CURSO SUPERIOR

I I

ADVER TENCIA

Este tratado de Geometría completa los cursos elemental y me· dio, ya publicados para la primera enseñanza.

A más de numerosos ejercicios y problemas prácticos contiene este libro Nociones de Agrimensura, Levantamiento de Planos y Ni­velación, que 56n como aplicación de los principios expuestos en él.

Las definiciones y teorías que encierra están en un todo con­formes con las de nuestro Curso de Geometría para la Segunda Ense­ñanza, de modo que los alumnos que pasaren de uno a otro curso, no se verán precisados a estudiar otras definiciones, que si bien idénticas en cuanto al fondo, no por eso dejarían de crearles a menudo serias dificultades.

Se ha procurado exponer estos elementos de la ciencia geometflc3, con la mayor sencillez y claridad posible, para fac ilitar de este modo su estudio y generalizar más sus aplicaciones prácticas.

INTRODUCCION

PRELIMINARES

§ l. - Objeto de la Geometría.

I §'Ul G~om~tria es la ciencia de la extensión. objeto es estudiar las propiedades, formas y dimensiones de

las figuras g¡:om¿trifQs.

Figura g~om¿tríca es una extensión determinada por puntos, lí~

n((/s o Sup(1'/icies.

m La (xlensi6n considerada en los objetos materiales, es la por­ción-que ocupan del espacio absoluto y sin límites en que se hallan colocados todos los cuerpos.

uei cuerpo, por pequeño que sea, es extenso en todos sentidos; sin embargo la extensión se considera únicamente en tres sentidos principales, llamados dimenúones, que se designan con los nombres de -longitud o largo, latitud o ancho y altura que a veces se llama grueso, espesor o profundidad.

En el volumen, la extensión está considerada en las tres dimen~ siones. Las superficies sólo tienen longitud y latitud, las líneas sólo longitud, y el punto matemático no tiene extensión.

m El volumen de un cuerpo está limitado por superficies. Un sillar,por ejemplo, está limitado por sus caras.

Una porción de superficie está limitada por una línea. Por ejem. pIo, las aristas del mismo sillar.

Una porción de línea está limitada. por dos puntos, v. gr.: los vértices de ese sillar.

Cuando dos superficies

f,~ . 1

se cortan, su intersección es y la intersección qe dos líneas ro (fig. 1).

una línea, es un pun~

m Se puede considerar una línea ca­l~engendrada por un punto que se mueve; una superficie, por 'una línea; y un sólido, por una superficie. m Medir una figura es compararla con la unidad de medida. Por lo tanto, las longitudes, las áreas y los volúmenes se determinarán por su relación con la unidad de la especie correspondiente.

l '

8 GEOMETRIA

§ n. - LÚlea. r6""1 La línea más , sencilla es la recta.

D; hilo bien tirante nos da idea de la línea recta (Hg. 2).

fi •. 2

La recta es ilimitada, es decir que se considera prolongada in~

definidamente. 'Se suele designar una recta por me­

dio de dos letras que indican su direc­ción. Así se dirá: la recta MN ' (fig. 3).

{1JLlámase segmento de recta, o más sencillamente recta, a la porción de recta indefinida compren,di­da entre dos puntos determinados.

• FiJ· ..

Para designar un segmento de recta se

leen las letras de sus extremos; v. gr.: la recta AB (fig. 4). ,

La recta es la menor distancia entre dos puntos; por lo tanto la recta es menor que cualquier otra Hnea que tenga los mismos extre­mos. La recta AB, por ejemplo (Hg. 5), es menor que la línea ACDEB.

m Llámase linea quebrada o poligonal a la compuesta de varios

j' /

Fi¡.6

segmentos de rectas unidos de dos en dos por uno de sus extFemos, sin que dos consecutivos tengan la misma dirección.

Por ejemplo, la línea ABCDE (fig. 6). [2J Un~a curva es aquella que ni

es recta, ni está formada de rectas.

Pi¡. 7 Por ejemplo, la línea EFGH (fig. 7).

