Geometria SeM MiSTério

Série SeM MiSTéRio

Alemão Sem Mistério

Álgebra Sem Mistério

Cálculo Sem Mistério

Conversação em Alemão Sem Mistério

Conversação em Espanhol Sem Mistério

Conversação em Francês Sem Mistério

Conversação em Italiano Sem Mistério

Espanhol Sem Mistério

Francês Sem Mistério

Gramática Inglesa Sem Mistério

Italiano Sem Mistério

Pré-Álgebra Sem Mistério

Pré-Cálculo Sem Mistério

Química Orgânica Sem Mistério

Química Sem Mistério

iii

Geometria SeM MiSTério

Stan Gibilisco

Tradução da 2ª Edição

Rio de Janeiro, 2013

Para Samuel, Tony e Tim

do tio Stan.

Sobre o AutorStan Gibilisco, um engenheiro eletrônico, pesquisador e matemático, escreveu di-versos títulos para a série Sem Mistério, além de muitos outros livros técnicos e dezenas de artigos para revistas. Seu trabalho já foi publicado em várias línguas.

ix

Sumário

Agradecimentos xiii

Como Usar Este Livro xv

Parte I Duas Dimensões 1

Capítulo 1 Regras do Jogo 3

Pontos e Retas 4

Ângulos e Distâncias 6

Mais Sobre Retas e Ângulos 11

Teste Rápido 17

Capítulo 2 Triângulos 21

Definições de Triângulo 22

Tipos de Triângulos 32

Características Especiais 36

Teste Rápido 38

Capítulo 3 Quadriláteros 41

Tipos de Quadriláteros 42

Fatos Sobre os Quadriláteros 47

Perímetros e Áreas 54

Teste Rápido 60

Capítulo 4 Outras Figuras Planas 63

Cinco ou Mais Lados 64

Algumas Regras para os Polígonos 67

Círculos e Elipses 73

Teste Rápido 80

x GEOMETRIA SeM MiSTéRio

Capítulo 5 Compasso e Esquadro 83

Instrumentos e Regras 84

Métodos de Construção Linear 91

Métodos de Construção Angular 97

Teste Rápido 102

Capítulo 6 O Plano Cartesiano 105

Duas Retas Numeradas 106

Relação versus Função 109

Retas 112

Parábolas e Círculos 118

Resolvendo Pares de Equações 126

Teste Rápido 131

Teste: Parte I 135

Parte II Três Dimensões e Mais 149

Capítulo 7 Um Conjunto de Regras Ampliado 151

Pontos, Retas, Planos e Espaço 152

Ângulos e Distâncias 159

Mais Fatos 166

Teste Rápido 174

Capítulo 8 Área da Superfície e Volume 179

Objetos com Arestas 180

Cone Circular 186

Cilindros Circulares 190

Outros Sólidos 194

Teste Rápido 199

Capítulo 9 Vetores e Coordenadas Cartesianas Tridimensionais 203

Um Gostinho de Trigonometria 204

Vetores no Plano Cartesiano 207

Três Retas Numéricas 211

Vetores no Plano Cartesiano Tridimensional 214

Planos 221

Retas 225

Teste Rápido 229

SUMÁRIO xi

Capítulo 10 Coordenadas Alternativas 231

Coordenadas Polares 232

Alguns Exemplos 235

Compressão e Conversão 243

A Maneira dos Navegadores 247

Coordenadas Tridimensionais Alternativas 252

Teste Rápido 260

Capítulo 11 Hiperespaço e Espaço Curvo 263

Espaço Cartesiano n 264

Além de Quatro Dimensões 276

Princípio do Paralelismo Revisitado 281

Espaço Curvo 286

Teste Rápido 289

Teste: Parte II 293

Teste Final 309

Respostas dos Testes Rápidos, Testes e do Teste Final 341

Bibliografia Adicional Sugerida 345

Índice 347

xiii

AgradecimentosAgradeço especialmente a meu sobrinho Tim Boutelle, que me ajudou a revisar o original e fez sugestões usando o ponto de vista do futuro leitor.

xv

Como Usar Este LivroEste livro pode ajudá-lo a aprender geometria básica, sem que seja necessário fazer um curso específi co. Também serve de texto complementar em um ambiente de aula convencional ou particular.

