geometria analítica e álgebra linear: uma visão geométricafiles.professor-benfica.webnode.com/200000015-c2211c414c/Geometria... · 5.2 Geometria das transformações lineares

AulA 1

geometria analítica e álgebra linear:uma visão geométrica

tomo ii

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Universidade Federal de Minas Gerais

reitor: Clélio Campolina diniz

vice-reitora: rocksane de Carvalho norton

Pró-reitoria de Graduação

Pró-reitora: antônia vitória soares aranha

Pró-reitor adjunto: andré luiz dos santos Cabral

diretor do Caed: Fernando Fidalgo

Coordenador da UaB-UFMG: Wagner José Corradi Barbosa

Coordenador adjunto UaG-UFMG: Hormindo Pereira de souza Júnior

editora UFMG

diretor: Wander Melo Miranda

vice-diretor: roberto alexandre do Carmo said

Conselho editorial

Wander Melo Miranda (presidente)

Flavio de lemos Carsalade

Heloisa Maria Murgel starling

Márcio Gomes soares

Maria das Graças santa Bárbara

Maria Helena damasceno e silva Megale

Paulo sérgio lacerda Beirão

roberto alexandre do Carmo said

AulA 1

Dan avritzer

geometria analítica e álgebra linear:uma visão geométrica

tomo ii

Belo Horizonte eDitora UFMG

2009

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COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE TEXTOS DE MATEMÁTICA: Dan Avritzer

ASSISTÊNCIA EDITORIAL: Euclídia Macedo

EDITORAÇÃO DE TEXTOS: Maria do Carmo Leite Ribeiro

REVISÃO DE PROVAS: Beatriz trindade, Cláudia Campos, Maria do Rosário Alves Pereira,

Renata Passos e Renilde Silveira

PROJETO GRÁFICO: Eduardo Ferreira

FORMATAÇÃO E CAPA: Sérgio Luz

PRODUÇÃO GRÁFICA: Warren Marilac

Editora UFMGAv. Antônio Carlos, 6627 - Ala direita da Biblioteca Central - Térreo

Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768

www.editora.ufmg.br - [email protected]

© 2009, Dan Avritzer © 2009, Editora UFMGEste livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.

Avritzer, DanGeometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica / Dan Avritzer.

– Belo Horizonte : Editora UFMG, 2009. t. 2 : il. – (Educação a distância)

Inclui bibliografia. ISBN: 978-85-7041-754-1

1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. I.Título. II. Série.

CDD: 371.39 CDU: 37.018.43

A963g

Elaborada pela Central de Controle de Qualidade da Catalogação da Biblioteca Universitária da UFMG

PrÓ-rEitoria dE GradUaÇÃoAv. Antônio Carlos, 6627 - Reitoria - 6º andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060 www.ufmg.br - [email protected] - [email protected]

Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.

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Os Cursos de Graduação da UFMG, modalidade a distância, foram concebidos tendo em vista dois princípios fundamentais. O primeiro deles se refere à democratização do acesso à educação superior; o segundo consiste na formação de profissionais de alto nível, compro-metidos com o desenvolvimento do país.

A coletânea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu-dantes desses cursos. Cada volume está relacionado com um tema, eleito como estruturante na matriz curricular. Ele apresenta os conhecimentos mínimos que são considerados essenciais no estudo do tema. Isto não significa que o estudante deva se limitar somente ao estudo do volume. Ao contrário, ele é o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Nessa direção, cada volume apresenta uma bibliografia, com indicação de obras impressas e obras virtuais que deverão ser consultadas à medida que se fizer necessário.

Cada volume da coletânea está dividido em aulas, que consistem em unidades de estudo do tema tratado. Os objetivos, apresentados em cada início de aula, indicam as competências e habilidades que o estudante deve adquirir ao término de seu estudo. As aulas podem se constituir em apresentação, reflexões e indagações teóricas, em expe-rimentos ou em orientações para atividades a serem realizadas pelos estudantes.

Para cada aula ou conjunto de aulas, foi elaborada uma lista de exer-cícios com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progresso e a desenvolver estratégias de metacognição ao se conscientizar dos diversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos. Essa lista auxiliará o estudante a tornar-se mais autônomo, responsável, crítico, capaz de desenvolver sua independência intelectual. Caso ela mostre que as competências e habilidades indicadas nos objetivos não foram alcançadas, ele deverá estudar com mais afinco e atenção o tema pro-posto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores, profes-sores especialistas e colegas.

Agradecemos a todas as instituições que colaboraram na produção desta coletânea. Em particular, agradecemos às pessoas (autores, coor-denador da produção gráfica, coordenadores de redação, desenhistas, diagramadores, revisores) que dedicaram seu tempo, e esforço na prepa ração desta obra que, temos certeza, em muito contribuirá para a educação brasileira.

Maria do Carmo VilaCoordenadora do Centro de Apoio à Educação a Distância

UFMG

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sumário

apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

aula 1 - equação cartesiana do plano no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 A equação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Produto vetorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Vetores linearmente dependentes e independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Interseção de dois planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

aula 2 - equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Retas dadas por dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Resolvendo a geometria pela álgebra: o caso de sistemas lineares . . . . . . . . . . . 252.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

aula 3 - Posições relativas de retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Reta e reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Plano e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

aula - 4 Perpendicularismo e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Retas e planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Retas ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

aula 5 - transformações lineares do plano no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1 Bases do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Geometria das transformações lineares do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Aplicações à computação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

aula 6 - transformações lineares mais gerais, aplicações à identificação de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1 Transformações lineares do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Diagonalização de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Aplicações à identificação de cônicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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aula 7 - estudo das superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.1 Como esboçar superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Superfícies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 As superfícies quádricas padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 As superfícies quádricas mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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apresentação

Este livro foi escrito para ser utilizado nos cursos de Educação a distância oferecidos pela UFMG para a licenciatura em Matemática. Ele está dividido em dois tomos. No primeiro, tratamos de vetores no plano e no espaço, aplicações ao estudo das cônicas, matrizes e determinantes e sistemas de equações lineares. No segundo, trataremos da equação cartesiana de um plano no espaço, de equações paramétricas da reta no espaço, de posições relativas de retas e planos no espaço e de transformações lineares.

Estes livros estão assentados na experiência de mais de 30 anos do autor em ministrar não só a disciplina de Geometria Analítica, mas outras disciplinas de Cálculo, História da Matemática, Álgebra Abstrata e Geometria Algébrica no Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, além da experiência de escrever um primero livro de Geometria Analítica e Álgebra Linear para a licenciatura a distância em Química ([2]).

Tal experiência talvez possa ser resumida em dois princípios bási-cos que orientaram a elaboração da obra. O primeiro é que se deve, no ensino da Matemática, respeitar a evolução histórica dos con-ceitos, explicitando para o aluno como eles evoluíram. A ideia aqui é que as dificuldades que o aluno enfrenta em seu aprendizado são, muitas vezes, semelhantes àquelas que a ciência enfrentou em sua evolução.

O segundo é que a Matemática se articula sempre em torno de exemplos, da mesma maneira que a Química e outras ciências experimentais se baseiam na experiência. Essa observação é válida, tanto nos estudos mais elementares de Matemática como na pesquisa mais sofisticada. Assim, procuramos desenvolver o texto enfatizando sempre o exemplo. Por outro lado, como este livro está voltado para alunos de Matemática, procuramos dar um tratamento mais formal demonstrando alguns resultados, principalmente no estágio final do livro.

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10

GeometriA AnAlíticA e álGebrA lineAr

Tivemos sempre em mente que este trabalho se destina a cursos a distância. Dessa forma, o texto possui várias características especí-ficas para ser assim utilizado. Dentre elas chamamos atenção para as seguintes:

1. Cada aula é aberta com objetivos gerais. Recomendamos que o aluno leia-os inicialmente e volte a eles no final certificando-se de que eles foram atingidos, e, se não o forem, que tente sanar a deficiência.

2. No decorrer do texto, existem exercícios. Eles foram incluídos com o objetivo de testar o entendimento do assunto tratado anterior-mente. É importante que o aluno faça esses exercícios, pois eles são necessários para o seu amadurecimento.

3. Ao final de cada aula, incluímos numerosos exercícios, ordenados por nível de dificuldade. É um pouco pessoal a escolha de quantos exercícios fazer, mas o aluno deve fazer um número suficiente para se sentir seguro do conteúdo a que eles se referem.

Finalmente, ao concluir esta apresentação, gostaríamos de agradecer ao Ministério de Educação e Cultura e a Universidade Aberta do Brasil pela oportunidade de escrever estas notas e à Profa. Maria do Carmo Vila, coordenadora do programa de ensino a distância da UFMG, pela sua eficiente coordenação do programa. Gostaria de agradecer tam-bém aos colegas Hamilton Prado Bueno, Seme Gebara Neto e Maria Cristina Ferreira pelas discussões frutíferas que tivemos sobre o texto, bem como por algumas sugestões e correções, e a Joana David Avritzer, que revisou parte do texto.

Esperamos que este livro possa ser útil a esse importante programa de formação de professores tão necessário ao desenvolvimento de nosso país.

P = (x0, y0, z0) N =(a, b, c). αN P. X = (x, y, z)

X−−→PX N. α

−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0

((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0

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AULA 1

equação cartesiana do plano no espaço

objetivosAo terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

Deduzir a equação cartesiana de um plano no espaço, ortogonal a um 1. vetor dado e passando por um ponto.Resolver vários problemas sobre planos no espaço como, por exemplo, 2. encontrar a equação de um plano passando por três pontos.Conhecer o produto vetorial de dois vetores e suas propriedades.3. Saber o que é um conjunto de dois ou três vetores linearmente dependen-4. tes ou linearmente independentes no plano ou no espaço.

1 .1 - a equação do Plano


X−−→PX N. α

−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0

((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0


X−−→PX N. α

−−→PX · −→N = 0, (X − P ) · N = 0

((x, y, z)− (x0, y0, z0)) · (a, b, c) = 0

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N = (a, b, c)

X= (x, y, z)

X0= (x0 , y0 , z0 )

��

��

−→N = (a, b, c)

��

(x − x0, y − y0, z − z0).(a, b, c) = 0.ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. ax0 + by0 + cz0

d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :

ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0

P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).

−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).

N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d

N = (a, b, c).

(x, y, z)A,B,C

a + 2b− c = d

2a + 3b− c = d

3a− b + 2c = d

a = 32 t, b = −3

2 t, c = −52 t, d = t.

t = 2 3x− 3y− 5z = 2.

t

−→i ,−→j ,−→k

x, y, z−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0),

−→k = (0, 0, 1).

−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)−→v −→w , −→v ×−→w ,

−→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

=

= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)

−→j + (v1w2 − w1v2)

−→k =

= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).

−→v ×−→w = −→w ×−→v .

−→i

−→j ,−→

i = (1, 0, 0)−→j = (0, 1, 0).

