Conicas e Quadricas 95
6.1 Definicao geometrica das Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Definicao analtica das Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Definicao geometrica das Superfcies Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Definicao analtica das Superfcies Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5 A elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5.1 Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.2 Expressao analtica da elipse centrada na origem . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.3 Elipses transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6 O Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 A Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.7.1 Elementos da Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7.2 Expressao analtica da hiperbole centrada na origem . . . . . . . . . . . . . 107
6.7.3 Hiperboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 O Hiperboloide de um folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9 A Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.1 Elementos da parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.2 Expressao analtica da parabola com vertice na origem . . . . . . . . . . . 112
6.9.3 Parabolas Transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.10 O Paraboloide elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.11 O Hiperboloide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.12 O Paraboloide hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.13 Superfcie Conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.13.1 O Cone Quadrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5
6.14 Superfcie Cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 O Espaco Vetorial Euclidiano n-dimensional 122
7.1 O Espaco Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.1 Igualdade de vetores de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.2 Operacoes em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.3 Propriedades das operacoes no Espaco Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.4 O produto interno euclidiano em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Espacos Vetoriais 126
8.1 Subespaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 Combinacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Subespacos Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5 Espacos Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Espaco Vetorial Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.6.1 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.7 Angulo de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.8 Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.9 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.10 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.11 Projecoes Ortogonais: O Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.12 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9 Transformacoes Lineares 144
9.1 Transformacoes Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2 Transformacoes Lineares Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 O uso de bases na obtencao de uma Transformacao Linear . . . . . . . . . . . . . 150
6
9.4 Nucleo e Imagem de uma Transformacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5 Matrizes de Transformacoes Lineares Arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Autovalores e Autovetores 154
10.1 O Polinomio Caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.2 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Diagonalizacao de uma forma quadratica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7
PREFACIO
A primeira edicao destas notas foi feita no ano de 2009, em parceria com a professora Msc.
Angela Mognon, quando ingressei na UTFPR e ministravamos aulas de Geometria Analtica
e Algebra Linear, a alunos dos primeiros anos de Engenharia, no campus de Campo Mourao,
Parana. Com esta parceria tive total apoio na digitalizacao textual e grafica, nas leituras pre-
liminares, na escolha das referencias e na revisao dos textos, contanto tambem com o apoio e
incentivo do professor Dr. Doherty de Andrade, o qual somos imensamente gratas, pois seu incen-
tivo e orientacao na utilizacao do editor de texto matematico TeX, tornou possvel a digitalizacao
destas notas.
A motivacao ao preparo destas notas inicialmente foi facilitar e agilizar a apresentacao dos
conteudos em sala de aula, ja que a ementa semestral e extensa por atender os topicos de Geome-
tria Analtica e Algebra Linear. Logo, este material foi elaborado com o intuito de proporcionar
ao aluno um melhor acompanhamento da aula e consiste somente de algumas anotacoes para
serem utilizadas durante as aulas. Sem preocupacoes em copiar definicoes e enunciados espera-se
que o aluno possa se concentrar nas demonstracoes e resolucao de exemplos e exerccios que serao
feitas em sala.
O Captulo 1 trata das Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equacoes Lineares por se
tratarem de ferramentas basicas para o estudo da Geometria Analtica e da Algebra Linear.
Os Captulos 2, 3, 4, 5 e 6 se ocupam dos Vetores, Retas, Planos, Conicas e Quadricas,
objetos do plano bidimensional e do espaco tridimensional aqui tratados geometricamente e
algebricamente, dando forma analtica a` geometria e suporte teorico para outras disciplinas das
Engenharias como Fsica, Mecanica, Calculo 2 e 3, entre outras.
O Captulo 7 traz a generalizacao do estudo dos vetores apresentando o espaco ndimensionalRn, suas operacoes e propriedades euclidianas (como norma, distancia e ortogonalidade) garan-
tidas pela existencia de produto interno.
Os Captulos 8, 9 e 10 apresentam um sucinto curso de Algebra Linear, expondo resumi-
damente os Espacos Vetoriais, as Transformacoes Lineares, os Autovalores e Autovetores, ob-
jetivando a utilizacao de uma linguagem algebrica axiomatica e o embasamento teorico para
disciplinas como Equacoes Diferenciais Ordinarias e Calculo Numerico.
8
Agradeco a` professora Msc. Viviane Colucci pelo incentivo e colaboracao na edicao do texto
sobre Matrizes e Determinantes e na digitalizacao de exerccios sobre o tema. Esta contribuicao
foi inserida nestas notas a partir de 2011.
Agradeco o apoio dos professores Dr. Adilandri Mercio Lobeiro e Esp. Luciano Ferreira da
Silva nas orientacoes sobre a utilizacao do editor TeXnicCenter e incentivo na divulgacao destas
notas.
Agradeco a participacao e parceria dos alunos das Engenharias nos projetos desenvolvidos nas
APS e deixo registrado na capa destas notas, algumas das obras modeladas no decorrer destes
semestres. Fico muito grata em ver o empenho, a motivacao e amadurecimento matematico ad-
quirido na utilizacao da Geometria Analtica para modelar algebricamente e computacionalmente
no software Maple superfcies tridimensionais do nosso cotidiano. Estes projetos tem evidenci-
ado a relacao existente entre a teoria e a pratica e espero divulga-los em publicacoes e eventos,
objetivando a motivacao ao uso de novas possibilidades de ensino e aprendizagem de Geometria
Analtica nas Engenharias.
Sou grata tambem ao apoio dos professores do departamento de matematica que utilizam estas
notas em suas aulas e espero que o material seja util tanto aos discentes quanto aos docentes da
disciplina Geometria Analtica e Algebra Linear.
Novas parcerias, eventuais correcoes e ou sugestoes de aprimoramento serao bem acolhidas e
agradecidas.
Sara Coelho da Silva
Campo Mourao, 2013.
9
Captulo 1
Matrizes e Sistemas de EquacoesLineares
Introducao
Muitas vezes na Engenharia e na Matematica uma informacao e organizada em linhas e
colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser
tabelas de dados numericos surgidos de observacoes fsicas, mas tambem ocorrem em varios
contextos matematicos. Por exemplo, veremos que para resolver um sistema de equacoes lineares
toda informacao requerida para chegar a` solucao esta encorpada em uma matriz e que a solucao
pode ser obtida efetuando operacoes apropriadas nesta matriz. Isto e particularmente importante
no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equacoes lineares,
porque os computadores sao muito bons pra manipular colecoes de numeros.
Durante o curso voce tera oportunidade de pesquisar e manipular um software matematico
com capacidade de efetuar operacoes com matrizes, o que facilita muito os calculos algebricos
matriciais no trabalho com ciencias exatas e podem enriquecer a experiencia do aprendizado,
bem como ajudar com os calculos tediosos. No entanto, todo futuro engenheiro precisa dominar
todas as tecnicas basicas de algebra linear resolvendo a` mao exemplos iniciais. A tecnologia
pode entao ser usada para resolver exemplos subsequentes e aplicacoes que possuem dados que
tornam os calculos a` mao nao praticos. Entretanto, voce deve fazer tantos exemplos quanto
puder com lapis e papel ate que se sinta confortavel com as tecnicas e mesmo quando utilizar um
software, pense sempre como voce faria os calculos manualmente e depois de obter uma resposta
do software, avalie se ela e razoavel.
Nao se esqueca nunca: E o homem que manipula a maquina, nao e a maquina que manipula
o homem.
10
1.1 Matrizes
A palavra matriz deriva da palavra latina mater, que significa mae. Quando o sufixo -iz e
acrescentado, o significado torna-se utero. Assim como um utero envolve um feto, os colchetes
de uma matriz envolvem seu elementos, e assim como no utero e gerado um bebe, uma matriz gera
certos tipos de funcoes, chamadas transformacoes lineares, que seram estudadas posteriormente.
As matrizes sao tabelas de numeros reais utilizadas em varios ramos da Ciencia e da Enge-
nharia.
Varias operacoes executadas por cerebros eletronicos sao computacoes por matrizes.
Vejamos um exemplo:
Considere a tabela a seguir, que indica as notas (0 10) dos Alunos A1, A2 e A3 em umadeterminada disciplina do curso de Engenharia:
Aluno Prova 1 Atividade
Aluno A1 9,0 7,0Aluno A2 3,0 5,0Aluno A3 6,5 8,4
No quadro indicado os numeros colocados nas disposicoes horizontais formam o que denomi-
namos linha e os colocados nas disposicoes verticais formam o que denominamos coluna.
Para sabermos a nota de atividade do Aluno A3 basta procuramos o numero que esta na
terceira linha e na segunda coluna.
Se nos suprimirmos os ttulos, ficaremos com a seguinte colecao retangular de numeros com
tres linhas e duas colunas, denominada matriz :
A =
9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4
Generalizando, apresentamos a seguinte definicao.
Definicao 1.1 Uma matriz de ordem m n, e um quadro A com elementos (numeros, po-linomios, funcoes etc.) dispostos em m linhas e n colunas da forma:
Amn =
a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn
11
em que os numeros aij, com 1 i m e 1 j n, em nosso estudo, sao numeros reais. Onumero aij chama-se o elemento de ordem ij de A. De forma mais compacta, a matriz acima
pode ser escrita como
A = [aij ]mn ou A = [aij ]
(Usamos letras maiusculas para denotar matrizes e letras minusculas para denotar quantidades
numericas.)
A i-esima linha de A e a n-upla
Ai = (ai1, . . . , ain)
Ja, a j-esima coluna de A e a m-upla
Aj =
a1j......
amj
Portanto, uma matriz de ordem m n, denotada por Amn = [aij]mn, possui m linhas e ncolunas.
Exemplo 1.1 O quadro A =
[2 1 13 2 5
]e uma matriz real de ordem 2 3. onde:
a11 = 2, a12 = 1, a13 = 1
a21 = 3, a22 = 2, a23 = 5
Exemplo 1.2 B =[2 1 0 3 ] e uma matriz real de ordem 1 4;
C =
[13
]e uma matriz real de ordem 2 1 e;
D =[4]e uma matriz real de ordem 1 1;
Definicao 1.2 Duas matrizes Amn = [aij]mn e Brs = [bij]rs sao iguais se elas tem o mesmo
numero de linhas (m = r) e o mesmo numero de colunas (n = s), e se todos os seus elementos
correspondentes sao iguais (aij = bij).
