1 GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REV-OLUCIÓN.

Super�cie engendrada al girar una elipse situada en el plano OZY alrededordel eje OZ.

1.1 Ecuaciones paramétricas:

�!X =

��!OP = (a:cosu:cosv; a:cosu:senv; b:senu) (1)

x = a:cosu:cosv (2)

y = a:cosu:senv (3)

z = b:senu (4)

u; v son parámetros independientesa semieje mayor

b semieje menorUna relación funcional f(u; v) = 0 determina una curva sobre la super�cie.f(u; v) � u � u0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas, la

circunferencia determinada por la intersección del elipsoide con el plano z =bsenu0; un paralelo.

1

f(u; v) � v � v0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas, unaelipse determinada por la intersección del elipsoide con el plano y� tanv0x = 0.El eje OZ es un eje de simetría de esta elipse.

1.2 Ecuación cartesiana.

Eliminando los parámetros u y v, resulta la ecuación

x2

a2+y2

a2+z2

b2= 1 (5)

Se de�ne el achatamiento f

f = (a� b)=a (6)

b=a = 1� f (7)

b = (1� f)a (8)

El cuadrado de la excentricidad e

e2 = (a2 � b2)=a2 (9)

e2 = 2f � f2 (10)

El cuadrado de la segunda excentricidad e0

e02 = (a2 � b2)=b2 (11)

e2 = (1� f)2e02 (12)

La excentricidad lineal E (distancia focal)

E =pa2 � b2 = ae (13)

2

1.3 Vector tangente a una curva sobre el elipsoide.

Si f(u; v) = 0 de�ne una curva sobre el elipsoide x2=a2+ y2=a2+ z2=b2 = 1, sea�!X = (x; y; z) el vector de posición de un punto P de esta curva, un vector en ladirección de la tangente a la curva en el punto P ,

�!dX, es

�!dX =

�!Xudu+

�!Xvdv fudu+ fvdv = 0 (14)

,

1.4 Longitud de un arco elemental de curva ds

ds2 =�!dX:

�!dX = (

�!Xudu+

�!Xvdv):(

�!Xudu+

�!Xvdv) (15)

ds2 = (�!Xu:

�!Xu)du

2 + 2(�!Xu:

�!Xv)dudv + (

�!Xv:

�!Xv)dv

2 (16)

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 (17)

Esta expresión se denomina Primera Forma Cuadrática Fundamentalde la super�cie y de�ne una métrica sobre ella.En el caso de la representación paramétrica, resulta

�!Xu = (�a:senu:cosv;�a:senu:senv; b:cosu) (18)

�!Xv = (�a:cosu:senv; a:cosu:cosv; 0) (19)

E = (�!Xu:

�!Xu) = a2sen2u+ b2cos2u (20)

F = (�!Xu:

�!Xv) = 0 (21)

G = (�!Xv:

�!Xv) = a2cos2u (22)

ds2 = (a2sen2u+ b2cos2u)du2 + a2cos2udv2 (23)

3

Longitud de un arco de curva entre dos puntos

s =

Z(Edu2 + 2Fdudv +Gdv2)1=2 (24)

con las condicionesfudu+ fvdv = 0, f(u0; v0) = 0, f(u1; v1) = 0

1.5 Vector unitario tangente a una curva.

Cuando el parámetro que de�ne la curva es la longitud del arco s,

u = u(s) v = v(s),de la identidad ds2 =

�!dX:

�!dX

resulta

(�!dX=ds):(

�!dX=ds) = 1;

�!t :�!t = 1 (25)

llamando t =�!dX=ds , el vector tangente es un vector unitario cuando el

parámetro que de�ne la curva es la longitud del arco.

1.6 Curvatura de una curva contenida en la super�cie.

El vector curvatura�!k se de�ne por

�!k=

�!dt

ds=�!t0 (26)

de la identidad�!t :�!t = 1,

sigue�!t :�!t0 +�!t0 :�!t = 0 ) �!

t :�!t0 = 0 , �!

t :�!k = 0

Los vectores tangente�!t y curvatura

�!k son perpendiculares. El vector

�!k

está contenido en un plano perpendicular a�!t .

�!k =

�!kn +

�!kg (27)

4

�!kn se denomina curvatura normal y es la proyección del vector

�!k sobre

la normal a la super�cie.�!kg se denomina curvatura geodésica y es la proyección del vector

�!k sobre

el plano tangente a super�cie.

1.7 Dirección de la normal a la super�cie en un punto.

Los vectores �!xu, �!xv están contenidos en el plano tangente al elipsoide. Sí losparámetros u y v son independientes, entonces �!xu � �!xv 6= 0: En este caso, elproducto vectorial �!xu ��!xv de�ne la dirección de la normal a la super�cie en elpunto (u; v).El vector unitario normal

�!ns =�!xu ��!xvj�!xu ��!xvj

(28)

Sí consideramos la ecuación cartesiana f(x; y; z) = 0, la ecuación del planotangente en un punto (x0; y0; z0) es

fx(x� x0) + fy(y � y0) + fz(z � z0) = 0 (29)

Un vector en la dirección de la normal es: (fx; fy; fz):

En el caso del elipsoide de revolución, resulta

fx = 2x=a2 fy = 2y=a

2 fz = 2z=b (30)

Las ecuaciones de la recta normal al elipsoide de revolución son

x� x0x0=a2

=y � y0y0=a2

=z � z0z0=b2

(31)

1.8 Posición relativa de las normales en dos puntos delelipsoide de revolución.

Sea las ecuaciones de las normales

x� x0x0=a2

=y � y0y0=a2

=z � z0z0=b2

(32)

5

x� x1x1=a2

=y � y1y1=a2

=z � z1z1=b2

(33)

en los puntos P (x0; y0; z0) yQ(x1; y1; z1)

La posición relativa depende del valor del determinante������x0=a

2 y0=a2 z0=b

2

x1=a2 y1=a

2 z1=b2

x1 � x0 y1 � y0 z1 � z0

������ = (z1 � z0)(x0y1 � y0x1)(1� a2=b2)=a4que será distinto de cero siempre que lo sean los factores (z1 � z0) , (x0y1 �

y0x1).

En general, las normales al elipsoide de revolución en dos puntos P y Q sonrectas que se cruzan.Sí z1 � z0 = 0, los dos puntos están situados en el mismo paralelo.

Sí x0y1 � y0x1 = 0, , x0=x1 = y0=y1, los dos puntos están situados en unplano que contiene al eje OZ, es decir, sobre un mismo meridiano.

Las normales en dos puntos diferentes del elipsoide de revolución son rectasque, en general, se cruzan salvo que los puntos estén situados en un mismomeridiano o en un mismo paralelo.En el caso de la esfera, a = b, y el determinante es idénticamente nulo. En

la esfera todas las normales se cortan en un punto, el centro de la esfera.