FiJ;.8

Un hilo aflojado representa una Hnea curva (fig. 8).

•

fi .. 9

~ Se llaman

INTRODUCCION 9

Línea mixta es la compuesta de partes rectas y partes curvas. Tal es la línea ABCD (fig. 9).

convexas a las líneas quebradas o curvas cuando

Fig. la

rC":'\C .. ¡ "

una recta no puede cortarlas en -más de dos puntos (fig. 10) .

§ III. - Superficie.

[!b] P.lano o stlPerficie plana es la superficie con la cual coinci­de en toda su extensión una recta aplicada a dos cualesquiera de

sus- puntos.

FiS_ 11

Por ejemplo, la superfi:ie del agua re­posada en corta extenSlOn. la de una pizarra (fig. 11 ). (ll] Superficie poliédrioa O queb1'ada

es la compuesta de planos consecutivos que terminan en sus mutuas interseccio­nes.

Por ejemplo, la superficie total de un cubo.

[H] Superficie curva es la que en ninguna de sus partes es pla­na, como por ejemplo la de una esfera.

§ IV. - División de la geometría.

~ La Geometrfa e/emen~al se divide en Geometría plana y Geo~ metda del espacio.

La Geometrfa plana estudia las propiedades de las figuras planas, esto es, de aquellas cuyos elementos están en un mismo plano.

'. Los cuatro primeros libros de esta obra tratan de la Geometría plana.

La Geometría del espacio estudia las propiedacks de las figuras cuyos elementos no están en un mismo plano.

Los"'cuatro últimos libros de esta obra tratan de la Geometría del espacio.

§ V. - Definiciones de algunos términos empleados en geometría. 00 Las figuras geométricas son:

Iguales, cuando superpuestas, coinciden en toda su extensión; Equivalentes, cuando tienen la misma extensión sin ' tener la mis~

roa forma; Semejantes, cuando tienen la misma forma sin tener la misma

extensión.

10 GEOMJ::TRIA

111.' Axioma es toda verdad evidente por sí misma.

Por ejemplo: El lodo ~s igual a la suma de sus parus;

La par/e es menor que d todo;

D os canridades iguales a una teraro son igualt:s entre sí .

.I1!J. Teorema es una verdad qU{· necesita ser demostrada.

Por ejemplo : la suma de los tingulos de rm tricíngulo es igual a

dos ángulos rcctos.

IT9.l Problema es una cuestión que tiene por objeto buscar can ti· dades-cJesconocidas. \'aliéndose para dio de otras conocidas.

Ejemplo: hacer pasar una circunferencia por tres puntos que no

estin en línea recta.

120.1 L1ámase proposici6n al enunciado de un axioma o de un teorema.

Hipótesis ,es la suposición de una cosa posible o imposible, para deducir de ella alguna consecuencia,

mJ Coro/ario es la consecuencia que se deduce de una demos­tración.

Escolio es una observación acerca de una proposición ya rlemos­trada.

122.1 Lema es ~na proposición que sirve para facilitar la demos­tración de un teor:'!ma.

lñJ El enunciado de una proposición consta de dos partes: la hipótesis o supuesto, que es Jo que se supone cierto, y la conclusión

o consecuencia que resulta del supuesto.

En el siguiente enunciado: Todo punto de la bisectriz de .un án­

gulo equidista de los lados de este ángulo, la hipótesis es : todo punto

de la bisectriz de un ángulo, y la conclusión: equidista de los lados

de este dngulo.

IHJ Dos proposiciones so~ recíprocas cuando la segunda tiene por hi pótesis la concl usión de la primera , y por conclusión la hipóte­sis de la misma.

La recíproca del ejemplo anterior se rá: todo punto equidistante

de los lados de un ángulo pertenece a la bisectriz de dich o ángulo.

Hay proposiciones cuyas recíprocas son falsas. La proposición: todos los ángulos "utos son iguales, tiene por recíproca: todos los

ttngulos iguales son rectos. La proposición es cierta, pero falsa su recíproca .