Notacao: A = B.
Exemplo 1.3
[32 1 log12 22 5
]=
[9 sen90 02 4 5
]
12
Exerccio 1.1 Escreva, explicitamente, as matrizes
a) A = (aij)32, sendo aij = i+ j
b) B = (bij)36, sendo bij =ij
c) C = (cij)33, sendo cij = i2 + j2
d) M = (mij)22, sendo mij = 2(i j). Determine x, y, z, t para que se tenha:
M =
[x+ y z tx y 2z t
]
Exerccio 1.2 Dada a matriz M = (aij)68, tal que aij = i j, obtenha o elemento a43.
1.2 Alguns tipos especiais de matrizes
1. Matriz linha: e a n-upla A1n = [a11 . . . a1n], isto e, uma matriz de ordem 1 n.
Exemplo 1.4 A = [2 1 2]
2. Matriz coluna: e a m-upla Am1 =
a11......
am1
, isto e, uma matriz de ordem m 1.
Exemplo 1.5 A =
2406
3. Matriz Quadrada Ann: e a matriz em que o numero de linhas e igual ao numero de
colunas.
Exemplo 1.6 A =[3]
B =
[3 12 5
]C =
1 1 02 5 9
7 3 9
4. Matriz Nula: e a matriz, denotada por 0mn, que possui todos os elementos nulos.
Exemplo 1.7 011 =[0]
021 =
[00
]033 =
0 0 00 0 0
0 0 0
13
5. Matriz Diagonal e toda matriz quadrada A tal que aij = 0, quando i 6= j.
Exemplo 1.8 A=
1 0 00 1 0
0 0 3
B = [ 0 0
0 0
]
6. Matriz Identidade e toda matriz quadrada I tal que aij = 1, quando i = j e aij = 0, se
i 6= j.
Exemplo 1.9 A=
1 0 00 1 0
0 0 1
B = [ 1 0
0 1
]
Observacao 1.1 A diagonal principal de uma matriz quadrada Ann e a n-upla
(a11, a22, . . . , ann).
7. Matriz Triangular Superior e toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou
seja, e uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal sao nulos.
Exemplo 1.10 A=
1 1 30 2 5
0 0 1
B = [ 3 2
0 1
]
8. Matriz Triangular Inferior e toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou
seja, e uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal sao nulos.
Exemplo 1.11 A=
1 0 01 2 0
4 5 1
B = [ a 0
b c
]
Observacao 1.2 Indicaremos conjunto de todas as matrizes de de ordem mn, com elementosem R, por Mmn(R).
1.3 Operacoes usuais com Matrizes e Propriedades
Apresentaremos a seguir uma aritmetica de matrizes na qual as matrizes podem ser somadas,
subtradas e multiplicadas.
14
1.3.1 Adicao de Matrizes
Considere a tabela (apresentada na pag. 5) das notas dos alunos A1, A2 e A3:
Aluno Prova 1 Atividade
Aluno A1 9,0 7,0Aluno A2 3,0 5,0Aluno A3 6,5 8,4
Supondo que foram aplicadas outras duas avaliacoes e os resultados obtidos estao descritos
nas tabelas
Aluno Prova 2 Atividade
Aluno A1 9,5 3,0Aluno A2 7,3 5,5Aluno A3 8,5 4,4
Aluno Prova 3 Atividade
Aluno A1 6,0 4,0Aluno A2 7,0 6,0Aluno A3 5,5 9,4
para as quais extraindo somente os numeros, obtemos:
A =
9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4
B =
9, 5 3, 07, 3 5, 5
8, 5 4, 4
C =
6, 0 4, 07, 0 6, 0
5, 5 9, 4
Somando as entradas correspondentes (de mesma posicao matricial) de A,B e C, temos:
S = A+ B + C =
9, 0 + 9, 5 + 6, 0 7, 0 + 3, 0 + 4, 03, 0 + 7, 3 + 7, 0 5, 0 + 5, 5 + 6, 0
6, 5 + 8, 5 + 5, 5 8, 4 + 4, 4 + 9, 4
logo,
S =
24, 5 14, 017, 3 16, 5
20, 5 22, 2
e a matriz que representa o total de pontos obtidos por cada aluno em provas e atividades na
disciplina.
Generalizando, temos a seguinte definicao:
Definicao 1.3 Sejam as matrizes A,B Mmn(R), entao a soma S = A+B e a matriz obtidasomando as entradas de A a`s entradas correspondentes de B. Em notacao matricial, se A = [aij ]
e B = [bij ] sao matrizes m n, entao
sij = aij + bij, com 1 i m e 1 j n.
15
Exemplo 1.12
1 0 12 2 0
4 5 1
+
2 3 02 7 6
1 2 1
=
3 3 14 5 6
5 3 2
Observacao 1.3 A matriz nula e o elemento neutro para a adicao de matrizes. Isto e,
0mn + A = A+ 0mn = A, A Mmn(R)
1.3.2 Subtracao de Matrizes
Suponhamos que o professor citado nos exemplos anteriores, queira comparar os primeiros e
segundos resultados obtidos pelos alunos nas provas 1 e 2 e nas respectivas atividades. Para
saber se houve aumento/diminuicao de nota, podemos calcular a diferenca dij = bij aij, entreas respectivas notas de provas e atividades.
Se dij > 0 entao, houve um aumento de nota da prova 1 para a prova 2;
Se dij < 0 entao, houve uma diminuicao de nota da prova 1 para a prova 2;
Se dij = 0 entao, a nota se manteve.
Fazendo o calculo da diferenca entre as respectivas notas de provas e atividades, temos:
B A = 9, 5 3, 07, 3 5, 5
8, 5 4, 4
9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4
=
0, 5 4, 04, 3 0, 5
2, 0 4, 0
Analisando a matriz diferenca B A podemos concluir que todos alunos aumentaram suasnotas de provas e dois alunos teve diminuicao de nota de atividade.
De modo geral, definimos:
Definicao 1.4 Sejam as matrizes A,B Mmn(R), entao a diferenca D = B A e a matrizobtida subtraindo as entradas de B a`s entradas correspondentes de A. Em notacao matricial, se
A = [aij] e B = [bij] sao matrizes m n, entao
dij = bij aij, com 1 i m e 1 j n.
Exemplo 1.13
1 0 12 2 0
4 5 1
2 3 02 7 6
1 2 1
=
1 3 10 9 6
3 7 0
1.3.3 Multiplicacao por Escalar
Seja S a matriz definida na secao (1.3.1) que representa o total de pontos dos alunos em uma
determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Para obter a media aritmetica
16
do total de pontos em provas e avaliacoes calcula-se 13de cada nota disponibilizada nas colunas
de S, ou seja,
N =1
3.S =
13.(24, 5) 1
3.(14, 0)
13.(17, 3) 1
3.(16, 5)
13.(20, 5) 1
3.(22, 2)
logo,
N 8, 2 4, 75, 8 5, 5
6, 8 7, 4
representa a media aritmetica do total de pontos em provas e avaliacoes.
Generalizando, definimos:
Definicao 1.5 Sejam A Mmn(R) e c R. A matriz cA = M e obtida pela multiplicacao decada entrada da matriz A, por c. A matriz cA = M e chamada multiplo escalar de A. Em
notacao matricial, se A = [aij ], entao
mij = caij, com 1 i m e 1 j n.
Exemplo 1.14 2[2 101 2
]=
[ 4 202 4
]
Observacao 1.4 A+ (1)A = 0mn, A Mmn(R). A matriz (1)A, denotada por A, ea matriz oposta de A.
Exemplo 1.15 A matriz oposta da matriz A =
[ 2 71 2
]e A =
[2 71 2
]
1.3.4 Propriedades da Adicao e do Produto por Escalar
Sejam A,B,C Mmn(R) e c, d escalares reais.
1. Se A e B sao elementos de Mmn(R) entao A+ B Mmn(R).
2. A+ B = B + A.
17
3. A+ (B + C) = (A+ B) + C.
4. 0mn + A = A+ 0mn = A.
5. A+ (1)A = 0mn.
6. Se k e qualquer escalar e A Mmn(R), entao kA Mmn(R).
7. c(A+ B) = cA+ cB.
8. (c+ d)A = cA+ dA.
9. (cd)A = c(dA).
10. 1A = A.
Apresentaremos a seguir operacoes matriciais que nao possuem analogia com a aritmetica dos
numeros reais.
1.4 Operacoes nao usuais com Matrizes e Propriedades
1.4.1 Matriz Transposta
Definicao 1.6 A transposta de uma matriz A = [aij]mn e a matriz B = At = [aji]nm, cujas
linhas sao as colunas de A, isto e, bij = aji, para todo i e j.
Exemplo 1.16 A transposta da matriz A =
2 10 31 4
e a matriz At = [ 2 0 1
1 3 4
]
Se A e B sao matrizes de ordem m n e c um numero real, podemos verificar as seguintespropriedades:
1.(A+B)t = At + Bt 2.(cA)t = cAt 3.(At)t = A.
Usando a definicao de Matriz Transposta, podemos definir dois novos tipos de matrizes:
Definicao 1.7 Matriz Simetrica
E uma matriz quadrada tal que At = A. Isto e, os elementos que estao dispostos simetrica-
mente em relacao a` diagonal sao iguais (aij = aji).
18
Exemplo 1.17 A =
2 1 31 6 4
3 4 1
Definicao 1.8 Matriz Anti-Simetrica
E uma matriz quadrada tal que At = A. Isto e, os elementos que estao dispostos simetrica-mente em relacao a` diagonal sao opostos (aij = aji).
Exemplo 1.18 A =
0 2 32 0 53 5 0
Observacao 1.5 A diagonal de uma matriz A anti-simetrica e nula. Isto e, aii = 0.
1.4.2 O traco de uma Matriz
Definicao 1.9 Se A e uma matriz quadrada, entao o traco de A, denotado por tr(A), e definido
pela soma das entradas na diagonal principal de A : a11 + a22 + . . .+ ann.