1.9 Intersección de la normal al elipsoide con el eje OZ.

Es la solución del sistema de ecuaciones

x� x0x0=a2

=y � y0y0=a2

=z � z0z0=b2

(34)

x = 0 (35)

y = 0 (36)

z � z0 = �z0a2=b2

z = z0(1� a2=b2) = �z0e02 (37)

6

1.10 Secciones normales recíprocas.

Dados dos puntos P y Q del elipsoide de revolución. El plano determinado porla normal en P y el punto Q, corta al elipsoide según una curva que se denominasección normal, PQ. Siendo P el punto que de�ne la normal y Q el otro extremo.Análogamente la sección normal QP es otra curva, en general, diferente ya quelas normales son rectas que cruzan.El camino de P a Q según la sección normal con origen en P, es diferente

del camino de Q a P según la sección normal con origen en Q, salvo que P y Qestén en el mismo meridiano o en el mismo paralelo.Las secciones normales PQ y QP se denominan secciones normales recípro-

cas.

1.11 Coordenadas geodésicas.

Tomando como nuevos parámetros:

El ángulo � que forma la normal por el punto P con el plano XOY .El ángulo diedro � que forma el plano POZ con el plano XOZ tomado en

sentido contrario al de las agujas del reloj.Sea N la distancia entre el punto P y el punto de corte de la normal al

elipsoide que pasa por P y el eje OZ. Esta distancia se denomina gran normal.Si P 0 es la proyección del punto P del elipsoide sobre el planoXOY , entonces

OP 0 = N:cos� (38)

7

x = N:cos�:cos� (39)

y = N:cos�:sen� (40)

z = Nsen�� ze02 (41)

Como z(1 + e02) = Nsen�;

z = N(1� e2)sen� (42)

Sustituyendo x; y; z en la ecuación

x2

a2+y2

a2+z2

b2= 1

N2(cos2�

a2+(1� e2)2sen2�

b2) = 1

N2(cos2�+ (1� e2)2sen2�a2

b2) = a2 ,

a2=b2 = (1� e2)�1N2(cos2�+ (1� e2)sen2�) = a2

N2(1� e2sen2�) = a2

N = a(1� e2sen2�)�1=2 = ap1� e2sen2�

(43)

Las ecuaciones paramétricas del elipsoide de revolución, utilizando las coor-denadas geodésicas, � y �, son

x = acos�cos�(1� e2sen2�)�1=2 = acos�cos�p1� e2sen2�

(44)

y = acos�sen�(1� e2sen2�)�1=2 = acos�sen�p1� e2sen2�

(45)

z = a(1� e2)sen�(1� e2sen2�)�1=2 = a(1� e2)sen�p1� e2sen2�

(46)

8

1.12 Vector unitario de la dirección de la normal en unpunto P en coordenadas geodésicas.

Teniendo en cuenta fx = 2x=a2 fy = 2y=a2 fz = 2z=b2 , re-sulta

(x=a2; y=a2; z=b2) = (Ncos�cos�=a2; Ncos�sen�=a2; N(1� e2)sen�=b2) =

N=a2(cos�cos�; cos�sen�; sen�)

El vector unitario es

�!nS = (cos�cos�; cos�sen�; sen�) (47)

1.13 Expresión de la primera forma cuadrática fundamen-tal del elipsoide de revolución en coordenadas geo-désicas.

Al considerar como parámetros � y �,

ds2 = Ed�2 + 2Fd�d�+Gd�2 (48)

E = (X�:X�) F = (X�:X�) G = (X�:X�) (49)

X� = (N�cos�cos��Nsen�cos�;N�cos�sen��Nsen�sen�; (1�e2)(N�sen�+Ncos�))(50)

X� = (�Ncos�sen�;Ncos�cos�; 0) (51)

E = (N�cos�cos��Nsen�cos�)2+(N�cos�sen��Nsen�sen�)2+(1�e2)2(N�sen�+Ncos�)2(52)

9

E = (N�cos��Nsen�)2 + (1� e2)2(N�sen�+Ncos�)2 (53)

E = (N�cos��Nsen�)2 + (1� e2)2(N�sen�+Ncos�)2 (54)

N�cos��Nsen� = asen�(e2 � 1)(1� e2sen2�)�3=2 (55)

N�sen�+Ncos� = acos�(1� e2sen2�)�3=2 (56)

E = a2(1� e2)2(1� e2sen2�)�3 (57)

F = 0 (58)

G = N2cos2� = a2cos2�(1� e2sen2�)�1 (59)

ds2 =a2(1� e2)2

(1� e2sen2�)3 d�2 +

a2cos2�

1� e2sen2�d�2 (60)

1.14 Expresión de la curvatura normal en función de lascoordenadas geodésicas (�, �)

Teniendo en cuenta

�!k =

�!kn +

�!kg (61)

y multiplicando escalarmente por �!nS , vector unitario normal a la super�cie,resulta:

kn =�!k :�!nS (62)

10

�!k =

�!t0 = �!X� = ��!X��(�0)2 + 2

��!X���0�0+

��!X��(�0)2 +

�!X��� +

�!X��� (63)

Representando por �la derivación respecto al arco ds y por los subíndices �,� las derivadas parciales respecto a los parámetros geodésicos.

Como

�!X�:

�!nS = 0 (64)

�!X�:

�!nS = 0 (65)

se puede escribir

��!X��:

�!nS +�!X�:

d�!nSd�

= 0 (66)

��!X��:

�!nS +�!X�:

d�!nSd�

= 0 (67)

��!X��:

�!nS +X�:d�!nSd�

= 0 (68)

kn = (��!X��:

�!nS)(�0)2+2(��!X��:

�!nS)�0�0+(��!X��:

�!nS)(�0)2+(�!X�:

�!nS)��+(�!X�:

�!nS)��(69)

kn = �(X�:

d�!nSd�

)(d�)2 + 2(X�:d�!nSd�

)d�d�+ (X�:d�!nSd�

)(d�)2

ds2

Como �!nS = (cos�cos�; cos�sen�; sen�)

dnS=d� = (�sen�cos�;�sen�sen�; cos�)

dnS=d� = (�cos�sen�; cos�cos�; 0)

�!X� = (N�cos�cos��Nsen�cos�;N�cos�sen��Nsen�sen�; (1�e2)(N�sen�+

Ncos�))

11

�!X� = (�Ncos�sen�;Ncos�cos�; 0)

�!X�:

d�!nSd�

= a(1� e2)(1� e2sen2�)�3=2 = �

�!X�:

d�!nSd�

= 0

�!X�:

d�!nSd�

= Ncos2� = acos2�(1� e2sen2�)�1=2

Eligiendo adecuadamente el sentido de los vectores�!k y �!nS puede cambiarse

el signo del cociente, y la expresión de la curvatura normal del elipsoide derevolución toma la forma

kn =�(d�)2 +Ncos2�(d�)2

�2(d�)2 +N2cos2�(d�)2=II

I(70)

La expresión II se denomina segunda forma cuadrática fundamental del elip-soide de revolución.

