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Geometría Analítica Plana. Geometría Analítica Plana. Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola. - PowerPoint PPT Presentation
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Geometría
Analítica Plana
I.Sistemas de coordenadasII. Gráfica de una ecuación y lugares
geométricosIII. La línea rectaIV. Ecuación de la circunferenciaV. Transformación de coordenadasVI. La parábolaVII. La elipseVIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
•En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos•En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
Página del doctor Javier Baez. Donde
están las presentaciones
¿Qué es la Geometría Analítica?
Es el estudio de la geometríausando los principios delálgebra y viceversa.
Es la unión de la geometríay el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
Ecuaciones en dos
variables
Figuras
geométricas en el plan
o
Ecuaciones en x e
y
Figuras en el plano
Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano ,x y
x
y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosDos problemas
fundamentales de la Geometría Analítica
En este capítulo haremos un estudio preliminar de dosproblemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición quedeben cumplir los puntos de la misma, determinarsu ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosPrimer problema
fundamental: La gráfica de una
ecuación
Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
Definición 1: El conjunto de los puntos,y solamente de aquellos puntos, cuyascoordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Definición 2: Cualquier punto cuyascoordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,formado por los puntos ordenados,debe pertenecer al conjunto de losnúmeros reales.
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Extensión de la curva
Extensión de una curva
La extensión de una curvason los intervalos de variaciónpara los cuales los valores de e son valores reales.x y
Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación
para los cuales los valores de e son valores reales.x y
Es útil, porque:
Da la localización general de la curva en el plano
Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales
los valores de e son realesse determinan resolviendo laecuación dadapara en términos de ,y para en términos de .
x y
y xx y
2 2 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 1
No existen números reales, y ,que satisfaga la ecuación.La extensión es el conjunto vacío.
x y
2 2 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 2
La extensión de esta ecuación sereduce a un único punto, el 0,0 .
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
2 3 4 0x y Extensión de una curva.
Ejemplo 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
La extensión es todo el plano; es decir, puede tomar cualquier valor real, y también puede tomar cualquier valor real.xy
2y xExtensión de una curva.
Ejemplo 4
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y 2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
2y x
y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que no puede ser negativo.Sólo puede ser positivo o cero.La extensión es el intervalo [0, ).
x
2
2
y x
x y
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que puede tomar cualquier valor real.No hay ninguna restricción.La extensión en es toda la recta real, es , .
y
y
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y 2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
2 29 4 36x y Extensión de una curva.
Ejemplo 5
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 99 99 44 4
3 42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
2 29 4 36 2,2x y x
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 44 44 99 9
29
3Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
2 29 4 36 3,3x y y
2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y
2 3 0y x
Extensión de una curva. Ejemplo 6
2 3
3
0
Por t0anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
2 3
23
0
Por tan o
tx
y
y x
y
R
2 3 0y x
Extensión de una curva en x
1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.
y xx
xX
Extensión de una curva en y
1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.
x yy
yY
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Asíntotas
Asíntotas Si para una curva dada, existe unarecta tal que, a medida que un puntode la curva se aleja indefinidamentedel origen, la distancia de ese puntoa la recta decrece continuamente ytiende a cero, dicha recta se llamaasíntota de la curva.
Asíntotas. Ejemplo 1 1
2y
x
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
12
yx
Asíntotas. Ejemplo 1
24 5 15=
2 3x x
yx
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
Asíntotas Esta definición implica dos cosas:
1) Una curva que tiene una asíntota
no es cerrada o de extensión finita,
sino que se extiende indefinidamente.
2) Una curva se aproxima a la asíntota
más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede teneruna cualquiera de tres posiciones particulares.
Si es asíntota horizo
paralela o coincide con el eje , se llama.
Si es paralela o coincide con el ejental
X
Y,.
Si no es paralela a ninguno de los ejescoordenados,
asíntota vertical
asíntota obl .icua
Asíntotas Aquí consideraremos solamente ladeterminación de asíntotas verticalesy horizontales.Posteriormente veremos la determinaciónde asíntotas oblicuas para una curvaparticular conocida con el nombre dehipérbola.
Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene
necesariamente una o más asíntotas. Hay
muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin
embargo , si una curva tiene asíntotas, su
determinación será, como veremos, una gran
ayuda para construir su gráfica.
Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
Sea una rectacualquieraparalela a1 eje y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
Recta paralela al eje Y
Todo punto de ,cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .
l
k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista unidades del eje.
lY
k
Las coordenadas de todos lospuntos de satisfacen , por tantola ecuación es
,.
lx k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .
lY
kl
k
Recíprocamente, cualquier puntocuyas coordenadas satisfacen estaecuación es un punto cuya abscisaes y situado, por tanto, a unadistancia de unidades del eje ,y, en consecuencia , está sobrela rec
kk Y
ta .l
Recta paralela al eje Y
Recta paralela al eje Y
La ecuación de una rectaparalela al eje es:
donde es la distanciade la recta al eje .
xk
kY
Y
Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distanciade la recta al eje .
yk
kX
X
Recta paralela al eje X
2y
2
Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de y en función de . Para obtener las asintotasverticales y horizontales, usaremos estasmismas ecuaciones en las que
y xx y
aparecendespejadas las variables.
Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador.
y
x
Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase laecuación dada para en funcion de eigualese a cero cada uno de los factoreslineales del denominador.
x y
Asíntotas. Ejemplo 1
Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación
1 0xy y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de 1 01
1 1
11
y xxy yxy yy x
yx
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de 1 01
1
x yxy yxy y
yx
y
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador
0ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0ón:
y
y
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación
1xyx
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador comofactores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xyx
x xyx x x
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xyx x x
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1 1 1
x xyx x x
¡Hay dos
asíntotas!
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
11
0
1 0
x y
xyx
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 12 1 2 1 2 1
11
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
Asíntotas. Ejemplo 2 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador
1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1:
y
y
2
2 1xyx
2
2 1xyx
11
1xx
y
Asíntotas. Ejemplo 3La tangente Mostrar las asíntotasde la tangente
Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente Las rectas
y 2 2
son asíntotas.
x x
Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
Una curva puede tener más de unaasintota vertical u horizontal.Asi, la curva cuya ecuación es
11 2
tiene dos asintotas verticales, 1 y 2.
yx x
x x
Asíntotas. Notas
Para muchas ecuaciones en las variables e ,veremos que, frecuentemente es ventajosoinvestigar el comportamiento de una de lasvariables cuando a la otra se le dan valorescada vez mas grandes en valo
x y
r absoluto.Esto es particularmente útil para ladeterminación de las asíntotas.
Asíntotas. Notas
1Así, para la ecuación , si damos valores
1a cada vez más grandes, en valor absoluto, elvalor de se aproxima a cero.Es decir, a medida que el punto sobre la curvase aleja indefinidamente del or
yx
xy
igen, ya sea haciala derecha o hacia la izquierda, la curva seaproxima a la recta 0 que, por lo tanto, esuna asintota horizontal.
y
Asíntotas. Notas
Análogamente, si escribimos laecuación en la forma
11
vemos que, a medida que tomavalores cada vez mayores en valorabsoluto se aproxima a 1.Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.
xy
y
xx
Asíntotas. Notas
Es una gran ventaja usar las asintotasde una curva, cuando existen, en eltrazado de la misma. Las asíntotas actúan como lineasguía de la gráfica.
Asíntotas. Notas
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc
ión de curvas
La discusión de una ecuación ysu representación gráfica constituyen,en conjunto, un problema de tan granimportancia en todas las ramas de lasMatemáticas y sus aplicaciones,que se le ha dado el nombre especialde construcción de curvas.
Construcción de curvas
El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a losejes coordenados y a1 origen .3. Deteminación de la extensión de la curva.4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales uhorizontales que la curva puede tener .5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntospara obtener una gráfica adecuada .6. Trazado de la curva .