O traco de A nao e definido se A nao e uma matriz quadrada.
Exemplo 1.19 Para A=
1 2 7 03 5 8 41 2 7 34 2 1 0
temos: tr(A) = 1 + 5 + 7 + 0 = 11
1.4.3 Produto de Matrizes
Ate aqui nos definimos a multiplicacao de uma matriz por um escalar mas nao a multiplicacao de
duas matrizes. Como na definicao da adicao (e subtracao) somamos (e subtramos) as entradas
correspondentes, pareceria natural definir a multiplicacao de matrizes multiplicando as entradas
correspondentes. Contudo, ocorre que tal definicao nao seria muito util na maioria dos proble-
mas praticos e teoricos. A experiencia levou os matematicos a` uma definicao mais util para a
multiplicacao de matrizes.
Ilustraremos a devida definicao dando continuidade a situacao exposta anteriormente:
Seja N a matriz (secao 1.3.3) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada
disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Atribuindo peso 8, 0 para as provas e peso
2, 0 para as atividades podemos obter a nota final de cada aluno da seguinte maneira:
19
NF = N.P =
8, 2 4, 75, 8 5, 5
6, 8 7, 4
. [ 0, 8
0, 2
]=
8, 2.(0, 8) + 4, 7.(0, 2)5, 8.(0, 8) + 5, 5.(0, 2)
6, 8.(0, 8) + 7, 4.(0, 2)
logo,
NF =
7, 55, 7
6, 9
Este exemplo nos leva a`s seguintes observacoes:
- para tornar possvel o produto N.P o numero de colunas de N deve coincidir com o numero
de linhas de P ;
- o produto da linha i de N pela coluna j de P resulta em um unico valor (nf)ij;
Generalizando, definimos:
Definicao 1.10 Seja uma matriz A de ordem mn e B uma matriz de ordem np. O produtode A por B,denotado por AB, e a matriz de ordem m p, cujo elemento de ordem ij e obtidomultiplicando ordenadamente, os elementos da i-esima linha de A pelos elementos da j-esima
coluna de B e somando-se os produtos assim obtidos. Isto e,
(ab)ij = AiBj = (ai1, . . . , ain)
b1j......bnj
= ai1b1j + . . .+ ainbnj
para 1 i m e 1 j p.
Observacao 1.6 Podemos usar a notacao de somatorio:
(ab)ij =n
k=1
aikbkj
Exemplo 1.20 Dadas as matrizes A =
[1 0 12 1 3
]e B =
1 20 1
0 1
, determine AB.
Resposta: A.B =
[1 12 8
],
20
Teorema 1.1 Desde que sejam possveis as operacoes, as seguintes propriedades sao validas:
1. A.(B + C) = AB + AC; 2. (B + C)A = BA+ CA;
3. A(kB) = (kA)B = k(AB), k R 4. A(BC) = (AB)C;
5. (AB)t = BtAt; 6. AI = IA = A;
7. A0 = 0A = 0mn.
1.5 Matrizes Invertveis
Dada uma matriz A quadrada se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo ordem tal que
Ann.Bnn = Bnn.Ann = Inn, entao diremos que Ann e invertvel e que Bnn e a inversa
de Ann. Se nao puder ser encontrada tal matriz B entao diremos que A e nao invertvel ou A
e dita singular.
Exemplo 1.21 A matriz B =
[3 51 2
]e a inversa de A =
[2 51 3
]
Teorema 1.2 A inversa de uma matriz quadrada A e unica e sera denotada por A1.
prova:
Suponhamos que B e C sao inversas da matriz A. Entao:
(BA) = I
Multiplicando ambos os lados da igualdade pela direita por C tem-se:
(BA)C = IC = C
Por outro lado,
(BA)C = B(AC) = B.I = B
Portanto, B = C.
Teorema 1.3 A matriz A =
[a bc d
]e invertvel se ad bc 6= 0, caso em que a inversa e
dada pela formula:
A1 =1
ad bc[
d bc a
]
21
prova: Basta verificar que A.A1 = A1.A = I22.
Teorema 1.4 Se A e uma matriz invertvel, entao At tambem e invertvel. E ainda,
(At)1 = (A1)t
prova: Basta verificar que At.(A1)t = (A1.A)t = I t = I, usando o item 5 do Teorema (1.1).
Exerccio 1.3 Use o Teorema (1.3) para calcular as inversas das seguintes matrizes.
a) A =
[3 15 2
]b) B =
[2 34 4
]c) C =
[6 42 1
]d) D =
[2 00 3
]
Resposta:
a) A1 =
[2 15 3
]b) B1 =
1
20
[4 34 2
]c) C1 =
1
2
[ 1 42 6
]d) D1 =
1
6
[3 00 2
]
1.5.1 Matrizes Ortogonais
Uma matriz A e dita ortogonal se, A e quadrada, invertvel e A.At = At.A = I ou seja,
A1 = At.
Exemplo 1.22 A matriz A =
[cos sensen cos
]e ortogonal pois, At.A = A.At = I.
Exerccio 1.4 Verifique se A =
37 27 676
737
27
27
673
7
e ortogonal.
Resposta: Sim, verifica-se que At.A = A.At = I.
1.6 Sugestao de Leitura e Estudo
Anton, H.; Rorres, C. Algebra Linear com Aplicacoes. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman,2001. Secao 1.3 e Secao 1.4.
Boldrini, J. L.. Algebra Linear . 3a Ed.. Sao Paulo: Harbra Ltda, 1986. Captulo Matrizes eSistemas Lineares.
Steinbruch, A.; Winterle, P. Introducao a` Algebra Linear.Sao Paulo: Makron Books, 1990.Apendice.
Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introducao a` Algebra Linear .4a Ed. Sao Paulo: Thompson Learning, 2007.
22
1.7 Lista 1
1. Um conglomerado e composto por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir
apresenta o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de fevereiro.
F =
1950 2030 1800 19501500 1820 1740 16803100 2800 2700 30502500 2420 2300 26801800 2020 2040 1950
Cada elemento aij dessa matriz e o faturamento da loja i no dia j.
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos quatro dias?
2. Classifique cada afirmacao como verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) Toda matriz identidade e necessariamente quadrada.
b) ( ) Existe matriz identidade que nao e quadrada.
c) ( ) Toda matriz nula e necessariamente quadrada.
d) ( ) Existe matriz nula que nao e quadrada.
e) ( ) (At)t= A, qualquer que seja a matriz A.
f) ( ) At 6= A para qualquer matriz A.g) ( ) Existe alguma matriz tal que At 6= A.h) ( ) Se a matriz A e do tipo 2 3, entao At e do tipo 3 2.i) ( ) Se uma matriz A e simetrica, entao At = A.
3. Determinar a matriz transposta At de A =
[2 3 5 83 7 1 9
].
4. Considerando a matriz anti-simetrica A =
0 3 43 0 64 6 0
, calcule At. O que voce observa
em relacao a A e At?
23
5. Considere A =
[1 2 34 5 6
]e B =
[3 0 27 1 8
], calcule:
(a) A+ 5B
(b) 3A
(c) 2A 3B
6. Considere as matrizes A =
2 1 0 31 0 2 4
4 2 7 0
e B =
4 3 5 12 2 0 1
3 2 4 5
, encontre
A+ B, AB e 13A
7. Resolva o produto de matrizes:
A.B =
[1 2 42 6 0
] 4 1 4 30 1 3 12 7 5 2
8. Em cada item, encontre a operacao que se pede (adicao, subtracao ou multiplicacao) entre
as matrizes dadas abaixo:
a) A =
[2 5 73 2 4
]e B =
[3 3 28 9 1
], encontre A+ B.
b) A =
[4 13 9
]e B =
[5 67 8
], encontre A B; AB e BA.
c) A =
[4 2 62 5 3
]e B =
5 2 4 12 3 1 0
1 2 7 6
encontre AB.
d) A =
1 3 22 1 3
4 3 1
, B =
1 4 1 02 1 1 1
1 2 1 2
e C =
2 1 1 23 2 1 1
2 5 1 0
encontre AB e encontre AC. O que observou?
9. Considerando A =
[1 00 0
], B =
[0 01 0
]e C =
[0 10 0
], calcule (AB)C e A (BC).
10. Em cada item, faca a multiplicacao AB entre as matrizes dadas abaixo:
24
a) A =
1 02 35 40 1
42
e B =
[0 6 13 8 2
]23
b) A =
[ 2 0 13 0 1
]23
e B =
12
4
31
c) A =
2 14 2
5 3
32
e B =
[1 10 4
]22
d) A =
1 1 13 2 12 1 0
e B =
1 2 32 4 6
1 2 3
. Neste item, encontre tambem BA.
11. Se A =
[1 23 1
]e B =
[2 01 1
], calcule AB e BA. O que observa sobre o resultado do
produto AB e BA?
12. Dadas as matrizes A =
4 53 72 4
e B = [ 4 6 33 5 8
], calcule (AB)t.
13. Ache x, y, z e w se
[x yz w
] [2 33 4
]=
[1 00 1
].
14. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e dado por:
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
Moderno 5 20 16 7 17Mediterraneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Represente as informacoes acima por meio de uma matriz C35.
25
b) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraneo e colonial, res-
pectivamente, quantas unidades de cada material serao empregadas?(Sugestao: crie a
matriz quantidade, Q13 e calcule a matriz material M = Q13.C35 )
c) Suponha agora que os precos por unidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Com relacao a esses materiais qual e o preco
unitario de cada tipo de casa?(Sugestao: crie a matriz preco-material PM51 e calcule
a matriz preco-casa PC = C35.PM51)
d) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraneo e colonial, respecti-
vamente.Considerando os mesmos precos, use produto de matrizes para obter o custo
total de material empregado.
15. Considerando A2 = A A, calcule[x yz w
]2.
16. Considerando que A =
[2 65 4
]e X =
[xy
], encontre AX.
17. Considerando as matrizes dadas nos itens abaixo, verifique se as matrizes A e B sao inversas.
a) A =
[2 51 3
]e B =
[3 51 2
]
b) A =
1 0 22 1 3
4 1 8
e B =
11 2 24 0 1
6 1 1
26
1.8 A funcao Determinante de uma Matriz Quadrada
No Ensino Medio voce deve ter se deparado com o calculo de determinante de matrizes 2 2 e3 3, fazendo uso de algumas regras e formulas.