−→i ×−→j =

−→i

−→j

−→k

1 0 00 1 0

= (0

−→i + 0

−→j + 1

−→k ) =

−→k = (0, 0, 1).

Figura 1.1: A equação cartesiana de um plano no espaço

��

��

−→N = (a, b, c)

��


d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :

ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0

P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).

−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).

N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d

N = (a, b, c).

(x, y, z)A,B,C

a + 2b− c = d

2a + 3b− c = d

3a− b + 2c = d

a = 32 t, b = −3

2 t, c = −52 t, d = t.

t = 2 3x− 3y− 5z = 2.

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AulA 1

��

��

−→N = (a, b, c)

��


d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :

ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0

P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).

−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).

N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d

N = (a, b, c).

(x, y, z)A,B,C

a + 2b− c = d

2a + 3b− c = d

3a− b + 2c = d

a = 32 t, b = −3

2 t, c = −52 t, d = t.

t = 2 3x− 3y− 5z = 2.

t

−→i ,−→j ,−→k

x, y, z−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0),

−→k = (0, 0, 1).

−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)−→v −→w , −→v ×−→w ,

−→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

=

= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)

−→j + (v1w2 − w1v2)

−→k =

= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).

−→v ×−→w = −→w ×−→v .

−→i

−→j ,−→

i = (1, 0, 0)−→j = (0, 1, 0).

−→i ×−→j =

−→i

−→j

−→k

1 0 00 1 0

= (0

−→i + 0

−→j + 1

−→k ) =

−→k = (0, 0, 1).

1 .2 - Produto vetorial de dois vetores

��

��

−→N = (a, b, c)

��


d(x0, y0, z0) N = (a, b, c) :

ax + by + cz = d, d = ax0 + by0 + cz0

P = (3,−1, 7) N = (4, 2,−5).

−−→PX = X − P = (x − 3, y + 1, z − 7).

N, (x− 3, y + 1, z− 7) ·(4, 2,−5) = 0, 4x + 2y − 5z = −25.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) C = (3,−1, 2).ax + by + cz = d

N = (a, b, c).

(x, y, z)A,B,C

a + 2b− c = d

2a + 3b− c = d

3a− b + 2c = d

a = 32 t, b = −3

2 t, c = −52 t, d = t.

t = 2 3x− 3y− 5z = 2.

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14


−→j ×−→i .

−→j ×−→i =

−→i

−→j

−→k

0 1 01 0 0

= (0

−→i + 0

−→j − 1

−→k ) = −

−→k = (0, 0,−1).

−→j ×

−→k

−→k ×−→j−→i ×

−→k

−→k ×−→i(1,−2, 3)× (2, 5, 7)

(2, 5, 7)× (1,−2, 3)

−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)c = 0 −→w = c−→v .

−→x = −→v × −→w−→y = −→w × −→v −→x

−→v −→w −→y = −−→x .

−→x = −→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

=

= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)

−→j + (v1w2 − w1v2)

−→k =

= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w3 − w1v3) =

−→x .−→v −→x .−→w .A B

A.B = 0.

−→x .−→v = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(v1, v2, v3) =

= v1v2w3 − v1w2v3 − v2v1w3 + v2w1v3 + v3v1w2 − v3w1v2 = 0.

−→x .−→w = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(w1, w2, w3) =

= w1v2w3 − w1w2v3 − w2v1w3 + w2w1v3 + w3v1w2 − w3w1v2 = 0.−→x −→v −→w .

a

−→y = −→w ×−→v =

−→i

−→j

−→k

w1 w2 w3

v1 v2 v3

=

= (w2v3 − v2w3)−→i − (w1v3 − v1w3)

−→j + (w1v2 − v1w2)

−→k =

= (w2v3 − v2w3,−(w1v3 − v1w3), w1v2 − v1w2) = −−→xx = 0 y = 0

v = cw c = 0.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) (3,−1, 2).−→v = B − A =

(1, 1, 0) −→w = C − A = (2,−3, 3). N = −→v × −→w

N = −→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

1 1 02 −3 3

= (3,−3,−3,−2) = (3,−3,−5).

N B

(3,−3,−5).(x− 2, y − 3, z + 1) = 0, ouseja, 3x− 3y − 5z = 2.

(1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1).(1, 1, 0), (0, 1,−2) (3, 0, 1).(1, 1, 1), (−2, 1, 3) (0, 2, 7).

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15

AulA 1

−→j ×−→i .

−→j ×−→i =

−→i

−→j

−→k

0 1 01 0 0

= (0

−→i + 0

−→j − 1

−→k ) = −

−→k = (0, 0,−1).

−→j ×

−→k

−→k ×−→j−→i ×

−→k

−→k ×−→i(1,−2, 3)× (2, 5, 7)

(2, 5, 7)× (1,−2, 3)

−→v = (v1, v2, v3) −→w = (w1, w2, w3)c = 0 −→w = c−→v .

−→x = −→v × −→w−→y = −→w × −→v −→x

−→v −→w −→y = −−→x .

−→x = −→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

=

= (v2w3 − w2v3)−→i − (v1w3 − w1v3)

−→j + (v1w2 − w1v2)

−→k =

= (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w3 − w1v3) =

−→x .−→v −→x .−→w .A B

A.B = 0.

−→x .−→v = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(v1, v2, v3) =

= v1v2w3 − v1w2v3 − v2v1w3 + v2w1v3 + v3v1w2 − v3w1v2 = 0.

−→x .−→w = (v2w3 − w2v3,−(v1w3 − w1v3), v1w2 − w1v2).(w1, w2, w3) =

= w1v2w3 − w1w2v3 − w2v1w3 + w2w1v3 + w3v1w2 − w3w1v2 = 0.−→x −→v −→w .

a

−→y = −→w ×−→v =

−→i

−→j

−→k

w1 w2 w3

v1 v2 v3

=

= (w2v3 − v2w3)−→i − (w1v3 − v1w3)

−→j + (w1v2 − v1w2)

−→k =

= (w2v3 − v2w3,−(w1v3 − v1w3), w1v2 − v1w2) = −−→xx = 0 y = 0

v = cw c = 0.

A = (1, 2,−1), B = (2, 3,−1) (3,−1, 2).−→v = B − A =

(1, 1, 0) −→w = C − A = (2,−3, 3). N = −→v × −→w

N = −→v ×−→w =

−→i

−→j

−→k

1 1 02 −3 3

= (3,−3,−3,−2) = (3,−3,−5).

N B

(3,−3,−5).(x− 2, y − 3, z + 1) = 0, ouseja, 3x− 3y − 5z = 2.

(1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1).(1, 1, 0), (0, 1,−2) (3, 0, 1).(1, 1, 1), (−2, 1, 3) (0, 2, 7).

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16


v

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv. u v

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

(1, 1) (−1,−1)y = x.

(1, 1) = −1(−1,−1). (1, 1)(−1, 1)

xy.

v, w

k = 0 w = kvw = kv k = 0.

u = (1, 0) v = (5, 0).

u = (1, 0) v = (0, 2).

u = (1, 0) v = (−1, 0).

u = (1, 1) v = (1,−1).

u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 7).

u = (0, 0, 1) v = (0, 1, 0).

u = (−1, 2, 3) v = (1,−2,−3).

1 .3 - vetores linearmente dePendentes e indePendentes

xy

{−→i ,−→j ,−→k }

ax + by + cz = 0

−→i , a = 0.

−→j ,

b = 0,−→k , c = 0.

{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}

z = 0.

n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)

aivi = 0

a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}

a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1

a2v1

a1, a2, a3 a1v1+a2v2+a3v3 = 0, v1, v2, v3 a1, a2, a3

a3

v3 = −a1a3

v1 − a2a3

v2, v1, v2, v3

v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =

(v31, v32, v33) A =

v11 v12 v13

v21 v22 v23

v31 v32 v33

.

Det(A) = 0 Det(A) = 0

No que segue, pensaremos sempre em um vetor v com o ponto inicial na origem. Como, de acordo com a Observação 2.9 (Aula 2, Tomo I), isso é sempre possível, não perderemos generalidade assim procedendo.

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17

AulA 1

v

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv. u v

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

(1, 1) (−1,−1)y = x.

(1, 1) = −1(−1,−1). (1, 1)(−1, 1)

xy.

v, w

k = 0 w = kvw = kv k = 0.

u = (1, 0) v = (5, 0).

u = (1, 0) v = (0, 2).

u = (1, 0) v = (−1, 0).

u = (1, 1) v = (1,−1).

u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 7).

u = (0, 0, 1) v = (0, 1, 0).

u = (−1, 2, 3) v = (1,−2,−3).

xy

{−→i ,−→j ,−→k }

ax + by + cz = 0

−→i , a = 0.

−→j ,

b = 0,−→k , c = 0.

{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}

z = 0.

n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)

aivi = 0

a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}

a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1

a2v1


a3

v3 = −a1a3

v1 − a2a3

v2, v1, v2, v3

v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =

(v31, v32, v33) A =

v11 v12 v13

v21 v22 v23

v31 v32 v33

.

Det(A) = 0 Det(A) = 0

xy

{−→i ,−→j ,−→k }

ax + by + cz = 0

−→i , a = 0.

−→j ,

b = 0,−→k , c = 0.

{−→i ,−→j , (1, 1, 0)}

z = 0.

n v1, . . . , vn,(n = 2 n = 3)

aivi = 0

a1 = a2 = · · · = an = 0.{v1, v2, . . . , vn}

a1, a2 a1v1+a2v2 = 0,v1, v2 a1, a2 v2 = −a1

a2v1


a3

v3 = −a1a3

v1 − a2a3

v2, v1, v2, v3

v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 =

(v31, v32, v33) A =

v11 v12 v13

v21 v22 v23

v31 v32 v33

.

Det(A) = 0 Det(A) = 0

No que segue, pensaremos sempre em um vetor v com o ponto inicial na origem. Como, de acordo com a Observação 2.9 (Aula 2, Tomo I), isso é sempre possível, não perderemos generalidade assim procedendo.

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18


v1, v2, v3 v3 = a1v1 + a2v2.

Det(A) =

v1

v2

v3

=

v1

v2

a1v1 + a2v2

= 0,

v1, v2, v3

�x1 x2 x3

v1

v2

v3

=

0 x1 = x2 = x3 = 0. Det(A) =0

α ax + by + cz = dN = (a, b, c).

N α.

α ax+ by +cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).N N α β

N N

k = 0 N = kN, (a, b, c) =k(a, b, c). α β

α := ax + by + cz = d β := kax + kby + kcz = d

α β (x0, y0, z0)ax0 + by0 + cz0 = d kax0 + kby0 + kcz0 = d kd = d.k = 0 α = β. kax0 + kby0 + kcz0 = d,

(x0, y0, z0) α. kd = d,kd− d = 0. α β

ax + by + cz = d

kax + kby + kcz = d

a k

ax + by + cz = d

0 = kd− d

kd − d = 0α β

3x + 2y + 5z = 8 6x + 4y + 10z = 6

2x + 3y + 10z = 0 2x + 3y + 10z = 1

x + y + z = 9 9x + 9y + 9z = 81

αax + by + cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).

