GEOMETRÍA EUCLIDEA, EUCLIDIANA O PARABOLICA

Geometría euclídeaGeometría se deriva de la palabra griega geometría (eletqia), que

significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.

La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en

muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas

acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales,

quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente.

En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos.

La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es una buena

manera de crear interés por las matemáticas entre los niños dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental.

Nociones tales como semejanza, congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional.

No creo que a los niños se les deba enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos con una perspectiva propia.

Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.

Es una ciencia accionámica, sus axiomas son:

El punto es la intersección de dos rectas y no tiene dimensión (no se puede representar)

La recta es la intersección de dos planos, es infinita, tiene una sola dimensión, es una dirección en el espacio que tiene dos sentidos. La recta es infinita, si le hacemos un solo corte, tenemos una semirrecta. Si la cortamos por dos sitios diferentes será un segmento. Una recta y todas sus paralelas son lo mismo.

Recta

semirrecta

Segmento

El plano determina una posición en el espacio, tiene dos dimensiones (longitud y anchura). Para definirlo se necesitan tres puntos no alineados. Un plano en todos sus paralelos son la misma cosa porque no tienen altura.

A • • B

C •

“ las rectas paralelas se cortan en un punto impropio (en el infinito)”

2.- Teoría del Modelo

Se fundamenta en dos leyes:

La semejanza un modelo con la misma forma pero con diferente tamaño.

La equivalencia se considera equivalente a dos cosas distintas a las que se les asigna un mismo valor.

Al ajuntar las dos definiciones tenemos la teoría del modelo. Algo de distinto tamaño, de diferente forma pero con el mismo valor. Tomamos como ejemplo el dibujo, la maqueta y la construcción de una casa.

todos los sistemas son:

La proyección de las sombras

Los planos donde se encuentra la sombra

Y una combinación de sombras que crean la REVERSIBILIDAD

todos los sistemas deben ser reversibles.

3.- Las Proyecciones Ortogonales (perpendiculares)

Todas estas rectas tienen una misma proyección.

Las proyecciones son mas pequeñas que el objeto excepto cuando las proyecciones son paralelas al objeto.

La geometría euclidiana euclídea o parabólica es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides.

Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.

En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.

Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.

Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual).

Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.

Geometría plana

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Axiomas

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquél que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.

2.Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.

3.Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4.Todos los ángulos rectos son congruentes.

5.Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada)

LIMITACIONES

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó que el quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no euclidianas.

Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).

Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).

EUCLIDEO Y EUCLIDIANO

En la comunidad matemática de habla hispana no están unificados los criterios acerca del uso de los adjetivos «euclidiano» y «euclídeo». Así, algunos autores asignan significados específicos a cada uno de estos términos, sirviéndose de ellos para distinguir entre conceptos matemáticos diferentes; mientras que otros

hacen uso exclusivo, ya sea de uno o del otro, en todos sus trabajos. Esta dualidad de criterios no se presenta en el idioma inglés, donde solo existe el término euclidean.

Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado: hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».

EJEMPLOS:

1. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.*Dos rectas son congruentes si y sólo si tienen igual longitud.(Verdadero) Dos segmentos son congruentes si tienen igual medida.*Dos rectas son congruentes si y sólo si coinciden en todos sus puntos.(Falso) puede ocurrir que tenga igual medida y no necesariamente iguales en sus puntos.*Dos rectas no pueden ser congruentes.(Falso) propiedad simétrica nos muestra que un segmento puede ser congruente con otro de igual medida.*Sea M Є AB . Si AM ≈ MB, entonces M es punto medio de AB .

CREDITOS:

ÁLVAREZ MATEO FRANCISCO O.

FERNÁNDEZ GUZMÁN ANTONIO

ROJAS ROMERO CARLOS ROBERTO

PROFESOR:

CLAUDIA PAVANO.

GRUPO:

2IM09

SALON:

A-38