Como el meridiano es la curva d� = 0, el valor de la curvatura normal segúnel meridiano es

kn(meridiano) =1

radiodecurvaturanormal(meridiano)=1

�

� = a(1� e2)(1� e2sen2�)�3=2 es el valor del radio de curvatura normal enla dirección del meridiano

� =a(1� e2)p1� e2sen2�

3 (71)

En la dirección perpendicular al meridiano, primer vertical, d� = 0,

kn(primervert) =1

radiodecurvaturanormal(primervertical)=1

N

N = a(1� e2sen2�)�1=2

N =ap

1� e2sen2�(72)

12

El radio de curvatura normal en un punto en la dirección del primer verticalcoincide con la gran normal, pero no con el radio del paralelo del elipsoide quevale Ncos�.

El radio de curvatura normal en una dirección de acimut A (origen norte) es

1

RA=1

�cos2A+

1

Nsen2A (73)

Teorema de Meusnier.

Para todas las curvas que pasen por el punto donde se calcula kn que tenganla tangente común (d�; d�), kn es constante. Se puede escribir����!k1��� cos�1 = ����!k2��� cos�2 = kn

Siendo �1 y �2 los ángulos que forman los respectivos vectores curvaturade cada curva con la normal a la super�cie.

�!k1 y

�!k2 tienen la dirección de la

normal a la curva (triedro de Frenet).

1.15 Cálculo de la curvatura tangencial o geodésica.

Teniendo en cuenta�!k =

�!kn +

�!kg , si consideramos un vector

�!u , contenido enel plano tangente, tal que

�!u=�!t ��!nS

13

�!u tiene la dirección de la curvatura geodésica.Por tanto

�!k =

�!kn +

�!kg=kn

�!ns + kg�!u (74)

Multiplicando escalarmente por �!u , resulta

kg =�!k :(�!t ��!ns) = [

�!k ;�!t ;�!ns] = [�!x �;�!x 0;�!ns] (75)

[] producto mixto�!t =

d�!xds

= �!x 0

�!k =

d�!t

ds= �!x�:

Representando por �la derivación respecto del arco ds.

Cuando el parámetro es diferente del arco, por ejemplo m, el valor de kg; seobtiene por la fórmula

kg = [d2x=dm2; dx=dm;ns]=jdx=dmj3 (76)

Si las curvas coordenadas son ortogonales, sean�!iu e

�!iv los vectores unitarios

tangentes a las curvas u = constante y v = constante en un punto P.

El vector unitario tangente�!t de una curva cualquiera que pase por P, se

puede expresar por

�!t =

�!iusenA+

�!iv cosA (77)

el vector �!u , coplanario con �!t y perpendicular a él, se escribirá

�!u = �!iucosA��!iv senA (78)

siendo A el ángulo que forma�!t con la curva v = const.

En el caso del elipsoide de revolución v = � = const. y A es el acimut de lacurva en P.

14

d�!t

ds=d�!iuds

senA+�!iucosA

dA

ds+d�!ivds

cosA��!iv senAdA

ds(79)

k =d�!iuds

senA+d�!ivds

cosA+ (iucosA� ivsenA)dA

ds(80)

k =d�!iuds

senA+d�!ivds

cosA+�!u dAds

(81)

kg = (d�!iuds

:�!u )senA+ (d�!ivds

:�!u )cosA+ dA

ds(82)

(kg)u =d�!iuds

:�!u es la curvatura geodésica en la dirección u = constante

(kg)v =d�!ivds

:�!u es la curvatura geodésica en la dirección v = constante

Resulta la fórmula de Liouville para el cálculo de la curvatura geodésica.

kg =dA

ds+ (kg)usenA+ (kg)vcosA (83)

1.16 Geodésicas.

Las curvas cuya curvatura geodésica es nula en todos sus puntos se denominangeodésicas de la super�cie o líneas geodésicas.En el caso general en que la super�cie contenga rectas (por ejemplo, los

conos y cilindros), toda recta contenida en una super�cie es una geodésica. Si lageodésica no es una recta, a lo largo de la misma la normal principal de la curvay la normal a la super�cie coinciden. O lo que es lo mismo, el plano osculadorcontiene a la normal a la super�cie en todos los puntos de la geodésica.

Si la normal principal y la normal a la super�cie coinciden, [�!x�;�!x0;�!ns]será siempre cero en todos los puntos de la curva, luego la curva es una geo-désica. Recíprocamente si la curvatura geodésica es nula, entonces coinciden lasdos normales en cada punto.Como los radios de curvatura de los círculos máximos de una esfera (direcciónde la normal principal) coinciden con los radios de la esfera y estos con las nor-males, las geodé sicas de la esfera son los círculos máximos. Desempeñan un

15

papel análogo a las rectas en el plano.

Interpretación física.

La geodésica es la �gura de equilibrio que adopta un hilo inextensibleapoyado en una super�cie, suponiendo que no hay rozamiento, cuando no estásometido a otras fuerzas más que a las tensiones en sus extremos y a la reacciónnormal de la super�cie. En efecto, cada elemento del hilo está sometido ala acción según la tangente, a la tensión en sentido inverso de una tangentein�nitamente próxima y a la reacción normal de la super�cie. Para que hayaequilibrio la resultante de estas fuerzas debe ser nula, luego la reacción debeestar en el plano que de�nen las dos tangentes in�nitamente próximas, el planoosculador (plano que pasa por tres puntos consecutivos de la curva). De donde,el plano osculador contiene a la normal a la super�cie.

La trayectoria de un punto material restringido a moverse sobre la su-per�cie, sin rozamiento, cuando sobre él no actúa otra fuerza que la reacciónnormal de la super�cie es una geodésica. En efecto, la dirección de la normalprincipal de la trayectoria �la aceleración �se confunde con la única fuerza ac-tuante, la reacción que es normal a la super�cie por la hipótesis de la ausenciade rozamiento.

1.17 Ecuación diferencial de las geodésicas.

La coincidencia de la normal principal de la curva con la normal a la super-�cie se puede expresar analíticamente por las condiciones

d�!t

ds:�!xu = 0

d�!t

ds:�!xv = 0 (84)

ds2 = Edu2 + Fdudv +Gdv2 (85)

Si en lugar de s se toma otro parámetro, por ejemplo u, tras laboriososcálculos se llega a

d2v=du2 = A(dv=du)3 +B(dv=du)2 + Cdv=du+D (86)

Como consecuencia del Teorema de existencia y unicidad de las ecuacionesdiferenciales, dado un punto (u; v) y la dirección de una tangente dv=du, hayuna geodésica, y sólo una, que pasa por dicho punto con esa dirección.