N N

N = kN k.

α β

ax + by + cz = d

ax + by + cz = d

a a, a a

aax + aby + acz = ad

aax + bay + caz = ad


(ab− ba)y + (ac− ca)z = ad− ad

N N

(ab − ba) (ac − ca)N = aN.

ab−ba = 0. (ac−ca) = 0z

1 .4 - interseção de dois Planos no esPaço

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19

AulA 1

v1, v2, v3 v3 = a1v1 + a2v2.

Det(A) =

v1

v2

v3

=

v1

v2

a1v1 + a2v2

= 0,

v1, v2, v3

�x1 x2 x3

v1

v2

v3

=

0 x1 = x2 = x3 = 0. Det(A) =0

α ax + by + cz = dN = (a, b, c).

N α.

α ax+ by +cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).N N α β

N N

k = 0 N = kN, (a, b, c) =k(a, b, c). α β

α := ax + by + cz = d β := kax + kby + kcz = d

α β (x0, y0, z0)ax0 + by0 + cz0 = d kax0 + kby0 + kcz0 = d kd = d.k = 0 α = β. kax0 + kby0 + kcz0 = d,

(x0, y0, z0) α. kd = d,kd− d = 0. α β

ax + by + cz = d

kax + kby + kcz = d

a k

ax + by + cz = d

0 = kd− d

kd − d = 0α β

3x + 2y + 5z = 8 6x + 4y + 10z = 6

2x + 3y + 10z = 0 2x + 3y + 10z = 1

x + y + z = 9 9x + 9y + 9z = 81

αax + by + cz = d N = (a, b, c)β ax + by + cz = d N = (a, b, c).

N N

N = kN k.

α β

ax + by + cz = d

ax + by + cz = d

a a, a a


aax + bay + caz = ad


(ab− ba)y + (ac− ca)z = ad− ad

N N

(ab − ba) (ac − ca)N = aN.

ab−ba = 0. (ac−ca) = 0z

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20


P0 = (x0, y0, z0)−→vd = (a, b, c). (x, y, z)

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)

. −→vd = (a, b, c)

r(1, 2,−3) (4, 5,−7).

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = −3− 7t

1 .5 - exercícios

P−→n :

P = (2,−1, 1) n = (−1, 1, 2).

P = (−1, 3, 2) n = (0, 4,−1).

P = (2,−1, 5) n = (−1,−1,−1).

P = (π − 1, 3,−1) n = (π,−3, 7).

P,Q, R

P = (1,−2, 1) Q = (1, 0, 2) R = (−1, 2, 4).

P = (−2, 1, 3) Q = (1, 0,−2) R = (1, 1, 4).

u× v2 = u2v2 − (u.v)2.

u× v = uvsen(θ),

θ u v.

R3

(4,−1, 2), (−4, 10, 2).

(−3, 0, 4), (5,−1, 2), (1, 1, 3).

(8,−1, 3), (−4, 12 ,−32).

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AULA 2

equações paramétricas da reta


Saber o que são equações paramétricas.1. Representar uma reta no espaço por equações paramétricas.2. Resolver problemas sobre retas no espaço tais como encontrar as equações 3. paramétricas da reta que passa por dois pontos ou determinar a interseção de uma reta, dada por equações paramétricas, com um plano, dado por uma equação cartesiana.

2 .1 - equações Paramétricas da reta

P0 = (x0, y0, z0)−→vd = (a, b, c). (x, y, z)

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)

. −→vd = (a, b, c)

r(1, 2,−3) (4, 5,−7).

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = −3− 7t

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22


��

z

y

x

tt

(x, y, z)t (x, y, z)

t 0 1 2 −1(x, y, z) (1, 2,−3) (5, 7,−10) (9, 12,−17) (−3,−3, 4)

P1 = (5, 7,−10). s P1

r

s := (x, y, z) = (5, 7,−10) + t(4, 5,−7)

r s P1.t = −1 (1, 2,−3) r.

r = s!u P0 = (1, 2,−3)

r r2(4, 5,−7) = (8, 10,−14)

u := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(8, 10,−14)

t = 12 Q u, Q = (5, 7,−10) ∈ r.

r = u.r P0 vd.

vd vd = kvd, k = 0.

r

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

α −x + 2y + z = 2.r x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = −3 − 7t.

−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 7t) = 2,

t = −2. X0

r α, X0 = (−7,−8, 11).

r

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−6)

α −x + 2y + z = 2. rx = 1+4t, y = 2+5t, z = −3−6t.

−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 6t) = 2,

0t = 2. t

r

r := (x, y, z) = (−3, 1,−3) + t(4, 5,−6)

α −x + 2y + z = 2. rx = −3 + 4t, y = 1 + 5t, z = −3 − 6t.

3− 4t + 2(1 + 5t) + (−3− 6t) = 2,

2 = 2. t

z

y

x

Figura 2.1: Equação paramétrica da reta

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23

AulA 2

��

z

y

x

tt

(x, y, z)t (x, y, z)

t 0 1 2 −1(x, y, z) (1, 2,−3) (5, 7,−10) (9, 12,−17) (−3,−3, 4)

P1 = (5, 7,−10). s P1

r

s := (x, y, z) = (5, 7,−10) + t(4, 5,−7)

r s P1.t = −1 (1, 2,−3) r.

r = s!u P0 = (1, 2,−3)

r r2(4, 5,−7) = (8, 10,−14)

u := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(8, 10,−14)

t = 12 Q u, Q = (5, 7,−10) ∈ r.

r = u.r P0 vd.

vd vd = kvd, k = 0.

r

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−7)

α −x + 2y + z = 2.r x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = −3 − 7t.

−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 7t) = 2,

t = −2. X0

r α, X0 = (−7,−8, 11).

r

r := (x, y, z) = (1, 2,−3) + t(4, 5,−6)

α −x + 2y + z = 2. rx = 1+4t, y = 2+5t, z = −3−6t.

−1− 4t + 2(2 + 5t) + (−3− 6t) = 2,

0t = 2. t

r

r := (x, y, z) = (−3, 1,−3) + t(4, 5,−6)

α −x + 2y + z = 2. rx = −3 + 4t, y = 1 + 5t, z = −3 − 6t.

3− 4t + 2(1 + 5t) + (−3− 6t) = 2,

2 = 2. t

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24


2x + 3y + 5z = 02x + 3y + 5z = 6

2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 6

2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2

2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4

x = 1, y = 2, z = −3.

2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 1

5x + 3y = 11

2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11

.

α :=−x + 2y + z = 0 β := 2x + 3y − z = 6

−x + 2y + z = 02x + 3y − z = 6

a 2 a

−x + 2y + z = 00 + 7y + z = 6

a −1

1 −2 −1 00 7 1 6

.

a 7 a

(2, 2) 1 −2 −1 00 1 1

767

.

(1, 2)

1 0 −5

7127

0 1 17

67

,

z z = t

y =67− 1

7t x =

127

+57t

α β

(x, y, z) = (127

,67, 0) + t(−1

7,57, 1),

(127 , 6

7 , 0)(−1

7 ,57 , 1).

2 .2 - retas dadas Por dois Planos

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25

AulA 2

2x + 3y + 5z = 02x + 3y + 5z = 6

2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 6

2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2

2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4

x = 1, y = 2, z = −3.

2x + y − 2z = 103x + 2y + 2z = 1

5x + 3y = 11

2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11

.

α :=−x + 2y + z = 0 β := 2x + 3y − z = 6

−x + 2y + z = 02x + 3y − z = 6

a 2 a

−x + 2y + z = 00 + 7y + z = 6

a −1

1 −2 −1 00 7 1 6

.

a 7 a

(2, 2) 1 −2 −1 00 1 1

767

.

(1, 2)

1 0 −5

7127

0 1 17

67

,

z z = t

y =67− 1

7t x =

127

+57t

α β

(x, y, z) = (127

,67, 0) + t(−1

7,57, 1),

(127 , 6

7 , 0)(−1

7 ,57 , 1).

2 .3 - resolvendo a geometria Pela álgebra: o caso de sistemas lineares

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26


a −32 −5

2

2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11

2 1 −2 100 1 10 −280 1 10 −28

a

2 1 −2 100 1 10 −280 0 0 0

x + y − z = 0x + y − z = 6x + y − z = 2

2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 66x + 9y − 2z = 6

10x + 15y − 9z = 12

2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2

20x + 30y + 50z = 10

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27

AulA 2

a −32 −5

2

2 1 −2 103 2 2 15 3 0 11

2 1 −2 100 1 10 −280 1 10 −28

a

2 1 −2 100 1 10 −280 0 0 0

x + y − z = 0x + y − z = 6x + y − z = 2

2x + 3y + 5z = 04x + 6y − 7z = 66x + 9y − 2z = 6

10x + 15y − 9z = 12

2x + 3y + 5z = 14x + 6y + 10z = 2

20x + 30y + 50z = 10

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28


r :=−→X = P1 + λ

−→A1 s :=

−→X = P2 + λ

−→A2

−→X = (x, y, z) r s

P1 P2−→A1−→

A2

A BA B.

B −A.

A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).

A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).

A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).

A = (π, 3,−1) B = (2π,−3, 7).

(1,−2, 1)(x, y, z) = (1, 0, 2) + t(−1, 2, 4).

(1,−2, 3) x + y + z = 1.

(1,−2, 3) (1, 2, 2).

r := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(−1, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3).

r := (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(−2, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1,−1, 3).

(−1,−1, 2).

x + y + z = 1 x− y − 2z = 0 (−1, 2, 3).

x + y + z = 1(−1,−2, 3).

x + y + z = 1(1, 1,−1) (2, 2,−3)

(−1, 2, 3).

2 .4 - exercícios

math2.indd 28 20/5/2009 08:24:10

AULA 3

Posições relativas de retas e planos no espaço


Determinar a posição relativa de duas retas a partir do estudo de seus ve-1. tores diretores. Saber quando dois ou mais planos são ou não paralelos a partir do estudo 2. de seus vetores normais. Determinar a posição relativa de um plano e uma reta no espaço.3.

3 .1 - reta e reta

r :=−→X = P1 + λ

−→A1 s :=

−→X = P2 + λ

−→A2

−→X = (x, y, z) r s

P1 P2−→A1−→

A2

A BA B.

B −A.

A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).

A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).

A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).

A = (π, 3,−1) B = (2π,−3, 7).

(1,−2, 1)(x, y, z) = (1, 0, 2) + t(−1, 2, 4).

(1,−2, 3) x + y + z = 1.

(1,−2, 3) (1, 2, 2).

r := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(−1, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3).

r := (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(−2, 2, 1) s := (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1,−1, 3).