A matemática usada aqui não ultrapassa o nível médio. Se precisar de uma recapitulação, pode escolher entre os diversos livros da série Sem Mistério dedi-cados ao tema. Caso deseje ter um conhecimento sólido de matemática antes de iniciar seus estudos de geometria, recomendo que estude os livros Pré-Álgebra Sem Mistério e Álgebra Sem Mistério.

Este livro contém dezenas de questões de múltipla escolha dispostas no for-mato padrão de teste. Há um teste rápido na última parte de cada capítulo. Você pode (e deve) consultar as informações ao realizá-los. Escreva suas respostas e entregue-as a um amigo. Peça que ele lhe diga a quantidade de respostas certas, mas não quais estavam erradas (o gabarito se encontra nas últimas páginas do livro). Reveja o capítulo até que consiga acertar a maior parte das respostas.

Este livro é composto de duas seções principais. Cada uma delas termina com um teste de múltipla escolha. Faça-os apenas quando tiver completado seus es-tudos das respectivas seções e feito todos os testes rápidos correspondentes. Não consulte o texto no momento em que os estiver fazendo. Eles são mais fáceis do que os do final dos capítulos e não exigem que se memorizem coisas triviais. O acerto de três quartos das respostas é um resultado satisfatório. As respostas po-dem ser encontradas no final do livro.

O livro acaba com um teste final contendo 100 questões. Faça-o quando tiver terminado de estudar todas as seções e fazer todos os testes intermediários. Um resultado satisfatório corresponde a 75% de respostas certas.

Quando realizar os testes intermediários e o teste final – bem como os testes rápidos – peça para que um amigo lhe diga apenas o número de respostas certas, e não quais questões você errou. Dessa forma, você não memoriza subconsciente-mente as respostas. Talvez seja necessário refazer os testes, ou o teste final, duas ou três vezes. Quando atingir um resultado que o satisfaça, você pode (e deve) checar onde estão seus pontos fortes e fracos.

Você não encontrará provas aqui. Em vez de tomar tempo e espaço com de-monstrações de teoremas, o conteúdo deste livro se concentra em fatos fundamen-tais e na diversidade de tópicos encontrados, se encontrados, em alguns outros textos introdutórios de geometria. Se você estiver interessado em determinar pro-vas, recomendo o livro Math Proofs Demystified.

Empenhe-se em terminar cada capítulo deste livro em aproximadamente dez dias ou duas semanas. Não se apresse, mas também não vá muito devagar. Man-tenha um ritmo constante e atenha-se a ele. Desta forma, você concluirá o curso em alguns meses (por mais que eu quisesse que fosse de outro jeito, nada pode substituir os “bons hábitos de estudo”). Quando terminar seus estudos, pode usar este livro como referência permanente.

Suas ideias e sugestões são bem-vindas para futuras edições.

Stan Gibilisco

xvi GEOMETRIA SeM MiSTéRio

Parte I

Duas Dimensões

3

Capítulo 1Regras do Jogo

As regras fundamentais da geometria datam do tempo dos antigos egípcios e dos gregos, que a usavam para calcular o diâmetro da Terra e a distância da Lua. Es-ses matemáticos empregavam as leis da geometria euclidiana (assim nomeada por causa de Euclides de Alexandria, um matemático grego que viveu por volta de 300 a.C.). A geometria euclidiana, também chamada geometria plana, envolve pontos, retas, e formas limitadas por superfícies planas.

OBJETIVOS DO CAPÍTULO

Neste capítulo, você vai:

!" Avaliar pontos “matematicamente perfeitos” e retas.

!" Diferenciar retas, semirretas e segmentos de reta.

!" Definir ângulos e distâncias.

!"Medir e comparar ângulos.

!" Somar e subtrair ângulos.

!" Aprender como as retas e os ângulos se relacionam.