16

1.18 Ecuación diferencial de las geodésicas en el elipsoidede revolución.

Dada la coincidencia de la normal principal y la normal a la super�cie entodos los puntos de la geodésica, la ecuación de la normal adopta la forma:

X � xd2x=ds2

=Y � yd2y=ds2

=Z � zd2z=ds2

(87)

Como todas las normales en el elipsoide de revolución cortan al eje OZ(X =0; Y = 0), resulta

xd2y

ds2= y

d2x

ds2(88)

Los meridianos del elipsoide de revolución

y = x tan g�,

veri�can idénticamente la ecuación diferencial anterior, resulta que losmerid-ianos del elipsoide de revolución son geodésicas.

Análogamente el ecuador

x = acos�y = asen�z = 0

El ecuador es una geodésica del elipsoide de revolución.

Esta ecuación de segundo orden tiene la integral primera

d

ds

�xdy

ds� y dx

ds

�= 0 (89)

xdy

ds� y dx

ds= C (90)

xdy � ydx = Cds (91)

C es una constante arbitraria.

17

1.19 Teorema de Clairaut.

Si consideramos un arco elemental de geodésica P1P2. Si ds es su longitud yP2P 02 es el arco de paralelo que contiene a P2 y A es el acimut de la geodésicaen P1. El triángulo elemental P1P2P 02 puede considerarse plano y escribir:

pd� = ds:senA (92)

p es el radio del paralelo y d� la diferencia de longitud.Si adoptamos el sistema de coordenadas cilíndricas (p; �; z)

x = pcos� y = psen� (93)

dx = �psen�+ cos�dp (94)

dy = pcos�+ sen�dp (95)

la integral primera se escribirá:

xdy � ydx = p2d� = Cds (96)

Como pd� = ds:senA

18

resulta:

psenA = C (97)

En cada punto de la geodésica el producto del radio del paralelo por el senodel acimut es una constante. Este resultado se conoce con el nombre de Teoremade Clairaut para las geodésicas.

Consideremos una geodésica distinta del ecuador y de un meridiano, sea A0

el acimut en el punto de corte con el ecuador, (A0 6= 0 , A0 6=�

2), limitándonos

al hemisferio norte, y aplicando el teoremarP :senoA = a:senoA0

Cuando A =�

2, la geodésica será tangente a un determinado paralelo cuya

latitud será la máxima que alcanza la geodésica dada.

La ecuación anterior tomará la forma

rP = b cosuP = a:senoA0

siendo rP el radio del paralelo y uP la latitud reducida correspondiente enel que la geodésica es tangente.

En cualquier otro punto Q de la geodésica, se veri�cará:rQ:senoAQ = a:senoA0

Como A0 < AQ <�

2, sigue que rQ > rP , lo que implica latitud de Q, menor

que la del paralelo donde alcanza el valor máximo.

Al considerar el hemisferio sur, por la simetría del elipsoide de revolución,se llega a la misma conclusión, hay un paralelo donde la latitud es mínima.

Cualquier geodésica, distinta del ecuador y de un meridiano, describe unain�nidad de espiras en la zona del elipsoide de revolución comprendida entre dosparalelos, uno en el hemisferio norte y otro en el hemisferio sur, donde alcanzalos valores máximo y mínimo de latitud respectivamente.

1.20 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer ordenequivalente a la ecuación de segundo orden de lasgeodésicas del elipsoide de revolución.

Teniendo en cuenta:

19

p2d� = Cds (98)

ypsenA = C (99)

resulta

pd� = senAds = Ncos�d� (100)

De

ds2 = �2d�2 + p2d�2 = �2d�2 + sen2Ads2 (101)

cos2Ads2 = �2d�2�d� = cosAds (102)

Teniendo en cuenta que la curvatura geodésica del paralelo es (kg)p =�tang�=N y la del meridiano es nula, aplicando la fórmula de Liouville re-sulta:

0 = dA=ds� tang�=NsenA (103)

De todo lo anterior resulta el sistema de ecuaciones diferenciales:

d�=ds = senA=Ncos� (104)

d�=ds = cosA=� (105)

dA=ds = tang�senA=N (106)

Este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es particularmenteindicado para el cálculo con ordenador.

20

2 Problemas directo e inverso de la Geodesia.

PROBLEMA DIRECTO:

Conocidas

Las coordenadas geodésicas ('1; �1) de P1La longitud del arco de geodésica P1 - P2El acimut A12de P2 en P1

Determinar

Las coordenadas geodésicas ('2; �2) de P2El acimut A21de P1 en P2

PROBLEMA INVERSO:

ConocidasLas coordenadas geodésicas ('1; �1) de P1 y ('2; �2) de P2

Determinar:La longitud del arco de geodésica P1 - P2El acimut A12de P2 en P1El acimut A21de P1 en P2

21

2.1 Algunas fórmulas previas.

2.1.1 Elemento del arco de meridiano d� en función de la latitudreducida

En la elipse meridiana

x = a: cos y = b:sen (107)

d�2 = dx2 + dy2 =�a2sen2 + b2 cos2

�d 2 = b2(1 +

a2 � b2b2

sen2 )d 2

(108)

d� = bp1 + e02sen2 d (109)

El arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida

� = b

Z0

p1 + e02sen2 d (110)

integral elíptica de primera especie.

2.1.2 Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y enla dirección de esta

Sean:A acimut de la geodésica en un punto P

R radio de curvatura normal en la dirección A en el punto P� radio de curvatura normal en la dirección del meridiano de PN radio de curvatura normal en la dirección del primer vertical de PA0 acimut de la geodésica en el punto de corte con el ecuadorr radio del paralelo que pasa por P

Aplicando el teorema de Euler

22

1

R=1

�cos2A+

1

Nsen2A (111)

y el teorema de Clairaut

r:senA = a:senA0 (112)

Si consideramos la función W (')

W =p1� e2sen2' (113)

Los radios de curvatura normal N y � se escriben

N =ap

1� e2sen2'=

a

W(114)

� =a(1� e2)p1� e2sen2'

3 =a(1� e2)W 3

(115)

1

R=1

�+

�1

N� 1

�

�sen2A (116)

senA =a:senA0

r=a:senA0N: cos'

=WsenA0cos'

(117)

1

N� 1

�=W

a� W 3

a (1� e2) =W��1� e2

��W 2

�a (1� e2) = �e

2W cos2 '

a (1� e2) (118)

�1

N� 1

�

�sen2A = �e2 1

�sen2A0 (119)

1

R=1

�

�1� e2sen2A0

�(120)

pero K�1 =�1� e2sen2A0

�= const: es una constante

23

R =�

(1� e2sen2A0)= K:� (121)

En todo punto de una geodésica del elipsoide de revolución, distinta delecuador y de un meridiano, se veri�ca que el radio de curvatura normal en ladirección de la geodésica es proporcional al radio de curvatura normal en ladirección del meridiano.

2.1.3 Imagen esférica de una geodésica del elipsoide de revolución

Consideremos la elipse meridiana y su circunferencia principal, al girar alrede-dor del semieje menor, ambas curvas describen un elipsoide de revolución y unaesfera respectivamente. Esta esfera concéntrica con el elipsoide y coincidente enel ecuador se la denomina esfera principal del elipsoide, algunos la llama tam-bién esfera de Jacobi.