(−1,−1, 2).

x + y + z = 1 x− y − 2z = 0 (−1, 2, 3).

x + y + z = 1(−1,−2, 3).

x + y + z = 1(1, 1,−1) (2, 2,−3)

(−1, 2, 3).

math2.indd 29 20/5/2009 08:24:11

30


−→A1

−→A2.

P1 P2 r s−−−→P1P2.−−−→

P1P2,−→A1,

−→A2.

r s

r s

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (1, 1, 1). k = 0 A2 = kA1.A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(0, 1, 0) ∈ s

−−−→P1P2 = P2−P1 = (0, 1, 0)− (1, 2, 3) =

(−1,−1,−3). {−→A1,

−→A2,

−−−→P1P2}

A =

−→A1−→A2−−−→

P1P2

. Det(A) = 0

0 1 31 1 1−1 −1 −3

= −1(−3 + 1) + 3(−1 + 1) = 2 = 0

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (0, 2, 6). k = 0 A2 = kA1,

k = 2. A1, A2

P1 = (1, 2, 3) ∈ r.P1 ∈ s (1, 2, 3) = (1, 3, 6)+µ(0, 2, 6)

1 = 1, 2 = 3 + 2µ 3 = 6 + 6µ.µ = −1

2 . r = s

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (0,−1, 1). k = 0 A2 = kA1.

A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(1, 5, 0) ∈ s

−−−→P1P2 = P2−P1 = (1, 5, 0)− (1, 2, 3) =

(0, 3,−3). {−→A1,−→A2,

−−−→P1P2}

0 1 30 −1 10 3 −3

= 0, .

P1A1

P2

A2

Figura 3.1: Retas em um mesmo plano

math2.indd 30 20/5/2009 08:24:12

31

AulA 3

−→A1

−→A2.

P1 P2 r s−−−→P1P2.−−−→

P1P2,−→A1,

−→A2.

r s

r s

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (1, 1, 1). k = 0 A2 = kA1.A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(0, 1, 0) ∈ s

−−−→P1P2 = P2−P1 = (0, 1, 0)− (1, 2, 3) =

(−1,−1,−3). {−→A1,

−→A2,

−−−→P1P2}

A =

−→A1−→A2−−−→

P1P2

. Det(A) = 0

0 1 31 1 1−1 −1 −3

= −1(−3 + 1) + 3(−1 + 1) = 2 = 0

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (0, 2, 6). k = 0 A2 = kA1,

k = 2. A1, A2

P1 = (1, 2, 3) ∈ r.P1 ∈ s (1, 2, 3) = (1, 3, 6)+µ(0, 2, 6)

1 = 1, 2 = 3 + 2µ 3 = 6 + 6µ.µ = −1

2 . r = s

r :=−→X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s :=

−→X = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

A1 =(0, 1, 3) A2 = (0,−1, 1). k = 0 A2 = kA1.

A1, A2 P1 = (1, 2, 3) ∈ r P2 =(1, 5, 0) ∈ s

−−−→P1P2 = P2−P1 = (1, 5, 0)− (1, 2, 3) =

(0, 3,−3). {−→A1,−→A2,

−−−→P1P2}

0 1 30 −1 10 3 −3

= 0, .

math2.indd 31 20/5/2009 08:24:13

32


P

(1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

(0,−3, 3) + (0, λ, 3λ)− (0,−µ, µ) = 0

0 = 0 − 3 + λ + µ = 0 3 + 3λ− µ = 0

λ = 0 µ = 3. λ r µ sP P = (1, 2, 3).

λ µ

2x + 2y − 2z = 0x + y − z = 6

5x + 5y − 5z = 2

x, y, z

3 .2 - Plano e Plano

math2.indd 32 20/5/2009 08:24:14

33

P

(1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) = (1, 5, 0) + µ(0,−1, 1)

(0,−3, 3) + (0, λ, 3λ)− (0,−µ, µ) = 0

0 = 0 − 3 + λ + µ = 0 3 + 3λ− µ = 0

λ = 0 µ = 3. λ r µ sP P = (1, 2, 3).

λ µ

2x + 2y − 2z = 0x + y − z = 6

5x + 5y − 5z = 2

x, y, z

A B

A = (2,−1, 1) B = (−1, 1, 2).

A = (−1, 3, 2) B = (0, 4,−1).

A = (2,−1, 5) B = (−1, 1, 1).

x+ 2y + 2z = 1 x+ 2y + 2z = 2 x+ 2y + 2z = 5.

r := (x, y, z) = (1,−1, 2) + t(1, 2, 5) α := 2x+ 4y + 4z = 5.

r := (x, y, z) = (1,−1, 2) + t(−2,−2, 4) α := 2x+ 2y + z = 5.

r := (x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 4, 5) α := −2x− 4y + 4z = 5.

mr x−my + 1 = 0 z − y + 1 = 0s (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1,m, 1)

3 .3 - exercícios

AulA 3

math2.indd 33 20/5/2009 08:24:15

r αr α.

α x−2y+3z = 0P = (−1, 2, 1) r P

α. α N = (1,−2, 3).

r

r :=

x = −1 + λy = 2− 2λz = 1 + 3λ

math2.indd 34 20/5/2009 08:24:15

AULA 4

Perpendicularismo e ortogonalidade


Saber quando uma reta é perpendicular a um plano. 1. Saber quando duas retas são ortogonais. 2. Determinar a equação de uma reta perpendicular simultaneamente a duas 3. retas dadas.

4 .1 - retas e Planos PerPendiculares

r αr α.

α x−2y+3z = 0P = (−1, 2, 1) r P

α. α N = (1,−2, 3).

r

r :=

x = −1 + λy = 2− 2λz = 1 + 3λ

math2.indd 35 20/5/2009 08:24:16

36


2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.

N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r

r :=

x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ

α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0

N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd

r

vd =−→N1 ×

−→N2 =

−→i

−→j

−→k

2 −1 −12 1 −1

= (2, 0, 4).

α (2, 0, 4). rα.

rP = (−1, 3, 1) s

x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ

s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).

PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)

PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3

14 .r PQ = (34

14 ,−1914 ,−

1114).

r

x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t

t

r :=

x = 2 + λy = λz = −1 + λ

s :=

x = µy = 2− µz = 0

r :=−→X = (2 + λ, λ,−1 + λ)

s :=−→X = (µ, 2− µ, 0).

P r Q s.−−→PQ

PQ = Q− P = (µ− 2− λ, 2− µ− λ, 1− λ).

−−→PQ

r s,

−−→PQ.(1, 1, 1) = 0 µ− 2− λ + 2− µ− λ + 1− λ = 0

−−→PQ.(1,−1, 0) = 0 µ− 2− λ− 2 + µ + λ = 0.

λ = 13 µ = 2.

λ r,P r t,

P = (2, 0,−1) +13(1, 1, 1) = (

73,13,−2

3).

Q = (2, 0, 0). t

t :=−→X = (2, 0, 0) + ν(

13,13,−2

3).

4 .2 - retas ortogonais

2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.

N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r

r :=

x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ

α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0

N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd

r

vd =−→N1 ×

−→N2 =

−→i

−→j

−→k

2 −1 −12 1 −1

= (2, 0, 4).

α (2, 0, 4). rα.

rP = (−1, 3, 1) s

x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ

s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).

PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)

PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3

14 .r PQ = (34

14 ,−1914 ,−

1114).

r

x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t

math2.indd 36 20/5/2009 08:24:18

37

AulA 4

2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.

N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r

r :=

x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ

α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0

N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd

r

vd =−→N1 ×

−→N2 =

−→i

−→j

−→k

2 −1 −12 1 −1

= (2, 0, 4).

α (2, 0, 4). rα.

rP = (−1, 3, 1) s

x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ

s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).

PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)

PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3

14 .r PQ = (34

14 ,−1914 ,−

1114).

r

x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t

t

r :=

x = 2 + λy = λz = −1 + λ

s :=

x = µy = 2− µz = 0

r :=−→X = (2 + λ, λ,−1 + λ)

s :=−→X = (µ, 2− µ, 0).

P r Q s.−−→PQ

PQ = Q− P = (µ− 2− λ, 2− µ− λ, 1− λ).

−−→PQ

r s,

−−→PQ.(1, 1, 1) = 0 µ− 2− λ + 2− µ− λ + 1− λ = 0

−−→PQ.(1,−1, 0) = 0 µ− 2− λ− 2 + µ + λ = 0.

λ = 13 µ = 2.

λ r,P r t,

P = (2, 0,−1) +13(1, 1, 1) = (

73,13,−2

3).

Q = (2, 0, 0). t

t :=−→X = (2, 0, 0) + ν(

13,13,−2

3).

2x − 3y + z = 14x− 6y + 2z = 4.

N1 = (2,−3, 1) N2 =(4,−6, 2). r

r :=

x = −1 + 4λy = 2− 6λz = 1 + 2λ

α := x+2z = 14r 2x− y− z = 0 2x+ y− z = 0

N1 = (2,−1,−1) N2 =(2, 1,−1). N1 ×N2 vd

r

vd =−→N1 ×

−→N2 =

−→i

−→j

−→k

2 −1 −12 1 −1

= (2, 0, 4).

α (2, 0, 4). rα.

rP = (−1, 3, 1) s

x = 1 + 2λ, y = 1 + 3λ, z = λ

s Q = (1 + 2λ, 1 + 3λ, λ)vd = (2, 3, 1).

PQ = Q−P = (1+2λ+1, 1+3λ− 3, λ− 1) = (2λ+2, 3λ− 2, λ− 1)

PQ.vd = 0,4λ + 4 + 9λ − 6 + λ − 1 = 0, λ = 3

14 .r PQ = (34

14 ,−1914 ,−

1114).

r

x = −1 + 34t, y = 3− 19t, z = 1− 11t

math2.indd 37 20/5/2009 08:24:19

38


u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

r s

r :=

x = 1 + λy = 2 + 2λz = 3 + λ

s :=

x = 2− λy = 4 + λz = 4− λ

P = (−1, 2, 1)x− 2y + 3z = 0.

r α.r α.

2x− 3y+ z = 1 4x− 6y+2z = 4.

r s

r :=

x = 1 + λy = λz = −1 + λ

s x+ y = 2 z = 0.

4 .3 - exercícios

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AULA 5

transformações lineares do plano no plano

objetivos Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

Compreender o que é uma base do plano.1. Compreender o que é uma transformação linear do plano no plano.2. Operar com transformações lineares do plano no plano e reconhecer vá-3. rios tipos de tais transformações.

5 .1 - bases do Plano

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

u = (u1, u2) v = (v1, v2) u, vk = 0 u = kv.

r s

r :=

x = 1 + λy = 2 + 2λz = 3 + λ

s :=

x = 2− λy = 4 + λz = 4− λ

P = (−1, 2, 1)x− 2y + 3z = 0.

r α.r α.