No entanto, nesta secao verificaremos que o determinante e um certo tipo de funcao, que
associa a cada matriz quadrada um numero real, independente da ordem da matriz quadrada.
Para tanto necessitaremos de alguns conceitos preliminares.
Definicao 1.11 Uma permutacao do conjunto de inteiros {1, 2, ..., n} e um rearranjo destesinteiros em alguma ordem sem omissoes ou repeticoes.
Exemplo 1.23 Existem 6 permutacoes distintas do conjunto de inteiros {1, 2, 3}
Exerccio 1.5 Liste todas as permutacoes dos inteiros {1, 2, 3, 4}.
Definicao 1.12 Denotando por (j1, j2, ..., jn) uma permutacao arbitraria do conjunto {1, 2, ..., n}dizemos que, ocorre uma inversao numa permutacao sempre que um inteiro maior precede um
menor.
Exemplo 1.24 Determine o numero de inversoes nas seguintes permutacoes.
a) (6, 1, 3, 4, 5, 2)
5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8
b) (2, 4, 1, 3)
1 + 2 + 0 = 3
Observacao 1.7 Para calcular o numero de inversoes de uma permutacao devemos:
(1) encontrar a quantia de numeros menores que j1 e que estao depois de j1 na permutacao;
(2) encontrar a quantia de numeros menores que j2 e que estao depois de j2 na permutacao.
Continuar este processo ate jn1 e somar estas quantias. A soma destes numeros sera o numero
de inversoes de uma permutacao.
Definicao 1.13 Uma permutacao e chamada par se o numero de inversoes e um inteiro par e
e chamada mpar se o numero de inversoes e mpar.
27
Exerccio 1.6 Estude o numero de inversoes das permutacoes de {1, 2, 3} e classifique estaspermutacoes em par ou mpar.
Definicao 1.14 Seja A = [aij]nn uma matriz quadrada e (j1, j2, ..., jn) uma permutacao ar-
bitraria do conjunto {1, 2, ..., n} . O produto
a1j1 .a2j2 ...anjn
e dito um produto elementar de A.
Definicao 1.15 Seja A uma matriz quadrada. A funcao determinante denotada por det e
definida da seguinte maneira:
det(A) =
(1)ka1j1 .a2j2 ...anjn
onde k e o numero de inversoes de (j1, j2, ..., jn) ou seja, det(A) e definido como a soma de todos
os produtos elementares de A acompanhados do sinal: (+) se a permutacao (j1, j2, ..., jn) e par
ou () se (j1, j2, ..., jn) e mpar.
Exemplo 1.25 Calculo do determinante de uma matriz de 2a ordem.
detA =
a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21
Exemplo 1.26 Calculo do determinante de uma matriz de 3a ordem.
detA =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12
1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz
Seja A uma matriz n n.
1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A sao nulos, entao detA = 0.
2. Se B e a matriz que resulta quando multiplicarmos uma unica linha ou coluna de A por
uma constante k, entao detB = k.detA.
3. Se B e a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A sao permutadas,
entao detB = detA.
28
4. Se B e a matriz que resulta quando uma linha de A e somada a um multiplo de outra linha,
entao detB = detA
5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais e zero. Se uma
linha e multipla de outra linha, entao o determinante e zero.
6. det(A B) = detA detB.
7. det(An) = (detA)n.
Teorema 1.5 Se A e uma matriz triangular n n, entao detA e o produto das entradas nadiagonal principal da matriz; ou seja,
det(A) = a11.a22...ann.
1.8.2 Calculo do determinante por triangularizacao
Usando as propriedades de determinante e o teorema acima, podemos calcular o determinante
de uma matriz quadrada qualquer reduzindo esta ao formato triangular superior usando as
operacoes elementares:
1. Li k.Li, para k 6= 0
Neste caso, temos:
det(A) = D = det(B) = k.det(A)
Portanto, quando utilizarmos esta operacao sobre A para triangulariza-la e ainda obter o
determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante pela fracao1
k,
pois:
det(A) = D = det(B) = k.det(A) = det(A) = 1k.det(B)
2. Li Lj,
Neste caso, temos:
det(A) = D = det(B) = det(A)
29
Portanto, quando utilizarmos esta operacao sobre A para triangulariza-la e ainda obter o
determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante por k = 1 pois
det(A) = D = det(B) = 1.det(A) = det(A) = 1.det(B)
3. Li Li + k.Lj
Neste caso, sabemos que o determinante nao se altera, ou seja,
det(A) = det(B)
Portanto, a operacao pode ser utilizada sem que haja preocupacoes com mudancas no
determinante de A.
Aplicaremos este metodo de Reducao por linhas em nossas aulas para o calculo do determinante
das seguintes matrizes:
A =
0 1 53 6 9
2 6 1
, B =
3 6 90 0 22 1 5
e C =
0 3 11 1 2
3 2 4
.
Exerccio 1.7 Calcule o determinante das matrizes indicadas abaixo usando o Metodo de Reducao
por linhas:
1. A =
2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3
2. B =
0 1 1 1
12
12
1 12
23
13
13
0
13
23
0 0
30
1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansao em cofatores
Observando o Exemplo (1.26) notamos que o determinante da matriz de ordem 3 3 pode serdesenvolvimento em funcao de determinantes de submatrizes 2 2 como segue:
detA = a11 (a22a33 a23a32) + a12 (a21a33 + a23a31) + a13 (a21a32 a22a31) (1)
= a11
a22 a23a32 a33 a12
a21 a23a31 a33+ a13
a21 a22a31 a32 .
Observe que o determinante da matriz 3 3 pode ser expresso em funcao dos determinantesde submatrizes 2 2, isto e,
detA = a11M11 a12M12 + a13M13,
no qual Mij e o determinante da submatriz obtida de A, onde a i-esima linha e a j-esima coluna
foram retiradas. Alem disso, se chamarmos Cij = (1)i+jMij, obtemos a expressao
detA = a11C11 + a12C12 + a13C13.
Rearranjando os termos em (1), e possvel obter outras formulas como:
detA = a11C11 + a21C21 + a31C31
= a12C12 + a22C22 + a32C32
= a13C13 + a23C23 + a33C33.
= a21C21 + a22C22 + a23C23
= a31C31 + a32C32 + a33C33
Note que em cada uma dessas equacoes as entradas e os cofatores sao todos da mesma linha
ou coluna. Estas equacoes sao chamadas expansao em cofatores de det(A).
Estes resultados que acabamos de ver para matrizes 3 3 formam somente um caso especialde um teorema geral, que enunciaremos a seguir:
31
Teorema 1.6 Expansao em Cofatores
O determinante de uma matriz A de tamanho n n pode ser calculado multiplicando asentradas de qualquer linha(ou coluna) pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes, ou
seja,
detAnn = ai1Ci1 + + ainCin =n
j=1
aijCij
(expansao em cofatores ao longo da i-esima linha)
detAnn = a1jC1j + + anjCnj =ni=1
aijCij
(expansao em cofatores ao longo da j-esima coluna)
O numero Cij e chamado cofator ou complemento algebrico do elemento aij, onde Cij e o
determinante afetado pelo sinal (1)i+j da submatriz obtida de A retirando-se a i-esima linha ea j-esima coluna.
Exemplo 1.27 Encontre o determinante da matriz A =
3 1 42 5 6
1 4 8
usando Laplace.
Primeiro vamos calcular o determinante menor da entrada aij.
O menor de a11 e M11 =
5 64 8 = 40 24 = 16;
O menor de a12 e M12 =
2 61 8 = 16 6 = 10;
O menor de a13 e M13 =
2 51 4 = 8 5 = 3. Entao
detA = a11M11 a12M12 + a13M13 = 3(16) 1(10) + (4)3 = 26.
Exerccio 1.8 Encontre o determinante da matriz abaixo usando o metodo de Laplace.
A =
2 4 31 5 73 8 9
resposta: detA = 343
O desenvolvimento de Laplace e uma formula de recorrencia que permite calcular o determi-
nante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem
n1. Em grande parte dos casos ele simplifica muito o calculo de determinantes, principalmentese for utilizado em conjunto com outras propriedades dos determinantes.
32
1.8.4 Calculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3
O calculo de determinante de ordem maior que 3 envolve um numero elevado de operacoes, por
isso, nao e feito usando a definicao. Usaremos metodos alternativos para calcular determinante
para ordem maior que 3.
O metodo de Laplace pode ser usado, ou podera ser feito o calculo do determinante por meio
de reducao de linhas.
Exerccio 1.9 Aplique o metodo de Laplace para calcular o determinante de
A =
5 2 3 40 2 0 05 2 3 08 5 3 1
(Observe que e mais conveniente usar a linha 2, pois esta tem como elementos o maior
numeros de zeros e isso facilita os calculos).
det A =
5 2 3 40 2 0 05 2 3 08 5 3 1
= 0 + 2(1)2+2
5 3 45 3 08 3 1
+ 0 + 0 = 372.
Exerccio 1.10 Calcule detA =
1 2 3 44 2 0 01 2 3 02 5 3 1
usando a linha (e depois a coluna) mais
apropriada.
1.9 Calculo da Matriz Inversa usando Cofatores
Estamos em condicoes de obter uma formula para a inversa de uma matriz invertvel usando os
cofatores.
Definicao 1.16 Se A e uma matriz n n e Cij e o cofator de Aij , entao a matriz
Cof = [Cij]
e chamada matriz de cofatores de A ou Cofatora de A. A transposta desta matriz e
chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
33
Exemplo 1.28 Seja
A =
3 2 11 6 3
2 4 0
Verifique que,
adj(A) =
12 4 126 2 1016 16 16
Calcule entao det(A) e verifique que,
A1 =1
det(A)adj(A).