4 GEOMETRIA SeM MiSTéRio

Pontos e Retas

Na geometria plana consideramos que certos conceitos são tão intuitivamente ób-vios que dispensam uma definição formal. Chamamos de “coisas matematicamente perfeitas” de objetos elementares: o ponto, a reta, o plano. Podemos imaginar um pon-to como uma esfera infinitamente pequena que possui área, comprimento e volume iguais a zero, mas apesar disso, possui uma localização específica. Podemos pensar na reta como infinitamente fina, perfeitamente reta, como um fio ou uma linha ilimitadamente longa. Podemos imaginar um plano como uma superfície infinita-mente fina e plana e que tem uma extensão infinita.

Nomeando Pontos e RetasGeômetras nomeiam pontos e retas usando letras maiúsculas e em itálico. A deno-minação mais comum para um ponto é P (de ponto), e para uma reta é R (de reta). Se tivermos diversos pontos em uma situação, podemos representá-los por letras maiúsculas (P, Q, R, S, até Z se necessário). Se duas ou mais retas existirem em uma situação, podemos utilizar as letras seguintes, a L até N (devemos evitar o uso da letra O em maiúsculo, pois é muito parecida com zero). Como alternativa, podemos usar subscritos numéricos com a letra maiúscula em itálico P

1, P

2, P

3,..., P

n ou R

1, R

2,

R3,..., R

n (no qual n representa um número inteiro positivo e arbitrário tão grande

quanto for necessário).

Princípio dos Dois PontosImagine que P e Q representam dois pontos geométricos diferentes. Esses pontos definem uma, e apenas uma, reta R (isto é, uma reta R única). As duas afirmações seguintes sempre constituem verdade em uma situação como essa, mostrada na Figura 1-1:

!"Os pontos P e Q estão em uma reta R comum.

!"A reta R é a única reta na qual ambos os pontos estão.

Notação da DistânciaPodemos simbolizar a distância entre quaisquer dois pontos P e Q quando expressa-mos a ida de P a Q na reta que os conecta escrevendo PQ. Unidades de medida, tais como metros, pés, milímetros, polegadas, milhas ou quilômetros, não têm relevân-cia na matemática pura, mas são importantes na física e na engenharia. Como uma notação alternativa, podemos usar uma letra minúscula como d para representar a distância entre dois pontos.

FIGURA 1-1 !"O princípio dos dois pontos.

Capítulo 1 REGRAS DO JOGO 5

Segmentos de RetaA parte da reta entre dois pontos P e Q diferentes constitui um segmento de reta. Chamamos os pontos P e Q de pontos de extremidade. Um segmento de reta pode in-cluir ambos os pontos de extremidade, apenas um ou nenhum deles. Sendo assim, existem três possibilidades, como se segue:

!"Se um segmento de reta contém ambos os pontos de extremidade, temos um segmento de reta fechado. Os pontos de extremidade são marcados desenhan-do-os como dois pontos pretos.

!"Se um segmento de reta contém um dos pontos de extremidade, mas não o outro, denominamos este segmento de reta semiaberto. Um dos pontos de ex-tremidade é marcado desenhando-o como um ponto preto e o ponto de extre-midade excluído como um pequeno círculo.

!" Se um segmento de reta não contém pontos de extremidade, denominamos este segmento de reta aberta. Desenhamos ambos os pontos de extremidades como círculos.

DICA Qualquer segmento de reta em particular apresenta o mesmo comprimen-

to, seja fechado, semiaberto ou aberto. Adicionar ou retirar pontos, mate-

maticamente, não faz diferença, porque os pontos têm tamanho zero em

todas as dimensões!

SemirretasAlgumas vezes, os matemáticos falam sobre a parte da reta geométrica que fica de “um lado” de certo ponto. Na situação da Figura 1-1, imagine o conjunto de pontos que começa em P, depois passa por Q e se estende progressivamente depois de Q indefinidamente. Chamamos o objeto restante de semirreta. A semirreta definida por P e Q poderia incluir o ponto de extremidade P, caso no qual teríamos então uma semirreta de extremidade fechada. Se deixarmos o ponto de extremidade de fora, teríamos uma semirreta de extremidade aberta. De qualquer forma, dizemos que a semirreta começa ou origina-se no ponto P.