2x− 3y+ z = 1 4x− 6y+2z = 4.

r s

r :=

x = 1 + λy = λz = −1 + λ

s x+ y = 2 z = 0.

math2.indd 39 20/5/2009 08:24:21

40


u = (1, 1) v = (−1, 1),w = (0, 1) w = au + bv,

a, b, a = 12 b = 1

2 ,12(1, 1) + 1

2(−1, 1) = (0, 1) = w.

w = (w1, w2)

(w1, w2) = a(1, 1) + b(−1, 1).

w1 = a− b w2 = a + b

a = w1+w22 b = w2−w1

2 .−→u −→v

−→w −→v (a−→v )−→u (b−→u ).

A B, f : A −→ BA, B.

A f B

y = 2x + 3f : R −→ R x ∈ R

f(x) = 2x + 3. x2 + y2 = 4x

y.

R2.2× 2.

y

x

��

T : R2 −→ R2

(x1, x2) → (w1, w2)

w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2

a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2

TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T

w = Ax, A =

a11 a12

a21 a22

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2)ys. T (x) = (−x1, x2). w1 = −x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.

w1

w2

=

−1 00 1

x1

x2

.

T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).

5 .2 - geometria das transformações lineares do Plano

y

x

��

T : R2 −→ R2

(x1, x2) → (w1, w2)

w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2

a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2

TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T

w = Ax, A =

a11 a12

a21 a22

T : R2 −→ R2


w1

w2

=

−1 00 1

x1

x2

.

T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).

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41

AulA 5

u = (1, 1) v = (−1, 1),w = (0, 1) w = au + bv,

a, b, a = 12 b = 1

2 ,12(1, 1) + 1

2(−1, 1) = (0, 1) = w.

w = (w1, w2)

(w1, w2) = a(1, 1) + b(−1, 1).

w1 = a− b w2 = a + b

a = w1+w22 b = w2−w1

2 .−→u −→v

−→w −→v (a−→v )−→u (b−→u ).

A B, f : A −→ BA, B.

A f B

y = 2x + 3f : R −→ R x ∈ R

f(x) = 2x + 3. x2 + y2 = 4x

y.

R2.2× 2.

y

x

��

T : R2 −→ R2

(x1, x2) → (w1, w2)

w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2

a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2

TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T

w = Ax, A =

a11 a12

a21 a22

T : R2 −→ R2


w1

w2

=

−1 00 1

x1

x2

.

T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).

y

(-1, 1) (1, 1)

x

Figura 5.1: A transformação que associa a cada ponto sua imagem simétrica em relação ao eixo dos y's

y

x

��

T : R2 −→ R2

(x1, x2) → (w1, w2)

w1 = a11x1 + a12x2 w2 = a21x1 + a22x2

a11, a12, a21, a22 w1, w2, x1, x2

TR2 w = (w1, w2) x = (x1, x2). T

w = Ax, A =

a11 a12

a21 a22

T : R2 −→ R2


w1

w2

=

−1 00 1

x1

x2

.

T (1, 1) (−1, 1),(1, 0) (−1, 0) (0, 1) (0, 1).

math2.indd 41 20/5/2009 08:24:24

42


(x1, x2) (1, 1) (1, 0) (0, 1)(w1, w2) (−1, 1) (−1, 0) (0, 1)

(x1, x2)(w1, w2).

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) T (x) = (x1, x2).w1 = x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.

w1

w2

=

1 00 1

x1

x2

.

2× 2 TI2

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) y = x.T w1 = x2 w2 = x1. w1 = 0x1 + x2 w2 =1x1 + 0x2.

w1

w2

=

0 11 0

x1

x2

.

T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (x, x)

T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)xs. T w1 = x1 w2 = −x2. w1 = x1 w2 =

−x2. w1

w2

=

1 00 −1

x1

x2

.

T(1, 0), (1, 1) (0, 1).

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) π2 . T w1 = −x2 w2 =

x1. w1 = 0x1 − x2 w2 = 1x1 + 0x2.

w1

w2

=

0 −11 0

x1

x2

.

y

x

y = x

T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (−1, 1).

R2 φ

T :R2 −→ R2 x = (x1, x2) φ. T

w1

w2

=

cos(φ) −sen(φ)sen(φ) cos(φ)

x1

x2

.

T (1, 0) (cos(φ), sen(φ)),(1, 1) (cos(φ)−sen(φ), cos(φ)+sen(φ)).

(x, y)

(x, y)

math2.indd 42 20/5/2009 08:24:26

43

AulA 5

(x1, x2) (1, 1) (1, 0) (0, 1)(w1, w2) (−1, 1) (−1, 0) (0, 1)

(x1, x2)(w1, w2).

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) T (x) = (x1, x2).w1 = x1 + 0x2 w2 = 0x1 + x2.

w1

w2

=

1 00 1

x1

x2

.

2× 2 TI2

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) y = x.T w1 = x2 w2 = x1. w1 = 0x1 + x2 w2 =1x1 + 0x2.

w1

w2

=

0 11 0

x1

x2

.

T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (x, x)

T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)xs. T w1 = x1 w2 = −x2. w1 = x1 w2 =

−x2. w1

w2

=

1 00 −1

x1

x2

.

T(1, 0), (1, 1) (0, 1).

T : R2 −→ R2

x = (x1, x2) π2 . T w1 = −x2 w2 =

x1. w1 = 0x1 − x2 w2 = 1x1 + 0x2.

w1

w2

=

0 −11 0

x1

x2

.

y

x

y = x

T (1, 0) (0, 1),(1, 1) (−1, 1).

R2 φ

T :R2 −→ R2 x = (x1, x2) φ. T

w1

w2

=


x1

x2

.

T (1, 0) (cos(φ), sen(φ)),(1, 1) (cos(φ)−sen(φ), cos(φ)+sen(φ)).

(x, y)

(x, y)

y

y = x(x2, x1)

(x1, x2)

x

Figura 5.2: A transformação que associa a cada ponto sua imagemsimétrica em relação a reta y=x

5 .3 - aPlicações à comPutação gráfica

math2.indd 43 20/5/2009 08:24:27

44


cos(φ1 + φ2) = cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2,

sen(φ1 + φ2) = senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1,

φ1 + φ2

cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2 −senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1

senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1 cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2

=

=

cos(φ1) −sen(φ1)sen(φ1) cos(φ1)


.

(φ1+φ2)φ1

φ2.

Sπ2 .o. S

o.

φ1, φ2π4 .

A A2,φ1 + φ2 = π

2 . B π2

A = B.

φ1

f1 φ2

f2 φ1 +φ2 f2of1.

A B

S

S π2 .

π2 .

w1

w2

=

0 −11 0

x1

x2

.

Sx = (x1, x2)

S π2 .

φ1 φ2,φ1 + φ2

w1

w2

=


x1

x2

φ φ1 + φ2.

w1

w2

=

cos(φ1 + φ2) −sen(φ1 + φ2)sen(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)

x1

x2

.

y

TX

X=(x1, x2)

x

Figura 5.3: A transformação que associa a cada ponto sua imagemobtida a partir de uma rotação de Ø

math2.indd 44 20/5/2009 08:24:29

45

AulA 5

cos(φ1 + φ2) = cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2,

sen(φ1 + φ2) = senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1,

φ1 + φ2

cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2 −senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1

senφ1cosφ2 + senφ2cosφ1 cosφ1cosφ2 − senφ1senφ2

=

=



.

(φ1+φ2)φ1

φ2.

Sπ2 .o. S

o.

φ1, φ2π4 .

A A2,φ1 + φ2 = π

2 . B π2

A = B.

φ1

f1 φ2

f2 φ1 +φ2 f2of1.

A B

S

S π2 .

π2 .

w1

w2

=

0 −11 0

x1

x2

.

Sx = (x1, x2)

S π2 .

φ1 φ2,φ1 + φ2

w1

w2

=


x1

x2

φ φ1 + φ2.

w1

w2

=

cos(φ1 + φ2) −sen(φ1 + φ2)sen(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)

x1

x2

.

math2.indd 45 20/5/2009 08:24:30

46


2×2.

3× 3.

T : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) → (w1, w2, w3)

w1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 w2 = a21x1 + a22x2 + a32x3

w3 = a31x1 + a32x2 + a33x3

T : R2 −→ R2 x = (x1, x2)T (x) = (−x1,−x2).

T

w1

w2

=−1 00 −1

x1

x2

(1, 1)(1, 0)(−1,−1)

Q (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T (Q).

T : R2 −→ R2

w1

w2

=

0 −1−1 0

x1

x2

(1, 1)(1, 0)(−1,−1)(x, y)

Q (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Q T. Q T (Q).

(x, y)

o

o

o

φ1π4 .

A A2, A3 A4. Bπ A4 = B.

5 .4 - exercícios

math2.indd 46 20/5/2009 08:24:32

AULA 6

transformações lineares mais gerais, aplicações à identificação de cônicas


Compreender o que é uma transformação linear do espaço no espaço. 1. Operar com transformações lineares do espaço no espaço e reconhecer 2. vários tipos de tais transformações.Calcular autovetores e autovalores de transformações lineares e diagona-3. lizar tais operadores quando possível.Aplicar os conceitos acima à identificação de cônicas.4.

6 .1 - transformações lineares do esPaço

2×2.

3× 3.

T : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) → (w1, w2, w3)

w1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 w2 = a21x1 + a22x2 + a32x3

w3 = a31x1 + a32x2 + a33x3

math2.indd 47 20/5/2009 08:24:33

48


T3 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T3 (x, y, z)y = x.

A 2× 2 3× 3x

A Ax x,

Ax = λx

λ. λ A xA λ.

Ax x

u =

12

A =

3 08 −1

3 08 −1

12

=

36

= 3u

Au u y = 2x.

TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).

T w = Ax, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

T1 : R3 −→ R3

x = (x1, x2, x3), T1(x) = (−x2, x1, x3). w1 =0x1 − x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.

w1

w2

w3

=

0 −1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T2 : R3 −→ R3

x = (x1, x2, x3), T2(x) = (x1, x2,−x3). w1 =x1 + 0x2 + 0x3, w2 = 0x1 + x2 + 0x3, w3 = 0x1 + 0x2 − x3.

w1

w2

w3

=

1 0 00 1 00 0 −1

x1

x2

x3

.

T2

(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T

xy.

(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)

(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.

T1

zsz = 0 π

2 .

T3 : R3 −→ R3

x = (x1, x2, x3), T3(x) = (x2, x1, x3). w1 =0x1 + x2 + 0x3, w2 = x1 + 0x2 + 0x3, w3 = x3.

w1

w2

w3

=

0 1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).

T w = Ax, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

T1 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 −1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T2 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

1 0 00 1 00 0 −1

x1

x2

x3

.

T2

(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T

xy.

(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)

(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.

T1

zsz = 0 π

2 .

T3 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

math2.indd 48 20/5/2009 08:24:35

49

AulA 6

T3 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T3 (x, y, z)y = x.

A 2× 2 3× 3x

A Ax x,

Ax = λx

λ. λ A xA λ.