Las geodésicas de la esfera son los círculos máximos.

Dada una geodésica del elipsoide cuyo acimut en C (punto de corte con elecuador) es Aoe, existe un círculo máximo de la esfera que pasa por el punto Ccon un acimut esférico A0E tal que

A0e = A0E (122)

Con el subindice e representaremos los elementos de elipsoide y con el subindiceE los elementos de esta esfera principal.Se Pe un punto de la geodésica anterior ('e; �e; e)

e latitud reducida de Pe, establecemos la correspondencia

Pe ! PE (123)

PE es un punto del círculo máximo anterior tal que

'E = e (124)

'E es la latitud en la esfera.

24

25

Esta correspondencia es biunívoca entre los puntos del elipsoide y los puntosde la esfera. El caso A0e = �=2 es trivial, aplica el ecuador sobre si mismo, yaque el ecuador es una geodésica en ambas super�cies. El caso A0e = 0 aplica elmeridiano sobre su circunferencia principal.

Propiedades.1. La correspondencia conserva los acimutes

APe = APE (125)

Aplicando el teorema de Clairaut en el elipsoide y en la esfera

resenAe = a:senA0e (126)

rEsenAE = a:senA0E (127)

resenAe = rEsenAE (128)

Pero re = rE por la forma de establecer la correspondencia, luego

senAe = senAE (129)

APe = APE (130)

2. La correspondencia conserva las latitudes reducidas

E = 'E = e (131)

ya que en la esfera la latitud reducida coincide con la latitud esférica.

3. La correspondencia no conserva las longitudes.

Aplicando la ecuación de Laplace:

dA = sen'd� (132)

en dos puntos in�nitesimalmente vecinos en la geodésica del elipsoide y enlos puntos correspondientes de la esfera:

dAE = d�Esen'E = d�Esen e (133)

dAe = d�esen'e (134)

26

resulta:

d�Esen e = d�esen'e (135)

d�E � d�e =

�sen'esen e

� 1�d�e (136)

Integrando

" = �E � �e =�eZ0

�sen'esen e

� 1�d�e (137)

Como el integrando es siempre positivo " > 0, la longitud del punto corre-spondiente en la esfera avanza la cantidad anterior ".

2.1.4 Triángulo esférico polar asociado a un arco de geodésica

Sean Pe y Qe los extremos de un arco de geodésica en el elipsoide, usando lacorrespondencia anterior, se obtienen los puntos PE y QE tal que PE tiene lalatitud esférica eP y su acimut esférico es AeP , análogamente en QE . Con losmeridianos que pasan por PE y QE y el arco PE QE , se forma un triánguloesférico cuyo ángulo en el polo es

�Q � �P + "Q � "P = ��+�" (138)

La utilización de la correspondencia anterior, reduce algunos de los cálculosa la trigonometría esférica.

2.1.5 Longitud del elemento de arco de geodésica distinta del ecuador

Consideremos los puntos P y Q in�nitamente próximos en una geodésica, en elmeridiano de P un punto H tal que está en el mismo paralelo que Q.

Se forma un triángulo in�nitesimal en el que:

ds =PH

cosA=

d�

cosA(139)

d� = bp1 + e02sen2 d (140)

27

d� es la longitud del arco de meridiano PH.

Aplicando el teorema de Clairaut

rsenA = asenA0 (141)

a cos senA = asenA0 (142)

cos senA = senA0 (143)

ds =d�s

1� sen2A0cos2

= b

�1 + e

02sen2 �12 cos p

cos2A0 � sen2 d (144)

A0es el acimut de la geodésica en C, punto de corte con el ecuador

Haciendo el cambio de variable

sen = cosA0sen! cos d = cosA0 cos!d! (145)

ds = bq(1 + e02 cos2A0sen2!)d! (146)

! es la distancia en la esfera desde C al punto de latitud , se llama elon-gación geodésica.

2.1.6 Cálculo de la longitud (geodésica distinta del ecuador)

En el triángulo anterior

QH = rd� = ds � senA (147)

r2d� = a:senA0ds (148)

d� =ds:senA0a: cos2

(149)

28

Utilizando el cambio de variables anterior y el valor de ds:

d� =b

a

p(1 + e02 cos2A0sen2!)senA0

(1� cos2A0sen2!)d! (150)

2.1.7 Integración del arco (geodésica distinta del ecuador)

Si efectuamos la substitución

t2 = e02 cos2A0 (151)

resulta

ds = bp(1 + t2sen2!)d! (152)

Llamando x = t2sen2!

El desarrollo por la fórmula del binomio del radical es

�1 + t2sen2!

�12 = (1+x)

1

2 =

1

20

!+

1

21

!x+

1

22

!x2+

1

23

!x3+ ::::

(153): 1

20

!= 1

1

21

!=1

2

1

22

!=

1

2

�1

2� 1�

2!= �1

2

1

4

1

23

!=

1

2

�1

2� 1��

1

2� 2�

3!=1

2

1

4

3

6

�1 + t2sen2!

�12 = 1 +

1

2t2sen2! � 1

2

1

4t4sen4! +

1

2

1

4

3

6t6sen6! � ::: ,

La longitud del arco de geodésica desde el ecuador a un punto de�nido por!

29

s = b

!Z0

�1 + t2sen2!

�12 d! = b

!Z0

(1+1

2t2sen2!�1

2

1

4t4sen4!+

1

2

1

4

3

6t6sen6!�:::)d!

(154)

s = b(

!Z0

d! +1

2

!Z0

t2sen2!d! � 12

1

4

!Z0

t4sen4!d! +1

2

1

4

3

6

!Z0

t6sen6!d! � :::)

(155)

J.J. Levalois llama integrales de Wallis a

W2p =!R0

sen2p!d!

Usando esta notación

s = b(W0 +1

2t2W2 �

1

2

1

4t4W4 +

1

2

1

4

3

6t6W6 � :::) (156)

Las integrales W veri�can la siguiente relación de recurrencia:

Wn =n� 1n

Wn�2 �1

nsenn�1! cos! (157)

en efecto:

Wn =

!Z0

senn!d! =

!Z0

senn�2!sen2!d! =

!Z0

senn�2!(1� cos2 !)d!(158)

Wn =

!Z0

senn�2!(1� cos2 !)d! =!Z0

senn�2!d! �!Z0

senn�2! cos2 !d!(159)

Integrado por partes el segundo sumando

u =senn�1!

n� 1 du = senn�2! cos!d! v = cos! dv = �sen!d!(160)

30

Wn =Wn�2�senn�1!

n� 1 cos!� 1

n� 1

!Z0

senn!d! =Wn�2�senn�1!

n� 1 cos!� 1

n� 1Wn

(161)

(1� 1

n� 1)Wn =n

n� 1Wn =Wn�2 �senn�1! cos!

n� 1 (162)

Aplicando la relación de recurrencia, resulta:W0 = !