Princípio do Ponto MédioImagine um segmento de reta conectando dois pontos P e R. Existe um, apenas um, ponto Q no segmento de reta tal que PQ = QR, como mostrado na Figura 1-2.

!"#$%&'()*'+'O princípio do ponto médio.

6 GEOMETRIA SeM MiSTéRio

PROBLEMA 1-1

Imagine que no cenário da Figura 1-1, encontramos o ponto médio Q2 entre

P e Q, o ponto médio Q3 entre P e Q

2, o ponto médio Q

4 entre P e Q

3 e as-

sim sucessivamente. Na linguagem matemática, dizemos que continuamos

achando pontos médios Q(n+1)

entre P e Qn, onde n representa um número

inteiro positivo. Até onde podemos continuar esse processo?

SOLUÇÃO

Esse processo pode continuar eternamente. Na geometria teórica, não exis-

te limite para o número de vezes que podemos dividir um segmento de reta

na metade, pois um segmento de reta contém infinitos pontos.

PROBLEMA 1-2

Imagine um segmento de reta com os pontos de extremidade P e Q. Qual a

diferença entre a distância PQ e a distância QP?

SOLUÇÃO

Se considerarmos a distância sem prestarmos atenção à direção na qual a

expressamos ou medimos, então PQ = QP. Mas se a distância faz diferença

para nós, podemos definir PQ = -QP. Nesse caso, usamos o termo desloca-

mento em vez de direção.

Nos gráficos geométricos, podemos especificar deslocamentos (em vez de

simples distâncias) se quisermos induzir nossos leitores a mover seus olhos

da direita para a esquerda ao invés da esquerda para a direita, ou de baixo

para cima ao invés de cima para baixo.

Ângulos e Distâncias

Quando duas retas se cruzam, temos quatro ângulos distintos no ponto da interseção. Na maioria dos casos, veremos que dois deles são “agudos” e dois são “obtusos”. Se acontecer dos quatro ângulos serem iguais, então teremos ângulos retos. Assim dize-mos que as retas que se cruzam são perpendiculares, ortogonais ou normais em relação às outras no ponto da interseção. Também podemos defi nir um ângulo usando três pontos conectados a dois segmentos de reta; o ângulo aparece no ponto onde os seg-mentos de reta se encontram.

Capítulo 1 REGRAS DO JOGO 7

Medindo os ÂngulosPara expressar a abertura ou a medida de um ângulo, podemos usar duas unidades: o grau e o radiano. O grau (°) é a unidade familiar à maioria das pessoas, enquanto o radiano é mais frequentemente usado por matemáticos e engenheiros.

Um grau (1°) é igual a 1/360 de um círculo completo. Assim, 90° representa ¼ de um círculo, 180°, metade, 270°, ¾ e 360°, um círculo inteiro. Um ângulo reto mede 90°, um ângulo agudo mede mais de 0° e menos de 90°, e um ângulo obtuso mede mais que 90° e menos que 180°. Um ângulo raso mede 180°. Um ângulo côn-cavo mede mais que 180° e menos que 360°.

Podemos definir o radiano (rad) como se segue: imagine duas semirretas sain-do do ponto central de um círculo. Cada uma delas cruza o círculo em um deter-minado ponto. Chamemos esses pontos de P e Q. Imagine que a distância entre P e Q, expressa longitudinalmente ao arco do círculo, é igual ao raio do círculo. Assim, a medida do ângulo formado pelas semirretas é igual a 1 radiano (1 rad).

Um círculo completo tem 2# rad, onde # (letra grega pi, minúscula) representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. O valor de # é aproxi-madamente 3,14159265359, normalmente arredondado para 3,14159 ou 3,14. Um ângulo reto mede #/2, um ângulo agudo mede mais de 0 rad e menos de #/2 rad, e um ângulo obtuso mede mais que #/2 rad e menos que # rad. Um ângulo raso mede # rad. Um ângulo côncavo mede mais que # rad e menos que 2# rad.

DICA Matemáticos normalmente excluem a unidade de referência quando ex-

pressam ou escrevem ângulos em radianos. Assim, em vez de “#/3 rad”, você

pode encontrar o ângulo expresso como “#/3”. Quando você observar uma

referência a ângulos sem nenhuma unidade de medida, deve assumir que o

autor está trabalhando com radianos.

