Upload
dotuyen
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Geometria Analítica
Cônicas
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Cônicas
Sejam duas retas 𝑒 e 𝑔 concorrentes em O e não
perpendiculares. Considere 𝑒 fixa e 𝑔 girar 360° em torno
de 𝑒, mantendo constante o ângulo entre estas retas.
Assim, a reta 𝑔 gera uma superfície cônica circular infinita.
A reta 𝑔 é chamada de geratriz e a reta 𝑒 é
chamada de eixo.
Chama-se de cônica o conjunto de pontos que
formam a intersecção de um plano com a superfície cônica.
Quando uma superfície cônica é seccionada por um
plano 𝜋 qualquer que não passa pelo vértice, a cônica será:
Cônicas
Parábola: quando 𝜋 for paralelo a uma geratriz da
superfície.
Cônicas
Elipse: quando 𝜋 não for paralelo a uma geratriz da
superfície e intercepta apenas uma das folhas da superfície.
Caso particular, é uma circunferência, se 𝜋 for
perpendicular ao eixo.
Cônicas
Hipérbole: quando 𝜋 não é paralelo a uma geratriz e
intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve
ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um
em cada folha da superfície.
Cônicas
Circunferência
Animação de Cônicas
http://www.cepazahar.org/recursos/pluginfile.php/2980/mod_resource/content/0/Proy
ectos/coni/las_secciones_conicas.html
Cônicas Degeneradas
Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:
Uma reta:
Cônicas Degeneradas
Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:
Um ponto:
Cônicas Degeneradas
Se 𝜋 passar por O, temos as cônicas degeneradas:
Duas retas:
Cônicas
Aplicação: Parábolas acústicas, são paraboloides
constituídos por duas antenas parabólicas metálicas. São
antenas de mesmo tamanho perfeitamente alinhadas e
dispostas uma em frente a outra numa distância de 20
metros.
Cônicas
O anel metálico num determinado ponto representa o foco
da antena. Quando uma pessoa fala, emitindo o som
próximo ao anel, as ondas sonoras refletidas na superfície
da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao
incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o
foco desta, então uma outra pessoa posicionada nesse
ponto escuta perfeitamente o que foi emitido.
Circunferência
Definição: é o conjunto de todos os pontos de um plano
equidistante de um ponto fixo, denominado centro da
circunferência.
Equação da Circunferência: sendo C(a,b) o centro da
circunferência e P(x,y) um ponto qualquer da circunferência,
a distância de C até P é o raio dessa circunferência, Então:
𝑑 𝐶, 𝑃 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟Ou seja,
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
É chamada equação reduzida da circunferência.
Circunferência
Quando o centro da circunferência estiver na origem C(0,0),
a equação da circunferência será,
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Da equação reduzida, obtemos a equação geral da
circunferência:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
Circunferência
Observações sobre a equação geral:
Os coeficientes dos termos 𝑥2 e 𝑦2 devem ser iguais a 1;
Não deve existir o termo xy;
Para obtermos o centro e o raio de uma circunferência, a
partir da equação geral, basta fatorarmos o trinômio
quadrado perfeito.
Exemplos
Posições relativas – ponto x circunferência
Dada a circunferência 𝜆 de equação 𝜆: 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 =𝑟2 e o ponto P(m,n) temos as seguintes posições relativas:
Posições relativas – ponto x circunferência
Posições relativas – reta x circunferência
Dada a circunferência 𝛼 de equação 𝛼: 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 −
Posições relativas – reta x circunferência
Lembre-se que a distância entre um ponto e uma reta é
dado por:
𝑑 𝐶, 𝑠 =𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
Posições relativas – circunferência x
circunferência
Duas circunferências 𝜆1 𝑂1, 𝑟1 e 𝜆2 𝑂2, 𝑟2), com 𝑟1 > 𝑟2 e
sendo d a distância entre seus centros, prova-se que há
seis possibilidades para 𝜆1 e 𝜆2, conforme,
Posições relativas – circunferência x
circunferência
Esboce o desenho da sexta possibilidade (circunferências
concêntricas).
Exemplos:
Parábola
Considere em um plano, uma reta d e um ponto F não
pertencente a d.
Parábola é o conjunto de pontos do plano que são
equidistantes de F e d.
Parábola
Então, um ponto P qualquer é pertencente a parábola, se e
somente se,
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑑)
Ou de modo equivalente
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑃′
Notações:
F: foco
d: diretriz
e: é a reta que passa por F e é perpendicular a d
V: vértice (interseção da parábola com o eixo)
Parábola – Equação Reduzida
Seja a parábola de vértice V(0,0). Temos dois casos:
Caso 1) Eixo da parábola é o eixo y
P(x,y) é um ponto da parábola, F(0,p/2) o foco e diretriz de
equação y=-p/2.
Parábola – Equação Reduzida
Da definição de parábola temos,
Ou seja,
𝑥2 = 2𝑝𝑦
Que é a equação reduzida da parábola para este caso.
Parábola – Equação Reduzida
Observações:
• 𝑝𝑦 ≥ 0, então
• O gráfico dessa equação reduzida é simétrico em
relação ao eixo y. Logo se (x,y) pertence ao gráfico,
(-x,y) também pertence ao gráfico.
Parábola – Equação Reduzida
Seja a parábola de vértice V(0,0).
Caso 2) Eixo da parábola é o eixo x
P(x,y) é um ponto da parábola, F(p/2,0) o foco e diretriz de
equação x=-p/2.
Parábola – Equação Reduzida
Analogamente ao caso 1, obtemos a equação reduzida:
𝑦2 = 2𝑝𝑥
Parábola – Equação Reduzida
Exemplo)
Parábola
Translação de eixos: podemos considerar um novo sistema
xy, onde os novos eixos x’ e y’ tenham a mesma direção e
sentido dos eixos x e y.
𝑥′ = 𝑥 − ℎ𝑦′ = 𝑦 − 𝑘
Observe que O’(h,k).
Equação da Parábola
Seja uma parábola de vértice V(h,k)≠ 0,0 , temos dois
casos:
Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y
Equação da Parábola
Com origem no ponto V e baseado no plano x’y’, V=O’. Ou
seja, o vértice V é a origem do plano x’y’. Assim,
𝑥′2= 2𝑝𝑦′
Mas da translação de eixos, temos:
𝑥 − ℎ 2 = 2𝑝 𝑦 − 𝑘)
Que é a equação da parábola para o vértice diferente da
origem.
Equação da Parábola
Seja uma parábola de vértice V(h,k)≠ 0,0 , temos dois
casos:
Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x
De modo análogo temos
𝑦 − 𝑘 2 = 2𝑝 𝑥 − ℎ)
Equação Geral da Parábola
Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:
𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 − 2𝑝𝑦 + 2𝑝𝑘 = 0Ou
𝑎𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0
Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:
𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0
Equação Explícita da Parábola
Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:
𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Exercícios
Exercícios
Equação Paramétricas da Parábola
Caso 1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo y:
Observe que x pode assumir qualquer valor real, se
fizermos x=t, teremos y=(1/2p)t²
Daí temos as equações paramétricas da parábola:
𝑥 = 𝑡
𝑦 =1
2𝑝𝑡2 , ∀𝑡 ∈ ℝ
Equação Paramétricas da Parábola
Caso 2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo x:
Analogamente temos as equações paramétricas da
parábola:
𝑥 =
1
2𝑝𝑡2
𝑦 = 𝑡, ∀𝑡 ∈ ℝ
Equação Paramétricas da Parábola