GEOMETRIA PLANA

LIBRO I LINEAS RECTAS, ANGULOS

y POLIGONOS

CAPITULO

§ 1. - Angulos.

Definiciones

[1D Angula es una figura plana que forman dos rectas que se corta"o y terminan en su punto de in­tersección. Esas rectas Se llaman ' lados dd ángulo y el pumo en que se cortan,

t

fil' n

vfí~:lUn ángulo se designa con la sola letra del vértice, o con tres letras colo­cadas una en cada lado, y otra en el vér­tice. Al leer se pone siempre en medio la letra del vértice.

Así el ángulo de la fig. 12 se leerá ángulo A o ángulo BACI.

A veces se designa un ángulo con una lerra minúscula j por ejemplo el ángu­lo m (fig. 13).

illJ Dos ángulos son iguales cuando superpuestos, coinciden sus • Ia d ~

@:.J La magnitud o valor de un ángulo sólo depende de la ma­

L-.~ . FJ,. I"

---_ ...... .....;:,..

yor o menor abertura de sus lados, y no / de la longitud de éstos, ya que. siempre se los supone indefinidos. Así, el ángulo O ~,ayor que el ángulo E (fig. 14).

l12:J Angulas adyacent~s son los que tienen el mismo vércice y un lado "::0·

mún; por ejemplo, los ángulos m y n

(f i~). Ll!!:J Una recta es p~rp~ndi c ll'lar a

ot ra cuando forma con ella dos ángulos adyacentes iguales, y oblicua cuando di · chos ángulos son desiguales. Fig. 15

Así la recta AB es perpendicular a eD en la fig. 16, Y oblicua en la fig 17. rm Angulo recto es aquel cuyos lados son perpendiculares en·

tte sí. 1 Al igual que algunos au tores modernos, pa.ra. abreviar la e"$crltura. de

~ pa.labra ángulo, abrazaremos las......letras que setlalan esa figura con el a.gno ............... que.se lee ángulo. Asl , ~13Aa:- se leerá : ángulo A, ángulo BAO.

r 12 GEOMETRIA •• LIBRO 1

,

• Fos:. 16

r'I. 17 Los ángulos m, n (fig. 16) son rectos.

132.1 Un ángulo es agudo cuando es menor que un ángulo recto, y obtuso en el caso contrario.

Por ejemplo, en la fig. 17 el ángulo n es agudo, y obtuso el án· gula m .

133.1 Angulas complementarios son aquellos cuya suma es igual a un recto y suplementarios aquellos cuya suma es igual a dos rectos.

En la fig 19 los ángulos HAn y BAB' son complementarios, y suplementarios los ángulos BAe y BAO.

Complemento de un ángulo es lo que le falta para valer un án­gulo recto.

Suplemento de un ángulo es lo que le falta para valer dos ángu­los rectos.

134.1 Axioma. Dos linguJos iguales tienen complementos y suple­mentos iguales.

Recíprocamente, dos ángulos que tient:n complementos o suple­mentos iguales son igua1es.

~

/ i""

135.1 Dos ángulos son opuestos por el

vértice cuando los lados del uno són las prolongaciones de los lados del otro; v. g.: los ángulos m, n (Iig. 18) .

136.1 Bisectriz de un ángulo es la recta que, pasando por su vértice, divide al ángulo en dos partes iguales.

Teorema ~ Por un punto tomado en una recta se puede levantar una

perpendicular a esta recta, y sóio una.

Sea e! punto A tomado en la recta eD. II? Por el punto A se puede levanta,. una perpendicular a CD.

Fi,.1 9

En efecto, tracemos una oblicua cual­quiera AB y hagámosla girar alrededor de! punto A. El ángulo n, menor que el ángulo m, aumenta constantemente, en tanto que el ángulo adyacente m dis­minuye en lo que e! otro aumenta.

Claro está que la recta AS ile~ará a tener una posición en que los ánzulos rn y n sean iguales, entonces AB' será perpendicular a CD (NO 30).

CAP. l. - ANGULOS 13

2<'> Y sólo una pel·pendicular.