!"#$%&'(),'+'Notação do ângulo.

8 GEOMETRIA SeM MiSTéRio

Notação do ÂnguloImagine que P, Q e R representem pontos distintos. L é o segmento de reta que co-necta P e Q. M é o segmento de reta que conecta R e Q. Podemos denotar o ângulo entre L e M, como medido no ponto Q no plano defi nido por três pontos, escreven-do $PQR ou $RQP, como exibido na Figura 1-3.

Se quisermos especificar o sentido rotacional do ângulo (seja horário ou anti--horário), então $RQP indica o ângulo em sentido anti-horário de M para L e $PQR indica o ângulo em sentido horário de L para M. Consideramos ângulos de sentido anti-horário como tendo valores positivos e ângulos de sentido horário como tendo valores negativos.

Na situação da Figura 1-3, $RQP é positivo e $PQR é negativo. Se fizermos uma conjectura em relação às medidas dos ângulos na fig. 1-3, poderíamos dizer que $RQP % +60° enquanto $PQR % -60°. O sinal de “ondas” traduz literalmente a expressão “aproximadamente igual” ou “aproximadamente igual à”.

!"#$%&'()-'+ O princípio da bisseção de um ângulo.

Ainda com Dificuldades?

O sentido rotacional não importa na geometria básica. Entretanto, conta muito

quando trabalhamos a geometria analítica (geometria que envolve gráficos). Nós

trabalharemos com geometria analítica, também chamada de geometria das co-

ordenadas, mais tarde neste livro. Por enquanto, não nos preocupemos com o

sentido rotacional no qual expressamos ou medimos ângulos. Vamos considerar

todos os ângulos tendo medidas positivas.

?

Capítulo 1 REGRAS DO JOGO 9

Princípio da Bissetriz de um ÂnguloConsidere um ângulo $PQR medindo menos de 180° e definido por três pontos P, Q e R, como mostrado na Figura 1-4. Existe exatamente uma semirreta M que divide em duas partes iguais o ângulo $PQR. Se S representa qualquer ponto em M dife-rente de Q, então $PQS = $SQR. Todo ângulo tem uma, e apenas uma, semirreta que o divide ao meio.

Princípio da PerpendicularidadeConsidere uma reta r que passe pelos pontos P e Q. R representa um ponto que não está em r. Existe exatamente uma linha m que passa por R cortando a reta r em um ponto S, de tal forma que m corre perpendicular a r (m e r se cruzam em um ângulo reto) no ponto S. A Figura 1-5 ilustra essa situação.

Princípio da MediatrizImagine que r represente um segmento de reta que conecta dois pontos P e R. Existe uma, e apenas uma reta m, que corre perpendicular a r e que corta r no ponto Q, sendo a distância entre P e Q igual à distância entre Q e R. Em outras palavras, cada segmento de reta tem exatamente uma mediatriz. A Figura 1-6 ilustra essa situação.

!"#$%&'().'+ O princípio da perpendicularidade.

!"#$%&'()/'+'O princípio da mediatriz.

10 GEOMETRIA SeM MiSTéRio

Soma e Subtração da DistânciaConsidere que P, Q e R representem pontos em uma reta r, tal que Q fique entre P e R. As seguintes equações são empregadas considerando distâncias como medidas ao longo de r (Figura 1-7).

PQ + QR = PR

PR – PQ = QR

PR – QR = PQ

!"#$%&'()0'+'Soma e subtração da distância.

Soma e Subtração do ÂnguloImagine que P, Q, R e S representam pontos que estão no mesmo plano. Em outras palavras, todos os quatro pontos ficam em uma superfície única e perfeitamente pla-na. Q representa o vértice de três ângulos $PQR, $PQS e $SQR, com a semirreta QS entre as semirretas QP e QR, como mostrado na Figura 1-8. As seguintes equações são empregadas de acordo com as medidas angulares:

$PQS + $SQR = $PQR

$PQR -$PQS = $SQR

$PQR - $SQR = $PQS

!"#$%&'()1'+'Soma e subtração de ângulos.