Geometria de Posição:

Noções e Proposições Primitivas, Posições Relativas, Projeção Ortogonal e

Distâncias.

Noções Primitivas Ponto, reta e plano são entes primitivos, pois não admitem uma definição formal. Mesmo assim, intuitivamente podemos descobrir o que é cada um deles.

O espaço é entendido como o conjunto de todos os pontos. Ele tem comprimento, largura e altura (é tridimensional)

Qualquer figura é um subconjunto do espaço, seja plana, seja espacial.

Noções Primitivas

Noções Primitivas Como uma reta e um plano são conjuntos de pontos, para relacionar esses entes geométricos utilizamos nomenclaturas já conhecidas.

Exemplo 1: Complete pág. 07

Resposta: Falso. Pois o ponto pode estar simultaneamente na reta e no plano e a reta furar esse plano neste ponto, dessa forma a reta não estaria contida no plano.

Resposta: Verdadeira. Pois uma reta não pode furar um plano em dois pontos distintos, logo a reta está contida no plano.

Proposições Primitivas

Proposições Primitivas ou Postulados (ou axiomas) são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstrações.

Teoremas são proposições que necessitam de uma demonstração, a qual pode ser feita utilizando os postulados ou mesmo outros teoremas já demonstrados.

Proposições Primitivas

Proposições Primitivas

Exemplo: Teorema (demonstração)

Pelo Postulado 1, e , como ,

Pelo Postulado 4, um único plano tal que , ,

Portanto, por uma reta e um ponto nao pertencente a ela passsa um único plano.`

B r C r A r

A B C

Pelo Postulado 1, os pontos B e C estao em r, como A nao pertence a r,

os pontos A, B e C nao sao colineares, logo pelo Postulado 4, existe um único

plano que passa por A, B e C.

Portanto, existe um único plano que passa por uma reta e um ponto fora dela.

Pelo Postulado 1, existem B e C tais que

e , como ,

os pontos A, B e C nao sao colineares

, pelo Postulado 4, existe um único plano que passa por A, B e C.

Portanto, por uma reta e ponto

B r C r A r

Logo

nao pertencente a ela passsa um [unico plano.`

Exemplo 2: Complete pág. 09

Os pontos A, B e P nao sao colineares

Pelo postulado 4, existe um único plano que passa por A, B e P

Portanto, existe um único plano que contém duas retas concorrentes

Posições Relativas: 2 Retas

Posições Relativas: 2 Retas

1 Sim

0 Sim

0 Não

Retas Ortogonais e Retas Perpendiculares

Posições Relativas: 1 Reta e 1 Plano

Posições Relativas: 1 Reta e 1 Plano

Reta

Ponto

Vazia

Retas Perpendicular à Plano

Posições Relativas: 2 Planos

É possível que dois planos tenham apenas um único ponto em comum?

Posições Relativas: 2 Planos

Posições Relativas: 2 Planos

Reta

Vazia

Planos Perpendiculares

Projeção Ortogonal

Projeção Ortogonal

Projeção Ortogonal

Distâncias entre 2 Pontos

A distância entre os pontos A e B é simplesmente a medida do segmento AB, indicada por d(A,B).

Exemplo 3

Na figura abaixo, calcule o valor de d (distância entre os pontos A e B) e D (distância entre os pontos A e C)

2 2 2

2

6 2

36 4

40

2 10 cm

d

d

d

d

2 2 2

22 2

2

3

40 3

40 9

49

7 cm

D d

D

D

D

D

Distâncias Todas as demais distâncias se baseiam na distância entre os dois pontos

Distâncias

Distâncias

Distâncias

Distâncias

2 2

2

2 22

2 2

4 4

l ld

l ld

22

4

2

2

ld

ld

Distâncias

Tarefa de Casa

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5 e 6 das páginas 09 e 10 da Apostila 6.

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8 das páginas 14, 15 e 16 da Apostila 6.

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4 e 5 da página 22 da Apostila 6.

FIM