W2 =1

2(! � sen! cos!)

W4 =3

4W2 �

1

4sen2!(sen! cos!)

W6 =5

6W4 �

1

6sen4! (sen! cos!)

s = b(W0 +1

2t2W2 �

1

2

1

4t4W4 +

1

2

1

4

3

6t6W6 � :::) (163)

En la mayor parte de las aplicaciones difícilmente se pasa del grado 6.

En el caso del ecuador:

s = a (�2 � �1)

2.1.8 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un puntode latitud reducida (Fórmula de Levallois)

Cuando se trata del meridiano A0 = 0

la fórmula t2 = e02 cos2A0se reduce a t2 = e

02

smeridiano = b(W0m +1

2e02W2m �

1

2

1

4e04W4m +

1

2

1

4

3

6e06W6m � :::) (164)

31

como

sen = cosA0sen! ) sen = sen! ) = !

W0m =

W2m =1

2( � sen cos )

W4m =3

4W2 �

1

4sen2 (sen cos )

W6m =5

6W4 �

1

6sen4 (sen cos )

2.1.9 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud geodésica'

La fórmula clásica resulta de la integración de

s =

'Z0

�d' =

'Z0

a�1� e2

�(1� e2sen2')

3

2

d' =

'Z0

a�1� e2

� �1� e2sen2'

��32 d'

(165)

desarrollando por fórmula del binomio

�1� e2sen2'

��32 =

�320

!+

�321

!(�e2sen2')+

�322

!(�e2sen2')2+

�323

!(�e2sen2')3+:::

(166) �320

!= 1

�321

!= �3

2

32

�322

!=

��32

���32� 1�

2=15

8 �323

!=

��32

���32� 1��

�32� 2�

3:2= �105

48

s = a:�1� e2

� 'Z0

(1 +3

2e2sen2'+

15

8e4sen4'+

105

48e6sen6'+ :::)d' (167)

Teniendo en cuenta las fórmulas de de Moivre

sen2' =1� cos 2'

2(168)

sen4' =3� 4 cos 2'+ 4 cos 4'

8(169)

sen6 =10� 15 cos 2'+ 6 cos 4'� 6 cos 6'

32(170)

Integrando término a término hasta los de e6, resulta

s = a(1� e2)(B0'�1

2B1sen2'+

1

4B3sen4'�

1

6B4sen6'+ :::) (171)

B0 = 1 +3

4e2 +

45

64e4 +

175

256e6 (172)

B1 =3

4e2 +

15

16e4 +

525

512e6 (173)

B2 =15

64e4 +

105

256e6 (174)

B3 =35

512e6 (175)

Esta es la fórmula clásica en función de los senos de los múltiplos de lalatitud.

33

2.1.10 Cálculo de la longitud � en función de !

La fórmula

d� =b

a

(1 + e02 cos2A0sen

2!)

1

2 senA01� cos2A0sen2!

d! (176)

con la substitución t2 = e02 cos2A0, se convierte en

d� =b

asenA0

�1 + t2sen2!

�12

1� cos2A0sen2!d! (177)

Integrado resulta

� =b

asenA0

!Z0

�1 + t2sen2!

�12

1� cos2A0sen2!d! (178)

Sustituyendo el numerador del integrando por el desarrollo en serie

� =b

asenA0

!Z0

1 +1

2t2sen2! � 1

2

1

4t4sen4! +

1

2

1

4

3

6t6sen6! � :::

1� cos2A0sen2!d! (179)

� =b

asenA0

!Z0

d!

1� cos2A0sen2!+1

2t2

!Z0

sen2!d!

1� cos2A0sen2!�12

1

4t4

!Z0

sen4!d!

1� cos2A0sen2!+1

2

1

4

3

6t6

!Z0

sen6!d!

1� cos2A0sen2!�:::

(180)

� =b

asenA0

�I0 +

1

2t2I2 �

1

2

1

4t4I4 +

1

2

1

4

3

6t6I6 + :::

�(181)

Las integrales I2p veri�can la relación de recurrencia

34

I2p =W2p + cos2A0I2p+2 (182)

En efecto:

I2p =

!Z0

sen2p!d!

1� cos2A0sen2!=

!Z0

sen2p!�1� cos2A0sen2! + cos2A0sen2!

�1� cos2A0sen2!

d!

(183)

I2p =

!Z0

sen2p!d! + cos2A0

!Z0

sen2p+2!d!

1� cos2A0sen2!(184)

Aplicando la relación de recurrencia:

I0 = I0 (185)

I2 =I0 �W0

cos2A0(186)

I4 =I2 �W2

cos2A0=I0 �W0

cos4A0� W2

cos2A0(187)

I6 =I0 �W0

cos6A0� W2

cos4A0� W4

cos2A0(188)

La expresión de la longitud se escribe

� =b

asenA0

2664 I0 +1

2t2�I0 �W0

cos2A0

�� 12

1

4t4�I0 �W0

cos4A0� W2

cos2A0

�+1

2

1

4

3

6t6�I0 �W0

cos6A0� W2

cos4A0� W4

cos2A0

�� :::

3775 (189)

Como t2 = e02 cos2A0

� =b

asenA0

264 I0 +1

2e02 (I0 �W0)�

1

2

1

4e04�I0 �W0 �W2 cos

2A0�

+1

2

1

4

3

6e06�I0 �W0 �W2 cos

2A0 �W4 cos4A0

�� :::

375 (190)

35

después de reordenar, resulta:

� =b

asenA0

2664 I0

�1 +

1

2e02 � 1

2

1

4e04 +

1

2

1

4

3

6e06 � :::

�+W0

�1

2e02 � 1

2

1

4e04 � 1

2

1

4

3

6e06 + :::

�+W2 cos

2A0

�1

2

1

4e04 � 1

2

1

4

3

6e06 + :::

�+W4 cos

2A0

��12

1

4

3

6e06 + :::

�+ :::

3775(191)

� =b

asenA0

�M:I0 + C0W0 + C2W2 cos

2A0 + C4W4 cos2A0 + ::::

�(192)

M = 1 +1

2e02 � 1

2

1

4e04 +

1

2

1

4

3

6e06 � ::: = (1 + e

02)

1

2 (193)

b

a=

�1� e2

�12 M:

b

a= 1 (194)

B0 =b

aC0 (195)

B2 =b

aC2 (196)

B4 =b

aC4 (197)

� = senA0:I0 + senA0�B0W0 +B2W2 cos

2A0 +B4W4 cos4A0 + :::

�(198)

� = senA0:I0 + senA0

"X0

B2pW2p cos2pA0

#(199)

El primer sumando se escribe

36

senA0:I0 = senA0

!Z0

d!

1� cos2A0sen2!= senA0

!Z0

d!

cos2 !1

cos2 !� cos2A0 tan2 !

(200)

senA0:I0 =

!Z0

d (senA0 tan!)

