La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

•Foco Es el punto fijo F.

•Directriz Es la recta fija d.

•Parámetro: la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

•Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

•Vértice Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

•Radio vector Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

•Cuerda: Distancia entre dos puntos de la parábola sin pasar por el foco

•Diametro:El segmento entre dos puntos de la parábola pero pasando pro el foca

Una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola.

X

B

V

PF

directriz

Foco

qp

YD

nm

La distancia del vértice V al foco F se denota con p, esto es ,,d V F p

V

PF

D

p

p

A B

y es igual que la distancia del vértice V a la directriz , o sea:

, ,d V F d V pL

La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco, se llama lado recto de la parábola.

AB es lado recto de la parábola.

Longitud del lado recto de una parábola

La longitud PQ del lado recto de la parábola adjunta, se calcula como sigue:

V

F

D

p

p

S R

P Q

2PQ PF FQ PF

Pero: 2PF PS p

Entonces: 4PQ p

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,0,F p ,P x y.y p

, ,d P F d P L

2 2

2 20

0 1

y px y p

22x y p y p

2 22x y p y p

2 4x py

X²=4py (si la parábola se habré para arriba)x²=-4py(si la parábola se habré para abajo)

O

F(0,p)

Q

p

px

y

y = p

,P x y

Dada la parábola X²=8Y calcular su vértice, su foco y la recta directriz.x²=8y

x²=4py

4p=8

P=2

V(0,0)

F(0,P)

F(0,2)

Y=-2

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

, ,F h k p.y k p ,P x y

, ,V h k

, ,d P F d P L

2 2

2 20 1

y k px h y k p

2 2x h y k p y k p

2 2 2x h y k p y k p

24x h p y k

0

Qpx

,F h k p ,P x y

p

y

h

k

y = k - p

(x-h)²=4p(y-k) (si la parábola se habré para arriba)(x-h)²=-4p(y-k) (si la parábola se habré para abajo)

Dada la parábola (x-3)²=8(y-2), calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

(x-3)²=8(y-2),

(x-h)²=4p(y-k)

h=3,k=2

V(3;2)

4p=8

P=2

F( h, k+p)

F(3;4)

Y=k-p

Y=0

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

0 ,,F p ,P x y.x p

, ,d P F d P L

2 2

2 21 0

x px p y

2 2x p y x p

2 22x p y x p

2 4y px

O

F(p,0)

Q

p px

yx

= p

,P x y

Dada la parábola 6y²=12x calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

y²=2x

y²=4px

4p=2

P=1/2

V(0,0)

F(p,0)

F(1/2,0)

X=-1/2

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,,F h p k.x h p ,P x y

, ,V h k

, ,d P d P FL

2 2

2 21 0

x h px h p y k

2 2x h p y k x h p

2 2 2x h p y k x h p

24y k p x h

0

Q

p p

x

,F h p k

,P x y

x = h p

y

h

k

Hallar la ecuación de la parábola con vértice v(1,4) y F(3,4)

Distancia entre VF

P=2

(y-k)²=4p(x-h)

(y-4)²=4(2)(x-1)

y²-8y+16=4x-8

y²-8y-4x+24=0

Ecuación general de la parábola

(y-k)²=4p(x-h)

y²-2yk+k²=4px-4ph=0

y²+Dx+Ey+F (eje el de las X)

(x-h)²=4p(y-k)

x²-2xh+h²=4py-4pk=0

x²+Dx+Ey+F (eje el de las y)

Ejemplo 3

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

2 8 6 7 0y x y

23 8 2y x

2, 3V

0, 3F

La longitud del lado recto es: 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

Ejemplo 1

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

22 4 5 12 0x x y

2 51 2

2x y

1,2V

211,

8F

La longitud del lado recto es:5

2-6 -4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Ecuación de la parábola que pasa por 3 puntos

P1(-2,1) Y²+Dx+Ey+F=0

P2(1,2) (1)²+D(-2)+E(1)+F=0

P3(-1,3) (2)²+D(1)+E(2)+F=0

(3)²+D(-1)+E(3)+F=0

-2D+E+F=-1

D+2E+F=-4

-D+3E+F=-9

Resolvemos el sistema de ecuaciones

F=4

D=2/5

E=-21/5

Remplazamos los valores el la ecuación original

Solución

5y²+2x-21y+20=0