Construcción de curvas
4 2
Construir la curva cuya ecuación es
4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2 2 2
1 2 3 4
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 4 0
que se factoriza como 4 2 2 0
Tenemos por tanto cuatro raices:2, 0, 0,
X
y x x y
x x
x x x x x
x x x x
2
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en
2, 0 y 2
XX
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0lo que nos lleva a 0Tenemos una raíz:
0
Y
x x x yy
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica intersecta al eje en
0
YY
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasa) Con respecto al eje
La ecuación 4 0cambia a la ecuación
4 0cuando intercambiamos por .
Por lo t LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
ant
CA RESPEC
o,
.TO AL EJE
X
x x
X
y
x x yy y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasb) Con respecto al eje
La ecuación 4 0cambia a la ecuación (que es la misma)
4 0cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTR
tanto,
ICA RE
SPECTO AL EJ .E
Y
x x y
x xx x
Y
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasc) Con respecto al origen
La ecuación 4 0cambia a la ecuación
4 0cuando intercambiamos por y por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉT
tan
RIC
to,
A RESPECTO AL O .R
IGEN
x x y
x x yx x
y y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
2. SimetríasLa única simetría que tiene esta gráficaes respecto al eje .No es simétrica ni respecto al eje ,ni respecto al origen.
YX
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
cualquier valor de es posible
3. Extensióna) En el eje Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
4Por ta .nto,
Xy
x x y
xy x x
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2 2
2
3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación
4 0 tenemos 2 4 o bien
4 4 4 12 1
4 16 4 4 2 42 4
2 2Por lo tanto, necesariamente 4
Yx
x x y x y
yx
y yy
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
3. ExtensiónLa variable puede tomar cualquiervalor real.La variable tiene que ser mayor oigual a menos 4.Es decir,
e 4
x
y
y
x R
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4. AsíntotasEsta curva no tiene asíntotas.
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 1
x y0.00 0.00
0.25 -0.25
0.50 -0.94
0.75 -1.93
1.00 -3.00
1.25 -3.81
1.50 -3.94
1.75 -2.87
2.00 0.00
2.25 5.38
2.50 14.06
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
2 2
Construir la curvacuya ecuación es
3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2
1 2
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2
lo que nos lleva a 3 2
ó bien 3 2 0que se factoriza como 2 1 0
Tenemos por tanto dos raices:1, 2
X
y x y x xy x
x x
x xx x
x x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en 1 y 2
XX
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2lo que nos lleva a 0 2 que no se satisface paraningún valor de .Por tanto, la gráfica no intersecta al eje .
Y
x x y x xy x
yY
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica no intersecta al eje .
YY
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasa) Con respecto al eje
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por .
Por LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO
A
lo tanto,
L J
E .E
X
x y x xy x
x y x xy
X
y xy
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasb) Con respecto al eje
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por .
Por LA GRÁFICA lo tanto NO ES
SIMÉTRICA RESPEC
,
.TO AL EJE
Y
x y x xy x
x y x xx
Y
y xx
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasc) Con respecto al origen
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por y por .
LA GRPor lo tant ÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN
o,
.
x y x xy x
x y x xy xx x
y y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2. SimetríasLa gráfica no tiene ninguna simetría.No es simétricani con respecto al eje ,ni con respecto al eje ,ni con respecto al origen .
XYO
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensióna) En el eje
Despejando de la ecuación 3 2
3 2tenem
cualquier valor de es posible menos
os 1
0Por tanto, .y 1
X
y x y x xy x
x xy
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación
3 2tenemos
3 14 1 si 1
2 1
Yx
x y x xy x
y y yx y
y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2
2
3. Extensiónb) En el eje
3 14 1Despejando tenemos
2 1
Así que sólo son posibles los valores de que hacen que
14 1 0.
Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y
Y
y y yx x
y
y
y y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensiónb) En el eje En el caso de 1 tenemos que la ecuación
3 2se transforma en4 2
1ó sea y es posible el valor 1
2
Yy
x y x xy x
x
x y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
3. ExtensiónLa extensión de la curva es
,
, 7 4 3 7 4 3,
x
y
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotasa) Asíntotas verticales
Despejando de la ecuación 3 2
3 2tenemos 1
Es claro de lo que ya hemos es tenemosdos asíntotas verticales 0
tudiado y
que .1
y x y x xy x
x xyx
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotasa) Asíntotas horizontales
Despejando de la ecuación 3 2tenemos
3 14 12 1
Por lo tanto, es claro que tenemosuna asíntota horizon l 1.ta
x x y x xy x
y y yx
y
y
2 2 3 2x y x xy x
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3 2
3 21
x y x xy x
x xyx x
x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
6. Construcción de la curva
3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuaciones
factorizables
El trazado de curvas se puede simplificarconsiderablemente para ciertos tipos deecuaciones a las que llamaremos ecuacionesfactorizables; es decir , aquellas que puedenescribirse en forma del producto de dos omás factores variables igualado a cero .
Ecuaciones factorizables
En general, si la ecuación, =0
es factorizable; es decir, si , puedeescribirse como el producto de dos o másfactores variables, la gráfica de ,
constará de las gráficas de las ecuacionesobtenida
f x y
f x y
f x y
s a1 igualar a cero cada uno de estosfactores.
Ecuaciones factorizables
3 3
Trazar la gráfica correspondientea la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 1
3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
2 2
3 3
La ecuación
,
se factoriza trivialmente como
, 0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los fact
f x y x y
f x y x y x xy y
x y
ores igual
a cero.
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origencon pendiente 1; es decir, es unarecta que pasa por el origen y quehace un ángulo de 135 grados conel eje .
x y
X
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
0x y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
2 2
2 2
La ecuación 0 no tiene una gráfica.En efecto, si analizamos su extensión, debemosdespejar ,
4 1 32 2
que es complejo para todo valor de ; es decir,no existe número real que ha
x xy y
y
x x xy x
xx
ga que sea real.y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0es la de la línea recta
0
x y
x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3 0x y
2 2
Trazar la gráfica correspondientea la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 2
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza trivialmente como, 0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los factores
f x y x y
f x y x y x y
x y
igual
a cero.
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una rectaque pasa por el origen y que hace unángulo de 135 grados con el eje .
x y
X
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una recta quepasa por el origen y que hace unángulo de 45 grados con el eje .
x y
X
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0son dos líneas rectas.Ambas pasan por el origen,una hace con el eje un ángulo de 135 gradosy la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados
x y
XX
2 2Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2 0x y
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección de curvas
Considere un sistema de dosecuaciones independientes , 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
Si sus gráficas se cortan en uno ó más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
2 13 9x yx y
2 13 9
5 10
x yx y
x
2 1 3 9
5 1010 25
x y x y
x
x
2 1 3 9
5 1010 25
2 1 2 2 1 3
x y x y
x
x
y x
2 1 3 9
2 3
x y x y
x y
Encontrar la intersección de las curvas y 3 92 1x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 1x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3 9x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
32 1
9x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
2,3
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2 8x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y
Hay dos puntos de intersección:2,2 y
8
2,
2
2
y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
2
2
1 2
2 8
2 8 0
2 4 4 1 8 2 36 2 62 2 2
2 4
x x
x x
x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
1 2
1
2
2 4
2
2 2 4 2
8 No existe
x x
y x
y
y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
1 1
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
2 2 22
Encontrar la intersección de las curvas
y 1 4x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49
2 2 2 21 y 4x y x y
Para encontrar la intersección deestas dos curvas debemos resolverlas ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1 y 4Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2 5
5y por tanto, 2
x y x y
x
x
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1 y 4
5Sustituyendo en la primera2
5obtenemos 12
5 3que nos da 12 2
que no existe en los números reales.
x y x y
x
y
y
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Las dos curvasno se intersectan,como es evidentede sus gráficas.
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3