Para generalizar este resultado, verificamos que
A.adj(A) = det(A).I
considerando o produto A.adj(A) e observando que a entrada na i-esima linha e j-esima coluna
do produto A.adj(A) e:
ai1Cj1 + + ainCjn = 0, i 6= j
pois e o determinante de uma matriz A, obtida de A trocando a linha j pela linha i. E,
ai1Ci1 + + ainCin = det(A), i = j
Assim, podemos enunciar o seguinte resultado:
Teorema 1.7 A inversa de uma Matriz usando a Adjunta
Se A e uma matriz invertvel, entao
A1 =1
det(A)adj(A).
Exemplo 1.29 Usando a matriz A enunciada no exemplo (1.28) e o teorema (1.7) temos:
A1 =1
64
12 4 126 2 1016 16 16
Exerccio 1.11 Calcule a inversa de A utilizando o teorema (1.7), sendo:
A =
2 5 51 1 0
2 4 3
34
1.10 Calculo da Matriz Inversa usando Operacoes Ele-
mentares
Nesta secao vamos desenvolver um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz invertvel
fazendo uso das operacoes elementares ja enunciadas.
Definicao 1.17 Uma matriz n n que pode ser obtida da matriz identidade In executando umaunica operacao elementar sobre linhas e chamada matriz elementar.
Teorema 1.8 Operacoes sobre Linhas por Multiplicacao Matricial
Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa operacao sobre linhas em Im e se A
e uma matriz m n, entao o produto EA e a matriz que resulta quando esta mesma operacaosobre linhas e efetuada sobre A.
Este teorema nos auxiliara nos calculos, pois e prefervel (e agil) efetuar operacoes sobre
linhas diretamente sobre uma matriz A do que calcular o produto EA, multiplicando a` esquerda
por uma matriz elementar.
Teorema 1.9 Qualquer matriz elementar e invertvel e a inversa e, tambem, uma matriz ele-
mentar.
Teorema 1.10 Afirmacoes Equivalentes
Se A e uma matriz n n entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) A e invertvel.
(b) Usando operacoes elementares sobre as linhas de A obtermos a matriz In.
Ek...E2.E1.A = In (2)
(c) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
A = (E1)1.(E2)
1...(Ek)1 (3)
1.10.1 Um Metodo para Inverter Matrizes
Usando a equacao (2) apontada anteriormente podemos escrever:
A1 = Ek...E2.E1.In (4).
35
Esta equacao nos indica que A1 pode ser obtida multiplicando In sucessivamente a` esquerda
pelas matrizes elementares.
Por outro lado, observe que estas mesmas operacoes aplicadas sobre A faz com que obtemos
In.
Portanto, podemos enunciar o seguinte Metodo:
Para encontrar a inversa de uma matriz invertvel A, nos devemos encontrar uma
sequencia de operacoes elementares sobre linhas que reduz A a` identidade I. Estas
mesmas operacoes efetuadas em I nos dara A1.
Simbolicamente temos:
[A|I] [I|A1]
Exemplo 1.30 Encontre a inversa de
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
Exemplo 1.31 Verifique se
A =
1 6 42 4 11 2 5
e invertvel.
Exemplo 1.32 Determine a inversa de
A =
1 0 0 01 3 0 01 3 5 01 3 5 7
1.11 Sugestao de Leitura e Estudo
Anton, H.; Rorres, C. Algebra Linear com Aplicacoes. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman,2001. Secao 1.5 e Captulo 2.
Boldrini, J. L.. Algebra Linear . 3a Ed.. Sao Paulo: Harbra Ltda, 1986. Captulo Matrizes eSistemas Lineares.
Steinbruch, A.; Winterle, P. Introducao a` Algebra Linear.Sao Paulo: Makron Books, 1990.Apendice.
Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introducao a` Algebra Linear .4a Ed. Sao Paulo: Thompson Learning, 2007.
36
1.12 Exerccios de Fixacao (Lista 2)
Exerccio 1.12 Encontrar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
a) A =
[3 51 2
]resposta: A1 =
[2 51 3
]
b) B =
3 4 50 1 2
3 5 4
resposta: B1 =
143 93 1332 1 2
1 1 1
c) C =
1 0 0 02 1 0 03 2 1 04 3 2 1
, resposta: C1 =
1 0 0 02 1 0 01 2 1 00 1 2 1
.
d) D =
1 0 22 2 23 0 2
resposta: D1 =
12 0 121
41
21
434
0 14
.
e) E =
4 0 102 4 4
2 2 6
resposta: E1 =
4 52 51
21
212
32
1 2
.
f) F =
3 6 120 3 36 9 24
resposta: F1 =
113 43 22
30 1
3231
313
.
g) G =
1 2 32 5 3
1 0 8
resposta: G1 =
40 16 913 5 3
5 2 1
.
Exerccio 1.13 Seja dada a matriz A =
1 0 22 1 3
4 1 8
, encontre sua inversa.
Exerccio 1.14 Encontre a inversa da matriz dada usando operacoes elementares.
a)
0 0 2 01 0 0 10 1 3 02 1 5 3
b)
8 17 2 1
3
4 0 259
0 0 0 01 13 4 2
c)
2 3
2 0
42 2 00 0 1
d)
1 3 42 4 14 2 9
e)
2 6 62 7 6
2 7 7
37
Exerccio 1.15 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 4, onde k, k1, k2, k3, k4e k5 sao todos nao nulos.
a)
k1 0 0 00 k2 0 00 0 k3 00 0 0 k4
b)
0 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0
c)
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
d)
k 1 0 00 k 1 00 0 k 10 0 0 0
e)
k k k0 k k
0 0 k
Exerccio 1.16 Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante
e as operacoes elementares.
a)
0 0 0 0 30 0 0 4 00 0 1 0 00 2 0 0 05 0 0 0 0
b)
5 0 0 0 00 0 0 4 00 0 3 0 00 0 0 1 00 2 0 0 0
c)
4 9 9 22 5 6 41 2 5 31 2 0 2
d)
2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3
e)
1 3 1 5 32 7 0 4 20 0 1 0 10 0 2 1 10 0 0 1 1
Exerccio 1.17 Sabendo que
a b cd e fg h i
= 6, encontre
a)
d e fg h ia b c
b)3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
c)a+ g b+ h c+ id e fg h i
d)
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
e)3d 3e 3fa b cg h i
Exerccio 1.18 Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sao invertveis.
a)
1 0 19 1 4
8 9 1
b)
4 2 82 1 4
3 1 6
c)
2 7 0
32 37 0
5 9 0
d)
3 0 15 0 6
8 0 3
38
e)
3 0 61 0 2
2 3 7
Exerccio 1.19 Seja
A =
a b cd e fg h i
Supondo que det(A) = 7, obtenha
a) det(3A) b) det(A1) c) det((2A)1) d) det(2A1) e) det
a d gb e hc f i
Exerccio 1.20 Estude o determinante de A por cofatores da linha ou coluna mais apropriada
e use A1 = 1detA
.adjA para o calculo da inversa de A.
a)
2 3 50 1 3
0 0 2
b)
2 0 08 1 05 3 6
c)
3 3 0 52 2 0 24 1 3 02 10 3 2
d)
4 0 0 1 03 3 3 1 01 2 4 2 39 4 6 2 32 2 4 2 3
e)
2 0 30 3 22 0 4
1.13 Sistemas de Equacoes Lineares
Os sistemas de equacoes algebricas lineares e suas solucoes constituem um dos principais topicos
estudados em cursos de Algebra Linear. Nesta secao iremos introduzir alguma terminologia
basica e discutir um metodo para resolver estes sistemas.
Definicao 1.18 Equacao Linear Definimos uma equacao linear nas n variaveis x1, x2, ..., xncomo uma equacao que pode ser expressa na forma
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b
onde a1, a2, ..., an e b sao constantes reais. As variaveis de uma equacao linear sao chamadas
incognitas.
39
Observacao 1.8 Uma equacao linear nao envolve quaisquer produtos ou razes de variaveis.
Todas as variaveis ocorrem somente na primeira potencia e nao aparecem como argumentos de
funcoes trigonometricas ou exponenciais.
Exemplo 1.33 As equacoes
x+ 3y = 7, y = 12x+ 3z + 1 e x1 2x2 3x3 + x4 = 7 sao lineares. Ja as equacoes,
x+ 3y = 5, 3x+ 2y z + xz = 4 e y = senx
sao nao-lineares.
Exerccio 1.21 Classifique as equacoes em lineares ou nao lineares.
a) x1 + 3x2 + x1x3 = 2 b) x21 + x2 + 8x3 = 5 c) x1
2x2 +
13x3 = 7
1
3
Definicao 1.19 Uma solucao de uma equacao linear a1x1+a2x2+ ...+anxn = b e uma n-upla
(s1, s2, ..., sn) tais que a equacao e satisfeita quando substitumos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O
conjunto de todas as solucoes de uma equacao e chamado seu conjunto-solucao ou solucao
geral da equacao.
Definicao 1.20 Um conjunto finito de equacoes lineares nas variaveis (x1, x2, . . . , xn) e chamado
de sistema de equacoes lineares ou um sistema linear. A n-upla (x1, x2, . . . , xn) e chamada
solucao do sistema se x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn e solucao de cada uma das equacoes:
S1 :
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2...
... ...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
(1.13.1)
onde bi, aij, 1 i m, 1 i n, pertencem a R. O conjunto de equacoes 1.13.1 chama-sesistema de m equacoes lineares com n incognitas.
O sistema S1 pode ser escrito como AX = B, onde
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...am1 am2 amn
X =
x1x2...xm
B =
b1b2...bm
matriz dos coeficientes matriz das incognitas matriz dos termos independentes
Outra matriz associada ao sistema e:
40
a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...
.... . .
......
am1 am2 amn bm
, chamada matriz ampliada do sistema.
Observacao 1.9 O sistema S1 e dito homogeneo se b1 = b2 = = bm = 0.
Exemplo 1.34 A forma matricial do sistema S1 :
x 2y + z = 02x+ y z = 03x y + 2z = 0
e
1 2 12 1 1
3 1 2
xyz
=
00
0
e a matriz ampliada associada ao sistema e:
1 2 1 02 1 1 0
3 1 2 0
Exerccio 1.22 Encontre a matriz ampliada de cada um dos seguintes sistemas de equacoes
lineares.