Ax x

u =

12

A =

3 08 −1

3 08 −1

12

=

36

= 3u

Au u y = 2x.

TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).

T w = Ax, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

T1 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 −1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T2 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

1 0 00 1 00 0 −1

x1

x2

x3

.

T2

(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T

xy.

(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)

(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.

T1

zsz = 0 π

2 .

T3 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

6 .2 - autovetores e autovalores

z

y

x

(x, y, z)

plano y = x

(x, y, z)

Figura 6.1: A transformação T3

TR3 w = (w1, w2, w3) x = (x1, x2, x3).

T w = Ax, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

T1 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 −1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

T1 (1, 0, 0) (0, 1, 0),(0, 1, 0) (−1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

T2 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

1 0 00 1 00 0 −1

x1

x2

x3

.

T2

(1, 0, 0) (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 1, 0)(0, 0, 1) = (0, 0,−1). T

xy.

(x1, x2, x3) (−1, 0, 0) (1,−1, 0) (0, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 0, 3) (1, 0, 0)(w1, w2, w3)

(w1, w2, w3)(x1, x2, x3) T1 T2.

T1

zsz = 0 π

2 .

T3 : R3 −→ R3


w1

w2

w3

=

0 1 01 0 00 0 1

x1

x2

x3

.

math2.indd 49 20/5/2009 08:24:38

50


A, 2 × 2,3 × 3 Ax = λx

Ax − λIx = 0 I(A − λI)x = 0.

x = (x1, x2) x = (x1, x2, x3)A − λI.

Det(A − λI) = 0.λ,

A,

A =

1 42 3

.

ADet(A−λI) = 0.

A− λI =

1 42 3

−

λ 00 λ

=

1− λ 4

2 3− λ

.

Det(A−λI) = 0 (1−λ)(3−λ)−8 = 0λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0.

λ = 5 λ = −1.

λ = 5λ = 5 (A− λI)x = 0

1− 5 4

2 3− 5

x1

x2

=

00

−4x1 + 4x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0. x1 = x2

(1, 1).

λ = −1λ = −1 (A− λI)x = 0

1 + 1 4

2 3 + 1

x1

x2

=

00

2x1 + 4x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0.x1 = −2x2

(−2, 1), (2,−1).

(a, a), y = x5.

x = (a, a)Ax = 5x u = −2v u, v

x ∈ R Ax = −1x.

A

A =

0 1 00 0 14 −17 8

.

Det(A−λI) = 0.

A−λI =

0 1 00 0 14 −17 8

−

λ 0 00 λ 00 0 λ

=

−λ 1 00 −λ 14 −17 8− λ

.

Det(A− λI) = 0

λ3 − 8λ2 + 17λ− 4 = 0

±1,±2,±4. 4λ − 4 λ2 − 4λ + 1, 2 ±

√3.

A

λ1 = 4, λ2 = 2 +√

3, λ3 = 2−√

3

math2.indd 50 20/5/2009 08:24:40

51

AulA 6

A, 2 × 2,3 × 3 Ax = λx

Ax − λIx = 0 I(A − λI)x = 0.

x = (x1, x2) x = (x1, x2, x3)A − λI.

Det(A − λI) = 0.λ,

A,

A =

1 42 3

.

ADet(A−λI) = 0.

A− λI =

1 42 3

−

λ 00 λ

=

1− λ 4

2 3− λ

.

Det(A−λI) = 0 (1−λ)(3−λ)−8 = 0λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0.

λ = 5 λ = −1.

λ = 5λ = 5 (A− λI)x = 0

1− 5 4

2 3− 5

x1

x2

=

00

−4x1 + 4x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0. x1 = x2

(1, 1).

λ = −1λ = −1 (A− λI)x = 0

1 + 1 4

2 3 + 1

x1

x2

=

00

2x1 + 4x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0.x1 = −2x2

(−2, 1), (2,−1).

(a, a), y = x5.

x = (a, a)Ax = 5x u = −2v u, v

x ∈ R Ax = −1x.

A

A =

0 1 00 0 14 −17 8

.

Det(A−λI) = 0.

A−λI =

0 1 00 0 14 −17 8

−

λ 0 00 λ 00 0 λ

=

−λ 1 00 −λ 14 −17 8− λ

.

Det(A− λI) = 0

λ3 − 8λ2 + 17λ− 4 = 0

±1,±2,±4. 4λ − 4 λ2 − 4λ + 1, 2 ±

√3.

A

λ1 = 4, λ2 = 2 +√

3, λ3 = 2−√

3

math2.indd 51 20/5/2009 08:24:41

52


A

λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0

−4 1 00 −4 14 −17 4

x1

x2

x3

=

00

.

1.

R2 R3

T A.A

A,A A.

A, n×n,P P−1AP P−1

P P A.

2× 2

2 × 2

A 2 × 2

A

A

A, 2 × 2,

A, 2 × 2.

A, x1

x2.

P, 2× 2, x1, x2

P−1APλ1, λ2 λi xi.

A =

1 42 3

.

A : λ = 5 λ = −1(1, 1) (2,−1). P

P =

1 21 −1

.

P.

P−1 =

13

23

13 −1

3

.

P−1AP

13

23

13 −1

3

1 42 3

1 21 −1

=

5 00 −1

A, 2 × 2.

A =

1 10 1

.

A

Det(A− λI) = 0.

A− λI =

1− λ 10 1− λ

.

Det(A− λI) = 0 (1− λ)2 = 0λ = 1, (A − λI)x = 0λ = 1

1− 1 1

0 1− 1

x1

x2

=

00

.

x2 = 0.1 (x1, 0) y = 0

A

6 .3 - diagonalização de matrizes

A

λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0

−4 1 00 −4 14 −17 4

x1

x2

x3

=

00

.

1.

R2 R3

T A.A

A,A A.


P P A.

2× 2

2 × 2

A 2 × 2

A

A

A, 2 × 2,

A, 2 × 2.

A, x1

x2.

6.3.1 - Matrizes 2 X 2

math2.indd 52 20/5/2009 08:24:44

53

AulA 6

A

λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0

−4 1 00 −4 14 −17 4

x1

x2

x3

=

00

.

1.

R2 R3

T A.A

A,A A.


P P A.

2× 2

2 × 2

A 2 × 2

A

A

A, 2 × 2,

A, 2 × 2.

A, x1

x2.

P, 2× 2, x1, x2

P−1APλ1, λ2 λi xi.

A =

1 42 3

.

A : λ = 5 λ = −1(1, 1) (2,−1). P

P =

1 21 −1

.

P.

P−1 =

13

23

13 −1

3

.

P−1AP

13

23

13 −1

3

1 42 3

1 21 −1

=

5 00 −1

A, 2 × 2.

A =

1 10 1

.

A

Det(A− λI) = 0.

A− λI =

1− λ 10 1− λ

.

Det(A− λI) = 0 (1− λ)2 = 0λ = 1, (A − λI)x = 0λ = 1

1− 1 1

0 1− 1

x1

x2

=

00

.

x2 = 0.1 (x1, 0) y = 0

A

A

λ1 = 4λ1 = 4 (A− λI)x = 0

−4 1 00 −4 14 −17 4

x1

x2

x3

=

00

.

1.

R2 R3

T A.A

A,A A.


P P A.

2× 2

2 × 2

A 2 × 2

A

A

A, 2 × 2,

A, 2 × 2.

A, x1

x2.

math2.indd 53 20/5/2009 08:24:46

54


n×n

A, n× n At = A.

P, n × n AtA = In.P P−1 = P t.

R3

A, 3 × 3, Rn

A?

A, 3×3, PP−1AP = P tAP

A

A 3× 3.

A

A 3

A

A, 3×3

R3.

A

A

A

u1, v1, w1 P A

P =�

u1 v1 w1

P

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

A.Det(A− λI) = 0.

A−λI =

4 2 22 4 22 2 4

−

λ 0 00 λ 00 0 λ

=

4− λ 2 22 4− λ 22 2 4− λ

.

Det(A−λI) = 0 (λ− 2)2(λ− 8) = 0.λ1 = 2 λ2 = 8.

R3

A. 0 λ2 = 8,

(A− λ2I)x =

−4 2 22 −4 22 2 −4

xyz

= 0.

−4x + 2y + 2z = 02x− 4y + 2z = 02x + 2y − 4z = 0

y = z x = z,R3

(t, t, t), u = (1, 1, 1).u1 = ( 1√

3, 1√

3, 1√

3).

0 λ1 = 2,

(A− λ1I)X =

2 2 22 2 22 2 2

xyz

= 0.

6.3.2 - Matrizes simétricas

math2.indd 54 20/5/2009 08:24:48

55

AulA 6

n×n

A, n× n At = A.

P, n × n AtA = In.P P−1 = P t.

R3

A, 3 × 3, Rn

A?

A, 3×3, PP−1AP = P tAP

A

A 3× 3.

A

A 3

A

A, 3×3

R3.

A

A

A

u1, v1, w1 P A

P =�

u1 v1 w1

P

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

A.Det(A− λI) = 0.

A−λI =

4 2 22 4 22 2 4

−

λ 0 00 λ 00 0 λ

=

4− λ 2 22 4− λ 22 2 4− λ

.

Det(A−λI) = 0 (λ− 2)2(λ− 8) = 0.λ1 = 2 λ2 = 8.

R3

A. 0 λ2 = 8,

(A− λ2I)x =

−4 2 22 −4 22 2 −4

xyz

= 0.

−4x + 2y + 2z = 02x− 4y + 2z = 02x + 2y − 4z = 0

y = z x = z,R3

(t, t, t), u = (1, 1, 1).u1 = ( 1√

3, 1√

3, 1√

3).

0 λ1 = 2,

(A− λ1I)X =

2 2 22 2 22 2 2

xyz

= 0.

math2.indd 55 20/5/2009 08:24:50

56


2x + 2y +2z = 0,

αλ1 = 2.

v = (−1, 1, 0) w = (−1, 0, 1). v w u,α

u

v w v1 w1

α 1v

w v. c1 = 1v.vv.w = 1

2P = c1v = (−1

2 , 12 , 0). w − P =

(−12 , −1

2 , 1) vv1 v, 1 w1 w

1.

v1 = (− 1√2,

1√2, 0) w1 = (− 1√

6,− 1√

6,

2√6) u1 = (

1√3,

1√3,

1√3)

PA

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

AA

x2 + y2, ax2 + bxy + y2, x3 + y3 x + y

x y

x2 + x, x3 + xy + y3 x + y + y2

ax2 + 2bxy + cy2

a, b c

�x y

a bb c

xy

.

x1, x2, . . . , xn

nn

n

�x1 x2 . . . xn

A

x1

x2

xn

A n× n.

x =

x1

x2

xn

, n

xtAx.