1 + sen2A0 tan2 !

= arctan(senA0 tan!) (201)

Llamando

�" = senA0

"X0

B2pW2p cos2pA0

#(202)

La expresión de la longitud adopta la forma:

�+ " = arctan(senA0 tan!) (203)

tan(�+ ") = senA0 tan! (204)

considerando esta expresión en la esfera principal, resulta la coincidencia delos dos valores de ".

37

2.1.11 Elementos del triángulo polar sobre la esfera

Las latitudes paramétricas(elipsoide): 1 y 2Las elongaciones geodésicas(esfera): !P1 y !P2Los acimutes (esfera y elipsoide): AP1 y AP2Las longitudes (esfera): �P1 + "P1 y �P2 + "P2

La solución de este triángulo esférico resuelve tanto el problema directo comoel inverso. Aunque no es precisamente un problema trivial. Las distintas solu-ciones, fruto de 150 años de trabajo, se diferencian en la forma de determinarlos elementos: �" y s.

2.2 Problema Inverso Solución de J.J. Levallois y Du Puy.

" = �senA0

"X0

B2pW2p cos2pA0

#(205)

38

La longitud del arco de geodésica

s = b(W0 +1

2t2W2 �

1

2

1

4t4W4 +

1

2

1

4

3

6t6W6 � :::) (206)

t2 = e02 cos2A0 (207)

2.3 Problema Inverso. Solución iterativa de Helmertmodi�cada por Sodano.

Designando el ángulo en N (diferencia de longitudes esféricas) por

L = (�P2 + "p2)� (�P1 + "p1) = ��+�" (208)

se determina por un procedimiento iterativo con la ayuda de un punto aux-iliar P0.

P0 es el punto donde la geodésica de la esfera alcanza su latitud máxima,que se corresponde con un punto del elipsoide de latitud reducida 0.

El triángulo ANP0 tiene dos lados AN = AP0 = 90�, y el ángulo en P0también es recto.

1. Cálculo de las latitudes reducidas.

tan 1 =b

atan'1 tan 2 =

b

atan'2 (209)

2. Se inicia el proceso iterativo con un valor inicial de L = ��, calculándosecada vez un nuevo valor de L con la ayuda de las fórmulas siguientes hasta queno se produzcan cambios signi�cativos de L.

Llamando �0 al arco P1P2 correspondiente al valor actual de L, resulta

cos�0 = sen 1sen 2 + cos 1 cos 2 cosL (210)

aplicando el teorema del coseno en el triángulo P1NP2.

39

sen�0 = (signo��)p1� cos2 �0 (211)

sen2�0 = 2sen�0 cos�0 (212)

sen3�0 = 3:sen�0 � 4sen3�0 (213)

Aplicando el teorema de los senos en los triángulos P1NP0, P2NP0y P1NP2

cos 0 = cos 1senAP1 = cos 2senAP2 (214)

cos 2senL = sen�0senAP1 (215)

cos 0 = cos 1 cos 2senL=sen�0 (216)

Llamando

2�m = !P1 + !P2 � = !P2 � !P1 (217)

cos 2�m = cos(!P1 + !P2) = cos!P2 cos!P1 � sen!P2sen!P1 (218)

cos� = cos(!P2 � !P1) = cos!P2 cos!P1 + sen!P2sen!P1 (219)

cos 2�m + cos� = 2 cos!P1 cos!P2 (220)

cos 2�m = 2sen 1sen 2cos2A0

� cos�0 (221)

cos 4�m = �1 + 2 cos2 �m�L = cos 0 (A:�0 �B:sen�0 cos 2�m + C:sen2�0 cos 4�m)(222)

A =e2e;

e+ e;� e2e;2

16sen2 0 +

3e2e;4

128sen4 0 (223)

B =e2e;2

16sen2 0 �

e2e;4

32sen4 0 (224)

C =e2e;4

256sen4 0 (225)

40

3. Una vez calculado un valor de L satisfactorio, se calcula s por

s = b (B0�0 +B2sen�0 cos 2�m +B4sen2�0 cos 4�m +B6sen3�0 cos 6�m)(226)

B0 = 1 +e;2

4sen2 0 �

3e;4

64sen4 0 +

5e;6

256sen6 0 (227)

B2 =e;2

4sen2 0 �

e;4

16sen4 0 +

15e;6

512sen6 0 (228)

B4 =e;4

128sen4 0 �

3e;6

512sen6 0 (229)

B6 =e;6

1536sen6 0 (230)

y los acimutes por:

cotAP1 =tan 2 cos 1 � cosLsen 1

senL(231)

cotAP2 =cosLsen 2 � tan 1 cos 2

senL(232)

2.4 Problema directo. Método de E. Sodano.

El punto de partida son las fórmulas de Helmert. Mediante unos desarrollos enseries de potencias, que incluyen hasta los términos de grado seis en la excent-ricidad del elipsoide, se eliminan las iteraciones del método de Helmert.El método se adapta bien al cálculo electrónico y se consigue una exactitud

de hasta diez decimales en el acimut y la distancia expresados en radianes. Lasolución es adecuada tanto para líneas muy cortas como para las grandes líneasque pueden extenderse hasta un hemisferio.Si L es la diferencia de longitudes en la esfera y ��la diferencia de longitudes

en el elipsoideL = ��+�"

se consigue la eliminación del proceso iterativo sustituyendo las fórmulasde Helmert por desarrollos en serie de �", que es un in�nitésimo, teniendo encuenta la igualdad anterior.

La deducción de las fórmulas está publicada en el Bulletin Geodésique:"A rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of very long geo-desics". Emanuel Sodano. B.G n� 47-48 pp 13 - 25. 1958. (Se incluye una copia

41

para uso interno en el material complementario del curso, aunque los símbolosno son iguales a los utilizados aquí).Algoritmo:

Datos: '1 �1 AP1 s.

Incógnitas: '2 �2 AP2

Latitud reducida P1: tan 1 =b

atan'1

Latitud reducida P0: cos 0 = cos 1senAP1 g = cos 1 cosAP1

m1 =

�1 +

e;2

2sen2 1

��1� cos2 0

��s =

s

bradianes

a1 =

�1 +

e;2

2sen2 1

��sen2 1 cos�s + g:sen 1sen�s

�

�0 = �s + a1

��e

;2

2sen�s

�+m1

��e

;2

4�s +

e;2

4sen�s cos�s

�+

a21

�5e;4

8sen�s cos�s

�+m2

1

�11e;4

64�s �

13e;4

64sen�s cos�s �

e;4

8�s cos

2 �s +5e;4

32sen�s cos

3 �s

�+

a1m1

�3e;4

8sen�s +

e;4

4�s cos�s �

5e;4

8sen�S cos

2 �S

�

Arco distinto del meridiano, AP1 = 0

cotAP2 = (g cos�0 � sen 1sen�0) = cos 0

Cuando se trate de un arco de meridiano, AP2 = 0 y el signo es el delnumerador de la fórmula anterior.

cotL = (cos 1 cos�0 � sen 1sen�0 cosAP1) = (sen�0senAP1)

�� = L+cos 0

��f�s + a1

�3f2

2sen�s

�+m1

�3f2

4�s �

3f2

4sen�s cos�s

��

�2 = �1 +��

42

sen 2 = sen 1 cos�0 + g:sen�0

cos 2 = +

qcos2 0 + (g cos�0 � sen 1sen�0)

2

tan 2 =sen 2cos 2

tan'2 =a

btan 2

2.5 Problema inverso. Fórmulas de Sodano.

Algoritmo:

Datos: '1 �1 '2 �2

Incógnitas: AP2 AP1 s.