(a)
3x 2y = 14x+ 5y = 37x+ 3y = 2
(b)
2x+ 2z = 13x y + 4z = 76x+ y z = 0
(c)
x+ 2y t+ w = 13y + z w = 2z + 7w = 1
Nosso objetivo agora, e estudar um metodo para resolucao de sistemas em geral. O processo
consiste em substituir o sistema inicial por um sistema equivalente cada vez mais simples,
fazendo a eliminacao sucessiva das incognitas atraves de operacoes elementares (ja apresen-
tadas no estudo das Matrizes e Determinantes) ate que possamos visualizar facilmente a solucao
do sistema.
1.13.1 Operacoes Elementares sobre as equacoes de um Sistema
1. Multiplicar uma equacao inteira por uma constante nao nula.
41
2. Trocar duas equacoes entre si.
3. Somar um multiplo de uma equacao a uma outra equacao
1.13.2 Operacoes Elementares sobre as linhas da matriz ampliada
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem a`s equacoes no sistema
associado, as tres operacoes elementares aplicadas sobre as equacoes de um sistema linear
correspondem a`s seguintes operacoes nas linhas da matriz ampliada do sistema:
1. Multiplicacao de uma linha inteira por um escalar c nao-nulo (Li cLi);
2. Permutacao da i -esima linha pela j -esima linha (Li Lj).
3.Substituicao da i -esima linha pela i -esima linha mais c vezes a j -esima linha (Li Li+cLj);
Exemplo 1.35 Determine a solucao do sistema abaixo, realizando operacoes elementares sobre
as linhas da matriz ampliada.
x+ y + 2z = 92x+ 4y 3z = 13x+ 6y 5z = 0
1.14 Eliminacao Gaussiana
Apresentaremos um procedimento para reduzir a matriz ampliada de um sistema a uma outra
matriz ampliada escalonada.
Definicao 1.21 Uma matriz A chama-se escalonada ou dizemos que esta na forma escalonada,
se o numero de zeros precedendo o primeiro elemento nao-nulo de cada linha aumenta por linhas
e se aparecerem linhas nulas, estas devem estar abaixo de todas as outras linhas.
Definicao 1.22 Uma matriz A chama-se escalonada reduzida por linhas se:
a) esta na escalonada;
42
b) o primeiro elemento nao-nulo de cada linha nao-nula de A for igual a 1. Chamamos este
numero 1 de pivo;
c) cada coluna de A que contem o primeiro elemento nao-nulo de alguma linha de A tiver
todos os outros elementos iguais a zero.
Exemplo 1.36 Dadas as matrizes A =
1 0 0 00 1 1 0
0 0 1 0
B =
0 2 11 0 3
0 0 0
C =
0 1 3 0 10 0 0 0 0
0 0 0 1 2
D =
0 1 3 0 20 0 0 1 2
0 0 0 0 0
Quais sao escalonadas e quais sao escalonadas reduzidas por linhas?
Definicao 1.23 Se A e B sao matrizes de ordem m n, diremos que A e equivalente porlinhas a B se B pode ser obtida de A apos um numero finito de operacoes elementares sobre as
linhas de A.
Notacao: A B
Exemplo 1.37 A matriz A =
1 04 13 4
e equivalentes por linhas a B =
1 00 1
0 0
Teorema 1.11 Toda matriz e equivalente por linhas a uma unica matriz escalonada reduzida
por linhas.
Definicao 1.24 Dois sistemas lineares sao equivalentes se, e somente se, toda solucao de um
deles, e tambem solucao do outro.
Teorema 1.12 Todo sistema de equacoes lineares homogeneo, cujo numero de equacoes e menor
que o numero de incognitas, possui solucao nao-nula, isto e, possui infinitas solucoes.
43
Teorema 1.13 Dois sistemas de equacoes lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes
sao equivalentes.
Definicao 1.25 O posto de uma matriz A e o numero de linhas nao nulas de alguma matriz
escalonada , equivalente a A.
Exemplo 1.38 Determine o posto da matriz A =
1 3 1 02 6 2 0
1 3 1 0
.
1.14.1 Classificacao de um Sistema Linear quanto a` Solucao
No teorema a seguir veremos que um sistema so admite uma (e somente uma) das seguintes
classificacoes:
SPD: Sistema Possvel Determinado, com uma unica solucao.
SPI: Sistema Possvel Indeterminado, com infinitas solucoes.
S.I: Sistema Impossvel, sem nenhuma solucao.
O estudo do posto de uma matriz nos auxiliara na classificacao de um sistema linear.
Teorema 1.14 Consideremos um sistema linear de m equacoes a n variaveis. Seja Pc o posto
da matriz dos coeficientes e P o posto da matriz ampliada do sistema.
a) Se Pc = P = p, entao o sistema tem solucao unica no caso em que n = p (SPD)
e tem infinitas solucoes se p < n; (SPI)
b) Se Pc 6= P entao o sistema nao tem solucao. ( SI)
Observacao 1.10 No caso de um sistema de n incognitas apresentar infinitas solucoes, p variaveis
podem ser escrita em funcao de outras n p escolhidas convenientemente. Estas n p variaveissao chamadas de variaveis livres e o numero (n p) denota o grau de liberdade do sistema.
Quando aplicamos operacoes elementares sobre as linhas da matriz ampliada associada a
um sistema ate transformarmos na forma escalonada, obtemos um novo sistema equivalente
que pode ser resolvido por substituicao de tras para frente, tambem dita retro substituicao.
44
1.14.2 O Metodo de Gauss
1. Escreva a matriz ampliada A do sistema;
2. Use operacoes elementares sobre as linhas da matriz A ate transforma-la numa matriz A
escalonada;
3. Fazendo substituicao de tras para frente, resolva o sistema equivalente associado a A.
Exemplo 1.39 Determine a solucao do sistema S :
x+ 2y + z = 0x+ 3z = 5x 2y + z = 1
utilizando o Metodo de
Gauss.
1.14.3 O Metodo de Gauss-Jordan
Neste metodo, procedemos como no metodo de eliminacao de Gauss, mas reduzimos ainda mais
a matriz ampliada ate a` forma escalonada reduzida por linha.
1. Escreva a matriz ampliada A do sistema;
2. Use operacoes elementares sobre as linhas de A ate transforma-la numa matriz A escalo-
nada reduzida por linhas;
3. Se o sistema for possvel e determinado, a matriz A indica a solucao;
4. Se o sistema resultante for possvel e indeterminado, resolva-o para as variaveis dependentes
em termos de quaisquer variaveis livres que tenham sobrado.
Exemplo 1.40 Determine a solucao do sistema abaixo usando eliminacao de Gauss-Jordan.
2x+ 4y + 6z = 63x+2y 4z = 38x+ 2y + 3z = 3
Exerccio 1.23 Determine a solucao de cada sistema abaixo usando eliminacao de Gauss-
Jordan.
45
(a)
2x+ 2y + z = 5x y = 2x+ 2y + 3z = 6
(b)
2x+ 2y z + w = 0x y + 2z 3t+ w = 0x+ y 2z w = 0z + t+ w = 0
(c)
2x+ 2y + z = 2x y = 0x+ y + z = 5
46
1.15 Exerccios de Fixacao ( Lista 3)
1. Considere as matrizes
A =
3 01 2
1 1
, B = [ 4 1
0 2
], C =
[1 4 23 1 5
], D =
1 5 21 0 1
3 2 4
, E =
6 1 31 1 2
4 1 3
Calcule, quando possvel:
a) D + E b)D E c) 2B C d) 4E 2D e) 3(D + 2E).
2. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule (se possvel):
a) tr(D) b) 4tr(7B) c) tr(DDT ) d) tr(4ET D) e) tr(CTAT + 2ET ).
3. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule os seguintes (quando possvel).
a) (2DTE)A b) (4B)C+2B c) (AC)T+5DT d) (BAT2C)T e)BT (CCTAAT ).
4. Sejam
A =
3 2 76 5 4
0 4 9
e B =
6 2 40 1 3
7 7 5
Use a definicao de produto de matrizes da pagina 9 do Captulo 1 para encontrar
a) a primeira linha de AB b) a terceira linha de AB c) a segunda coluna de AB
d) a primeira coluna de BA e) a terceira coluna de AA.
5. Em cada item, encontre uma matriz [aij ] de tamanho 6 6 que satisfaz a condicao dada.De respostas tao gerais quanto possvel, usando letras e nao numeros para entradas nao
nulas especficas. Classifique as matrizes obtidas quanto ao tipo, utilizando a secao 1.2.
a) aij = 0 se i 6= j b) aij = 0 se i > j c) aij = 0 se i < jd) aij = i+ j e) aij = i j
6. Sejam
A =
2 1 30 4 52 1 4
, B =
8 3 50 1 2
4 7 6
, e
C =
0 2 31 7 4
3 5 9
, a = 4, b = 7.
Mostre que
47
a) A + (B + C) = (A+ B) + C b) (AB)C = A(BC) c) a(B C) = aB aCd) (AT )T = A e) (AB)T = BT .AT .
7. Use o Teorema 1.3 para calcular as inversas das seguintes matrizes.
a) A =
[3 15 2
]b) B =
[2 34 4
]c) C =
[6 42 1
]
d) D =
[2 00 3
]e) E =
[3 00 2
].
8. Use as matrizes A e B do exerccio anterior para verificar que
a) (A1)1 = A b) (BT )1 = (B1)T c) (AB)1 = B1.A1
d) (ABC)1 = C1.B1.A1 e)(CA)1 = A1.C1 .
9. Em cada parte use a informacao dada para encontrar A.
a) A1 =
[2 13 5
]b) (7A)1 =
[ 3 71 2
]c) (5AT )1 =
[ 3 15 2
]
d) (I + 2A)1 =
[ 1 24 5
]e) A1 =
[2 31 5
].
10. Mostre que
a) Ann =
a11 0 00 a22 0 0 0 ann
e invertvel e encontre sua inversa,
sabendo que a11.a22. .ann 6= 0b) Uma matriz Ann com uma linha de zeros nao pode ter inversa.
c) Uma matriz Ann com uma coluna de zeros nao pode ter inversa.
d) Se A,B sao matrizes quadradas tais que AB = 0 e A e invertvel entao,B = 0.
e) Se A e uma matriz quadrada tal que Li = k.Lj entao A nao e invertvel.