6 .4 - aPlicações à identificação de cônicas Planas

6.4.1 - Formas quadráticas

math2.indd 56 20/5/2009 08:24:52

57

AulA 6

2x + 2y +2z = 0,

αλ1 = 2.

v = (−1, 1, 0) w = (−1, 0, 1). v w u,α

u

v w v1 w1

α 1v

w v. c1 = 1v.vv.w = 1

2P = c1v = (−1

2 , 12 , 0). w − P =

(−12 , −1

2 , 1) vv1 v, 1 w1 w

1.

v1 = (− 1√2,

1√2, 0) w1 = (− 1√

6,− 1√

6,

2√6) u1 = (

1√3,

1√3,

1√3)

PA

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

AA

x2 + y2, ax2 + bxy + y2, x3 + y3 x + y

x y

x2 + x, x3 + xy + y3 x + y + y2

ax2 + 2bxy + cy2

a, b c

�x y

a bb c

xy

.

x1, x2, . . . , xn

nn

n

�x1 x2 . . . xn

A

x1

x2

xn

A n× n.

x =

x1

x2

xn

, n

xtAx.

math2.indd 57 20/5/2009 08:24:53

58


xtAx n x1,x2, . . . , xn A

P A, x = Py, y =

y1

y2

yn

xtAx =

ytDy = λ1y21 + · · ·+ λny

2n λ1, . . . , λn A

D = P tAP =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

0 0 · · · λn

.

x21 − x2

3 − 4x1x2 + 4x2x3

�x1 x2 x3

1 −2 0−2 0 20 2 −1

x1

x2

x3

.

λ− 1 2 0

2 λ −20 −2 λ + 1

= λ3 − 9λ = λ(λ + 3)(λ− 3).

λ = 0, λ = −3, λ = 3.

λ = 0 :

231323

;λ = −3 :

−1

3−2

323

;λ = 3 :

−2

32313

;

x = Py

x1

x2

x3

=

23 −1

3 −23

13 −2

323

23

23

13

y1

y2

y3

,

x1 =23y1 −

13y2 −

23y3

x2 =13y1 −

23y2 +

23y3

x3 =23y1 +

23y2 +

13y3

�y1 y2 y3

0 0 00 −3 00 0 3

y1

y2

y3

,

−3y22 + 3y2

3.

xy.

xy

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

x2

a2+

y2

b2= 1

x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 4cx

x2 = 4cy

b

x2 − y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

x− y = 0 x + y = 0.x = y x = −y.

math2.indd 58 20/5/2009 08:24:54

59

AulA 6

xtAx n x1,x2, . . . , xn A

P A, x = Py, y =

y1

y2

yn

xtAx =

ytDy = λ1y21 + · · ·+ λny

2n λ1, . . . , λn A

D = P tAP =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

0 0 · · · λn

.

x21 − x2

3 − 4x1x2 + 4x2x3

�x1 x2 x3

1 −2 0−2 0 20 2 −1

x1

x2

x3

.

λ− 1 2 0

2 λ −20 −2 λ + 1

= λ3 − 9λ = λ(λ + 3)(λ− 3).

λ = 0, λ = −3, λ = 3.

λ = 0 :

231323

;λ = −3 :

−1

3−2

323

;λ = 3 :

−2

32313

;

x = Py

x1

x2

x3

=

23 −1

3 −23

13 −2

323

23

23

13

y1

y2

y3

,

x1 =23y1 −

13y2 −

23y3

x2 =13y1 −

23y2 +

23y3

x3 =23y1 +

23y2 +

13y3

�y1 y2 y3

0 0 00 −3 00 0 3

y1

y2

y3

,

−3y22 + 3y2

3.

xy.

xy

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

x2

a2+

y2

b2= 1

x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 4cx

x2 = 4cy

b

x2 − y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

x− y = 0 x + y = 0.x = y x = −y.

6.4.2 - Retomando o estudo das cônicas

math2.indd 59 20/5/2009 08:24:56

60


x2

x = 0,

x2 + y2 = 0(0, 0).

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,

5x2− 4xy + 8y2− 36 = 0.

5x2 − 4xy +8y2,

�x y

5 −2−2 8

xy

.

A =

5 −2−2 8

,

λ = 4 λ = 9.

λ = 4 : V1 =

2√5

1√5

; λ = 9 : V2 =

− 1√

52√5

.

A

xy

=

2√5− 1√

51√5

2√5

x

y

.

x y x2

9 + y2

4 = 1,

5x2 − 4xy + 8y2 +20√

5x− 80√

5y + 4 = 0.

5x2− 4xy +8y2.

X =

xy

:

XtAX + KX + 4 = 0,

A =

5 −2−2 8

, K =

20√5− 80√

5

.

−4xy

xy

=

2√5− 1√

51√5

2√5

x

y

,

A.

4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0

math2.indd 60 20/5/2009 08:24:58

61

AulA 6

x2

x = 0,

x2 + y2 = 0(0, 0).

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,

5x2− 4xy + 8y2− 36 = 0.

5x2 − 4xy +8y2,

�x y

5 −2−2 8

xy

.

A =

5 −2−2 8

,

λ = 4 λ = 9.

λ = 4 : V1 =

2√5

1√5

; λ = 9 : V2 =

− 1√

52√5

.

A

xy

=

2√5− 1√

51√5

2√5

x

y

.

x y x2

9 + y2

4 = 1,

5x2 − 4xy + 8y2 +20√

5x− 80√

5y + 4 = 0.

5x2− 4xy +8y2.

X =

xy

:

XtAX + KX + 4 = 0,

A =

5 −2−2 8

, K =

20√

5− 80√

5

.

−4xy

xy

=

2√5− 1√

51√5

2√5

x

y

,

A.

4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0

y

v2 v1

x

y’

(3, 0)

(0, 2) (0, 2)

x’

Figura 6.1: Encontrando uma cônica padrão por rotação de eixos

math2.indd 61 20/5/2009 08:25:00

62


4(x2−2x)+9(y2−4y)+4 = 4(x2−2x+1)+9(y2−4y+4)+4−4−36 = 0

4(x−1)2+9(y−2)2 = 36 x = x−1 y = y−2

x2

9+

y2

4= 1,

ax2 + 2bxy + cy2 + dy2 + ey + f = 0

A

λ1x2 + λ2y

2 + dx + ey + f = 0

x2 + y2 + 1 = 0.

math2.indd 62 20/5/2009 08:25:01

63

AP, P−1AP

A =

2 21 3

A =

4 23 3

A =

5 −11 3

A

A =

1 −3 33 −5 36 −6 4

A =

−3 1 −1−7 5 −1−6 6 2

2x2 + 2y2 − 2xy

2xy

−3x2 + 5y2 + 2xy

2x2 + 5y2 = 20

9x2 + 4y2 − 36x− 24y + 36 = 0

x2 + y2 + 5 = 0

2x2 − 4xy − y2 + 8 = 0

x2 + 2xy

2x2 − 4xy − y2 − 4x− 8y = −14

x2 − 2xy + y2 = 0

6 .5 - exercícios

AulA 6

4(x2−2x)+9(y2−4y)+4 = 4(x2−2x+1)+9(y2−4y+4)+4−4−36 = 0

4(x−1)2+9(y−2)2 = 36 x = x−1 y = y−2

x2

9+

y2

4= 1,

ax2 + 2bxy + cy2 + dy2 + ey + f = 0

A

λ1x2 + λ2y

2 + dx + ey + f = 0

x2 + y2 + 1 = 0.

math2.indd 63 20/5/2009 08:25:02

z = x2 + y2

x = 0 z = y2, zy.

y = 0 z = x2, zx.

z = 0 x2 + y2 = 0x = y = z = 0.

math2.indd 64 20/5/2009 08:25:03

AULA 7

estudos das superfícies

objetivos Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de:

Fazer o esboço de superfícies simples considerando as curvas de interseção 1. delas com os planos coordenados. Conhecer as superfícies cilíndricas obtidas a partir de uma curva diretriz 2. plana.Reconhecer as quádricas padrão. 3. Identificar uma quádrica dada a sua equação.4.

7 .1 - como esboçar suPerfícies

z = x2 + y2

x = 0 z = y2, zy.

y = 0 z = x2, zx.

z = 0 x2 + y2 = 0x = y = z = 0.

math2.indd 65 20/5/2009 08:25:03

66


��

z

y

x

z = x2 + y2

z = c,

x2 + y2 = (√

c)2.

z = x2 y = 0zs.

z2 = x2 + y2

x = 0 z2 = y2, z = ±yzy.

y = 0 z2 = x2,zx.

z = 0 x2 +y2 = 0x = y = z = 0.

z =c,x2 + y2 = c2.

z = x y = 0, zs.

��

z

y

x

z2 = x2 + y2

x2 + y2 = 1

xy

z. z = 0z = 1,z = 1. z,

CC xy.

z

y

x

x2+y2=1

z=1

circunferência

Figura 7.1: O paraboloide dado por z = x2 + y2

Exemplo 7.2 Situação diversa acontece quando consideramos a equação

math2.indd 66 20/5/2009 08:25:05

67

AulA 7

��

z

y

x

z = x2 + y2

z = c,

x2 + y2 = (√

c)2.

z = x2 y = 0zs.

z2 = x2 + y2

x = 0 z2 = y2, z = ±yzy.

y = 0 z2 = x2,zx.

z = 0 x2 +y2 = 0x = y = z = 0.

z =c,x2 + y2 = c2.

z = x y = 0, zs.

��

z

y

x

z2 = x2 + y2

x2 + y2 = 1

xy

z. z = 0z = 1,z = 1. z,

CC xy.

7 .2 - suPerfícies cilíndricas

z

y

x

Figura 7.2: O cone dado por z2 = x2 + y2

math2.indd 67 20/5/2009 08:25:07

68


��

z

y

x

x2 + y2 = 1

xyz.

z =x2

l2+

y2

m2

z =x2

9+

y2

4

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 0

��

z

y

x

z = x2

9 + y2

4

xyz = 1,

x2

9+

y2

4= 1

3 2.

y = 0 xzz = x2

9 .

x = 0 yz

z = y2

4 .

xy

z = x2

16 + y2

9

x2

l2+

y2

m2+

z2

n2= 1

7 .3 - as suPerfícies quádricas Padrão

7.3.1 - O paraboloide elíptico

z

y

x

Figura 7.3: O cilindro dado por x2 + y2 = 1

:

math2.indd 68 20/5/2009 08:25:08

69

AulA 7

��

z

y

x

x2 + y2 = 1

xyz.

z =x2

l2+

y2

m2

z =x2

9+

y2

4

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 0

��

z

y

x

z = x2

9 + y2

4

xyz = 1,

x2

9+

y2

4= 1

3 2.

y = 0 xzz = x2

9 .

x = 0 yz

z = y2

4 .

xy

z = x2

16 + y2

9

x2

l2+

y2

m2+

z2

n2= 1

7.3.2 - O elipsoide

z

y

x

9 4

z=1

Elipse

Figura 7.4: O paraboloide dado por z = x2 y2 9 4

+

math2.indd 69 20/5/2009 08:25:10

70


��

z

y

x

x2

9 + y2

4 + z2

1 = 1

x2

9+

y2

4+

z2

1= 1.