Porque si la perpendicular AH' se desviara, por poco que fuese, a la derecha o a la izquierda, dejarían los ángulos m y n de ser iguales, y ' entonces la recta sería oblicua.

Luego, por un punto tomado en una

cular a esta recta, y sólo una.

AV'J recta se puede levantar una perpendi-

I 38.IColorario. Para obtener el com­plemento de un ángu lo, se levanta en -el vértice. una perpendicular a uno cualquie­ra de sus lados; el ángulo !lAD (fig. 20) es el complemento del ángulo BAC.

Fig, 20 Teorema.

139.1 Dos ángulos adyacentes cuyoJ lados exteri01'es están en línea

recta son suplementarios.

Sean los ángulos CAB o m y DAS o n, cuyos lados exteriores AC y AD están en línea recta.

Fig, 2]

/

Tracemos AE perpendicular a eo, los Jos ángulos CAE y DAE son rectos (N\' 31); lu~o: "-

m=l recto+i f1'= 1 recto-l'

Sumando ordenadamenre, esto es, miembro con miembro, tendremos:

~ + {¡=2 rectos l:.uego, dos ángulos adyacentes, ..

uJ Corolarios. - 1. Para hallar el suplemento de un ángulo, basta prolon­

gar por el vértice uno walquiua de sus

lado .. ; el ángulo EAC es el suplemento del ángulo EAD (fig. 22).

F'g. 22 JI. La suma de los ángulos canseCll­

c-utivos formados en un punto de una recta y a un mismo lado de esta recta, es igual a dos ángulos rectos.

Porque si se levanta la perpendicular AH (fig. 23), la suma de los dos ángulos rectos BAe, SAD es igual a la suma de los ángulos m. n, r, y recíprocamente.

/ """ ./

• • I -, Fil,24

IIJ . La JUma de todos los dngrdo .• consecutitlOJ formados olrede­

Jor d~ un punto O (fig. 24) en un plano es igual a cuatro ángulos

~t'dos.

•

14 GEOMETRIA. ~ LIBRO t

Para demostrarlo basta prolongar uno de los lados, AO per ejemplo, y de ese modo tendremos dos ángulos rectos a cada lado de la recta AB.

[3L] Teorema recíproco. Cuando dos ángulos adyacenus son su­

pl(m~nta/'ios, sus lados exteriores estdn en línea recta.

Teorema. cm Cuando dos ángulos son suplementarios, sus bisectrices for-man un ángulo recto. I

• • Sean los ángulos suplementarios AOB, \\ BOe; y sean OE y OF las bisectrices.

\ ,....... Tenemos: \ ........... 2r + 25 = 2 rectos; '. - 1

.,----.:...;o~---.:.'---- uego r + s= 1 rc:cto

FiJ_ 25 Teorema. ffi] Dos ángulos opuestos por d vértice son iguales.

/ A

Sean m y n dos ángulos opuestos por el vértice.

Fig.26 o

Siendo AB una línea recta, el ángulo m tiene por suplem ~ nto el ángulo s.

El ángulo n tiene también por suple­mento el ángulo s a causa de la recta CD, luego, los ángulos m y n son igua­les por tener el mismo suplemento.

Del propio modo se demostraría la igualdad de los ángulos opuestos $ y t.

Luego, ·dos ángulos opuestos .. _

§ 11. - Perpendiculares y oblicuas.

Lema. 00 Toda línea poligonal COnvexa es menor que cualquier otra

línea envolvente que tenga las mismos extremos.

Fil'_ 27

Sea ABC una línea convexa envuelta por ot ra ADFC, y con los mismos extre­mos A y C.

Para demostrar que ABe es menor, prolonguemos AB. La recta es más cor­ta que cualquier otra línea que tenga los mismos extremos (NI? 7); luego:

y

AB + BE < 1 AD + DE He < BE + EF + Fe

Sumando ordenadamente estas dos desigualdades, tendremos: AB + BE + Be < AD + DE + BE + EF + Fe;

y suprimiendo BE en cada miembro, resultará:

1 >mayor que. <menor que.