11. Encontre uma operacao sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz
identidade.
a)
[1 03 1
]b)
1 0 00 1 0
0 0 3
c)
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
d)
1 0 17
00 1 0 00 0 1 01 0 0 0
e)
2 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 0 1
12. Encontre a inversa da matriz dada usando operacoes elementares.
48
a)
0 0 2 01 0 0 10 1 3 02 1 5 3
b)
8 17 2 1
3
4 0 259
0 0 0 01 13 4 2
c)
2 3
2 0
42 2 00 0 1
d)
1 3 42 4 14 2 9
e)
2 6 62 7 6
2 7 7
13. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 4, onde k, k1, k2, k3, k4 e k5 saotodos nao nulos.
a)
k1 0 0 00 k2 0 00 0 k3 00 0 0 k4
b)
0 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0
c)
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
d)
k 1 0 00 k 1 00 0 k 10 0 0 0
e)
k k k0 k k
0 0 k
14. Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as
operacoes elementares.
a)
0 0 0 0 30 0 0 4 00 0 1 0 00 2 0 0 05 0 0 0 0
b)
5 0 0 0 00 0 0 4 00 0 3 0 00 0 0 1 00 2 0 0 0
c)
4 9 9 22 5 6 41 2 5 31 2 0 2
d)
2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3
e)
1 3 1 5 32 7 0 4 20 0 1 0 10 0 2 1 10 0 0 1 1
15. Sabendo que
a b cd e fg h i
= 6, encontre
a)
d e fg h ia b c
b)3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
c)a+ g b+ h c+ id e fg h i
49
d)
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
e)3d 3e 3fa b cg h i
16. Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sao invertveis.
a)
1 0 19 1 4
8 9 1
b)
4 2 82 1 4
3 1 6
c)
2 7 0
32 37 0
5 9 0
d)
3 0 15 0 6
8 0 3
e)
3 0 61 0 2
2 3 7
17. Seja
A =
a b cd e fg h i
Supondo que det(A) = 7, obtenha
a) det(3A) b) det(A1) c) det((2A)1) d) det(2A1) e) det
a g db h ec i f
18. Use A1 = 1detA
.adjA para o calculo da inversa de A e estude o determinante de A por
cofatores da linha ou coluna mais apropriada.
a)
2 3 50 1 3
0 0 2
b)
2 0 08 1 05 3 6
c)
3 3 0 52 2 0 24 1 3 02 10 3 2
d)
4 0 0 1 03 3 3 1 01 2 4 2 39 4 6 2 32 2 4 2 3
e)
2 0 30 3 22 0 4
50
19. Quais das seguintes matrizes 3 3 estao em forma escalonada?
a)
1 2 00 1 0
0 0 0
b)
1 0 00 1 0
0 2 0
c)
1 3 40 0 1
0 0 0
d)
1 5 30 1 1
0 0 0
e)
1 2 30 0 0
0 0 1
20. Quais das seguintes matrizes 3 3 estao em forma escalonada reduzida por linhas?
a)
1 0 00 1 0
0 0 0
b)
0 1 00 0 1
0 0 0
c)
1 0 00 0 1
0 0 0
d)
1 1 00 1 0
0 0 0
e)
1 0 20 1 3
0 0 0
21. Em cada parte, determine se a matriz esta em forma escalonada, escalonada reduzida por
linhas, ambas ou nenhuma das duas.
a)
1 2 0 3 00 0 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0
b)
1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4
c) [ 1 0 3 1
0 1 2 4
]
d)
[1 7 5 50 1 3 2
]e)
1 3 0 2 01 0 2 2 00 0 0 0 10 0 0 0 0
22. Em cada parte, suponha que a matriz de um sistema de equacoes lineares foi reduzida
por operacoes sobre linhas a` forma escalonada ou a` forma escalonada reduzida por linhas.
Resolva o sistema.
a)
1 0 0 30 1 0 0
0 0 1 7
b)
1 0 0 7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 5
c)
1 0 8 5 60 1 4 9 3
0 0 1 1 2
51
d)
1 3 0 00 0 1 0
0 0 0 1
e)
1 3 7 10 1 4 0
0 0 0 1
23. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminacao de Gauss.
(a)
x+ y + 2z = 8x 2y + 3z = 13x 7y + 4z = 10
(b)
2x+ 2y + 2z = 02x+ 5y + 2z = 18x+ y + 4z = 1
(c)
x y + 2z w = 12x+ y 2z 2w = 2x+ 2y 4z + w = 13x 3w = 3
(d)
2y + 3z = 13x+ 6y 3z = 26x+ 6y + 3z = 5
(e)
3x+ 2y z = 155x+ 3y + 2z = 03x+ y + 3z = 116x 4y + 2z = 30
24. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminacao de Gauss-Jordan.
(a)
10y 4z + w = 1x+ 4y z + w = 23x+ 2y + z + 2w = 52x 8y + 2z 2w = 4x 6y + 3z = 1
(b)
x 2y + z 4w = 1x+ 3y + 7z + 2w = 2x 12y 11z 16w = 5
(c)
w + 2x y = 4x y = 3w + 3x 2y = 72u+ 4v + w + 7x = 7
(d)
2x 3y + 4z w = 07x+ y 8z + 9w = 02x+ 8y + z w = 0
(e)
2x+ 2y + 4z = 0y 3z + w = 03x+ y + z + 2w = 0x+ 3y 2z 2w = 0
25. Resolva os seguintes sistemas por eliminacao de Gauss ou elimacao de Gauss-Jordan.
(a)
2x y 3z = 0x+ 2y 3z = 0x+ y + 4z = 0
(b)
v + 3w 2x = 02u+ v 4w + 3x = 02u+ 3v + 2w x = 04u 3v + 5w 4x = 0
52
(c)
x+ 3y + w = 0x+ 4y + 2z = 02y 2z w = 02x 4y + z + w = 0x 2y z + w = 0
(d)
2x y + 3z + 4w = 9x 2z + 7w = 113x 3y + z + 5w = 82x+ y + 4z + 4w = 10
(e)
z + w + t = 0x y + 2z 3w + t = 0x+ y 2z t = 02x+ 2y z + t = 0
26. As situacoes apontadas a seguir ilustram aplicacoes da resolucao de sistemas lineares.
a) (Fuvest2008) Joao entrou na lanchonete BOB pediu 3 hamburgues, 1 suco de laranja e
2 cocadas, gastando R$21, 50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hamburgues, 3
sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$57, 00. Sabendo que o preco de um hamburguer,
mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$10, 00, calcule o preco de
cada um desses itens.
b) (Unesp2007) Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no cafe da manha, 1 pedaco de
bolo e 3 paezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na terca-feira, no cafe da manha,
consumiu 3 pedacos de bolo e 2 paezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa),
totalizando 210 gramas. Cada 100 gramas de bolo e de paozinho fornecem (aproximada-
mente) 420 kcal e 270kcal de energia, respectivamente. Usando estas informacoes, deter-
mine a quantidade em gramas de cada pedaco de bolo e de cada paozinho e calcule o total
de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no cafe da manha
de segunda-feira.
c) (Fuvest2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limao e coco. A com-
pra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que
cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limao do que no aroma coco,
determine o numero de frascos entregues, no aroma limao.
d) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$0, 05 por copo
que lavou e teve de pagar R$0, 25 por copo que quebrou. Terminado o servico, a copeira
recebeu R$35, 80. Determine o numero de copos que ela quebrou.
53
e) (Fuvest2002) Carlos, Lus e Slvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um
ano. Carlos escolheu uma aplicacao que rendia 15% ao ano. Lus, uma que rendia 20% ao
ano. Slvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo
a outra metade numa aplicacao de risco, com rendimento anual pos-fixado. Depois de um
ano, Carlos e Lus tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Slvio, 93 mil reais; Lus e Slvio,
106 mil reais. Determine, quantos reais cada um tinha inicialmente e qual o rendimento
da aplicacao de risco.
54
Captulo 2
Vetores
Existem grandezas chamadas escalares, exemplos: area, comprimento, massa, etc...
que ficam completamente determinadas assim que for dada sua magnitude. Outras quantidades
fsicas no entanto requerem mais do que isso. Por exemplo, uma forca ou uma velocidade, para
que fiquem bem definidas precisamos dar a direcao, a intensidade e o sentido. Tais grandezas
sao chamadas vetoriais.
2.1 Segmentos Orientados
Dois pontos A e B do espaco determinam uma reta r. O conjunto dos pontos de r que estao
entre A e B e um segmento de reta AB que podemos orientar considerando um dos pontos como
origem e outro como extremidade. Denotaremos por AB o segmento orientado de origem em A
e extremidade em B.
Figura 2.1: segmento AB
O segmento AA e dito segmento nulo.
Observacao 2.1
a) Tamanho ou comprimento de um segmento orientado AB e o comprimento do segmento
geometrico AB.
43
b) Dizemos que os segmentos orientados AB e AB tem mesma direcao se a reta determinada
por A e B e paralela a reta determinada por A e B.
c) Se os segmentos orientados AB e AB tem mesma direcao eles terao o mesmo sentido se
AABB =
Definicao 2.1 Diremos que um segmento orientado AB e equipolente ao segmento orientado
AB, se ambos sao nulos ou possuem mesma direcao, mesmo tamanho e mesmo sentido.
Propriedades da relacao de equipolencia:
(a) Reflexividade : AB e equipolente a AB.
(b) Simetria: Se AB e equipolente a AB, entao AB e equipolente a AB.
(c) Transitividade: Se AB e equipolente a AB e se AB e equipolente a AB, entao AB
e equipolente a AB.
2.2 Vetores
Imagine um solido em translacao, a velocidade de cada ponto desse solido e a mesma. Entao qual
das flexas (que obtemos em cada ponto do solido) seria escolhida para representar a velocidade
do solido? Observe que todas sao equipolentes. Assim poderamos representar a velocidade por
qualquer uma delas.
Definicao 2.2 O conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, sera chamado
de vetor determinado pelo segmento orientado AB, e denotaremos porAB.