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz3 1.

x = 0 yz2 1

xy

zx zy y > 2x > 3

x2

16 + y2

9 + z2

4 = 1

z2 =x2

l2+

y2

m2.

z2 = 4x2 + 9y2

x = 0 z2 = 9y2, z = ±3yzy.

y = 0 z2 = 4x2,zx.

z = 0 4x2 + 9y2 = 0x = y = z = 0.

z =c, 4x2 +9y2 =c2,

x2

( c2)2

+y2

( c3)2

= 1,

|c|

z2 = 16x2 + 25y2

x2

l2+

y2

m2− z2

n2= 1

z

y

x

Elipses

Figura 7.5: O elipsoide dado por x2 y2 z2

9 4 1+ – =1

:

math2.indd 70 20/5/2009 08:25:12

71

AulA 7

��

z

y

x

x2

9 + y2

4 + z2

1 = 1

x2

9+

y2

4+

z2

1= 1.

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz3 1.

x = 0 yz2 1

xy

zx zy y > 2x > 3

x2

16 + y2

9 + z2

4 = 1

z2 =x2

l2+

y2

m2.

z2 = 4x2 + 9y2

x = 0 z2 = 9y2, z = ±3yzy.

y = 0 z2 = 4x2,zx.

z = 0 4x2 + 9y2 = 0x = y = z = 0.

z =c, 4x2 +9y2 =c2,

x2

( c2)2

+y2

( c3)2

= 1,

|c|

z2 = 16x2 + 25y2

x2

l2+

y2

m2− z2

n2= 1

7.3.3 - O cone elíptico

7.3.4 - O hiperboloide de uma folha

math2.indd 71 20/5/2009 08:25:14

72


��

z

y

x

z2 = 4x2 + 9y2

x2

9+

y2

4− z2

1= 1

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz

x2

9− z2

1= 1,

3 1.

x = 0 yz

y2

4− z2

1= 1,

2 1.

xy, z = c,|c|.

��

z

y

x

x2

9 + y2

4 −z2

1 = 1

x2

16 + y2

9 −z2

4 = 1

x2

l2− y2

m2− z2

n2= 1

x2

9− y2

4− z2

1= 1

z = 0 xy

x2

9− y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz

x2

9− z2

1= 1,

3 1.

z

y

x

Figura 7.6: O cone elíptico dado por z2=4x2+9y2

:

math2.indd 72 20/5/2009 08:25:15

73

AulA 7

��

z

y

x

z2 = 4x2 + 9y2

x2

9+

y2

4− z2

1= 1

z = 0 xy :

x2

9+

y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz

x2

9− z2

1= 1,

3 1.

x = 0 yz

y2

4− z2

1= 1,

2 1.

xy, z = c,|c|.

��

z

y

x

x2

9 + y2

4 −z2

1 = 1

x2

16 + y2

9 −z2

4 = 1

x2

l2− y2

m2− z2

n2= 1

x2

9− y2

4− z2

1= 1

z = 0 xy

x2

9− y2

4= 1,

3 2.

y = 0 xz

x2

9− z2

1= 1,

3 1.

z

y

x

Figura 7.7: O hiperboloide de uma folha dado porx2 y2 z2

9 4 1+ – =1

7.3.5 - O hiperboloide de duas folhas

:

math2.indd 73 20/5/2009 08:25:16

74


��

z

y

x

x2

9 −y2

4 −z2

1 = 1

x = 0 yz

−y2

4− z2

1= 1

x = c, |c| > 3,

c2

9− y2

4− z2

1= 1,

y2

4+

z2

1= −1 +

c2

9|c| > 3,

x = c|c|

x2

16 −y2

9 −z2

4 = 1

z =x2

l2− y2

m2

��

z

y

x

z = y2 − x2

z = x2 − y2

z = 0 xy :

x2 = y2,

x = ±y.

y = 0 xz

z = x2,

x = 0 yz

z = −y2,

xy, z = c,ys c xs

c

z = xy

z

y

x

Figura 7.8: O hiperboloide de duas folha dado porx2 y2 z2

9 4 1+ – =1

7.3.6 - O paraboloide hiperbólico

math2.indd 74 20/5/2009 08:25:18

75

AulA 7

��

z

y

x

x2

9 −y2

4 −z2

1 = 1

x = 0 yz

−y2

4− z2

1= 1

x = c, |c| > 3,

c2

9− y2

4− z2

1= 1,

y2

4+

z2

1= −1 +

c2

9|c| > 3,

x = c|c|

x2

16 −y2

9 −z2

4 = 1

z =x2

l2− y2

m2

��

z

y

x

z = y2 − x2

z = x2 − y2

z = 0 xy :

x2 = y2,

x = ±y.

y = 0 xz

z = x2,

x = 0 yz

z = −y2,

xy, z = c,ys c xs

c

z = xy

z

y

x

Figura 7.9: O paraboloide hiperbólico dado por z = y2 – x2

:

:

math2.indd 75 20/5/2009 08:25:19

76


xyz

ax2 + bxy + cxz + dy2 + eyz + fz2 + gx + hy + iz + j = 0

z = xy, i = 1, b = −1

z2 − y2 − x2 − 2xy − 2z + 1 = 0

z2−zx+zx−zy+zy−z−z−x2−xy−xy−x+x−y2−y+y+1 = 0,

(z + x + y − 1)(z − x− y − 1) = 0

z+x+y−1 = 0z − x − y − 1 = 0

x2−y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

x− y = 0 x + y = 0.x = y

x = −y.

��

z

y

x

z2−y2−x2−2xy−2z+1 = 0

x2

x = 0,

x2 + y2 + z2 = 0(0, 0, 0).

x2 + y2 = 0x = 0 y = 0.

x = 0 y = 0, zs.

b, c, e


ax2 + bxy + cxz +dy2 + eyz + fz2

7 .4 - as suPerfícies quádricas mais gerais

7.4.1 - Quádricas degeneradas

math2.indd 76 20/5/2009 08:25:21

77

AulA 7

xyz


z = xy, i = 1, b = −1

z2 − y2 − x2 − 2xy − 2z + 1 = 0

z2−zx+zx−zy+zy−z−z−x2−xy−xy−x+x−y2−y+y+1 = 0,

(z + x + y − 1)(z − x− y − 1) = 0

z+x+y−1 = 0z − x − y − 1 = 0

x2−y2 = 0(x − y)(x + y) = 0.

x− y = 0 x + y = 0.x = y

x = −y.

��

z

y

x

z2−y2−x2−2xy−2z+1 = 0

x2

x = 0,

x2 + y2 + z2 = 0(0, 0, 0).

x2 + y2 = 0x = 0 y = 0.

x = 0 y = 0, zs.

b, c, e


ax2 + bxy + cxz +dy2 + eyz + fz2

z

z–x–y=1

z+x+y=1(0, -1, 0)

(1, 0, 0)

(-1, 0, 0)

(0, 0, 1)

(0, 1, 0)y

x

Figura 7.10: O par de planos dado por z2 – y2 – x2 – 2xy –2z + 1 = 0

math2.indd 77 20/5/2009 08:25:23

78


4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX

(PX )tA(PX)− 8 = X t(P tAP )X − 8 = X tDX − 8 = 0,

D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875

4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900

(x− 2)2

152+

(y − 3)2

302− z2

102= 1.

x = x− 2 y = y − 3 z = z

(x)2

152+

y2

302− z2

102= 1,


A

λ1x2 + λ2y

2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875

4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900

(x− 2)2

152+

(y − 3)2

302− z2

102= 1.

x = x− 2 y = y − 3 z = z

(x)2

152+

y2

302− z2

102= 1,


A

λ1x2 + λ2y

2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0

math2.indd 78 20/5/2009 08:25:27

79

AulA 7

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875

4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900

(x− 2)2

152+

(y − 3)2

302− z2

102= 1.

x = x− 2 y = y − 3 z = z

(x)2

152+

y2

302− z2

102= 1,


A

λ1x2 + λ2y

2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

4x2 +4xy+4xz+4y2+4yz+4z2−8 = 0.

4x2 + 4xy + 4xz + 4y2 + 4yz + 4z2,

�x y z

4 2 22 4 22 2 4

xyz

.

A =

4 2 22 4 22 2 4

.

λ1 = 2 λ2 = 8.

P A

P =

−1√2

−1√6

1√3

1√2

−1√6

1√3

0 2√6

1√3

,

λ1 = 2λ2 = 8.

XtAX − 8 = 0.

X = PX


D

D =

2 0 00 2 00 0 8

.

x, y z x2

22 + y2

22 +z2

12 = 1,

-

4x2 + y2 − 9z2 − 16x− 6y = 875

4(x2 − 4x + 4) + (y2 − 6y + 9)− 9z2 = 16 + 9 + 875 = 900

(x− 2)2

152+

(y − 3)2

302− z2

102= 1.

x = x− 2 y = y − 3 z = z

(x)2

152+

y2

302− z2

102= 1,


A

λ1x2 + λ2y

2 + λ3z2 + dx + ey + f z + g = 0

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80


7 .5 - exercícios

x2

1 + y2

4 + z2

9 = 1.

z2 = x2

1 + y2

4 .

x2

4 −y2

9 + z2

1 = 1.

z2

9 −x2

16 −y2

4 = 1.

xyz

2x2 + 5y2 + 4z2 = 20

9x2 + 4y2 − 36x− 24y + z2 + 36 = 0

x2 + y2 + z2 + 5 = 0

2x2 + z2 − y2 + 8 = 0

x2 + 2xy = 0

2x2 − y2 − 4x− 8y + z2 = 0

x2 − 2xy + y2 = 0

xtAx+Kx+j = 0, A 3× 3 K 1× 3 :

x2 + 2y2 − 3z2 + 4xy + 6xz − 2yz + x− y + z = 3

4x2 − 2y2 + 6z2 − 4xy − 6xz + 4yz + 2x− 3y + 2z = 6

6x2 − y2 + 8z2 + 4xy + 6xz − 8yz + x + y − z = 5

x = Px

2x2 + 3y2 + 23z2 + 72xz + 150 = 0.

2xy − 6x + 10y + z − 31 = 0

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referências bibliográficas

[1] ANTON, Howard; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1994.

[2] AVRITZER, Dan. Elementos de geometria analítica: uma visão geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2006.

[3] LANG, Serge. Linear Algebra. Reading: Addison-Wesley, 1971.

[4] LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1971.

[5] SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2003.

math2.indd 81 20/5/2009 08:25:33

A presente edição foi composta pela Editora UFMG, em caracteres Chaparral Pro e Optma Std, e impressa pela Didatica Editora do Brasil, em sistema offset 90g e cartão supremo 250g, em maio 2009.

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geometria analítica e álgebra linear: uma visão geométricafiles.professor-benfica.webnode.com/200000015-c2211c414c/Geometria... · 5.2 Geometria das transformações lineares