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CAPITULO VII CALCULO II
GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO Es el estudio de las formas
geomtricas en un sistema ordenado. Un sistema de ejes coordenados
en el espacio, dividen al espacio en ocho octangulos. Los ejes
X,Y,Z determinan tres planos, donde los vectores son denominados
puntos P1, P2...Pn. 7.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL
ESPACIO Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, esta
conformado por la asociacin de puntos del espacio, con ternas
ordenadas de nmeros reales, donde la terna est referida a tres
rectas reales perpendicularmente dispuestas.
Estas rectas se llaman ejes coordenados, se interceptan en un
plano llamado origen. Los ejes X; Y; Z; determinan a su vez tres
planos llamados planos coordenados YZ; ZX; XY;. 7.2. DISTANCIA
ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos P1 y P2 se calcula
usando la siguiente frmula:
d( P1, P2) = |P1 - P2|
Por ejemplo:
d(4, -6) = |4 - (-6)| = 10
Pero para hallar la distancia entre dos puntos, mediante sus
coordenadas P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2), utilizamos la siguiente
frmula de distancia:
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D =
7.3 LA RECTA La recta en el espacio es un lugar geomtrico de
puntos, que satisfacen a dos ecuaciones lineales, con tres
variables de la forma:
Donde: A1,A2;B1, B2; C1, C2; D1, D2 son constantes. 7.3.1
ECUACIONES DE LA RECTA
La ecuacin vectorial de es
1. Despejando obtenemos las ecuaciones parmetricas de
P1P = t P1P2 0P = 0P1 + P1P 0P = 0P1 + t P1P2
X
Y
Z
Recta con b=0, c=0
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2. Si cada , despejando obtenemos las ecuaciones cartesiana
de
3. Si cada , despejando obtenemos la ecuacin de dos puntos
de
7.3.2 PROPIEDADES
1. si y slo si
2. si y slo si
3. El ngulo entre y es igual al ngulo entre y
7.4 EL PLANO
El plano en el espacio se define como el lugar geomtrico de
puntos que satisfacen la
ecuacin:
Donde:
A,B,C,D son constantes.
Donde: Po: es un punto conocido a: es su direccin t: es un
parmetro
Ax + By + Cz + D = 0
Sea Po=(xo,yo,zo) un punto conocido perteneciente al plano y n
un vector dado, normal; n= (a, b, c) Sea P=(x,y,z) un punto genrico
del plano
Po (xo, yo, zo)
P (x, y, z)
n
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7.4.1 ECUACIN VECTORIAL
Representado por:
Donde: P, P0 pertenecen al plano; N es su vector normal.
Ejemplo: Determinar la ecuacin del plano que contiene al punto
P0=(2,-3,5) y un vector direccional N = (4,3,-2)
7.4.2 ECUACIN PUNTO NORMAL.
Donde: N = (ABC); P(x,y,z); Po=( x0 ,y0 ,z0)
Ejemplo: Determinar la ecuacin del plano II que pasa por el
punto P0=(3,6,9) donde N = (3,-2,8)
7.4.3 ECUACIN REDUCIDA
(P - P0) o N = 0
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
x + y + z = 1=0 a b c
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Donde: a,b,c son las intersecciones con los ejes : X,Y,Z
Ejemplo: El plano II intercepta a los ejes coordenados: X;Y;Z en
2,5,6; respectivamente utilizamos la ecuacin reducida.
7.4.4 ECUACIN DE TRES PUNTOS.
Donde: P,P1,P2 pertenecen al plano.
Ejemplo: Hallar la ecuacin del plano que contiene a los puntos:
P1=(1,2,5), P2=(2,4,3), P3=(4,7,6).
7.4.5 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.
La distancia de un punto Pe a un plano, de normal N que pasa por
el punto Pe se determina por:
Ejemplo: Dado el punto: Pe(2,6,9) y el plano II: x+2y+2z-8=0;
determinando el punto Pe del plano en ecuacin. Si: x=0; y=0;
reemplazar estos valores en la ecuacin del plano y despejar z .
7.5 CUDRICAS
Definicin: Una cudrica es el lugar geomtrico de los puntos del
espacio (x,y,z) que verifican una ecuacin de segundo grado del
tipo
(P P0) o [(P2 - P1) x (P2 - P1) ] = 0
D = (Pe P0) o N
N
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7.5.1 ELIPSOIDE
1. Interseccin a los ejes: x + a, y + b, z + c 2. Simtrico: f
(x, y, z) = f ( x, y, z) 3. La interseccin con los planos de los
ejes son elipses 4. La interseccin de un plano paralelo al de los
ejes determina una elipse dos
puntos (elipse degenerada) 5. En caso que a = b (para valores de
z menores de c) elipsoide de revolucin. 6. En caso que a = b = c
Superficie esfrica de radio a: xx22 ++ yy22 ++ zz22 == aa2
7.5.2 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
7.5.3 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:
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1. Intercepta nicamente al eje x + a 2. Simtrico respecto a los
planos, a los ejes y el centro de coordenadas. 3. La interseccin
con los planos xy, xz son hiprbolas 4. La interseccin de un plano
paralelo al de los planos xy, xz son hiprbolas. 5. La interseccin
con el plano zy (a lo largo de x) determina elipses para
valores
mayores que a y menores que a. Dos puntos al ser iguales que a
a. Para valores menores, no hay interseccin.
6. En caso que a = b, b = c c = a , respectivamente, los
hiperboloides se denominan de revolucin.