Diremos que o segmento orientado AB e um representante do vetorAB. Assim dado um
vetor, em cada ponto do espaco, sempre existira um, e somente um, representante desse vetor.
Notacoes: podemos simplesmente denotar o vetorAB por a ou b .
Observacao 2.2
1. Dois vetoresAB e
CD sao iguais se, e somente se, AB e equipolente a CD.
2. O vetor nulo e o vetor cujo representante e um segmento orientado nulo.
Notacao:0
44
3. A norma (modulo ou comprimento) de um vetor a e o comprimento de qualquersegmento orientado representante desse vetor.
Notacao: a ,
4. Um vetor a e unitario se a = 1.
5. Se a = AB entao o vetor oposto de a e ao vetor BA.Notacao: AB ou ~a.
6. Dois vetores a = AB e b = CD sao colineares ou paralelos se tiverem a mesmadirecao, isto e, se seus representantes AB e CD pertencerem a uma mesma reta ou a retas
paralelas.
Figura 2.2: vetores colineares
7. Tres ou mais vetores sao coplanares se possuem representantes pertencentes a um mesmo
plano.
Figura 2.3: vetores coplanares
45
Note que dois vetores quaisquer sao sempre coplanares no entanto, tres vetores poderao ou
nao ser coplanares.
Figura 2.4: vetores coplanares e nao-coplanares
2.3 Adicao de Vetores
Definicao 1.3 Sejam u e v dois vetores do espaco, a soma desses vetores, representada poru + v , e o vetor determinado da seguinte maneira: posicione o vetor v de tal maneira queseu ponto inicial coincide com o ponto final de u . O vetor u +v e representado pela flecha doponto inicial de u ao ponto final de v.
Propriedades da adicao
Para quaisquer vetores ~a,~b e ~c temos:
1. ~u+ ~v = ~v + ~v
2. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
3. ~u+~0 = ~0 + ~u = ~u
4. ~u+ (~u) = ~u+ ~u = ~0
46
Regra do paralelogramo
Consideremos o paralelogramo com vertices ABCD e os vetores ~a =AB e ~b =
AC. Temos
que o vetor soma ~s = ~a+~b e representado pelo segmento orientado AD, que e uma das diagonais
do paralelogramo e que o vetor diferenca ~d = ~a ~b = ~a + (~b), representado pelo segmentoorientado CB, e a outra diagonal do paralelogramo.
Figura 2.5: regra do paralelogramo
Observacao 2.3 Para obter a diferenca a b sem construir b, posicione a e b de tal modo queseus pontos iniciais coincidam; o vetor do ponto final de b ao ponto final de a e o vetor a b.
2.4 Produto por Escalares
Seja k um numero real e AB um representante do vetor ~u, o produto do vetor ~u pelo escalar k,
denotado por k~u e definido por:
1. k~u = ~0, se k = 0 ou ~u = ~0;
2. Se ~u 6= ~0 e k 6= 0, k~u e o vetor de mesma direcao de ~u cujo comprimento e | k | vezes ocomprimento de ~u e o sentido e o mesmo de ~u se k > 0 e oposto ao de ~u se k < 0.
Propriedades do produto por escalares
Para quaisquer vetores ~u e ~v e k e t numeros reais temos:
1. (k + t)~u = k~u+ t~u
2. k(~u+ ~v) = k ~au+ k~v
3. k(t~u) = (kt)~v
4. 1~u = ~u e (1)~u = ~u
47
Exerccio 2.1 Dados os vetores ~a,~b e ~c, de acordo com a figura, construir o vetor
~s = 2~a 3~b+ 12~c
Exerccio 2.2 Considere o paralelogramo ABCD determinado pelos vetoresAB e
AD, seja M
e N pontos medios dos lados DC e AB, respectivamente. Complete convenientemente:
a)AD +
AB = ...............
b)BA+
DA = ...............
c)AC BC = ...............
d)AN +
BC = ...............
e)MD +
MB = ...............
f)BM 1
2
DC = ...............
Exerccio 2.3 No tetraedro e no paraleleppedo retangulo, achar a soma dos vetores indicados :
Exerccio 2.4 No hexagono regular, obter: a)AB+
FE+
AF b)
AD-
AE+
BE
48
2.5 Angulo entre dois vetores
O angulo entre dois vetores nao-nulos ~a e ~b, com representantesAB e
AC, respectivamente,
denotado por (~a,~b), e angulo formado pelas semi-retas AB e AC tal que 0 (~a,~b) .
Observacao 2.4
1. Se (~a,~b) = , ~a e ~b tem a mesma direcao e sentidos contrarios.
2. Se (~a,~b) = 0, ~a e ~b tem a mesma direcao e o mesmo sentido.
3. Se (~a,~b) =
2, ~a e ~b sao ortogonais. Indicamos ~a ~b.
Neste caso, temos ~a+~b2 = ~a2 + ~b2
Exerccio 2.5 Sabendo que u e v sao perpendiculares tais que ~u = 5 e ~v = 12. Calcular~u+ ~v e ~u ~v.
Exerccio 2.6 Dados os vetores ~a e ~b, da figura, mostrar graficamente um representante do
vetor: a) ~a~b b) ~b ~a c) 2~a 3~b
Exerccio 2.7 Sabendo que o angulo entre os vetores ~u e ~v e de 60, determinar o angulo
formado pelos vetores:
a) ~u e ~v b)~u e ~v c) ~u e ~v d) 2~u e 3~v
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Captulo 3
Sistemas de coordenadas: VetoresBidimensionais e Tridimensionais
A introducao de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes simplifica problemas
envolvendo vetores. O tratamento algebrico, na maioria das situacoes, e bem mais pratico do
que o tratamento geometrico.
3.1 Vetores Bidimensionais
Seja v um vetor qualquer do plano e suponha, que v tenha sido posicionado com seu ponto inicial
na origem de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas (x1, y1) do ponto final
de v sao chamadas componentes de v.
Existe um correspondencia biunvoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x, y) de
numeros reais. Desse modo, a cada vetor ~v do plano pode-se associar um par ordenado (x1, y1).
Assim, denotamos ~v = (x1, y1).
x
y
(x1, y1)
v=(x1, y1)
b
v
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Observacao 3.1 Observe que todo vetor v = (x, y) do plano bidimensional pode ser decomposto
segundo as direcoes dos vetoresi = (1, 0) e
j = (0, 1). Isto e, existem numeros reais x e y
tais que,v = x.i + y.j
Neste caso, dizemos que v e combinacao linear dei e
j . Os numeros x e y sao as coor-
denadas de v em relacao a` base {i ,j }. A base {i ,j } e dita base canonica de
R2 = {(x, y) : x, y R}.
Figura 3.1:
Dado um vetor ~v = x1~i+ y1~j, o vetor x1~i e a projecao ortogonal de ~v sobre o eixo dos x e y1~j
e a projecao ortogonal de ~v sobre o eixo dos y.
Figura 3.2:
Se nao haver referencia em contrario, a seguir faremos nosso estudo tratanto somente da base
canonica.
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Igualdade de vetores
Os vetores ~a = (x1, y1) e ~b = (x2, y2) sao iguais (~a = ~b) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
Operacoes
Dados os vetores ~a = (x1, y1) e ~b = (x2, y2) e k R temos:a) ~a+~b = (x1 + x2, y1 + y2)
b) k~a = (kx1, ky1).
Exemplo 3.1 Dados os vetores ~a = (2, 3) e ~b = (1, 0), calcular ~a+~b e 2~a.
Vetor definido por dois pontos
Figura 3.3:
Consideremos o vetorAB com origem no ponto A(x1, y1) e extremidade no ponto B(x2, y2)
(figura 3.3). Temos:
OA = (x1, y1) e
OB = (x2, y2)
Alem disso,
OA+
AB =
OB onde
AB =
OB OA
Isto e,AB = (x2, y2) (x1, y1)
Logo,AB = (x2 x1, y2 y1)
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3.2 Vetores Tridimensionais
Assim como os vetores no plano podem ser descritos por pares de numeros reais, os vetores no
espaco podem ser descritos por ternos de numeros reais utilizando um sistema de coordenadas
retangulares. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, deno-
minado a origem e escolhemos tres retas mutuamente perpendiculares passando pela origem,
denominadas eixos coordenados, designados eixos x, y e z.
Figura 3.4:
Analogamente como no plano, em nosso estudo, a menos que se faca referencia contraria,
faremos uso de uma base canonica , neste caso dada pelos vetores ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0) e
~k = (0, 0, 1), os quais tem origem no mesmo ponto O. A reta que passa pelo ponto O e com a
mesma direcao do vetor ~i chama-se eixo dos x, a reta que passa pelo ponto O e com a mesma
direcao do vetor ~j chama-se eixo dos y e a reta que passa pelo ponto O e com a mesma direca`o
do vetor ~k chama-se eixo dos z. Na figura 4.4, as setas indicam o sentido positivo de cada eixo.
Estes eixos sao chamados eixos coordenados.
O plano determinado pelo eixo dos x e pelo eixo dos y e chamado plano xy; o plano deter-
minado pelo eixo dos x e pelo eixo dos z e chamado plano xz; o plano determinado pelo eixo
dos y e pelo eixo dos z e chamado plano yz.
O conjunto R3 = {(x, y, z)/x, y, z R} e o produto cartesiano RRR e sua representacaogeometrica e o espaco cartesiano determinado pelos tres eixos cartesianos dois a dois ortogo-
nais x, y e z.
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Figura 3.5:
A cada ponto P do espaco vai corresponder uma terna ordenada (x, y, z) de numeros reais que
sao as coordenadas do ponto P , denominadas abscissa, ordenada e cota , respectivamente.
Em R3 temos:
~v =OP = x~i+ y~j + z~k = (x, y, z)
,
Exemplo 3.2 O vetor ~v = 2~i 3~j + ~k pode ser representado por ~v = (2,3, 1)
Analogamente como vimos no plano temos:
Igualdade de vetores
Os vetores ~a = (x1, y1, z1) e ~b = (x2, y2, z2) sao iguais (~a = ~b) se, e somente se,
x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
Operacoes
Dados os vetores ~a = (x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2) e k R temos:a) ~a+~b