Latitud reducida P1: tan 1 =b

atan'1

Latitud reducida P2: tan 2 =b

atan'2

Diferencia de longitudes: �� = �2 � �1

cos� = sen 1sen 2 + cos 1 cos 2 cos��

sen� =

q(cos 2sen��)

2+ (sen 2 cos 1 � sen 1 cos 2 cos��)

2

c = cos 1 cos 2sen��=sen�

a1 = sen 1sen 2

m1 = 1� c2

Distancia s:

43

s = b

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

�1 + f + f2

��+ a1

��f + f2

�sen�� f2

2�2 csc�

�+

m1

��f + f2

�2

���f + f2

�2

sen�cos� +f2

2�2 cot�

!+

a21

��f

2

2sen�cos�

�+m2

1

�f2

16� +

f2

16sen�cos�� f2

2�2 cot�� f2

8sen�cos3 �

�+

a1m1

�f2

2�2 csc� +

f2

2sen�cos2 �

�

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;

L = ��+ c

0BB@�f + f2

��+ a1

��f

2

2sen�� f2�2 csc�

�+

m1

��5f

2

4� +

f2

4sen�cos� + f2�2 cot�

�1CCA

Acimutes:

cotAP2 =sen 2 cos 1 cosL� sen 1 cos 2

senL cos 1

cotAP1 =sen 2 cos 1 � cosLsen 1 cos 2

senL cos 2

2.6 Cálculo de una triangulación en el elipsoide

2.6.1 Cálculos en la esfera.

Exceso esférico de un triángulo.

44

Dado el triángulo esférico de vertices A,B,C y cuyos ángulos, expresados enradianes, son respectivamente A,B y C. Se denomina exceso esférico a

" = A+B + C � �El exceso esférico es proporcional al área del triángulo e inversamente pro-

porcional al cuadrado del radio de la esfera a la que pertenece.

Consideremos el hemisferio visible y las áreas de los sectores de vértices A,B y C.Sector esférico A: Área SA = 2:A:R2

Sector esférico B: Área SB = 2:B:R2

Sector esférico C: Área SC = 2:C:R2

Sumando estas áreas resulta el área del hemisferio 2�R2 más dos veces elárea del triángulo T .

2:A:R2 + 2:B:R2 + 2:C:R2 � 2:T = 2:�:R2

A+B + C � � = T

R2

Teorema de Legendre.

Tanto por su importancia histórica como por la utilidad que puedesuponer en determinadas ocasiones, aún hoy, el siguiente teorema, debido aLegendre, permite efectuar los cálculos de un triángulo esférico utilizando latrigonometría plana dentro de un cierto orden de aproximación.

Sean A, B, C los ángulos del triángulo esférico (radianes), a, b y c los lados(expresados en unidades lineales) y R el radio de la esfera, con una aproximacióndel cuarto orden, el cálculo del triángulo esférico se puede reducir al de untriángulo plano cuyos lados sean a, b y c, cuyos ángulos sean A� "

3, B � "

3y

C � "

3;

" es el exceso esférico del triángulo ABC

Si � =a

R, � =

b

Ry =

c

Rson los lados expresados en radianes, el teorema

del coseno en el triángulo esférico

cos� = cos� cos + sen�sen cosA

Desarrollando hasta el cuarto orden se puede escribir

cos� = 1� �2

2!+�4

4!

45

cos� = 1� �2

2!+�4

4!

sen� = � � �3

3!

cos = 1� 2

2!+ 4

4!

sen = � 3

3!

Sustituyendo los desarrollos en la fórmula del coseno

�1� �2

2!+�4

4!

�=

�1� �2

2!+�4

4!

��1� 2

2!+ 4

4!

�+

�� � �3

3!

�� � 3

3!

�cosA

(233)

1� �2

2!+�4

4!= 1� 2

2!+ 4

4!� �2

2!+�2 2

2!2!� �2 4

2!4!+�4

4!� �4 2

2!4!+�4 4

4!4!

+

�� � � 3

3!� �3

3!+�3 3

3!3!

�cosA

Una relación entre �; �; limitandonos a los términos de segundo ordenresulta

�2

2=�2

2+ 2

2� � cosA

�2 = �2 + 2 � 2� cosA

Limitandonos a los términos de cuarto orden se puede escribir:

��2

2!+1

4!

��2 + 2 � 2� cosA

�2= �

2

2!+ 4

4!��

2

2!+�2 2

2!2!+

�� � � 3

3!� �3

3!

�cosA

��2

2= �

2

2� �

2

2+�2 2

3!� �

2 2

3!cos2A+� cosA �2 = �2+ 2�2� cosA�

2�2 2

3!sen2A

Si pasamos a unidades lineales

a2 = b2 + c2 � 2bc�cosA+

�bc

6R2senA

�senA

�

46

En el caso del radio terrestre dA =bc

6R2senA

es in�nitesimal, y teniendo en cuenta que, en este caso,

cos(A� dA) � cosA+ dAsenA

a2 = b2 + c2 � 2bc cos�A�

�bc

6R2senA

��

pero"

3=

bc

6R2senA

a2 = b2 + c2 � 2bc cos�A� "

3

�Repitiendo el razonamiento resulta el teorema. El limitar los desarrollos a los

términos de cuarto orden, se limita la aplicación del teorema a triángulos cuyoslados no pasen de unos 150 Km, que es lo que ocurre con los lados normales deuna triangulación clásica. Cuando se trata de lados mayores, caso del enlanceEspaña Argelia con lados de unos 300 kms, hay que extender la aproximacióna términos de mayor orden en los desarrollos.

2.6.2 Extensión del teorema de Legendre al Elipsoide

Aplicando el Teorema de Gauss sobre la curvatura total de un polígono cerradoen el elipsoide, el resultado de Legendre puede utilizarse igualmente en el elip-soide siempre que se mantenga la limitación en la longitud de los lados anterior.Con todo rigor habría que calcular el exceso esférico teniendo en cuenta el áreadel triángulo y como radio de la esfera tomar el radio de curvatura medio en elcentro del triángulo. La práctica de calcular el exceso a partir de los ángulosobservados asegura además la condición de mínima varianza (mmcc) para lasolución de un triángulo plano aislado.

47